ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા કેલ્ક્યુલેટર. ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

બીજગણિત પ્રોજેક્ટ “ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું નિરાકરણ” વર્ગ 10 ના વિદ્યાર્થી દ્વારા પૂર્ણ “બી” કઝાચકોવા યુલિયા સુપરવાઈઝર: ગણિતના શિક્ષક કોચાકોવા એન.એન.

ધ્યેય “ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું નિરાકરણ” વિષય પરની સામગ્રીને એકીકૃત કરવાનો અને આવનારી પરીક્ષાની તૈયારી માટે વિદ્યાર્થીઓ માટે રીમાઇન્ડર બનાવવાનો.

ઉદ્દેશ્યો: આ વિષય પરની સામગ્રીનો સારાંશ આપો. પ્રાપ્ત માહિતીને વ્યવસ્થિત કરો. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં આ વિષયને ધ્યાનમાં લો.

સુસંગતતા મેં પસંદ કરેલા વિષયની સુસંગતતા એ હકીકતમાં રહેલી છે કે "ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું નિરાકરણ" વિષય પરના કાર્યો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના કાર્યોમાં શામેલ છે.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા એ અસમાનતા એ એક સંબંધ છે જે બે સંખ્યાઓ અથવા અભિવ્યક્તિઓને એક ચિહ્નો દ્વારા જોડે છે: (તેના કરતાં વધુ); ≥ (તેના કરતા વધારે અથવા તેના સમાન). ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા એ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને સમાવિષ્ટ અસમાનતા છે.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓ ત્રિકોણમિતિ વિધેયો ધરાવતી અસમાનતાઓના ઉકેલને, નિયમ તરીકે, ફોર્મની સરળ અસમાનતાઓના ઉકેલ માટે ઘટાડવામાં આવે છે: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ આપેલ ત્રિકોણમિતિ કાર્યને અનુરૂપ ધરી પર, આ કાર્યના આપેલ સંખ્યાત્મક મૂલ્યને ચિહ્નિત કરો. એકમ વર્તુળને છેદતા ચિહ્નિત બિંદુ દ્વારા એક રેખા દોરો. કડક અથવા બિન-કડક અસમાનતા ચિહ્નને ધ્યાનમાં લઈને, રેખા અને વર્તુળના આંતરછેદ બિંદુઓને પસંદ કરો. વર્તુળની ચાપ પસંદ કરો કે જેના પર અસમાનતાના ઉકેલો સ્થિત છે. પરિપત્ર ચાપના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ પર ખૂણાના મૂલ્યો નક્કી કરો. આપેલ ત્રિકોણમિતિ કાર્યની સામયિકતાને ધ્યાનમાં લઈને અસમાનતાનો ઉકેલ લખો.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેના સૂત્રો sinx >a; x (આર્કસીન એ + 2πn; π- આર્ક્સીન એ + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn; આર્ક્ટાન + πn). ctgx

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન sinx >a

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા sinx નું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન cosx >a

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન cosx

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન tgx >a

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન tgx

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાનું ગ્રાફિક સોલ્યુશન ctgx >a

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન ctgx

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સંખ્યા વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા; ફંક્શનના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિની અસમાનતાઓને ઉકેલવી. :

નંબર સર્કલનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા ઉકેલવી ઉદાહરણ 1: : જવાબ:

નંબર સર્કલનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા ઉકેલવી ઉદાહરણ 1: જવાબ:

ફંક્શનના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓ ઉકેલવી ઉદાહરણ: જવાબ:

"ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું નિરાકરણ" વિષય પર મેં મારા જ્ઞાનને એકીકૃત કર્યું તે કાર્યનું પરિણામ. અનુભૂતિની સરળતા માટે આ વિષય પર પ્રાપ્ત માહિતીને વ્યવસ્થિત બનાવ્યું: ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ વિકસાવ્યું; બે ઉકેલો દર્શાવેલ છે; ઉકેલોના નિદર્શન ઉદાહરણો. :

કાર્યનું પરિણામ મારા પ્રોજેક્ટ સાથે ફિનિશ્ડ પ્રોડક્ટ તરીકે પણ જોડાયેલું છે “બીજગણિત પરીક્ષાની તૈયારી કરતા વિદ્યાર્થીઓ માટે મેમો.” માઈક્રોસોફ્ટ ઓફિસ વર્ડ દસ્તાવેજ (2). docx:

A.N Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com દ્વારા સંપાદિત ગ્રેડ 10 માટે બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકનો ઉપયોગ કરે છે. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

ત્રિકોણમિતિની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

સુસંગતતા. ઐતિહાસિક રીતે, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને અસમાનતાને શાળાના અભ્યાસક્રમમાં વિશેષ સ્થાન આપવામાં આવ્યું છે. આપણે કહી શકીએ કે ત્રિકોણમિતિ એ શાળાના અભ્યાસક્રમ અને સામાન્ય રીતે સમગ્ર ગાણિતિક વિજ્ઞાનના સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાગોમાંનો એક છે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને અસમાનતાઓ માધ્યમિક શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં એક કેન્દ્રિય સ્થાન ધરાવે છે, બંને શૈક્ષણિક સામગ્રીની સામગ્રી અને શૈક્ષણિક અને જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિની પદ્ધતિઓ જે તેમના અભ્યાસ દરમિયાન રચાઈ શકે છે અને હોવી જોઈએ અને મોટી સંખ્યામાં ઉકેલવા માટે લાગુ કરવામાં આવે છે. સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ પ્રકૃતિની સમસ્યાઓ.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવાથી ત્રિકોણમિતિમાં તમામ શૈક્ષણિક સામગ્રી (ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો, ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરવાની પદ્ધતિઓ વગેરે) સંબંધિત વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત કરવા માટેની પૂર્વજરૂરીયાતો બનાવે છે અને અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી સાથે અસરકારક જોડાણ સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે. બીજગણિતમાં (સમીકરણો, સમીકરણોની સમાનતા, અસમાનતા, બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓનું સમાન પરિવર્તન, વગેરે).

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની તકનીકોની વિચારણામાં આ કુશળતાને નવી સામગ્રીમાં સ્થાનાંતરિત કરવાનો એક પ્રકારનો સમાવેશ થાય છે.

સિદ્ધાંતનું મહત્વ અને તેની અસંખ્ય એપ્લિકેશનો પસંદ કરેલા વિષયની સુસંગતતાનો પુરાવો છે. આ બદલામાં તમને કોર્સ વર્કના ધ્યેયો, ઉદ્દેશ્યો અને સંશોધનનો વિષય નક્કી કરવા દે છે.

અભ્યાસનો હેતુ: ઉપલબ્ધ પ્રકારની ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનું સામાન્યીકરણ કરો, તેમને હલ કરવા માટેની મૂળભૂત અને વિશેષ પદ્ધતિઓ, શાળાના બાળકો દ્વારા ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓનો સમૂહ પસંદ કરો.

સંશોધન હેતુઓ:

1. સંશોધન વિષય પર ઉપલબ્ધ સાહિત્યના વિશ્લેષણના આધારે, સામગ્રીને વ્યવસ્થિત બનાવો.

2. "ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા" વિષયને એકીકૃત કરવા માટે જરૂરી કાર્યોનો સમૂહ પ્રદાન કરો.

અભ્યાસનો હેતુ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ત્રિકોણમિતિની અસમાનતાઓ છે.

સંશોધનનો વિષય: ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાના પ્રકારો અને તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિઓ.

સૈદ્ધાંતિક મહત્વ સામગ્રીને વ્યવસ્થિત કરવાનું છે.

વ્યવહારુ મહત્વ: સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનનો ઉપયોગ; ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની મુખ્ય સામાન્ય પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ.

સંશોધન પદ્ધતિઓ : વૈજ્ઞાનિક સાહિત્યનું વિશ્લેષણ, હસ્તગત જ્ઞાનનું સંશ્લેષણ અને સામાન્યીકરણ, સમસ્યાના નિરાકરણનું વિશ્લેષણ, અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિઓની શોધ.

§1. ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાના પ્રકારો અને તેમને ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ

1.1. સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓ

ચિહ્ન અથવા > દ્વારા જોડાયેલા બે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા કહેવામાં આવે છે.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે અસમાનતામાં સમાવિષ્ટ અજ્ઞાત મૂલ્યોનો સમૂહ શોધવો કે જેના માટે અસમાનતા સંતુષ્ટ છે.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનો મુખ્ય ભાગ તેમને સરળ ઉકેલમાં ઘટાડીને ઉકેલવામાં આવે છે:

આ ફેક્ટરાઇઝેશનની પદ્ધતિ હોઈ શકે છે, ચલમાં ફેરફાર (
,
વગેરે), જ્યાં સામાન્ય અસમાનતા પહેલા હલ થાય છે, અને પછી સ્વરૂપની અસમાનતા
વગેરે, અથવા અન્ય પદ્ધતિઓ.

સૌથી સરળ અસમાનતાઓને બે રીતે ઉકેલી શકાય છે: એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને અથવા ગ્રાફિકલી.

દોf(x  - મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોમાંથી એક. અસમાનતા ઉકેલવા માટે
એક સમયગાળામાં તેનું સમાધાન શોધવા માટે તે પૂરતું છે, એટલે કે. કોઈપણ સેગમેન્ટ પર જેની લંબાઈ ફંક્શનના સમયગાળાની બરાબર છેf  x  . પછી મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ બધા મળી જશેx , તેમજ તે મૂલ્યો જે ફંક્શનના સમયગાળાની કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા મળેલા મૂલ્યોથી અલગ પડે છે. આ કિસ્સામાં, ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.

ચાલો અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમનું ઉદાહરણ આપીએ
(
) અને
.

અસમાનતા ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ
(
).

1. સંખ્યાની સાઈનની વ્યાખ્યા બનાવોx એકમ વર્તુળ પર.

3. ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર, સંકલન સાથે બિંદુને ચિહ્નિત કરોa .

4. આ બિંદુ દ્વારા OX અક્ષની સમાંતર રેખા દોરો અને તેના આંતરછેદ બિંદુઓને વર્તુળ સાથે ચિહ્નિત કરો.

5. વર્તુળની ચાપ પસંદ કરો, જેનાં તમામ બિંદુઓ ઓર્ડિનેટ કરતાં ઓછા હોય છેa .

6. રાઉન્ડની દિશા (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) સૂચવો અને અંતરાલના અંતમાં કાર્યનો સમયગાળો ઉમેરીને જવાબ લખો2πn ,
.

અસમાનતા ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ
.

1. સંખ્યાની સ્પર્શકની વ્યાખ્યા બનાવોx એકમ વર્તુળ પર.

2. એકમ વર્તુળ દોરો.

3. સ્પર્શકોની રેખા દોરો અને તેના પર ઓર્ડિનેટ વડે બિંદુને ચિહ્નિત કરોa .

4. આ બિંદુને મૂળ સાથે જોડો અને પરિણામી સેગમેન્ટના આંતરછેદના બિંદુને એકમ વર્તુળ સાથે ચિહ્નિત કરો.

5. વર્તુળની ચાપ પસંદ કરો, જેનાં તમામ બિંદુઓ કરતાં ઓછી સ્પર્શરેખા પર ઓર્ડિનેટ ધરાવે છેa .

6. ટ્રાવર્સલની દિશા સૂચવો અને કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનને ધ્યાનમાં રાખીને જવાબ લખો, પીરિયડ ઉમેરીનેπn ,
(એન્ટ્રીની ડાબી બાજુની સંખ્યા હંમેશા જમણી બાજુની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય છે).

સામાન્ય સ્વરૂપમાં અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેના સરળ સમીકરણો અને સૂત્રોના ઉકેલોનું ગ્રાફિક અર્થઘટન પરિશિષ્ટ (પરિશિષ્ટ 1 અને 2) માં સૂચવવામાં આવ્યું છે.

ઉદાહરણ 1. અસમાનતા ઉકેલો
.

એકમ વર્તુળ પર સીધી રેખા દોરો
, જે વર્તુળને A અને B બિંદુઓ પર છેદે છે.

બધા અર્થy અંતરાલ પર NM વધારે છે , AMB ચાપના તમામ બિંદુઓ આ અસમાનતાને સંતોષે છે. બધા પરિભ્રમણ ખૂણા પર, મોટા , પરંતુ નાના ,
મૂલ્યો વધારે લેશે (પરંતુ એક કરતાં વધુ નહીં).

ફિગ.1

આમ, અસમાનતાનો ઉકેલ અંતરાલના તમામ મૂલ્યો હશે
, એટલે કે
. આ અસમાનતાના તમામ ઉકેલો મેળવવા માટે, આ અંતરાલના અંતમાં ઉમેરવા માટે તે પૂરતું છે
, ક્યાં
, એટલે કે
,
. નોંધ કરો કે મૂલ્યો
અને
સમીકરણના મૂળ છે
,

તે
;
.

જવાબ:
,
.

1.2. ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

વ્યવહારમાં, ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ ઘણીવાર ઉપયોગી સાબિત થાય છે. ચાલો અસમાનતાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિના સારને ધ્યાનમાં લઈએ
:

1. જો દલીલ જટિલ હોય (તેથી અલગએક્સ ), પછી તેને સાથે બદલોt .

2. અમે એક કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં બનાવીએ છીએtoy કાર્ય આલેખ
અને
.

3. અમે આવા શોધીએ છીએઆલેખના આંતરછેદના બે અડીને આવેલા બિંદુઓ, જે વચ્ચેસાઈન તરંગસ્થિત થયેલ છેઉચ્ચ પ્રત્યક્ષ
. અમે આ બિંદુઓના અસ્પષ્ટતા શોધીએ છીએ.

4. દલીલ માટે બેવડી અસમાનતા લખોt , કોસાઇન સમયગાળાને ધ્યાનમાં લેતા (t મળી આવેલ એબ્સીસાસની વચ્ચે હશે).

5. વિપરીત અવેજી બનાવો (મૂળ દલીલ પર પાછા ફરો) અને મૂલ્ય વ્યક્ત કરોએક્સ ડબલ અસમાનતામાંથી, અમે સંખ્યાત્મક અંતરાલના રૂપમાં જવાબ લખીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2. અસમાનતા ઉકેલો: .

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે, કાર્યોના આલેખને શક્ય તેટલી સચોટ રીતે બનાવવું જરૂરી છે. ચાલો અસમાનતાને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

ચાલો એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ
અને
(ફિગ. 2).

ફિગ.2

વિધેયોના આલેખ બિંદુ પર છેદે છેએ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે
;
. વચ્ચે
ગ્રાફ પોઈન્ટ
ગ્રાફ પોઈન્ટની નીચે
. અને ક્યારે
કાર્ય મૂલ્યો સમાન છે. તેથી જ
ખાતે
.

જવાબ:
.

1.3. બીજગણિત પદ્ધતિ

ઘણી વાર, મૂળ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાને સારી રીતે પસંદ કરેલ અવેજી દ્વારા બીજગણિત (તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક) અસમાનતામાં ઘટાડી શકાય છે. આ પદ્ધતિમાં અસમાનતાને રૂપાંતરિત કરવી, અવેજી દાખલ કરવી અથવા ચલને બદલવાનો સમાવેશ થાય છે.

ચાલો આ પદ્ધતિના ઉપયોગના વિશિષ્ટ ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 3. સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો
.

(ફિગ. 3)

ફિગ.3

,
.

જવાબ:
,

ઉદાહરણ 4. અસમાનતા ઉકેલો:

ODZ:
,
.

સૂત્રોનો ઉપયોગ:
,

ચાલો ફોર્મમાં અસમાનતા લખીએ:
.

અથવા, માનતા
સરળ પરિવર્તન પછી આપણને મળે છે

,

,

.

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લી અસમાનતાને હલ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

ફિગ.4

, અનુક્રમે
. પછી ફિગમાંથી. 4 અનુસરે છે
, ક્યાં
.

ફિગ.5

જવાબ:
,
.

1.4. અંતરાલ પદ્ધતિ

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય યોજના:

ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પરિબળ.

ફંક્શનના અસંતુલિત બિંદુઓ અને શૂન્ય શોધો અને તેમને વર્તુળ પર મૂકો.

કોઈપણ બિંદુ લોTO (પરંતુ અગાઉ મળી નથી) અને ઉત્પાદનની નિશાની શોધો. જો ઉત્પાદન હકારાત્મક છે, તો કોણને અનુરૂપ કિરણ પર એકમ વર્તુળની બહાર એક બિંદુ મૂકો. નહિંતર, બિંદુને વર્તુળની અંદર મૂકો.

જો કોઈ બિંદુ એક સમાન સંખ્યામાં થાય છે, તો આપણે તેને સમ ગુણાકારનો બિંદુ કહીએ છીએ; નીચે પ્રમાણે ચાપ દોરો: બિંદુથી પ્રારંભ કરોTO , જો આગલો બિંદુ વિષમ ગુણાકારનો હોય, તો ચાપ આ બિંદુએ વર્તુળને છેદે છે, પરંતુ જો બિંદુ સમાન ગુણાકારનો હોય, તો તે છેદતો નથી.

વર્તુળ પાછળના ચાપ હકારાત્મક અંતરાલો છે; વર્તુળની અંદર નકારાત્મક જગ્યાઓ છે.

ઉદાહરણ 5. અસમાનતા ઉકેલો

,
.

પ્રથમ શ્રેણીના મુદ્દાઓ:
.

બીજી શ્રેણીના મુદ્દાઓ:
.

દરેક બિંદુ એક વિષમ સંખ્યામાં વખત આવે છે, એટલે કે, બધા બિંદુઓ વિચિત્ર ગુણાકારના છે.

ચાલો ઉત્પાદનની નિશાની પર શોધીએ
: . ચાલો એકમ વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ (ફિગ. 6):

ચોખા. 6

જવાબ:
,
;
,
;
,
.

ઉદાહરણ 6 . અસમાનતા ઉકેલો.

ઉકેલ:

ચાલો અભિવ્યક્તિના શૂન્ય શોધીએ .

પ્રાપ્ત કરોaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

એકમ વર્તુળ શ્રેણી મૂલ્યો પરએક્સ 1 બિંદુઓ દ્વારા રજૂ થાય છે
. શ્રેણીએક્સ 2 પોઈન્ટ આપે છે
. શ્રેણીમાંથીએક્સ 3 અમને બે પોઈન્ટ મળે છે
. છેલ્લે, શ્રેણીએક્સ 4 પોઈન્ટ રજૂ કરશે
. ચાલો આ બધા બિંદુઓને એકમ વર્તુળ પર કાવતરું કરીએ, જે દરેકની બાજુના કૌંસમાં તેની ગુણાકાર દર્શાવે છે.

હવે નંબર દો સમાન હશે. ચાલો ચિહ્નના આધારે અંદાજો કરીએ:

તેથી, પૂર્ણવિરામએ કોણ બનાવે છે તે કિરણ પર પસંદ કરવું જોઈએ બીમ સાથેઓહ, એકમ વર્તુળની બહાર. (નોંધ કરો કે સહાયક બીમવિશે એ તેને ડ્રોઇંગમાં દર્શાવવું બિલકુલ જરૂરી નથી. ડોટએ લગભગ પસંદ કરવામાં આવે છે.)

હવે બિંદુ પરથીએ બધા ચિહ્નિત બિંદુઓ પર ક્રમિક રીતે લહેરાતી સતત રેખા દોરો. અને પોઈન્ટ પર
આપણી લાઇન એક ક્ષેત્રથી બીજા ક્ષેત્રમાં જાય છે: જો તે એકમ વર્તુળની બહાર હોય, તો તે તેની અંદર જાય છે. બિંદુ નજીક , રેખા આંતરિક પ્રદેશમાં પાછી આવે છે, કારણ કે આ બિંદુની ગુણાકાર સમાન છે. એ જ રીતે બિંદુ પર (ગુણાકાર સાથે પણ) લાઇનને બાહ્ય પ્રદેશ તરફ વાળવી પડશે. તેથી, અમે ફિગમાં બતાવેલ ચોક્કસ ચિત્ર દોર્યું. 7. તે એકમ વર્તુળ પરના ઇચ્છિત વિસ્તારોને પ્રકાશિત કરવામાં મદદ કરે છે. તેઓ "+" ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે.

ફિગ.7

અંતિમ જવાબ:

નોંધ. જો લહેરાતી રેખા, એકમ વર્તુળ પર ચિહ્નિત થયેલ તમામ બિંદુઓને પસાર કર્યા પછી, બિંદુ પર પાછી ફરી શકાતી નથી.એ , "ગેરકાયદેસર" જગ્યાએ વર્તુળને પાર કર્યા વિના, આનો અર્થ એ છે કે સોલ્યુશનમાં ભૂલ થઈ હતી, એટલે કે, મૂળની વિચિત્ર સંખ્યા ચૂકી ગઈ હતી.

જવાબ આપો: .

§2. ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓનો સમૂહ

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે શાળાના બાળકોની ક્ષમતા વિકસાવવાની પ્રક્રિયામાં, 3 તબક્કાઓને પણ અલગ કરી શકાય છે.

1. પ્રારંભિક,

2. સરળ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;

3. અન્ય પ્રકારની ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓનો પરિચય.

પ્રારંભિક તબક્કાનો હેતુ એ છે કે શાળાના બાળકોમાં અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ અથવા ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી જરૂરી છે, એટલે કે:

ફોર્મની સરળ અસમાનતાઓને હલ કરવાની ક્ષમતા
,
,
,
, સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને;

સંખ્યાના વર્તુળના ચાપ માટે અથવા કાર્યોના આલેખના ચાપ માટે બેવડી અસમાનતાઓ બાંધવાની ક્ષમતા;

ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓના વિવિધ પરિવર્તનો કરવાની ક્ષમતા.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો વિશે શાળાના બાળકોના જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત કરવાની પ્રક્રિયામાં આ તબક્કાને અમલમાં મૂકવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. મુખ્ય માધ્યમ વિદ્યાર્થીઓને આપવામાં આવતાં કાર્યો હોઈ શકે છે અને શિક્ષકના માર્ગદર્શન હેઠળ અથવા સ્વતંત્ર રીતે કરવામાં આવે છે, તેમજ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવામાં વિકસિત કૌશલ્યો હોઈ શકે છે.

અહીં આવા કાર્યોના ઉદાહરણો છે:

1 . એકમ વર્તુળ પર એક બિંદુને ચિહ્નિત કરો , જો

.

2. સંકલન સમતલના કયા ક્વાર્ટરમાં બિંદુ સ્થિત છે? , જો સમાન:

3. ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પરના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો , જો:

4. અભિવ્યક્તિને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોમાં રૂપાંતરિત કરોઆઈક્વાર્ટર

એ)
, b)
, વી)

5. આર્ક MR આપવામાં આવે છે.એમ - મધ્યમઆઈ-મા ક્વાર્ટર,આર - મધ્યમIIમી ક્વાર્ટર. ચલના મૂલ્યને મર્યાદિત કરોt માટે: (ડબલ અસમાનતા બનાવો) a) આર્ક MR; b) આરએમ આર્ક્સ.

6. ગ્રાફના પસંદ કરેલા વિભાગો માટે બેવડી અસમાનતા લખો:

ચોખા. 1

7. અસમાનતાઓ ઉકેલો
,
,
,
.

8. અભિવ્યક્તિ કન્વર્ટ કરો .

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે શીખવાના બીજા તબક્કે, અમે વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓનું આયોજન કરવાની પદ્ધતિને લગતી નીચેની ભલામણો આપી શકીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે રચાયેલા ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ અથવા ગ્રાફ સાથે કામ કરવાની વિદ્યાર્થીઓની હાલની કુશળતા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું જરૂરી છે.

સૌપ્રથમ, કોઈ પણ સરળ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સામાન્ય પદ્ધતિ મેળવવાની યોગ્યતાને પ્રોત્સાહિત કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મની અસમાનતા તરફ
. તૈયારીના તબક્કે મેળવેલા જ્ઞાન અને કૌશલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યાર્થીઓ સૂચિત અસમાનતાને ફોર્મમાં લાવશે.
, પરંતુ પરિણામી અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ શોધવાનું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે, કારણ કે ફક્ત સાઈન ફંક્શનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરવું અશક્ય છે. આ મુશ્કેલીને યોગ્ય ચિત્ર તરફ વળવાથી ટાળી શકાય છે (ગ્રાફિકલી સમીકરણ ઉકેલવા અથવા એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને).

બીજું, શિક્ષકે વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન કાર્ય પૂર્ણ કરવાની વિવિધ રીતો તરફ દોરવું જોઈએ, ગ્રાફિકલી અને ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાને ઉકેલવાનું યોગ્ય ઉદાહરણ આપવું જોઈએ.

ચાલો અસમાનતાના નીચેના ઉકેલોને ધ્યાનમાં લઈએ
.

1. એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતા ઉકેલવી.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા પરના પ્રથમ પાઠમાં, અમે વિદ્યાર્થીઓને વિગતવાર ઉકેલ અલ્ગોરિધમ ઓફર કરીશું, જે એક પગલું-દર-પગલા પ્રસ્તુતિમાં અસમાનતાને ઉકેલવા માટે જરૂરી તમામ મૂળભૂત કુશળતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

પગલું 1.ચાલો એકમ વર્તુળ દોરીએ અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર એક બિંદુને ચિહ્નિત કરીએ અને તેના દ્વારા x-અક્ષની સમાંતર એક સીધી રેખા દોરો. આ રેખા એકમ વર્તુળને બે બિંદુઓ પર છેદે છે. આ દરેક બિંદુઓ એવી સંખ્યાઓ દર્શાવે છે જેની સાઈન બરાબર છે .

પગલું 2.આ સીધી રેખા વર્તુળને બે ચાપમાં વિભાજિત કરે છે. કરતાં મોટી સાઈન ધરાવતી સંખ્યાઓ દર્શાવતી એકને પસંદ કરીએ . સ્વાભાવિક રીતે, આ ચાપ દોરેલી સીધી રેખાની ઉપર સ્થિત છે.

ચોખા. 2

પગલું 3.ચિહ્નિત ચાપના છેડામાંથી એક પસંદ કરો. ચાલો એકમ વર્તુળના આ બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી સંખ્યાઓમાંથી એક લખીએ .

પગલું 4.પસંદ કરેલ ચાપના બીજા છેડાને અનુરૂપ નંબર પસંદ કરવા માટે, અમે નામના છેડાથી બીજા છેડા સુધી આ ચાપ સાથે "ચાલીએ છીએ". તે જ સમયે, યાદ કરો કે જ્યારે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસેડીએ છીએ, ત્યારે આપણે જે સંખ્યાઓમાંથી પસાર થઈશું તે વધશે (જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધશે, ત્યારે સંખ્યા ઘટશે). ચાલો ચિહ્નિત ચાપના બીજા છેડે એકમ વર્તુળ પર દર્શાવવામાં આવેલ સંખ્યાને લખીએ .

આમ, આપણે તે અસમાનતા જોઈએ છીએ
સંખ્યાઓને સંતોષો જેના માટે અસમાનતા સાચી છે
. અમે સાઈન ફંક્શનના સમાન સમયગાળા પર સ્થિત સંખ્યાઓની અસમાનતા ઉકેલી. તેથી, અસમાનતાના તમામ ઉકેલો ફોર્મમાં લખી શકાય છે

વિદ્યાર્થીઓને ડ્રોઇંગની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરવા અને અસમાનતાના તમામ ઉકેલો શા માટે છે તે શોધવાનું કહેવામાં આવવું જોઈએ
ફોર્મમાં લખી શકાય છે
,
.

ચોખા. 3

વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરવું જરૂરી છે કે કોસાઇન ફંક્શન માટે અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, આપણે ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા દોરીએ છીએ.

અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ.

અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ
અને
, આપેલ છે
.

ચોખા. 4

પછી આપણે સમીકરણ લખીએ
અને તેનો નિર્ણય
,
,
, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે
,
,
.

(આપવુંn મૂલ્યો 0, 1, 2, આપણે સંકલિત સમીકરણના ત્રણ મૂળ શોધીએ છીએ). મૂલ્યો
આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓના ત્રણ સળંગ એબ્સીસાસ છે
અને
. દેખીતી રીતે, હંમેશા અંતરાલ પર
અસમાનતા ધરાવે છે
, અને અંતરાલ પર
- અસમાનતા
. અમને પ્રથમ કેસમાં રસ છે, અને પછી આ અંતરાલના અંતમાં એક સંખ્યા ઉમેરીને જે સાઈનના સમયગાળાનો ગુણાંક છે, અમે અસમાનતાનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ.
ફોર્મમાં:
,
.

ચોખા. 5

ચાલો સારાંશ આપીએ. અસમાનતા ઉકેલવા માટે
, તમારે અનુરૂપ સમીકરણ બનાવવાની અને તેને હલ કરવાની જરૂર છે. પરિણામી સૂત્રમાંથી મૂળ શોધો અને , અને ફોર્મમાં અસમાનતાનો જવાબ લખો: ,
.

ત્રીજે સ્થાને, અનુરૂપ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાના મૂળના સમૂહ વિશેની હકીકત તેને ગ્રાફિકલી હલ કરતી વખતે ખૂબ જ સ્પષ્ટપણે પુષ્ટિ મળે છે.

ચોખા. 6

વિદ્યાર્થીઓને એ દર્શાવવું જરૂરી છે કે વળાંક, જે અસમાનતાનો ઉકેલ છે, તે જ અંતરાલ દ્વારા ત્રિકોણમિતિ કાર્યના સમયગાળાની બરાબર છે. તમે સાઈન ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સમાન ચિત્રને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકો છો.

ચોથું, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના સરવાળા (તફાવત)ને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે વિદ્યાર્થીઓની તકનીકોને અપડેટ કરવા અને ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં આ તકનીકોની ભૂમિકા તરફ વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન દોરવા માટે સલાહ આપવામાં આવે છે.

શિક્ષક દ્વારા સૂચિત કાર્યોની વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સ્વતંત્ર પૂર્ણતા દ્વારા આવા કાર્યનું આયોજન કરી શકાય છે, જેમાંથી અમે નીચેનાને પ્રકાશિત કરીએ છીએ:

પાંચમું, વિદ્યાર્થીઓએ આલેખ અથવા ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને દરેક સરળ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાના ઉકેલને સમજાવવાની જરૂર છે. તમારે ચોક્કસપણે તેની યોગ્યતા પર ધ્યાન આપવું જોઈએ, ખાસ કરીને વર્તુળનો ઉપયોગ, કારણ કે ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે, અનુરૂપ ચિત્ર આપેલ અસમાનતાના ઉકેલોના સમૂહને રેકોર્ડ કરવાના ખૂબ જ અનુકૂળ માધ્યમ તરીકે સેવા આપે છે.

નીચેની યોજના અનુસાર ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનો વિદ્યાર્થીઓને પરિચય કરાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: ચોક્કસ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા તરફ વળવું અનુરૂપ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ સંયુક્ત શોધ તરફ વળવું (શિક્ષક - વિદ્યાર્થીઓ) ના સ્વતંત્ર સ્થાનાંતરણ; સમાન પ્રકારની અન્ય અસમાનતાઓ માટે શોધાયેલ પદ્ધતિ.

ત્રિકોણમિતિ વિશેના વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત બનાવવા માટે, અમે ખાસ કરીને આવી અસમાનતાઓને પસંદ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ, જેના ઉકેલ માટે વિવિધ પરિવર્તનની જરૂર છે જે તેને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં અમલમાં મૂકી શકાય અને વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન તેમની વિશેષતાઓ પર કેન્દ્રિત કરે.

આવી ઉત્પાદક અસમાનતાઓ તરીકે આપણે પ્રસ્તાવિત કરી શકીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના:

નિષ્કર્ષમાં, અમે ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓના સમૂહનું ઉદાહરણ આપીએ છીએ.

1. અસમાનતાઓ ઉકેલો:

એ)
, સ્થિતિ સંતોષે છે
;

b)
, સ્થિતિ સંતોષે છે
.

5. અસમાનતાઓના તમામ ઉકેલો શોધો:

એ) ;

b) ;

વી)
;

જી)
;

ડી)
.

6. અસમાનતાઓ ઉકેલો:

એ) ;

b) ;

વી) ;

જી)
;

ડી) ;

e) ;

અને)
.

7. અસમાનતાઓ ઉકેલો:

એ)
;

b) ;

વી) ;

જી).

8. અસમાનતાઓ ઉકેલો:

એ) ;

b) ;

વી) ;

જી)
;

ડી)
;

e) ;

અને)
;

h) .

અદ્યતન સ્તરે ગણિતનો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓને કાર્ય 6 અને 7, ગણિતનો અદ્યતન અભ્યાસ ધરાવતા વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓને કાર્ય 8 ઓફર કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

§3. ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની વિશેષ પદ્ધતિઓ

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની વિશેષ પદ્ધતિઓ - એટલે કે, તે પદ્ધતિઓ જેનો ઉપયોગ ફક્ત ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે. આ પદ્ધતિઓ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મોના ઉપયોગ પર તેમજ વિવિધ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો અને ઓળખના ઉપયોગ પર આધારિત છે.

3.1. સેક્ટર પદ્ધતિ

ચાલો ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સેક્ટર પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ. ફોર્મની અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

, ક્યાંપી ( x ) અનેપ્ર ( x ) - તર્કસંગત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો (સાઇન્સ, કોસાઇન્સ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ્સનો સમાવેશ તર્કસંગત રીતે કરવામાં આવે છે), તર્કસંગત અસમાનતાઓને ઉકેલવા સમાન. સંખ્યા રેખા પર અંતરાલોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તર્કસંગત અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે તે અનુકૂળ છે. તર્કસંગત ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેનું તેનું એનાલોગ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળમાંના ક્ષેત્રોની પદ્ધતિ છે.sinx અનેcosx (
) અથવા ત્રિકોણમિતિ અર્ધવર્તુળ માટેtgx અનેctgx (
).

અંતરાલ પદ્ધતિમાં, ફોર્મના અંશ અને છેદના દરેક રેખીય પરિબળ
સંખ્યા અક્ષ પર એક બિંદુને અનુલક્ષે છે , અને જ્યારે આ બિંદુ પરથી પસાર થાય છે
ફેરફારોનું ચિહ્ન. સેક્ટર પદ્ધતિમાં, ફોર્મના દરેક પરિબળ
, ક્યાં
- કાર્યોમાંથી એકsinx અથવાcosx અને
, ત્રિકોણમિતિ વર્તુળમાં બે ખૂણાઓ અનુરૂપ છે અને
, જે વર્તુળને બે ક્ષેત્રોમાં વિભાજીત કરે છે. જ્યારે પસાર થાય છે અને કાર્ય
ફેરફારોનું ચિહ્ન.

નીચેનાને યાદ રાખવું જોઈએ:

a) ફોર્મના પરિબળો
અને
, ક્યાં
, બધા મૂલ્યો માટે સાઇન જાળવી રાખો . અંશ અને છેદના આવા પરિબળોને બદલીને કાઢી નાખવામાં આવે છે (જો
) આવા દરેક અસ્વીકાર સાથે, અસમાનતા ચિહ્ન ઉલટાવી દેવામાં આવે છે.

b) ફોર્મના પરિબળો
અને
પણ કાઢી નાખવામાં આવે છે. તદુપરાંત, જો આ છેદના પરિબળો છે, તો ફોર્મની અસમાનતાઓ અસમાનતાઓની સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઉમેરવામાં આવે છે.
અને
. જો આ અંશના પરિબળો છે, તો પછી પ્રતિબંધોની સમાન સિસ્ટમમાં તેઓ અસમાનતાને અનુરૂપ છે
અને
સખત પ્રારંભિક અસમાનતા અને સમાનતાના કિસ્સામાં
અને
બિન-કડક પ્રારંભિક અસમાનતાના કિસ્સામાં. જ્યારે ગુણકને કાઢી નાખો
અથવા
અસમાનતાની નિશાની ઉલટી છે.

ઉદાહરણ 1. અસમાનતાઓ ઉકેલો: a)
, b)
. અમારી પાસે ફંક્શન છે b). આપણી પાસે રહેલી અસમાનતા ઉકેલો,

3.2. કેન્દ્રિત વર્તુળ પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ તર્કસંગત અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે સમાંતર સંખ્યા અક્ષ પદ્ધતિનું એનાલોગ છે.

ચાલો અસમાનતાઓની સિસ્ટમના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 5. સરળ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો

પ્રથમ, અમે દરેક અસમાનતાને અલગથી હલ કરીએ છીએ (આકૃતિ 5). આકૃતિના ઉપરના જમણા ખૂણે આપણે સૂચવીશું કે કઈ દલીલ માટે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ ગણવામાં આવે છે.

ફિગ.5

આગળ, અમે દલીલ માટે કેન્દ્રિત વર્તુળોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએએક્સ . આપણે એક વર્તુળ દોરીએ છીએ અને તેને પ્રથમ અસમાનતાના ઉકેલ અનુસાર શેડ કરીએ છીએ, પછી આપણે મોટા ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરીએ છીએ અને બીજાના ઉકેલ અનુસાર તેને છાંયડો કરીએ છીએ, પછી આપણે ત્રીજા અસમાનતા માટે એક વર્તુળ અને આધાર વર્તુળ બનાવીએ છીએ. અમે સિસ્ટમના કેન્દ્રમાંથી કિરણોને ચાપના છેડા દ્વારા દોરીએ છીએ જેથી તેઓ બધા વર્તુળોને છેદે. અમે આધાર વર્તુળ (આકૃતિ 6) પર ઉકેલ રચીએ છીએ.

ફિગ.6

જવાબ:
,
.

નિષ્કર્ષ

અભ્યાસક્રમ સંશોધનના તમામ ઉદ્દેશો પૂર્ણ થયા. સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી વ્યવસ્થિત છે: ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાના મુખ્ય પ્રકારો અને તેમને હલ કરવાની મુખ્ય પદ્ધતિઓ આપવામાં આવી છે (ગ્રાફિકલ, બીજગણિત, અંતરાલોની પદ્ધતિ, ક્ષેત્રો અને કેન્દ્રિત વર્તુળોની પદ્ધતિ). દરેક પદ્ધતિ માટે અસમાનતાને ઉકેલવાનું ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું હતું. સૈદ્ધાંતિક ભાગ પછી પ્રેક્ટિકલ ભાગ આવ્યો. તેમાં ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેના કાર્યોનો સમૂહ છે.

આ અભ્યાસક્રમનો ઉપયોગ વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કરી શકે છે. શાળાના બાળકો આ વિષયની નિપુણતાનું સ્તર ચકાસી શકે છે અને વિવિધ જટિલતાના કાર્યો પૂર્ણ કરવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકે છે.

આ મુદ્દા પર સંબંધિત સાહિત્યનો અભ્યાસ કર્યા પછી, અમે દેખીતી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે બીજગણિત અને પ્રાથમિક વિશ્લેષણના શાળા અભ્યાસક્રમમાં ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને હલ કરવાની ક્ષમતા અને કુશળતા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, જેના વિકાસ માટે ગણિતના શિક્ષક દ્વારા નોંધપાત્ર પ્રયત્નોની જરૂર છે.

તેથી, આ કાર્ય ગણિતના શિક્ષકો માટે ઉપયોગી થશે, કારણ કે તે "ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા" વિષય પર વિદ્યાર્થીઓની તાલીમને અસરકારક રીતે ગોઠવવાનું શક્ય બનાવે છે.

સંશોધનને અંતિમ લાયકાતના કાર્ય સુધી વિસ્તૃત કરીને તેને ચાલુ રાખી શકાય છે.

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ

બોગોમોલોવ, એન.વી. ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ [ટેક્સ્ટ] / N.V. બોગોમોલોવ. – એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2009. – 206 પૃ.

વાયગોડસ્કી, એમ.યા. પ્રાથમિક ગણિતની હેન્ડબુક [ટેક્સ્ટ] / M.Ya. વૈગોડસ્કી. – એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2006. – 509 પૃષ્ઠ.

ઝુરબેનકો, એલ.એન. ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓમાં ગણિત [ટેક્સ્ટ] / L.N. ઝુરબેનકો. – એમ.: ઇન્ફ્રા-એમ, 2009. – 373 પૃષ્ઠ.

ઇવાનવ, ઓ.એ. શાળાના બાળકો, વિદ્યાર્થીઓ અને શિક્ષકો માટે પ્રાથમિક ગણિત [ટેક્સ્ટ] / O.A. ઇવાનવ. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

કાર્પ, એ.પી. બીજગણિત પર સોંપણીઓ અને ગ્રેડ 11 [ટેક્સ્ટ] / એ.પી.માં અંતિમ પુનરાવર્તન અને પ્રમાણપત્રના આયોજન માટે વિશ્લેષણની શરૂઆત કાર્પ. – એમ.: એજ્યુકેશન, 2005. – 79 પૃ.

કુલાનિન, ઇ.ડી. ગણિતમાં 3000 સ્પર્ધા સમસ્યાઓ [ટેક્સ્ટ] / E.D. કુલાનિન. – એમ.: આઇરિસ-પ્રેસ, 2007. – 624 પૃષ્ઠ.

લીબસન, કે.એલ. ગણિતમાં પ્રાયોગિક કાર્યોનો સંગ્રહ [ટેક્સ્ટ] / કે.એલ. લીબસન. – એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2010. – 182 પૃષ્ઠ.

કોણી, વી.વી. પરિમાણો અને તેમના ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ. ત્રિકોણમિતિ: સમીકરણો, અસમાનતાઓ, સિસ્ટમો. 10 મી ગ્રેડ [ટેક્સ્ટ] / વી.વી. કોણી. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

મનોવા, એ.એન. ગણિત. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટે એક્સપ્રેસ ટ્યુટર: વિદ્યાર્થી. મેન્યુઅલ [ટેક્સ્ટ] / A.N. મનોવા. – રોસ્ટોવ-ઓન-ડોન: ફોનિક્સ, 2012. – 541 પૃષ્ઠ.

મોર્ડકોવિચ, એ.જી. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત. 10-11 ગ્રેડ. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક [ટેક્સ્ટ] / એ.જી. મોર્ડકોવિચ. – એમ.: આઇરિસ-પ્રેસ, 2009. – 201 પૃ.

નોવિકોવ, એ.આઈ. ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, સમીકરણો અને અસમાનતાઓ [ટેક્સ્ટ] / A.I. નોવીકોવ. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p.

ઓગનેસ્યાન, વી.એ. માધ્યમિક શાળામાં ગણિત શીખવવાની પદ્ધતિઓ: સામાન્ય પદ્ધતિ. પાઠ્યપુસ્તક ભૌતિકશાસ્ત્રના વિદ્યાર્થીઓ માટે માર્ગદર્શિકા - સાદડી. ફેક ped ઇન્સ્ટ. [ટેક્સ્ટ] / V.A. ઓગનેસ્યાન. – એમ.: એજ્યુકેશન, 2006. – 368 પૃષ્ઠ.

ઓલેહનિક, એસ.એન. સમીકરણો અને અસમાનતાઓ. બિન-માનક ઉકેલ પદ્ધતિઓ [ટેક્સ્ટ] / S.N. ઓલેહનિક. – એમ.: ફેક્ટોરિયલ પબ્લિશિંગ હાઉસ, 1997. – 219 પૃષ્ઠ.

સેવર્યુકોવ, પી.એફ. ત્રિકોણમિતિ, ઘાતાંકીય અને લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ [ટેક્સ્ટ] / P.F. સેવરીયુકોવ. – એમ.: જાહેર શિક્ષણ, 2008. – 352 પૃષ્ઠ.

સેર્ગીવ, આઈ.એન. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા: ગણિતમાં જવાબો અને ઉકેલો સાથે 1000 સમસ્યાઓ. જૂથ C [ટેક્સ્ટ] / I.N ના તમામ કાર્યો. સેર્ગીવ. – એમ.: પરીક્ષા, 2012. – 301 પૃષ્ઠ.

સોબોલેવ, એ.બી. પ્રાથમિક ગણિત [ટેક્સ્ટ] / A.B. સોબોલેવ. – એકટેરિનબર્ગ: ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણની રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા USTU-UPI, 2005. – 81 p.

ફેન્કો, એલ.એમ. અસમાનતાઓને ઉકેલવા અને કાર્યોના અભ્યાસમાં અંતરાલોની પદ્ધતિ [ટેક્સ્ટ] / L.M. ફેન્કો. – એમ.: બસ્ટર્ડ, 2005. – 124 પૃષ્ઠ.

ફ્રીડમેન, એલ.એમ. ગણિત શીખવવાની પદ્ધતિઓના સૈદ્ધાંતિક પાયા [ટેક્સ્ટ] / એલ.એમ. ફ્રીડમેન. – એમ.: બુક હાઉસ “લિબ્રોકોમ”, 2009. – 248 પૃષ્ઠ.

પરિશિષ્ટ 1

સરળ અસમાનતાઓના ઉકેલોનું ગ્રાફિક અર્થઘટન

ચોખા. 1

ચોખા. 2

ફિગ.3

ફિગ.4

ફિગ.5

ફિગ.6

ફિગ.7

ફિગ.8

પરિશિષ્ટ 2

સરળ અસમાનતા માટે ઉકેલો

અસમાનતા એ a › b સ્વરૂપના સંબંધો છે, જ્યાં a અને b એ ઓછામાં ઓછા એક ચલ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓ છે. અસમાનતા કડક હોઈ શકે છે - ‹, › અને બિન-કડક - ≥, ≤.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા એ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, જેમાં F(x) એક અથવા વધુ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. .

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાનું ઉદાહરણ છે: sin x ‹ 1/2. આવી સમસ્યાઓને ગ્રાફિકલી હલ કરવાનો રિવાજ છે આ માટે બે પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે.

પદ્ધતિ 1 - ફંક્શનનો આલેખ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવી

અસમાનતા sin x ‹ 1/2 ની શરતોને સંતોષતા અંતરાલ શોધવા માટે, તમારે નીચેના પગલાં ભરવા આવશ્યક છે:

1. સંકલન ધરી પર, એક sinusoid y = sin x બનાવો.
2. સમાન ધરી પર, અસમાનતાની સંખ્યાત્મક દલીલનો ગ્રાફ દોરો, એટલે કે, ઓર્ડિનેટ OY ના ½ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા.
3. બે ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો.
4. સેગમેન્ટને શેડ કરો જે ઉદાહરણનો ઉકેલ છે.

જ્યારે અભિવ્યક્તિમાં કડક સંકેતો હાજર હોય, ત્યારે આંતરછેદ બિંદુઓ ઉકેલો નથી. સાઇનસૉઇડનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો 2π હોવાથી, અમે નીચે પ્રમાણે જવાબ લખીએ છીએ:

જો અભિવ્યક્તિના ચિહ્નો કડક ન હોય, તો ઉકેલ અંતરાલ ચોરસ કૌંસમાં બંધ હોવો જોઈએ - . સમસ્યાનો જવાબ નીચેની અસમાનતા તરીકે પણ લખી શકાય છે.

પદ્ધતિ 2 - એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિની અસમાનતાઓને ઉકેલવી

ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને સમાન સમસ્યાઓ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. જવાબો શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ ખૂબ જ સરળ છે:

1. પ્રથમ તમારે એકમ વર્તુળ દોરવાની જરૂર છે.
2. પછી તમારે વર્તુળની ચાપ પરની અસમાનતાની જમણી બાજુની દલીલના આર્ક ફંક્શનનું મૂલ્ય નોંધવાની જરૂર છે.
3. એબ્સીસા એક્સિસ (OX) ની સમાંતર આર્ક ફંક્શનના મૂલ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દોરવી જરૂરી છે.
4. તે પછી, જે બાકી રહે છે તે વર્તુળની ચાપ પસંદ કરવાનું છે, જે ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ છે.
5. જવાબ જરૂરી ફોર્મમાં લખો.

ચાલો અસમાનતા sin x › 1/2 ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલના તબક્કાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ. બિંદુઓ α અને β વર્તુળ પર ચિહ્નિત થયેલ છે - મૂલ્યો

α અને β ઉપર સ્થિત ચાપના બિંદુઓ આપેલ અસમાનતાને ઉકેલવા માટેનું અંતરાલ છે.

જો તમારે cos માટે ઉદાહરણ ઉકેલવાની જરૂર હોય, તો જવાબની ચાપ OX અક્ષ પર સમપ્રમાણરીતે સ્થિત થશે, OY નહીં. તમે ટેક્સ્ટમાં નીચેના આકૃતિઓમાં sin અને cos માટેના ઉકેલના અંતરાલ વચ્ચેના તફાવતને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો.

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ અસમાનતા માટેના ગ્રાફિકલ ઉકેલો સાઈન અને કોસાઈન બંનેથી અલગ હશે. આ કાર્યોના ગુણધર્મોને કારણે છે.

આર્કટેન્જેન્ટ અને આર્કોટેન્જેન્ટ એ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળના સ્પર્શક છે અને બંને કાર્યો માટે લઘુત્તમ હકારાત્મક સમયગાળો π છે. બીજી પદ્ધતિનો ઝડપથી અને યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે કયા ધરી પર sin, cos, tg અને ctg ના મૂલ્યો રચવામાં આવ્યા છે.

સ્પર્શક સ્પર્શક OY અક્ષની સમાંતર ચાલે છે. જો આપણે એકમ વર્તુળ પર આર્ક્ટન a ની કિંમતનું કાવતરું કરીએ, તો બીજો જરૂરી બિંદુ કર્ણ ક્વાર્ટરમાં સ્થિત થશે. ખૂણો

તેઓ ફંક્શન માટે બ્રેક પોઈન્ટ છે, કારણ કે ગ્રાફ તેમની તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ ક્યારેય તેમના સુધી પહોંચતું નથી.

કોટેન્જેન્ટના કિસ્સામાં, સ્પર્શક OX અક્ષની સમાંતર ચાલે છે, અને કાર્ય π અને 2π બિંદુઓ પર વિક્ષેપિત થાય છે.

જટિલ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા

જો અસમાનતા કાર્યની દલીલ માત્ર ચલ દ્વારા જ નહીં, પરંતુ એક અજ્ઞાત સમાયેલ સમગ્ર અભિવ્યક્તિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો આપણે એક જટિલ અસમાનતા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. તેને હલ કરવાની પ્રક્રિયા અને પ્રક્રિયા ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓથી કંઈક અંશે અલગ છે. ધારો કે આપણે નીચેની અસમાનતાનો ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે:

ગ્રાફિકલ સોલ્યુશનમાં x ના મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય sinusoid y = sin x બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો ગ્રાફના નિયંત્રણ બિંદુઓ માટે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે કોષ્ટકની ગણતરી કરીએ:

પરિણામ એક સુંદર વળાંક હોવું જોઈએ.

ઉકેલ શોધવાને સરળ બનાવવા માટે, ચાલો જટિલ ફંક્શન દલીલને બદલીએ

1. જો દલીલ જટિલ હોય (તેથી અલગ એક્સ), પછી તેને સાથે બદલો t.

2. અમે એક કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં બનાવીએ છીએ toyકાર્ય આલેખ y=ખર્ચઅને y=a.

3. અમે આવા શોધીએ છીએ આલેખના આંતરછેદના બે અડીને આવેલા બિંદુઓ, જે વચ્ચે સ્થિત છે સીધી રેખા y=a ઉપર. અમે આ બિંદુઓના અસ્પષ્ટતા શોધીએ છીએ.

4. દલીલ માટે બેવડી અસમાનતા લખો t, કોસાઇન સમયગાળાને ધ્યાનમાં લેતા ( tમળી આવેલ એબ્સીસાસની વચ્ચે હશે).

5. વિપરીત અવેજી બનાવો (મૂળ દલીલ પર પાછા ફરો) અને મૂલ્ય વ્યક્ત કરો એક્સડબલ અસમાનતામાંથી, અમે સંખ્યાત્મક અંતરાલના રૂપમાં જવાબ લખીએ છીએ.

ઉદાહરણ 1.

આગળ, અલ્ગોરિધમ મુજબ, અમે દલીલના તે મૂલ્યો નક્કી કરીએ છીએ t, જેના પર સાઇનસૉઇડ સ્થિત છે ઉચ્ચ પ્રત્યક્ષ ચાલો આ મૂલ્યોને બેવડી અસમાનતા તરીકે લખીએ, કોસાઈન ફંક્શનની સામયિકતાને ધ્યાનમાં લઈએ અને પછી મૂળ દલીલ પર પાછા આવીએ. એક્સ.

ઉદાહરણ 2.

મૂલ્યોની શ્રેણી પસંદ કરી રહ્યા છીએ t, જેમાં સાઇનસૉઇડ સીધી રેખાની ઉપર હોય છે.

અમે મૂલ્યોને ડબલ અસમાનતાના સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ ટી,સ્થિતિ સંતોષે છે. ભૂલશો નહીં કે કાર્યનો સૌથી નાનો સમયગાળો y=ખર્ચબરાબર 2π. ચલ પર પાછા ફરવું એક્સ, ધીમે ધીમે ડબલ અસમાનતાના તમામ ભાગોને સરળ બનાવે છે.

અમે જવાબને બંધ આંકડાકીય અંતરાલના રૂપમાં લખીએ છીએ, કારણ કે અસમાનતા કડક ન હતી.

ઉદાહરણ 3.

અમને મૂલ્યોની શ્રેણીમાં રસ હશે t, જેના પર સાઇનસૉઇડના બિંદુઓ સીધી રેખાની ઉપર આવેલા હશે.

મૂલ્યો tતેને ડબલ અસમાનતાના રૂપમાં લખો, માટે સમાન મૂલ્યો ફરીથી લખો 2xઅને વ્યક્ત કરો એક્સ. ચાલો જવાબને સંખ્યાત્મક અંતરાલના રૂપમાં લખીએ.

અને ફરીથી સૂત્ર કિંમત>એ.

જો કિંમત>એ, (-1≤એ≤1), પછી - આર્કોસ એ + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સૂત્રો લાગુ કરો અને તમે પરીક્ષાના પરીક્ષણ પર સમય બચાવશો.

અને હવે સૂત્ર , જેનો તમારે ફોર્મની ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા ઉકેલતી વખતે UNT અથવા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ઉપયોગ કરવો જોઈએ. ખર્ચ

જો ખર્ચ , (-1≤એ≤1), પછી arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

આ લેખમાં ચર્ચા કરાયેલી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે આ સૂત્ર લાગુ કરો, અને તમને જવાબ ખૂબ ઝડપથી અને કોઈપણ ગ્રાફ વિના મળશે!

સાઈન ફંક્શનની સામયિકતાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે દલીલના મૂલ્યો માટે બેવડી અસમાનતા લખીએ છીએ t, છેલ્લી અસમાનતાને સંતોષે છે. ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા ફરીએ. ચાલો પરિણામી બેવડી અસમાનતાને રૂપાંતરિત કરીએ અને ચલ વ્યક્ત કરીએ એક્સ.ચાલો ઈન્ટરવલના રૂપમાં જવાબ લખીએ.

ચાલો બીજી અસમાનતા હલ કરીએ:

બીજી અસમાનતાને ઉકેલતી વખતે, ફોર્મની અસમાનતા મેળવવા માટે આપણે ડબલ આર્ગ્યુમેન્ટ સાઈન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાની ડાબી બાજુનું રૂપાંતર કરવું પડ્યું: sint≥a.આગળ આપણે અલ્ગોરિધમનું અનુસરણ કર્યું.

અમે ત્રીજી અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ:

પ્રિય સ્નાતકો અને અરજદારો! ધ્યાનમાં રાખો કે ત્રિકોણમિતિની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ, જેમ કે ઉપર આપેલ ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ અને કદાચ તમને ખબર હોય, એકમ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ (ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ) નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવાની પદ્ધતિ ત્રિકોણમિતિના વિભાગના અભ્યાસના પ્રથમ તબક્કામાં જ લાગુ પડે છે. "ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને અસમાનતાઓનું નિરાકરણ." મને લાગે છે કે તમને યાદ હશે કે તમે પ્રથમ આલેખ અથવા વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલ્યા હતા. જો કે, હવે તમે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને આ રીતે હલ કરવાનું વિચારશો નહીં. તમે તેમને કેવી રીતે હલ કરશો? તે સૂત્રો અનુસાર સાચું છે. તેથી ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવી જોઈએ, ખાસ કરીને પરીક્ષણ દરમિયાન, જ્યારે દરેક મિનિટ કિંમતી છે. તેથી, યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ પાઠની ત્રણ અસમાનતાઓને ઉકેલો.

જો sint>a, જ્યાં -1≤ a≤1, પછી arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

સૂત્રો શીખો!

અને છેલ્લે: શું તમે જાણો છો કે ગણિત એ વ્યાખ્યાઓ, નિયમો અને ફોર્મ્યુલા છે?!

અલબત્ત તમે કરો છો! અને સૌથી વિચિત્ર, આ લેખનો અભ્યાસ કરીને અને વિડિઓ જોયા પછી, ઉદ્ગાર કર્યો: “કેટલું લાંબું અને મુશ્કેલ! શું એવી કોઈ ફોર્મ્યુલા છે જે તમને કોઈપણ ગ્રાફ અથવા વર્તુળો વિના આવી અસમાનતાઓને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે?" હા, અલબત્ત ત્યાં છે!

ફોર્મની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે: પાપ (-1≤એ≤1) સૂત્ર માન્ય છે:

— π — આર્ક્સીન a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

તેને ચર્ચા કરેલા ઉદાહરણો પર લાગુ કરો અને તમને જવાબ ખૂબ ઝડપથી મળશે!

નિષ્કર્ષ: ફોર્મ્યુલા શીખો, મિત્રો!

પૃષ્ઠ 1 માંથી 1 1

વ્યવહારુ પાઠ દરમિયાન, અમે "ત્રિકોણમિતિ" વિષયના મુખ્ય પ્રકારનાં કાર્યોને પુનરાવર્તિત કરીશું, વધુમાં વધેલી જટિલતાની સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરીશું અને વિવિધ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓ અને તેમની સિસ્ટમોને હલ કરવાના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈશું.

આ પાઠ તમને B5, B7, C1 અને C3 ના એક પ્રકાર માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરશે.

ચાલો આપણે "ત્રિકોણમિતિ" વિષયમાં આવરી લીધેલા મુખ્ય પ્રકારનાં કાર્યોની સમીક્ષા કરીને શરૂઆત કરીએ અને કેટલીક બિન-માનક સમસ્યાઓ હલ કરીએ.

કાર્ય નંબર 1. ખૂણાઓને રેડિયન અને ડિગ્રીમાં કન્વર્ટ કરો: a) ; b)

a) ચાલો ડિગ્રીને રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ

ચાલો તેમાં ઉલ્લેખિત મૂલ્યને બદલીએ.

b) રેડિયનને ડિગ્રીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરો

ચાલો અવેજી કરીએ .

જવાબ આપો. એ); b)

કાર્ય નંબર 2. ગણતરી કરો: a) ; b)

a) કોણ કોષ્ટકથી ઘણું આગળ જાય છે, તેથી આપણે સાઈન પીરિયડને બાદ કરીને તેને ઘટાડીશું. કારણ કે કોણ રેડિયનમાં દર્શાવેલ છે, પછી આપણે સમયગાળાને .

b) આ કિસ્સામાં પરિસ્થિતિ સમાન છે. કોણ ડિગ્રીમાં દર્શાવેલ હોવાથી, આપણે સ્પર્શકનો સમયગાળો ગણીશું.

પરિણામી કોણ, જો કે સમયગાળા કરતા નાનો છે, તે મોટો છે, જેનો અર્થ એ છે કે તે હવે મુખ્યનો ઉલ્લેખ કરતું નથી, પરંતુ કોષ્ટકના વિસ્તૃત ભાગને દર્શાવે છે. ટ્રિગોફંક્શન મૂલ્યોના વિસ્તૃત કોષ્ટકને યાદ કરીને તમારી મેમરીને ફરી એકવાર તાલીમ ન આપવા માટે, ચાલો ફરીથી સ્પર્શક અવધિને બાદ કરીએ:

અમે સ્પર્શક કાર્યની વિચિત્રતાનો લાભ લીધો.

જવાબ આપો. એ) 1; b)

કાર્ય નંબર 3. ગણતરી કરો , જો .

ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરીને સમગ્ર અભિવ્યક્તિને સ્પર્શકોમાં ઘટાડીએ. તે જ સમયે, અમે ભયભીત ન હોઈ શકે, કારણ કે આ કિસ્સામાં, સ્પર્શક મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં રહેશે નહીં.

કાર્ય નંબર 4. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉલ્લેખિત અભિવ્યક્તિઓ ઘટાડો ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત થાય છે. તેઓ માત્ર ડિગ્રીનો ઉપયોગ કરીને અસામાન્ય રીતે લખાયેલા છે. પ્રથમ અભિવ્યક્તિ સામાન્ય રીતે સંખ્યા દર્શાવે છે. ચાલો બધા ટ્રિગોફંક્શન્સને એક પછી એક સરળ બનાવીએ:

કારણ કે , પછી ફંક્શન કોફંક્શનમાં બદલાય છે, એટલે કે. કોટેન્જેન્ટ માટે, અને કોણ બીજા ક્વાર્ટરમાં આવે છે, જેમાં મૂળ સ્પર્શક નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.

અગાઉના અભિવ્યક્તિની જેમ સમાન કારણોસર, કાર્ય કોફંક્શનમાં બદલાય છે, એટલે કે. કોટેન્જેન્ટ માટે, અને કોણ પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં આવે છે, જેમાં મૂળ સ્પર્શક હકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.

ચાલો દરેક વસ્તુને સરળ અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ:

સમસ્યા #5. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ચાલો યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દ્વિ કોણની સ્પર્શક લખીએ અને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ:

છેલ્લી ઓળખ એ કોસાઇન માટે સાર્વત્રિક રિપ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલામાંથી એક છે.

સમસ્યા #6. ગણતરી કરો.

મુખ્ય વસ્તુ પ્રમાણભૂત ભૂલ ન કરવી અને અભિવ્યક્તિ સમાન છે તે જવાબ આપવો નહીં. જ્યાં સુધી તેની બાજુમાં બે ના રૂપમાં એક પરિબળ હોય ત્યાં સુધી તમે આર્કટેન્જેન્ટની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી. તેમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે, આપણે સામાન્ય દલીલ તરીકે સારવાર કરતી વખતે, દ્વિ ખૂણાના સ્પર્શક માટેના સૂત્ર અનુસાર અભિવ્યક્તિ લખીશું.

હવે આપણે આર્કટેન્જેન્ટની મૂળભૂત મિલકતને લાગુ કરી શકીએ છીએ, યાદ રાખો કે તેના સંખ્યાત્મક પરિણામ પર કોઈ નિયંત્રણો નથી.

સમસ્યા નંબર 7. સમીકરણ ઉકેલો.

શૂન્ય સમાન અપૂર્ણાંક સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, તે હંમેશા સૂચવવામાં આવે છે કે અંશ શૂન્ય સમાન છે, પરંતુ છેદ નથી, કારણ કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી.

પ્રથમ સમીકરણ એ સૌથી સરળ સમીકરણનો વિશિષ્ટ કેસ છે જે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. આ ઉપાય જાતે યાદ રાખો. બીજી અસમાનતાને સ્પર્શકના મૂળ માટેના સામાન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમીકરણ તરીકે ઉકેલવામાં આવે છે, પરંતુ માત્ર સમાન ન હોય તેવા ચિહ્ન સાથે.

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, મૂળનું એક કુટુંબ બરાબર એ જ પ્રકારના મૂળના બીજા કુટુંબને બાકાત રાખે છે જે સમીકરણને સંતોષતા નથી. તે. ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ આપો. ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

સમસ્યા નંબર 8. સમીકરણ ઉકેલો.

ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે આપણે સામાન્ય પરિબળ કાઢી શકીએ છીએ અને ચાલો તે કરીએ:

સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપોમાંના એકમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે, જ્યાં ઘણા પરિબળોનું ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે. આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે આ કિસ્સામાં, તેમાંથી એક શૂન્ય બરાબર છે, અથવા બીજો, અથવા ત્રીજો છે. ચાલો આને સમીકરણોના સમૂહના રૂપમાં લખીએ:

પ્રથમ બે સમીકરણો સૌથી સરળ સમીકરણોના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે; અમે પહેલાથી જ ઘણી વખત સમાન સમીકરણોનો સામનો કર્યો છે, તેથી અમે તરત જ તેમના ઉકેલો સૂચવીશું. અમે ડબલ એન્ગલ સાઈન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા સમીકરણને એક ફંક્શનમાં ઘટાડીએ છીએ.

ચાલો છેલ્લું સમીકરણ અલગથી હલ કરીએ:

આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે સાઈન વેલ્યુ આગળ વધી શકતી નથી .

આમ, સોલ્યુશન એ મૂળના પ્રથમ બે પરિવારો છે; તેઓને એકમાં જોડી શકાય છે, જે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર બતાવવા માટે સરળ છે:

આ તમામ ભાગોનું કુટુંબ છે, એટલે કે.

ચાલો ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ. પ્રથમ, અમે સામાન્ય ઉકેલો માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કર્યા વિના, પરંતુ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણને ઉકેલવાના અભિગમનું વિશ્લેષણ કરીશું.

સમસ્યા નંબર 9. અસમાનતા ઉકેલો.

ચાલો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર સમાન સાઈન મૂલ્યને અનુરૂપ સહાયક રેખા દોરીએ અને અસમાનતાને સંતોષતા ખૂણાઓની શ્રેણી બતાવીએ.

ખૂણાઓના પરિણામી અંતરાલને કેવી રીતે દર્શાવવું તે બરાબર સમજવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે. તેની શરૂઆત શું છે અને તેનો અંત શું છે. અંતરાલની શરૂઆત એ બિંદુને અનુરૂપ કોણ હશે જે આપણે અંતરાલની શરૂઆતમાં દાખલ કરીશું જો આપણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધીશું. અમારા કિસ્સામાં, આ તે બિંદુ છે જે ડાબી બાજુએ છે, કારણ કે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધીએ છીએ અને જમણા બિંદુને પસાર કરીએ છીએ, અમે તેનાથી વિપરીત, ખૂણાઓની આવશ્યક શ્રેણી છોડીએ છીએ. તેથી યોગ્ય બિંદુ ગેપના અંતને અનુરૂપ હશે.

હવે આપણે અસમાનતાના ઉકેલોના અમારા અંતરાલની શરૂઆત અને અંતના ખૂણાઓને સમજવાની જરૂર છે. સામાન્ય ભૂલ એ છે કે તરત જ સૂચવવું કે જમણો બિંદુ કોણને અનુલક્ષે છે, ડાબી બાજુ અને જવાબ આપો. આ સાચું નથી! મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અમે ફક્ત વર્તુળના ઉપરના ભાગને અનુરૂપ અંતરાલ સૂચવ્યું છે, જો કે અમને નીચેના ભાગમાં રસ છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમને જોઈતા ઉકેલ અંતરાલની શરૂઆત અને અંત અમે મિશ્રિત કર્યા છે.

અંતરાલ જમણા બિંદુના ખૂણેથી શરૂ થાય અને ડાબા બિંદુના ખૂણા સાથે સમાપ્ત થાય તે માટે, તે જરૂરી છે કે પ્રથમ ઉલ્લેખિત કોણ બીજા કરતા ઓછો હોય. આ કરવા માટે, આપણે સંદર્ભની નકારાત્મક દિશામાં સાચા બિંદુના ખૂણાને માપવા પડશે, એટલે કે. ઘડિયાળની દિશામાં અને તે બરાબર હશે. પછી, તેમાંથી ઘડિયાળની દિશામાં હકારાત્મક દિશામાં આગળ વધવાનું શરૂ કરીને, આપણે ડાબા બિંદુ પછી જમણા બિંદુ પર પહોંચીશું અને તેના માટે કોણ મૂલ્ય મેળવીશું. હવે ખૂણાઓના અંતરાલની શરૂઆત અંત કરતા ઓછી છે, અને આપણે સમયગાળાને ધ્યાનમાં લીધા વિના ઉકેલોના અંતરાલને લખી શકીએ છીએ:

કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યાના પરિભ્રમણ પછી આવા અંતરાલોને અનંત સંખ્યામાં પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે તે ધ્યાનમાં લેતા, અમે સાઈન અવધિને ધ્યાનમાં લેતા સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ:

અમે કૌંસ મૂકીએ છીએ કારણ કે અસમાનતા કડક છે, અને અમે વર્તુળ પરના બિંદુઓને પસંદ કરીએ છીએ જે અંતરાલના છેડાને અનુરૂપ છે.

અમે લેક્ચરમાં આપેલા સામાન્ય ઉકેલના સૂત્ર સાથે તમને મળેલા જવાબની તુલના કરો.

જવાબ આપો. .

સરળ ત્રિકોણ અસમાનતાના સામાન્ય ઉકેલો માટેના સૂત્રો ક્યાંથી આવે છે તે સમજવા માટે આ પદ્ધતિ સારી છે. વધુમાં, જેઓ ખૂબ આળસુ છે તેમના માટે આ બધા બોજારૂપ સૂત્રો શીખવા માટે ઉપયોગી છે. જો કે, પદ્ધતિ પોતે પણ સરળ નથી; તમારા માટે કયો ઉપાય સૌથી અનુકૂળ છે તે પસંદ કરો.

ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે, તમે ફંક્શનના ગ્રાફનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો કે જેના પર સહાયક રેખા બાંધવામાં આવે છે, જે એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને બતાવેલ પદ્ધતિની સમાન છે. જો તમને રસ હોય, તો ઉકેલ માટે આ અભિગમ જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો. આગળ શું આપણે સરળ ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સામાન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીશું.

સમસ્યા નંબર 10. અસમાનતા ઉકેલો.

ચાલો સામાન્ય ઉકેલ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ, ધ્યાનમાં રાખીને કે અસમાનતા કડક નથી:

અમારા કિસ્સામાં અમને મળે છે:

જવાબ આપો.

સમસ્યા નંબર 11. અસમાનતા ઉકેલો.

ચાલો અનુરૂપ કડક અસમાનતા માટે સામાન્ય ઉકેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

જવાબ આપો. .

સમસ્યા નંબર 12. અસમાનતાઓ ઉકેલો: a) ; b)

આ અસમાનતાઓમાં, સામાન્ય ઉકેલો અથવા ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવા માટે ઉતાવળ કરવાની જરૂર નથી;

એ) ત્યારથી , તો અસમાનતાનો કોઈ અર્થ નથી. તેથી, ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

b) કારણ કે તેવી જ રીતે, કોઈપણ દલીલની સાઈન હંમેશા શરતમાં ઉલ્લેખિત અસમાનતાને સંતોષે છે. તેથી, અસમાનતા દલીલના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે.

જવાબ આપો. એ) ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી; b)

સમસ્યા 13. અસમાનતા ઉકેલો .