સતત રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. એક સતત રેન્ડમ ચલ X ને વિતરણ કાર્ય f(x) દ્વારા સ્પષ્ટ કરવા દો

એક સતત રેન્ડમ ચલ X ને વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ થવા દો f(x). ચાલો ધારીએ કે રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો સેગમેન્ટના છે [ a,b].

વ્યાખ્યા.ગાણિતિક અપેક્ષાસતત રેન્ડમ ચલ X, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે, તેને ચોક્કસ અભિન્ન કહેવામાં આવે છે

જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોને સમગ્ર આંકડાકીય ધરી પર ગણવામાં આવે, તો ગાણિતિક અપેક્ષા સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

આ કિસ્સામાં, અલબત્ત, એવું માનવામાં આવે છે કે અયોગ્ય અભિન્ન કન્વર્જ થાય છે.

વ્યાખ્યા.ભિન્નતાસતત રેન્ડમ ચલ એ તેના વિચલનના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલના ભિન્નતા સાથે સામ્યતા દ્વારા, વ્યવહારિક રીતે ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

વ્યાખ્યા.પ્રમાણભૂત વિચલનવિચલનનું વર્ગમૂળ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા.ફેશનએક અલગ રેન્ડમ ચલના M 0 ને તેની સૌથી સંભવિત કિંમત કહેવામાં આવે છે. સતત રેન્ડમ ચલ માટે, મોડ એ રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય છે કે જેના પર વિતરણ ઘનતા મહત્તમ હોય છે.

જો અલગ રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ બહુકોણ અથવા સતત રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ વળાંક બે અથવા વધુ મેક્સિમા ધરાવે છે, તો આવા વિતરણને કહેવામાં આવે છે બિમોડલઅથવા મલ્ટિમોડલ. જો વિતરણમાં લઘુત્તમ હોય પરંતુ મહત્તમ ન હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે એન્ટિમોડલ.

વ્યાખ્યા.મધ્યકરેન્ડમ ચલ X નું M D એ તેનું મૂલ્ય છે જેની તુલનામાં તે રેન્ડમ ચલનું મોટું કે નાનું મૂલ્ય મેળવવાની સમાન સંભાવના છે.

ભૌમિતિક રીતે, મધ્યબિંદુ એ બિંદુનો એબ્સીસા છે કે જેના પર વિતરણ વળાંક દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તાર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે. નોંધ કરો કે જો વિતરણ યુનિમોડલ છે, તો મોડ અને મધ્ય ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે મેળ ખાય છે.

વ્યાખ્યા.શરૂઆતની ક્ષણઓર્ડર kરેન્ડમ ચલ X એ મૂલ્ય X ની ગાણિતિક અપેક્ષા છે k.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે: .

.

પ્રથમ ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે.

વ્યાખ્યા.કેન્દ્રીય ક્ષણઓર્ડર kરેન્ડમ ચલ X એ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા છે

એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે: .

સતત રેન્ડમ ચલ માટે: .

પ્રથમ ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ હંમેશા શૂન્ય હોય છે, અને બીજી ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ વિખેરવાની સમાન હોય છે. ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રિય ક્ષણ વિતરણની અસમપ્રમાણતાને દર્શાવે છે.

વ્યાખ્યા. ત્રીજા ક્રમના કેન્દ્રિય ક્ષણનો પ્રમાણભૂત વિચલન અને ત્રીજી શક્તિના ગુણોત્તરને કહેવામાં આવે છે અસમપ્રમાણતા ગુણાંક.

વ્યાખ્યા. વિતરણની ટોચ અને સપાટતા દર્શાવવા માટે, એક જથ્થો કહેવાય છે અધિક.

ગણવામાં આવતા જથ્થાઓ ઉપરાંત, કહેવાતા નિરપેક્ષ ક્ષણોનો પણ ઉપયોગ થાય છે:

સંપૂર્ણ પ્રારંભિક ક્ષણ: . સંપૂર્ણ કેન્દ્રિય બિંદુ: . પ્રથમ ક્રમની સંપૂર્ણ કેન્દ્રિય ક્ષણ કહેવામાં આવે છે અંકગણિત સરેરાશ વિચલન.

ઉદાહરણ.ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણ માટે, રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા નક્કી કરો.

ઉદાહરણ.એક ભઠ્ઠીમાં 6 સફેદ અને 4 કાળા દડા હોય છે. એક બોલને તેમાંથી સળંગ પાંચ વખત દૂર કરવામાં આવે છે, અને દરેક વખતે દૂર કરાયેલ બોલ પાછો ફરે છે અને દડાને મિશ્રિત કરવામાં આવે છે. એક્સટ્રેક્ટેડ સફેદ દડાઓની સંખ્યાને રેન્ડમ ચલ X તરીકે લઈને, આ મૂલ્ય માટે વિતરણ કાયદો બનાવો, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ નક્કી કરો.

કારણ કે દરેક પ્રયોગમાંના દડા પાછા ફર્યા અને મિશ્ર કરવામાં આવે છે, પછી પરીક્ષણોને સ્વતંત્ર ગણી શકાય (અગાઉના પ્રયોગનું પરિણામ બીજા પ્રયોગમાં ઘટના બનવાની અથવા ઘટના ન બનવાની સંભાવનાને અસર કરતું નથી).

આમ, દરેક પ્રયોગમાં સફેદ બોલ દેખાવાની સંભાવના સતત અને સમાન હોય છે

આમ, સતત પાંચ અજમાયશના પરિણામે, સફેદ દડો બિલકુલ દેખાતો નથી, અથવા એક વાર, બે વાર, ત્રણ, ચાર કે પાંચ વખત દેખાઈ શકે છે. વિતરણ કાયદો બનાવવા માટે, તમારે આ દરેક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધવાની જરૂર છે.

1) સફેદ બોલ બિલકુલ દેખાતો ન હતો:

2) સફેદ બોલ એકવાર દેખાયો:

3) સફેદ બોલ બે વાર દેખાશે: .

પ્રકરણ 6. સતત રેન્ડમ ચલો.

§ 1. સતત રેન્ડમ ચલની ઘનતા અને વિતરણ કાર્ય.

સતત રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો સમૂહ અગણિત છે અને સામાન્ય રીતે અમુક મર્યાદિત અથવા અનંત અંતરાલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

સંભવિત જગ્યા (W, S, P) માં વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ ચલ x(w) કહેવાય છે. સતત(એકદમ સતત) W, જો ત્યાં બિન-નકારાત્મક કાર્ય હોય કે જે કોઈપણ x માટે વિતરણ કાર્ય Fx(x) ને અભિન્ન તરીકે રજૂ કરી શકાય

કાર્યને કાર્ય કહેવામાં આવે છે સંભાવના વિતરણ ઘનતા.

વ્યાખ્યા વિતરણ ઘનતા કાર્યના ગુણધર્મો સૂચવે છે:

1..gif" width="97" height="51">

3. સાતત્યના બિંદુઓ પર, વિતરણ ઘનતા વિતરણ કાર્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે: .

4. વિતરણ ઘનતા રેન્ડમ ચલના વિતરણના નિયમને નિર્ધારિત કરે છે, કારણ કે તે અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના નક્કી કરે છે:

5. સતત રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના શૂન્ય છે: . તેથી, નીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે:

વિતરણ ઘનતા કાર્યનો ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે વિતરણ વળાંક, અને વિતરણ વળાંક અને x-અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર એકતા સમાન છે. પછી, ભૌમિતિક રીતે, બિંદુ x0 પર વિતરણ કાર્ય Fx(x) નું મૂલ્ય એ વિતરણ વળાંક અને x-અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર છે અને બિંદુ x0 ની ડાબી બાજુએ આવેલો છે.

કાર્ય 1.સતત રેન્ડમ ચલના ઘનતા કાર્યનું સ્વરૂપ છે:

સ્થિર C નક્કી કરો, વિતરણ કાર્ય Fx(x) બનાવો અને સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.અમારી પાસે જે સ્થિતિ છે તેમાંથી સ્થિર C જોવા મળે છે:

જ્યાંથી C=3/8.

વિતરણ કાર્ય Fx(x) બનાવવા માટે, નોંધ કરો કે અંતરાલ દલીલ x (સંખ્યાત્મક અક્ષ) ના મૂલ્યોની શ્રેણીને ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

કારણ કે અર્ધ-અક્ષ પર x ઘનતા શૂન્ય છે. બીજા કિસ્સામાં

છેલ્લે, છેલ્લા કિસ્સામાં, જ્યારે x>2,

કારણ કે ઘનતા અર્ધ-અક્ષ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી, વિતરણ કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે

સંભાવના ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ. આમ,

§ 2. સતત રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

અપેક્ષાસતત વિતરિત રેન્ડમ ચલો માટે ફોર્મ્યુલા https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,

જો જમણી બાજુનું અવિભાજ્ય સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય.

વિખેરી નાખવું x ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે , અને એ પણ, સ્વતંત્ર કેસની જેમ, ફોર્મ્યુલા https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> અનુસાર.

અલગ રેન્ડમ ચલ માટે પ્રકરણ 5 માં આપેલ ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના તમામ ગુણધર્મો સતત રેન્ડમ ચલો માટે પણ માન્ય છે.

સમસ્યા 2. સમસ્યા 1 માંથી રેન્ડમ ચલ x માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો .

ઉકેલ.

અને તેનો અર્થ છે

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

સમાન વિતરણ ઘનતા ગ્રાફ માટે, ફિગ જુઓ. .

ફિગ.6.2. વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ ઘનતા. સમાન કાયદો

સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય Fx(x) બરાબર છે

Fx(x)=

અપેક્ષા અને ભિન્નતા; .

ઘાતાંકીય (ઘાતાંકીય) વિતરણ.બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લેતા સતત રેન્ડમ ચલ x માં પરિમાણ l>0 સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ હોય છે જો રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા વિતરણ સમાન હોય

рx(x)=

ચોખા. 6.3. ઘાતાંકીય કાયદાનું વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ ઘનતા.

ઘાતાંકીય વિતરણનું વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> અને જો તેની વિતરણ ઘનતા બરાબર છે

.

દ્વારા પેરામીટર પેરામીટર્સ સાથે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત તમામ રેન્ડમ ચલોનો સમૂહ સૂચવે છે અને .

સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય બરાબર છે

.

ચોખા. 6.4. વિતરણ કાર્ય અને સામાન્ય વિતરણ ઘનતા

સામાન્ય વિતરણના પરિમાણો એ ગાણિતિક અપેક્ષા છે https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> સામાન્ય વિતરણ કહેવામાં આવે છે ધોરણ, અને આવા વિતરણોનો વર્ગ https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે,

અને વિતરણ કાર્ય

આવા અવિભાજ્યની વિશ્લેષણાત્મક રીતે ગણતરી કરી શકાતી નથી (તે "ચતુર્ભુજ" માં લેવામાં આવતી નથી), અને તેથી કાર્ય માટે કોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે. આ ફંક્શન પ્રકરણ 4 માં રજૂ કરાયેલ લેપ્લેસ ફંક્શન સાથે સંબંધિત છે

,

નીચેના સંબંધ દ્વારા . મનસ્વી પરિમાણ મૂલ્યોના કિસ્સામાં https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને લેપ્લેસ ફંક્શન સાથે સંબંધિત છે:

.

તેથી, સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના અંતરાલમાં આવતા સંભાવનાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

.

બિન-નકારાત્મક રેન્ડમ ચલ x એ લોગનોર્મલી વિતરિત કહેવાય છે જો તેનો લઘુગણક h=lnx સામાન્ય નિયમનું પાલન કરે છે. સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતા Mx= અને Dx= છે.

કાર્ય 3.રેન્ડમ ચલને https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> આપવા દો.

ઉકેલ.અહીં https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

લેપ્લેસ વિતરણફંક્શન fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> દ્વારા આપવામાં આવે છે અને કર્ટોસિસ gx=3 છે.

ફિગ.6.5. લેપ્લેસ વિતરણ ઘનતા કાર્ય.

રેન્ડમ ચલ x ઉપર વિતરિત થયેલ છે વેઇબુલનો કાયદો, જો તેનું વિતરણ ઘનતા કાર્ય https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> સમાન હોય

વેઇબુલ વિતરણ ઘણા તકનીકી ઉપકરણોના નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમયને નિયંત્રિત કરે છે. આ રૂપરેખાની સમસ્યાઓમાં, મહત્વની લાક્ષણિકતા એ છે કે ઉંમર t ના અભ્યાસ કરેલ ઘટકોનો નિષ્ફળતા દર (મૃત્યુ દર) l(t), સંબંધ l(t)= દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે. જો a=1, તો વેઈબુલ વિતરણ ઘાતાંકીય વિતરણમાં ફેરવાય છે, અને જો a=2 - કહેવાતા વિતરણમાં રેલે.

વેઇબુલ વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, જ્યાં Г(а) એ યુલર છે કાર્ય

લાગુ કરેલ આંકડાઓની વિવિધ સમસ્યાઓમાં, કહેવાતા "કાપાયેલા" વિતરણોનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કર સત્તાવાળાઓ તે વ્યક્તિઓની આવકના વિતરણમાં રસ ધરાવે છે જેમની વાર્ષિક આવક કર કાયદા દ્વારા સ્થાપિત ચોક્કસ થ્રેશોલ્ડ c0 કરતાં વધી જાય છે. આ વિતરણો લગભગ પેરેટો વિતરણ સાથે સુસંગત છે. પેરેટો વિતરણકાર્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> રેન્ડમ ચલ x અને મોનોટોનિક ડિફરન્સિએબલ ફંક્શન ..gif" width="200" height="51">

અહીં https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

કાર્ય 4.રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલની ઘનતા શોધો.

ઉકેલ.સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી તે તેને અનુસરે છે

આગળ, કાર્ય અંતરાલ પર મોનોટોન અને ડિફરન્સિબલ ફંક્શન છે અને તેમાં વ્યસ્ત ફંક્શન છે , જેના વ્યુત્પન્ન સમાન છે તેથી,

§ 5. સતત રેન્ડમ ચલોની જોડી

બે સતત રેન્ડમ ચલ x અને h આપવા દો. પછી જોડી (x, h) પ્લેન પર "રેન્ડમ" બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જોડી (x, h) કહેવાય છે રેન્ડમ વેક્ટરઅથવા દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ.

સંયુક્ત વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલ x અને h અને ફંક્શનને F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> કહેવામાં આવે છે. સંયુક્ત ઘનતારેન્ડમ ચલ x અને h ની સંભાવના વિતરણને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે જેમ કે .

સંયુક્ત વિતરણ ઘનતાની આ વ્યાખ્યાનો અર્થ નીચે મુજબ છે. "રેન્ડમ પોઈન્ટ" (x, h) પ્લેન પરના પ્રદેશમાં આવે તેવી સંભાવનાની ગણતરી ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિના જથ્થા તરીકે કરવામાં આવે છે - સપાટીથી બંધાયેલ "વળાકાર" સિલિન્ડર https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">

બે રેન્ડમ ચલોના સંયુક્ત વિતરણનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ દ્વિ-પરિમાણીય છે સેટ પર સમાન વિતરણએ. એક બાઉન્ડેડ સેટ M ને વિસ્તાર સાથે આપવામાં આવે છે તે જોડી (x, h) ના વિતરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે નીચેની સંયુક્ત ઘનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:

કાર્ય 5.દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર (x, h) ને ત્રિકોણની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત કરવા દો. અસમાનતા x>h ની સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.દર્શાવેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે (જુઓ ફિગ. નંબર?). દ્વિ-પરિમાણીય સમાન વિતરણની વ્યાખ્યાના આધારે, રેન્ડમ ચલોની સંયુક્ત ઘનતા x, h બરાબર છે

ઘટના સમૂહને અનુરૂપ છે પ્લેન પર, એટલે કે અડધા પ્લેનમાં. પછી સંભાવના

હાફ-પ્લેન B પર, સંયુક્ત ઘનતા સમૂહની બહાર શૂન્ય છે https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. આમ, અર્ધ-વિમાન B બે સેટમાં વહેંચાયેલું છે અને https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> અને , અને બીજો અવિભાજ્ય સમાન છે શૂન્ય, કારણ કે સંયુક્ત ઘનતા શૂન્યની બરાબર છે. તેથી જ

જો જોડી (x, h) માટે સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવે, તો x અને h બંને ઘટકોની ઘનતા કહેવામાં આવે છે. ખાનગી ઘનતાઅને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

ઘનતા рx(х), рh(у) સાથે સતત વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે, સ્વતંત્રતાનો અર્થ છે કે

કાર્ય 6.અગાઉની સમસ્યાની સ્થિતિમાં, રેન્ડમ વેક્ટર x અને h ના ઘટકો સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે નક્કી કરો?

ઉકેલ. ચાલો આંશિક ઘનતાની ગણતરી કરીએ અને . અમારી પાસે છે:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

દેખીતી રીતે, અમારા કિસ્સામાં https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> એ x અને h, અને j( ની સંયુક્ત ઘનતા છે. x, y) એ બે દલીલોનું કાર્ય છે, પછી

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

કાર્ય 7.અગાઉની સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં, ગણતરી કરો.

ઉકેલ.ઉપરોક્ત સૂત્ર અનુસાર અમારી પાસે છે:

.

ત્રિકોણ તરીકે રજૂ કરે છે

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. બે સતત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઘનતા

x અને h ને ઘનતા સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ રહેવા દો https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. રેન્ડમ ચલ x + ની ઘનતા h ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે ક્રાંતિ

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. સરવાળાની ઘનતાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. x અને h પરિમાણ સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવ્યા હોવાથી, તેમની ઘનતા સમાન છે

આથી,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

જો એક્સ<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">નકારાત્મક છે, અને તેથી. તેથી, જો https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

આમ અમને જવાબ મળ્યો:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> સામાન્ય રીતે પેરામીટર્સ 0 અને 1 સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલ x1 અને x2 સ્વતંત્ર છે અને સામાન્ય છે અનુક્રમે a1, અને a2 સાથેના વિતરણો સાબિત કરો કે x1 + x2 પાસે સામાન્ય વિતરણ છે x1, x2, ... xn વિતરિત અને સ્વતંત્ર છે અને સમાન વિતરણ ઘનતા ધરાવે છે.

.

વિતરણ કાર્ય અને મૂલ્યોના વિતરણની ઘનતા શોધો:

a) h1 = મિનિટ (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = મહત્તમ (x1,x2, ... xn)

રેન્ડમ ચલ x1, x2, ... xn સ્વતંત્ર છે અને અંતરાલ [a, b] પર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. જથ્થાના વિતરણના વિતરણ કાર્યો અને ઘનતા કાર્યો શોધો

x(1) = મિનિટ (x1,x2, ... xn) અને x(2)= મહત્તમ(x1, x2, ...xn).

સાબિત કરો કે Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

રેન્ડમ ચલ કોચીના કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે શોધો: a) ગુણાંક a; b) વિતરણ કાર્ય; c) અંતરાલમાં પડવાની સંભાવના (-1, 1). બતાવો કે x ની ગાણિતિક અપેક્ષા અસ્તિત્વમાં નથી. રેન્ડમ વેરીએબલ l (l>0) પેરામીટર સાથે લેપ્લેસના કાયદાને આધીન છે: ગુણાંક a શોધો; વિતરણ ઘનતા ગ્રાફ અને વિતરણ કાર્યોનું નિર્માણ કરો; Mx અને Dx શોધો; ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

વિતરણ ઘનતા માટે એક સૂત્ર લખો, Mx અને Dx શોધો.

કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્યો.

રેન્ડમ બિંદુ A નું ત્રિજ્યા R ના વર્તુળમાં સમાન વિતરણ છે. વર્તુળના કેન્દ્ર સુધીના બિંદુના અંતર r ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો. બતાવો કે મૂલ્ય r2 સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે.

રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:

સતત C, વિતરણ કાર્ય F(x) અને સંભાવનાની ગણતરી કરો રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:

સતત C, વિતરણ કાર્ય F(x) અને સંભાવનાની ગણતરી કરો રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:
અચળ C, વિતરણ કાર્ય F(x), , ભિન્નતા અને સંભાવનાની ગણતરી કરો એક રેન્ડમ ચલમાં વિતરણ કાર્ય છે

રેન્ડમ ચલ, ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને સંભાવનાની ઘનતાની ગણતરી કરો તપાસો કે કાર્ય =
રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય હોઈ શકે છે. આ જથ્થાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો: Mx અને Dx. રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. વિતરણ ઘનતા લખો. વિતરણ કાર્ય શોધો. સેગમેન્ટ અને સેગમેન્ટ પર આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના શોધો. વિતરણ ઘનતા x બરાબર છે

.

સતત c, વિતરણ ઘનતા h = અને સંભાવના શોધો

પી (0.25

કમ્પ્યુટરનો નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમય l = 0.05 (કલાક દીઠ નિષ્ફળતા) પેરામીટર સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તેની ઘનતા કાર્ય છે.

p(x) = .

ચોક્કસ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે 15 મિનિટ માટે મશીનની મુશ્કેલી-મુક્ત કામગીરી જરૂરી છે. જો કોઈ સમસ્યા હલ કરતી વખતે નિષ્ફળતા આવે છે, તો ઉકેલ પૂર્ણ થયા પછી જ ભૂલ શોધી કાઢવામાં આવે છે, અને સમસ્યા ફરીથી ઉકેલાઈ જાય છે. શોધો: a) સમસ્યાના ઉકેલ દરમિયાન એક પણ નિષ્ફળતા નહીં થાય તેવી સંભાવના; b) સરેરાશ સમય જેમાં સમસ્યા હલ થશે.

24 સે.મી. લાંબી સળિયાને બે ભાગમાં ભાંગી નાખવામાં આવે છે; અમે ધારીશું કે વિરામ બિંદુ સળિયાની સમગ્ર લંબાઈ સાથે સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે. મોટાભાગના સળિયાની સરેરાશ લંબાઈ કેટલી છે? 12 સે.મી.ની લંબાઇનો ટુકડો અવ્યવસ્થિત રીતે બે ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે. કટ બિંદુ સમાનરૂપે સેગમેન્ટની સમગ્ર લંબાઈ સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. સેગમેન્ટના નાના ભાગની સરેરાશ લંબાઈ કેટલી છે? રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા શોધો a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

બતાવો કે જો x પાસે સતત વિતરણ કાર્ય છે

F(x) = P(x

સેગમેન્ટ્સ અને અનુક્રમે સમાન વિતરણ કાયદા સાથે બે સ્વતંત્ર જથ્થા x અને h ના સરવાળાનું ઘનતા કાર્ય અને વિતરણ કાર્ય શોધો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે અને ઘનતા સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ ધરાવે છે . તેમના સરવાળાની વિતરણ ઘનતા શોધો. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ x અને h ના સરવાળાનું વિતરણ શોધો, જ્યાં x નું અંતરાલ પર સમાન વિતરણ છે, અને h પરિમાણ l સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ ધરાવે છે. પી શોધો , જો x પાસે હોય: a) a અને s2 પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ; b) પરિમાણ l સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ; c) સેગમેન્ટ [-1;1] પર સમાન વિતરણ. x, h નું સંયુક્ત વિતરણ સ્ક્વેર યુનિફોર્મ છે
K = (x, y): |x| +|y|£2). સંભાવના શોધો . શું x અને h સ્વતંત્ર છે? રેન્ડમ ચલોની જોડી x અને h ત્રિકોણ K= ની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. x અને h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. શું આ રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે? સંભાવના શોધો. રેન્ડમ ચલો x અને h સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે સેગમેન્ટ્સ અને [-1,1] પર વિતરિત છે. સંભાવના શોધો. દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (x, h) શિરોબિંદુઓ (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) સાથે સમાન રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. બિંદુ (1, -1) પર સંયુક્ત વિતરણ કાર્યનું મૂલ્ય શોધો. રેન્ડમ વેક્ટર (x, h) મૂળ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યા 3 ના વર્તુળની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા માટે અભિવ્યક્તિ લખો. આ રેન્ડમ ચલો નિર્ભર છે કે કેમ તે નક્કી કરો. સંભાવનાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલો x અને h ની જોડી સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે ટ્રેપેઝોઇડની અંદર બિંદુઓ (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). રેન્ડમ ચલોની આ જોડી માટે સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા અને ઘટકોની ઘનતા શોધો. શું x અને h નિર્ભર છે? રેન્ડમ જોડી (x, h) અર્ધવર્તુળની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. x અને h ની ઘનતા શોધો, તેમની અવલંબનના પ્રશ્નની તપાસ કરો. બે રેન્ડમ ચલોની સંયુક્ત ઘનતા x અને h બરાબર છે .
x, h ઘનતા શોધો. x અને h ની નિર્ભરતાના પ્રશ્નની તપાસ કરો. એક રેન્ડમ જોડી (x, h) સેટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. x અને h ની ઘનતા શોધો, તેમની અવલંબનના પ્રશ્નની તપાસ કરો. M(xh) શોધો. રેન્ડમ ચલ x અને h સ્વતંત્ર છે અને પરિમાણ શોધ સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે.

4. સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા

વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે એફ(x) . સોંપણીની આ પદ્ધતિ એકમાત્ર નથી. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ડેન્સિટી અથવા પ્રોબેબિલિટી ડેન્સિટી (કેટલીકવાર ડિફરન્સિયલ ફંક્શન તરીકે ઓળખાય છે) તરીકે ઓળખાતા અન્ય ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલનો પણ ઉલ્લેખ કરી શકાય છે.

વ્યાખ્યા 4.1: સતત રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા એક્સફંક્શનને કૉલ કરો f (x) - વિતરણ કાર્યનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન એફ(x) :

f ( x ) = એફ "( x ) .

આ વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે વિતરણ કાર્ય વિતરણ ઘનતાનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. નોંધ કરો કે ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ડેન્સિટી ડિસક્રીટ રેન્ડમ ચલના સંભવિત વિતરણનું વર્ણન કરવા માટે લાગુ પડતી નથી.

આપેલ અંતરાલમાં આવતા સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવના

વિતરણ ઘનતાને જાણીને, તમે સંભવિતતાની ગણતરી કરી શકો છો કે સતત રેન્ડમ ચલ આપેલ અંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે.

પ્રમેય: સંભાવના કે સતત રેન્ડમ ચલ X અંતરાલને લગતા મૂલ્યો લેશે (a, b), વિતરણ ઘનતાના ચોક્કસ અભિન્ન અંગની બરાબર છે, જેમાંથી શ્રેણીમાં લેવામાં આવે છેaથીb :

પુરાવો:અમે ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

પી(a ≤ એક્સb) = એફ(b) – એફ(a).

ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર મુજબ,

આમ,

.

કારણ કે પી(a ≤ એક્સ b)= પી(a એક્સ b) , પછી આપણે આખરે મેળવીએ છીએ

.

ભૌમિતિક રીતે, પ્રાપ્ત પરિણામ નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન કરી શકાય છે: સંભાવના કે સતત રેન્ડમ ચલ અંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે (a, b), અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રની બરાબરબળદ, વિતરણ વળાંકf(x) અને સીધાx = aઅનેx = b.

ટિપ્પણી:ખાસ કરીને, જો f(x) - કાર્ય સમ છે અને અંતરાલના છેડા મૂળની તુલનામાં સપ્રમાણ છે, પછી

.

ઉદાહરણ.રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા આપવામાં આવે છે એક્સ

પરીક્ષણના પરિણામે સંભાવના શોધો એક્સઅંતરાલ (0.5, 1) થી સંબંધિત મૂલ્યો લેશે.

ઉકેલ:જરૂરી સંભાવના

.

જાણીતા વિતરણ ઘનતામાંથી વિતરણ કાર્ય શોધવું

વિતરણ ઘનતા જાણવી f(x) , આપણે વિતરણ કાર્ય શોધી શકીએ છીએ એફ(x) સૂત્ર અનુસાર

.

ખરેખર, એફ(x) = પી(એક્સ x) = પી(-∞ એક્સ x) .

આથી,

.

આમ, વિતરણ ઘનતા જાણીને, તમે વિતરણ કાર્ય શોધી શકો છો. અલબત્ત, જાણીતા વિતરણ કાર્યમાંથી તમે વિતરણ ઘનતા શોધી શકો છો, એટલે કે:

f(x) = એફ"(x).

ઉદાહરણ.આપેલ વિતરણ ઘનતા માટે વિતરણ કાર્ય શોધો:

ઉકેલ:ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ

જો x ≤ a, તે f(x) = 0 , તેથી, એફ(x) = 0 . જો a, પછી f(x) = 1/(b-a),

તેથી,

.

જો x > b, તે

.

તેથી, જરૂરી વિતરણ કાર્ય

ટિપ્પણી:અમે સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય મેળવ્યું (યુનિફોર્મ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન જુઓ).

વિતરણ ઘનતાના ગુણધર્મો

મિલકત 1:વિતરણ ઘનતા એ બિન-નકારાત્મક કાર્ય છે:

f ( x ) ≥ 0 .

મિલકત 2:-∞ થી ∞ ની શ્રેણીમાં વિતરણ ઘનતાનું અયોગ્ય અભિન્ન એકતા સમાન છે:

.

ટિપ્પણી:વિતરણ ઘનતા ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે વિતરણ વળાંક.

ટિપ્પણી:સતત રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાને વિતરણ કાયદો પણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:

સતત પરિમાણ શોધો a.

ઉકેલ:વિતરણ ઘનતાએ શરતને સંતોષવી જોઈએ, તેથી અમે જરૂરી કરીશું કે સમાનતા સંતુષ્ટ થાય

.

અહીંથી
.

.

ચાલો અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધીએ:

ચાલો અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરીએ:

.

આમ, જરૂરી પરિમાણ

વિતરણ ઘનતાનો સંભવિત અર્થ એફ(x) દો એક્સ- સતત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય f(x) = એફ"(x) . વિતરણ ઘનતાની વ્યાખ્યા દ્વારા,

, અથવા એફ(xતફાવતએફ(x) +∆x) - એક્સતે સંભાવના નક્કી કરે છે (x, xઅંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે+∆х) (x, xઅંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે, આ અંતરાલની લંબાઈ સુધી (એટ ∆x→0) બિંદુ પર વિતરણ ઘનતાના મૂલ્યની બરાબર છે એક્સ.

તેથી કાર્ય f(x) દરેક બિંદુ માટે સંભાવના ઘનતા વિતરણ નક્કી કરે છે એક્સ. વિભેદક કેલ્ક્યુલસમાંથી તે જાણીતું છે કે ફંક્શનનો વધારો લગભગ ફંક્શનના વિભેદક સમાન છે, એટલે કે.

કારણ કે એફ"(x) = f(x) અને ડીએક્સ = ∆ x, તે એફ(x+∆ x) - એફ(x) ≈ f(x)∆ x.

આ સમાનતાનો સંભવિત અર્થ છે: સંભવિતતા કે રેન્ડમ ચલ અંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે (x, x+∆ x) બિંદુ x પર સંભાવના ઘનતાના ઉત્પાદન અને અંતરાલ ∆x ની લંબાઈની લગભગ સમાન છે.

ભૌમિતિક રીતે, આ પરિણામને નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન કરી શકાય છે: સંભવિતતા કે રેન્ડમ ચલ અંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે (x, x+∆ x) બેઝ ∆х અને ઊંચાઈ સાથે લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની લગભગ સમાન છેf(x).

5. અલગ રેન્ડમ ચલોનું લાક્ષણિક વિતરણ

5.1. બર્નૌલી વિતરણ

વ્યાખ્યા 5.1: રેન્ડમ ચલ એક્સ, બે મૂલ્યો લેવા 1 અને 0 સંભાવનાઓ સાથે ("સફળતા") પીઅને ("નિષ્ફળતા") q, કહેવાય છે બર્નોલીવસ્કાયા:

, જ્યાં k=0,1.

5.2. દ્વિપદી વિતરણ

તેને ઉત્પન્ન થવા દો n સ્વતંત્ર ટ્રાયલ, જેમાંની દરેક ઘટના એદેખાઈ શકે છે કે નહીં. તમામ અજમાયશમાં ઘટના બનવાની સંભાવના સતત અને સમાન છે પી(તેથી બિન-ઘટનાની સંભાવના q = 1 - પી).

રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લો એક્સ- ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એઆ પરીક્ષણોમાં. રેન્ડમ ચલ એક્સમૂલ્યો લે છે 0,1,2,… nબર્નૌલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ સંભાવનાઓ સાથે: , ક્યાં k = 0,1,2,… n.

વ્યાખ્યા 5.2: દ્વિપદીબર્નૌલીના સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત સંભાવના વિતરણ કહેવાય છે.

ઉદાહરણ.લક્ષ્ય પર ત્રણ શોટ ચલાવવામાં આવે છે, અને દરેક શોટને ફટકારવાની સંભાવના 0.8 છે. રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લેવું એક્સ- લક્ષ્ય પર હિટની સંખ્યા. તેની વિતરણ શ્રેણી શોધો.

ઉકેલ:રેન્ડમ ચલ એક્સમૂલ્યો લે છે 0,1,2,3 બર્નૌલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ સંભાવનાઓ સાથે, જ્યાં n = 3, પી = 0,8 (હિટની સંભાવના), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (ગુમ થવાની સંભાવના).

આમ, વિતરણ શ્રેણીમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

મોટા મૂલ્યો માટે બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો nતદ્દન મુશ્કેલ, તેથી, અનુરૂપ સંભાવનાઓની ગણતરી કરવા માટે, સ્થાનિક લેપ્લેસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો, જે તમને ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાને બરાબર શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. kદર એક વાર nપરીક્ષણો, જો પરીક્ષણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય.

સ્થાનિક લેપ્લેસ પ્રમેય: જો સંભાવના પીઘટનાની ઘટના એ
કે ઘટના એ માં દેખાશે nબરાબર પરીક્ષણો kવખત, લગભગ સમાન (વધુ સચોટ, વધુ n) કાર્ય મૂલ્ય
, જ્યાં
, .

નોંધ 1:કાર્ય મૂલ્યો ધરાવતા કોષ્ટકો
, પરિશિષ્ટ 1 માં આપેલ છે, અને
. કાર્ય પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણની ઘનતા છે (સામાન્ય વિતરણ જુઓ).

ઉદાહરણ:સંભાવના શોધો કે ઘટના એ બરાબર આવશે 80 દર એક વાર 400 ટ્રાયલ જો દરેક અજમાયશમાં આ ઘટના બનવાની સંભાવના સમાન હોય 0,2.

ઉકેલ:શરતે n = 400, k = 80, પી = 0,2 , q = 0,8 . ચાલો કાર્ય ડેટા દ્વારા નિર્ધારિત મૂલ્યની ગણતરી કરીએ x:
. પરિશિષ્ટ 1 માં કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધીએ છીએ
. પછી આવશ્યક સંભાવના હશે:

જો તમારે સંભાવનાની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય કે ઘટના એમાં દેખાશે nપરીક્ષણો ઓછા નથી k 1 એકવાર અને વધુ નહીં k 2 વખત, પછી તમારે લેપ્લેસના અભિન્ન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

લેપ્લેસનું અભિન્ન પ્રમેય: જો સંભાવના પીઘટનાની ઘટના એદરેક અજમાયશમાં સતત અને શૂન્ય અને એકથી અલગ હોય છે, પછી સંભાવના કે ઘટના એ માં દેખાશે nથી પરીક્ષણો k 1 થી k 2 વખત, લગભગ ચોક્કસ અભિન્ન સમાન

, જ્યાં
અને
.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંભાવના કે ઘટના એ માં દેખાશે nથી પરીક્ષણો k 1 થી k 2 વખત, લગભગ સમાન

જ્યાં
, અને .

નોંધ 2:કાર્ય
લેપ્લેસ ફંક્શન કહેવાય છે (સામાન્ય વિતરણ જુઓ). કાર્ય મૂલ્યો ધરાવતા કોષ્ટકો , પરિશિષ્ટ 2 માં આપેલ છે, અને
.

ઉદાહરણ:વચ્ચેની સંભાવના શોધો 400 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા ભાગો 70 થી 100 ભાગોમાંથી બિનપરીક્ષણ કરવામાં આવશે, જો તે ભાગ ગુણવત્તા નિયંત્રણ નિરીક્ષણમાં પાસ ન થયો હોય તેવી સંભાવના સમાન છે. 0,2.

ઉકેલ:શરતે n = 400, પી = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . ચાલો એકીકરણની નીચલી અને ઉપરની મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

;
.

આમ અમારી પાસે છે:

પરિશિષ્ટ 2 માં કોષ્ટકમાંથી આપણે તે શોધીએ છીએ
અને
. પછી આવશ્યક સંભાવના છે:

નોંધ3:સ્વતંત્ર અજમાયશની શ્રેણીમાં (જ્યારે n મોટું હોય છે, p નાનું હોય છે), પોઈસન સૂત્રનો ઉપયોગ ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે થાય છે બરાબર k વખત (જુઓ પોઈસન વિતરણ).

5.3. ઝેરનું વિતરણ

વ્યાખ્યા 5.3: એક અલગ રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે ઝેર,જો તેના વિતરણ કાયદાનું નીચેનું સ્વરૂપ છે:

, જ્યાં
અને
(સતત મૂલ્ય).

પોઈસન રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો:

સમયના સમયગાળા દરમિયાન સ્વચાલિત સ્ટેશન પર કૉલ્સની સંખ્યા ટી.

અમુક સમયગાળા દરમિયાન કેટલાક કિરણોત્સર્ગી પદાર્થના સડોના કણોની સંખ્યા ટી.

વર્કશોપમાં સમયાંતરે પહોંચતા ટીવીની સંખ્યા ટીમોટા શહેરમાં .

કારની સંખ્યા જે મોટા શહેરમાં આંતરછેદની સ્ટોપ લાઇન પર આવશે .

નોંધ 1:આ સંભાવનાઓની ગણતરી માટે વિશેષ કોષ્ટકો પરિશિષ્ટ 3 માં આપવામાં આવ્યા છે.

નોંધ 2:સ્વતંત્ર પરીક્ષણોની શ્રેણીમાં (જ્યારે nમહાન પીપર્યાપ્ત નથી) ઘટનાની બરાબર બનતી સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે kપોઈસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે:
, જ્યાં
, એટલે કે, ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યા સ્થિર રહે છે.

નોંધ3:જો ત્યાં કોઈ રેન્ડમ ચલ હોય જે પોઈસન કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો ત્યાં આવશ્યકપણે એક રેન્ડમ ચલ છે જે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે અને તેનાથી વિરુદ્ધ (જુઓ ઘાતાંકીય વિતરણ).

ઉદાહરણ.છોડને આધાર પર મોકલ્યો 5000 સારી ગુણવત્તાવાળા ઉત્પાદનો. સંક્રમણમાં ઉત્પાદનને નુકસાન થશે તેવી સંભાવના સમાન છે 0,0002 . બેઝ પર બરાબર ત્રણ બિનઉપયોગી ઉત્પાદનો આવશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ:શરતે n = 5000, પી = 0,0002, k = 3. અમે શોધીશું λ: λ = એન.પી.= 5000·0.0002 = 1.

પોઈસન સૂત્ર મુજબ, ઇચ્છિત સંભાવના આની બરાબર છે:

, રેન્ડમ ચલ ક્યાં છે એક્સ- બિનઉપયોગી ઉત્પાદનોની સંખ્યા.

5.4. ભૌમિતિક વિતરણ

સ્વતંત્ર પરીક્ષણો હાથ ધરવા દો, જેમાંના દરેકમાં ઘટના બનવાની સંભાવના છે એની સમાન પી(0 પૃષ્ઠ

q = 1 - પી. ઇવેન્ટ દેખાય કે તરત જ પડકારોનો અંત આવે છે એ. આમ, જો કોઈ ઘટના એમાં દેખાયા k-મી કસોટી, પછી પાછલી પરીક્ષામાં k – 1 તે પરીક્ષણોમાં દેખાતું નથી.

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એક્સડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ વેરીએબલ - ટ્રાયલની સંખ્યા કે જે ઘટનાની પ્રથમ ઘટના પહેલા હાથ ધરવાની જરૂર છે એ. દેખીતી રીતે, શક્ય કિંમતો એક્સકુદરતી સંખ્યાઓ છે x 1 = 1, x 2 = 2, ...

પહેલા દો k-1 પરીક્ષણ ઇવેન્ટ એઆવ્યા નથી, પરંતુ અંદર k-મી કસોટી આવી. આ "જટિલ ઘટના" ની સંભાવના, સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર, પી (એક્સ = k) = q k -1 પી.

વ્યાખ્યા 5.4: એક અલગ રેન્ડમ ચલ હોય છે ભૌમિતિક વિતરણ, જો તેના વિતરણ કાયદામાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

પી ( એક્સ = k ) = q k -1 પી , જ્યાં
.

નોંધ 1:માનતા k = 1,2,… , અમને પ્રથમ પદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ મળે છે પીઅને છેદ q (0q. આ કારણોસર, વિતરણને ભૌમિતિક કહેવામાં આવે છે.

નોંધ 2:પંક્તિ
કન્વર્જ અને તેનો સરવાળો એક સમાન છે. ખરેખર, શ્રેણીનો સરવાળો બરાબર છે
.

ઉદાહરણ.જ્યાં સુધી પહેલો હિટ ન થાય ત્યાં સુધી બંદૂકને નિશાન પર ફાયર કરવામાં આવે છે. લક્ષ્ય સુધી પહોંચવાની સંભાવના પી = 0,6 . ત્રીજા શોટ પર હિટ થવાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ:શરતે પી = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. આવશ્યક સંભાવના છે:

પી (એક્સ = 3) = 0,4 2 · 0.6 = 0.096.

5.5. હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ

ચાલો નીચેની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ. પાર્ટીને બહાર જવા દો એનઉપલબ્ધ ઉત્પાદનો એમધોરણ (એમએન). રેન્ડમલી બેચમાંથી લેવામાં આવે છે nઉત્પાદનો (દરેક ઉત્પાદન સમાન સંભાવના સાથે બહાર કાઢી શકાય છે), અને પસંદ કરેલ ઉત્પાદન આગલા ઉત્પાદનને પસંદ કરતા પહેલા બેચમાં પરત કરવામાં આવતું નથી (તેથી, બર્નૌલી સૂત્ર અહીં લાગુ પડતું નથી).

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એક્સરેન્ડમ ચલ - સંખ્યા mવચ્ચે પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનો nપસંદ કરેલ. પછી શક્ય કિંમતો એક્સહશે 0, 1, 2,…, મિનિટ ; ચાલો તેમને લેબલ કરીએ અને... દ્વારાસ્વતંત્ર ચલના મૂલ્યો (ફોન્ડ્સ) બટનનો ઉપયોગ કરે છે ( પ્રકરણ ...

એક અલગ રેન્ડમ ચલથી વિપરીત, સતત રેન્ડમ ચલોને તેના વિતરણ કાયદાના કોષ્ટકના રૂપમાં નિર્દિષ્ટ કરી શકાતા નથી કારણ કે તેના તમામ મૂલ્યોને ચોક્કસ ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરવું અને લખવું અશક્ય છે. સતત રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરવાની એક સંભવિત રીત એ છે કે વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરવો.

વ્યાખ્યા. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન એ એક કાર્ય છે જે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે રેન્ડમ ચલ એ મૂલ્ય લેશે જે સંખ્યા અક્ષ પર બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, એટલે કે.

કેટલીકવાર "વિતરણ કાર્ય" શબ્દને બદલે "ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શન" શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે.

વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો:

1. વિતરણ કાર્યની કિંમતો સેગમેન્ટની છે: 0F(x)1
2. F(x) એ બિન-ઘટતું કાર્ય છે, એટલે કે. F(x 2)F(x 1), જો x 2 >x 1

કોરોલરી 1. રેન્ડમ ચલ અંતરાલ (a,b) માં સમાયેલ મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના આ અંતરાલ પર વિતરણ કાર્યના વધારાની બરાબર છે:

P(aX

ઉદાહરણ 9. રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે:

સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલ (0;2) સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે: P(0

ઉકેલ: શરત દ્વારા અંતરાલ (0;2) પર હોવાથી, F(x)=x/4+1/4, પછી F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. તેથી P(0

કોરોલરી 2. સતત રેન્ડમ ચલ X એક ચોક્કસ મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના શૂન્ય છે.

કોરોલરી 3. જો રેન્ડમ ચલના શક્ય મૂલ્યો અંતરાલ (a;b) સાથે સંબંધિત હોય, તો: xa માટે 1) F(x)=0; 2) F(x)=1 અને xb.
નીચેના મર્યાદા સંબંધો માન્ય છે:

વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ સીધી રેખાઓ y=0, y=1 (પ્રથમ ગુણધર્મ) દ્વારા મર્યાદિત બેન્ડમાં સ્થિત છે. જેમ જેમ x અંતરાલ (a;b) માં વધે છે, જેમાં રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો હોય છે, આલેખ "ઉપર વધે છે". xa પર, ગ્રાફના ઓર્ડિનેટ્સ શૂન્યની બરાબર છે; xb પર ગ્રાફના ઓર્ડિનેટ્સ એક સમાન છે:

આકૃતિ-1

ઉદાહરણ 10. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કોષ્ટક દ્વારા એક અલગ રેન્ડમ ચલ X આપવામાં આવે છે:

વિતરણ કાર્ય શોધો અને તેને પ્લોટ કરો.
ઉકેલ: વિતરણ કાર્ય નીચે પ્રમાણે વિશ્લેષણાત્મક રીતે લખી શકાય છે:

આકૃતિ-2

વ્યાખ્યા: સતત રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણ ઘનતા એ ફંક્શન f(x) છે - વિતરણ ફંક્શન F(x): f(x)=F"(x) નું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન

આ વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે વિતરણ કાર્ય વિતરણ ઘનતાનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે.

પ્રમેય. સતત રેન્ડમ ચલ X એ અંતરાલ (a;b) થી સંબંધિત મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના એ વિતરણ ઘનતાના ચોક્કસ અભિન્ન અંગની બરાબર છે, જે a થી b ની શ્રેણીમાં લેવામાં આવે છે:

(8)

સંભાવના ઘનતા વિતરણના ગુણધર્મો:

1. સંભાવના ઘનતા એ બિન-નકારાત્મક કાર્ય છે: f(x)0.
2. સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતાનો -∞ થી +∞ સુધીનો ચોક્કસ પૂર્ણાંક 1: f(x)dx=1 ની બરાબર છે.
3. સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતાના -∞ થી x સુધીનો ચોક્કસ પૂર્ણાંક આ ચલના વિતરણ કાર્યની બરાબર છે: f(x)dx=F(x)

ઉદાહરણ 11. રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવી છે

સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલ (0.5;1) સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે.

ઉકેલ: જરૂરી સંભાવના:

ચાલો અલગ જથ્થાઓની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓની વ્યાખ્યાને સતત માત્રામાં વિસ્તારીએ. એક સતત રેન્ડમ ચલ X ને વિતરણ ઘનતા f(x) દ્વારા સ્પષ્ટ કરવા દો.

વ્યાખ્યા. સતત રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે, તેને ચોક્કસ અભિન્ન કહેવામાં આવે છે:

M(x)=xf(x)dx (9)

જો શક્ય મૂલ્યો સમગ્ર ઓક્સ અક્ષ સાથે સંબંધિત હોય, તો પછી:

M(x)=xf(x)dx (10)

સતત રેન્ડમ ચલ X નો મોડ M 0 (X) એ તેનું સંભવિત મૂલ્ય છે જેની સાથે વિતરણ ઘનતાની સ્થાનિક મહત્તમ અનુરૂપ છે.

સતત રેન્ડમ ચલ X નો મધ્યક M e (X) તેનું સંભવિત મૂલ્ય છે, જે સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

વ્યાખ્યા. સતત રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા એ તેના વિચલનના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા છે. જો X ની શક્ય કિંમતો સેગમેન્ટની છે, તો પછી:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
અથવા
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

જો સંભવિત મૂલ્યો સમગ્ર એક્સ-અક્ષ સાથે સંબંધિત છે, તો પછી.