કાર્યમાં વધારો, ઘટાડો અને ચરમસીમા

કાર્યના વધારા, ઘટાડા અને ચરમસીમાના અંતરાલો શોધવા એ એક સ્વતંત્ર કાર્ય અને અન્ય કાર્યોનો આવશ્યક ભાગ છે, ખાસ કરીને, સંપૂર્ણ કાર્ય અભ્યાસ. કાર્યના વધારા, ઘટાડા અને ચરમસીમા વિશે પ્રારંભિક માહિતી આપવામાં આવી છે વ્યુત્પન્ન પર સૈદ્ધાંતિક પ્રકરણ, જેનો હું પ્રારંભિક અભ્યાસ માટે ખૂબ ભલામણ કરું છું (અથવા પુનરાવર્તન)– એ પણ કારણસર કે નીચેની સામગ્રી ખૂબ જ પર આધારિત છે આવશ્યકપણે વ્યુત્પન્ન,આ લેખનું સુમેળભર્યું ચાલુ છે. જો કે, જો સમય ઓછો હોય, તો આજના પાઠમાંથી ઉદાહરણોની સંપૂર્ણ ઔપચારિક પ્રેક્ટિસ પણ શક્ય છે.

અને આજે હવામાં દુર્લભ સર્વસંમતિની ભાવના છે, અને હું સીધો અનુભવ કરી શકું છું કે હાજર દરેક વ્યક્તિ ઇચ્છાથી બળી રહ્યો છે તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરવાનું શીખો. તેથી, વાજબી, સારી, શાશ્વત પરિભાષા તરત જ તમારા મોનિટર સ્ક્રીન પર દેખાય છે.

શેના માટે? કારણો પૈકી એક સૌથી વ્યવહારુ છે: જેથી તે સ્પષ્ટ થાય કે કોઈ ચોક્કસ કાર્યમાં તમારા માટે સામાન્ય રીતે શું જરૂરી છે!

કાર્યની એકવિધતા. એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા

ચાલો કેટલાક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. સરળ રીતે કહીએ તો, અમે ધારીએ છીએ કે તેણી સતતસમગ્ર સંખ્યા રેખા પર:

ફક્ત કિસ્સામાં, ચાલો તરત જ સંભવિત ભ્રમણાથી છુટકારો મેળવીએ, ખાસ કરીને તે વાચકો માટે કે જેઓ તાજેતરમાં પરિચિત થયા છે. કાર્યના સતત સંકેતના અંતરાલો. હવે અમે રસ નથી, કેવી રીતે કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની તુલનામાં સ્થિત છે (ઉપર, નીચે, જ્યાં અક્ષ છેદે છે). ખાતરી કરવા માટે, માનસિક રૂપે અક્ષોને ભૂંસી નાખો અને એક ગ્રાફ છોડી દો. કારણ કે ત્યાં જ રસ રહેલો છે.

કાર્ય વધે છેઅંતરાલ પર જો આ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો અસમાનતા સાચી છે. એટલે કે, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે, અને તેનો ગ્રાફ "નીચેથી ઉપર" જાય છે. નિદર્શન કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે.

તેવી જ રીતે, કાર્ય ઘટે છેઅંતરાલ પર જો આપેલ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે જેમ કે, અસમાનતા સાચી છે. એટલે કે, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે અને તેનો ગ્રાફ "ઉપરથી નીચે સુધી" જાય છે. આપણું કાર્ય અંતરાલ પર ઘટે છે .

જો કોઈ કાર્ય અંતરાલમાં વધે અથવા ઘટે, તો તેને કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધઆ અંતરાલ પર. એકવિધતા શું છે? તેને શાબ્દિક રીતે લો - એકવિધતા.

તમે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો બિન-ઘટતુંકાર્ય (પ્રથમ વ્યાખ્યામાં હળવા સ્થિતિ) અને બિન-વધતુંકાર્ય (2જી વ્યાખ્યામાં નરમ સ્થિતિ). એક અંતરાલ પર બિન-ઘટતા અથવા ન વધતા કાર્યને આપેલ અંતરાલ પર એકવિધ કાર્ય કહેવાય છે (કડક એકવિધતા એ "સરળ" એકવિધતાનો વિશેષ કેસ છે).

થિયરી ફંક્શનના વધારા/ઘટાડાને નિર્ધારિત કરવા માટેના અન્ય અભિગમોને પણ ધ્યાનમાં લે છે, જેમાં અર્ધ-અંતરો, સેગમેન્ટ્સનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ તમારા માથા પર તેલ-તેલ-તેલ ન રેડવા માટે, અમે સ્પષ્ટ વ્યાખ્યાઓ સાથે ખુલ્લા અંતરાલ સાથે કામ કરવા માટે સંમત થઈશું. - આ સ્પષ્ટ છે, અને ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે પૂરતું છે.

આમ, મારા લેખોમાં "ફંક્શનની એકવિધતા" શબ્દ લગભગ હંમેશા છુપાયેલો રહેશે અંતરાલોકડક એકવિધતા(ફંક્શનમાં સખત વધારો અથવા સખત ઘટાડો).

બિંદુની પડોશ. શબ્દો કે જેના પછી વિદ્યાર્થીઓ ગમે ત્યાં ભાગી જાય છે અને ખૂણામાં ભયાનક રીતે સંતાઈ જાય છે. ...જોકે પોસ્ટ પછી કોચી મર્યાદાતેઓ કદાચ હવે છુપાઈ રહ્યા નથી, પરંતુ માત્ર સહેજ ધ્રૂજી રહ્યા છે =) ચિંતા કરશો નહીં, હવે ગાણિતિક વિશ્લેષણના પ્રમેયની કોઈ સાબિતી હશે નહીં - વ્યાખ્યાઓને વધુ કડક રીતે ઘડવા માટે મને આસપાસના વાતાવરણની જરૂર હતી આત્યંતિક બિંદુઓ. ચાલો યાદ કરીએ:

બિંદુની પડોશઆપેલ બિંદુને સમાવે છે તે અંતરાલ કહેવાય છે, અને સગવડ માટે, અંતરાલને ઘણીવાર સપ્રમાણ માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ અને તેના પ્રમાણભૂત પડોશી:

વાસ્તવમાં, વ્યાખ્યાઓ:

બિંદુ કહેવાય છે સખત મહત્તમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેણીનો પડોશ, દરેક માટેજેનાં મૂલ્યો, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા. અમારા વિશિષ્ટ ઉદાહરણમાં, આ એક બિંદુ છે.

બિંદુ કહેવાય છે કડક ન્યૂનતમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેણીનો પડોશ, દરેક માટેજેનાં મૂલ્યો, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા. ડ્રોઇંગમાં બિંદુ "a" છે.

નોંધ : પડોશી સમપ્રમાણતાની જરૂરિયાત બિલકુલ જરૂરી નથી. વધુમાં, તે મહત્વપૂર્ણ છે અસ્તિત્વની હકીકતપડોશી (પછી ભલે નાનું હોય કે માઇક્રોસ્કોપિક) જે ઉલ્લેખિત શરતોને સંતોષે છે

પોઈન્ટ કહેવાય છે સખત આત્યંતિક બિંદુઓઅથવા માત્ર આત્યંતિક બિંદુઓકાર્યો એટલે કે, તે મહત્તમ પોઈન્ટ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ્સ માટે સામાન્યકૃત શબ્દ છે.

આપણે "આત્યંતિક" શબ્દને કેવી રીતે સમજી શકીએ? હા, એકવિધતા જેટલી જ સીધી. રોલર કોસ્ટરના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ.

મોનોટોનિસિટીના કિસ્સામાં, છૂટક પોસ્ટ્યુલેટ્સ અસ્તિત્વમાં છે અને સિદ્ધાંતમાં વધુ સામાન્ય છે (જે, અલબત્ત, માનવામાં આવતા કડક કેસો હેઠળ આવે છે!):

બિંદુ કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આસપાસનો માહોલ એવો છે દરેક માટે
બિંદુ કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આસપાસનો માહોલ એવો છે દરેક માટેઆ પડોશના મૂલ્યો, અસમાનતા ધરાવે છે.

નોંધ કરો કે છેલ્લી બે વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, સ્થિર કાર્યનો કોઈપણ બિંદુ (અથવા ફંક્શનનો "સપાટ વિભાગ") મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુ બંને ગણવામાં આવે છે! કાર્ય, માર્ગ દ્વારા, બંને બિન-વધતા અને ન ઘટતા, એટલે કે, એકવિધ છે. જો કે, અમે આ વિચારણાઓ સિદ્ધાંતવાદીઓ પર છોડી દઈશું, કારણ કે વ્યવહારમાં આપણે હંમેશા પરંપરાગત "પહાડીઓ" અને "હોલોઝ" (રેખાંકન જુઓ)ને અનન્ય "પહાડીના રાજા" અથવા "સ્વેમ્પની રાજકુમારી" સાથે ચિંતન કરીએ છીએ. વિવિધતા તરીકે, તે થાય છે ટીપ, ઉપર અથવા નીચે નિર્દેશિત, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ પર કાર્યનું ન્યૂનતમ.

ઓહ, અને રોયલ્ટી વિશે બોલતા:
- અર્થ કહેવાય છે મહત્તમકાર્યો;
- અર્થ કહેવાય છે ન્યૂનતમકાર્યો

સામાન્ય નામ - ચરમસીમાકાર્યો

કૃપા કરીને તમારા શબ્દોથી સાવચેત રહો!

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ- આ "X" મૂલ્યો છે.
આત્યંતિક- "રમત" નો અર્થ.

! નોંધ : કેટલીકવાર સૂચિબદ્ધ શબ્દો "X-Y" બિંદુઓનો સંદર્ભ આપે છે જે સીધા જ કાર્યના ગ્રાફ પર આવેલા છે.

ફંક્શનમાં કેટલા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે?

કોઈ નહીં, 1, 2, 3, ... વગેરે. જાહેરાત અનંત ઉદાહરણ તરીકે, સાઈનમાં અનંતપણે ઘણા મિનિમા અને મેક્સિમા છે.

મહત્વપૂર્ણ!શબ્દ "મહત્તમ કાર્ય" સમાન નથી"ફંક્શનનું મહત્તમ મૂલ્ય" શબ્દ. તે નોંધવું સરળ છે કે મૂલ્ય ફક્ત સ્થાનિક પડોશમાં જ મહત્તમ છે, અને ટોચની ડાબી બાજુએ "કૂલર સાથીઓ" છે. તેવી જ રીતે, "ફંક્શનનું ન્યુનત્તમ" એ "ફંક્શનના ન્યૂનતમ મૂલ્ય" જેવું જ નથી અને ડ્રોઇંગમાં આપણે જોઈએ છીએ કે મૂલ્ય ફક્ત ચોક્કસ વિસ્તારમાં ન્યૂનતમ છે. આ સંદર્ભે, એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ પણ કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ, અને અંતિમ - સ્થાનિક ચરમસીમાઓ. તેઓ ચાલે છે અને નજીકમાં ભટકતા હોય છે અને વૈશ્વિકભાઈઓ તેથી, કોઈપણ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ પર હોય છે વૈશ્વિક લઘુત્તમઅથવા વૈશ્વિક મહત્તમ. આગળ, હું ચરમસીમાના પ્રકારો વચ્ચે તફાવત કરીશ નહીં, અને સમજૂતી સામાન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે વધુ ઉચ્ચારવામાં આવે છે - વધારાના વિશેષણો "સ્થાનિક"/"વૈશ્વિક" તમને આશ્ચર્યચકિત કરવા જોઈએ નહીં.

ચાલો ટેસ્ટ શૉટ સાથે સિદ્ધાંતમાં અમારા ટૂંકા પ્રવાસનો સારાંશ આપીએ: કાર્ય "એકવિધતાના અંતરાલો અને કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધો" નો અર્થ શું છે?

શબ્દો તમને શોધવા માટે પ્રોત્સાહિત કરે છે:

- વધતા/ઘટાડતા કાર્યના અંતરાલો (ઘટાડા વગરના, ન વધતા ઘણી ઓછી વાર દેખાય છે);

- મહત્તમ અને/અથવા લઘુત્તમ પોઈન્ટ (જો કોઈ હોય તો). ઠીક છે, નિષ્ફળતા ટાળવા માટે, લઘુત્તમ/મહત્તમ ;-) પોતાને શોધવાનું વધુ સારું છે.

આ બધું કેવી રીતે નક્કી કરવું?વ્યુત્પન્ન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને!

વધતા, ઘટતા અંતરાલો કેવી રીતે શોધવી,
એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા?

ઘણા નિયમો, વાસ્તવમાં, પહેલાથી જ જાણીતા અને સમજવામાં આવ્યા છે વ્યુત્પન્નના અર્થ વિશેનો પાઠ.

સ્પર્શક વ્યુત્પન્ન ખુશખુશાલ સમાચાર લાવે છે કે કાર્ય સમગ્રમાં વધી રહ્યું છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર.

કોટેન્જેન્ટ અને તેના વ્યુત્પન્ન સાથે પરિસ્થિતિ બરાબર વિપરીત છે.

આર્કસાઇન અંતરાલ પર વધે છે - અહીં વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે: .
જ્યારે ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ અલગ નથી. જો કે, નિર્ણાયક બિંદુ પર જમણા હાથે વ્યુત્પન્ન અને જમણા હાથની સ્પર્શક હોય છે, અને બીજી ધાર પર તેમના ડાબા હાથના સમકક્ષ હોય છે.

મને લાગે છે કે આર્ક કોસાઇન અને તેના વ્યુત્પન્ન માટે સમાન તર્ક હાથ ધરવા તમારા માટે બહુ મુશ્કેલ નહીં હોય.

ઉપરોક્ત તમામ કેસો, જેમાંથી ઘણા છે ટેબ્યુલર ડેરિવેટિવ્ઝ, હું તમને યાદ કરું છું, સીધા જ અનુસરો વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યાઓ.

તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ શા માટે કરવું?

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે: જ્યાં તે “નીચે ઉપર” જાય છે, જ્યાં “ટોપ ડાઉન”, જ્યાં તે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ સુધી પહોંચે છે (જો તે બિલકુલ પહોંચે તો). બધા ફંક્શન એટલા સરળ હોતા નથી - મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આપણને ચોક્કસ ફંક્શનના ગ્રાફ વિશે બિલકુલ ખ્યાલ હોતો નથી.

વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધવાનો અને વિચારવાનો સમય છે એકવિધતા અને કાર્યના અંતરાલો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

ઉદાહરણ 1

ફંક્શનના વધારા/ઘટાડા અને અંતરાલો શોધો

ઉકેલ:

1) પ્રથમ પગલું શોધવાનું છે ફંક્શનનું ડોમેન, અને બ્રેકપોઇન્ટ્સની પણ નોંધ લો (જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો). આ કિસ્સામાં, કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે, અને આ ક્રિયા અમુક હદ સુધી ઔપચારિક છે. પરંતુ અસંખ્ય કેસોમાં, અહીં ગંભીર જુસ્સો ભડકે છે, તેથી ચાલો અણગમો કર્યા વિના ફકરાની સારવાર કરીએ.

2) અલ્ગોરિધમનો બીજો મુદ્દો કારણે છે

એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ:

જો કોઈ બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તો કાં તો મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં નથી.

અંત દ્વારા મૂંઝવણમાં છો? "મોડ્યુલસ x" ફંક્શનની સીમા .

શરત જરૂરી છે, પરંતુ પૂરતું નથી, અને વાતચીત હંમેશા સાચી હોતી નથી. તેથી, તે હજુ સુધી સમાનતાથી અનુસરતું નથી કે કાર્ય બિંદુ પર મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે. એક ઉત્તમ ઉદાહરણ ઉપર પહેલેથી જ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું છે - આ એક ક્યુબિક પેરાબોલા અને તેના નિર્ણાયક બિંદુ છે.

પરંતુ તે બની શકે તે રીતે, એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ શંકાસ્પદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂરિયાત સૂચવે છે. આ કરવા માટે, વ્યુત્પન્ન શોધો અને સમીકરણ ઉકેલો:

પ્રથમ લેખની શરૂઆતમાં કાર્ય ગ્રાફ વિશેમેં તમને એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલાને ઝડપથી કેવી રીતે બનાવવું તે કહ્યું : "...આપણે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ: ...તેથી, આપણા સમીકરણનો ઉકેલ: - આ બિંદુએ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ સ્થિત છે..." હવે, મને લાગે છે કે, દરેક જણ સમજે છે કે શા માટે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ આ બિંદુએ બરાબર સ્થિત છે =) સામાન્ય રીતે, આપણે અહીં સમાન ઉદાહરણથી શરૂઆત કરવી જોઈએ, પરંતુ તે ખૂબ સરળ છે (એક ચાની કીટલી માટે પણ). વધુમાં, વિશેના પાઠના ખૂબ જ અંતમાં એક એનાલોગ છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. તેથી, ચાલો ડિગ્રી વધારીએ:

ઉદાહરણ 2

એકવિધતાના અંતરાલો અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સમસ્યાનો સંપૂર્ણ ઉકેલ અને અંદાજિત અંતિમ નમૂનો.

અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યો સાથે મળવાની લાંબા સમયથી રાહ જોવાતી ક્ષણ આવી ગઈ છે:

ઉદાહરણ 3

પ્રથમ ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરો

એક અને સમાન કાર્યને કેવી રીતે બદલી શકાય છે તેના પર ધ્યાન આપો.

ઉકેલ:

1) ફંક્શન પોઈન્ટ પર અનંત વિરામનો ભોગ બને છે.

2) અમે નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ છીએ. ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ. અપૂર્ણાંક શૂન્ય છે જ્યારે તેનો અંશ શૂન્ય છે:

આમ, અમને ત્રણ નિર્ણાયક મુદ્દા મળે છે:

3) અમે નંબર લાઇન પરના તમામ શોધાયેલ બિંદુઓ અને અંતરાલ પદ્ધતિઅમે ડેરિવેટિવના ચિહ્નોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:

હું તમને યાદ કરાવું છું કે તમારે અંતરાલમાં અમુક બિંદુ લેવાની અને તેના પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે અને તેની નિશાની નક્કી કરો. ગણતરી ન કરવી પણ મૌખિક રીતે "અંદાજ" કરવી તે વધુ નફાકારક છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ સાથે સંબંધિત બિંદુ લઈએ અને અવેજી કરીએ: .

બે "પ્લીસસ" અને એક "માઈનસ" એક "માઈનસ" આપે છે, તેથી, જેનો અર્થ છે કે સમગ્ર અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.

ક્રિયા, જેમ તમે સમજો છો, છ અંતરાલોમાંથી દરેક માટે હાથ ધરવાની જરૂર છે. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે અંશ પરિબળ અને છેદ કોઈપણ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુ માટે સખત રીતે હકારાત્મક છે, જે કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે.

તેથી, વ્યુત્પન્નએ અમને જણાવ્યું કે FUNCTION ITSELF દ્વારા વધે છે અને દ્વારા ઘટે છે. જોડાવા આયકન સાથે સમાન પ્રકારના અંતરાલોને જોડવાનું અનુકૂળ છે.

બિંદુએ કાર્ય તેની મહત્તમ પહોંચે છે:
બિંદુએ કાર્ય ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે:

શા માટે તમારે બીજા મૂલ્યની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર નથી તે વિશે વિચારો ;-)

જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાતું નથી, તેથી ફંક્શનને ત્યાં કોઈ EXTREMUM નથી - તે બંને ઘટ્યું અને ઘટતું રહ્યું.

! ચાલો એક મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાનું પુનરાવર્તન કરીએ: બિંદુઓને નિર્ણાયક ગણવામાં આવતા નથી - તેમાં એક કાર્ય છે વ્યાખ્યાયિત નથી. તદનુસાર, અહીં સિદ્ધાંતમાં કોઈ ચરમસીમા હોઈ શકે નહીં(ભલે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો સાઇન).

જવાબ આપો: દ્વારા કાર્ય વધે છે અને તે બિંદુએ ઘટે છે જ્યાં ફંક્શનની મહત્તમ સંખ્યા પહોંચી જાય છે: , અને બિંદુ પર - ન્યૂનતમ: .

એકવિધતા અંતરાલો અને ચરમસીમાનું જ્ઞાન, સ્થાપિત સાથે જોડાયેલું એસિમ્પ્ટોટ્સપહેલાથી જ ફંક્શન ગ્રાફના દેખાવનો ખૂબ જ સારો ખ્યાલ આપે છે. સરેરાશ તાલીમ ધરાવનાર વ્યક્તિ મૌખિક રીતે નક્કી કરવામાં સક્ષમ છે કે ફંક્શનના ગ્રાફમાં બે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ અને એક ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ છે. અહીં અમારો હીરો છે:

અભ્યાસના પરિણામોને આ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સાંકળવાનો ફરી એકવાર પ્રયાસ કરો.
નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ આત્યંતિક નથી, પરંતુ ત્યાં છે આલેખ વળાંક(જે, એક નિયમ તરીકે, સમાન કિસ્સાઓમાં થાય છે).

ઉદાહરણ 4

ફંક્શનની સીમા શોધો

ઉદાહરણ 5

કાર્યના એકવિધતા અંતરાલ, મેક્સિમા અને મિનિમા શોધો

…આજે લગભગ અમુક પ્રકારની “X in a ક્યુબ” રજા જેવું છે....
સૂઓ, ગેલેરીમાં કોણે આ માટે પીવાની ઓફર કરી? =)

દરેક કાર્યમાં તેની પોતાની નોંધપાત્ર ઘોંઘાટ અને તકનીકી સૂક્ષ્મતા હોય છે, જેના પર પાઠના અંતે ટિપ્પણી કરવામાં આવે છે.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ એ ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ છે, જે ચોક્કસ અલ્ગોરિધમ મુજબ જોવા મળે છે. ફંક્શન માટે શોધ કરતી વખતે આ મુખ્ય સૂચક છે. બિંદુ x0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે જો ચોક્કસ પડોશના તમામ x માટે x0 અસમાનતા f(x) ? f(x0) (મહત્તમ બિંદુ માટે, ઉદ્દેશ્યથી વિપરીત અસમાનતા f(x) ? f(x0)) છે.

સૂચનાઓ

1. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો. વ્યુત્પન્ન ચોક્કસ બિંદુએ ફંક્શનના મેટામોર્ફોસિસને દર્શાવે છે અને ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. તેને શોધવા માટે, ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો. ચાલો કહીએ કે ફંક્શન y = x3 નું વ્યુત્પન્ન y’ = x2 બરાબર હશે.

2. આ વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સમાન કરો (આ કિસ્સામાં x2=0).

3. આપેલ અભિવ્યક્તિનું ચલ મૂલ્ય શોધો. આ એવા મૂલ્યો હશે કે જેના પર આ વ્યુત્પન્ન 0 ની બરાબર હશે. આ કરવા માટે, એક્સને બદલે એક્સપ્રેશનમાં આર્બિટરી સંખ્યાઓ બદલો, જેના પર સમગ્ર એક્સપ્રેશન શૂન્ય થઈ જશે. ચાલો કહીએ:2-2×2=0(1-x)(1+x) = 0x1=1, x2 = -1

4. મેળવેલ મૂલ્યોને સંકલન રેખા પર લખો અને તમામ પ્રાપ્ત અંતરાલો માટે વ્યુત્પન્નના ચિહ્નની ગણતરી કરો. બિંદુઓ સંકલન રેખા પર ચિહ્નિત થયેલ છે, જે સંદર્ભની પ્રસ્તાવના તરીકે લેવામાં આવે છે. અંતરાલ પરના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, માપદંડને પૂર્ણ કરતા મનસ્વી મૂલ્યોને બદલો. ચાલો કહીએ, અંતરાલ -1 સુધીના પાછલા કાર્ય માટે, તેને મૂલ્ય -2 ને પ્રાધાન્ય આપવાની મંજૂરી છે. -1 થી 1 ના અંતરાલમાં, તમે 0 પસંદ કરી શકો છો, અને 1 થી વધુ મૂલ્યો માટે, 2 પસંદ કરો. આ સંખ્યાઓને વ્યુત્પન્નમાં બદલો અને વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન શોધો. આ કિસ્સામાં, x = -2 સાથે વ્યુત્પન્ન -0.24 બરાબર હશે, એટલે કે. નકારાત્મક અને આ અંતરાલ પર માઈનસ ચિહ્ન હશે. જો x=0, તો મૂલ્ય 2 ની બરાબર હશે, જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલ પર એક સકારાત્મક ચિહ્ન મૂકવામાં આવે છે. જો x=1 હોય, તો ડેરિવેટિવ પણ -0.24 ની બરાબર હશે અને તેથી માઈનસ મૂકવામાં આવે છે.

5. જો, સંકલન રેખા પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને બાદબાકીથી વત્તામાં બદલે છે, તો આ લઘુત્તમ બિંદુ છે, અને જો વત્તાથી માઈનસમાં, તો આ મહત્તમ બિંદુ છે.

ફંક્શનના મહત્તમ પોઈન્ટ, લઘુત્તમ પોઈન્ટની સાથે, એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ કહેવાય છે. આ બિંદુઓ પર કાર્ય વર્તનની પ્રકૃતિને બદલે છે. એક્સ્ટ્રીમા મર્યાદિત સંખ્યાત્મક અંતરાલો પર નક્કી કરવામાં આવે છે અને તે હંમેશા સ્થાનિક હોય છે.

સૂચનાઓ

1. સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમા શોધવાની પ્રક્રિયાને ફંક્શન માઇનિંગ કહેવામાં આવે છે અને તે ફંક્શનના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સને જોઈને કરવામાં આવે છે. તમારું સંશોધન શરૂ કરતા પહેલા, ખાતરી કરો કે દલીલ મૂલ્યોની આ શ્રેણી સંભવિત મૂલ્યોની છે. ચાલો કહીએ, ફંક્શન F=1/x માટે, દલીલ x=0 ની કિંમત અસ્વીકાર્ય છે. અથવા ફંક્શન Y=tg(x) માટે દલીલમાં x=90° મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી.

2. ખાતરી કરો કે Y ફંક્શન દરેક આપેલ અંતરાલ પર અલગ છે. Y' નું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધો. દેખીતી રીતે, સ્થાનિક મહત્તમના બિંદુ સુધી પહોંચતા પહેલા, કાર્ય વધે છે, અને જ્યારે મહત્તમમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે કાર્ય ઘટતું જાય છે. પ્રથમ વ્યુત્પન્ન, તેના ભૌતિક અર્થમાં, કાર્યના મેટામોર્ફોસિસના દરને દર્શાવે છે. જ્યારે કાર્ય વધી રહ્યું છે, ત્યારે આ પ્રક્રિયાનો દર હકારાત્મક મૂલ્ય છે. જ્યારે સ્થાનિક મહત્તમમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે કાર્યમાં ઘટાડો થવાનું શરૂ થાય છે, અને કાર્ય મેટામોર્ફોસિસ પ્રક્રિયાનો દર નકારાત્મક બને છે. શૂન્ય દ્વારા કાર્યના મેટામોર્ફોસિસના દરનું સંક્રમણ સ્થાનિક મહત્તમના બિંદુ પર થાય છે.

3. પરિણામે, વધતા કાર્યના સેગમેન્ટમાં, તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન આ અંતરાલ પરની દલીલના તમામ મૂલ્યો માટે હકારાત્મક છે. અને ઊલટું - તે પ્રદેશમાં જ્યાં કાર્ય ઘટે છે, પ્રથમ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શૂન્ય કરતાં ઓછું છે. સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ પર, પ્રથમ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શૂન્ય છે. દેખીતી રીતે, ફંક્શનની સ્થાનિક મહત્તમ શોધવા માટે, તે બિંદુ xને શોધવું જરૂરી છે કે જેના પર આ ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. અભ્યાસ xx હેઠળના સેગમેન્ટ પર દલીલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે? - નકારાત્મક.

4. એક્સ શોધવા માટે? સમીકરણ Y’=0 ઉકેલો. જો આ બિંદુએ ફંક્શનનું બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય તો Y(x?) નું મૂલ્ય સ્થાનિક મહત્તમ હશે. Y" નું બીજું વ્યુત્પન્ન શોધો, પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં દલીલ x = x ની કિંમત બદલો? અને ગણતરીના પરિણામની તુલના શૂન્ય સાથે કરો.

5. ચાલો કહીએ કે -1 થી 1 ના અંતરાલ પર Y=-x?+x+1 નું સતત વ્યુત્પન્ન Y’=-2x+1 છે. x=1/2 પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે, અને જ્યારે આ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો “+” થી “-” માં સાઇન કરે છે. ફંકશનનું બીજું ડેરિવેટિવ Y”=-2. Y=-x?+x+1 ફંક્શનનો પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ આલેખ બનાવો અને તપાસો કે શું એબ્સીસા x=1/2 સાથેનો બિંદુ સંખ્યા અક્ષના આપેલ સેગમેન્ટ પર સ્થાનિક મહત્તમ છે.

વિષય પર વિડિઓ

ઉપયોગી સલાહ
વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, ત્યાં ઑનલાઇન સેવાઓ છે જે જરૂરી મૂલ્યોની ગણતરી કરે છે અને પરિણામ પ્રદર્શિત કરે છે. આવી સાઇટ્સ પર 5મા ઓર્ડર સુધીના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શક્ય છે.

કાર્યની સીમા શું છે અને એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી સ્થિતિ શું છે?

ફંક્શનની સીમા એ ફંક્શનની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ છે.

ફંક્શનની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ (એક્સ્ટ્રીમમ) માટે જરૂરી શરત નીચે મુજબ છે: જો ફંક્શન f(x) નું એક્સટ્રેમમ બિંદુ x = a પર હોય, તો આ બિંદુએ ડેરિવેટિવ કાં તો શૂન્ય છે, અનંત છે અથવા નથી. અસ્તિત્વમાં છે.

આ સ્થિતિ જરૂરી છે, પરંતુ પૂરતી નથી. બિંદુ x = a પરનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય, અનંત સુધી જઈ શકે છે અથવા આ બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમ ધરાવતા ફંક્શન વિના અસ્તિત્વમાં નથી.

ફંક્શનની સીમા (મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ) માટે પૂરતી સ્થિતિ શું છે?

પ્રથમ શરત:

જો, બિંદુ x = a ની પર્યાપ્ત નિકટતામાં, વ્યુત્પન્ન f?(x) a ની ડાબી બાજુએ સકારાત્મક અને a ની જમણી બાજુ નકારાત્મક હોય, તો બિંદુ x = a પર f(x) ફંક્શન ધરાવે છે મહત્તમ

જો, બિંદુ x = a ની પૂરતી નિકટતામાં, વ્યુત્પન્ન f?(x) a ની ડાબી બાજુએ ઋણ અને a ની જમણી બાજુ ધન હોય, તો બિંદુ x = a પર f(x) ફંક્શન ધરાવે છે ન્યૂનતમપૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે ફંકશન f(x) અહીં સતત છે.

તેના બદલે, તમે ફંક્શનના અંતિમ ભાગ માટે બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

બિંદુ x = a પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f?(x) અદ્રશ્ય થવા દો; જો બીજું વ્યુત્પન્ન f??(a) ઋણ છે, તો ફંકશન f(x) બિંદુ x = a પર મહત્તમ છે, જો તે હકારાત્મક છે, તો તેની પાસે ન્યૂનતમ છે.

ફંક્શનનું નિર્ણાયક બિંદુ શું છે અને તેને કેવી રીતે શોધવું?

આ ફંક્શન આર્ગ્યુમેન્ટનું મૂલ્ય છે કે જેના પર ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમમ (એટલે ​​​​કે મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ) છે. તેને શોધવા માટે તમારે જરૂર છે વ્યુત્પન્ન શોધોફંક્શન f?(x) અને, તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, સમીકરણ ઉકેલો f?(x) = 0. આ સમીકરણના મૂળ, તેમજ તે બિંદુઓ કે જેના પર આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી, તે નિર્ણાયક બિંદુઓ છે, એટલે કે, દલીલના મૂલ્યો કે જેના પર એક્સ્ટ્રીમમ હોઈ શકે છે. તેમને જોઈને સરળતાથી ઓળખી શકાય છે વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ: અમે દલીલના તે મૂલ્યોમાં રસ ધરાવીએ છીએ કે જેના પર ફંક્શનનો ગ્રાફ એબ્સીસા અક્ષ (ઑક્સ અક્ષ) ને છેદે છે અને તે મૂલ્યો કે જેના પર આલેખ વિરામનો ભોગ બને છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો શોધીએ પેરાબોલાના અંતિમ ભાગ.

કાર્ય y(x) = 3x2 + 2x - 50.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન: y?(x) = 6x + 2

સમીકરણ ઉકેલો: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

આ કિસ્સામાં, નિર્ણાયક બિંદુ x0=-1/3 છે. તે આ દલીલ મૂલ્ય સાથે છે જે ફંક્શન ધરાવે છે આત્યંતિક. તેને શોધો, "x" ને બદલે ફંક્શન માટે અભિવ્યક્તિમાં મળેલ સંખ્યાને બદલો:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

કાર્યની મહત્તમ અને લઘુત્તમ કેવી રીતે નક્કી કરવી, એટલે કે. તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો?

જો નિર્ણાયક બિંદુ x0માંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્નની નિશાની "વત્તા" થી "માઈનસ" માં બદલાય છે, તો x0 છે મહત્તમ બિંદુ; જો વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન માઈનસથી વત્તામાં બદલાય છે, તો x0 છે ન્યૂનતમ બિંદુ; જો ચિહ્ન બદલાતું નથી, તો પછી બિંદુ x0 પર મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ નથી.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણ માટે:

અમે નિર્ણાયક બિંદુની ડાબી બાજુએ દલીલનું મનસ્વી મૂલ્ય લઈએ છીએ: x = -1

x = -1 પર, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય y હશે?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (એટલે ​​​​કે ચિહ્ન "માઈનસ" છે).

હવે આપણે નિર્ણાયક બિંદુની જમણી તરફ દલીલનું મનસ્વી મૂલ્ય લઈએ છીએ: x = 1

x = 1 પર, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 હશે (એટલે ​​​​કે ચિહ્ન "વત્તા" છે).

જેમ તમે જોઈ શકો છો, નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન માઈનસથી વત્તામાં બદલાયું છે. આનો અર્થ એ છે કે નિર્ણાયક મૂલ્ય x0 પર આપણી પાસે ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય અંતરાલ પર(એક સેગમેન્ટ પર) એ જ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે, ફક્ત એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે, કદાચ, બધા નિર્ણાયક મુદ્દાઓ નિર્દિષ્ટ અંતરાલમાં આવેલા નથી. તે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ કે જે અંતરાલની બહાર છે તે વિચારણામાંથી બાકાત રાખવા જોઈએ. જો અંતરાલની અંદર માત્ર એક જ નિર્ણાયક બિંદુ હોય, તો તેની પાસે મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ હશે. આ કિસ્સામાં, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે, અમે અંતરાલના અંતે ફંક્શનના મૂલ્યોને પણ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધીએ

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

અંતરાલો પર:

તેથી, કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

આપણે સમીકરણ 3cos(x) - 0.5 = 0 હલ કરીએ છીએ

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

અમને અંતરાલ [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (અંતરાલમાં સમાવેલ નથી)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = આર્કોસ(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = આર્કોસ(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (અંતરાલમાં સમાવેલ નથી)

અમે દલીલના નિર્ણાયક મૂલ્યો પર ફંક્શન મૂલ્યો શોધીએ છીએ:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

તે જોઈ શકાય છે કે અંતરાલ પર [-9; 9] ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય x = -4.88 છે:

x = -4.88, y = 5.398,

અને સૌથી નાનું - x = 4.88 પર:

x = 4.88, y = -5.398.

અંતરાલ પર [-6; -3] આપણી પાસે માત્ર એક જટિલ બિંદુ છે: x = -4.88. x = -4.88 પર ફંક્શનનું મૂલ્ય y = 5.398 બરાબર છે.

અંતરાલના અંતે ફંક્શનની કિંમત શોધો:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

અંતરાલ પર [-6; -3] આપણી પાસે ફંક્શનની સૌથી મોટી કિંમત છે

y = 5.398 x = -4.88 પર

સૌથી નાનું મૂલ્ય -

y = 1.077 x = -3 પર

ફંક્શન ગ્રાફના ઇન્ફ્લેક્શન બિંદુઓને કેવી રીતે શોધી શકાય અને બહિર્મુખ અને અંતર્મુખ બાજુઓ કેવી રીતે નક્કી કરવી?

રેખા y = f(x) ના તમામ વિક્ષેપ બિંદુઓ શોધવા માટે, તમારે બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે, તેને શૂન્ય સાથે સરખાવવી (સમીકરણ ઉકેલો) અને x ના તે બધા મૂલ્યોને ચકાસવાની જરૂર છે જેના માટે બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે, અનંત અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. જો, આ મૂલ્યોમાંથી કોઈ એકમાંથી પસાર થતી વખતે, બીજા વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન હોય, તો ફંક્શનના આલેખમાં આ બિંદુએ એક વળાંક હોય છે. જો તે બદલાતું નથી, તો ત્યાં કોઈ વળાંક નથી.

સમીકરણ એફ ના મૂળ? (x) = 0, તેમજ ફંક્શનની અસંતુલિતતાના સંભવિત બિંદુઓ અને બીજા ડેરિવેટિવ, ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને સંખ્યાબંધ અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો. તેમના દરેક અંતરાલો પરની બહિર્મુખતા બીજા ડેરિવેટિવની નિશાની દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો અભ્યાસ હેઠળના અંતરાલ પરના બિંદુ પરનું બીજું વ્યુત્પન્ન ધન છે, તો રેખા y = f(x) અંતર્મુખ ઉપરની તરફ છે, અને જો નકારાત્મક છે, તો નીચેની તરફ.

બે ચલોના ફંક્શનની સીમા કેવી રીતે શોધવી?

ફંક્શન f(x,y) ની સીમા શોધવા માટે, તેના સ્પષ્ટીકરણના ડોમેનમાં અલગ પડે છે, તમારે આની જરૂર છે:

1) નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધો, અને આ માટે - સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરો

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) દરેક નિર્ણાયક બિંદુ P0(a;b) માટે તપાસ કરો કે શું તફાવતનું ચિહ્ન યથાવત છે

P0 ની નજીકના તમામ બિંદુઓ (x;y) માટે. જો તફાવત હકારાત્મક રહે છે, તો પછી બિંદુ P0 પર અમારી પાસે ન્યૂનતમ છે, જો નકારાત્મક છે, તો અમારી પાસે મહત્તમ છે. જો તફાવત તેના ચિહ્નને જાળવી રાખતો નથી, તો બિંદુ P0 પર કોઈ અંતિમ નથી.

મોટી સંખ્યામાં દલીલો માટે ફંક્શનની સીમા સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

કોપર સલ્ફેટનો ઉપયોગ ક્યાં થાય છે?
કોપર સલ્ફેટ આમાં વિભાજિત થાય છે: કોપર(I) સલ્ફેટ કોપર(II) સલ્ફેટ કોપર(II) સલ્ફેટ (CuSO4) - કોપર સલ્ફેટ - સફેદ સ્ફટિકો, પાણીમાં અત્યંત દ્રાવ્ય. જો કે, જલીય દ્રાવણમાંથી, તેમજ ઓછામાં ઓછી થોડી ભેજવાળી હવામાં, વાદળી પેન્ટાહાઇડ્રેટ CuSO4 5H2O સ્ફટિકીકરણ કરે છે.

J1 વિઝા પર કઈ નોકરીઓ પર કામ કરવા માટે પ્રતિબંધિત છે?
વર્ક એન્ડ ટ્રાવેલ યુએસએ (યુએસએમાં વર્ક એન્ડ ટ્રાવેલ) એ એક લોકપ્રિય વિદ્યાર્થી વિનિમય કાર્યક્રમ છે જેના હેઠળ તમે અમેરિકામાં ઉનાળો વિતાવી શકો છો, કાયદેસર રીતે સેવા ક્ષેત્રમાં કામ કરી શકો છો અને મુસાફરી કરી શકો છો. કાર્યક્રમનો ઇતિહાસ વર્ક એન્ડ ટ્રાવેલ આંતર-સરકારી વિનિમય કાર્યક્રમ કલ્ચરલ એક્સચેન્જ પ્રોમાં સામેલ છે

પ્યુજોટ 307 માં કયા લેમ્પ્સ ઇન્સ્ટોલ કરેલા છે
પ્યુજો 307 કાર પર 2 પ્રકારની હેડલાઇટ્સ છે: 2001-2005 મોડલ્સ માટે, કહેવાતા. 2005-2007ના મૉડલ્સ માટે “ડોરેસ્ટેલ”, “રિસ્ટેલ” ડોરેસ્ટેલ અને રેસ્ટાયલની હેડલાઇટ્સ પરસ્પર બદલી શકાય તેવી નથી! Peugeot 30 કાર પર પાછળની લાઇટ

યોનિમાર્ગ એટ્રેસિયાની સારવાર કેવી રીતે કરવામાં આવે છે?
એટ્રેસિયા જન્મજાત ગેરહાજરી અથવા માનવ શરીરમાં કોઈપણ ઓપનિંગ અથવા નહેરની અસામાન્ય સાંકડી. બિલીયરી એટ્રેસિયા પિત્ત નળીઓને અસર કરે છે અને શિશુઓમાં અવરોધક કમળોનું કારણ બને છે; જો સમયસર બાળકનું ઓપરેશન કરવામાં ન આવે તો આ રોગ જીવલેણ બની શકે છે. ટ્રીકસ્પિડ વાલ્વના એટ્રેસિયા સાથે, ઇન્ટ્રાકાર્ડિયાક રક્ત પ્રવાહ વિક્ષેપિત થાય છે (

ટીવી પ્રોગ્રામ "ટેક ઇટ ઓફ નાઉ" ની સત્તાવાર વેબસાઇટ શું છે?
"તેને તરત જ ઉતારો" - એસટીએસ ચેનલ પર ટીવી શો. કાર્યક્રમના યજમાનો તેમની નાયિકાઓને તેમના કપડાંની શૈલી બદલીને મુખ્યત્વે આંતરિક રીતે વધુ સારા માટે બદલવાનો પ્રયાસ કરે છે; જે પછી નાયિકાઓ રૂપાંતરિત થાય છે, ડિપ્રેશન અને જીવનની અન્ય મુશ્કેલીઓને ભૂલીને, પોતાને ફરીથી પ્રશંસા અને પ્રેમ કરવાનું શરૂ કરે છે. પ્રોગ્રામ પ્રસ્તુતકર્તા: નતાલ્યા સેન્ટ

સાઇટ શું છે
અંગ્રેજીમાંથી વેબસાઇટ. - સાઇટ - સ્થળ; સ્થાન, સ્થાન વેબ સાઇટ્સને "નોડ્સ", "વર્લ્ડ વાઇડ વેબના નોડ્સ" પણ કહેવામાં આવે છે. શું આપણે કહી શકીએ કે વેબસાઇટ એ એકબીજા સાથે જોડાયેલા વેબ દસ્તાવેજો (એટલે ​​કે HTML દસ્તાવેજો)નો સંગ્રહ છે. મોટાભાગે વ્યક્તિ અથવા સંસ્થાનું વર્ચ્યુઅલ પ્રોજેક્શન

તમારે iPhone માટે "iReveilPro" પ્રોગ્રામની શા માટે જરૂર છે?
iPhone SMS, MMS mySMS - SMS ક્લાયંટ માટે એપ્લિકેશન પ્રોગ્રામ્સ. iRealSMS - SMS ક્લાયંટ. biteSMS - SMS ક્લાયંટ. SwirlyMMS - MMS ક્લાયંટ. અલીબી એસએમએસ - એસ મોકલો

ઇન્ટરનેટ પર સ્મોલેન્સ્ક એનપીપીની સત્તાવાર વેબસાઇટ ક્યાંથી મેળવવી
આજે, રશિયા 10 પરમાણુ પાવર પ્લાન્ટ ચલાવે છે (24.2 GW ની સ્થાપિત ક્ષમતા સાથે કુલ 32 પાવર યુનિટ), જે ઉત્પાદિત તમામ વીજળીના લગભગ 16% ઉત્પન્ન કરે છે. તે જ સમયે, રશિયાના યુરોપિયન ભાગમાં પરમાણુ ઊર્જાનો હિસ્સો 30% સુધી પહોંચે છે, અને ઉત્તર-પશ્ચિમમાં - 37%. ફેડરલ ટાર્ગેટેડ પ્રો

ફૂડ પોઇઝનિંગ પછી કેવી રીતે ખાવું
ફૂડ પોઇઝનિંગ (ખોરાકનો નશો) એ એક તીવ્ર, ભાગ્યે જ ક્રોનિક રોગ છે જે ખોરાક ખાવાના પરિણામે થાય છે જે ચોક્કસ પ્રકારના સુક્ષ્મસજીવોથી મોટા પ્રમાણમાં દૂષિત હોય છે અથવા તેમાં માઇક્રોબાયલ અથવા નોન-માઇક્રોબાયલ પ્રકૃતિના પદાર્થો હોય છે જે શરીર માટે ઝેરી હોય છે. લક્ષણો મોટેભાગે, ખોરાકના ઝેરના લક્ષણો વપરાશના 1-2 કલાક પછી દેખાય છે.

રશિયન ફેડરેશનની આંતરિક બાબતોના સંસ્થાઓના કર્મચારીઓનો દિવસ ક્યારે છે?
રશિયામાં ઉજવવામાં આવતી વ્યાવસાયિક રજાઓ જાન્યુઆરી: 11 જાન્યુઆરી - પ્રકૃતિ અનામત અને રાષ્ટ્રીય ઉદ્યાનોનો દિવસ; 12 જાન્યુઆરી એ ફરિયાદીની ઓફિસનો દિવસ છે; જાન્યુઆરી 13-રશિયન પ્રેસ ડે; 21 જાન્યુઆરી - એન્જીનિયરિંગ ટુર્પ્સ ડે; 25 જાન્યુઆરી - નેવી નેવિગેટર ડે; 25 જાન્યુઆરી

અર્થ

મહાનતમ

અર્થ

ઓછામાં ઓછું

મહત્તમ બિંદુ

ન્યૂનતમ બિંદુ

એક્સ્ટ્રીમમ ફંક્શનના બિંદુઓ શોધવાની સમસ્યાઓ 3 પગલામાં પ્રમાણભૂત યોજના અનુસાર ઉકેલવામાં આવે છે.

પગલું 1. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

• ડેરિવેટિવ શોધવા માટે પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન સૂત્રો અને ભેદભાવના મૂળભૂત નિયમો યાદ રાખો.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

પગલું 2. વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધો

• વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધવા માટે પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

પગલું 3. આત્યંતિક બિંદુઓ શોધો

• વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરવા માટે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો;
• ન્યૂનતમ બિંદુ પર, વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે અને બાદબાકીથી વત્તામાં અને મહત્તમ બિંદુ પર, વત્તાથી માઇનસમાં બદલાય છે.

ચાલો નીચેની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આ અભિગમનો ઉપયોગ કરીએ:

ફંક્શન y=x3−243x+19 નો મહત્તમ બિંદુ શોધો.

1) વ્યુત્પન્ન શોધો: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) સમીકરણ y′(x)=0 ઉકેલો: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) વ્યુત્પન્ન x>9 અને x માટે હકારાત્મક છે<−9 и отрицательная при −9

ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત કેવી રીતે શોધવી

ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવાની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી:

• સેગમેન્ટ (અંતરાલ) પર ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓ શોધો.
• સેગમેન્ટના છેડા પરના મૂલ્યો શોધો અને અંતિમ બિંદુઓ અને સેગમેન્ટના છેડા પરના મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય પસંદ કરો.

ઘણા કાર્યોમાં મદદ કરે છે પ્રમેય:

જો કોઈ સેગમેન્ટ પર માત્ર એક જ આત્યંતિક બિંદુ હોય, અને આ લઘુત્તમ બિંદુ હોય, તો ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય તેના પર પ્રાપ્ત થાય છે. જો આ મહત્તમ બિંદુ છે, તો પછી સૌથી મોટું મૂલ્ય ત્યાં પહોંચી ગયું છે.

14. અનિશ્ચિત અભિન્ન ની ખ્યાલ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો.

જો કાર્ય f(x એક્સ, અને k- નંબર, પછી

ટૂંકમાં કહીએ તો: અચળને અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

જો કાર્યો f(x) અને g(x) અંતરાલ પર એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય છે એક્સ, તે

ટૂંકમાં કહીએ તો: સરવાળાનું અવિભાજ્ય અવિભાજ્યના સરવાળા જેટલું છે.

જો કાર્ય f(x) અંતરાલ પર એન્ટિડેરિવેટિવ છે એક્સ, પછી આ અંતરાલના આંતરિક બિંદુઓ માટે:

ટૂંકમાં કહીએ તો: ઇન્ટિગ્રલનું વ્યુત્પન્ન એ ઇન્ટિગ્રૅન્ડ જેટલું છે.

જો કાર્ય f(x) અંતરાલ પર સતત છે એક્સઅને આ અંતરાલના આંતરિક બિંદુઓ પર અલગ પડે છે, પછી:

ટૂંકમાં કહીએ તો: ફંક્શનના ડિફરન્સલનું ઇન્ટિગ્રલ આ ફંક્શન વત્તા ઇન્ટિગ્રેશન કોન્સ્ટન્ટ જેટલું છે.

ચાલો કડક ગાણિતિક વ્યાખ્યા આપીએ અનિશ્ચિત અભિન્ન ખ્યાલો.

સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે કાર્યનું અભિન્ન અંગ f(x) , ક્યાં f(x) - એકીકૃત કાર્ય જે આપવામાં આવે છે (જાણીતું છે), ડીએક્સ - વિભેદક x , હંમેશા હાજર પ્રતીક સાથે ડીએક્સ .

વ્યાખ્યા. અનિશ્ચિત અભિન્નકાર્ય કહેવાય છે F(x) + C , મનસ્વી સ્થિરાંક ધરાવે છે સી , જેનો તફાવત બરાબર છે એકીકરણઅભિવ્યક્તિ f(x)dx , એટલે કે અથવા કાર્ય કહેવાય છે એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્ય. ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ સ્થિર મૂલ્ય સુધી નક્કી થાય છે.

ચાલો તમને યાદ અપાવીએ કે - વિભેદક કાર્યઅને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

સમસ્યા શોધવી અનિશ્ચિત અભિન્નઆવા કાર્ય શોધવા માટે છે વ્યુત્પન્નજે ઇન્ટિગ્રેંડની બરાબર છે. આ કાર્ય અચળ માટે ચોક્કસ નક્કી કરવામાં આવે છે, કારણ કે અચલનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તે જાણીતું છે કે , પછી તે બહાર આવ્યું છે , અહીં એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે.

શોધવામાં સમસ્યા અનિશ્ચિત અભિન્નકાર્યો એટલા સરળ અને સરળ નથી જેટલા તે પ્રથમ નજરમાં લાગે છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં, સાથે કામ કરવાની કુશળતા હોવી જોઈએ અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય,ત્યાં અનુભવ હોવો જોઈએ જે અભ્યાસ અને સતત સાથે આવે છે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના ઉદાહરણો ઉકેલવા.તે હકીકત ધ્યાનમાં લેવી યોગ્ય છે કે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોકેટલાક વિધેયોમાંથી (તેમાંના ઘણા બધા છે) પ્રાથમિક કાર્યોમાં લેવામાં આવતા નથી.

15. મૂળભૂત અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનું કોષ્ટક.

મૂળભૂત સૂત્રો

16. અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત અવિભાજ્ય. અભિન્નનો ભૌમિતિક અને ભૌતિક અર્થ.

ફંક્શન y=ƒ(x) ને અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો [a; b], a< b. Выполним следующие действия.

1. પોઈન્ટ x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0) નો ઉપયોગ કરીને

2. દરેક આંશિક સેગમેન્ટમાં, i = 1,2,...,n, i є સાથે મનસ્વી બિંદુ પસંદ કરો અને તેમાં ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરો, એટલે કે મૂલ્ય ƒ(i સાથે).

3. અનુરૂપ આંશિક સેગમેન્ટની લંબાઈ ∆x i =x i -x i-1 દ્વારા ફંક્શન ƒ (i સાથે) ની મળેલી કિંમતનો ગુણાકાર કરો: ƒ (i સાથે) ∆x i.

4. ચાલો આવા તમામ ઉત્પાદનોનો સરવાળો S n કરીએ:

ફોર્મનો સરવાળો (35.1) ને અંતરાલ [a; b]. ચાલો આપણે સૌથી મોટા આંશિક સેગમેન્ટની લંબાઈ λ દ્વારા દર્શાવીએ: λ = મહત્તમ ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. ચાલો જ્યારે n → ∞ હોય ત્યારે અવિભાજ્ય રકમ (35.1) ની મર્યાદા શોધીએ જેથી λ→0.

જો આ કિસ્સામાં અભિન્ન રકમ S n ની મર્યાદા I છે, જે સેગમેન્ટને પાર્ટીશન કરવાની પદ્ધતિ પર આધારિત નથી [a; b] આંશિક સેગમેન્ટ્સ પર, કે તેમાંના પોઈન્ટની પસંદગી પર, તો પછી નંબર I એ સેગમેન્ટ [a) પર ફંક્શન y = ƒ(x) નું ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ કહેવાય છે; b] અને આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે,

સંખ્યાઓ a અને b ને અનુક્રમે એકીકરણની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદા કહેવામાં આવે છે, ƒ(x) - એકીકૃત કાર્ય, ƒ(x) dx - સંકલન, x - એકીકરણનું ચલ, સેગમેન્ટ [a; b] - એકીકરણનો વિસ્તાર (સેગમેન્ટ).

કાર્ય y=ƒ(x), જેના માટે અંતરાલ પર [a; b] આ અંતરાલ પર એક નિશ્ચિત અવિભાજ્ય છે જેને અવિભાજ્ય કહેવાય છે.

ચાલો હવે ચોક્કસ અવિભાજ્યના અસ્તિત્વ માટે એક પ્રમેય ઘડીએ.

પ્રમેય 35.1 (કોચી). જો ફંક્શન y = ƒ(x) અંતરાલ પર સતત છે [a; b], પછી ચોક્કસ અભિન્ન

નોંધ કરો કે કાર્યની સાતત્ય તેની અખંડિતતા માટે પૂરતી સ્થિતિ છે. જો કે, અમુક અવ્યવસ્થિત કાર્યો માટે ચોક્કસ અભિન્ન પણ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે, ખાસ કરીને અંતરાલ પર બંધાયેલા કોઈપણ કાર્ય માટે કે જેના પર મર્યાદિત સંખ્યામાં વિરામ બિંદુઓ હોય.

ચાલો ચોક્કસ અભિન્નના કેટલાક ગુણધર્મો સૂચવીએ જે તેની વ્યાખ્યા (35.2) થી સીધા અનુસરે છે.

1. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ એકીકરણ ચલના હોદ્દાથી સ્વતંત્ર છે:

આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે અભિન્ન રકમ (35.1), અને તેથી તેની મર્યાદા (35.2), આપેલ કાર્યની દલીલ કયા અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે તેના પર નિર્ભર નથી.

2. એકીકરણની સમાન મર્યાદા સાથેનો ચોક્કસ પૂર્ણાંક શૂન્ય સમાન છે:

3. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે c.

17. ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

કાર્ય કરવા દો y = f(x)સેગમેન્ટ પર સતત અને F(x)આ સેગમેન્ટ પરના ફંક્શનના એન્ટિડેરિવેટિવ્સમાંનું એક છે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર: .

ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે અભિન્ન કલનનું મૂળભૂત સૂત્ર.

ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રને સાબિત કરવા માટે, આપણને ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથેના અભિન્ન ખ્યાલની જરૂર છે.

જો કાર્ય y = f(x)સેગમેન્ટ પર સતત , તો પછી દલીલ માટે ફોર્મનું અવિભાજ્ય ઉપલી મર્યાદાનું કાર્ય છે. ચાલો આ કાર્યને સૂચિત કરીએ , અને આ કાર્ય સતત છે અને સમાનતા સાચી છે .

ખરેખર, ચાલો દલીલના વધારાને અનુરૂપ ફંક્શનનો વધારો લખીએ અને ચોક્કસ અવિભાજ્યની પાંચમી ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ અને દસમા ગુણધર્મમાંથી કોરોલરીનો ઉપયોગ કરીએ:

ક્યાં.

ચાલો આ સમાનતાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ . જો આપણે ફંક્શનના ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ અને મર્યાદા પર જઈએ, તો આપણને મળે છે. એટલે કે, આ ફંક્શનના એન્ટિડેરિવેટિવ્સમાંનું એક છે y = f(x)સેગમેન્ટ પર . આમ, તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝનો સમૂહ F(x)તરીકે લખી શકાય છે , ક્યાં સાથે- મનસ્વી સ્થિરાંક.

ચાલો ગણતરી કરીએ F(a), ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની પ્રથમ મિલકતનો ઉપયોગ કરીને: , તેથી, . ચાલો ગણતરી કરતી વખતે આ પરિણામનો ઉપયોગ કરીએ F(b):, એટલે કે . આ સમાનતા સાબિત કરી શકાય તેવું ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર આપે છે .

ફંક્શનની વૃદ્ધિ સામાન્ય રીતે તરીકે સૂચવવામાં આવે છે . આ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને, ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર સ્વરૂપ લે છે .

ન્યુટન-લીબનીઝ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરવા માટે, આપણા માટે એન્ટીડેરિવેટિવ્સમાંથી એક જાણવું પૂરતું છે. y=F(x)સંકલિત કાર્ય y=f(x)સેગમેન્ટ પર અને આ સેગમેન્ટ પર આ એન્ટિડેરિવેટિવના વધારાની ગણતરી કરો. એકીકરણની લેખ પદ્ધતિઓ એન્ટીડેરિવેટિવ શોધવાની મુખ્ય રીતોની ચર્ચા કરે છે. ચાલો સ્પષ્ટીકરણ માટે ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરવાના થોડા ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ.

ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પૂર્ણાંકના મૂલ્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

શરૂ કરવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે ઈન્ટિગ્રેન્ડ અંતરાલ પર સતત છે , તેથી, તેના પર એકીકૃત છે. (અમે વિધેયોના વિભાગમાં સંકલિત કાર્યો વિશે વાત કરી હતી જેના માટે ચોક્કસ અભિન્ન છે).

અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શન માટે દલીલના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ (અને તેથી માટે) તરીકે લખાયેલ છે. . માટે એન્ટીડેરિવેટિવ લઈએ C=0: .

હવે તે ચોક્કસ અભિન્નની ગણતરી કરવા માટે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનું બાકી છે: .

18. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ભૌમિતિક એપ્લિકેશન.

નિર્ધારિત અખંડની ભૌમિતિક એપ્લિકેશનો

લંબચોરસ એસ.કે.	ફંક્શન પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત છે	પોલિઅરનાયા એસ.કે.
પ્લેન આકૃતિઓના ક્ષેત્રોની ગણતરી
પ્લેન વળાંકની ચાપ લંબાઈની ગણતરી
ક્રાંતિના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી

શરીરના જથ્થાની ગણતરી

સમાંતર વિભાગોના જાણીતા વિસ્તારોમાંથી શરીરના જથ્થાની ગણતરી:

પરિભ્રમણના શરીરનું વોલ્યુમ: ; .

ઉદાહરણ 1. સીધી રેખાઓ દ્વારા વક્ર y=sinx દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો

ઉકેલ:આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવું:

ઉદાહરણ 2. રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

ઉકેલ:ચાલો આ વિધેયોના આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સીસા શોધીએ. આ કરવા માટે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ

અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ x 1 =0, x 2 =2.5.

19. વિભેદક નિયંત્રણોનો ખ્યાલ. પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો.

વિભેદક સમીકરણ- એક સમીકરણ જે ફંક્શનના ડેરિવેટિવના મૂલ્યને ફંક્શન સાથે, સ્વતંત્ર ચલના મૂલ્યો અને સંખ્યાઓ (પરિમાણો) સાથે જોડે છે. સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ડેરિવેટિવ્ઝનો ક્રમ અલગ હોઈ શકે છે (ઔપચારિક રીતે તે કંઈપણ દ્વારા મર્યાદિત નથી). ડેરિવેટિવ્ઝ, ફંક્શન્સ, સ્વતંત્ર ચલો અને પેરામીટર વિવિધ સંયોજનોમાં સમીકરણમાં દેખાઈ શકે છે અથવા એક સિવાયના તમામ ડેરિવેટિવ્સ એકસાથે ગેરહાજર હોઈ શકે છે. અજ્ઞાત ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્સ ધરાવતું દરેક સમીકરણ એ વિભેદક સમીકરણ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, વિભેદક સમીકરણ નથી.

આંશિક વિભેદક સમીકરણો(PDF) એ સમીકરણો છે જેમાં કેટલાક ચલોના અજ્ઞાત કાર્યો અને તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે. આવા સમીકરણોના સામાન્ય સ્વરૂપને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

સ્વતંત્ર ચલો ક્યાં છે અને આ ચલોનું કાર્ય છે. આંશિક વિભેદક સમીકરણોનો ક્રમ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની જેમ જ નક્કી કરી શકાય છે. આંશિક વિભેદક સમીકરણોનું બીજું મહત્વનું વર્ગીકરણ એ એલિપ્ટિક, પેરાબોલિક અને હાઇપરબોલિક પ્રકારના સમીકરણોમાં તેમનું વિભાજન છે, ખાસ કરીને બીજા ક્રમના સમીકરણો માટે.

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો અને આંશિક વિભેદક સમીકરણો બંનેમાં વિભાજિત કરી શકાય છે રેખીયઅને બિનરેખીય. એક વિભેદક સમીકરણ રેખીય હોય છે જો અજ્ઞાત કાર્ય અને તેના ડેરિવેટિવ્સ સમીકરણમાં ફક્ત પ્રથમ ડિગ્રીમાં દાખલ થાય છે (અને એકબીજા સાથે ગુણાકાર થતો નથી). આવા સમીકરણો માટે, સોલ્યુશન્સ ફંક્શનની જગ્યાના સંલગ્ન સબસ્પેસ બનાવે છે. રેખીય વિભેદક સમીકરણોનો સિદ્ધાંત બિનરેખીય સમીકરણોના સિદ્ધાંત કરતાં વધુ ઊંડાણપૂર્વક વિકસાવવામાં આવ્યો છે. રેખીય વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય દૃશ્ય n-મો ઓર્ડર:

જ્યાં p i(x) એ સ્વતંત્ર ચલના જાણીતા કાર્યો છે, જેને સમીકરણના ગુણાંક કહેવાય છે. કાર્ય આર(x) જમણી બાજુએ કહેવાય છે મફત સભ્ય(એકમાત્ર શબ્દ કે જે અજ્ઞાત કાર્ય પર આધાર રાખતો નથી) રેખીય સમીકરણોનો એક મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ વર્ગ રેખીય વિભેદક સમીકરણો છે સતત ગુણાંક.

રેખીય સમીકરણોનો પેટા વર્ગ છે સજાતીયવિભેદક સમીકરણો - સમીકરણો જેમાં મુક્ત શબ્દ નથી: આર(x) = 0. સજાતીય વિભેદક સમીકરણો માટે, સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત ધરાવે છે: આવા સમીકરણના આંશિક ઉકેલોનું રેખીય સંયોજન પણ તેનો ઉકેલ હશે. અન્ય તમામ રેખીય વિભેદક સમીકરણો કહેવાય છે વિજાતીયવિભેદક સમીકરણો.

સામાન્ય કિસ્સામાં બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણોમાં કેટલાક વિશિષ્ટ વર્ગો સિવાય, ઉકેલની પદ્ધતિઓ વિકસિત નથી. કેટલાક કિસ્સાઓમાં (ચોક્કસ અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને) તેઓ રેખીય સુધી ઘટાડી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું રેખીય સમીકરણ ગાણિતિક લોલકના બિનરેખીય સમીકરણના અંદાજ તરીકે ગણી શકાય નાના કંપનવિસ્તારના કિસ્સામાં, જ્યારે y≈ પાપ y.

· - સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમનું સજાતીય વિભેદક સમીકરણ. સોલ્યુશન એ વિધેયોનું કુટુંબ છે, જ્યાં અને મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, જે ચોક્કસ ઉકેલ માટે અલગથી ઉલ્લેખિત પ્રારંભિક શરતોથી નક્કી કરવામાં આવે છે. આ સમીકરણ, ખાસ કરીને, 3 ની ચક્રીય આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ગતિનું વર્ણન કરે છે.

ન્યૂટનનો બીજો નિયમ વિભેદક સમીકરણના રૂપમાં લખી શકાય છે જ્યાં m- શરીરનું વજન, x- તેનું સંકલન, એફ(x, t) - સંકલન સાથે શરીર પર કામ કરતું બળ xએક સમયે t. તેનું સોલ્યુશન એ નિર્દિષ્ટ બળની ક્રિયા હેઠળ શરીરની ગતિ છે.

· બેસલ વિભેદક સમીકરણ એ ચલ ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમનું એક સામાન્ય રેખીય સજાતીય સમીકરણ છે: તેના ઉકેલો બેસેલ કાર્યો છે.

· 1લા ક્રમના બિન-સમાન્ય બિન-રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણનું ઉદાહરણ:

ઉદાહરણોના આગલા જૂથમાં એક અજ્ઞાત કાર્ય છે uબે ચલો પર આધાર રાખે છે xઅને tઅથવા xઅને y.

· પ્રથમ ક્રમનું સજાતીય રેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણ:

· એક-પરિમાણીય તરંગ સમીકરણ - સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના હાઇપરબોલિક પ્રકારના આંશિક વ્યુત્પન્નમાં એક સમાન રેખીય સમીકરણ, સ્ટ્રિંગના ઓસિલેશનનું વર્ણન કરે છે જો - કોઓર્ડિનેટ સાથેના બિંદુ પર સ્ટ્રિંગનું વિચલન xએક સમયે t, અને પરિમાણ aશબ્દમાળાના ગુણધર્મો સુયોજિત કરે છે:

· દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લેપ્લેસનું સમીકરણ એ મિકેનિક્સ, થર્મલ વાહકતા, ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સ, હાઇડ્રોલિક્સની ઘણી ભૌતિક સમસ્યાઓમાં ઉદ્ભવતા, સતત ગુણાંક સાથે લંબગોળ પ્રકારના બીજા ક્રમનું એક સમાન રેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે:

· કોર્ટવેગ-ડી વ્રીઝ સમીકરણ, ત્રીજી ક્રમની બિનરેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણ જે સોલિટોન સહિત સ્થિર બિનરેખીય તરંગોનું વર્ણન કરે છે:

20. વિભાજિત લાગુ સાથે વિભેદક સમીકરણો. રેખીય સમીકરણો અને બર્નૌલીની પદ્ધતિ.

પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જે અજાણ્યા કાર્ય અને તેના વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં રેખીય છે. એવું લાગે છે

આ લેખમાં આપણે અતાર્કિક કાર્યના મહત્તમ (લઘુત્તમ) બિંદુઓ શોધવાના ઘણા ઉદાહરણો જોઈશું. સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ અગાઉના લેખોમાંના એકમાં સમાન કાર્યો સાથેના લેખોમાં પહેલેથી જ વારંવાર દર્શાવેલ છે.

તમને એક પ્રશ્ન હોઈ શકે છે - તર્કસંગત કાર્ય અતાર્કિક કાર્યથી કેવી રીતે અલગ પડે છે?અતાર્કિક કાર્યમાં, સાદા શબ્દોમાં, દલીલ મૂળ હેઠળ હોય છે, અથવા તેની ડિગ્રી અપૂર્ણાંક (અવિચ્છેદિત અપૂર્ણાંક) છે. બીજો પ્રશ્ન -તેમના મહત્તમ (લઘુત્તમ) પોઈન્ટ શોધવામાં શું તફાવત છે? કંઈ નહીં.

મહત્તમ (લઘુત્તમ) પોઈન્ટ નક્કી કરવા માટેના કાર્યોને ઉકેલવા માટેનો સિદ્ધાંત અને અલ્ગોરિધમ સમાન છે. માત્ર સગવડતા અને સામગ્રીના વ્યવસ્થિતકરણ માટે, મેં તેને કેટલાક લેખોમાં વિભાજિત કર્યું - મેં અલગથી તર્કસંગત, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ અને અન્યને ધ્યાનમાં લીધા, સેગમેન્ટ પર અતાર્કિક કાર્યનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય શોધવા માટે હજુ પણ થોડા ઉદાહરણો બાકી છે. અમે તેમને પણ જોઈશું.

જ્યારે દલીલની ડિગ્રી હોય ત્યારે વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું તે હું વિગતવાર વર્ણન કરું છું.

સૂત્ર પોતે:

એટલે કે, જો આપણી પાસે અમુક ચોક્કસ ડિગ્રી સુધી દલીલ હોય અને આપણે વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, તો આપણે ડિગ્રીના આ મૂલ્યને લખીએ છીએ, તેને દલીલ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને તેની ડિગ્રી એક વડે ઓછી હશે, ઉદાહરણ તરીકે:

જો ડિગ્રી અપૂર્ણાંક સંખ્યા છે, તો બધું સમાન છે:

આગલી ક્ષણ! અલબત્ત, તમારે મૂળ અને શક્તિઓના ગુણધર્મો યાદ રાખવા જોઈએ, એટલે કે:

એટલે કે, જો તમે ઉદાહરણમાં જુઓ છો, ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ (અથવા રુટ સાથે સમાન કંઈક):

પછી ઉકેલ કરતી વખતે, વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે, તેને x ની શક્તિમાં દર્શાવવું આવશ્યક છે, તે આના જેવું હશે:

તમારે ટેબલના બાકીના ડેરિવેટિવ્ઝ અને ડિફરન્સિએશન નિયમો જાણવા જોઈએ!!!

ભિન્નતાના નિયમો:

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

77451. ફંક્શન y = x 3/2 – 3x + 1 નો ન્યૂનતમ બિંદુ શોધો

ચાલો વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધીએ:

અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

બિંદુ x = 4 પર, વ્યુત્પન્ન ફેરફારો નકારાત્મકથી હકારાત્મક તરફ સંકેત કરે છે, જેનો અર્થ છે કે આ બિંદુ લઘુત્તમ બિંદુ છે.

જવાબ: 4

77455. ફંક્શનનો મહત્તમ બિંદુ શોધો

ચાલો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધીએ:

અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

ચાલો ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નક્કી કરીએ અને આકૃતિમાં ફંક્શનના વર્તનનું નિરૂપણ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો પરિણામી અંતરાલોમાંથી વ્યુત્પન્નમાં મનસ્વી મૂલ્યોને બદલીએ:

બિંદુ x = 4 પર, વ્યુત્પન્ન ફેરફારો હકારાત્મકથી નકારાત્મક તરફ સંકેત કરે છે, જેનો અર્થ છે કે આ બિંદુ મહત્તમ બિંદુ છે.

જવાબ: 4

77457. ફંક્શનનો મહત્તમ બિંદુ શોધો

ચાલો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધીએ:

સમીકરણ ઉકેલવું:

ચાલો ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નક્કી કરીએ અને આકૃતિમાં ફંક્શનના વર્તનનું નિરૂપણ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો પરિણામી અંતરાલોમાંથી વ્યુત્પન્નમાં મનસ્વી મૂલ્યોને બદલીએ:

બિંદુ x = 9 પર, વ્યુત્પન્ન ફેરફારો હકારાત્મકથી નકારાત્મક તરફ સંકેત કરે છે, જેનો અર્થ છે કે આ બિંદુ મહત્તમ બિંદુ છે.

જવાબ: 9