આવી વેક્ટર જગ્યાને અનુરૂપ. આ લેખમાં, પ્રથમ વ્યાખ્યા પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે લેવામાં આવશે.

N (\Displaystyle n)-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); સંકેતનો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે જ્યારે તે સંદર્ભમાંથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જગ્યા કુદરતી યુક્લિડિયન રચના સાથે પ્રદાન કરવામાં આવી છે.

ઔપચારિક વ્યાખ્યા

યુક્લિડિયન અવકાશને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે મુખ્ય વિભાવના તરીકે સ્કેલર ઉત્પાદનને લેવું. યુક્લિડિયન વેક્ટર સ્પેસને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેના વેક્ટરની જોડી પર વાસ્તવિક-મૂલ્યવાળું કાર્ય નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)નીચેના ત્રણ ગુણધર્મો ધરાવે છે:

યુક્લિડિયન સ્પેસનું ઉદાહરણ - કોઓર્ડિનેટ સ્પેસ R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ સંભવિત સેટનો સમાવેશ થાય છે (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)સ્કેલર પ્રોડક્ટ જેમાં ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

લંબાઈ અને ખૂણા

યુક્લિડિયન અવકાશ પર નિર્ધારિત સ્કેલર ઉત્પાદન લંબાઈ અને કોણની ભૌમિતિક ખ્યાલો રજૂ કરવા માટે પૂરતું છે. વેક્ટર લંબાઈ u (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ u)તરીકે વ્યાખ્યાયિત (u, u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))અને નિયુક્ત થયેલ છે | u | . (\displaystyle |u|.)સ્કેલર પ્રોડક્ટની સકારાત્મક નિશ્ચિતતા ખાતરી આપે છે કે નોનઝીરો વેક્ટરની લંબાઈ બિનશૂન્ય છે, અને દ્વિરેખીયતાથી તે અનુસરે છે | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)એટલે કે, પ્રમાણસર વેક્ટરની લંબાઈ પ્રમાણસર છે.

વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો u (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ u)અને v (\Displaystyle v)ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે φ = આર્કોસ ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)કોસાઇન પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે દ્વિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ માટે ( યુક્લિડિયન પ્લેન) કોણની આ વ્યાખ્યા સામાન્ય સાથે એકરુપ છે. ઓર્થોગોનલ વેક્ટર, જેમ કે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, વેક્ટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેની વચ્ચેનો કોણ બરાબર છે π 2. (\Displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

કોચી-બુન્યાકોવસ્કી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમાનતા અને ત્રિકોણ અસમાનતા

ઉપર આપેલ કોણની વ્યાખ્યામાં એક અંતર બાકી છે: ક્રમમાં arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, તે જરૂરી છે કે અસમાનતા | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)આ અસમાનતા મનસ્વી યુક્લિડિયન અવકાશમાં ધરાવે છે, અને તેને કોચી-બુનિયાકોવસ્કી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમાનતા કહેવામાં આવે છે. આ અસમાનતામાંથી, બદલામાં, ત્રિકોણ અસમાનતાને અનુસરે છે: | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)ત્રિકોણની અસમાનતા, ઉપર સૂચિબદ્ધ લંબાઈના ગુણધર્મો સાથે, મતલબ કે વેક્ટરની લંબાઈ એ યુક્લિડિયન વેક્ટર સ્પેસ અને કાર્ય પરનો ધોરણ છે. d(x, y) = | x − y | (\Displaystyle d(x,y)=|x-y|)યુક્લિડિયન સ્પેસ પર મેટ્રિક સ્પેસનું માળખું વ્યાખ્યાયિત કરે છે (આ કાર્યને યુક્લિડિયન મેટ્રિક કહેવામાં આવે છે). ખાસ કરીને, તત્વો (બિંદુઓ) વચ્ચેનું અંતર x (\displaystyle x)અને y (\Displaystyle y)સંકલન જગ્યા R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

બીજગણિત ગુણધર્મો

ઓર્થોનોર્મલ પાયા

સંયોજિત જગ્યાઓ અને ઓપરેટરો

કોઈપણ વેક્ટર x (\displaystyle x)યુક્લિડિયન સ્પેસ રેખીય કાર્યાત્મક વ્યાખ્યાયિત કરે છે x ∗ (\Displaystyle x^(*))આ જગ્યા પર, તરીકે વ્યાખ્યાયિત x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)આ સરખામણી યુક્લિડિયન સ્પેસ અને તેની દ્વિ અવકાશ વચ્ચેનું સમરૂપીકરણ છે અને ગણતરીઓ સાથે સમાધાન કર્યા વિના તેમને ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. ખાસ કરીને, સંયોજક ઓપરેટરોને મૂળ જગ્યા પર કામ કરતા ગણી શકાય, અને તેના દ્વિ પર નહીં, અને સ્વ-સંલગ્ન ઓપરેટરોને ઓપરેટર્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે તેમના જોડાણ સાથે સુસંગત હોય છે. ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે, સંલગ્ન ઓપરેટરનું મેટ્રિક્સ મૂળ ઓપરેટરના મેટ્રિક્સમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે, અને સ્વ-સંલગ્ન ઓપરેટરનું મેટ્રિક્સ સપ્રમાણ હોય છે.

યુક્લિડિયન અવકાશની હિલચાલ

યુક્લિડિયન અવકાશની ગતિ મેટ્રિક-સંરક્ષિત રૂપાંતરણ છે (જેને આઇસોમેટ્રી પણ કહેવાય છે). ગતિ ઉદાહરણ - વેક્ટર માટે સમાંતર અનુવાદ v (\Displaystyle v), જે બિંદુનું ભાષાંતર કરે છે p (\Displaystyle p)બરાબર p + v (\Displaystyle p+v). તે જોવાનું સરળ છે કે કોઈપણ ચળવળ એ સમાંતર અનુવાદ અને પરિવર્તનની રચના છે જે એક બિંદુને સ્થિર રાખે છે. કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ તરીકે નિશ્ચિત બિંદુ પસંદ કરીને, આવી કોઈપણ હિલચાલ તરીકે ગણી શકાય

4.3.1 રેખીય જગ્યાની વ્યાખ્યા

દો ā , , - કેટલાક સમૂહના ઘટકો ā , , એલ અને λ , μ - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, λ , μ આર..

સમૂહ L કહેવાય છેરેખીય અથવાવેક્ટર જગ્યા, જો બે કામગીરી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

1 0 . ઉમેરણ. આ સમૂહના ઘટકોની દરેક જોડી સમાન સમૂહના એક તત્વ સાથે સંકળાયેલી હોય છે, જેને તેમનો સરવાળો કહેવાય છે

ā + =

2°.સંખ્યા વડે ગુણાકાર. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા λ અને તત્વ ā એલસમાન સમૂહના તત્વ સાથે મેળ ખાય છે λ ā એલઅને નીચેના ગુણધર્મો સંતુષ્ટ છે:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. અસ્તિત્વમાં છે શૂન્ય તત્વ
, આવા કે ā +=ā ;

4. અસ્તિત્વમાં છે વિરોધી તત્વ -
આવા કે ā +(-ā )=.

જો λ , μ - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, પછી:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

રેખીય અવકાશના તત્વો ā, , ... વેક્ટર કહેવાય છે.

કસરત.તમારી જાતને બતાવો કે આ સેટ રેખીય જગ્યાઓ બનાવે છે:

1) પ્લેન પર ભૌમિતિક વેક્ટરનો સમૂહ;

2) ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ઘણા ભૌમિતિક વેક્ટર;

3) અમુક ડિગ્રીના બહુપદીનો સમૂહ;

4) સમાન પરિમાણના મેટ્રિસિસનો સમૂહ.

4.3.2 લીનિયરલી આશ્રિત અને સ્વતંત્ર વેક્ટર. પરિમાણ અને જગ્યાનો આધાર

રેખીય સંયોજન વેક્ટર ā 1 , ā 2 , …, ā n એલફોર્મની સમાન જગ્યાનો વેક્ટર કહેવાય છે:

જ્યાં λ હું વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છું.

વેક્ટર્સ ā 1 , .. , ā n ને બોલાવ્યા હતારેખીય રીતે સ્વતંત્ર, જો તેમનું રેખીય સંયોજન શૂન્ય વેક્ટર હોય તો અને માત્ર જો બધા λ હોય i શૂન્ય સમાન છે,તે જ

λ i = 0

જો રેખીય સંયોજન શૂન્ય વેક્ટર હોય અને ઓછામાં ઓછું એક હોય λ iશૂન્યથી અલગ છે, તો પછી આ વેક્ટર્સને રેખીય રીતે આશ્રિત કહેવામાં આવે છે. બાદમાંનો અર્થ એ છે કે ઓછામાં ઓછા એક વેક્ટરને અન્ય વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ખરેખર, ભલે, ઉદાહરણ તરીકે,
. પછી,
, ક્યાં

.

વેક્ટર્સની મહત્તમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ક્રમબદ્ધ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે આધાર જગ્યા એલ. આધાર વેક્ટરની સંખ્યા કહેવાય છે પરિમાણ જગ્યા

ચાલો ધારીએ કે ત્યાં છે nરેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર, પછી જગ્યા કહેવાય છે n- પરિમાણીય. અન્ય અવકાશ વેક્ટરને રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે nઆધાર વેક્ટર. આધારે n- પરિમાણીય જગ્યા લઈ શકાય છે કોઈપણ nઆ જગ્યાના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર.

ઉદાહરણ 17.આ રેખીય જગ્યાઓનો આધાર અને પરિમાણ શોધો:

a) એક લીટી પર પડેલા વેક્ટરનો સમૂહ (કેટલીક રેખાથી સમરેખા)

b) પ્લેન સાથે જોડાયેલા વેક્ટરનો સમૂહ

c) ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાના વેક્ટરનો સમૂહ

d) ડિગ્રીના બહુપદીનો સમૂહ જે બે કરતા વધારે ન હોય.

ઉકેલ.

અ)સીધી રેખા પર આવેલા કોઈપણ બે વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત હશે, કારણ કે વેક્ટર સમરેખા છે
, તે
, λ - સ્કેલર. પરિણામે, આપેલ જગ્યાનો આધાર શૂન્યથી અલગ માત્ર એક (કોઈપણ) વેક્ટર છે.

સામાન્ય રીતે આ જગ્યા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે આર, તેનું પરિમાણ 1 છે.

b)કોઈપણ બે બિન-કોલિનિયર વેક્ટર
રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હશે, અને પ્લેન પરના કોઈપણ ત્રણ વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હશે. કોઈપણ વેક્ટર માટે , ત્યાં સંખ્યાઓ છે  અને  આવા કે
. અવકાશને દ્વિ-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે આર 2 .

દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશનો આધાર કોઈપણ બે બિન-કોલિનિયર વેક્ટર દ્વારા રચાય છે.

વી)કોઈપણ ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હશે, તેઓ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર બનાવે છે આર 3 .

જી)બે કરતા વધારે ન હોય તેવી ડિગ્રીના બહુપદીની જગ્યાના આધાર તરીકે, આપણે નીચેના ત્રણ વેક્ટર પસંદ કરી શકીએ છીએ: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 એ એક સમાન બહુપદી છે). આ જગ્યા ત્રિ-પરિમાણીય હશે.

રેખીય (વેક્ટર)સ્પેસ એ વેક્ટર તરીકે ઓળખાતા મનસ્વી તત્વોનો સમૂહ V છે, જેમાં વેક્ટર ઉમેરવાની અને વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. કોઈપણ બે વેક્ટર \mathbf(u) અને (\mathbf(v)) ને વેક્ટર સોંપવામાં આવે છે \mathbf(u)+\mathbf(v), વેક્ટરનો સરવાળો કહેવાય છે \mathbf(u) અને (\mathbf(v)), કોઈપણ વેક્ટર (\mathbf(v)) અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાંથી કોઈપણ સંખ્યા \lambda \mathbb(R) વેક્ટર સાથે સંકળાયેલ છે. \lambda\mathbf(v), નંબર \lambda દ્વારા વેક્ટર \mathbf(v) નું ઉત્પાદન કહેવાય છે; તેથી નીચેની શરતો પૂરી થાય છે:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\, ~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\ V માં(ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવીટી);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(ઉમેરાની સંગતતા);
3. V માં એક તત્વ \mathbf(o)\ છે, જેને શૂન્ય વેક્ટર કહેવાય છે, જેમ કે \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\ V માં;
4. દરેક વેક્ટર (\mathbf(v)) માટે એક વેક્ટર છે જેને વેક્ટર \mathbf(v) ની વિરુદ્ધ કહેવાય છે જેમ કે \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\ V માં ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ માં\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( આર);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\V માં.

શરતો 1-8 કહેવામાં આવે છે રેખીય જગ્યાના સ્વયંસિદ્ધ. વેક્ટર વચ્ચે મૂકવામાં આવેલ સમાન ચિહ્નનો અર્થ એ છે કે સમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓ સમૂહ V ના સમાન તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે આવા વેક્ટર્સને સમાન કહેવામાં આવે છે;

રેખીય જગ્યાની વ્યાખ્યામાં, વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની ક્રિયા વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે રજૂ કરવામાં આવે છે. આવી જગ્યા કહેવાય છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર રેખીય જગ્યા, અથવા, ટૂંકમાં, વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા. જો વ્યાખ્યામાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર \mathbb(R) ને બદલે, આપણે જટિલ સંખ્યાઓ \mathbb(C) નું ક્ષેત્ર લઈએ, તો આપણને મળે છે. જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર રેખીય જગ્યા, અથવા, ટૂંકમાં, જટિલ રેખીય જગ્યા. સંખ્યાના ક્ષેત્ર તરીકે, આપણે પરિમેય સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર \mathbb(Q) પણ પસંદ કરી શકીએ છીએ, અને આ કિસ્સામાં આપણે પરિમેય સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર રેખીય જગ્યા મેળવીએ છીએ. નીચેનામાં, જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય ત્યાં સુધી, વાસ્તવિક રેખીય જગ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે સ્પેસ વિશે વાત કરીશું, રેખીય શબ્દને છોડીને, કારણ કે નીચે ચર્ચા કરવામાં આવેલી બધી જગ્યાઓ રેખીય છે.

નોંધો 8.1

1. Axioms 1-4 દર્શાવે છે કે રેખીય જગ્યા એ ઉમેરણની ક્રિયાના સંદર્ભમાં એક વિનિમયાત્મક જૂથ છે.

. Axiom 7, જેને કેટલીકવાર સંખ્યા દ્વારા ગુણાકારની સહયોગીતાનો કાયદો કહેવામાં આવે છે, તે બે અલગ-અલગ ક્રિયાઓ વચ્ચેના જોડાણને વ્યક્ત કરે છે: સંખ્યા વડે વેક્ટરનો ગુણાકાર કરવો અને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવો. Axiom 8 દ્વારા નિર્ધારિત ગુણધર્મને વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની કામગીરીની એકતા કહેવામાં આવે છે.

3. લીનિયર સ્પેસ એ બિન-ખાલી સમૂહ છે, કારણ કે તેમાં આવશ્યકપણે શૂન્ય વેક્ટર હોય છે.

4. વેક્ટર ઉમેરવાની અને વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની કામગીરીને વેક્ટર પર રેખીય ક્રિયાઓ કહેવામાં આવે છે.

5. વેક્ટર \mathbf(u) અને \mathbf(v) વચ્ચેનો તફાવત એ વિરુદ્ધ વેક્ટર (-\mathbf(v)) સાથેના વેક્ટર \mathbf(u) નો સરવાળો છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સ \mathbf(u) અને \mathbf(v) ને કોલિનિયર (પ્રમાણસર) કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં સંખ્યા \lambda જેમ કે \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). કોલિનિયરિટીનો ખ્યાલ કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યામાં વેક્ટર સુધી વિસ્તરે છે. શૂન્ય વેક્ટર \mathbf(o) ને કોઈપણ વેક્ટર સાથે સમરેખા ગણવામાં આવે છે.

રેખીય અવકાશ સ્વયંસિદ્ધની કોરોલરીઝ

1. રેખીય અવકાશમાં માત્ર એક શૂન્ય વેક્ટર છે.

2. રેખીય અવકાશમાં, કોઈપણ વેક્ટર માટે \mathbf(v)\V માં એક અનન્ય વિરોધી વેક્ટર છે (-\mathbf(v))\in V.

3. મનસ્વી જગ્યા વેક્ટરનું ઉત્પાદન અને શૂન્ય સંખ્યા શૂન્ય વેક્ટરની બરાબર છે, એટલે કે. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\, ~\forall \mathbf(v)\V માં.

4. કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા શૂન્ય વેક્ટરનું ઉત્પાદન શૂન્ય વેક્ટર સમાન છે, એટલે કે કોઈપણ સંખ્યા \lambda માટે.

5. આપેલ વેક્ટરની વિરુદ્ધ વેક્ટર આ વેક્ટરના ગુણાંક (-1) દ્વારા સમાન છે, એટલે કે. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\V માં.

6. ફોર્મના અભિવ્યક્તિઓમાં \mathbf(a+b+\ldots+z)(મર્યાદિત સંખ્યામાં વેક્ટર્સનો સરવાળો) અથવા \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(વેક્ટરનું ઉત્પાદન અને પરિબળોની મર્યાદિત સંખ્યા) તમે કૌંસને કોઈપણ ક્રમમાં મૂકી શકો છો અથવા તેમને બિલકુલ સ્પષ્ટ કરી શકતા નથી.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ બે ગુણધર્મો સાબિત કરીએ. શૂન્ય વેક્ટરની વિશિષ્ટતા. જો \mathbf(o) અને \mathbf(o)" બે શૂન્ય વેક્ટર છે, તો Axiom 3 દ્વારા આપણે બે સમાનતા મેળવીએ છીએ: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"અથવા \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), જેની ડાબી બાજુઓ Axiom 1 અનુસાર સમાન છે. પરિણામે, જમણી બાજુઓ પણ સમાન છે, એટલે કે. \mathbf(o)=\mathbf(o)". વિરોધી વેક્ટરની વિશિષ્ટતા. જો V માં વેક્ટર \mathbf(v)\ માં બે વિરોધી વેક્ટર (-\mathbf(v)) અને (-\mathbf(v)) હોય, તો પછી સ્વયંસિદ્ધ 2, 3,4 દ્વારા આપણે તેમની સમાનતા મેળવીએ છીએ:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\અંડરબ્રેસ(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \અંડરબ્રેસ(\mathbf(v)) (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

બાકીની મિલકતો સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

રેખીય જગ્યાઓના ઉદાહરણો

1. ચાલો \(\mathbf(o)\) - એક શૂન્ય વેક્ટર ધરાવતો સમૂહ, ક્રિયાઓ સાથે સૂચવીએ \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)અને \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). સૂચવેલ કામગીરી માટે, 1-8 સ્વયંસિદ્ધ છે. પરિણામે, સમૂહ \(\mathbf(o)\) એ કોઈપણ સંખ્યાના ક્ષેત્ર પર એક રેખીય જગ્યા છે. આ રેખીય જગ્યાને નલ કહેવામાં આવે છે.

2. ચાલો V_1,\,V_2,\,V_3 - વેક્ટર્સનો સેટ (નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સ) એક સીધી રેખા પર, પ્લેન પર, અવકાશમાં, અનુક્રમે, વેક્ટર્સ ઉમેરવા અને વેક્ટર્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની સામાન્ય કામગીરી સાથે સૂચવીએ. પ્રાથમિક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમથી રેખીય અવકાશના 1-8 સ્વત્સત્તિઓની પરિપૂર્ણતા થાય છે. પરિણામે, સેટ V_1,\,V_2,\,V_3 વાસ્તવિક રેખીય જગ્યાઓ છે. મુક્ત વેક્ટર્સને બદલે, આપણે ત્રિજ્યા વેક્ટરના અનુરૂપ સેટને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પ્લેન પર વેક્ટરનો સમૂહ જે સામાન્ય મૂળ ધરાવે છે, એટલે કે. પ્લેનના એક નિશ્ચિત બિંદુ પરથી રચાયેલ એ વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા છે. એકમ લંબાઈના ત્રિજ્યા વેક્ટરનો સમૂહ રેખીય જગ્યા બનાવતો નથી, કારણ કે આમાંના કોઈપણ વેક્ટર માટે સરવાળો \mathbf(v)+\mathbf(v)વિચારણા હેઠળના સેટ સાથે સંબંધિત નથી.

3. ચાલો \mathbb(R)^n - મેટ્રિક્સ ઉમેરવાની ક્રિયાઓ અને સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવાની ક્રિયાઓ સાથે n\times1 કદના મેટ્રિક્સ-કૉલમનો સમૂહ સૂચવીએ. આ સમૂહ માટે લીનિયર સ્પેસના 1-8 એક્સિઓમ્સ સંતુષ્ટ છે. આ સમૂહમાં શૂન્ય વેક્ટર શૂન્ય કૉલમ છે o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. પરિણામે, સમૂહ \mathbb(R)^n એ વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા છે. એ જ રીતે, જટિલ તત્વો સાથે n\times1 કદના કૉલમનો સમૂહ \mathbb(C)^n એ જટિલ રેખીય જગ્યા છે. બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક ઘટકો સાથેના કૉલમ મેટ્રિસિસનો સમૂહ, તેનાથી વિપરીત, એક રેખીય જગ્યા નથી, કારણ કે તેમાં વિરોધી વેક્ટર નથી.

4. ચાલો \(Ax=o\) - એકસમાન પ્રણાલીના ઉકેલોનો સમૂહ Ax=o સાથે રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણો અને અજ્ઞાત (જ્યાં A એ સિસ્ટમનું વાસ્તવિક મેટ્રિક્સ છે), તેને કૉલમના સમૂહ તરીકે ગણવામાં આવે છે. માપો n\times1 મેટ્રિસિસ ઉમેરવાની ક્રિયાઓ સાથે અને મેટ્રિસિસને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરે છે. નોંધ કરો કે આ ક્રિયાઓ ખરેખર સેટ \(Ax=o\) પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. એકસમાન પ્રણાલીના ઉકેલોની મિલકત 1 થી (વિભાગ 5.5 જુઓ) તે અનુસરે છે કે સજાતીય પ્રણાલીના બે ઉકેલોનો સરવાળો અને સંખ્યા દ્વારા તેના ઉકેલનું ઉત્પાદન પણ સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલો છે, એટલે કે. સમૂહ \(Ax=o\) થી સંબંધિત છે. સ્તંભો માટે રેખીય જગ્યાના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો સંતુષ્ટ છે (રેખીય જગ્યાઓના ઉદાહરણોમાં બિંદુ 3 જુઓ). તેથી, સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ એ વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા છે.

અસંગત સિસ્ટમ Ax=b, ~b\ne o ના ઉકેલોનો સમૂહ \(Ax=b\) એ રેખીય જગ્યા નથી, જો માત્ર એટલા માટે કે તેમાં શૂન્ય તત્વ (x=o) નથી અસંગત પ્રણાલીનો ઉકેલ નથી).

5. ચાલો M_(m\times n) - માપ m\times n ના મેટ્રિસિસનો સમૂહ સૂચવીએ અને મેટ્રિસિસ ઉમેરવાની ક્રિયાઓ અને સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરીએ. આ સમૂહ માટે લીનિયર સ્પેસના 1-8 એક્સિઓમ્સ સંતુષ્ટ છે. શૂન્ય વેક્ટર એ યોગ્ય કદનું શૂન્ય મેટ્રિક્સ O છે. તેથી, સમૂહ M_(m\times n) એ રેખીય જગ્યા છે.

6. ચાલો P(\mathbb(C)) - જટિલ ગુણાંક સાથે એક ચલના બહુપદીનો સમૂહ સૂચવીએ. શૂન્ય ડિગ્રીના બહુપદી તરીકે ગણવામાં આવતા સંખ્યા વડે અનેક પદો ઉમેરવાની અને બહુપદીનો ગુણાકાર કરવાની ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને 1-8 ને સંતોષે છે (ખાસ કરીને, શૂન્ય વેક્ટર એ બહુપદી છે જે શૂન્યની સમાન હોય છે). તેથી, સમૂહ P(\mathbb(C)) એ જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર એક રેખીય જગ્યા છે. વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદીનો સમૂહ P(\mathbb(R)) એ પણ એક રેખીય જગ્યા છે (પરંતુ, અલબત્ત, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર). વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે મહત્તમ n ડિગ્રીના બહુપદીનો સમૂહ P_n(\mathbb(R)) પણ વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા છે. નોંધ કરો કે ઘણા બધા પદો ઉમેરવાની કામગીરી આ સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, કારણ કે બહુપદીના સરવાળાની ડિગ્રી શરતોની ડિગ્રી કરતાં વધી જતી નથી.

ડિગ્રી n ના બહુપદીઓનો સમૂહ એ રેખીય જગ્યા નથી, કારણ કે આવા બહુપદીઓનો સરવાળો નીચી ડિગ્રીનો બહુપદી હોઈ શકે છે જે વિચારણા હેઠળના સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી. ધન ગુણાંક સાથે n કરતાં વધુ ન હોય તેવા તમામ બહુપદીનો સમૂહ પણ રેખીય જગ્યા નથી, કારણ કે આવા બહુપદીનો નકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાથી બહુપદીમાં પરિણમશે જે આ સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી.

7. ચાલો C(\mathbb(R)) - \mathbb(R) પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત વાસ્તવિક કાર્યોનો સમૂહ સૂચવીએ. ફંકશનનો સરવાળો (f+g) f,g અને ફંકશન fનું ઉત્પાદન \lambda f અને વાસ્તવિક સંખ્યા \lambda સમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)બધા x\in \mathbb(R) માટે

આ ક્રિયાઓ ખરેખર C(\mathbb(R)) પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે કારણ કે સતત કાર્યોનો સરવાળો અને સતત કાર્ય અને સંખ્યાનું ઉત્પાદન સતત કાર્યો છે, એટલે કે. C(\mathbb(R)) ના તત્વો. ચાલો રેખીય અવકાશના સ્વયંસિદ્ધની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ. વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉમેરો વિનિમયાત્મક હોવાથી, તે સમાનતાને અનુસરે છે f(x)+g(x)=g(x)+f(x)કોઈપણ x\in \mathbb(R) માટે. તેથી f+g=g+f, એટલે કે. axiom 1 સંતુષ્ટ છે. Axiom 2 એ જ રીતે ઉમેરણની સહયોગીતાને અનુસરે છે. શૂન્ય વેક્ટર એ ફંક્શન o(x) છે, જે શૂન્યની સમાન છે, જે, અલબત્ત, સતત છે. કોઈપણ કાર્ય માટે f સમાનતા f(x)+o(x)=f(x) ધરાવે છે, એટલે કે. Axiom 3 સાચું છે વેક્ટર f માટે વિરોધી વેક્ટર ફંક્શન (-f)(x)=-f(x) હશે. પછી f+(-f)=o (સ્વતત્ય 4 સાચું છે). સ્વયંસિદ્ધ 5, 6 વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓની વિતરિતતાથી અનુસરે છે, અને સ્વયંસિદ્ધ 7 - સંખ્યાઓના ગુણાકારની સહયોગીતામાંથી. છેલ્લું ગૃહીત સંતુષ્ટ છે, કારણ કે એક વડે ગુણાકાર કરવાથી કાર્ય બદલાતું નથી: 1\cdot f(x)=f(x) કોઈપણ x\in \mathbb(R), એટલે કે. 1\cdot f=f . આમ, પરિચયિત કામગીરી સાથેનો ગણવામાં આવેલ સેટ C(\mathbb(R)) એ વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા છે. તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે C^1(\mathbb(R)), C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- ફંક્શન્સના સેટ કે જેમાં પ્રથમ, સેકન્ડ, વગેરેના સતત ડેરિવેટિવ્સ હોય છે. ઓર્ડર, અનુક્રમે, રેખીય જગ્યાઓ પણ છે.

ચાલો ત્રિકોણમિતિ દ્વિપદીનો સમૂહ (ઘણી વખત \omega\ne0 ) ને વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે દર્શાવીએ, એટલે કે. ફોર્મના ઘણા કાર્યો f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, ક્યાં a\in \mathbb(R), ~b\in \mathbb(R). આવા દ્વિપદીઓનો સરવાળો અને વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા દ્વિપદીનો ગુણાંક ત્રિકોણમિતિ દ્વિપદી છે. વિચારણા હેઠળના સમૂહ માટે રેખીય અવકાશ સ્વયંસિદ્ધ સંતુષ્ટ છે (ત્યારથી T_(\ઓમેગા)(\mathbb(R))\સબસેટ C(\mathbb(R))). તેથી, ઘણા T_(\ઓમેગા)(\mathbb(R))વિધેયો માટે સંખ્યા દ્વારા સરવાળો અને ગુણાકારની સામાન્ય કામગીરી સાથે, તે વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા છે. શૂન્ય તત્વ દ્વિપદી છે o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, શૂન્ય સમાન.

\mathbb(R) પર વ્યાખ્યાયિત અને મોનોટોનનો વાસ્તવિક ફંક્શનનો સમૂહ એ રેખીય જગ્યા નથી, કારણ કે બે મોનોટોન ફંક્શનનો તફાવત બિન-મોનોટોન ફંક્શન હોઈ શકે છે.

8. ચાલો \mathbb(R)^X - સેટ X પર ઑપરેશન્સ સાથે વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક ફંક્શનનો સમૂહ સૂચવીએ:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

તે એક વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા છે (સાબિતી અગાઉના ઉદાહરણની જેમ જ છે). આ કિસ્સામાં, સેટ X ને મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, જો X=\(1,2,\ldots,n\), પછી f(X) એ સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે f_1,f_2,\ldots,f_n, ક્યાં f_i=f(i),~i=1,\ldots,nઆવા સમૂહને પરિમાણ n\times1 નો મેટ્રિક્સ-કૉલમ ગણી શકાય, એટલે કે. એક ટોળું \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))સમૂહ \mathbb(R)^n સાથે એકરુપ છે (રેખીય જગ્યાઓના ઉદાહરણો માટે બિંદુ 3 જુઓ). જો X=\mathbb(N) (યાદ કરો કે \mathbb(N) કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે), તો આપણે એક રેખીય જગ્યા મેળવીએ છીએ \mathbb(R)^(\mathbb(N))- સંખ્યાબંધ સિક્વન્સ \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). ખાસ કરીને, કન્વર્જન્ટ નંબર સિક્વન્સનો સેટ પણ એક રેખીય જગ્યા બનાવે છે, કારણ કે બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો સરવાળો કન્વર્જ થાય છે, અને જ્યારે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સના તમામ પદોને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ મેળવીએ છીએ. તેનાથી વિપરીત, વિભિન્ન ક્રમનો સમૂહ એ રેખીય જગ્યા નથી, કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, વિભિન્ન અનુક્રમોના સરવાળાની મર્યાદા હોઈ શકે છે.

9. ચાલો \mathbb(R)^(+) - સકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જેમાં સરવાળો a\oplus b અને ઉત્પાદન \lambda\ast a (આ ઉદાહરણમાં સંકેતો સામાન્ય કરતા અલગ હોય છે) છે. સમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તત્વોનો સરવાળો સંખ્યાઓના ગુણાંક તરીકે સમજવામાં આવે છે, અને સંખ્યા વડે તત્વનો ગુણાકાર એ ઘાતમાં વધારો તરીકે સમજવામાં આવે છે. બંને ક્રિયાઓ ખરેખર સેટ \mathbb(R)^(+) પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે કારણ કે ધન સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એ ધન સંખ્યા છે અને ધન સંખ્યાની કોઈપણ વાસ્તવિક શક્તિ એ ધન સંખ્યા છે. ચાલો ધરીની માન્યતા તપાસીએ. સમાનતા

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

બતાવો કે સ્વયંસિદ્ધ 1 અને 2 સંતુષ્ટ છે. આ સમૂહનો શૂન્ય વેક્ટર એક છે, ત્યારથી a\oplus1=a\cdot1=a, એટલે કે o=1. a માટે વિરોધી વેક્ટર એ વેક્ટર \frac(1)(a) છે, જે a\ne o થી વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ખરેખર, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. ચાલો સ્વયંસિદ્ધ 5, 6,7,8 ની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ:

\begin(એકત્ર કરેલ) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hભરો \end(એકત્ર કરેલ)

બધા સ્વયંસિદ્ધ સંતુષ્ટ છે. પરિણામે, વિચારણા હેઠળનો સમૂહ વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા છે.

10. ચાલો V એ વાસ્તવિક રેખીય જગ્યા બનીએ. ચાલો V પર વ્યાખ્યાયિત રેખીય સ્કેલર કાર્યોના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે. કાર્યો f\colon V\to \mathbb(R), વાસ્તવિક મૂલ્યો લેવા અને શરતોને સંતોષવા:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(એડિટિવિટી);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(એકરૂપતા).

લીનિયર ફંક્શન્સ પર લીનિયર ઑપરેશન્સ એ જ રીતે ઉલ્લેખિત છે જેમ કે રેખીય જગ્યાઓના ઉદાહરણોના ફકરા 8 માં. સરવાળો f+g અને ઉત્પાદન \lambda\cdot f સમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ V માં, ~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

લીનિયર સ્પેસ એક્સોમ્સની પરિપૂર્ણતા એ ફકરા 8ની જેમ જ પુષ્ટિ થયેલ છે. તેથી, રેખીય જગ્યા V પર વ્યાખ્યાયિત રેખીય કાર્યોનો સમૂહ એક રેખીય જગ્યા છે. આ જગ્યાને જગ્યા V માટે સંયોજક કહેવામાં આવે છે અને V^(\ast) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. તેના તત્વોને કોવેક્ટર્સ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, n ચલોના રેખીય સ્વરૂપોનો સમૂહ, જેને વેક્ટર આર્ગ્યુમેન્ટના સ્કેલર ફંક્શનના સમૂહ તરીકે ગણવામાં આવે છે, તે સ્પેસ \mathbb(R)^n માટે રેખીય અવકાશનું જોડાણ છે.

પ્રકરણ 8. રેખીય જગ્યાઓ § 1. રેખીય જગ્યાની વ્યાખ્યા

શાળા ભૂમિતિમાંથી જાણીતા વેક્ટરની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવતા, અમે બીજગણિત માળખાં (રેખીય જગ્યાઓ) ને વ્યાખ્યાયિત કરીશું જેમાં n-પરિમાણીય ભૂમિતિ બાંધવી શક્ય છે, જેનો એક વિશિષ્ટ કેસ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ હશે.

વ્યાખ્યા 1. સેટ L=(a,b,c,…) અને ફીલ્ડ P=( ,…) આપેલ છે. ઉમેરાની બીજગણિત ક્રિયાને L માં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને L માંથી તત્વોના ગુણાકારને P ક્ષેત્રના તત્વો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવા દો:

સમૂહ L કહેવાય છે ક્ષેત્ર P પર રેખીય જગ્યા, જો નીચેની જરૂરિયાતો પૂરી થાય છે (રેખીય અવકાશના સ્વતઃ):

1. વધારાના સંદર્ભમાં એલ વિનિમય જૂથ;

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;

5. a L નીચેની સમાનતા સાચી છે: 1 a=a (જ્યાં 1 એ ક્ષેત્ર P નો એકમ છે).

રેખીય અવકાશ L ના તત્વોને વેક્ટર્સ કહેવામાં આવે છે (આપણે ફરી એક વાર નોંધ લઈએ છીએ કે તેઓ લેટિન અક્ષરો a, b, c,... દ્વારા સૂચવવામાં આવશે), અને ક્ષેત્ર P ના તત્વોને સંખ્યા કહેવામાં આવે છે (અમે તેમને સૂચિત કરીશું. ગ્રીક અક્ષરો દ્વારા α,

ટિપ્પણી 1. આપણે જોઈએ છીએ કે "ભૌમિતિક" વેક્ટરના જાણીતા ગુણધર્મોને રેખીય અવકાશના સ્વયંસિદ્ધ તરીકે લેવામાં આવે છે.

ટીકા 2. કેટલીક જાણીતી બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકો સંખ્યાઓ અને વેક્ટર માટે વિવિધ સંકેતોનો ઉપયોગ કરે છે.

રેખીય જગ્યાઓના મૂળભૂત ઉદાહરણો

1. R 1 એ અમુક રેખા પરના તમામ વેક્ટરનો સમૂહ છે.

IN આગળ આપણે આવા વેક્ટર્સ કહીશુંસેગમેન્ટ વેક્ટરસીધી રેખા પર. જો આપણે R ને P તરીકે લઈએ, તો દેખીતી રીતે R1 એ ક્ષેત્ર R ઉપર એક રેખીય જગ્યા છે.

2. R 2 , R3 – પ્લેન પર અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સેગમેન્ટ વેક્ટર. તે જોવાનું સરળ છે કે R2 અને R3 એ R ઉપર રેખીય જગ્યાઓ છે.

3. P ને મનસ્વી ક્ષેત્ર બનવા દો. સેટ પી ધ્યાનમાં લો(n) ફીલ્ડ P ના n તત્વોના બધા ઓર્ડર કરેલા સેટ:

P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, i=1,2,..,n .

સમૂહ a=(α1,α2,…,αn) ને n-પરિમાણીય કહેવામાં આવશે પંક્તિ વેક્ટર.નંબરો i ઘટકો કહેવાશે

વેક્ટર એ.

P(n) માંથી વેક્ટર્સ માટે, ભૂમિતિ સાથે સામ્યતા દ્વારા, અમે કુદરતી રીતે કોઈપણ (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) અને (β1 ,β2 ,.. માટે ધારીને, સંખ્યા દ્વારા સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ રજૂ કરીએ છીએ. .,βn ) P(n):

(α1 ,α2 ,…,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ),
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) આર.

પંક્તિ વેક્ટરના ઉમેરાની વ્યાખ્યા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે તે ઘટક પ્રમાણે કરવામાં આવે છે. તે તપાસવું સરળ છે કે P(n) એ P ઉપર રેખીય જગ્યા છે.

વેક્ટર 0=(0,…,0) એ શૂન્ય વેક્ટર છે (a+0=a a P(n)), અને વેક્ટર -a=(-α1,-α2,…,-αn) એ a ની વિરુદ્ધ છે. a+(-a)=0).

લીનિયર સ્પેસ પી(n) પંક્તિ વેક્ટરની n-પરિમાણીય જગ્યા અથવા n-પરિમાણીય અંકગણિત જગ્યા કહેવાય છે.

ટિપ્પણી 3. કેટલીકવાર આપણે કૉલમ વેક્ટર્સની n-પરિમાણીય અંકગણિત જગ્યા P(n) દ્વારા પણ સૂચવીશું, જે ફક્ત વેક્ટર લખવાની રીતમાં P(n) થી અલગ છે.

4. સેટ એમ ધ્યાનમાં લો n (P) ક્ષેત્ર P ના તત્વો સાથે nમા ક્રમના તમામ મેટ્રિસિસ. આ P પર એક રેખીય જગ્યા છે, જ્યાં શૂન્ય મેટ્રિક્સ એક મેટ્રિક્સ છે જેમાં તમામ ઘટકો શૂન્ય છે.

5. P ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે x ચલ x માં તમામ બહુપદીઓના સમૂહ P[x] ને ધ્યાનમાં લો. તે ચકાસવું સરળ છે કે P[x] એ P પર એક રેખીય જગ્યા છે. ચાલો તેને કહીએ.બહુપદીની જગ્યા.

6. ચાલો P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) ડિગ્રીના તમામ બહુપદીઓના સમૂહને n કરતાં વધુ ન હોય.

0. તે P. P ક્ષેત્રની ઉપર એક રેખીય જગ્યા છે n [x] અમે કૉલ કરીશું મહત્તમ n ડિગ્રીના બહુપદીની જગ્યા.

7. ચાલો વ્યાખ્યાના સમાન ડોમેન સાથે વાસ્તવિક ચલના તમામ કાર્યોના સમૂહને Ф દ્વારા દર્શાવીએ. પછી Ф એ R ઉપર રેખીય જગ્યા છે.

IN આ જગ્યામાં તમે અન્ય રેખીય જગ્યાઓ શોધી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે રેખીય કાર્યોની જગ્યા, વિભેદક કાર્યો, સતત કાર્યો વગેરે.

8. દરેક ક્ષેત્ર પોતાની ઉપર એક રેખીય જગ્યા છે.

રેખીય અવકાશના સ્વયંસિદ્ધમાંથી કેટલાક કોરોલરી

કોરોલરી 1. L એ ક્ષેત્ર P પર એક રેખીય જગ્યા તરીકે રહેવા દો. L શૂન્ય તત્વ 0 અને L (-а) L ધરાવે છે (કારણ કે L એ વધારાનું જૂથ છે).

IN નીચેનામાં, P ક્ષેત્રનું શૂન્ય તત્વ અને રેખીય અવકાશ L આના દ્વારા સમાન રીતે સૂચવવામાં આવશે

0. આ સામાન્ય રીતે મૂંઝવણનું કારણ નથી.

કોરોલરી 2. 0 a=0 a L (ડાબી બાજુએ 0 P, જમણી બાજુએ 0 L).

પુરાવો. ચાલો α a ને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યાં α એ P માંથી કોઈપણ સંખ્યા છે. આપણી પાસે છે: α a=(α+0)a=α a+0 a, જ્યાંથી 0 a= α a +(-α a)=0.

કોરોલરી 3. α 0=0 α P.

પુરાવો. α a=α(a+0)=α a+α 0 ને ધ્યાનમાં લો; તેથી α 0=0. કોરોલરી 4. α a=0 જો અને માત્ર જો α=0 અથવા a=0 હોય.

પુરાવો. પર્યાપ્તતા કોરોલરીઝ 2 અને 3 માં સાબિત.

ચાલો આવશ્યકતા સાબિત કરીએ. ચાલો α a=0 (2). ચાલો આપણે ધારીએ કે α 0. પછી, α P થી, ત્યાં α-1 P છે. (2) ને α-1 વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે:

α-1 (α a)=α-1 0. કોરોલરી 2 દ્વારા α-1 0=0, એટલે કે. α-1 (α a)=0. (3)

બીજી તરફ, રેખીય અવકાશના સ્વયંસિદ્ધ 2 અને 5 નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.

(3) અને (4) માંથી તે અનુસરે છે કે a=0. તપાસમાં સાબિત થયું છે.

અમે પુરાવા વિના નીચેના નિવેદનો રજૂ કરીએ છીએ (તેમની માન્યતા સરળતાથી ચકાસવામાં આવે છે).

કોરોલરી 5. (-α) a=-α a α P, a L. કોરોલરી 6. α (-a)=-α a α P, a L. કોરોલરી 7. α (a–b)=α a–α b α P, a, b L.

§ 2. વેક્ટર્સની રેખીય અવલંબન

L એ ક્ષેત્ર P અને a1 ,a2 ,…જેમ કે (1) L માંથી વેક્ટરનો અમુક મર્યાદિત સમૂહ હોવા દો.

સમૂહ a1 ,a2 ,…જેમને વેક્ટરની સિસ્ટમ કહેવામાં આવશે.

જો b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs તરીકે , (αi P), તો તેઓ કહે છે કે વેક્ટર b રેખીય રીતે વ્યક્તસિસ્ટમ દ્વારા (1), અથવા છે રેખીય સંયોજનસિસ્ટમના વેક્ટર્સ (1).

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની જેમ, રેખીય અવકાશમાં વ્યક્તિ વેક્ટર્સની રેખીય રીતે આશ્રિત અને રેખીય સ્વતંત્ર પ્રણાલીઓની વિભાવનાઓ રજૂ કરી શકે છે. ચાલો આને બે રીતે કરીએ.

વ્યાખ્યા I. s 2 માટે વેક્ટર્સની મર્યાદિત સિસ્ટમ (1) કહેવાય છે રેખીય રીતે નિર્ભર,જો તેના વેક્ટરમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અન્યનું રેખીય સંયોજન હોય. નહિંતર (એટલે કે જ્યારે તેના કોઈપણ વેક્ટર અન્યનું રેખીય સંયોજન નથી), તેને કહેવામાં આવે છે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર.

વ્યાખ્યા II. વેક્ટર્સની મર્યાદિત સિસ્ટમ (1) કહેવાય છે રેખીય રીતે નિર્ભર, જો ત્યાં સંખ્યાઓનો સમૂહ α1 ,α2 ,…,αs , αi P છે, જેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક 0 ની બરાબર નથી (આવા સમૂહને બિન-શૂન્ય કહેવાય છે), તો સમાનતા ધરાવે છે: α1 a1 +…+ =0 (2) તરીકે αs.

વ્યાખ્યા II થી આપણે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમની ઘણી સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ મેળવી શકીએ છીએ:

વ્યાખ્યા 2.

એ) સિસ્ટમ (1) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, જો (2) માંથી તે અનુસરે છે કે α1 =…=αs =0.

b) સિસ્ટમ (1) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, જો સમાનતા (2) માત્ર બધા αi =0 (i=1,…,s) માટે સંતુષ્ટ છે.

c) સિસ્ટમ (1) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, જો આ સિસ્ટમના વેક્ટરનું કોઈ બિન-તુચ્છ રેખીય સંયોજન 0 થી અલગ હોય, એટલે કે. જો β1, …,βs એ સંખ્યાઓનો કોઈપણ બિન-શૂન્ય સમૂહ છે, તો β1 a1 +…βs 0 તરીકે.

પ્રમેય 1. s 2 માટે, રેખીય અવલંબન I અને II ની વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ છે.

પુરાવો.

I) વ્યાખ્યા I દ્વારા (1) રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા દો. પછી આપણે સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના ધારી શકીએ કે =α1 a1 +…+αs-1 as-1. ચાલો આ સમાનતાની બંને બાજુએ વેક્ટર (-as) ઉમેરીએ. અમને મળે છે:

0= α1 a1 +…+αs-1 as-1 +(-1) તરીકે (3) (પરિણામ 5 દ્વારા ત્યારથી

(–as) =(-1) તરીકે). સમાનતામાં (3) ગુણાંક (-1) 0 છે, અને તેથી સિસ્ટમ (1) રેખીય રીતે નિર્ભર છે અને વ્યાખ્યા દ્વારા

II) સિસ્ટમ (1) વ્યાખ્યા II દ્વારા રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા દો, એટલે કે. ત્યાં એક બિન-શૂન્ય સમૂહ છે α1,…,αs, જે સંતોષે છે (2). સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે ધારી શકીએ છીએ કે αs 0. (2) માં આપણે બંને બાજુએ (-αs તરીકે) ઉમેરીએ છીએ. અમને મળે છે:

α1 a1 +α2 a2 +…+αs તરીકે - αs તરીકે = -αs તરીકે, જ્યાંથી α1 a1 +…+αs-1 as-1 = -αs તરીકે.

કારણ કે αs 0, પછી αs -1 P છે. ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓ (4) ને (-αs -1 ) વડે ગુણાકાર કરીએ અને રેખીય અવકાશના કેટલાક ધરીનો ઉપયોગ કરીએ. અમને મળે છે:

(-αs -1 ) (-αs તરીકે )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1), જે નીચે મુજબ છે: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 as-1 = as.

ચાલો નોટેશન β1 = -αs -1 α1,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 રજૂ કરીએ. પછી ઉપર મેળવેલ સમાનતા આ રીતે ફરીથી લખવામાં આવશે:

તરીકે = β1 a1 +…+ βs-1 as-1 .

s 2 થી, જમણી બાજુએ ઓછામાં ઓછું એક વેક્ટર ai હશે. અમે જોયું કે સિસ્ટમ (1) વ્યાખ્યા I દ્વારા રેખીય રીતે આધારિત છે.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

પ્રમેય 1 ના આધારે, જો જરૂરી હોય તો, s 2 માટે આપણે રેખીય અવલંબનની ઉપરની કોઈપણ વ્યાખ્યા લાગુ કરી શકીએ છીએ.

રિમાર્ક 1. જો સિસ્ટમમાં માત્ર એક વેક્ટર a1 હોય, તો તેને માત્ર વ્યાખ્યા જ લાગુ પડે છે.

ચાલો a1 =0; પછી 1a1 =0. કારણ કે 1 0, પછી a1 =0 એ રેખીય રીતે આધારિત સિસ્ટમ છે.

ચાલો a1 0; પછી α1 a1 ≠0, કોઈપણ α1 0 માટે. આનો અર્થ એ છે કે બિન-શૂન્ય વેક્ટર a1 રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે

વેક્ટર સિસ્ટમ અને તેની સબસિસ્ટમ્સની રેખીય અવલંબન વચ્ચે મહત્વપૂર્ણ જોડાણો છે.

પ્રમેય 2. જો વેક્ટર્સની મર્યાદિત સિસ્ટમની કેટલીક સબસિસ્ટમ (એટલે કે ભાગ) રેખીય રીતે આધારિત હોય, તો સમગ્ર સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે.

આ પ્રમેયની સાબિતી તમારા પોતાના પર કરવી મુશ્કેલ નથી. તે કોઈપણ બીજગણિત અથવા વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ પાઠ્યપુસ્તકમાં મળી શકે છે.

કોરોલરી 1. રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમની તમામ સબસિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. વિરોધાભાસ દ્વારા પ્રમેય 2 માંથી મેળવેલ.

રીમાર્ક 2. તે જોવાનું સરળ છે કે રેખીય રીતે આશ્રિત સિસ્ટમોમાં રેખીય રીતે સબસિસ્ટમ હોઈ શકે છે

કોરોલરી 2. જો સિસ્ટમમાં 0 અથવા બે પ્રમાણસર (સમાન) વેક્ટર હોય, તો તે રેખીય રીતે આધારિત છે (કારણ કે 0 અથવા બે પ્રમાણસર વેક્ટરની સબસિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે).

§ 3. મહત્તમ રેખીય સ્વતંત્ર સબસિસ્ટમ્સ

વ્યાખ્યા 3. ચાલો a1, a2,…,ak,…. (1) રેખીય અવકાશ L ના વેક્ટર્સની મર્યાદિત અથવા અનંત સિસ્ટમ છે. તેની મર્યાદિત સબસિસ્ટમ ai1, ai2, …, હવા (2) કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમનો આધાર (1)અથવા મહત્તમ રેખીય સ્વતંત્ર સબસિસ્ટમઆ સિસ્ટમ જો નીચેની બે શરતો પૂરી થાય છે:

1) સબસિસ્ટમ (2) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે;

2) જો સિસ્ટમનો કોઈપણ વેક્ટર aj (1) સબસિસ્ટમ (2) ને અસાઇન કરવામાં આવે, તો અમે રેખીય રીતે આશ્રિત મેળવીએ છીએ

સિસ્ટમ ai1, ai2, …, હવા, aj (3).

ઉદાહરણ 1. જગ્યા Pn [x] માં, બહુપદી 1,x1, …, xn (4) ની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લો. ચાલો સાબિત કરીએ કે (4) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ચાલો α0, α1,…, αn ને P માંથી સંખ્યાઓ હોઈએ કે α0 1+α1 x+... αn xn =0. પછી, બહુપદીઓની સમાનતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, α0 =α1 =…=αn =0. આનો અર્થ એ છે કે બહુપદીની સિસ્ટમ (4) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.

ચાલો હવે સાબિત કરીએ કે સિસ્ટમ (4) એ રેખીય જગ્યા Pn [x] નો આધાર છે.

કોઈપણ f(x) Pn [x] માટે અમારી પાસે છે: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; તેથી, f(x) એ વેક્ટર્સનું રેખીય સંયોજન છે (4); પછી સિસ્ટમ 1,x1, …, xn,f(x) રેખીય રીતે આધારિત છે (વ્યાખ્યા I દ્વારા). આમ, (4) એ રેખીય જગ્યા Pn [x] નો આધાર છે.

ઉદાહરણ 2. ફિગ માં. 1 a1, a3 અને a2, a3 – a1,a2,a3 વેક્ટરની સિસ્ટમના પાયા.

પ્રમેય 3. સબસિસ્ટમ (2) ai1 ,…, મર્યાદિત અથવા અનંત સિસ્ટમની હવા (1) a1 , a2 ,…, as ,… એ સિસ્ટમની મહત્તમ રેખીય સ્વતંત્ર સબસિસ્ટમ (આધાર) છે (1) જો અને માત્ર જો

a) (2) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર; b) (1) માંથી કોઈપણ વેક્ટર (2) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે.

આવશ્યકતા. ચાલો (2) સિસ્ટમની મહત્તમ રેખીય સ્વતંત્ર સબસિસ્ટમ હોઈએ (1). પછી વ્યાખ્યા 3 માંથી બે શરતો સંતુષ્ટ છે:

1) (2) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર.

2) કોઈપણ વેક્ટર માટે a j માંથી (1) સિસ્ટમ ai1,…, ais,aj (5) રેખીય રીતે આધારિત છે. એ સાબિત કરવું જરૂરી છે કે વિધાન a) અને b) સાચા છે.

શરત એ) 1 સાથે એકરુપ છે); તેથી, એ) સંતુષ્ટ છે.

આગળ, 2 ના આધારે) ત્યાં બિન-શૂન્ય સમૂહ α1,...,αr,β P (6) છે જેમ કે α1 ai1 +…+αr હવા +βaj =0 (7). ચાલો સાબિત કરીએ કે β 0 (8). ચાલો ધારીએ કે β=0 (9). પછી (7) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ: α1 ai1 +…+αr હવા =0 (10). સેટ (6) બિન-શૂન્ય હોવાથી અને β=0 તે અનુસરે છે કે α1,...,αr એ બિન-શૂન્ય સમૂહ છે. અને પછી (10) માંથી તે અનુસરે છે કે (2) લીનિયરલી ડિપેન્ડન્ટ છે, જે શરત એનો વિરોધાભાસ કરે છે). આ સાબિત કરે છે (8).

વેક્ટર (-βaj) ને સમાનતા (7) ની બંને બાજુઓ પર ઉમેરીને, આપણે મેળવીએ છીએ: -βaj = α1 ai1 +…+αr હવા. β 0 થી, પછી

ત્યાં β-1 પી છે; છેલ્લી સમાનતાની બંને બાજુઓને β-1 દ્વારા ગુણાકાર કરો: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )air =aj . ચાલો પરિચય આપીએ

સંકેત: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; આમ, આપણને મળ્યું: 1 ai1 +…+ r air =aj ; તેથી, શરત b) ની સંતોષકારકતા સાબિત થઈ છે.

જરૂરિયાત સાબિત થઈ છે.

પર્યાપ્તતા. પ્રમેય 3 માંથી શરતો a) અને b) સંતુષ્ટ થવા દો તે સાબિત કરવું જરૂરી છે કે વ્યાખ્યા 3 માંથી શરતો 1) અને 2) સંતુષ્ટ છે.

કારણ કે શરત એ) શરત 1 સાથે સુસંગત છે), તો પછી 1) સંતુષ્ટ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે 2) ધરાવે છે. શરત b દ્વારા, કોઈપણ વેક્ટર aj (1) રેખીય રીતે (2) દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. પરિણામે, (5) રેખીય રીતે આધારિત છે (વ્યાખ્યા 1 દ્વારા), એટલે કે. 2) પરિપૂર્ણ થાય છે.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

ટિપ્પણી. દરેક રેખીય જગ્યાનો આધાર હોતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જગ્યા P[x] માં કોઈ આધાર નથી (અન્યથા, P[x] માં તમામ બહુપદીઓની ડિગ્રી પ્રમેય 3 ના ફકરા b પરથી નીચે મુજબ હશે, સામૂહિક રીતે બાઉન્ડેડ હશે).

§ 4. રેખીય અવલંબન વિશે મુખ્ય પ્રમેય. તેના પરિણામો

વ્યાખ્યા 4. લીનિયર સ્પેસ L:a1,a2,…,al (1) અને

b1,b2,…,bs (2).

જો સિસ્ટમ (1) ના દરેક વેક્ટરને (2) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો આપણે કહીશું કે સિસ્ટમ (1)

(2) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. ઉદાહરણો:

1. સિસ્ટમની કોઈપણ સબસિસ્ટમ 1,…,ai,…,ak સમગ્ર સિસ્ટમ દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે, કારણ કે

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ak .

2. R2 થી સેગમેન્ટ વેક્ટર્સની કોઈપણ સિસ્ટમ બે નોન-કોલિનિયર પ્લેન વેક્ટર ધરાવતી સિસ્ટમ દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે.

વ્યાખ્યા 5. જો વેક્ટરની બે સીમિત પ્રણાલીઓ એકબીજા દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

નોંધ 1. બે સમકક્ષ સિસ્ટમોમાં વેક્ટરની સંખ્યા અલગ અલગ હોઈ શકે છે, જે નીચેના ઉદાહરણોમાંથી જોઈ શકાય છે.

3. દરેક સિસ્ટમ તેના આધારને સમકક્ષ છે (આ પ્રમેય 3 અને ઉદાહરણ 1 માંથી અનુસરે છે).

4. કોઈપણ બે સિસ્ટમો R2 માંથી સેગમેન્ટ વેક્ટર, જેમાં પ્રત્યેક બે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર ધરાવે છે, તે સમકક્ષ છે.

નીચેનું પ્રમેય રેખીય જગ્યાઓના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ નિવેદનોમાંનું એક છે. રેખીય અવલંબન વિશે મૂળભૂત પ્રમેય.એક રેખીય જગ્યામાં L એક ક્ષેત્ર પર P બે આપીએ

વેક્ટર સિસ્ટમ્સ:

a1 ,a2 ,…,al (1) અને b1 ,b2 ,…,bs (2), અને (1) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને (2) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. પછી l s (3). પુરાવો. આપણે અસમાનતા સાબિત કરવાની જરૂર છે (3). ચાલો વિરુદ્ધ ધારીએ, ચાલો l>s (4).

શરત પ્રમાણે, (1) માંથી દરેક વેક્ટર ai સિસ્ટમ (2) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે:

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .

ચાલો નીચેનું સમીકરણ બનાવીએ: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), જ્યાં xi એ P (i=1,…,s) ફીલ્ડમાંથી મૂલ્યો લેતા અજાણ્યા છે.

ચાલો દરેક સમાનતાઓ (5), અનુક્રમે, x1,x2,…,xl, અવેજી (6) વડે ગુણાકાર કરીએ અને b1, પછી b2 અને છેલ્લે, bs ધરાવતા શબ્દોને એકસાથે મૂકીએ. અમને મળે છે:

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0.

ચાલો બિન-શૂન્ય ઉકેલ શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ	સમીકરણ (6). આ કરવા માટે, ચાલો શૂન્ય બધાની સમાન કરીએ
bi (i=1, 2,…,s) માટે ગુણાંક અને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ કંપોઝ કરો:
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 +α22 x2 +…+αl2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.

(8) અજ્ઞાત x માટે સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ 1,…,xl. તેણી હંમેશા સહકારી છે.

IN અસમાનતા (4) ના આધારે, આ સિસ્ટમમાં અજ્ઞાતની સંખ્યા સમીકરણોની સંખ્યા કરતા વધારે છે, અને તેથી, ગૌસ પદ્ધતિથી નીચે મુજબ, તેને ટ્રેપેઝોઇડલ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે બિન-શૂન્ય છે

સિસ્ટમ માટે ઉકેલો (8). ચાલો તેમાંથી એકને x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s) વડે દર્શાવીએ.

સંખ્યાઓ (9) ને (7) ની ડાબી બાજુએ બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)

તેથી, (9) એ સમીકરણ (6) નો બિન-શૂન્ય ઉકેલ છે. તેથી, સિસ્ટમ (1) રેખીય રીતે આધારિત છે, અને આ સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી, અમારી ધારણા (4) ખોટી છે અને l s.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

રેખીય અવલંબન વિશેના મુખ્ય પ્રમેયમાંથી કોરોલરી કોરોલરી 1. બે સીમિત સમકક્ષ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર સિસ્ટમો સમાવે છે

વેક્ટરની સમાન સંખ્યા.

પુરાવો. વેક્ટર્સ (1) અને (2) ની સિસ્ટમોને સમકક્ષ અને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર રહેવા દો. આ સાબિત કરવા માટે, અમે મુખ્ય પ્રમેયને બે વાર લાગુ કરીએ છીએ.

કારણ કે સિસ્ટમ (2) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને રેખીય રીતે (1) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, પછી મુખ્ય પ્રમેય l s (11) દ્વારા.

બીજી બાજુ, (1) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને તે (2) અને મુખ્ય પ્રમેય s l (12) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે.

(11) અને (12) માંથી તે s=l ને અનુસરે છે. નિવેદન સાબિત થયું છે.

કોરોલરી 2. જો વેક્ટરની અમુક સિસ્ટમમાં a1 ,…,as ,… (13) (મર્યાદિત અથવા અનંત) બે પાયા હોય, તો તેમાં સમાન સંખ્યામાં વેક્ટર હોય છે.

પુરાવો. ચાલો ai1 ,…,ail (14) અને aj1 ,..ajk (15) સિસ્ટમ (13) ના પાયા બનીએ. ચાલો બતાવીએ કે તેઓ સમકક્ષ છે.

પ્રમેય 3 મુજબ, સિસ્ટમના દરેક વેક્ટર (13) તેના આધાર (15) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે, ખાસ કરીને, સિસ્ટમ (14) ના કોઈપણ વેક્ટરને સિસ્ટમ (15) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. એ જ રીતે, સિસ્ટમ (15) (14) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમો (14) અને (15) સમકક્ષ છે અને કોરોલરી 1 દ્વારા આપણી પાસે છે: l=k.

નિવેદન સાબિત થયું છે.

વ્યાખ્યા 6. વેક્ટર્સની મર્યાદિત (અનંત) સિસ્ટમના મનસ્વી ધોરણે વેક્ટર્સની સંખ્યાને આ સિસ્ટમનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે (જો ત્યાં કોઈ પાયા ન હોય, તો સિસ્ટમનો ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી).

કોરોલરી 2 દ્વારા, જો સિસ્ટમ (13) પાસે ઓછામાં ઓછો એક આધાર હોય, તો તેનો ક્રમ અનન્ય છે.

રિમાર્ક 2. જો સિસ્ટમમાં માત્ર શૂન્ય વેક્ટર હોય, તો અમે ધારીએ છીએ કે તેનો ક્રમ 0 છે. ક્રમની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મુખ્ય પ્રમેયને મજબૂત બનાવી શકીએ છીએ.

કોરોલરી 3. વેક્ટર (1) અને (2) ની બે સીમિત સિસ્ટમો આપેલ છે, અને (1) (2) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. પછી સિસ્ટમનો રેન્ક (1) સિસ્ટમ (2) ની રેન્ક કરતાં વધી જતો નથી.

પુરાવો. ચાલો સિસ્ટમનો રેન્ક (1) r1 દ્વારા, સિસ્ટમનો ક્રમ (2) r2 દ્વારા દર્શાવીએ. જો r1 =0, તો વિધાન સાચું છે.

ચાલો r1 0. પછી r2 0, કારણ કે (1) રેખીય રીતે (2) દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમો (1) અને (2) પાસે પાયા છે.

ચાલો a1,…,ar1 (16) સિસ્ટમનો આધાર (1) અને b1,…,br2 (17) સિસ્ટમ (2)નો આધાર બનીએ. તેઓ આધારની વ્યાખ્યા દ્વારા રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.

કારણ કે (16) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, પછી મુખ્ય પ્રમેય સિસ્ટમોની જોડી પર લાગુ કરી શકાય છે (16), (17). આ દ્વારા

પ્રમેય r1 r2 . નિવેદન સાબિત થયું છે.

કોરોલરી 4. વેક્ટરની બે મર્યાદિત સમકક્ષ સિસ્ટમો સમાન રેન્ક ધરાવે છે. આ નિવેદનને સાબિત કરવા માટે, અમારે કોરોલરી 3 બે વાર લાગુ કરવાની જરૂર છે.

નોંધ 3. નોંધ કરો કે વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમનો ક્રમ તેના વેક્ટર્સની સંખ્યા જેટલો છે (કારણ કે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાં તેનો એકમાત્ર આધાર સિસ્ટમ સાથે એકરુપ છે). તેથી, કોરોલરી 1 એ કોરોલરી 4 નો એક ખાસ કેસ છે. પરંતુ આ વિશેષ કેસના પુરાવા વિના, અમે કોરોલરી 2 સાબિત કરી શકીશું નહીં, વેક્ટર્સની સિસ્ટમના રેન્કની વિભાવના રજૂ કરી શકીશું અને કોરોલરી 4 મેળવી શકીશું નહીં.

§ 5. મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યાઓ

વ્યાખ્યા 7. જો L માં ઓછામાં ઓછો એક આધાર હોય તો P ક્ષેત્ર P પરની રેખીય જગ્યા L ને મર્યાદિત-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે.

મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યાઓના મૂળભૂત ઉદાહરણો:

1. સીધી રેખા, પ્લેન અને અવકાશમાં વેક્ટર સેગમેન્ટ્સ (રેખીય જગ્યાઓ R1, R2, R3).

2. n-પરિમાણીય અંકગણિત જગ્યા P(n) . ચાલો બતાવીએ કે P(n) માં નીચેનો આધાર છે: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

en =(0,0,…1).

ચાલો પહેલા સાબિત કરીએ કે (1) એક રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે. ચાલો x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2) સમીકરણ બનાવીએ.

વેક્ટર (1) ના સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમીકરણ (2) ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ છીએ: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , …,xn )=(0,0,…,0).

પંક્તિ વેક્ટર્સની સમાનતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, તે નીચે મુજબ છે:

x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). તેથી, (1) એક રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે (1) એ બેઝ પર પ્રમેય 3 નો ઉપયોગ કરીને P(n) જગ્યાનો આધાર છે.

કોઈપણ a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn માટે અમારી પાસે છે:

а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n en.

આનો અર્થ એ છે કે જગ્યા P(n) માં કોઈપણ વેક્ટર (1) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. પરિણામે, (1) એ P(n) જગ્યાનો આધાર છે, અને તેથી P(n) એ મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા છે.

3. લીનિયર સ્પેસ Pn [x]=(α0 xn +...αn | αi P).

તે ચકાસવું સરળ છે કે જગ્યા Pn [x] નો આધાર બહુપદી 1,x,…,xn ની સિસ્ટમ છે. તેથી પી.એન

[x] મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા છે.

4. લીનિયર સ્પેસ એમ n(P). તે ચકાસી શકાય છે કે ફોર્મ Eij ના મેટ્રિસિસનો સમૂહ, જેમાં માત્ર બિન-શૂન્ય તત્વ 1 i-th પંક્તિ અને j-th કૉલમ (i,j=1,…,n) ના આંતરછેદ પર છે. , આધાર Mn (P) બનાવે છે.

સીમિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યાઓ માટે રેખીય અવલંબન પર મુખ્ય પ્રમેયમાંથી કોરોલરીઝ

મુખ્ય રેખીય અવલંબન પ્રમેય 1-4 ની કોરોલરીઓ સાથે, આ પ્રમેયમાંથી અન્ય કેટલાક મહત્વપૂર્ણ નિવેદનો મેળવી શકાય છે.

કોરોલરી 5. સીમિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશના કોઈપણ બે પાયામાં સમાન સંખ્યામાં વેક્ટર હોય છે.

આ વિધાન સમગ્ર રેખીય અવકાશમાં લાગુ પડતા મુખ્ય રેખીય અવલંબન પ્રમેયમાંથી કોરોલરી 2 નો વિશેષ કેસ છે.

વ્યાખ્યા 8. મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ L ના મનસ્વી ધોરણે વેક્ટરની સંખ્યાને આ જગ્યાનું પરિમાણ કહેવામાં આવે છે અને તેને મંદ L દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

કોરોલરી 5 દ્વારા, દરેક સીમિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા એક અનન્ય પરિમાણ ધરાવે છે. વ્યાખ્યા 9. જો રેખીય જગ્યા L માં પરિમાણ n હોય, તો તેને n-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે.

રેખીય જગ્યા. ઉદાહરણો:

1. મંદ R 1 =1;

2. dimR 2 =2;

3. dimP (n) =n, એટલે કે P(n) એ n-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા છે, કારણ કે ઉપર, ઉદાહરણ 2 માં તે બતાવવામાં આવ્યું છે કે (1) આધાર છે

P(n);

4. dimP n [x]=(n+1), કારણ કે, તપાસવું સરળ છે તેમ, 1,x,x2,…,xn એ આ જગ્યાના n+1 વેક્ટરનો આધાર છે;

5. dimM n (P)=n2, કારણ કે ઉદાહરણ 4 માં દર્શાવેલ Eij ફોર્મના બરાબર n2 મેટ્રિસિસ છે.

કોરોલરી 6. n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ L માં, કોઈપણ n+1 વેક્ટર a1,a2,…,an+1 (3) રેખીય રીતે આધારિત સિસ્ટમ બનાવે છે.

પુરાવો. L માં જગ્યાના પરિમાણની વ્યાખ્યા દ્વારા, n વેક્ટરનો આધાર છે: e1 ,e2 ,…,en (4). ચાલો સિસ્ટમોની જોડીને ધ્યાનમાં લઈએ (3) અને (4).

ચાલો ધારીએ કે (3) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. કારણ કે (4) એ L નો આધાર છે, પછી જગ્યા L ના કોઈપણ વેક્ટરને (4) (§3 થી પ્રમેય 3 દ્વારા) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, સિસ્ટમ (3) રેખીય રીતે (4) દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. ધારણા દ્વારા (3) તે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે; પછી રેખીય અવલંબન પર મુખ્ય પ્રમેય સિસ્ટમોની જોડી (3) અને (4) પર લાગુ કરી શકાય છે. આપણને મળે છે: n+1 n, જે અશક્ય છે. વિરોધાભાસ સાબિત કરે છે કે (3) રેખીય રીતે આશ્રિત છે.

તપાસમાં સાબિત થયું છે.

ટિપ્પણી 1. §2 માંથી કોરોલરી 6 અને પ્રમેય 2 માંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશમાં n કરતાં વધુ વેક્ટર ધરાવતા વેક્ટર્સની કોઈપણ મર્યાદિત સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે.

આ ટિપ્પણી પરથી તે નીચે મુજબ છે

કોરોલરી 7. n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશમાં, કોઈપણ રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાં વધુમાં વધુ n વેક્ટર હોય છે.

ટિપ્પણી 2. આ વિધાનનો ઉપયોગ કરીને આપણે સ્થાપિત કરી શકીએ છીએ કે કેટલીક રેખીય જગ્યાઓ મર્યાદિત-પરિમાણીય નથી.

ઉદાહરણ. ચાલો બહુપદી P[x] ની જગ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ અને સાબિત કરીએ કે તે મર્યાદિત-પરિમાણીય નથી. ચાલો ધારીએ કે મંદ P[x]=m, m N. 1, x,…, xm – P[x] માંથી (m+1) વેક્ટરનો સમૂહ ધ્યાનમાં લો. વેક્ટર્સની આ સિસ્ટમ, જેમ ઉપર નોંધ્યું છે, રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, જે P[x] નું પરિમાણ m બરાબર છે તેવી ધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે.

તે તપાસવું સરળ છે (P[x] નો ઉપયોગ કરીને) કે મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યાઓ વાસ્તવિક ચલના તમામ કાર્યોની જગ્યાઓ, સતત કાર્યોની જગ્યાઓ વગેરે નથી.

કોરોલરી 8. મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ L ના વેક્ટર a1, a2,…,ak (5) ની કોઈપણ મર્યાદિત રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ આ જગ્યાના આધારે પૂરક બની શકે છે.

પુરાવો. ચાલો n=dim L. ચાલો બે સંભવિત કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

1. જો k=n, તો a 1 , a2 ,…,ak એ n વેક્ટરની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે. કોરોલરી 7 દ્વારા, કોઈપણ b L માટે સિસ્ટમ a1, a2,…,ak, b રેખીય રીતે આધારિત છે, એટલે કે. (5) - આધાર પર એલ.

2. ચાલો k n. પછી સિસ્ટમ (5) એ L નો આધાર નથી, જેનો અર્થ એ છે કે ત્યાં વેક્ટર a છે k+1 L, કે a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) એક રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે. જો (k+1)

કોરોલરી 7 દ્વારા, આ પ્રક્રિયા મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાઓ પછી સમાપ્ત થાય છે. અમે એક આધાર a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,એક રેખીય જગ્યા L મેળવીએ છીએ, જેમાં (5) છે.

તપાસમાં સાબિત થયું છે.

કોરોલરી 8 થી તે નીચે મુજબ છે

કોરોલરી 9. સીમિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ L ના કોઈપણ બિનશૂન્ય વેક્ટર અમુક આધાર L માં સમાયેલ છે (કારણ કે આવા વેક્ટર એક રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે).

તે અનુસરે છે કે જો P એ અનંત ક્ષેત્ર છે, તો પછી ક્ષેત્ર P પર મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશમાં અનંત ઘણા પાયા છે (કારણ કે L માં ફોર્મ a, a 0, P\0 ના અનંત ઘણા વેક્ટર છે).

§ 6. રેખીય જગ્યાઓનું આઇસોમોર્ફિઝમ

વ્યાખ્યા 10. એક ક્ષેત્ર P પર બે રેખીય જગ્યાઓ L અને L` જો બાયજેક્શન હોય તો તેને આઇસોમોર્ફિક કહેવામાં આવે છે: L L` નીચેની શરતોને સંતોષે છે:

1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L,

2. (a) = (a) P, a L.

આવા મેપિંગને પોતે જ આઇસોમોર્ફિઝમ કહેવામાં આવે છે અથવા આઇસોમોર્ફિક મેપિંગ.

આઇસોમોર્ફિઝમ્સના ગુણધર્મો.

1. આઇસોમોર્ફિઝમ સાથે, શૂન્ય વેક્ટર શૂન્ય બને છે.

પુરાવો. ચાલો એક L અને: L L` એક સમરૂપતા છે. ત્યારથી a=a+0, પછી (a)= (a+0)= (a)+ (0).

કારણ કે (L)=L` પછી છેલ્લી સમાનતા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે (0) (આપણે તેને 0` વડે દર્શાવીએ છીએ) એમાંથી શૂન્ય વેક્ટર છે

2. આઇસોમોર્ફિઝમ સાથે, રેખીય રીતે આશ્રિત સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત સિસ્ટમમાં પરિવર્તિત થાય છે. પુરાવો. ચાલો a1 , a2 , …, તરીકે (2) L માંથી કેટલીક રેખીય રીતે આધારિત સિસ્ટમ છે. પછી અસ્તિત્વમાં છે

P માંથી સંખ્યાઓ 1,…, s (3) નો બિન-શૂન્ય સમૂહ, જેમ કે 1 a1 +…+ s = 0. ચાલો આ સમાનતાની બંને બાજુઓને આઇસોમોર્ફિક મેપિંગને આધીન કરીએ. આઇસોમોર્ફિઝમની વ્યાખ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે:

1 (a1 )+…+ s (as )= (0)=0` (અમે પ્રોપર્ટી 1 નો ઉપયોગ કર્યો છે). કારણ કે સેટ (3) બિન-શૂન્ય છે, પછી છેલ્લી સમાનતાથી તે અનુસરે છે કે (1),..., (ઓ) એક રેખીય રીતે આધારિત સિસ્ટમ છે.

3. જો: L L` એ સમરૂપીકરણ છે, તો -1 : L` L પણ એક સમરૂપીકરણ છે.

પુરાવો. બાયજેક્શન હોવાથી, પછી ત્યાં એક બાયજેક્શન છે -1 : L` L. આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે જો a`,

કારણ કે તે આઇસોમોર્ફિઝમ છે, તો પછી a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). આ સૂચવે છે:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)).

(5) અને (6) માંથી આપણી પાસે -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`) છે.

તેવી જ રીતે, તે તપાસવામાં આવે છે કે -1 (a`) = -1 (a`). તેથી, -1 એ સમરૂપીકરણ છે.

મિલકત સાબિત થઈ છે.

4. આઇસોમોર્ફિઝમ સાથે, એક રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાં પરિવર્તિત થાય છે. પુરાવો. ચાલો: L L` એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે અને a1, a2,…, જેમ કે (2) એક રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે. જરૂરી છે

સાબિત કરો કે (a1), (a2),…, (as) (7) પણ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.

ચાલો ધારીએ કે (7) રેખીય રીતે આધારિત છે. પછી, -1 પ્રદર્શિત કરતી વખતે, તે સિસ્ટમમાં જાય છે a1,...,as.

ગુણધર્મ દ્વારા 3 -1 એ સમરૂપીકરણ છે, અને પછી ગુણધર્મ 2 દ્વારા, સિસ્ટમ (2) પણ રેખીય રીતે આધારિત હશે, જે સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી, અમારી ધારણા ખોટી છે.

મિલકત સાબિત થઈ છે.

5. આઇસોમોર્ફિઝમ સાથે, વેક્ટરની કોઈપણ સિસ્ટમનો આધાર તેની છબીઓની સિસ્ટમના આધારે જાય છે. પુરાવો. ચાલો a1 , a2 , … , as , … (8) રેખીય વેક્ટરની મર્યાદિત અથવા અનંત સિસ્ટમ છે

અવકાશ L, : L L` એ સમરૂપીકરણ છે. ચાલો સિસ્ટમ (8) નો આધાર ai1, …,air (9) છે. ચાલો બતાવીએ કે સિસ્ટમ

(a1),…, (ak),… (10) પાસે આધાર (ai1),…, (હવા) (11) છે.

કારણ કે (9) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, પછી મિલકત 4 દ્વારા સિસ્ટમ (11) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ચાલો (10) માંથી કોઈપણ વેક્ટરને (11) સોંપીએ; આપણને મળે છે: (ai1), …, (હવા), (aj) (12). સિસ્ટમ ai1 , …,air , aj (13) ને ધ્યાનમાં લો. તે રેખીય રીતે આધારિત છે, કારણ કે (9) સિસ્ટમનો આધાર છે (8). પરંતુ (13) આઇસોમોર્ફિઝમ હેઠળ (12) માં ફેરવાય છે. કારણ કે (13) રેખીય રીતે આધારિત છે, પછી મિલકત 2 દ્વારા સિસ્ટમ (12) પણ રેખીય રીતે આધારિત છે. આનો અર્થ એ છે કે (11) સિસ્ટમનો આધાર છે (10).

સમગ્ર સીમિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા L પર મિલકત 5 લાગુ કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

વિધાન 1. L ને P ક્ષેત્ર પર n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ હોવા દો, : L L` આઇસોમોર્ફિઝમ. પછી L` એ મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યા પણ છે અને મંદ L`= મંદ L = n.

ખાસ કરીને, વિધાન 2 સાચું છે જો મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યાઓ સમરૂપી છે, તો તેમના પરિમાણો સમાન છે.

ટિપ્પણી. §7 માં આ નિવેદનની વાતચીતની માન્યતા પણ સ્થાપિત કરવામાં આવશે.

§ 7. વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

L એ P ક્ષેત્ર પરની એક સીમિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ છે અને e1,...,en (1) L નો અમુક આધાર છે.

વ્યાખ્યા 11. ચાલો a L. ચાલો વેક્ટર a ને બેઝિસ (1) દ્વારા વ્યક્ત કરીએ, એટલે કે. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). કૉલમ (1,…, n)t (3) કહેવાય છે સંકલન કૉલમવેક્ટર a ઇન બેસિસ (1).

વેક્ટર a ની કોઓર્ડિનેટ કોલમ e ને આધારે પણ [a], [a]e અથવા [1,.., n] દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની જેમ, આધાર દ્વારા વેક્ટર અભિવ્યક્તિની વિશિષ્ટતા સાબિત થાય છે, એટલે કે. આપેલ આધારમાં વેક્ટરના સંકલન કૉલમની વિશિષ્ટતા.

નોંધ 1. કેટલાક પાઠ્યપુસ્તકોમાં, સંકલન કૉલમને બદલે, સંકલન રેખાઓ ગણવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, પુસ્તકમાં). આ કિસ્સામાં, સંકલન કૉલમની ભાષામાં ત્યાં મેળવેલા સૂત્રો અલગ દેખાય છે.

પ્રમેય 4. L એ P ક્ષેત્ર પર n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ છે અને (1) L નો અમુક આધાર છે. મેપિંગને ધ્યાનમાં લો: a (1,..., n)t, જે L થી કોઈપણ વેક્ટર a ને તેના સંકલન કૉલમ સાથે સાંકળે છે. આધારે (1). પછી L અને P(n) (P(n) એ કૉલમ વેક્ટર્સની n-પરિમાણીય અંકગણિત અવકાશ છે).

પુરાવો. વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સની વિશિષ્ટતાને કારણે મેપિંગ અનન્ય છે. તે તપાસવું સરળ છે કે તે બાયજેક્શન છે અને (a)= (a), (a)+ (b) = (a+b). આનો અર્થ થાય છે આઇસોમોર્ફિઝમ.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

કોરોલરી 1. સીમિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશની જેમ વેક્ટર a1,a2,… L એ રેખીય રીતે નિર્ભર છે જો અને માત્ર જો આ વેક્ટરના સંકલન કૉલમનો સમાવેશ કરતી સિસ્ટમ L ના અમુક આધાર પર રેખીય રીતે આધારિત હોય.

આ નિવેદનની માન્યતા પ્રમેય 1 અને આઇસોમોર્ફિઝમના બીજા અને ચોથા ગુણધર્મોને અનુસરે છે. રીમાર્ક 2. કોરોલરી 1 આપણને માં વેક્ટર્સની સિસ્ટમોની રેખીય અવલંબનના પ્રશ્નનો અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે

મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યામાં ચોક્કસ મેટ્રિક્સના કૉલમ માટે સમાન પ્રશ્ન હલ કરવા માટે ઘટાડી શકાય છે.

પ્રમેય 5 (મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યાઓના આઇસોમોર્ફિઝમ માટે માપદંડ). બે સીમિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યાઓ L અને L` એક ક્ષેત્ર P પર સમરૂપ છે જો અને માત્ર જો તેમની પાસે સમાન પરિમાણ હોય.

આવશ્યકતા. ચાલો L L` §6 માંથી સ્ટેટમેન્ટ 2 ના આધારે, L નું પરિમાણ L1 ના પરિમાણ સાથે એકરુપ છે.

પર્યાપ્તતા. ચાલો મંદ L = મંદ L`= n. પછી, પ્રમેય 4 દ્વારા, આપણી પાસે છે: L P(n)		અને L` P(n) . અહીંથી
તે L L` મેળવવાનું મુશ્કેલ નથી.
પ્રમેય સાબિત થાય છે.
નૉૅધ. નીચેનામાં, આપણે ઘણીવાર Ln દ્વારા n-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા સૂચવીશું.
§ 8. સંક્રમણ મેટ્રિક્સ
વ્યાખ્યા 12. રેખીય જગ્યા Ln માં ચાલો	બે પાયા આપવામાં આવે છે:
e= (е1,...еn) અને e`=(e1`,...,e`n) (જૂનું અને નવું).
ચાલો આધાર e` ના વેક્ટરને આધાર e માં વિસ્તૃત કરીએ:
e`1 =t11 e1 +…+tn1 en
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn en .

t11………t1n

ટી = ……………

tn1………tnn

કહેવાય છે સંક્રમણ મેટ્રિક્સઆધાર e થી આધાર e` સુધી.

નોંધ કરો કે સમાનતા (1) ને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખવું અનુકૂળ છે: e` = eT (2). આ સમાનતા સંક્રમણ મેટ્રિક્સને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સમાન છે.

ટીકા 1. ચાલો સંક્રમણ મેટ્રિક્સ બનાવવા માટે એક નિયમ ઘડીએ: આધાર e થી આધાર e` પર સંક્રમણ મેટ્રિક્સ બનાવવા માટે, નવા આધાર e` ના તમામ વેક્ટર ej` માટે તેમના કોઓર્ડિનેટ કૉલમ શોધવા જરૂરી છે. જૂના આધાર e અને તેમને મેટ્રિક્સ T ના અનુરૂપ કૉલમ તરીકે લખો.

નોંધ 2. પુસ્તકમાં, સંક્રમણ મેટ્રિક્સ પંક્તિ દ્વારા પંક્તિ (જૂના એકમાં નવા આધારના વેક્ટરની સંકલન પંક્તિઓમાંથી) સંકલિત કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય 6. ક્ષેત્ર P પરના n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ Ln ના એક આધારથી તેના બીજા આધાર પર સંક્રમણ મેટ્રિક્સ એ P ક્ષેત્રના તત્વો સાથે nમા ક્રમનું બિન-અધોગતિયુક્ત મેટ્રિક્સ છે.

પુરાવો. T એ આધાર e થી આધાર e` સુધીનું સંક્રમણ મેટ્રિક્સ છે. મેટ્રિક્સ T ના સ્તંભો, વ્યાખ્યા 12 દ્વારા, e` એ આધાર e માંના વેક્ટરના સંકલન સ્તંભો છે, કારણ કે e` એક રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે, તો પછી પ્રમેય 4 ના કોરોલરી 1 દ્વારા મેટ્રિક્સ T ના કૉલમ. રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને તેથી |T|≠0.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

વાતચીત પણ સાચી છે.

પ્રમેય 7. ક્ષેત્ર P ના તત્વો સાથે nમા ક્રમનો કોઈપણ બિન-અધોગતિશીલ ચોરસ મેટ્રિક્સ P ક્ષેત્ર પર n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ Ln ના એક આધારથી બીજા કેટલાક આધાર Ln સુધી સંક્રમણ મેટ્રિક્સ તરીકે સેવા આપે છે.

પુરાવો. રેખીય જગ્યા L નો આધાર e = (e1, ..., en) અને એક બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ આપવા દો

Т= t11………t1n

tn1………tnn

ક્ષેત્ર P ના તત્વો સાથેનો nમો ક્રમ. રેખીય અવકાશ Ln માં, વેક્ટરની એક ક્રમબદ્ધ સિસ્ટમનો વિચાર કરો e`=(e1 `,…,e`n), જેના માટે મેટ્રિક્સ T ના કૉલમ e બેઝિસમાં સંકલન કૉલમ છે .

વેક્ટર્સ e`ની સિસ્ટમમાં n વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે અને, પ્રમેય 4 ના કોરોલરી 1 ના આધારે, રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, કારણ કે બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ T ના સ્તંભો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, આ સિસ્ટમ એ રેખીય જગ્યા Ln નો આધાર છે, અને સિસ્ટમ વેક્ટરની પસંદગીને કારણે e` સમાનતા e`=eT ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે T એ આધાર e થી આધાર e` સુધીનું સંક્રમણ મેટ્રિક્સ છે.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

વિવિધ પાયામાં વેક્ટર a ના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ

પાયા e=(е1,...еn) અને e`=(e1`,...,e`n) ને આધાર e થી આધાર e` સુધીના સંક્રમણ મેટ્રિક્સ T સાથે રેખીય જગ્યા Ln માં આપવા દો. , એટલે કે (2) સાચું છે. વેક્ટર a એ બેઝ e અને e` [a]e =(1 ,…, n)T અને [a]e` =(1 `,…,

n `)T , એટલે કે a=e[a]e અને a=e`[a]e` .

પછી, એક તરફ, a=e[a]e , અને બીજી તરફ a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (અમે ઉપયોગ કર્યો સમાનતા (2)). આ સમાનતાઓમાંથી આપણને મળે છે: a=e[a]e =e(T[a]e` ). આથી, આધારમાં વેક્ટરના વિસ્તરણની વિશિષ્ટતાને કારણે

આ સમાનતા સૂચવે છે [a]e =Т[a]e` (3), અથવા




	n`

સંબંધ (3) અને (4) કહેવાય છે સંકલન પરિવર્તન સૂત્રોજ્યારે રેખીય જગ્યાનો આધાર બદલાય છે. તેઓ જૂના વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સને નવાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરે છે. આ સૂત્રો નવા વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સંબંધિત ઉકેલી શકાય છે (4) ડાબી બાજુએ T-1 દ્વારા ગુણાકાર કરીને (આવા મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે, કારણ કે T એ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે).

પછી આપણને મળે છે: [a]e` =T-1 [a]e. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, લીનિયર સ્પેસ Ln ના જૂના આધાર eમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીને, તમે તેના કોઓર્ડિનેટ્સને નવા આધાર, e`માં શોધી શકો છો.

§ 9. રેખીય અવકાશની સબસ્પેસ

વ્યાખ્યા 13. ચાલો L એ ક્ષેત્ર P અને H L પર એક રેખીય અવકાશ હોય. જો H પણ L જેવી જ ક્રિયાઓના સંદર્ભમાં P ઉપર રેખીય જગ્યા હોય, તો H કહેવાય છે. સબસ્પેસરેખીય જગ્યા એલ.

વિધાન 1. જો નીચેની શરતો સંતુષ્ટ હોય તો ફીલ્ડ P પરની રેખીય જગ્યા L નો સબસેટ H એ L નો સબસ્પેસ છે:

1. h 1 +h2 H કોઈપણ h1 , h2 H માટે;

2. કોઈપણ h H અને P માટે h H.

પુરાવો. જો શરતો 1 અને 2 H માં સંતુષ્ટ છે, તો પછી ક્ષેત્ર P ના ઘટકો દ્વારા ઉમેરા અને ગુણાકાર H માં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. H માટે મોટાભાગના રેખીય અવકાશ ધરીઓની માન્યતા L માટે તેમની માન્યતાને અનુસરે છે. ચાલો તેમાંથી કેટલાકને તપાસીએ:

a) 0 h=0 H (શરત 2 ને કારણે);

b) h H અમારી પાસે છે: (-h)=(-1)h H (શરત 2 ને કારણે).

નિવેદન સાબિત થયું છે.

1. કોઈપણ રેખીય અવકાશ L ના સબસ્પેસ 0 અને L છે.

2. R 1 - પ્લેન પરના સેગમેન્ટ વેક્ટર્સના R2 ની અવકાશ.

3. વાસ્તવિક ચલના કાર્યોની જગ્યામાં, ખાસ કરીને, નીચેના સબસ્પેસ છે:

a) ax+b ફોર્મના રેખીય કાર્યો;

b) સતત કાર્યો; c) વિભેદક કાર્યો.

કોઈપણ રેખીય જગ્યાના સબસ્પેસને ઓળખવાની એક સાર્વત્રિક રીત રેખીય હલની વિભાવના સાથે સંકળાયેલી છે.

વ્યાખ્યા 14. ચાલો a1 ,…જેમ (1) રેખીય અવકાશમાં વેક્ટર્સની મનસ્વી મર્યાદિત સિસ્ટમ છે L. ચાલો કૉલ કરીએ રેખીય શેલઆ સિસ્ટમ સમૂહનો ( 1 a1 +…+ s as | i P) = . સિસ્ટમ (1) ના રેખીય શેલને L(a1 ,…,as ) દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે.

પ્રમેય 8. રેખીય અવકાશ L ની કોઈપણ મર્યાદિત વેક્ટર્સ સિસ્ટમનો રેખીય હલ H એ રેખીય અવકાશ Lનું મર્યાદિત-પરિમાણીય સબસ્પેસ છે. સિસ્ટમનો આધાર (1) પણ H નો આધાર છે, અને પરિમાણ ની H સિસ્ટમ (1) ના રેન્કની બરાબર છે.

પુરાવો. ચાલો H= . રેખીય હલની વ્યાખ્યાથી તે સરળતાથી અનુસરે છે કે વિધાન 1 ની શરતો 1 અને 2 સંતુષ્ટ છે આ વિધાનના આધારે, H એ રેખીય જગ્યા L ની સબસ્પેસ છે. ચાલો ai1 ,….,એર (2) આધાર બનીએ. સિસ્ટમ (1). પછી આપણી પાસે છે: કોઈપણ વેક્ટર h H (1) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે - રેખીય શેલની વ્યાખ્યા દ્વારા, અને (1) તેના આધાર (2) દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. (2) એક રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ હોવાથી, તે N નો આધાર છે. પરંતુ (2) માં વેક્ટરની સંખ્યા સિસ્ટમ (1) ની રેન્ક જેટલી છે. તેથી dimH=r.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

ટીકા 1. જો H એ રેખીય અવકાશ Lનું મર્યાદિત-પરિમાણીય સબસ્પેસ છે અને h1,...,hm એ H નો આધાર છે, તો તે જોવાનું સરળ છે કે H=