બીજા ક્વાર્ટરની સ્પર્શક. કોણના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના ગુણધર્મો

વૈવિધ્યસભર. તેમાંના કેટલાક એવા છે કે કયા ક્વાર્ટરમાં કોસાઇન સકારાત્મક અને નકારાત્મક છે, કયા ક્વાર્ટરમાં સાઇન હકારાત્મક અને નકારાત્મક છે. જો તમે જુદા જુદા ખૂણામાં આ કાર્યોની કિંમતની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જાણો છો અને ગ્રાફ પર ફંક્શનના પ્લોટિંગના સિદ્ધાંતથી પરિચિત છો, તો બધું સરળ બનશે.

કોસાઇન મૂલ્યો શું છે?

જો આપણે તેને ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણી પાસે નીચેનો સાપેક્ષ ગુણોત્તર છે, જે તેને નિર્ધારિત કરે છે: કોણનો કોસાઈન એકર્ણ AB (ફિગ. 1) ને અડીને લેગ BC નો ગુણોત્તર છે: cos a= BC/AB.

સમાન ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને તમે કોણ, સ્પર્શક અને કોટિંજન્ટની સાઈન શોધી શકો છો. સાઈન એ એંગલ AC ની વિરુદ્ધ બાજુના કર્ણો AB નો ગુણોત્તર હશે. જો ઇચ્છિત કોણની સાઇનને સમાન ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે તો ખૂણાની સ્પર્શક જોવા મળે છે; સાઈન અને કોસાઈન શોધવા માટે અનુરૂપ સૂત્રોને બદલીને, આપણે તે tg મેળવીએ છીએ a= AC/BC. કોટેન્જેન્ટ, સ્પર્શકના વિપરિત ફંક્શન તરીકે, આ રીતે જોવા મળશે: ctg a= BC/AC.

એટલે કે, સમાન ખૂણાના મૂલ્યો સાથે, તે જાણવા મળ્યું કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાસા ગુણોત્તર હંમેશા સમાન હોય છે. એવું લાગે છે કે આ મૂલ્યો ક્યાંથી આવે છે તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે, પરંતુ શા માટે આપણે નકારાત્મક સંખ્યાઓ મેળવીએ છીએ?

આ કરવા માટે, તમારે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, જ્યાં હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો છે.

સ્પષ્ટપણે ક્વાર્ટર વિશે, જે ક્યાં છે

કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ શું છે? જો આપણે દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશ વિશે વાત કરીએ, તો આપણી પાસે બે નિર્દેશિત રેખાઓ છે જે બિંદુ O પર છેદે છે - આ એબ્સીસા અક્ષ (Ox) અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ (Oy) છે. બિંદુ O થી સીધી રેખાની દિશામાં સકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, અને વિરુદ્ધ દિશામાં - નકારાત્મક સંખ્યાઓ. આખરે, આ સીધું નિર્ધારિત કરે છે કે કયા ક્વાર્ટરમાં કોસાઇન સકારાત્મક છે અને કયામાં, તે મુજબ, નકારાત્મક.

પ્રથમ ક્વાર્ટર

જો તમે પ્રથમ ત્રિમાસિક ગાળામાં (0 o થી 90 o સુધી) એક કાટકોણ ત્રિકોણ મૂકો છો, જ્યાં x અને y અક્ષો સકારાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે (સેગમેન્ટ્સ AO અને BO એ અક્ષો પર આવેલા છે જ્યાં મૂલ્યોમાં "+" ચિહ્ન છે ), તો પછી સાઈન અને કોસાઈન બંને હકારાત્મક મૂલ્યો ધરાવશે અને વત્તા ચિહ્ન સાથે મૂલ્ય અસાઇન કરવામાં આવશે. પરંતુ જો તમે ત્રિકોણને બીજા ક્વાર્ટરમાં (90 o થી 180 o સુધી) ખસેડો તો શું થશે?

બીજા ક્વાર્ટર

આપણે જોઈએ છીએ કે y-અક્ષ સાથે પગ AO ને નકારાત્મક મૂલ્ય પ્રાપ્ત થયું છે. કોણનું કોસાઇન aહવે માઈનસના સંબંધમાં આ બાજુ છે, અને તેથી તેનું અંતિમ મૂલ્ય નકારાત્મક બને છે. તે તારણ આપે છે કે કયા ક્વાર્ટરમાં કોસાઇન હકારાત્મક છે તે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ત્રિકોણના સ્થાન પર આધારિત છે. અને આ કિસ્સામાં, કોણનું કોસાઇન નકારાત્મક મૂલ્ય મેળવે છે. પરંતુ સાઈન માટે કંઈ બદલાયું નથી, કારણ કે તેની નિશાની નક્કી કરવા માટે તમારે OB બાજુની જરૂર છે, જે આ કિસ્સામાં વત્તા ચિહ્ન સાથે રહે છે. ચાલો પ્રથમ બે ક્વાર્ટરનો સારાંશ આપીએ.

કોસાઇન કયા ક્વાર્ટરમાં સકારાત્મક છે અને કયામાં તે નકારાત્મક છે (તેમજ સાઇન અને અન્ય ત્રિકોણમિતિ કાર્યો) છે તે શોધવા માટે, તમારે કઈ બાજુએ કઈ નિશાની સોંપવામાં આવી છે તે જોવાની જરૂર છે. કોણના કોસાઇન માટે aબાજુ AO મહત્વપૂર્ણ છે, સાઈન માટે - OB.

પ્રથમ ક્વાર્ટર અત્યાર સુધી એકમાત્ર એવું બન્યું છે જે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે: "કયા ક્વાર્ટરમાં સાઈન અને કોસાઈન એક જ સમયે ધન છે?" ચાલો આગળ જોઈએ કે શું આ બે કાર્યોના સંકેતમાં વધુ સંયોગો હશે.

બીજા ક્વાર્ટરમાં, બાજુ AO ને નકારાત્મક મૂલ્ય મળવાનું શરૂ થયું, જેનો અર્થ છે કે કોસાઇન પણ નકારાત્મક બની ગયું. સાઈન પોઝિટિવ રાખવામાં આવે છે.

ત્રીજો ક્વાર્ટર

હવે બંને બાજુ AO અને OB નેગેટિવ થઈ ગયા છે. ચાલો કોસાઈન અને સાઈન માટેના સંબંધોને યાદ કરીએ:

કોસ a = AO/AB;

સિન એ = VO/AV.

આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં AB હંમેશા સકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે, કારણ કે તે અક્ષો દ્વારા નિર્ધારિત બે દિશાઓમાં નિર્દેશિત નથી. પરંતુ પગ નકારાત્મક બની ગયા છે, જેનો અર્થ છે કે બંને કાર્યો માટેનું પરિણામ પણ નકારાત્મક છે, કારણ કે જો તમે સંખ્યાઓ સાથે ગુણાકાર અથવા ભાગાકારની ક્રિયાઓ કરો છો, જેમાંથી એક અને માત્ર એકમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન છે, તો પરિણામ પણ આ ચિહ્ન સાથે આવશે.

આ તબક્કે પરિણામ:

1) કોસાઇન કયા ક્વાર્ટરમાં ધન છે? ત્રણમાંથી પ્રથમમાં.

2) કયા ક્વાર્ટરમાં સાઈન ધન છે? ત્રણમાંથી પ્રથમ અને બીજામાં.

ચોથો ક્વાર્ટર (270 o થી 360 o સુધી)

અહીં બાજુ AO ફરીથી વત્તા ચિહ્ન મેળવે છે, અને તેથી કોસાઇન પણ.

સાઈન માટે, વસ્તુઓ હજુ પણ "નકારાત્મક" છે, કારણ કે પગ OB પ્રારંભિક બિંદુ O થી નીચે રહે છે.

તારણો

કોસાઇન કયા ક્વાર્ટરમાં સકારાત્મક, નકારાત્મક, વગેરે છે તે સમજવા માટે, તમારે કોસાઇનની ગણતરી માટેનો સંબંધ યાદ રાખવાની જરૂર છે: કર્ણ દ્વારા વિભાજિત ખૂણાને અડીને આવેલો પગ. કેટલાક શિક્ષકો આને યાદ રાખવાનું સૂચન કરે છે: k(osine) = (k) કોણ. જો તમને આ "ચીટ" યાદ છે, તો પછી તમે આપમેળે સમજી શકશો કે સાઈન એ કોણની વિરુદ્ધ બાજુનું કર્ણોનું ગુણોત્તર છે.

તે યાદ રાખવું ખૂબ મુશ્કેલ છે કે કયા ક્વાર્ટરમાં કોસાઇન હકારાત્મક છે અને કયામાં તે નકારાત્મક છે. ત્યાં ઘણા ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે, અને તે બધાના પોતાના અર્થ છે. પરંતુ હજુ પણ, પરિણામે: સાઈન માટે હકારાત્મક મૂલ્યો 1.2 ક્વાર્ટર છે (0 o થી 180 o સુધી); કોસાઇન 1.4 ક્વાર્ટર માટે (0 o થી 90 o અને 270 o થી 360 o સુધી). બાકીના ક્વાર્ટરમાં વિધેયોમાં ઓછા મૂલ્યો છે.

કદાચ કોઈ વ્યક્તિ માટે કાર્યનું નિરૂપણ કરીને કયું ચિહ્ન છે તે યાદ રાખવું સરળ બનશે.

સાઈન માટે તે સ્પષ્ટ છે કે શૂન્યથી 180 o સુધીની રીજ sin(x) મૂલ્યોની રેખાથી ઉપર છે, જેનો અર્થ છે કે અહીં કાર્ય હકારાત્મક છે. કોસાઇન માટે તે સમાન છે: કયા ક્વાર્ટરમાં કોસાઇન ધન છે (ફોટો 7), અને જેમાં તે નકારાત્મક છે, તમે cos(x) અક્ષની ઉપર અને નીચે લાઇનને ખસેડીને જોઈ શકો છો. પરિણામે, આપણે સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શનની નિશાની નક્કી કરવાની બે રીતો યાદ રાખી શકીએ છીએ:

1. એક સમાન ત્રિજ્યા સાથે કાલ્પનિક વર્તુળ પર આધારિત (જોકે, હકીકતમાં, વર્તુળની ત્રિજ્યા શું છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, આ ઉદાહરણ પાઠ્યપુસ્તકોમાં મોટાભાગે આપવામાં આવે છે; આ તેને સમજવામાં સરળ બનાવે છે, પરંતુ તે જ સમયે, જ્યાં સુધી તે નિર્ધારિત ન હોય કે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, બાળકો મૂંઝવણમાં પડી શકે છે).

2. છેલ્લી આકૃતિની જેમ, દલીલ x પર જ (x) સાથે ફંક્શનની અવલંબનનું નિરૂપણ કરીને.

પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તમે સમજી શકો છો કે નિશાની બરાબર શું આધાર રાખે છે, અને અમે ઉપર વિગતવાર આ સમજાવ્યું છે. આકૃતિ 7, આ ડેટામાંથી બનાવેલ, પરિણામી કાર્ય અને તેના ચિહ્નને શ્રેષ્ઠ શક્ય રીતે વિઝ્યુઅલાઈઝ કરે છે.

તમને સંખ્યાબંધ લાક્ષણિક પરિણામો સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે - સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના ગુણધર્મો. આ લેખમાં આપણે ત્રણ મુખ્ય ગુણધર્મો જોઈશું. તેમાંથી પ્રથમ કોણ α ના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના ચિહ્નો સૂચવે છે તેના આધારે કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર α છે. આગળ આપણે સામયિકતાના ગુણધર્મને ધ્યાનમાં લઈશું, જે કોણ α ના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની અસ્પષ્ટતા સ્થાપિત કરે છે જ્યારે આ કોણ ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા બદલાય છે. ત્રીજી ગુણધર્મ સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને વિરોધી ખૂણા α અને −α ના કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરે છે.

જો તમને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનના ગુણધર્મોમાં રસ હોય, તો તમે લેખના અનુરૂપ વિભાગમાં તેનો અભ્યાસ કરી શકો છો.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

ક્વાર્ટર દ્વારા સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના ચિહ્નો

આ ફકરામાં નીચે "I, II, III અને IV સંકલન ક્વાર્ટરનો કોણ" વાક્ય દેખાશે. ચાલો સમજાવીએ કે આ ખૂણા શું છે.

ચાલો એક એકમ વર્તુળ લઈએ, તેના પર પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) ને ચિહ્નિત કરીએ, અને તેને બિંદુ O ની ફરતે કોણ α દ્વારા ફેરવીએ, અને આપણે ધારીશું કે આપણે બિંદુ A 1 (x, y) પર પહોંચીશું.

તેઓ કહે છે કે કોણ α એ I, II, III, IV સંકલન ચતુર્થાંશનો કોણ છે, જો બિંદુ A 1 અનુક્રમે I, II, III, IV ક્વાર્ટરમાં આવેલું છે; જો કોણ α એવો હોય કે બિંદુ A 1 કોઈપણ સંકલન રેખાઓ Ox અથવા Oy પર આવેલું હોય, તો આ ખૂણો ચારમાંથી કોઈપણ સાથે સંબંધિત નથી.

સ્પષ્ટતા માટે, અહીં એક ગ્રાફિક ચિત્ર છે. નીચેના રેખાંકનો 30, −210, 585 અને −45 ડિગ્રીના પરિભ્રમણ ખૂણા દર્શાવે છે, જે અનુક્રમે I, II, III અને IV સંકલન ક્વાર્ટરના ખૂણા છે.

ખૂણો 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …ડિગ્રીઓ કોઈપણ સંકલન ક્વાર્ટરની નથી.

હવે ચતુર્થકોણ α છે તેના આધારે, પરિભ્રમણના કોણ α ના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો કયા ચિહ્નો ધરાવે છે તે શોધી કાઢીએ.

સાઈન અને કોસાઈન માટે આ કરવું સરળ છે.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, કોણ α ની સાઈન એ બિંદુ A 1 નો ઓર્ડિનેટ છે. દેખીતી રીતે, I અને II સંકલન ક્વાર્ટર્સમાં તે હકારાત્મક છે, અને III અને IV ક્વાર્ટર્સમાં તે નકારાત્મક છે. આમ, કોણ α ની સાઈન 1લા અને 2જા ક્વાર્ટરમાં વત્તા ચિહ્ન ધરાવે છે, અને 3જા અને 6ઠ્ઠા ક્વાર્ટરમાં ઓછા ચિહ્ન ધરાવે છે.

બદલામાં, કોણ α ની કોસાઇન એ બિંદુ A 1 નો એબ્સીસા છે. I અને IV ક્વાર્ટરમાં તે હકારાત્મક છે, અને II અને III ક્વાર્ટરમાં તે નકારાત્મક છે. પરિણામે, I અને IV ક્વાર્ટર્સમાં કોણ α ના કોસાઇનના મૂલ્યો સકારાત્મક છે, અને II અને III ક્વાર્ટરમાં તે નકારાત્મક છે.

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના ચતુર્થાંશના ચિહ્નો નક્કી કરવા માટે, તમારે તેમની વ્યાખ્યાઓ યાદ રાખવાની જરૂર છે: સ્પર્શક એ બિંદુ A 1 ના એબ્સીસાના ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે, અને કોટેન્જેન્ટ એ બિંદુ A 1 ના અબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે. પછી થી સંખ્યાઓને વિભાજીત કરવા માટેના નિયમોસમાન અને ભિન્ન ચિહ્નો સાથે તે અનુસરે છે કે જ્યારે બિંદુ A 1 ના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ ચિહ્નો સમાન હોય ત્યારે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટમાં વત્તાનું ચિહ્ન હોય છે અને જ્યારે બિંદુ A 1 ના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ ચિહ્નો અલગ હોય ત્યારે માઈનસ ચિહ્ન હોય છે. પરિણામે, ખૂણાના સ્પર્શક અને સહસ્પર્શક I અને III સંકલન ક્વાર્ટર્સમાં + ચિહ્ન ધરાવે છે, અને II અને IV ક્વાર્ટર્સમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન ધરાવે છે.

ખરેખર, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં બિંદુ A 1 નું abscissa x અને ordinate y બંને સકારાત્મક છે, પછી ભાગાંક x/y અને ભાગાંક y/x બંને ધન છે, તેથી, સ્પર્શક અને સહસ્પર્શકમાં + ચિહ્નો છે. અને બીજા ક્વાર્ટરમાં, abscissa x ઋણ છે, અને ordinate y ધન છે, તેથી x/y અને y/x બંને ઋણ છે, તેથી સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટમાં ઓછાનું ચિહ્ન છે.

ચાલો સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના આગલા ગુણધર્મ પર જઈએ.

સામયિકતાની મિલકત

હવે આપણે કોણના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની કદાચ સૌથી વધુ સ્પષ્ટ મિલકત જોઈશું. તે નીચે મુજબ છે: જ્યારે સંપૂર્ણ ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા કોણ બદલાય છે, ત્યારે આ ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો બદલાતા નથી.

આ સમજી શકાય તેવું છે: જ્યારે ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા કોણ બદલાય છે, ત્યારે આપણે હંમેશા એકમ વર્તુળ પર પ્રારંભિક બિંદુ A થી બિંદુ A 1 મેળવીશું, તેથી, સાઈન, કોસાઇન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો યથાવત રહે છે, કારણ કે બિંદુ A 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ અપરિવર્તિત છે.

સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની ગણવામાં આવેલ ગુણધર્મ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, જ્યાં α એ રેડિયનમાં પરિભ્રમણનો કોણ છે, z એ કોઈપણ છે, જેનું ચોક્કસ મૂલ્ય સંપૂર્ણ ક્રાંતિની સંખ્યા દર્શાવે છે જેના દ્વારા કોણ α બદલાય છે, અને નંબર z નું ચિહ્ન દિશા વળાંક સૂચવે છે.

જો પરિભ્રમણ કોણ α ડિગ્રીમાં નિર્દિષ્ટ કરેલ હોય, તો સૂચવેલ સૂત્રો sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα તરીકે ફરીથી લખવામાં આવશે. , ctg(α+360°·z)=ctgα .

ચાલો આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો આપીએ. ઉદાહરણ તરીકે, , કારણ કે , એ . અહીં બીજું ઉદાહરણ છે: અથવા .

આ ગુણધર્મ, ઘટાડાના સૂત્રો સાથે, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને "મોટા" ખૂણાના કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની ગણતરી કરતી વખતે ઘણી વાર ઉપયોગમાં લેવાય છે.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની ગણવામાં આવતી મિલકતને કેટલીકવાર સામયિકતાની મિલકત કહેવામાં આવે છે.

સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને વિરોધી ખૂણાના કોટેન્જેન્ટના ગુણધર્મો

A 1 એ પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) ને બિંદુ O ની આસપાસ ખૂણા α દ્વારા ફેરવવાથી પ્રાપ્ત થયેલ બિંદુ બનવા દો, અને બિંદુ A 2 એ કોણ −α ની વિરુદ્ધ, ખૂણા α દ્વારા બિંદુ Aને ફેરવવાનું પરિણામ છે.

સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ્સ અને વિરોધી ખૂણાઓના કોટેન્જેન્ટની મિલકત એકદમ સ્પષ્ટ હકીકત પર આધારિત છે: ઉપર દર્શાવેલ બિંદુઓ A 1 અને A 2 કાં તો ઓક્સ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે. એટલે કે, જો બિંદુ A 1 માં કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y), તો બિંદુ A 2 પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ (x, −y) હશે. અહીંથી, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમાનતાઓ અને લખીએ છીએ.
તેમની સરખામણી કરતા, આપણે ફોર્મના α અને −α વિરુદ્ધ ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વચ્ચેના સંબંધો પર આવીએ છીએ.
આ સૂત્રોના સ્વરૂપમાં વિચારણા હેઠળની મિલકત છે.

ચાલો આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો આપીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સમાનતા અને .

તે માત્ર એ નોંધવા માટે રહે છે કે સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને વિપરીત ખૂણાના કોટેન્જેન્ટની મિલકત, અગાઉની મિલકતની જેમ, સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની ગણતરી કરતી વખતે વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાય છે અને તમને નકારાત્મકથી સંપૂર્ણપણે દૂર રહેવાની મંજૂરી આપે છે. ખૂણા

સંદર્ભો.

બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 9મા ધોરણ માટે. સરેરાશ શાળા/યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; એડ. એસ. એ. ટેલિયાકોવસ્કી - એમ.: એજ્યુકેશન, 1990. - 272 પીપી. - ISBN 5-09-002727-7
બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
બશ્માકોવ એમ. આઇ.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સરેરાશ શાળા - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1993. - 351 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-004617-4.
ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.

આ લેખ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ત્રણ મૂળભૂત ગુણધર્મોને જોશે: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ.

પ્રથમ ગુણધર્મ એ કોણ α સાથે સંબંધિત છે તે એકમ વર્તુળના કયા ક્વાર્ટરના આધારે કાર્યની નિશાની છે. બીજી મિલકત સામયિકતા છે. આ ગુણધર્મ અનુસાર, જ્યારે ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા કોણ બદલાય છે ત્યારે ટિગોનોમેટ્રિક ફંક્શન તેનું મૂલ્ય બદલતું નથી. ત્રીજી ગુણધર્મ એ નક્કી કરે છે કે કેવી રીતે sin, cos, tg, ctg ની કિંમતો α અને - α વિરુદ્ધ ખૂણા પર બદલાય છે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ઘણીવાર ગાણિતિક લખાણમાં અથવા સમસ્યાના સંદર્ભમાં તમે આ વાક્ય શોધી શકો છો: "પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા અથવા ચોથા સંકલન ક્વાર્ટરનો કોણ." તે શું છે?

ચાલો એકમ વર્તુળ તરફ વળીએ. તે ચાર ક્વાર્ટરમાં વહેંચાયેલું છે. ચાલો વર્તુળ પર પ્રારંભિક બિંદુ A 0 (1, 0) ને ચિહ્નિત કરીએ અને, તેને બિંદુ O ની આસપાસ કોણ α દ્વારા ફેરવીએ, આપણે બિંદુ A 1 (x, y) પર પહોંચીશું. બિંદુ A 1 (x, y) કયા ક્વાર્ટરમાં છે તેના આધારે, કોણ α અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા અને ચોથા ક્વાર્ટરનો કોણ કહેવાશે.

સ્પષ્ટતા માટે, અહીં એક ઉદાહરણ છે.

કોણ α = 30° પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં આવેલું છે. કોણ - 210° એ બીજા ત્રિમાસિક કોણ છે. 585° કોણ ત્રીજા ત્રિમાસિક કોણ છે. કોણ - 45° ચોથા ક્વાર્ટરનો કોણ છે.

આ કિસ્સામાં, ખૂણાઓ ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° કોઈપણ ક્વાર્ટરથી સંબંધિત નથી, કારણ કે તે સંકલન અક્ષો પર આવેલા છે.

હવે કોણ કયા ચતુર્થાંશમાં આવેલું છે તેના આધારે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ જે ચિહ્નો લે છે તેને ધ્યાનમાં લો.

ક્વાર્ટર દ્વારા સાઇનના ચિહ્નો નક્કી કરવા માટે, વ્યાખ્યા યાદ કરો. સાઈન એ બિંદુ A 1 (x, y) નો ઓર્ડિનેટ છે. આકૃતિ દર્શાવે છે કે પ્રથમ અને બીજા ક્વાર્ટરમાં તે હકારાત્મક છે, અને ત્રીજા અને ચારગણામાં તે નકારાત્મક છે.

કોસાઇન એ બિંદુ A 1 (x, y) નું એબ્સીસા છે. આને અનુરૂપ, અમે વર્તુળ પરના કોસાઇનના ચિહ્નો નક્કી કરીએ છીએ. કોસાઇન પ્રથમ અને ચોથા ક્વાર્ટરમાં સકારાત્મક છે, અને બીજા અને ત્રીજા ક્વાર્ટરમાં નકારાત્મક છે.

ક્વાર્ટર દ્વારા સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના ચિહ્નો નક્કી કરવા માટે, અમે આ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની વ્યાખ્યાઓને પણ યાદ કરીએ છીએ. સ્પર્શક એ એબ્સીસાના બિંદુના ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓને અલગ અલગ ચિહ્નો સાથે વિભાજિત કરવાના નિયમ મુજબ, જ્યારે ઓર્ડિનેટ અને એબ્સિસા સમાન ચિહ્નો હોય, ત્યારે વર્તુળ પરના સ્પર્શકનું ચિહ્ન હકારાત્મક હશે, અને જ્યારે ઓર્ડિનેટ અને એબ્સિસામાં અલગ અલગ ચિહ્નો હશે, ત્યારે તે નકારાત્મક હશે. . ક્વાર્ટર માટે કોટેન્જેન્ટ ચિહ્નો એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

યાદ રાખવું મહત્વપૂર્ણ!

કોણ α ની સાઈન 1લા અને 2જા ક્વાર્ટરમાં વત્તા ચિહ્ન ધરાવે છે, 3જા અને 4થા ક્વાર્ટરમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન.
કોણ α ના કોસાઇનમાં 1લા અને 4થા ક્વાર્ટરમાં વત્તાનું ચિહ્ન છે, 2જા અને 3જા ક્વાર્ટરમાં ઓછાનું ચિહ્ન છે.
કોણ α ની સ્પર્શક 1લા અને 3જા ક્વાર્ટરમાં વત્તા ચિહ્ન ધરાવે છે, 2જા અને 4થા ક્વાર્ટરમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન.
કોણ α ના કોટિંજન્ટમાં 1લા અને 3જા ક્વાર્ટરમાં વત્તાનું ચિહ્ન છે, 2જા અને 4થા ક્વાર્ટરમાં ઓછાનું ચિહ્ન છે.

સામયિકતાની મિલકત

સામયિકતાનો ગુણધર્મ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સૌથી સ્પષ્ટ ગુણધર્મોમાંનો એક છે.

સામયિકતાની મિલકત

જ્યારે સંપૂર્ણ ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા કોણ બદલાય છે, ત્યારે આ ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો યથાવત રહે છે.

ખરેખર, જ્યારે ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા કોણ બદલાય છે, ત્યારે આપણે હંમેશા એકમ વર્તુળ પરના પ્રારંભિક બિંદુ A થી સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ A 1 સુધી મેળવીશું. તદનુસાર, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો બદલાશે નહીં.

ગાણિતિક રીતે, આ ગુણધર્મ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

વ્યવહારમાં આ મિલકતનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે? સામયિક ગુણધર્મ, જેમ કે ઘટાડાના સૂત્રો, મોટાભાગે સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને મોટા ખૂણાના કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે.

ચાલો ઉદાહરણો આપીએ.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

ચાલો ફરી એકમ વર્તુળ જોઈએ.

બિંદુ A 1 (x, y) એ પ્રારંભિક બિંદુ A 0 (1, 0) ને વર્તુળના કેન્દ્રની આસપાસ કોણ α દ્વારા ફેરવવાનું પરિણામ છે. બિંદુ A 2 (x, - y) એ કોણ - α દ્વારા પ્રારંભિક બિંદુને ફેરવવાનું પરિણામ છે.

પોઈન્ટ્સ A 1 અને A 2 એબ્સીસા અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે. કિસ્સામાં જ્યાં α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° બિંદુઓ A 1 અને A 2 એકરૂપ થાય છે. એક બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) અને બીજામાં - (x, - y) હોવા દો. ચાલો સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ યાદ કરીએ અને લખીએ:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

આ સાઇન્સ, કોસાઇન્સ, સ્પર્શક અને વિરોધી ખૂણાના કોટેન્જેન્ટની મિલકત સૂચવે છે.

સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને વિરોધી ખૂણાના કોટેન્જેન્ટની મિલકત

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

આ ગુણધર્મ અનુસાર, સમાનતાઓ સાચી છે

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની દલીલોમાં નકારાત્મક ખૂણાના ચિહ્નોથી છુટકારો મેળવવો જરૂરી હોય તેવા કિસ્સાઓમાં વ્યવહારિક સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે આ ગુણધર્મનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

ત્રિકોણમિતિ કાર્યની નિશાની ફક્ત સંકલન ચતુર્થાંશ પર આધાર રાખે છે જેમાં સંખ્યાત્મક દલીલ સ્થિત છે. છેલ્લી વખતે આપણે દલીલોને રેડિયન માપથી ડિગ્રી માપમાં રૂપાંતરિત કરવાનું શીખ્યા (પાઠ " રેડિયન અને કોણનું ડિગ્રી માપ" જુઓ), અને પછી આ સમાન સંકલન ક્વાર્ટર નક્કી કરો. હવે ચાલો ખરેખર સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટની નિશાની નક્કી કરવા પર કામ કરીએ.

કોણ α ની સાઈન એ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પરના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ (y કોઓર્ડિનેટ) છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ત્રિજ્યાને કોણ α દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે.

કોણ α નું કોસાઇન એ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પરના બિંદુનું એબ્સીસા (x કોઓર્ડિનેટ) છે, જે ત્રિજ્યાને કોણ α દ્વારા ફેરવવામાં આવે ત્યારે થાય છે.

કોણ α ની સ્પર્શક એ સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર છે. અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, x કોઓર્ડિનેટ સાથે y સંકલનનો ગુણોત્તર.

નોટેશન: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

આ બધી વ્યાખ્યાઓ તમને હાઈસ્કૂલ બીજગણિતથી પરિચિત છે. જો કે, અમને પોતાની વ્યાખ્યાઓમાં રસ નથી, પરંતુ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર ઉદ્ભવતા પરિણામોમાં. એક નજર નાખો:

વાદળી રંગ OY અક્ષ (ઓર્ડિનેટ અક્ષ) ની સકારાત્મક દિશા સૂચવે છે, લાલ OX અક્ષ (અબસીસા અક્ષ) ની હકારાત્મક દિશા દર્શાવે છે. આ "રડાર" પર ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ચિહ્નો સ્પષ્ટ બને છે. ખાસ કરીને:

જો કોણ α I અથવા II સંકલન ચતુર્થાંશમાં આવેલો હોય તો sin α > 0. આ એટલા માટે છે કારણ કે, વ્યાખ્યા દ્વારા, સાઈન એક ઓર્ડિનેટ (y કોઓર્ડિનેટ) છે. અને y કોઓર્ડિનેટ I અને II કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર્સમાં ચોક્કસ હકારાત્મક હશે;
cos α > 0, જો કોણ α 1લા અથવા 4થા સંકલન ચતુર્થાંશમાં આવેલો છે. કારણ કે માત્ર ત્યાં જ x કોઓર્ડિનેટ (ઉર્ફ એબ્સીસા) શૂન્ય કરતા વધારે હશે;
tan α > 0 જો કોણ α I અથવા III કોઓર્ડિનેટ ચતુર્થાંશમાં આવેલો હોય. આ વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે: છેવટે, tan α = y : x, તેથી તે માત્ર ત્યારે જ હકારાત્મક છે જ્યાં x અને y ના ચિહ્નો એકરૂપ થાય છે. આ પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટરમાં થાય છે (અહીં x > 0, y > 0) અને ત્રીજા કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર (x< 0, y < 0).

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો દરેક ત્રિકોણમિતિ કાર્યના ચિહ્નો - સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ - અલગ "રડાર" પર નોંધીએ. અમને નીચેનું ચિત્ર મળે છે:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: મારી ચર્ચાઓમાં મેં ક્યારેય ચોથા ત્રિકોણમિતિ કાર્ય - કોટેન્જેન્ટ વિશે વાત કરી નથી. હકીકત એ છે કે કોટેન્જેન્ટ ચિહ્નો સ્પર્શ ચિહ્નો સાથે સુસંગત છે - ત્યાં કોઈ વિશેષ નિયમો નથી.

હવે હું 27 સપ્ટેમ્બર, 2011 ના રોજ યોજાયેલી ગણિતની યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી સમસ્યાઓ B11 જેવા ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું. છેવટે, સિદ્ધાંતને સમજવાની શ્રેષ્ઠ રીત પ્રેક્ટિસ છે. ઘણી પ્રેક્ટિસ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. અલબત્ત, કાર્યોની શરતો થોડી બદલાઈ હતી.

કાર્ય. ત્રિકોણમિતિ વિધેયો અને અભિવ્યક્તિઓના ચિહ્નો નક્કી કરો (ફંક્શન્સના મૂલ્યોની પોતાને ગણતરી કરવાની જરૂર નથી):

પાપ(3π/4);

cos(7π/6);

tg(5π/3);

sin (3π/4) cos (5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin (5π/6) cos (7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

ક્રિયા યોજના નીચે મુજબ છે: પ્રથમ આપણે બધા ખૂણાઓને રેડિયન માપથી ડિગ્રીમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ (π → 180°), અને પછી પરિણામી સંખ્યા કયા સંકલન ક્વાર્ટરમાં આવે છે તે જોઈએ. ક્વાર્ટર્સને જાણીને, અમે સરળતાથી ચિહ્નો શોધી શકીએ છીએ - હમણાં જ વર્ણવેલ નિયમો અનુસાર. અમારી પાસે છે:

પાપ (3π/4) = પાપ (3 · 180°/4) = પાપ 135°. 135° ∈ થી, આ II કોઓર્ડિનેટ ચતુર્થાંશમાંથી એક ખૂણો છે. પરંતુ બીજા ક્વાર્ટરમાં સાઈન ધન છે, તેથી sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. કારણ કે 210° ∈ , આ ત્રીજા સંકલન ચતુર્થાંશનો કોણ છે, જેમાં તમામ કોસાઇન્સ નકારાત્મક છે. તેથી cos(7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ થી, આપણે IV ક્વાર્ટરમાં છીએ, જ્યાં સ્પર્શક નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. તેથી ટેન (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. ચાલો સાઈન સાથે વ્યવહાર કરીએ: કારણ કે 135° ∈ , આ બીજો ક્વાર્ટર છે જેમાં સાઈન ધન છે, એટલે કે. sin (3π/4) > 0. હવે આપણે કોસાઇન સાથે કામ કરીએ છીએ: 150° ∈ - ફરીથી બીજા ક્વાર્ટરમાં, ત્યાં કોસાઇન્સ નકારાત્મક છે. તેથી cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. આપણે કોસાઈન જોઈએ છીએ: 120° ∈ II કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર છે, તેથી cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. ફરીથી અમને એક ઉત્પાદન મળ્યું જેમાં પરિબળો અલગ અલગ ચિહ્નો ધરાવે છે. "માઈનસ બાય વત્તા માઈનસ આપે છે", અમારી પાસે છે: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. અમે સાઈન સાથે કામ કરીએ છીએ: 150° ∈ થી, અમે II કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, જ્યાં સાઈન ધન હોય છે. તેથી, sin (5π/6) > 0. એ જ રીતે, 315° ∈ એ IV કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર છે, ત્યાં કોસાઇન્સ ધન છે. તેથી cos (7π/4) > 0. આપણે બે સકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાંક મેળવ્યો છે - આવી અભિવ્યક્તિ હંમેશા હકારાત્મક હોય છે. અમે તારણ કાઢીએ છીએ: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. પરંતુ કોણ 135° ∈ એ બીજો ક્વાર્ટર છે, એટલે કે. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. કારણ કે "માઈનસ બાય વત્તા બાદબાકીનું ચિહ્ન આપે છે," અમારી પાસે છે: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. આપણે સહસ્પર્શક દલીલ જોઈએ છીએ: 240° ∈ એ III કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર છે, તેથી ctg (4π/3) > 0. એ જ રીતે, સ્પર્શક માટે આપણી પાસે છે: 30° ∈ એ I કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર છે, એટલે કે. સૌથી સરળ કોણ. તેથી tan (π/6) > 0. ફરીથી આપણી પાસે બે હકારાત્મક સમીકરણો છે - તેમનું ઉત્પાદન પણ હકારાત્મક હશે. તેથી cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

છેલ્લે, ચાલો કેટલીક વધુ જટિલ સમસ્યાઓ જોઈએ. ત્રિકોણમિતિ કાર્યની નિશાની શોધવા ઉપરાંત, તમારે અહીં થોડું ગણિત કરવું પડશે - જેમ તે વાસ્તવિક સમસ્યાઓ B11 માં કરવામાં આવે છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ લગભગ વાસ્તવિક સમસ્યાઓ છે જે વાસ્તવમાં ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં દેખાય છે.

કાર્ય. sin α શોધો જો sin 2 α = 0.64 અને α ∈ [π/2; π].

sin 2 α = 0.64 હોવાથી, આપણી પાસે છે: sin α = ±0.8. બસ એ નક્કી કરવાનું બાકી છે: વત્તા કે માઈનસ? શરત દ્વારા, કોણ α ∈ [π/2; π] એ II કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર છે, જ્યાં તમામ સાઈન ધન છે. તેથી, પાપ α = 0.8 - ચિહ્નો સાથેની અનિશ્ચિતતા દૂર થાય છે.

કાર્ય. cos α શોધો જો cos 2 α = 0.04 અને α ∈ [π; 3π/2].

અમે સમાન રીતે કાર્ય કરીએ છીએ, એટલે કે. વર્ગમૂળ લો: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. શરત દ્વારા, કોણ α ∈ [π; 3π/2], એટલે કે અમે ત્રીજા કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ત્યાંના તમામ કોસાઇન્સ નકારાત્મક છે, તેથી cos α = −0.2.

કાર્ય. જો sin 2 α = 0.25 અને α ∈ હોય તો sin α શોધો.

અમારી પાસે છે: sin 2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5. આપણે ફરીથી કોણ જોઈએ છીએ: α ∈ એ IV સંકલન ક્વાર્ટર છે, જેમાં આપણે જાણીએ છીએ તેમ, સાઈન નકારાત્મક હશે. આમ, અમે તારણ કાઢીએ છીએ: sin α = −0.5.

કાર્ય. tan α શોધો જો tan 2 α = 9 અને α ∈ હોય.

બધું સમાન છે, માત્ર સ્પર્શક માટે. વર્ગમૂળ કાઢો: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. પરંતુ સ્થિતિ અનુસાર, કોણ α ∈ એ I સંકલન ક્વાર્ટર છે. બધા ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, સહિત. સ્પર્શક, ત્યાં ધન છે, તેથી tan α = 3. બસ!