શબ્દ ક્રમ. સિક્વન્સ પર કામગીરી

કુદરતી સંખ્યા એ એક અપરિવર્તિત સમૂહની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા છે, જો કે, વ્યવહારમાં, વસ્તુઓની સંખ્યા સતત બદલાતી રહે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ ખેતરમાં પશુધનની સંખ્યા. તદુપરાંત, સૌથી સરળ, પણ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્રમ ગણતરી પ્રક્રિયામાં તરત જ દેખાય છે - આ કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ છે: 1, 2, 3, ....

જો ચોક્કસ વસ્તીમાં ઑબ્જેક્ટ્સની સંખ્યામાં ફેરફાર કુદરતી સંખ્યાઓના ચોક્કસ ક્રમ (ક્રમના સભ્યો) ના સ્વરૂપમાં નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે, તો તરત જ બીજો ક્રમ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે - ઉદાહરણ તરીકે સંખ્યાઓનો ક્રમ

આ સંદર્ભે, ક્રમના સભ્યોના નામકરણની સમસ્યા ઊભી થાય છે. નીચેના કારણોસર દરેક સભ્યને વિશેષ પત્ર સાથે નિયુક્ત કરવું અત્યંત અસુવિધાજનક છે. પ્રથમ, ક્રમમાં ખૂબ મોટી, અથવા તો અસંખ્ય શબ્દો શામેલ હોઈ શકે છે. બીજું, વિવિધ અક્ષરો એ હકીકતને છુપાવે છે કે ક્રમના સભ્યો સમાન વસ્તીના છે, તેમ છતાં તત્વોની સંખ્યા બદલાતી રહે છે. છેલ્લે, આ કિસ્સામાં અનુક્રમમાં સભ્ય સંખ્યાઓ પ્રતિબિંબિત થશે નહીં.

આ કારણો અનુક્રમના સભ્યોને એક અક્ષર સાથે નિયુક્ત કરવા અને અનુક્રમણિકા દ્વારા તેમને અલગ પાડવા માટે જરૂરી બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, દસ શબ્દોનો ક્રમ અક્ષર દ્વારા સૂચવી શકાય છે એ: એ 1 , એ 2 , એ 3 , …, એ 10. હકીકત એ છે કે ક્રમ અનંત છે તે અંડાકાર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જેમ કે આ ક્રમને અનિશ્ચિત સમય સુધી લંબાવવામાં આવે છે: એ 1 , એ 2 , એ 3, ... કેટલીકવાર ક્રમ શરૂઆતથી ક્રમાંકિત થવાનું શરૂ થાય છે: : એ 0 , એ 1 , એ 2 , એ 3 , …

કેટલાક અનુક્રમોને સંખ્યાના રેન્ડમ સેટ તરીકે માની શકાય છે, કારણ કે ક્રમના સભ્યોની રચનાનો કાયદો અજ્ઞાત છે, અથવા તો ગેરહાજર છે. જો કે, એવા સિક્વન્સ પર ખાસ ધ્યાન દોરવામાં આવે છે કે જેના માટે આવો કાયદો જાણીતો છે.

ક્રમ સભ્યોની રચનાના કાયદાને સૂચવવા માટે, બે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ મોટેભાગે થાય છે. તેમાંથી પ્રથમ નીચે મુજબ છે. પ્રથમ શબ્દ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, અને પછી પદ્ધતિ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જે મુજબ છેલ્લી, પહેલાથી જાણીતી શબ્દનો ઉપયોગ કરીને આગામી એક મેળવવામાં આવે છે. કાયદો લખવા માટે, અસ્પષ્ટ નંબર સાથેના ક્રમ સભ્યનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અને kઅને આગામી સભ્ય અને k +1, જે પછી તેમને જોડતું સૂત્ર લખવામાં આવે છે.

સૌથી પ્રખ્યાત અને મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણો અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. અંકગણિત પ્રગતિ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને k +1 = અને k + r(અથવા અને k +1 = અને k – આર). અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો કાં તો એકસરખી રીતે વધે છે (નિસરણીની જેમ) અથવા એકસરખી રીતે ઘટે છે (નિસરણીની જેમ). તીવ્રતા આરકારણ કે પ્રગતિ તફાવત કહેવાય છે અને k +1 – અને k = આર. પ્રાકૃતિક શબ્દો સાથે અંકગણિત પ્રગતિના ઉદાહરણો છે

એ) કુદરતી સંખ્યાઓ ( a 1 = 1 ;અને k +1 = અને k + 1);

b) અનંત ક્રમ 1, 3, 5, 7, … ( a 1 = 1 ;અને k +1 = અને k + 2);

c) અંતિમ ક્રમ 15, 12, 9, 6, 3 ( a 1 = 15 ;અને k +1 = અને k–3 ).

ભૌમિતિક પ્રગતિ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે b k +1 = b k ∙q. તીવ્રતા qકારણ કે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવાય છે b k +1:b k = q. કુદરતી શરતો સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ અને એકથી વધુનો છેદ હિમપ્રપાતની જેમ ઝડપથી વધે છે અને વધે છે. કુદરતી શરતો સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિના ઉદાહરણો છે

a) અનંત ક્રમ 1, 2, 4, 8, … ( b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

b) અનંત ક્રમ 3, 12, 48, 192, 768,… ( b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

ક્રમની શરતો નક્કી કરવા માટેનો કાયદો સૂચવવાની બીજી રીત એ છે કે એક સૂત્ર સૂચવવું જે તમને અસ્પષ્ટ સંખ્યા (સામાન્ય શબ્દ) સાથે અનુક્રમ સભ્યની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અને k, નંબરનો ઉપયોગ કરીને k.

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતો પણ આ રીતે ગણી શકાય. કારણ કે અંકગણિત પ્રગતિ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને k +1 = અને k + r, તે સમજવું સરળ છે કે સભ્ય કેવી રીતે વ્યક્ત થાય છે અને kનંબરનો ઉપયોગ કરીને k:

a 1- મનસ્વી રીતે નક્કી;

a 2 = a 1 + r = a 1 + 1∙r;

a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;

a 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;

…………………………………

અને k = a 1 + (k–1) ∙ આર- અંતિમ સૂત્ર.

ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે, સામાન્ય શબ્દ માટેનું સૂત્ર સમાન રીતે લેવામાં આવ્યું છે: b k = b 1 ∙ q k –1 .

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ ઉપરાંત, અન્ય અનુક્રમો કે જેમાં પરિવર્તનનું વિશિષ્ટ પાત્ર હોય છે તે જ રીતે નક્કી કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે કુદરતી સંખ્યાઓના ચોરસનો ક્રમ આપીએ છીએ: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

સિક્વન્સ બનાવવાની વધુ જટિલ રીતો છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક બીજાની મદદથી બનાવવામાં આવે છે. અંકગણિત માટે વિશેષ મહત્વ એ પરિમાણો દ્વારા નિર્ધારિત ભૌમિતિક પ્રગતિ છે b 1 = 1, q= 10, એટલે કે, દસની શક્તિઓનો ક્રમ: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... તેનો ઉપયોગ સ્થિતિની સંખ્યામાં કુદરતી સંખ્યાઓને દર્શાવવા માટે થાય છે. સિસ્ટમ વધુમાં, દરેક કુદરતી સંખ્યા માટે nએક ક્રમ દેખાય છે જેમાં સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જેની સાથે આપેલ નંબર લખવામાં આવે છે: a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. નંબર અને kપ્રકાર 10 ના કેટલા શબ્દો સૂચવે છે kસંખ્યા ધરાવે છે n.

ક્રમની વિભાવના ગણિત માટે જથ્થા અને કાર્યની સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓ તરફ દોરી જાય છે. જથ્થો એ પદાર્થ અથવા ઘટનાની બદલાતી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે. તેના ફેરફારને સંખ્યાઓના ક્રમ તરીકે જોવામાં આવે છે. શબ્દો અને તેમની સંખ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધનું અસ્તિત્વ, તેમજ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેની અભિવ્યક્તિ, કાર્યની વિભાવનાને નજીકથી દોરી જાય છે.

સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક શોધ, જેનો ઉપયોગ એકદમ વિકસિત સમાજના લગભગ દરેક સભ્ય દ્વારા કરવામાં આવે છે, તે સ્થિતિની સંખ્યા સિસ્ટમ છે. તે ગણતરીની મુખ્ય સમસ્યાને હલ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું, જે ફક્ત પ્રથમ થોડા નંબરો માટે સંકેતો (અંકો) નો ઉપયોગ કરીને વધુ અને વધુ નવા નંબરોને નામ આપવાની ક્ષમતા છે.

પોઝિશનલ નંબર સિસ્ટમ પરંપરાગત રીતે દસ નંબર સાથે સંકળાયેલી છે, પરંતુ અન્ય સિસ્ટમો, ઉદાહરણ તરીકે, બાઈનરી, સમાન સિદ્ધાંતો પર બાંધી શકાય છે. દશાંશ સ્થાનીય નંબર સિસ્ટમ બનાવતી વખતે, દસ અરબી અંકો રજૂ કરવામાં આવે છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. તેમની સહાયથી, એક સંખ્યા લખી શકાય છે જે વસ્તુઓની સંખ્યાને વ્યક્ત કરે છે. કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહ. આ હેતુ માટે, એક વિશિષ્ટ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, પ્રાથમિક ક્રિયાઓનો સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત ક્રમ.

ગણાતી વસ્તુઓને દસના જૂથોમાં જોડવામાં આવે છે, જે બાકીના સાથે દસ વડે ભાગાકારને અનુરૂપ છે. પરિણામે, બે સેટ રચાય છે - એક અને દસ. દસને ફરીથી સેંકડોમાં દસ દ્વારા જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે દસની સંખ્યા (અમે તેને દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ a 1) આવશ્યકપણે દસ કરતાં ઓછું છે, અને તેથી, a 1સંખ્યા દ્વારા સૂચવી શકાય છે. પછી સેંકડોને હજારોમાં, હજારોને દસ હજારમાં, વગેરેમાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. મોટા સૂચકાંકોમાંથી નાનામાં ડાબેથી જમણે પરિણામી સંખ્યાઓ લખીને સંખ્યાનું નિર્માણ પૂર્ણ થાય છે. ડિજિટલ અને k 10 ના પદાર્થોના જૂથોની સંખ્યાને અનુરૂપ k. સંખ્યાના અંતિમ રેકોર્ડમાં અંકોનો મર્યાદિત ક્રમ હોય છે a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. અનુરૂપ સંખ્યા અભિવ્યક્તિ સમાન છે

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.

નંબર સિસ્ટમના નામમાં "પોઝિશનલ" શબ્દ એ હકીકતને કારણે છે કે સંખ્યાના સંકેતમાં તેની સ્થિતિના આધારે સંખ્યા તેના અર્થને બદલે છે. છેલ્લો અંક એકમોની સંખ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે, ઉપાંત્ય અંક દસની સંખ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે, વગેરે.

નોંધ કરો કે કોઈપણ આધાર સાથે નંબર સિસ્ટમમાં સંખ્યાઓનો રેકોર્ડ મેળવવા માટેનું અલ્ગોરિધમ એન: અનુસાર વસ્તુઓના ક્રમિક જૂથીકરણનો સમાવેશ થાય છે એનવસ્તુઓ નંબરો લખતી વખતે તમારે ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે એનસંખ્યાઓ

જો દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n અમુક વાસ્તવિક સંખ્યા x n સાથે સંકળાયેલ હોય, તો આપણે કહીએ છીએ કે આપેલ સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

નંબર x 1 ને ક્રમનો સભ્ય કહેવામાં આવે છે નંબર 1 સાથે અથવા ક્રમની પ્રથમ મુદત, નંબર x 2 - ક્રમના સભ્ય નંબર 2 સાથે અથવા ક્રમનો બીજો સભ્ય, વગેરે. નંબર x n કહેવાય છે સંખ્યા સાથે ક્રમનો સભ્ય n

નંબર સિક્વન્સનો ઉલ્લેખ કરવાની બે રીતો છે - સાથે અને સાથે આવર્તક સૂત્ર.

ઉપયોગ ક્રમ ક્રમના સામાન્ય શબ્દ માટેના સૂત્રો- આ એક ક્રમ કાર્ય છે

x 1 , x 2 , … x n , …

તેની સંખ્યા n પર x n શબ્દની અવલંબન વ્યક્ત કરતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને.

ઉદાહરણ 1. સંખ્યા ક્રમ

1, 4, 9, … n 2 , …

સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

પૂર્વવર્તી સંખ્યાઓ સાથે અનુક્રમ સભ્યો દ્વારા ક્રમ સભ્ય x n ને વ્યક્ત કરતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવો એ ક્રમનો ઉલ્લેખ કરીને ક્રમ સ્પષ્ટ કરવો કહેવાય છે. આવર્તક સૂત્ર.

x 1 , x 2 , … x n , …

કહેવાય છે વધતા ક્રમમાં, વધુઅગાઉના સભ્ય.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે n

x n + 1 >x n

ઉદાહરણ 3. કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ

1, 2, 3, … n, …

છે ચડતો ક્રમ.

વ્યાખ્યા 2. સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

કહેવાય છે ઉતરતો ક્રમજો આ ક્રમના દરેક સભ્ય ઓછુંઅગાઉના સભ્ય.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

x n + 1 < x n

ઉદાહરણ 4. અનુગામી

સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

છે ઉતરતો ક્રમ.

ઉદાહરણ 5. સંખ્યા ક્રમ

1, - 1, 1, - 1, …

સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

નથી ન તો વધતું નથી કે ઘટતું નથીક્રમ

વ્યાખ્યા 3. સંખ્યાના વધતા અને ઘટતા ક્રમને કહેવામાં આવે છે એકવિધ સિક્વન્સ.

બાઉન્ડેડ અને અનબાઉન્ડેડ સિક્વન્સ

વ્યાખ્યા 4. સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

કહેવાય છે ઉપરથી મર્યાદિત,જો ત્યાં M નંબર હોય કે જે આ ક્રમના દરેક સભ્ય હોય ઓછુંસંખ્યાઓ એમ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

વ્યાખ્યા 5. સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

કહેવાય છે નીચે બંધાયેલ,જો ત્યાં m સંખ્યા હોય જે આ ક્રમના દરેક સભ્ય હોય વધુસંખ્યાઓ m.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

વ્યાખ્યા 6. સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

જો તે મર્યાદિત કહેવાય ઉપર અને નીચે બંને મર્યાદિત.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બધા માટે M અને m સંખ્યાઓ છે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

m< x n < M

વ્યાખ્યા 7. સંખ્યાત્મક ક્રમ કે જે મર્યાદિત નથી, કહેવાય છે અમર્યાદિત સિક્વન્સ.

ઉદાહરણ 6. સંખ્યા ક્રમ

1, 4, 9, … n 2 , …

સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

નીચે બંધાયેલ, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 0. જો કે, આ ક્રમ ઉપરથી અમર્યાદિત.

ઉદાહરણ 7. અનુગામી

સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

છે મર્યાદિત ક્રમ, કારણ કે દરેક માટે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

અમારી વેબસાઇટ પર તમે ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટે રિસોલ્વેન્ટા તાલીમ કેન્દ્રના શિક્ષકો દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી શૈક્ષણિક સામગ્રીથી પણ પોતાને પરિચિત કરી શકો છો.

શાળાના બાળકો માટે કે જેઓ સારી તૈયારી કરીને પાસ થવા માંગે છે ગણિત અથવા રશિયન ભાષામાં એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાઉચ્ચ સ્કોર માટે, રિસોલ્વેન્ટા તાલીમ કેન્દ્ર આયોજિત કરે છે

પરિચય……………………………………………………………………… 3

1. સૈદ્ધાંતિક ભાગ……………………………………………………………….4

મૂળભૂત ખ્યાલો અને શરતો ……………………………………………………………………… 4

1.1 ક્રમના પ્રકારો ………………………………………………………………….6

1.1.1.મર્યાદિત અને અમર્યાદિત સંખ્યાના ક્રમ…..6

1.1.2.ક્રમોની એકવિધતા………………………………….6

1.1.3.અનંત વિશાળ અને અનંત ક્રમ…….7

1.1.4.અનંત સિક્વન્સના ગુણધર્મ………………….

1.1.5.કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ સિક્વન્સ અને તેમના પ્રોપર્ટીઝ.....9

1.2 અનુક્રમ મર્યાદા………………………………………………….11

1.2.1.ક્રમોની મર્યાદાઓ પર પ્રમેય………………………………15

1.3 અંકગણિત પ્રગતિ………………………………………………………17

1.3.1. અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મો…………………………………..17

1.4ભૌમિતિક પ્રગતિ………………………………………………………………..19

1.4.1. ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મો ……………………………………….19

1.5. ફિબોનાકી સંખ્યાઓ………………………………………………………………..21

1.5.1 ફિબોનાકી નંબરોનું જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રો સાથે જોડાણ………………….22

1.5.2. સજીવ અને નિર્જીવ પ્રકૃતિનું વર્ણન કરવા માટે ફિબોનાકી નંબર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરવો……………………………………………………………………………………….23

2. પોતાનું સંશોધન…………………………………………………….28

નિષ્કર્ષ………………………………………………………………………………….30

સંદર્ભોની યાદી ……………………………………………………………….31

પરિચય.

સંખ્યા ક્રમ એ ખૂબ જ રસપ્રદ અને શૈક્ષણિક વિષય છે. આ વિષય વધુ જટિલતાના કાર્યોમાં જોવા મળે છે જે વિદ્યાર્થીઓને અભ્યાસાત્મક સામગ્રીના લેખકો દ્વારા ઓફર કરવામાં આવે છે, ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સની સમસ્યાઓ, ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓની પ્રવેશ પરીક્ષાઓ અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા. ગાણિતિક ક્રમ જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રો સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે શીખવામાં મને રસ છે.

સંશોધન કાર્યનો હેતુ: સંખ્યા ક્રમ વિશેના જ્ઞાનને વિસ્તારવા.

1. ક્રમ ધ્યાનમાં લો;

2. તેના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લો;

3. ક્રમના વિશ્લેષણાત્મક કાર્યને ધ્યાનમાં લો;

4. જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રોના વિકાસમાં તેની ભૂમિકા દર્શાવો.

5. જીવંત અને નિર્જીવ પ્રકૃતિનું વર્ણન કરવા માટે સંખ્યાઓની ફિબોનાકી શ્રેણીનો ઉપયોગ દર્શાવો.

1. સૈદ્ધાંતિક ભાગ.

મૂળભૂત ખ્યાલો અને શરતો.

વ્યાખ્યા. સંખ્યાત્મક ક્રમ એ y = f(x), x О N સ્વરૂપનું કાર્ય છે, જ્યાં N એ કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે (અથવા કુદરતી દલીલનું કાર્ય), સૂચિત y = f(n) અથવા y1, y2, …, yn,…. મૂલ્યો y1, y2, y3,... અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા,... ક્રમના સભ્યો કહેવાય છે.

સંખ્યા a એ અનુક્રમની મર્યાદા કહેવાય છે x = (x n ) જો મનસ્વી રીતે પૂર્વનિર્ધારિત મનસ્વી રીતે નાની ધન સંખ્યા ε માટે કુદરતી સંખ્યા N હોય છે જે તમામ n>N માટે અસમાનતા |x n - a|< ε.

જો સંખ્યા a એ ક્રમ x = (x n ) ની મર્યાદા છે, તો તેઓ કહે છે કે x n એ a તરફ વલણ ધરાવે છે, અને લખો

જો દરેક સભ્ય (પ્રથમ સિવાય) અગાઉના સભ્ય કરતા વધારે હોય તો ક્રમ (yn) વધતો હોવાનું કહેવાય છે:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

જો દરેક સભ્ય (પ્રથમ સિવાય) પાછલા એક કરતા ઓછો હોય તો ક્રમ (yn) ને ઘટતું કહેવામાં આવે છે:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

વધતા અને ઘટતા સિક્વન્સને સામાન્ય શબ્દ - મોનોટોનિક સિક્વન્સ હેઠળ જોડવામાં આવે છે.

ક્રમને સામયિક કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કુદરતી સંખ્યા T હોય કે જે અમુક n થી શરૂ કરીને, સમાનતા yn = yn+T ધરાવે છે. નંબર T ને સમયગાળાની લંબાઈ કહેવામાં આવે છે.

અંકગણિત પ્રગતિ એ એક ક્રમ (an) છે, જેમાંથી દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે અગાઉના પદના સરવાળા સમાન હોય છે અને સમાન સંખ્યા d, તેને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા d એ એનો તફાવત છે. અંકગણિત પ્રગતિ.

આમ, અંકગણિતની પ્રગતિ એ સંબંધો દ્વારા વારંવાર વ્યાખ્યાયિત થયેલ સંખ્યાત્મક ક્રમ છે.

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

ભૌમિતિક પ્રગતિ એ એક એવો ક્રમ છે જેમાં તમામ પદો શૂન્યથી અલગ હોય છે અને જેમાંથી દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યા q વડે ગુણાકાર કરીને અગાઉના પદમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

આમ, ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંબંધો દ્વારા વારંવાર વ્યાખ્યાયિત થયેલ સંખ્યાત્મક ક્રમ (bn) છે.

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 સિક્વન્સના પ્રકાર.

1.1.1 પ્રતિબંધિત અને અપ્રતિબંધિત ક્રમ.

ક્રમ (bn) ઉપર બંધાયેલો કહેવાય છે જો ત્યાં M એવી સંખ્યા હોય કે જે કોઈપણ સંખ્યા n માટે અસમાનતા bn≤ M ધરાવે છે;

ક્રમ (bn) ને નીચે બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કોઈ સંખ્યા M હોય કે જે કોઈપણ સંખ્યા n માટે અસમાનતા bn≥ M ધરાવે છે;

ઉદાહરણ તરીકે:

1.1.2 સિક્વન્સની એકવિધતા.

જો કોઈપણ સંખ્યા n અસમાનતા માટે bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) સાચી હોય તો ક્રમ (bn) ને બિન-વધતો (નોન-ઘટતો) કહેવાય છે;

જો કોઈપણ સંખ્યા માટે અસમાનતા bn> bn+1 (bn) હોય તો ક્રમ (bn) ને ઘટતું (વધતું) કહેવાય છે.

ઘટતા અને વધતા ક્રમને કડક રીતે એકવિધ કહેવામાં આવે છે, બિન-વધતા ક્રમને વ્યાપક અર્થમાં મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે.

સીક્વન્સ કે જે ઉપર અને નીચે બંને રીતે બંધાયેલા હોય તેને બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે.

આ તમામ પ્રકારના ક્રમને મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે.

1.1.3 અનંત મોટા અને નાના સિક્વન્સ.

અનંત ક્રમ એ સંખ્યાત્મક કાર્ય અથવા ક્રમ છે જે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે.

ક્રમ an ને અનંત કહેવાય છે જો

જો ℓimx→x0 f(x)=0 હોય તો x0 બિંદુના પડોશમાં ફંક્શનને અનંત કહેવાય છે.

જો ℓimx→.+∞ f(x)=0 અથવા ℓimx→-∞ f(x)=0 હોય તો ફંક્શનને અનંત પર અનંત કહેવાય છે.

તેમજ અનંત એ એક કાર્ય છે જે ફંક્શન અને તેની મર્યાદા વચ્ચેનો તફાવત છે, એટલે કે, જો ℓimx→.+∞ f(x)=a, તો f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

અનંત મોટા ક્રમ એ સંખ્યાત્મક કાર્ય અથવા ક્રમ છે જે અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

એક ક્રમ an ને અનંત મોટી જો કહેવાય છે

ℓimn→0 an=∞.

જો ℓimx→x0 f(x)= ∞ હોય તો બિંદુ x0 ના પડોશમાં ફંક્શન અનંત મોટું હોવાનું કહેવાય છે.

એક ફંક્શનને અનંતતા પર અનંત મોટી કહેવાય છે જો

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ અથવા ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 અનંત સિક્વન્સના ગુણધર્મો.

બે અનંત ક્રમનો સરવાળો એ પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે.

બે અનંત સિક્વન્સનો તફાવત પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે.

અમર્યાદિત ક્રમની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાનો બીજગણિત સરવાળો પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે.

બાઉન્ડેડ ક્રમ અને અનંત ક્રમનું ઉત્પાદન એ અનંત ક્રમ છે.

અમર્યાદિત ક્રમની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાનું ઉત્પાદન એ અનંત ક્રમ છે.

કોઈપણ અનંત ક્રમ બંધાયેલ છે.

જો સ્થિર ક્રમ અનંત છે, તો તેના તમામ ઘટકો, ચોક્કસ બિંદુથી શરૂ થતાં, શૂન્ય સમાન છે.

જો સમગ્ર અનંત ક્રમમાં સમાન તત્વો હોય, તો આ તત્વો શૂન્ય છે.

જો (xn) કોઈ શૂન્ય પદો ધરાવતો અનંત મોટો ક્રમ છે, તો ત્યાં એક અનુક્રમ (1/xn) છે જે અનંત છે. જો, તેમ છતાં, (xn) શૂન્ય તત્વો ધરાવે છે, તો ક્રમ (1/xn) હજુ પણ અમુક સંખ્યા n થી શરૂ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને હજુ પણ અનંત હશે.

જો (an) કોઈ શૂન્ય પદો ધરાવતો અનંત ક્રમ છે, તો ત્યાં એક ક્રમ (1/an) છે જે અનંતપણે મોટો છે. જો (an) તેમ છતાં શૂન્ય ઘટકો ધરાવે છે, તો પછી ક્રમ (1/an) હજુ પણ અમુક સંખ્યા n થી શરૂ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને હજુ પણ અનંતપણે મોટો હશે.

1.1.5 કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ સિક્વન્સ અને તેમના ગુણધર્મો.

કન્વર્જન્ટ ક્રમ એ સમૂહ X ના ઘટકોનો ક્રમ છે જેની આ સમૂહમાં મર્યાદા છે.

ભિન્ન ક્રમ એ એક એવો ક્રમ છે જે કન્વર્જન્ટ નથી.

દરેક અનંત ક્રમ કન્વર્જન્ટ છે. તેની મર્યાદા શૂન્ય છે.

અનંત ક્રમમાંથી કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટકોને દૂર કરવાથી તે ક્રમની કન્વર્જન્સ કે મર્યાદાને અસર થતી નથી.

કોઈપણ કન્વર્જન્ટ ક્રમ બંધાયેલ છે. જો કે, દરેક બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ કન્વર્જ થતા નથી.

જો ક્રમ (xn) કન્વર્જ થાય છે, પરંતુ અનંત નથી, તો પછી, ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, ક્રમ (1/xn) વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે બાઉન્ડેડ છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો સરવાળો પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો તફાવત એ પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનું ઉત્પાદન પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે.

બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો ભાગ અમુક તત્વથી શરૂ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સિવાય કે બીજો ક્રમ અનંત છે. જો બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો ભાગ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો તે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે.

જો કન્વર્જન્ટ ક્રમ નીચે બંધાયેલો હોય, તો તેની કોઈ પણ ઈન્ફિમમ્સ તેની મર્યાદાને ઓળંગી શકતી નથી.

જો કોઈ કન્વર્જન્ટ ક્રમ ઉપરથી બંધાયેલો હોય, તો તેની મર્યાદા તેની ઉપરની સીમાઓમાંથી કોઈપણ કરતાં વધી જતી નથી.

જો કોઈપણ સંખ્યા માટે એક કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની શરતો બીજા કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની શરતો કરતાં વધી નથી, તો પ્રથમ ક્રમની મર્યાદા પણ બીજાની મર્યાદા કરતાં વધી જતી નથી.

કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણીને ધ્યાનમાં લો: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

જો આપણે દરેક કુદરતી સંખ્યાને બદલીએ nચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા આ શ્રેણીમાં a n, કેટલાક કાયદાને અનુસરીને, અમને સંખ્યાઓની નવી શ્રેણી મળે છે:

a 1 , a 2 , a 3, , a n –1 , a n , ,

સંક્ષિપ્તમાં નિયુક્ત અને કહેવાય છે સંખ્યાત્મક ક્રમ. તીવ્રતા a nસંખ્યા ક્રમનો સામાન્ય સભ્ય કહેવાય છે. સામાન્ય રીતે સંખ્યા ક્રમ અમુક સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે a n = f(n) તમને અનુક્રમના કોઈપણ સભ્યને તેની સંખ્યા દ્વારા શોધવાની મંજૂરી આપે છે n; આ સૂત્રને સામાન્ય શબ્દ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરવું હંમેશા શક્ય નથી; કેટલીકવાર તેના સભ્યોનું વર્ણન કરીને ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ક્રમમાં હંમેશા તત્વોની અનંત સંખ્યા હોય છે: કોઈપણ બે અલગ-અલગ તત્વો ઓછામાં ઓછા તેમની સંખ્યામાં ભિન્ન હોય છે, જેમાંથી અનંત ઘણા છે.

સંખ્યા ક્રમ એ ફંક્શનનો વિશિષ્ટ કેસ છે. ક્રમ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં મૂલ્યો લે છે, એટલે કે ફોર્મનું કાર્ય f : એન  આર.

અનુગામી
કહેવાય છે વધારો(ઘટતું), જો કોઈ માટે n  એન
આવા સિક્વન્સ કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધ.

કેટલીકવાર બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો નંબર તરીકે ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ નથી, પરંતુ તેમાંથી માત્ર કેટલીક (ઉદાહરણ તરીકે, કેટલીક કુદરતી સંખ્યાઓથી શરૂ થતી કુદરતી સંખ્યાઓ n 0). નંબરિંગ માટે માત્ર કુદરતી સંખ્યાઓ જ નહીં, પણ અન્ય સંખ્યાઓનો પણ ઉપયોગ કરવો શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, n= 0, 1, 2,  (અહીં કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહમાં શૂન્ય બીજી સંખ્યા તરીકે ઉમેરવામાં આવે છે). આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રમનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે, નંબરો કયા મૂલ્યો લે છે તે દર્શાવો n.

જો કોઈ માટે અમુક ક્રમમાં n  એન
પછી ક્રમ કહેવાય છે બિન-ઘટતું(બિન-વધતું). આવા સિક્વન્સ કહેવામાં આવે છે એકવિધ.

ઉદાહરણ 1 . સંખ્યા ક્રમ 1, 2, 3, 4, 5, ... એ કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણી છે અને તેનો સામાન્ય શબ્દ છે a n = n.

ઉદાહરણ 2 . સંખ્યા ક્રમ 2, 4, 6, 8, 10, ... એ સમ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે અને તેનો સામાન્ય શબ્દ છે a n = 2n.

ઉદાહરણ 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – વધતી સચોટતા સાથે અંદાજિત મૂલ્યોનો સંખ્યાત્મક ક્રમ.

છેલ્લા ઉદાહરણમાં ક્રમના સામાન્ય શબ્દ માટે સૂત્ર આપવાનું અશક્ય છે.

ઉદાહરણ 4 . સંખ્યા ક્રમના પ્રથમ 5 પદો તેના સામાન્ય પદનો ઉપયોગ કરીને લખો
. ગણતરી કરવી aસામાન્ય શબ્દ માટે સૂત્રમાં 1 જરૂરી છે a nતેના બદલે nગણતરી માટે 1 ને બદલે a 2 − 2, વગેરે. પછી આપણી પાસે છે:

ટેસ્ટ 6 . ક્રમ 1, 2, 6, 24, 120,  નો સામાન્ય સભ્ય છે:

1)

2)

3)

4)

ટેસ્ટ 7 .
છે:

1)

2)

3)

4)

ટેસ્ટ 8 . ક્રમનો સામાન્ય સભ્ય
છે:

1)

2)

3)

4)

સંખ્યા ક્રમ મર્યાદા

સંખ્યાના ક્રમને ધ્યાનમાં લો જેનો સામાન્ય શબ્દ અમુક સંખ્યાની નજીક પહોંચે છે એજ્યારે સીરીયલ નંબર વધે છે n. આ કિસ્સામાં, સંખ્યા ક્રમની મર્યાદા હોવાનું કહેવાય છે. આ ખ્યાલની વધુ કડક વ્યાખ્યા છે.

નંબર એસંખ્યા ક્રમની મર્યાદા કહેવાય છે
:

(1)

જો કોઈ  > 0 માટે આવી સંખ્યા હોય n 0 = n 0 (),  પર આધાર રાખીને, જે
ખાતે n > n 0 .

આ વ્યાખ્યાનો અર્થ થાય છે એસંખ્યા ક્રમની મર્યાદા હોય છે જો તેનો સામાન્ય શબ્દ મર્યાદા વિના પહોંચે છે એવધારો સાથે n. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ  > 0 માટે આવી સંખ્યા શોધી શકાય છે n 0 , જે, થી શરૂ થાય છે n > n 0 , ક્રમના તમામ સભ્યો અંતરાલની અંદર સ્થિત છે ( એ – , એ+ ). મર્યાદા ધરાવતો ક્રમ કહેવાય છે કન્વર્જન્ટ; અન્યથા - અલગ.

સંખ્યાના ક્રમમાં ચોક્કસ ચિહ્નની માત્ર એક મર્યાદા (મર્યાદિત અથવા અનંત) હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 5 . હાર્મોનિક ક્રમ મર્યાદા નંબર 0 છે. ખરેખર, સંખ્યા તરીકે કોઈપણ અંતરાલ (–; +) માટે એન 0 કરતાં મોટો કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. પછી દરેક માટે n > n 0 > અમારી પાસે છે

ઉદાહરણ 6 . ક્રમ 2, 5, 2, 5,  અલગ છે. ખરેખર, લંબાઈનો કોઈ અંતરાલ, ઉદાહરણ તરીકે, એક, ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, ક્રમના તમામ સભ્યોને સમાવી શકે છે.

ક્રમ કહેવાય છે મર્યાદિત, જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે એમ, શું
દરેક માટે n. દરેક કન્વર્જન્ટ ક્રમ બંધાયેલ છે. દરેક મોનોટોનિક અને બાઉન્ડેડ સિક્વન્સની એક મર્યાદા હોય છે. દરેક કન્વર્જન્ટ ક્રમની એક અનન્ય મર્યાદા હોય છે.

ઉદાહરણ 7 . અનુગામી
વધી રહી છે અને મર્યાદિત છે. તેણીની મર્યાદા છે
=ઇ.

નંબર ઇકહેવાય છે યુલર નંબરઅને લગભગ 2.718 28 ની બરાબર છે.

ટેસ્ટ 9 . ક્રમ 1, 4, 9, 16,  છે:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

ટેસ્ટ 10 . અનુગામી
છે:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

4) અંકગણિત પ્રગતિ;

5) ભૌમિતિક પ્રગતિ.

ટેસ્ટ 11 . અનુગામી નથી:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

4) હાર્મોનિક.

ટેસ્ટ 12 . સામાન્ય પદ દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમની મર્યાદા
સમાન

1 વ્યાખ્યા

2 ઉદાહરણો

3 સિક્વન્સ પર કામગીરી

4 અનુગામી

• 4.1 ઉદાહરણો

  4.2 ગુણધર્મો

5 ક્રમ મર્યાદા બિંદુ

6 ક્રમ મર્યાદા

7 અમુક પ્રકારના સિક્વન્સ

• 7.1 બાઉન્ડેડ અને અનબાઉન્ડેડ સિક્વન્સ

  • 7.1.1 સંખ્યાત્મક ક્રમની સીમા માટે માપદંડ

    7.1.2 બાઉન્ડેડ સિક્વન્સના ગુણધર્મો

7.2 અનંત મોટા અને અનંત સિક્વન્સ

• 7.2.1 અનંત સિક્વન્સના ગુણધર્મો

7.3 કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ સિક્વન્સ

• 7.3.1 કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સના ગુણધર્મો

7.4 એકવિધ સિક્વન્સ

7.5 મૂળભૂત સિક્વન્સ

સંખ્યા ક્રમ- આ અનુગામીસંખ્યા જગ્યાના ઘટકો.

સંખ્યા ક્રમ એ વિચારણાના મુખ્ય વિષયો પૈકી એક છે ગાણિતિક વિશ્લેષણ.

વ્યાખ્યા

સેટ થવા દો એક્સવાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અથવા જટિલ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. પછી સમૂહના તત્વોનો ક્રમ એક્સકહેવાય છે સંખ્યાત્મક ક્રમ.

ઉદાહરણો

સિક્વન્સ પર કામગીરી

ચાલુ ઘણાસમૂહના ઘટકોના તમામ ક્રમ એક્સનક્કી કરી શકાય છે અંકગણિતઅને અન્ય કામગીરી, જો તેઓ સેટ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે એક્સ. આવા ઓપરેશન્સને સામાન્ય રીતે કુદરતી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તત્વ દ્વારા તત્વ.

ઉદાહરણ તરીકે, આ રીતે સંખ્યા ક્રમ માટે અંકગણિત ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

રકમ x n) અને ( y nz n) જેમ કે z n = x n + y n .

તફાવત દ્વારા સંખ્યા ક્રમ ( x n) અને ( y n) ને સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે ( z n) જેમ કે z n = x n − y n .

કામ સંખ્યા ક્રમ x nઅને y nસંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે ( z n) જેમ કે .

ખાનગી સંખ્યા ક્રમ x nઅને સંખ્યા ક્રમ y n, જેમાંથી તમામ ઘટકો અલગ છે શૂન્ય, સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે . જો ક્રમમાં y nસ્થિતિ હજુ પણ શૂન્ય તત્વ ધરાવે છે, તો પછી આવા ક્રમ દ્વારા વિભાજનનું પરિણામ હજુ પણ ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે .

અલબત્ત, અંકગણિતની ક્રિયાઓ માત્ર સંખ્યાત્મક ક્રમના સમૂહ પર જ નહીં, પણ સમૂહોના ઘટકોના અનુક્રમના કોઈપણ સેટ પર પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેના પર અંકગણિતની ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હોય. ક્ષેત્રોઅથવા તો રિંગ્સ.

અનુગામી

અનુગામી ક્રમ ( x n) એક ક્રમ છે જ્યાં ( k n) એ કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહના તત્વોનો વધતો ક્રમ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘટકોની મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર સંખ્યાને દૂર કરીને અનુક્રમમાંથી અનુગામી મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણો

અનુગામી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓકુદરતી સંખ્યાઓના ક્રમનું અનુગામી છે.

કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ, ગુણાંક 12 , એ ક્રમનો અનુગામી છે સમકુદરતી સંખ્યાઓ.

ગુણધર્મો

દરેક ક્રમ તેની પોતાની અનુગામી છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો અનુગામી ક્રમ મૂળ ક્રમની સમાન મર્યાદામાં કન્વર્જ થાય છે.

જો અમુક મૂળ ક્રમના તમામ અનુગામી એકરૂપ થાય છે, તો તેમની મર્યાદા સમાન છે.

અનંત મોટા ક્રમની કોઈપણ અનુગામી પણ અનંત મોટી છે.

કોઈપણ અમર્યાદિત સંખ્યાના ક્રમમાંથી કોઈ એક અનંત મોટી અનુગામી પસંદ કરી શકે છે, જેના બધા ઘટકોમાં ચોક્કસ ચિહ્ન હોય છે.

કોઈપણ સંખ્યાત્મક ક્રમમાંથી કોઈ એક કન્વર્જન્ટ અનુગામી અથવા અનંત વિશાળ અનુગામી પસંદ કરી શકે છે, જેનાં તમામ ઘટકો ચોક્કસ ચિહ્ન ધરાવે છે.

ક્રમ મર્યાદા બિંદુ

મુખ્ય લેખ: મર્યાદા બિંદુ

ક્રમ મર્યાદા બિંદુ કોઈપણ પડોશમાં એક બિંદુ છે જેમાં આ ક્રમના અનંત ઘણા ઘટકો છે. કન્વર્જન્ટ નંબર સિક્વન્સ માટે, મર્યાદા બિંદુ સાથે એકરુપ છે મર્યાદા.

ક્રમ મર્યાદા

મુખ્ય લેખ: ક્રમ મર્યાદા

ક્રમ મર્યાદા - આ એક એવો પદાર્થ છે કે જેની સંખ્યા વધતી જાય તેમ ક્રમના સભ્યો સંપર્ક કરે છે. તેથી મફતમાં ટોપોલોજીકલ જગ્યાક્રમની મર્યાદા એ કોઈપણમાં એક તત્વ છે પડોશજેમાં કેટલાકથી શરૂ કરીને ક્રમની તમામ શરતો શામેલ છે. ખાસ કરીને, સંખ્યાના અનુક્રમો માટે, મર્યાદા એ કોઈપણ પડોશમાં એક સંખ્યા છે જેના ચોક્કસ બિંદુથી શરૂ થતા ક્રમના તમામ સભ્યો જૂઠું બોલે છે.

આંશિક ક્રમ મર્યાદા તેના અનુગામીમાંથી એકની મર્યાદા છે. કન્વર્જન્ટ નંબર સિક્વન્સ માટે, તે હંમેશા સામાન્ય મર્યાદા સાથે એકરુપ હોય છે.

ઉચ્ચ ક્રમ મર્યાદા આ ક્રમનો સૌથી મોટો મર્યાદા બિંદુ છે.

નીચલી ક્રમ મર્યાદા આ ક્રમનો સૌથી નાનો મર્યાદા બિંદુ છે.

અમુક પ્રકારના સિક્વન્સ

સ્થિર ક્રમ એક ક્રમ છે જેના બધા સભ્યો, અમુક બિંદુથી શરૂ થાય છે, સમાન હોય છે.

(x n) સ્થિર

બાઉન્ડેડ અને અનબાઉન્ડેડ સિક્વન્સ

ધારી રહ્યા છીએ રેખીય ક્રમસેટ એક્સક્રમના ઘટકો, આપણે બાઉન્ડેડ અને અનબાઉન્ડેડ સિક્વન્સની વિભાવનાઓ રજૂ કરી શકીએ છીએ.

ઉપલા બાઉન્ડેડ ક્રમ એક્સ, જેનાં તમામ સભ્યો આ સમૂહમાંથી અમુક તત્વ કરતાં વધી જતા નથી. આ તત્વ કહેવાય છે ટોચની ધાર આ ક્રમ.

(x n) ઉપર બંધાયેલ

નીચે બંધાયેલ ક્રમ સમૂહના ઘટકોનો ક્રમ છે એક્સ, જેના માટે આ સમૂહમાં એક તત્વ છે જે તેના તમામ સભ્યોને ઓળંગતું નથી. આ તત્વ કહેવાય છે નીચેની ધાર આ ક્રમ.

(x n) નીચે બંધાયેલ

મર્યાદિત ક્રમ (બંને બાજુઓ પર બંધાયેલ ક્રમ ) ઉપર અને નીચે બંને રીતે બંધાયેલો ક્રમ છે.

(x n) મર્યાદિત

અમર્યાદિત ક્રમ એક ક્રમ છે જે મર્યાદિત નથી.

(x n) અમર્યાદિત

સંખ્યાત્મક ક્રમની સીમા માટે માપદંડ

સંખ્યાનો ક્રમ બંધાયેલો છે જો અને માત્ર જો ત્યાં એવી સંખ્યા હોય મોડ્યુલોક્રમના તમામ સભ્યોની સંખ્યા તેને ઓળંગતી નથી.

(x n) મર્યાદિત

બાઉન્ડેડ સિક્વન્સના ગુણધર્મો

અનંત મોટા અને અનંત સિક્વન્સ

અનંત ક્રમ એક ક્રમ છે મર્યાદાજે બરાબર છે શૂન્ય.

અનંત વિશાળ ક્રમ એક ક્રમ છે જેની મર્યાદા છે અનંત.

અનંત સિક્વન્સના ગુણધર્મો

અસંખ્ય નોંધપાત્ર ગુણધર્મો દ્વારા અનંત સિક્વન્સને અલગ પાડવામાં આવે છે જેનો સક્રિયપણે ઉપયોગ થાય છે ગાણિતિક વિશ્લેષણ, તેમજ સંબંધિત અને વધુ સામાન્ય શાખાઓમાં.

બે અનંત ક્રમનો સરવાળો એ પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે.

બે અનંત સિક્વન્સનો તફાવત પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે.

અમર્યાદિત ક્રમની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાનો બીજગણિત સરવાળો પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે.

બાઉન્ડેડ ક્રમ અને અનંત ક્રમનું ઉત્પાદન એ અનંત ક્રમ છે.

અમર્યાદિત ક્રમની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાનું ઉત્પાદન એ અનંત ક્રમ છે.

કોઈપણ અનંત ક્રમ બંધાયેલ છે.

જો સ્થિર ક્રમ અનંત છે, તો તેના તમામ ઘટકો, ચોક્કસ બિંદુથી શરૂ થતાં, શૂન્ય સમાન છે.

જો સમગ્ર અનંત ક્રમમાં સમાન તત્વો હોય, તો આ તત્વો શૂન્ય છે.

જો ( x n) એ એક અનંત મોટો ક્રમ છે જેમાં શૂન્ય પદો નથી હોતા, પછી એક ક્રમ છે (1 / x n), જે અનંત છે. x nજો ( x n n) હજુ પણ શૂન્ય તત્વો ધરાવે છે, પછી ક્રમ (1 /

, અને હજુ પણ અનંત હશે. nજો (α n) એ એક અનંત ક્રમ છે જેમાં શૂન્ય પદો હોતા નથી, પછી એક ક્રમ છે (1 / α n), જે અનંત વિશાળ છે. nજો (α n) હજુ પણ શૂન્ય તત્વો ધરાવે છે, પછી ક્રમ (1 / α

કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ સિક્વન્સ

કન્વર્જન્ટ ક્રમ સમૂહના ઘટકોનો ક્રમ છે એક્સ, ધરાવતા મર્યાદાઆ ટોળામાં.

ભિન્ન ક્રમ એક એવો ક્રમ છે જે કન્વર્જન્ટ નથી.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સના ગુણધર્મો

દરેક અનંત ક્રમ કન્વર્જન્ટ છે. તેની મર્યાદા છે શૂન્ય.

અનંત ક્રમમાંથી કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટકોને દૂર કરવાથી તે ક્રમની કન્વર્જન્સ કે મર્યાદાને અસર થતી નથી.

તત્વોનો કોઈપણ કન્વર્જન્ટ ક્રમ Hausdorff જગ્યામાત્ર એક મર્યાદા છે.

કોઈપણ કન્વર્જન્ટ ક્રમ બંધાયેલ છે. જો કે, દરેક બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ કન્વર્જ થતા નથી.

જો અને માત્ર જો તે બંધાયેલ હોય અને તે પણ હોય તો જ ક્રમ એકરૂપ થાય છે ઉપલી અને નીચલી મર્યાદામેળ

જો ક્રમ ( x n) કન્વર્જ થાય છે, પરંતુ તે અનંત નથી, પછી, ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, ક્રમ (1 / x n), જે મર્યાદિત છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો સરવાળો પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો તફાવત એ પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનું ઉત્પાદન પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે.

બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો ભાગ અમુક તત્વથી શરૂ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સિવાય કે બીજો ક્રમ અનંત છે. જો બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો ભાગ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો તે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે.

જો કન્વર્જન્ટ ક્રમ નીચે બંધાયેલો હોય, તો તેની કોઈ પણ ઈન્ફિમમ્સ તેની મર્યાદાને ઓળંગી શકતી નથી.

જો કોઈ કન્વર્જન્ટ ક્રમ ઉપરથી બંધાયેલો હોય, તો તેની મર્યાદા તેની ઉપરની સીમાઓમાંથી કોઈપણ કરતાં વધી જતી નથી.

જો કોઈપણ સંખ્યા માટે એક કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની શરતો બીજા કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની શરતો કરતાં વધી નથી, તો પ્રથમ ક્રમની મર્યાદા પણ બીજાની મર્યાદા કરતાં વધી જતી નથી.

જો ચોક્કસ ક્રમના તમામ ઘટકો, ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, સમાન મર્યાદામાં કન્વર્જ થતા અન્ય બે ક્રમના અનુરૂપ તત્વો વચ્ચેના સેગમેન્ટ પર આવેલા હોય, તો આ ક્રમ પણ સમાન મર્યાદામાં કન્વર્જ થાય છે.

કોઈપણ કન્વર્જન્ટ ક્રમ ( x n) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે ( x n) = (a + α n), ક્યાં a- ક્રમ મર્યાદા ( x n), અને α n- કેટલાક અનંત ક્રમ.

દરેક કન્વર્જન્ટ ક્રમ છે મૂળભૂત.

આ કિસ્સામાં, મૂળભૂત સંખ્યાનો ક્રમ હંમેશા કન્વર્જ થાય છે (જેમ કે સંપૂર્ણ જગ્યાના તત્વોના કોઈપણ મૂળભૂત ક્રમ).

મુખ્ય લેખ:

એકવિધ સિક્વન્સ મોનોટોનિક ક્રમ બિન-વધતો અથવા ન ઘટતો ક્રમ છે. આ કિસ્સામાં, એવું માનવામાં આવે છે કે સેટ પર જેમાંથી ક્રમના તત્વો લેવામાં આવે છે,.

ઓર્ડર સંબંધ

મુખ્ય લેખ:

મૂળભૂત સિક્વન્સ (મૂળભૂત ક્રમ , કન્વર્જન્ટ ક્રમ કોચી ક્રમ ) એ તત્વોનો ક્રમ છેમેટ્રિક જગ્યા

, જેમાં કોઈપણ પૂર્વનિર્ધારિત અંતર માટે એક તત્વ હોય છે કે જેમાંથી તેને અનુસરતા કોઈપણ ઘટકોનું અંતર ઉલ્લેખિત કરતા વધારે ન હોય. સંખ્યાના ક્રમ માટે, મૂળભૂત અને કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની વિભાવનાઓ સમાન હોય છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે આ કેસ નથી. ક્રમ નંબર શ્રેણી

એબ્સ્ટ્રેક્ટ >> ગણિત વા કન્વર્જન્ટ શ્રેણીસંખ્યાત્મક અનુગામીપંક્તિ - અનંત અનુગામીચિહ્ન દ્વારા જોડાયેલ સંખ્યાઓ... ઘટનાઓનો પ્રવાહ ઘટનાઓનો પ્રવાહ- ઘટનાઓ કે જે અવ્યવસ્થિત રીતે થાય છે... -va: 1. F(x) સમગ્ર રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેસંખ્યાત્મક