મિત્રો, આજે કોઈ ક્ષોભ કે લાગણીશૂન્યતા રહેશે નહીં. તેના બદલે, હું તમને 8મા-9મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં સૌથી પ્રચંડ પ્રતિસ્પર્ધીઓમાંથી એક સાથે યુદ્ધ કરવા માટે, કોઈ પ્રશ્ન પૂછ્યા વિના મોકલીશ.
હા, તમે બધું બરાબર સમજી લીધું છે: અમે મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. અમે ચાર મૂળભૂત તકનીકો જોઈશું જેની મદદથી તમે આવી લગભગ 90% સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખી શકશો. બાકીના 10% વિશે શું? સારું, અમે તેમના વિશે એક અલગ પાઠમાં વાત કરીશું :)
જો કે, કોઈપણ તકનીકોનું વિશ્લેષણ કરતા પહેલા, હું તમને બે હકીકતો યાદ કરાવવા માંગુ છું જે તમારે પહેલાથી જ જાણવાની જરૂર છે. નહિંતર, તમે આજના પાઠની સામગ્રીને બિલકુલ ન સમજી શકશો.
તમારે પહેલાથી શું જાણવાની જરૂર છે
કેપ્ટનની સ્પષ્ટતા એ સંકેત આપે છે કે મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાને ઉકેલવા માટે તમારે બે બાબતો જાણવાની જરૂર છે:
- અસમાનતાઓ કેવી રીતે ઉકેલાય છે;
- મોડ્યુલ શું છે?
ચાલો બીજા મુદ્દાથી શરૂઆત કરીએ.
મોડ્યુલ વ્યાખ્યા
અહીં બધું સરળ છે. ત્યાં બે વ્યાખ્યાઓ છે: બીજગણિત અને ગ્રાફિકલ. સાથે શરૂ કરવા માટે - બીજગણિત:
વ્યાખ્યા. સંખ્યા $x$નું મોડ્યુલસ કાં તો તે સંખ્યા છે, જો તે બિન-ઋણાત્મક હોય, અથવા તેની વિરુદ્ધની સંખ્યા, જો મૂળ $x$ હજુ પણ નકારાત્મક હોય.
તે આ રીતે લખાયેલ છે:
\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
સરળ શબ્દોમાં, મોડ્યુલસ એ "માઈનસ વગરની સંખ્યા" છે. અને તે ચોક્કસપણે આ દ્વૈતતામાં છે (કેટલીક જગ્યાએ તમારે મૂળ સંખ્યા સાથે કંઈ કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ અન્યમાં તમારે અમુક પ્રકારની બાદબાકી દૂર કરવી પડશે) તે તે છે જ્યાં શરૂઆતના વિદ્યાર્થીઓ માટે આખી મુશ્કેલી રહે છે.
ભૌમિતિક વ્યાખ્યા પણ છે. તે જાણવું પણ ઉપયોગી છે, પરંતુ અમે ફક્ત જટિલ અને કેટલાક વિશિષ્ટ કેસોમાં જ તેના તરફ વળીશું, જ્યાં ભૌમિતિક અભિગમ બીજગણિત કરતાં વધુ અનુકૂળ છે (સ્પૉઇલર: આજે નહીં).
વ્યાખ્યા. બિંદુ $a$ ને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત થવા દો. પછી મોડ્યુલ $\left| x-a \right|$ એ આ રેખા પરના બિંદુ $x$ થી બિંદુ $a$ સુધીનું અંતર છે.
જો તમે ચિત્ર દોરો છો, તો તમને આના જેવું કંઈક મળશે:
ગ્રાફિકલ મોડ્યુલ વ્યાખ્યા એક રીતે અથવા બીજી રીતે, મોડ્યુલની વ્યાખ્યામાંથી તેની મુખ્ય મિલકત તરત જ નીચે મુજબ છે: સંખ્યાનું મોડ્યુલસ હંમેશા બિન-ઋણાત્મક જથ્થો છે. આ હકીકત આજે આપણા સમગ્ર કથામાં એક લાલ દોરો બની રહેશે.
અસમાનતાઓનું નિરાકરણ. અંતરાલ પદ્ધતિ
હવે ચાલો અસમાનતાઓ જોઈએ. તેમાંના ઘણા બધા છે, પરંતુ અમારું કાર્ય હવે તેમાંથી ઓછામાં ઓછા સરળ ઉકેલવા માટે સક્ષમ બનવાનું છે. જે રેખીય અસમાનતાઓ તેમજ અંતરાલ પદ્ધતિમાં ઘટાડો કરે છે.
મારી પાસે આ વિષય પર બે મોટા પાઠ છે (માર્ગ દ્વારા, ખૂબ, ખૂબ જ ઉપયોગી - હું તેનો અભ્યાસ કરવાની ભલામણ કરું છું):
- અસમાનતા માટે અંતરાલ પદ્ધતિ (ખાસ કરીને વિડિઓ જુઓ);
- અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અસમાનતા એ ખૂબ જ વ્યાપક પાઠ છે, પરંતુ તે પછી તમારી પાસે કોઈ પ્રશ્ન જ નહીં હોય.
જો તમે આ બધું જાણો છો, જો "ચાલો અસમાનતાથી સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ" વાક્ય તમને તમારી જાતને દિવાલ સામે અથડાવાની અસ્પષ્ટ ઇચ્છા નથી કરતું, તો તમે તૈયાર છો: પાઠના મુખ્ય વિષય પર નરકમાં આપનું સ્વાગત છે :)
1. ફોર્મની અસમાનતા "મોડ્યુલસ કાર્ય કરતા ઓછું છે"
આ મોડ્યુલો સાથેની સૌથી સામાન્ય સમસ્યાઓમાંની એક છે. ફોર્મની અસમાનતાને ઉકેલવા માટે તે જરૂરી છે:
\[\left| f\right| \ltg\]
$f$ અને $g$ કંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તે બહુપદી હોય છે. આવી અસમાનતાના ઉદાહરણો:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \જમણે| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\ડાબે| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\અંત(સંરેખિત)\]
નીચેની યોજના અનુસાર તે બધાને શાબ્દિક રીતે એક લીટીમાં હલ કરી શકાય છે:
\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \અધિકાર.\જમણે)\]
તે જોવાનું સરળ છે કે આપણે મોડ્યુલથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ, પરંતુ બદલામાં આપણને બેવડી અસમાનતા (અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, બે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ) મળે છે. પરંતુ આ સંક્રમણ સંપૂર્ણપણે તમામ સંભવિત સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લે છે: જો મોડ્યુલસ હેઠળની સંખ્યા હકારાત્મક હોય, તો પદ્ધતિ કાર્ય કરે છે; જો નકારાત્મક હોય, તો તે હજી પણ કાર્ય કરે છે; અને $f$ અથવા $g$ ની જગ્યાએ સૌથી અપૂરતા કાર્ય સાથે પણ, પદ્ધતિ હજુ પણ કામ કરશે.
સ્વાભાવિક રીતે, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું તે સરળ ન હોઈ શકે? કમનસીબે, તે શક્ય નથી. આ મોડ્યુલનો આખો મુદ્દો છે.
જો કે, ફિલોસોફાઇઝિંગ સાથે પૂરતું. ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરીએ:
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
\[\left| 2x+3 \જમણે| \lt x+7\]
ઉકેલ. તેથી, આપણી સમક્ષ "મોડ્યુલસ ઓછું છે" સ્વરૂપની ક્લાસિક અસમાનતા છે - પરિવર્તન માટે પણ કંઈ નથી. અમે અલ્ગોરિધમનો અનુસાર કાર્ય કરીએ છીએ:
\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \જમણે| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
"માઈનસ" પહેલાના કૌંસને ખોલવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં: તે શક્ય છે કે તમારી ઉતાવળમાં તમે અપમાનજનક ભૂલ કરશો.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
સમસ્યા બે પ્રાથમિક અસમાનતાઓ સુધી ઘટી હતી. ચાલો તેમના ઉકેલોને સમાંતર સંખ્યા રેખાઓ પર નોંધીએ:
સમૂહોનું આંતરછેદ
આ સમૂહોનું આંતરછેદ જવાબ હશે.
જવાબ: $x\in \left(-\frac(10)(3); 4 \જમણે)$
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
ઉકેલ. આ કાર્ય થોડું વધારે મુશ્કેલ છે. પ્રથમ, ચાલો બીજા શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીને મોડ્યુલને અલગ કરીએ:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \જમણે)\]
દેખીતી રીતે, અમારી પાસે ફરીથી "મોડ્યુલ નાનું છે" ફોર્મની અસમાનતા છે, તેથી અમે પહેલાથી જાણીતા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
હવે ધ્યાન આપો: કોઈ કહેશે કે હું આ બધા કૌંસ સાથે થોડો વિકૃત છું. પરંતુ હું તમને ફરી એકવાર યાદ અપાવી દઉં કે અમારું મુખ્ય લક્ષ્ય છે અસમાનતાને યોગ્ય રીતે હલ કરો અને જવાબ મેળવો. પાછળથી, જ્યારે તમે આ પાઠમાં વર્ણવેલ દરેક વસ્તુમાં સંપૂર્ણ રીતે નિપુણતા મેળવી લો, ત્યારે તમે તમારી ઇચ્છા મુજબ તેને જાતે બગાડી શકો છો: કૌંસ ખોલો, ઓછા ઉમેરો વગેરે.
શરૂ કરવા માટે, અમે ફક્ત ડાબી બાજુના ડબલ માઈનસથી છૂટકારો મેળવીશું:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ડાબે(x+1 \જમણે)\]
હવે ચાલો બધા કૌંસને ડબલ અસમાનતામાં ખોલીએ:
ચાલો બેવડી અસમાનતા તરફ આગળ વધીએ. આ વખતે ગણતરીઓ વધુ ગંભીર હશે:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(સંરેખિત કરો) \જમણે.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( સંરેખિત કરો)\જમણે.\]
બંને અસમાનતાઓ ચતુર્ભુજ છે અને અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે (એટલે જ હું કહું છું: જો તમે જાણતા ન હોવ કે આ શું છે, તો મોડ્યુલ ન લેવાનું વધુ સારું છે). ચાલો પ્રથમ અસમાનતાના સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\અંત(સંરેખિત)\]
જેમ તમે જોઈ શકો છો, આઉટપુટ એ અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે, જે પ્રાથમિક રીતે ઉકેલી શકાય છે. હવે ચાલો સિસ્ટમની બીજી અસમાનતા જોઈએ. ત્યાં તમારે વિએટાનું પ્રમેય લાગુ કરવું પડશે:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\અંત(સંરેખિત)\]
અમે પરિણામી સંખ્યાઓને બે સમાંતર રેખાઓ પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ (પ્રથમ અસમાનતા માટે અલગ અને બીજા માટે અલગ):
ફરીથી, કારણ કે આપણે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ હલ કરી રહ્યા છીએ, અમને છાયાવાળા સમૂહોના આંતરછેદમાં રસ છે: $x\in \left(-5;-2 \right)$. આ જવાબ છે.
જવાબ: $x\in \left(-5;-2 \right)$
મને લાગે છે કે આ ઉદાહરણો પછી ઉકેલ યોજના અત્યંત સ્પષ્ટ છે:
- અન્ય તમામ પદોને અસમાનતાની વિરુદ્ધ બાજુએ ખસેડીને મોડ્યુલને અલગ કરો. આમ આપણને $\left| ફોર્મની અસમાનતા મળે છે f\right| \ltg$.
- ઉપર વર્ણવેલ સ્કીમ અનુસાર મોડ્યુલમાંથી છુટકારો મેળવીને આ અસમાનતાને ઉકેલો. અમુક સમયે, બેવડી અસમાનતામાંથી બે સ્વતંત્ર અભિવ્યક્તિઓની સિસ્ટમ તરફ જવાનું જરૂરી બનશે, જેમાંથી દરેક પહેલેથી જ અલગથી ઉકેલી શકાય છે.
- છેવટે, આ બે સ્વતંત્ર અભિવ્યક્તિઓના ઉકેલોને છેદવાનું બાકી છે - અને બસ, અમને અંતિમ જવાબ મળશે.
નીચેના પ્રકારની અસમાનતાઓ માટે સમાન અલ્ગોરિધમ અસ્તિત્વમાં છે, જ્યારે મોડ્યુલ કાર્ય કરતા વધારે હોય છે. જો કે, ત્યાં કેટલાક ગંભીર "પરંતુ" છે. આપણે હવે આ "પરંતુ" વિશે વાત કરીશું.
2. ફોર્મની અસમાનતા "મોડ્યુલસ કાર્ય કરતા વધારે છે"
તેઓ આના જેવા દેખાય છે:
\[\left| f\right| \gtg\]
પાછલા એક જેવું જ છે? લાગે છે. અને હજુ સુધી આવી સમસ્યાઓ સંપૂર્ણપણે અલગ રીતે હલ કરવામાં આવે છે. ઔપચારિક રીતે, યોજના નીચે મુજબ છે:
\[\left| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
- પ્રથમ, અમે ફક્ત મોડ્યુલને અવગણીએ છીએ અને સામાન્ય અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ;
- પછી, સારમાં, આપણે માઈનસ ચિહ્ન સાથે મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ છીએ, અને પછી અસમાનતાની બંને બાજુઓને −1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, જ્યારે મારી પાસે ચિહ્ન છે.
આ કિસ્સામાં, વિકલ્પો ચોરસ કૌંસ સાથે જોડાયેલા છે, એટલે કે. અમારી સમક્ષ બે આવશ્યકતાઓનું સંયોજન છે.
મહેરબાની કરીને ફરીથી નોંધ કરો: આ સિસ્ટમ નથી, પરંતુ સંપૂર્ણતા છે, તેથી જવાબમાં સેટ એકબીજાને છેદવાને બદલે જોડવામાં આવે છે. આ પાછલા મુદ્દાથી મૂળભૂત તફાવત છે!
સામાન્ય રીતે, ઘણા વિદ્યાર્થીઓ યુનિયનો અને આંતરછેદો સાથે સંપૂર્ણપણે મૂંઝવણમાં હોય છે, તેથી ચાલો આ મુદ્દાને એકવાર અને બધા માટે ઉકેલીએ:
- "∪" એ સંઘનું ચિહ્ન છે. હકીકતમાં, આ એક શૈલીયુક્ત અક્ષર "યુ" છે, જે અંગ્રેજી ભાષામાંથી અમને આવ્યો છે અને "યુનિયન" માટે સંક્ષિપ્ત છે, એટલે કે. "એસોસિએશનો".
- "∩" એ આંતરછેદનું ચિહ્ન છે. આ વાહિયાત ક્યાંયથી આવી નથી, પરંતુ ફક્ત "∪" ના પ્રતિબિંદુ તરીકે દેખાય છે.
તેને યાદ રાખવું વધુ સરળ બનાવવા માટે, ચશ્મા બનાવવા માટે ફક્ત આ ચિહ્નો તરફ પગ દોરો (માત્ર હવે મારા પર ડ્રગ વ્યસન અને મદ્યપાનને પ્રોત્સાહન આપવાનો આરોપ ન લગાવો: જો તમે આ પાઠનો ગંભીરતાથી અભ્યાસ કરી રહ્યાં છો, તો તમે પહેલેથી જ ડ્રગ વ્યસની છો):
આંતરછેદ અને સમૂહોના જોડાણ વચ્ચેનો તફાવત રશિયનમાં અનુવાદિત, આનો અર્થ નીચે મુજબ છે: યુનિયન (સંપૂર્ણતા) માં બંને સમૂહોના ઘટકો શામેલ છે, તેથી તે કોઈપણ રીતે તેમાંથી દરેક કરતાં ઓછું નથી; પરંતુ આંતરછેદ (સિસ્ટમ) માં ફક્ત તે જ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે પ્રથમ અને બીજા બંનેમાં એકસાથે હોય છે. તેથી, સેટનો આંતરછેદ સ્ત્રોત સેટ કરતા ક્યારેય મોટો હોતો નથી.
તેથી તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું? તે મહાન છે. ચાલો પ્રેક્ટિસ તરફ આગળ વધીએ.
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
\[\left| 3x+1 \જમણે| \gt 5-4x\]
ઉકેલ. અમે યોજના અનુસાર આગળ વધીએ છીએ:
\[\left| 3x+1 \જમણે| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \જમણે) \\\end(align) \ અધિકાર.\]
અમે વસ્તીમાં દરેક અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(સંરેખિત કરો) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
અમે દરેક પરિણામી સમૂહને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ, અને પછી તેમને જોડીએ છીએ:
સમૂહોનું સંઘ
તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જવાબ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ હશે
જવાબ: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
ઉકેલ. સારું? કંઈ નથી - બધું સમાન છે. અમે મોડ્યુલસ સાથેની અસમાનતામાંથી બે અસમાનતાના સમૂહમાં આગળ વધીએ છીએ:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]
અમે દરેક અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ. કમનસીબે, ત્યાંના મૂળ ખૂબ સારા નહીં હોય:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\અંત(સંરેખિત)\]
બીજી અસમાનતા પણ થોડી જંગલી છે:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\અંત(સંરેખિત)\]
હવે તમારે આ સંખ્યાઓને બે અક્ષો પર ચિહ્નિત કરવાની જરૂર છે - દરેક અસમાનતા માટે એક અક્ષ. જો કે, તમારે પોઈન્ટને સાચા ક્રમમાં ચિહ્નિત કરવાની જરૂર છે: સંખ્યા જેટલી મોટી હશે, તેટલો પોઈન્ટ જમણી તરફ જશે.
અને અહીં એક સેટઅપ અમારી રાહ જુએ છે. જો $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (પ્રથમના અંશમાંના શબ્દો સાથે બધું સ્પષ્ટ હોય તો અપૂર્ણાંક બીજાના અંશમાંના શબ્દો કરતાં ઓછા છે, તેથી સરવાળો પણ ઓછો છે, $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) સાથે (21))(2)$ પણ કોઈ મુશ્કેલીઓ હશે નહીં (સકારાત્મક સંખ્યા દેખીતી રીતે વધુ નકારાત્મક), પછી છેલ્લા દંપતી સાથે બધું એટલું સ્પષ્ટ નથી. કયું મોટું છે: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ અથવા $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? સંખ્યા રેખાઓ પર પોઈન્ટનું પ્લેસમેન્ટ અને હકીકતમાં, જવાબ આ પ્રશ્નના જવાબ પર આધારિત છે.
તો ચાલો સરખામણી કરીએ:
\[\begin(મેટ્રિક્સ) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(મેટ્રિક્સ)\]
અમે મૂળને અલગ કર્યું, અસમાનતાની બંને બાજુએ બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ મેળવી, તેથી અમને બંને બાજુઓને વર્ગીકૃત કરવાનો અધિકાર છે:
\[\begin(મેટ્રિક્સ) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \જમણે))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(મેટ્રિક્સ)\]
મને લાગે છે કે $4\sqrt(13) \gt 3$, તેથી $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, અક્ષો પર અંતિમ બિંદુઓ આ રીતે મૂકવામાં આવશે:
બિહામણું મૂળનો કેસ
ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે અમે એક સંગ્રહને હલ કરી રહ્યા છીએ, તેથી જવાબ એક સંઘ હશે, છાંયેલા સમૂહોનું આંતરછેદ નહીં.
જવાબ: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારી સ્કીમ સરળ અને ખૂબ જ અઘરી બંને સમસ્યાઓ માટે સરસ કામ કરે છે. આ અભિગમમાં એકમાત્ર "નબળો મુદ્દો" એ છે કે તમારે અતાર્કિક સંખ્યાઓની યોગ્ય રીતે તુલના કરવાની જરૂર છે (અને મારા પર વિશ્વાસ કરો: આ ફક્ત મૂળ નથી). પરંતુ એક અલગ (અને ખૂબ જ ગંભીર) પાઠ સરખામણીના મુદ્દાઓને સમર્પિત કરવામાં આવશે. અને અમે આગળ વધીએ છીએ.
3. બિન-નકારાત્મક "પૂંછડીઓ" સાથે અસમાનતા
હવે આપણે સૌથી રસપ્રદ ભાગ પર પહોંચીએ છીએ. આ ફોર્મની અસમાનતાઓ છે:
\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]
સામાન્ય રીતે કહીએ તો, હવે આપણે જે અલ્ગોરિધમ વિશે વાત કરીશું તે ફક્ત મોડ્યુલ માટે જ યોગ્ય છે. તે તમામ અસમાનતાઓમાં કામ કરે છે જ્યાં ડાબી અને જમણી બાજુએ ગેરંટીકૃત બિન-નકારાત્મક અભિવ્યક્તિઓ છે:
આ કાર્યો સાથે શું કરવું? ફક્ત યાદ રાખો:
બિન-નકારાત્મક "પૂંછડીઓ" સાથેની અસમાનતાઓમાં, બંને બાજુઓને કોઈપણ કુદરતી શક્તિમાં ઉભી કરી શકાય છે. ત્યાં કોઈ વધારાના નિયંત્રણો રહેશે નહીં.
સૌ પ્રથમ, અમને સ્ક્વેરિંગમાં રસ હશે - તે મોડ્યુલો અને મૂળને બાળી નાખે છે:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\અંત(સંરેખિત)\]
ફક્ત ચોરસનું મૂળ લેવાથી આને ગૂંચવશો નહીં:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
જ્યારે વિદ્યાર્થી મોડ્યુલ ઇન્સ્ટોલ કરવાનું ભૂલી ગયો ત્યારે અસંખ્ય ભૂલો થઈ! પરંતુ આ એક સંપૂર્ણપણે અલગ વાર્તા છે (આ, જેમ તે હતા, અતાર્કિક સમીકરણો છે), તેથી આપણે હવે આમાં જઈશું નહીં. ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓ વધુ સારી રીતે હલ કરીએ:
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
ઉકેલ. ચાલો તરત જ બે બાબતો પર ધ્યાન આપીએ:
- આ કડક અસમાનતા નથી. નંબર લાઇન પરના પોઇન્ટ્સ પંચર કરવામાં આવશે.
- અસમાનતાની બંને બાજુઓ દેખીતી રીતે બિન-નકારાત્મક છે (આ મોડ્યુલની મિલકત છે: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
તેથી, અમે મોડ્યુલસથી છુટકારો મેળવવા અને સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને હલ કરવા માટે અસમાનતાની બંને બાજુઓને ચોરસ કરી શકીએ છીએ:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \જમણે))^(2))\ge ((\left(2x-1 \જમણે))^(2)). \\\અંત(સંરેખિત)\]
છેલ્લા પગલા પર, મેં થોડી છેતરપિંડી કરી: મેં મોડ્યુલની સમાનતાનો લાભ લઈને શબ્દોનો ક્રમ બદલ્યો (હકીકતમાં, મેં $1-2x$ ને −1 વડે ગુણાકાર કર્યો).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-(\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ જમણે)\જમણે)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
અમે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ. ચાલો અસમાનતામાંથી સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\અંત(સંરેખિત)\]
અમે સંખ્યા રેખા પર મળેલા મૂળને ચિહ્નિત કરીએ છીએ. ફરી એકવાર: બધા મુદ્દાઓ શેડમાં છે કારણ કે મૂળ અસમાનતા કડક નથી!
મોડ્યુલસ ચિહ્નથી છુટકારો મેળવવો
જેઓ ખાસ કરીને હઠીલા છે તેમના માટે હું તમને યાદ કરાવું છું: અમે છેલ્લી અસમાનતાના ચિહ્નો લઈએ છીએ, જે સમીકરણ તરફ આગળ વધતા પહેલા લખવામાં આવ્યા હતા. અને અમે સમાન અસમાનતામાં જરૂરી વિસ્તારો પર રંગ કરીએ છીએ. અમારા કિસ્સામાં તે $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ છે.
બસ, બસ. સમસ્યા હલ થાય છે.
જવાબ: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
ઉકેલ. અમે બધું એકસરખું કરીએ છીએ. હું ટિપ્પણી કરીશ નહીં - ફક્ત ક્રિયાઓનો ક્રમ જુઓ.
તેને ચોરસ કરો:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right)^(2)); \\ & ((\ ડાબે(((x)^(2))+x+1 \જમણે)^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\ ડાબે(((x)^(2))+x+1 \જમણે)^(2))-(\left((x)^(2))+3x+4 \ જમણે))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
અંતરાલ પદ્ધતિ:
\[\શરૂ(સંરેખિત કરો) અને \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ રાઈટરો x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\અંત(સંરેખિત)\]
સંખ્યા રેખા પર માત્ર એક જ મૂળ છે:
જવાબ સમગ્ર અંતરાલ છે
જવાબ: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
છેલ્લા કાર્ય વિશે એક નાની નોંધ. મારા એક વિદ્યાર્થીએ સચોટપણે નોંધ્યું તેમ, આ અસમાનતામાં બંને સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ દેખીતી રીતે હકારાત્મક છે, તેથી આરોગ્યને નુકસાન પહોંચાડ્યા વિના મોડ્યુલસ ચિહ્ન છોડી શકાય છે.
પરંતુ આ વિચારનું એક સંપૂર્ણપણે અલગ સ્તર અને એક અલગ અભિગમ છે - તેને શરતી રીતે પરિણામોની પદ્ધતિ કહી શકાય. તેના વિશે - એક અલગ પાઠમાં. હવે ચાલો આજના પાઠના અંતિમ ભાગ તરફ આગળ વધીએ અને એક સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમ જોઈએ જે હંમેશા કામ કરે છે. ત્યારે પણ જ્યારે અગાઉના તમામ અભિગમો શક્તિહીન હતા :)
4. વિકલ્પોની ગણતરીની પદ્ધતિ
જો આ બધી તકનીકો મદદ ન કરે તો શું? જો અસમાનતાને બિન-નકારાત્મક પૂંછડીઓમાં ઘટાડી શકાતી નથી, જો મોડ્યુલને અલગ પાડવું અશક્ય છે, જો સામાન્ય રીતે પીડા, ઉદાસી, ખિન્નતા હોય તો?
પછી તમામ ગણિતની "ભારે આર્ટિલરી" દ્રશ્ય પર આવે છે - જડ બળ પદ્ધતિ. મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાના સંબંધમાં તે આના જેવો દેખાય છે:
- બધા સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ લખો અને તેમને શૂન્યની બરાબર સેટ કરો;
- પરિણામી સમીકરણો ઉકેલો અને એક સંખ્યા રેખા પર મળેલા મૂળને ચિહ્નિત કરો;
- સીધી રેખાને કેટલાક વિભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવશે, જેમાં દરેક મોડ્યુલમાં નિશ્ચિત ચિહ્ન હોય છે અને તેથી તે અનન્ય રીતે પ્રગટ થાય છે;
- આવા દરેક વિભાગ પર અસમાનતા ઉકેલો (તમે પગલું 2 માં મેળવેલ મૂળ-સીમાઓને અલગથી ધ્યાનમાં લઈ શકો છો - વિશ્વસનીયતા માટે). પરિણામો ભેગા કરો - આ જવાબ હશે :)
તો કેવી રીતે? નબળા? સરળતાથી! માત્ર લાંબા સમય માટે. ચાલો વ્યવહારમાં જોઈએ:
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
ઉકેલ. આ વાહિયાત $\left| જેવી અસમાનતાઓને ઉકળે નહીં f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ અથવા $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, તેથી અમે આગળ કાર્ય કરીએ છીએ.
અમે સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ લખીએ છીએ, તેમને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ અને મૂળ શોધીએ છીએ:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\અંત(સંરેખિત)\]
કુલ મળીને, અમારી પાસે બે મૂળ છે જે સંખ્યા રેખાને ત્રણ વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, જેમાં દરેક મોડ્યુલ અનન્ય રીતે પ્રગટ થાય છે:
સબમોડ્યુલર ફંક્શન્સના શૂન્ય દ્વારા નંબર લાઇનનું વિભાજન
ચાલો દરેક વિભાગને અલગથી જોઈએ.
1. ચાલો $x \lt -2$. પછી બંને સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ નકારાત્મક છે, અને મૂળ અસમાનતા નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]
અમને એકદમ સરળ મર્યાદા મળી છે. ચાલો તેને પ્રારંભિક ધારણા સાથે છેદન કરીએ કે $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
દેખીતી રીતે, ચલ $x$ એકસાથે −2 કરતા ઓછું અને 1.5 કરતા વધારે ન હોઈ શકે. આ વિસ્તારમાં કોઈ ઉકેલો નથી.
1.1. ચાલો બોર્ડરલાઈન કેસને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ: $x=-2$. ચાલો આ સંખ્યાને મૂળ અસમાનતામાં બદલીએ અને તપાસીએ: શું તે સાચું છે?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\જમણે|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing. \\\અંત(સંરેખિત)\]
તે સ્પષ્ટ છે કે ગણતરીઓની સાંકળ આપણને ખોટી અસમાનતા તરફ દોરી ગઈ છે. તેથી, મૂળ અસમાનતા પણ ખોટી છે, અને $x=-2$ જવાબમાં સમાવેલ નથી.
2. ચાલો હવે $-2 \lt x \lt 1$. ડાબું મોડ્યુલ પહેલેથી જ "પ્લસ" સાથે ખુલશે, પરંતુ જમણું મોડ્યુલ હજી પણ "માઈનસ" સાથે ખુલશે. અમારી પાસે છે:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\અંત(સંરેખિત)\]
ફરીથી અમે મૂળ જરૂરિયાત સાથે છેદે છે:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
અને ફરીથી ઉકેલોનો સમૂહ ખાલી છે, કારણ કે ત્યાં કોઈ સંખ્યાઓ નથી જે −2.5 કરતા ઓછી અને −2 કરતા મોટી હોય.
2.1. અને ફરીથી એક ખાસ કેસ: $x=1$. અમે મૂળ અસમાનતાને બદલીએ છીએ:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\જમણે| \lt \left| 0\જમણે|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing. \\\અંત(સંરેખિત)\]
અગાઉના "વિશેષ કેસ" ની જેમ જ, $x=1$ નંબર સ્પષ્ટપણે જવાબમાં સમાવેલ નથી.
3. લીટીનો છેલ્લો ભાગ: $x \gt 1$. અહીં બધા મોડ્યુલો વત્તા ચિહ્ન સાથે ખોલવામાં આવે છે:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
અને ફરીથી આપણે મૂળ અવરોધ સાથે મળેલા સમૂહને છેદે છે:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
સારું, છેવટે! અમને એક અંતરાલ મળ્યો છે જે જવાબ હશે.
જવાબ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
છેલ્લે, એક નોંધ જે તમને વાસ્તવિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે મૂર્ખ ભૂલોથી બચાવી શકે છે:
મોડ્યુલી સાથેની અસમાનતાઓના ઉકેલો સામાન્ય રીતે સંખ્યા રેખા - અંતરાલ અને સેગમેન્ટ પર સતત સેટનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આઇસોલેટેડ પોઈન્ટ ખૂબ ઓછા સામાન્ય છે. અને તે પણ ઓછી વાર, એવું બને છે કે સોલ્યુશનની સીમા (સેગમેન્ટનો અંત) વિચારણા હેઠળની શ્રેણીની સીમા સાથે એકરુપ છે.
પરિણામે, જો જવાબમાં સીમાઓ (સમાન "વિશેષ કેસો") નો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો નથી, તો પછી આ સીમાઓની ડાબી અને જમણી બાજુના વિસ્તારો લગભગ ચોક્કસપણે જવાબમાં શામેલ કરવામાં આવશે નહીં. અને ઊલટું: સરહદ જવાબમાં દાખલ થઈ છે, જેનો અર્થ છે કે તેની આસપાસના કેટલાક વિસ્તારો પણ જવાબો હશે.
તમારા ઉકેલોની સમીક્ષા કરતી વખતે આને ધ્યાનમાં રાખો.
ગણિત વિજ્ઞાનના શાણપણનું પ્રતીક છે,
વૈજ્ઞાનિક કઠોરતા અને સરળતાનું એક મોડેલ,
વિજ્ઞાનમાં શ્રેષ્ઠતા અને સુંદરતાનું ધોરણ.
રશિયન ફિલોસોફર, પ્રોફેસર એ.વી. વોલોશિનોવ
મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતા
શાળાના ગણિતમાં ઉકેલવા માટેની સૌથી મુશ્કેલ સમસ્યાઓ અસમાનતા છે, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલો સમાવે છે. આવી અસમાનતાઓને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે, તમારી પાસે મોડ્યુલના ગુણધર્મોનું સારું જ્ઞાન હોવું જોઈએ અને તેનો ઉપયોગ કરવાની કુશળતા હોવી જોઈએ.
મૂળભૂત ખ્યાલો અને ગુણધર્મો
વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય).દ્વારા સૂચિત અને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
મોડ્યુલના સરળ ગુણધર્મોમાં નીચેના સંબંધોનો સમાવેશ થાય છે:
અને
નોંધ, કે છેલ્લા બે ગુણધર્મ કોઈપણ સમ ડિગ્રી માટે માન્ય છે.
વધુમાં, જો, ક્યાં, પછી અને
વધુ જટિલ મોડ્યુલ ગુણધર્મો, જે મોડ્યુલી સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે અસરકારક રીતે ઉપયોગમાં લઈ શકાય છે, નીચેના પ્રમેય દ્વારા ઘડવામાં આવે છે:
પ્રમેય 1.કોઈપણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો માટેઅને અસમાનતા સાચી છે.
પ્રમેય 2.સમાનતા અસમાનતા સમાન.
પ્રમેય 3.સમાનતા અસમાનતા સમાન.
શાળાના ગણિતમાં સૌથી સામાન્ય અસમાનતા, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ અજાણ્યા ચલો સમાવે છે, સ્વરૂપની અસમાનતા છેઅને, ક્યાં કેટલાક હકારાત્મક સ્થિરતા.
પ્રમેય 4.અસમાનતા બેવડી અસમાનતા સમાન છે, અને અસમાનતાનો ઉકેલઅસમાનતાના સમૂહને ઉકેલવા માટે ઘટાડે છેઅને .
આ પ્રમેય પ્રમેય 6 અને 7 નો વિશેષ કેસ છે.
વધુ જટિલ અસમાનતાઓ, મોડ્યુલ ધરાવવું એ ફોર્મની અસમાનતા છે, અને .
આવી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ નીચેના ત્રણ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઘડી શકાય છે.
પ્રમેય 5.અસમાનતા અસમાનતાની બે પ્રણાલીઓના સંયોજનને સમકક્ષ છે
હું (1)
પુરાવો.ત્યારથી
આ (1) ની માન્યતા સૂચવે છે.
પ્રમેય 6.અસમાનતા અસમાનતાની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે
પુરાવો.કારણ કે, પછી અસમાનતામાંથીતે તેને અનુસરે છે . આ સ્થિતિ હેઠળ, અસમાનતાઅને આ કિસ્સામાં અસમાનતાની બીજી સિસ્ટમ (1) અસંગત હોવાનું બહાર આવશે.
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
પ્રમેય 7.અસમાનતા એક અસમાનતા અને બે અસમાનતા પ્રણાલીઓના સંયોજનને સમકક્ષ છે
હું (3)
પુરાવો.ત્યારથી, પછી અસમાનતા હંમેશા ચલાવવામાં આવે છે, જો .
દો પછી અસમાનતાઅસમાનતા સમાન હશે, જેમાંથી બે અસમાનતાઓના સમૂહને અનુસરે છેઅને .
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
ચાલો “અસમાનતાઓ” વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવાના લાક્ષણિક ઉદાહરણો જોઈએ, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલો ધરાવે છે."
મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાઓનું નિરાકરણ
મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સૌથી સરળ પદ્ધતિ એ પદ્ધતિ છે, મોડ્યુલ વિસ્તરણ પર આધારિત. આ પદ્ધતિ સાર્વત્રિક છે, જો કે, સામાન્ય કિસ્સામાં, તેનો ઉપયોગ ખૂબ જ બોજારૂપ ગણતરીઓ તરફ દોરી શકે છે. તેથી, વિદ્યાર્થીઓએ આવી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અન્ય (વધુ અસરકારક) પદ્ધતિઓ અને તકનીકો જાણવી જોઈએ. ખાસ કરીને, પ્રમેય લાગુ કરવામાં કુશળતા હોવી જરૂરી છે, આ લેખમાં આપેલ છે.
ઉદાહરણ 1.અસમાનતા ઉકેલો
. (4)
ઉકેલ.અમે "શાસ્ત્રીય" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતા (4) ઉકેલીશું - મોડ્યુલો જાહેર કરવાની પદ્ધતિ. આ હેતુ માટે, અમે સંખ્યા અક્ષને વિભાજીત કરીએ છીએબિંદુઓ અને અંતરાલોમાં અને ત્રણ કેસોને ધ્યાનમાં લો.
1. જો , તો , , , અને અસમાનતા (4) સ્વરૂપ લે છેઅથવા
કેસ અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યો હોવાથી, તે અસમાનતાનો ઉકેલ છે (4).
2. જો, પછી અસમાનતામાંથી (4) આપણે મેળવીએ છીએઅથવા . અંતરાલો ના આંતરછેદ થીઅને ખાલી છે, પછી વિચારણા હેઠળના ઉકેલોના અંતરાલ પર કોઈ અસમાનતા નથી (4).
3. જો, પછી અસમાનતા (4) સ્વરૂપ લે છેઅથવા તે સ્પષ્ટ છે કે અસમાનતાનો ઉકેલ પણ છે (4).
જવાબ: , .
ઉદાહરણ 2.અસમાનતા ઉકેલો.
ઉકેલ.ચાલો માની લઈએ. કારણ કે, પછી આપેલ અસમાનતા સ્વરૂપ લે છેઅથવા ત્યારથી અને અહીંથી તે અનુસરે છેઅથવા
જો કે, તેથી અથવા.
ઉદાહરણ 3.અસમાનતા ઉકેલો
. (5)
ઉકેલ.કારણ કે, તો અસમાનતા (5) અસમાનતાની સમકક્ષ છેઅથવા અહીંથી, પ્રમેય 4 મુજબ, અમારી પાસે અસમાનતાઓનો સમૂહ છેઅને .
જવાબ: , .
ઉદાહરણ 4.અસમાનતા ઉકેલો
. (6)
ઉકેલ.ચાલો સૂચિત કરીએ. પછી અસમાનતા (6) માંથી આપણે અસમાનતા મેળવીએ છીએ, અથવા.
અહીંથી, અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે. કારણ કે, તો પછી અહીં આપણી પાસે અસમાનતાની સિસ્ટમ છે
સિસ્ટમ (7) ની પ્રથમ અસમાનતાનો ઉકેલ એ બે અંતરાલોનું જોડાણ છેઅને, અને બીજી અસમાનતાનો ઉકેલ એ બેવડી અસમાનતા છે. તે આના પરથી અનુસરે છે, કે અસમાનતાની સિસ્ટમનો ઉકેલ (7) એ બે અંતરાલોનું જોડાણ છેઅને .
જવાબ:,
ઉદાહરણ 5.અસમાનતા ઉકેલો
. (8)
ઉકેલ. ચાલો અસમાનતા (8) ને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરીએ:
અથવા .
અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે અસમાનતાનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ (8).
જવાબ:.
નોંધ. જો આપણે પ્રમેય 5 ની શરતોમાં મૂકીએ, તો આપણને મળે છે.
ઉદાહરણ 6.અસમાનતા ઉકેલો
. (9)
ઉકેલ. અસમાનતા (9) થી તે અનુસરે છે. ચાલો અસમાનતા (9) ને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરીએ:
અથવા
ત્યારથી, પછી અથવા.
જવાબ:.
ઉદાહરણ 7.અસમાનતા ઉકેલો
. (10)
ઉકેલ.ત્યારથી અને , પછી અથવા .
આ સંદર્ભે અને અસમાનતા (10) સ્વરૂપ લે છે
અથવા
. (11)
તે તેને અનુસરે છે અથવા. ત્યારથી, પછી અસમાનતા (11) પણ સૂચિત કરે છે અથવા.
જવાબ:.
નોંધ. જો આપણે અસમાનતાની ડાબી બાજુએ પ્રમેય 1 લાગુ કરીએ (10), પછી આપણને મળે છે . આમાંથી અને અસમાનતા (10) તે અનુસરે છે, શું અથવા . કારણ કે, પછી અસમાનતા (10) સ્વરૂપ લે છેઅથવા
ઉદાહરણ 8.અસમાનતા ઉકેલો
. (12)
ઉકેલ.ત્યારથી અને અસમાનતામાંથી (12) તે અનુસરે છેઅથવા જો કે, તેથી અથવા. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ અથવા.
જવાબ:.
ઉદાહરણ 9.અસમાનતા ઉકેલો
. (13)
ઉકેલ.પ્રમેય 7 મુજબ, અસમાનતાનો ઉકેલ (13) અથવા છે.
હવે રહેવા દો. તે કિસ્સામાં અને અસમાનતા (13) સ્વરૂપ લે છેઅથવા
જો તમે અંતરાલો ભેગા કરો છોઅને, પછી આપણે ફોર્મની અસમાનતા (13) નો ઉકેલ મેળવીએ છીએ.
ઉદાહરણ 10.અસમાનતા ઉકેલો
. (14)
ઉકેલ.ચાલો અસમાનતા (14) ને સમકક્ષ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ: જો આપણે આ અસમાનતાની ડાબી બાજુએ પ્રમેય 1 લાગુ કરીએ, તો આપણે અસમાનતા મેળવીએ છીએ.
અહીંથી અને પ્રમેય 1 માંથી તે અનુસરે છે, તે અસમાનતા (14) કોઈપણ મૂલ્યો માટે સંતુષ્ટ છે.
જવાબ: કોઈપણ નંબર.
ઉદાહરણ 11.અસમાનતા ઉકેલો
. (15)
ઉકેલ. અસમાનતાની ડાબી બાજુએ પ્રમેય 1 લાગુ કરવું (15), અમને મળે છે . આ અને અસમાનતા (15) સમીકરણ આપે છે, જે ફોર્મ ધરાવે છે.
પ્રમેય 3 મુજબ, સમીકરણ અસમાનતા સમાન. અહીંથી આપણને મળે છે.
ઉદાહરણ 12.અસમાનતા ઉકેલો
. (16)
ઉકેલ. અસમાનતા (16) થી, પ્રમેય 4 મુજબ, આપણે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
જ્યારે અસમાનતાનું નિરાકરણચાલો પ્રમેય 6 નો ઉપયોગ કરીએ અને અસમાનતાઓની સિસ્ટમ મેળવીએજેમાંથી તે અનુસરે છે.
અસમાનતા ધ્યાનમાં લો. પ્રમેય 7 મુજબ, અમે અસમાનતાનો સમૂહ મેળવીએ છીએઅને . બીજી વસ્તી અસમાનતા કોઈપણ વાસ્તવિક માટે માન્ય છે.
આથી, અસમાનતાનો ઉકેલ (16) છે.
ઉદાહરણ 13.અસમાનતા ઉકેલો
. (17)
ઉકેલ.પ્રમેય 1 મુજબ, આપણે લખી શકીએ છીએ
(18)
અસમાનતા (17) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે બંને અસમાનતાઓ (18) સમાનતામાં ફેરવાય છે, એટલે કે. સમીકરણોની સિસ્ટમ છે
પ્રમેય 3 દ્વારા, સમીકરણોની આ સિસ્ટમ અસમાનતાઓની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે
અથવા
ઉદાહરણ 14.અસમાનતા ઉકેલો
. (19)
ઉકેલ.ત્યારથી. ચાલો અસમાનતાની બંને બાજુઓ (19) અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ, જે કોઈપણ મૂલ્યો માટે માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. પછી આપણે એક અસમાનતા મેળવીએ છીએ જે અસમાનતા (19) ની સમકક્ષ છે
અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ અથવા ક્યાંથી. ત્યારથી અને પછી અસમાનતાનો ઉકેલ (19) છેઅને .
જવાબ: , .
મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓના વધુ ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ માટે, અમે પાઠ્યપુસ્તકો તરફ વળવાની ભલામણ કરીએ છીએ., ભલામણ કરેલ સાહિત્યની યાદીમાં આપેલ છે.
1. કોલેજો / એડ માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. એમ.આઈ. સ્કેનવી. - એમ.: શાંતિ અને શિક્ષણ, 2013. - 608 પૃષ્ઠ.
2. સુપ્રુન વી.પી. ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિત: અસમાનતાઓને ઉકેલવા અને સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ. - એમ.: લેનાન્ડ / યુઆરએસએસ, 2018. – 264 પૃષ્ઠ.
3. સુપ્રુન વી.પી. ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિત: સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે બિન-માનક પદ્ધતિઓ. - એમ.: સીડી "લિબ્રોકોમ" / યુઆરએસએસ, 2017. – 296 પૃષ્ઠ.
હજુ પણ પ્રશ્નો છે?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
મોડ્યુલો સાથેની અસમાનતાઓને જાહેર કરવા માટેની પદ્ધતિઓ (નિયમો) સબમોડ્યુલર ફંક્શન્સના સતત સંકેતના અંતરાલોનો ઉપયોગ કરીને, મોડ્યુલોના ક્રમિક ડિસ્ક્લોઝરનો સમાવેશ કરે છે. અંતિમ સંસ્કરણમાં, ઘણી અસમાનતાઓ પ્રાપ્ત થાય છે જેમાંથી અંતરાલો અથવા અંતરાલો જોવા મળે છે જે સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે.
ચાલો વ્યવહારમાં સામાન્ય ઉદાહરણો ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ.
મોડ્યુલી સાથે રેખીય અસમાનતા
રેખીય દ્વારા અમારો અર્થ સમીકરણો છે જેમાં ચલ સમીકરણમાં રેખીય રીતે પ્રવેશે છે.
ઉદાહરણ 1. અસમાનતાનો ઉકેલ શોધો
ઉકેલ:
સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે અનુસરે છે કે મોડ્યુલો x=-1 અને x=-2 પર શૂન્ય તરફ વળે છે.
આ બિંદુઓ સંખ્યા રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે
આ દરેક અંતરાલોમાં આપણે આપેલ અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, સૌ પ્રથમ, અમે સબમોડ્યુલર ફંક્શન્સના સતત ચિહ્નવાળા વિસ્તારોના ગ્રાફિકલ રેખાંકનો દોરીએ છીએ. તેઓ દરેક કાર્યોના ચિહ્નો સાથે વિસ્તારો તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે 
અથવા તમામ કાર્યોના ચિહ્નો સાથે અંતરાલો.
પ્રથમ અંતરાલ પર અમે મોડ્યુલો વિસ્તૃત કરીએ છીએ
અમે બંને બાજુઓને બાદબાકી એક વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને અસમાનતાની નિશાની વિરુદ્ધમાં બદલાશે. જો આ નિયમ તમારા માટે આદત પાડવો મુશ્કેલ હોય, તો તમે માઈનસથી છુટકારો મેળવવા માટે ચિહ્નની પાછળના દરેક ભાગને ખસેડી શકો છો. અંતે તમને પ્રાપ્ત થશે
સમૂહ x>-3 નું ક્ષેત્રફળ કે જેના પર સમીકરણો ઉકેલાયા હતા તે અંતરાલ (-3;-2) હશે. જેમને ઉકેલો શોધવાનું સરળ લાગે છે, તમે આ વિસ્તારોના આંતરછેદને ગ્રાફિકલી ડ્રો કરી શકો છો
વિસ્તારોનો સામાન્ય આંતરછેદ ઉકેલ હશે. જો સખત અસમાન હોય, તો કિનારીઓ શામેલ નથી. જો કડક ન હોય તો, અવેજી દ્વારા તપાસો. 
બીજા અંતરાલ પર આપણને મળે છે
ક્રોસ સેક્શન અંતરાલ (-2;-5/3) હશે.
ગ્રાફિકલી સોલ્યુશન જેવો દેખાશે
ત્રીજા અંતરાલ પર આપણને મળે છે
આ સ્થિતિ ઇચ્છિત પ્રદેશમાં ઉકેલો પ્રદાન કરતી નથી.
બિંદુ x=-2 પર બે ઉકેલો (-3;-2) અને (-2;-5/3) સરહદ મળ્યા હોવાથી, અમે તેને પણ તપાસીએ છીએ.
આમ બિંદુ x=-2 એ ઉકેલ છે. આને ધ્યાનમાં લેતા સામાન્ય ઉકેલ (-3;5/3) જેવો દેખાશે.
ઉકેલ:
સબમોડ્યુલર ફંક્શનના શૂન્ય પોઇન્ટ્સ x=2, x=3, x=4 હશે.
આ બિંદુઓ કરતાં ઓછી દલીલ મૂલ્યો માટે, સબમોડ્યુલર કાર્યો નકારાત્મક છે, અને મોટા મૂલ્યો માટે, તે હકારાત્મક છે.
બિંદુઓ વાસ્તવિક ધરીને ચાર અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે. અમે સતત ચિહ્નના અંતરાલો અનુસાર મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરીએ છીએ અને અસમાનતાઓને હલ કરીએ છીએ.
1) પ્રથમ અંતરાલમાં, બધા સબમોડ્યુલર કાર્યો નકારાત્મક છે, તેથી જ્યારે મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે સાઇનને વિરુદ્ધમાં બદલીએ છીએ.
માનવામાં આવેલ અંતરાલ સાથે મળી આવેલ x મૂલ્યોનું આંતરછેદ બિંદુઓનો સમૂહ હશે
2) પોઈન્ટ x=2 અને x=3 વચ્ચેના અંતરાલ પર, પ્રથમ સબમોડ્યુલર ફંક્શન ધન છે, બીજું અને ત્રીજું ઋણ છે. મોડ્યુલોનું વિસ્તરણ, આપણને મળે છે
એક અસમાનતા કે જે અંતરાલ સાથે છેદાય છે જેના પર આપણે ઉકેલી રહ્યા છીએ, એક ઉકેલ આપે છે – x=3.
3) પોઈન્ટ x=3 અને x=4 વચ્ચેના અંતરાલ પર, પ્રથમ અને બીજા સબમોડ્યુલર ફંક્શન ધન છે, અને ત્રીજું નકારાત્મક છે. તેના આધારે આપણને મળે છે
આ સ્થિતિ દર્શાવે છે કે સમગ્ર અંતરાલ મોડ્યુલી સાથેની અસમાનતાને સંતોષશે.
4) x>4 ના મૂલ્યો માટે તમામ કાર્યોમાં સકારાત્મક ચિહ્નો છે. મોડ્યુલોનું વિસ્તરણ કરતી વખતે, અમે તેમનું ચિહ્ન બદલતા નથી.
અંતરાલ સાથે આંતરછેદ પર જોવા મળેલી સ્થિતિ નીચેના ઉકેલોનો સમૂહ આપે છે 
અસમાનતા તમામ અંતરાલો પર ઉકેલાઈ ગઈ હોવાથી, તે x ના તમામ મળેલા મૂલ્યોનું સામાન્ય મૂલ્ય શોધવાનું બાકી છે.
ઉકેલ બે અંતરાલો હશે
આ ઉદાહરણને સમાપ્ત કરે છે.
ઉકેલ:
ઉદાહરણ 3. અસમાનતાનો ઉકેલ શોધો
||x-1|-5|>3-2x
અમારી પાસે મોડ્યુલસમાંથી મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતા છે. આવી અસમાનતાઓ જાહેર થાય છે કારણ કે મોડ્યુલો નેસ્ટેડ કરવામાં આવે છે, જે ઊંડા સ્થિત હોય તેનાથી શરૂ થાય છે. 
સબમોડ્યુલર ફંક્શન x-1 x=1 પર શૂન્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે. 1 થી આગળના નાના મૂલ્યો માટે તે x>1 માટે નકારાત્મક અને હકારાત્મક છે. આના આધારે, અમે આંતરિક મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ છીએ અને દરેક અંતરાલ પર અસમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.<-4:
પ્રથમ, માઇનસ અનંતથી એક સુધીના અંતરાલને ધ્યાનમાં લો
સબમોડ્યુલર ફંક્શન x=-4 પર શૂન્ય છે. નાના મૂલ્યો પર તે સકારાત્મક છે, મોટા મૂલ્યો પર તે નકારાત્મક છે. ચાલો x માટે મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ 
અમે જે વિસ્તાર પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ તેના આંતરછેદ પર, અમે ઉકેલોનો સમૂહ મેળવીએ છીએ
આગળનું પગલું મોડ્યુલને અંતરાલ પર વિસ્તૃત કરવાનું છે (-4;1)
મોડ્યુલના વિસ્તરણ વિસ્તારને ધ્યાનમાં લેતા, અમે ઉકેલ અંતરાલ મેળવીએ છીએ
યાદ રાખો: જો મોડ્યુલો સાથેની આવી અનિયમિતતાઓમાં તમને એક સામાન્ય બિંદુની સરહદે બે અંતરાલો મળે છે, તો પછી, નિયમ તરીકે, આ પણ એક ઉકેલ છે.
આ કરવા માટે, તમારે ફક્ત તપાસ કરવાની જરૂર છે.
આ કિસ્સામાં, આપણે બિંદુ x=-4 ને બદલીએ છીએ.
તો x=-4 એ ઉકેલ છે.<6.
ચાલો x>1 માટે આંતરિક મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ
અંતરાલ (1;6) સાથેના વિભાગમાં આ સ્થિતિ ઉકેલોનો ખાલી સેટ આપે છે.
x>6 માટે આપણે અસમાનતા મેળવીએ છીએ
પણ ઉકેલવાથી અમને ખાલી સેટ મળ્યો.
ઉપરોક્ત તમામ બાબતોને ધ્યાનમાં લેતા, મોડ્યુલો સાથેની અસમાનતાનો એકમાત્ર ઉકેલ નીચેનો અંતરાલ હશે.
ચતુર્ભુજ સમીકરણો ધરાવતી મોડ્યુલી સાથેની અસમાનતા
ઉદાહરણ 4. અસમાનતાનો ઉકેલ શોધો
|x^2+3x|>=2-x^2 
ઉકેલ:
સબમોડ્યુલર ફંક્શન પોઈન્ટ x=0, x=-3 પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. 
માઈનસ વનનું સરળ અવેજી
અમે સ્થાપિત કરીએ છીએ કે તે અંતરાલ (-3;0) માં શૂન્ય કરતાં ઓછું છે અને તેનાથી આગળ સકારાત્મક છે. 
ચાલો મોડ્યુલને એવા વિસ્તારોમાં વિસ્તારીએ જ્યાં સબમોડ્યુલર ફંક્શન ધન છે 
તે વિસ્તારો નક્કી કરવા માટે રહે છે જ્યાં ચોરસ કાર્ય હકારાત્મક છે. આ કરવા માટે, અમે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ નક્કી કરીએ છીએ 
સગવડ માટે, અમે બિંદુ x=0 ને બદલીએ છીએ, જે અંતરાલ (-2;1/2) થી સંબંધિત છે.
આ અંતરાલમાં ફંક્શન નેગેટિવ છે, જેનો અર્થ છે કે સોલ્યુશન નીચેના સેટ્સ x હશે
અહીં સોલ્યુશનવાળા વિસ્તારોની કિનારીઓ કૌંસ દ્વારા સૂચવવામાં આવી છે, આ નીચેના નિયમને ધ્યાનમાં રાખીને ઇરાદાપૂર્વક કરવામાં આવ્યું હતું.
યાદ રાખો: જો મોડ્યુલી સાથેની અસમાનતા, અથવા સાદી અસમાનતા કડક હોય, તો મળેલા વિસ્તારોની કિનારીઓ ઉકેલો નથી, પરંતુ જો અસમાનતાઓ કડક () ન હોય તો, કિનારીઓ ઉકેલો છે (ચોરસ કૌંસ દ્વારા દર્શાવેલ). 
આ નિયમ ઘણા શિક્ષકો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાય છે: જો સખત અસમાનતા આપવામાં આવે છે, અને ગણતરી દરમિયાન તમે ઉકેલમાં ચોરસ કૌંસ ([,]) લખો છો, તો તેઓ આપમેળે આને ખોટા જવાબ તરીકે ગણશે. ઉપરાંત, પરીક્ષણ કરતી વખતે, જો મોડ્યુલો સાથે બિન-કડક અસમાનતા આપવામાં આવે છે, તો પછી ઉકેલો વચ્ચે ચોરસ કૌંસવાળા વિસ્તારો જુઓ.
અંતરાલ (-3;0) પર, મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીને, આપણે ફંક્શનની નિશાની વિરુદ્ધ એકમાં બદલીએ છીએ.
અસમાનતાની જાહેરાતના ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લેતા, ઉકેલનું સ્વરૂપ હશે
અગાઉના વિસ્તાર સાથે આ બે અર્ધ-અંતરો આપશે 
ઉકેલ:
ઉદાહરણ 5. અસમાનતાનો ઉકેલ શોધો<3.
9x^2-|x-3|>=9x-2
બિન-કડક અસમાનતા આપવામાં આવે છે જેનું સબમોડ્યુલર કાર્ય બિંદુ x=3 પર શૂન્ય જેટલું છે. 
નાના મૂલ્યો માટે તે નકારાત્મક છે, મોટા મૂલ્યો માટે તે હકારાત્મક છે. અંતરાલ x પર મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરો 
