વિભેદક સમીકરણોના આંશિક ઉકેલનો પ્રકાર સૂચવો. કોચી સમસ્યા અને તેનું ભૌમિતિક અર્થઘટન

I. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો

1.1. મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ

વિભેદક સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જે સ્વતંત્ર ચલને સંબંધિત છે x, જરૂરી કાર્ય yઅને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ અથવા ડિફરન્સિયલ્સ.

સાંકેતિક રીતે, વિભેદક સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખાયેલું છે:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

જો જરૂરી કાર્ય એક સ્વતંત્ર ચલ પર આધારિત હોય તો વિભેદક સમીકરણને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે.

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવુંએક કાર્ય કહેવાય છે જે આ સમીકરણને ઓળખમાં ફેરવે છે.

વિભેદક સમીકરણનો ક્રમઆ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ છે

ઉદાહરણો.

1. પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો

આ સમીકરણનો ઉકેલ ફંક્શન y = 5 ln x છે. ખરેખર, અવેજી y"સમીકરણમાં, આપણને ઓળખ મળે છે.

અને આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય y = 5 ln x– આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે.

2. બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો y" - 5y" +6y = 0. કાર્ય એ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

ખરેખર, .

આ સમીકરણોને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ: , – ઓળખ.

અને આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય એ આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે.

વિભેદક સમીકરણોનું એકીકરણવિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયા છે.

વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલફોર્મનું કાર્ય કહેવાય છે , જેમાં સમીકરણના ક્રમ જેટલા સ્વતંત્ર મનસ્વી સ્થિરાંકોનો સમાવેશ થાય છે.

વિભેદક સમીકરણનો આંશિક ઉકેલમનસ્વી સ્થિરાંકોના વિવિધ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો માટેના સામાન્ય ઉકેલમાંથી મેળવેલ ઉકેલ છે. મનસ્વી સ્થિરાંકોના મૂલ્યો દલીલ અને કાર્યના ચોક્કસ પ્રારંભિક મૂલ્યો પર જોવા મળે છે.

વિભેદક સમીકરણના ચોક્કસ ઉકેલના ગ્રાફને કહેવામાં આવે છે અભિન્ન વળાંક.

ઉદાહરણો

1. પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો

xdx + ydy = 0, જો y= 4 વાગ્યે x = 3.

ઉકેલ. સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરવાથી, આપણને મળે છે

ટિપ્પણી. એકીકરણના પરિણામે મેળવેલ મનસ્વી સ્થિરાંક C ને આગળના પરિવર્તન માટે અનુકૂળ કોઈપણ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, વર્તુળના પ્રામાણિક સમીકરણને ધ્યાનમાં લેતા, ફોર્મમાં મનસ્વી સ્થિરાંક C રજૂ કરવું અનુકૂળ છે.

- વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ.

પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને સંતોષતા સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ y = 4 વાગ્યે x = 3 સામાન્ય ઉકેલમાં પ્રારંભિક શરતોને બદલીને સામાન્યમાંથી જોવા મળે છે: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

C=5 ને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીને, આપણને મળે છે x 2 +y 2 = 5 2 .

આપેલ પ્રારંભિક શરતો હેઠળ સામાન્ય ઉકેલમાંથી મેળવેલ વિભેદક સમીકરણનો આ ચોક્કસ ઉકેલ છે.

2. વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

આ સમીકરણનો ઉકેલ એ ફોર્મનું કોઈપણ કાર્ય છે, જ્યાં C એ મનસ્વી સ્થિરાંક છે. ખરેખર, સમીકરણોમાં અવેજીમાં, આપણે મેળવીએ છીએ: , .

પરિણામે, આ વિભેદક સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે, કારણ કે સતત C ના વિવિધ મૂલ્યો માટે, સમાનતા સમીકરણના વિવિધ ઉકેલો નક્કી કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સીધા અવેજી દ્વારા તમે ચકાસી શકો છો કે કાર્યો સમીકરણના ઉકેલો છે.

એક સમસ્યા જેમાં તમારે સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે y" = f(x,y)પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે y(x 0) = y 0, કોચી સમસ્યા કહેવાય છે.

સમીકરણ ઉકેલવું y" = f(x,y), પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા, y(x 0) = y 0, કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ કહેવાય છે.

કોચી સમસ્યાના ઉકેલનો સરળ ભૌમિતિક અર્થ છે. ખરેખર, આ વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, કોચી સમસ્યા હલ કરવા માટે y" = f(x,y)આપેલ છે y(x 0) = y 0, એટલે સમીકરણનો અભિન્ન વળાંક શોધવો y" = f(x,y)જે આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે M 0 (x 0,y 0).

II. પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો

2.1. મૂળભૂત ખ્યાલો

પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે F(x,y,y") = 0.

પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણમાં પ્રથમ વ્યુત્પન્નનો સમાવેશ થાય છે અને તેમાં ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્સનો સમાવેશ થતો નથી.

સમીકરણ y" = f(x,y)વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ પ્રથમ-ક્રમ સમીકરણ કહેવાય છે.

પ્રથમ-ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ એ ફોર્મનું કાર્ય છે, જેમાં એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે.

ઉદાહરણ.પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો.

આ સમીકરણનો ઉકેલ એ કાર્ય છે.

ખરેખર, આ સમીકરણને તેની કિંમત સાથે બદલીને, આપણને મળે છે

તે છે 3x=3x

તેથી, કાર્ય એ કોઈપણ સ્થિર C માટેના સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે.

આ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો જે પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે y(1)=1પ્રારંભિક શરતો અવેજી x = 1, y =1સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં, આપણે ક્યાંથી મેળવીએ છીએ C=0.

આમ, અમે આ સમીકરણમાં પરિણામી મૂલ્યને બદલીને સામાન્યમાંથી ચોક્કસ ઉકેલ મેળવીએ છીએ. C=0- ખાનગી ઉકેલ.

2.2. વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો

વિભાજિત ચલો સાથેનું વિભેદક સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે: y"=f(x)g(y)અથવા ભિન્નતા દ્વારા, જ્યાં f(x)અને g(y)- ઉલ્લેખિત કાર્યો.

તે માટે y, જેના માટે , સમીકરણ y"=f(x)g(y)સમીકરણની સમકક્ષ છે, જેમાં ચલ yમાત્ર ડાબી બાજુ પર હાજર છે, અને ચલ x માત્ર જમણી બાજુ પર છે. તેઓ કહે છે, "Eq માં. y"=f(x)g(yચાલો ચલોને અલગ કરીએ."

ફોર્મનું સમીકરણ વિભાજિત ચલ સમીકરણ કહેવાય છે.

સમીકરણની બંને બાજુઓનું એકીકરણ દ્વારા x, અમને મળે છે G(y) = F(x) + Cસમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે, જ્યાં G(y)અને F(x)- કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ્સ, અનુક્રમે, કાર્યો અને f(x), સીમનસ્વી સતત.

અલગ કરી શકાય તેવા ચલો સાથે પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

ઉદાહરણ 1

સમીકરણ ઉકેલો y" = xy

ઉકેલ. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન y"તેની સાથે બદલો

ચાલો ચલોને અલગ કરીએ

ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ:

ઉદાહરણ 2

2yy" = 1- 3x 2, જો y 0 = 3ખાતે x 0 = 1

આ એક અલગ ચલ સમીકરણ છે. ચાલો તેને ભિન્નતામાં કલ્પના કરીએ. આ કરવા માટે, અમે આ સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ અહીંથી

છેલ્લી સમાનતાની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીને, આપણે શોધીએ છીએ

પ્રારંભિક મૂલ્યોની અવેજીમાં x 0 = 1, y 0 = 3અમે શોધીશું સાથે 9=1-1+સી, એટલે કે C = 9.

તેથી, જરૂરી આંશિક અભિન્ન હશે અથવા

ઉદાહરણ 3

બિંદુમાંથી પસાર થતા વળાંક માટે સમીકરણ લખો M(2;-3)અને કોણીય ગુણાંક સાથે સ્પર્શક ધરાવે છે

ઉકેલ. શરત મુજબ

આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. ચલોને વિભાજીત કરીને, આપણને મળે છે:

સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરવાથી, આપણને મળે છે:

પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરીને, x = 2અને y = - 3અમે શોધીશું સી:

તેથી, જરૂરી સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે

2.3. પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો

પ્રથમ ક્રમનું રેખીય વિભેદક સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે y" = f(x)y + g(x)

જ્યાં f(x)અને g(x)- કેટલાક સ્પષ્ટ કાર્યો.

જો g(x)=0પછી રેખીય વિભેદક સમીકરણને સજાતીય કહેવામાં આવે છે અને તેનું સ્વરૂપ છે: y" = f(x)y

જો પછી સમીકરણ y" = f(x)y + g(x)વિજાતીય કહેવાય છે.

રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ y" = f(x)yસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: જ્યાં સાથે- મનસ્વી સ્થિરાંક.

ખાસ કરીને, જો C = 0,પછી ઉકેલ છે y = 0જો રેખીય સજાતીય સમીકરણનું સ્વરૂપ હોય y" = kyજ્યાં kઅમુક સ્થિર છે, તો તેના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે: .

રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ y" = f(x)y + g(x)સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે ,

તે અનુરૂપ રેખીય સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલના સરવાળા અને આ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલના સરવાળા સમાન છે.

ફોર્મના રેખીય અસંગત સમીકરણ માટે y" = kx + b,

જ્યાં kઅને b- કેટલીક સંખ્યાઓ અને ચોક્કસ સોલ્યુશન એક સ્થિર કાર્ય હશે. તેથી, સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો y" + 2y +3 = 0

ઉકેલ. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ રજૂ કરીએ y" = -2y - 3જ્યાં k = -2, b= -3સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.

તેથી, જ્યાં C એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે.

2.4. બર્નૌલી પદ્ધતિ દ્વારા પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા

પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવો y" = f(x)y + g(x)અવેજીનો ઉપયોગ કરીને વિભાજિત ચલો સાથે બે વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવામાં ઘટાડો કરે છે y=uv, ક્યાં uઅને વિ- થી અજ્ઞાત કાર્યો x. આ ઉકેલ પદ્ધતિને બર્નૌલીની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ

y" = f(x)y + g(x)

1. અવેજી દાખલ કરો y=uv.

2. આ સમાનતાને અલગ કરો y" = u"v + uv"

3. અવેજી yઅને y"આ સમીકરણમાં: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)અથવા u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. સમીકરણની શરતોને જૂથબદ્ધ કરો જેથી કરીને uતેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢો:

5. કૌંસમાંથી, તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, કાર્ય શોધો

આ એક અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ છે:

ચાલો ચલોને વિભાજીત કરીએ અને મેળવીએ:

જ્યાં . .

6. પરિણામી મૂલ્યને અવેજી કરો વિસમીકરણમાં (પગલું 4 માંથી):

અને ફંક્શન શોધો આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે:

7. ફોર્મમાં સામાન્ય ઉકેલ લખો: , એટલે કે .

ઉદાહરણ 1

સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો y" = -2y +3 = 0જો y=1ખાતે x = 0

ઉકેલ. ચાલો તેને અવેજીનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ y=uv,.y" = u"v + uv"

અવેજીમાં yઅને y"આ સમીકરણમાં, આપણે મેળવીએ છીએ

સમીકરણની ડાબી બાજુએ બીજા અને ત્રીજા પદોને જૂથબદ્ધ કરીને, આપણે સામાન્ય અવયવ કાઢીએ છીએ u કૌંસની બહાર

અમે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ અને પરિણામી સમીકરણને હલ કર્યા પછી, આપણે કાર્ય શોધીએ છીએ v = v(x)

આપણને વિભાજિત ચલો સાથે સમીકરણ મળે છે. ચાલો આ સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ: કાર્ય શોધો વિ:

ચાલો પરિણામી મૂલ્યને બદલીએ વિસમીકરણમાં આપણે મેળવીએ છીએ:

આ એક અલગ ચલ સમીકરણ છે. ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ: ચાલો ફંક્શન શોધીએ u = u(x,c) ચાલો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ: ચાલો આપણે સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ જે પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે y = 1ખાતે x = 0:

III. ઉચ્ચ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો

3.1. મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ

સેકન્ડ-ઓર્ડર વિભેદક સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જેમાં બીજા ક્રમ કરતાં વધુ ન હોય તેવા ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને આ રીતે લખવામાં આવે છે: F(x,y,y",y") = 0

બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ એ ફોર્મનું કાર્ય છે, જેમાં બે મનસ્વી સ્થિરાંકોનો સમાવેશ થાય છે. સી 1અને સી 2.

બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ એ મનસ્વી સ્થિરાંકોના ચોક્કસ મૂલ્યો માટેના સામાન્ય ઉકેલમાંથી મેળવેલ ઉકેલ છે સી 1અને સી 2.

3.2. સાથે બીજા ક્રમના રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણો સતત ગુણાંક.

સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમનું રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણફોર્મનું સમીકરણ કહેવાય છે y" + py" +qy = 0, ક્યાં પીઅને q- સતત મૂલ્યો.

અચળ ગુણાંક સાથે સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

1. ફોર્મમાં વિભેદક સમીકરણ લખો: y" + py" +qy = 0.

2. તેના લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવો, સૂચિત કરો y"દ્વારા આર 2, y"દ્વારા આર, y 1 માં: r 2 + pr +q = 0

ચાલો આપણે તે કાર્યને યાદ કરીએ જે ચોક્કસ પૂર્ણાંકો શોધતી વખતે આપણને સામનો કરે છે:

અથવા dy = f(x)dx. તેણીનો ઉકેલ:

અને તે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવા માટે નીચે આવે છે. વ્યવહારમાં, વધુ જટિલ કાર્ય વધુ વખત આવે છે: કાર્ય શોધવું y, જો તે જાણીતું હોય કે તે ફોર્મના સંબંધને સંતોષે છે

આ સંબંધ સ્વતંત્ર ચલ સાથે સંબંધિત છે x, અજ્ઞાત કાર્ય yઅને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ ઓર્ડર સુધી nસમાવિષ્ટ, કહેવાય છે .

વિભેદક સમીકરણમાં એક અથવા બીજા ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ (અથવા વિભેદક) ની નિશાની હેઠળ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. સર્વોચ્ચ ક્રમને ઓર્ડર કહેવામાં આવે છે (9.1) .

વિભેદક સમીકરણો:

- પ્રથમ ઓર્ડર,

બીજો ક્રમ

- પાંચમો ક્રમ, વગેરે.

જે કાર્ય આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે તેને તેનું સોલ્યુશન કહેવામાં આવે છે , અથવા અભિન્ન . તેને ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા. જો જરૂરી કાર્ય માટે yએક સૂત્ર મેળવવામાં વ્યવસ્થાપિત છે જે તમામ ઉકેલો આપે છે, પછી અમે કહીએ છીએ કે અમને તેનો સામાન્ય ઉકેલ મળ્યો છે , અથવા સામાન્ય અભિન્ન .

સામાન્ય ઉકેલ સમાવે છે nમનસ્વી સ્થિરાંકો અને જેવો દેખાય છે

જો કોઈ સંબંધ પ્રાપ્ત થાય છે જે સંબંધ ધરાવે છે x, yઅને nમનસ્વી સ્થિરાંકો, એક સ્વરૂપમાં જેના સંદર્ભમાં મંજૂરી નથી y -

તો આવા સંબંધને સમીકરણનું સામાન્ય અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે (9.1).

કોચી સમસ્યા

દરેક ચોક્કસ સોલ્યુશન, એટલે કે, દરેક ચોક્કસ કાર્ય જે આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે અને મનસ્વી સ્થિરાંકો પર આધાર રાખતું નથી, તેને ચોક્કસ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. , અથવા આંશિક અભિન્ન. સામાન્ય ઉકેલોમાંથી ચોક્કસ ઉકેલો (અવિભાજ્ય) મેળવવા માટે, સ્થિરાંકોને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો આપવા જોઈએ.

ચોક્કસ સોલ્યુશનના ગ્રાફને અભિન્ન વળાંક કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય ઉકેલ, જેમાં તમામ આંશિક ઉકેલો હોય છે, તે અભિન્ન વણાંકોનું કુટુંબ છે. પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ માટે આ કુટુંબ સમીકરણ માટે, એક મનસ્વી સ્થિરાંક પર આધાર રાખે છે n-th ઓર્ડર - થી nમનસ્વી સ્થિરાંકો.

કોચી સમસ્યા એ સમીકરણ માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની છે n-મો ક્રમ, સંતોષકારક nપ્રારંભિક શરતો:

જેના દ્વારા n સ્થિરાંકો c 1, c 2,..., c n નક્કી થાય છે.

1 લી ક્રમના વિભેદક સમીકરણો

વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં વણઉકેલાયેલ 1લા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે, તેનું સ્વરૂપ છે

અથવા પ્રમાણમાં પરવાનગી માટે

ઉદાહરણ 3.46. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.એકીકરણ, અમને મળે છે

જ્યાં C એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે. જો આપણે C ને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સોંપીએ છીએ, તો આપણે ચોક્કસ ઉકેલો મેળવીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે,

ઉદાહરણ 3.47. 100 r ના ઉપાર્જનને આધીન બેંકમાં જમા થતી નાણાની વધતી જતી રકમને ધ્યાનમાં લો પ્રતિ વર્ષ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ. Yo ને નાણાંની પ્રારંભિક રકમ અને Yx - અંતે દો xવર્ષ વર્ષમાં એકવાર વ્યાજની ગણતરી કરવામાં આવે તો આપણને મળે છે

જ્યાં x = 0, 1, 2, 3,.... જ્યારે વ્યાજની વર્ષમાં બે વાર ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને મળે છે

જ્યાં x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... વ્યાજની ગણતરી કરતી વખતે nવર્ષમાં એકવાર અને જો xઅનુક્રમિક મૂલ્યો લે છે 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., પછી

1/n = h નિયુક્ત કરો, પછી અગાઉની સમાનતા આના જેવી દેખાશે:

અમર્યાદિત વિસ્તૃતીકરણ સાથે n(એટ ) મર્યાદામાં અમે સતત વ્યાજની ઉપાર્જન સાથે નાણાંની રકમ વધારવાની પ્રક્રિયામાં આવીએ છીએ:

આમ તે સ્પષ્ટ છે કે સતત પરિવર્તન સાથે xમની સપ્લાયમાં ફેરફારનો કાયદો 1લી ક્રમના વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યાં Y x અજ્ઞાત કાર્ય છે, x- સ્વતંત્ર ચલ, આર- સતત. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ, આ કરવા માટે આપણે તેને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીશું:

જ્યાં , અથવા , જ્યાં P એ E C નો અર્થ કરે છે.

પ્રારંભિક સ્થિતિઓમાંથી Y(0) = Yo, અમે P: Yo = Pe o, જ્યાંથી, Yo = P શોધીએ છીએ. તેથી, ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

ચાલો બીજી આર્થિક સમસ્યાનો વિચાર કરીએ. મેક્રોઇકોનોમિક મોડલ્સનું વર્ણન 1લી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો દ્વારા પણ કરવામાં આવે છે, જે આવક અથવા આઉટપુટ Y માં ફેરફારોને સમયના કાર્યો તરીકે વર્ણવે છે.

ઉદાહરણ 3.48. રાષ્ટ્રીય આવક Y ને તેના મૂલ્યના પ્રમાણસર દરે વધવા દો:

અને સરકારી ખર્ચ ખાધને પ્રમાણસરતા ગુણાંક સાથે આવક Y ના સીધા પ્રમાણસર થવા દો q. ખર્ચની ખાધ રાષ્ટ્રીય દેવુંમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે D:

પ્રારંભિક સ્થિતિ Y = Yo અને D = do at t = 0. પ્રથમ સમીકરણ Y= Yoe kt થી. Y ને બદલીને આપણને dD/dt = qYoe kt મળે છે. સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
D = (q/ k) Yoe kt +С, જ્યાં С = const, જે પ્રારંભિક સ્થિતિઓ પરથી નક્કી થાય છે. પ્રારંભિક શરતોને બદલે, આપણને Do = (q/k)Yo + C મળે છે. તેથી, અંતે,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

આ દર્શાવે છે કે રાષ્ટ્રીય દેવું સમાન સંબંધિત દરે વધી રહ્યું છે k, રાષ્ટ્રીય આવક સમાન.

ચાલો સૌથી સરળ વિભેદક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ nક્રમ, આ ફોર્મના સમીકરણો છે

તેનો સામાન્ય ઉકેલ ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે nવખત એકીકરણ.

ઉદાહરણ 3.49.ઉદાહરણ y """ = cos x ધ્યાનમાં લો.

ઉકેલ.સંકલન, અમે શોધી

સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

રેખીય વિભેદક સમીકરણો

તેઓ અર્થશાસ્ત્રમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે; જો (9.1) પાસે ફોર્મ છે:

પછી તેને રેખીય કહેવામાં આવે છે, જ્યાં рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) ફંક્શન આપવામાં આવે છે. જો f(x) = 0 હોય, તો (9.2) સજાતીય કહેવાય, અન્યથા તેને અસંગત કહેવાય. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (9.2) તેના કોઈપણ ચોક્કસ ઉકેલોના સરવાળા જેટલો છે y(x)અને તેને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ:

જો ગુણાંક р o (x), р 1 (x),..., р n (x) સ્થિર હોય, તો (9.2)

(9.4) ક્રમના સતત ગુણાંક સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે n .

માટે (9.4) ફોર્મ ધરાવે છે:

સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે p o = 1 સેટ કરી શકીએ છીએ અને ફોર્મમાં (9.5) લખી શકીએ છીએ

આપણે y = e kx સ્વરૂપમાં ઉકેલ (9.6) શોધીશું, જ્યાં k એ સ્થિરાંક છે. અમારી પાસે છે: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. પરિણામી સમીકરણોને (9.6) માં બદલીને, આપણી પાસે હશે:

(9.7) એ બીજગણિતીય સમીકરણ છે, તેનું અજ્ઞાત છે k, તેને લાક્ષણિકતા કહેવામાં આવે છે. લાક્ષણિક સમીકરણ ડિગ્રી ધરાવે છે nઅને nમૂળ, જેમાં બહુવિધ અને જટિલ બંને હોઈ શકે છે. k 1, k 2,..., k n ને વાસ્તવિક અને અલગ થવા દો - વિશિષ્ટ ઉકેલો (9.7), અને સામાન્ય

સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

તેનું લાક્ષણિક સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

(9.9)

તેના ભેદભાવ D = p 2 - 4q, D ની નિશાનીના આધારે, ત્રણ કેસ શક્ય છે.

1. જો D>0, તો મૂળ k 1 અને k 2 (9.9) વાસ્તવિક અને અલગ છે, અને સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

ઉકેલ.લાક્ષણિક સમીકરણ: k 2 + 9 = 0, જ્યાંથી k = ± 3i, a = 0, b = 3, સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

માલસામાનની ઈન્વેન્ટરી સાથે વેબ-ટાઈપ ઈકોનોમિક મોડલનો અભ્યાસ કરતી વખતે 2જી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જ્યાં કિંમત P માં ફેરફારનો દર ઈન્વેન્ટરીના કદ પર આધાર રાખે છે (ફકરો 10 જુઓ). જો પુરવઠો અને માંગ કિંમતના રેખીય કાર્યો છે, તો તે છે

a એ એક સ્થિરાંક છે જે પ્રતિક્રિયા દર નક્કી કરે છે, પછી ભાવ પરિવર્તનની પ્રક્રિયા વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

ચોક્કસ ઉકેલ માટે આપણે સતત લઈ શકીએ છીએ

અર્થપૂર્ણ સંતુલન કિંમત. વિચલન સજાતીય સમીકરણને સંતોષે છે

(9.10)

લાક્ષણિક સમીકરણ નીચે મુજબ હશે:

જો શબ્દ હકારાત્મક છે. ચાલો સૂચિત કરીએ . લાક્ષણિક સમીકરણ k 1,2 = ± i w ના મૂળ, તેથી સામાન્ય ઉકેલ (9.10) નું સ્વરૂપ છે:

જ્યાં C અને મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, તેઓ પ્રારંભિક સ્થિતિઓથી નક્કી થાય છે. અમે સમય સાથે કિંમતમાં ફેરફારનો કાયદો મેળવ્યો:

તમારું વિભેદક સમીકરણ દાખલ કરો, એપોસ્ટ્રોઆ "" નો ઉપયોગ વ્યુત્પન્ન દાખલ કરવા માટે થાય છે, ઉકેલ મેળવવા સબમિટ દબાવો

શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલારુસિયન રાજ્ય

કૃષિ એકેડમી"

ઉચ્ચ ગણિત વિભાગ

પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો

એકાઉન્ટિંગ વિદ્યાર્થીઓ માટે વ્યાખ્યાન નોંધો

શિક્ષણનું પત્રવ્યવહાર સ્વરૂપ (NISPO)

ગોર્કી, 2013

પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો

વિભેદક સમીકરણનો ખ્યાલ. સામાન્ય અને વિશિષ્ટ ઉકેલો

વિવિધ ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સ્વતંત્ર ચલ અને ઇચ્છિત કાર્યને સીધો જોડતો કાયદો શોધવો ઘણીવાર શક્ય નથી, પરંતુ ઇચ્છિત કાર્ય અને તેના ડેરિવેટિવ્સ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવું શક્ય છે.

સ્વતંત્ર ચલ, ઇચ્છિત કાર્ય અને તેના ડેરિવેટિવ્સને જોડતો સંબંધ કહેવાય છે વિભેદક સમીકરણ :

અહીં x- સ્વતંત્ર ચલ, y- જરૂરી કાર્ય,
- ઇચ્છિત કાર્યના ડેરિવેટિવ્ઝ. આ કિસ્સામાં, સંબંધ (1) માં ઓછામાં ઓછું એક વ્યુત્પન્ન હોવું આવશ્યક છે.

વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ કહેવાય છે.

વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો

. (2)

આ સમીકરણમાં માત્ર પ્રથમ ક્રમના વ્યુત્પન્નનો સમાવેશ થતો હોવાથી, તેને કહેવામાં આવે છે પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ છે.

જો સમીકરણ (2) વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય અને ફોર્મમાં લખવામાં આવે

, (3)

પછી આવા સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

ઘણા કિસ્સાઓમાં ફોર્મના સમીકરણને ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે

જે કહેવાય છે વિભેદક સ્વરૂપમાં લખાયેલ પ્રથમ ઓર્ડર વિભેદક સમીકરણ.

કારણ કે
, પછી સમીકરણ (3) ફોર્મમાં લખી શકાય છે
અથવા
, જ્યાં આપણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ
અને
. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ (3) સમીકરણ (4) માં રૂપાંતરિત થાય છે.

ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ (4) લખીએ
. પછી
,
,
, જ્યાં આપણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ
, એટલે કે ફોર્મ (3) નું સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે. આમ, સમીકરણો (3) અને (4) સમકક્ષ છે.

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું (2) અથવા (3) કોઈપણ કાર્ય કહેવાય છે
, જે, જ્યારે તેને સમીકરણ (2) અથવા (3) માં બદલીને, તેને ઓળખમાં ફેરવે છે:

અથવા
.

વિભેદક સમીકરણના તમામ ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયાને તેનું કહેવામાં આવે છે એકીકરણ , અને ઉકેલ ગ્રાફ
વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે અભિન્ન વળાંક આ સમીકરણ.

જો વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ ગર્ભિત સ્વરૂપમાં મેળવવામાં આવે
, પછી તેને કહેવામાં આવે છે અભિન્ન આ વિભેદક સમીકરણ.

સામાન્ય ઉકેલ પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણ એ ફોર્મના કાર્યોનું કુટુંબ છે
, મનસ્વી સ્થિરાંક પર આધાર રાખીને સાથે, જેમાંથી પ્રત્યેક મનસ્વી સ્થિરાંકના કોઈપણ સ્વીકાર્ય મૂલ્ય માટે આપેલ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે સાથે. આમ, વિભેદક સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

ખાનગી નિર્ણય વિભેદક સમીકરણ એ મનસ્વી સ્થિરાંકના ચોક્કસ મૂલ્ય માટે સામાન્ય ઉકેલ સૂત્રમાંથી મેળવેલ ઉકેલ છે સાથે, સહિત
.

કોચી સમસ્યા અને તેનું ભૌમિતિક અર્થઘટન

સમીકરણ (2) પાસે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે. આ સેટમાંથી એક ઉકેલ પસંદ કરવા માટે, જેને ખાનગી કહેવામાં આવે છે, તમારે કેટલીક વધારાની શરતો સેટ કરવાની જરૂર છે.

આપેલ પરિસ્થિતિઓમાં સમીકરણ (2) નો ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની સમસ્યા કહેવામાં આવે છે કોચી સમસ્યા . વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં આ સમસ્યા સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે.

કોચી સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે: સમીકરણના તમામ ઉકેલોમાંથી (2) આવો ઉકેલ શોધો
, જેમાં કાર્ય
આપેલ આંકડાકીય મૂલ્ય લે છે , જો સ્વતંત્ર ચલ x આપેલ આંકડાકીય મૂલ્ય લે છે , એટલે કે

,
, (5)

જ્યાં ડી- કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન
.

અર્થ કહેવાય છે કાર્યનું પ્રારંભિક મૂલ્ય , એ – સ્વતંત્ર ચલનું પ્રારંભિક મૂલ્ય . શરત (5) કહેવાય છે પ્રારંભિક સ્થિતિ અથવા કોચી સ્થિતિ .

ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી, વિભેદક સમીકરણ (2) માટે કોચી સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: સમીકરણ (2) ના અભિન્ન વણાંકોના સમૂહમાંથી, આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતો એક પસંદ કરો
.

વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો

વિભેદક સમીકરણોના સૌથી સરળ પ્રકારોમાંનું એક એ પ્રથમ-ક્રમનું વિભેદક સમીકરણ છે જેમાં ઇચ્છિત કાર્ય શામેલ નથી:

. (6)

તે ધ્યાનમાં લેતા
, આપણે ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ છીએ
અથવા
. છેલ્લા સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરવાથી, આપણને મળે છે:
અથવા

. (7)

આમ, (7) એ સમીકરણ (6) નો સામાન્ય ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ 1 . વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો
.

ઉકેલ . ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ
અથવા
. ચાલો પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ:
,
. અમે તેને છેલ્લે લખીશું
.

ઉદાહરણ 2 . સમીકરણનો ઉકેલ શોધો
આપેલ છે
.

ઉકેલ . ચાલો સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ:
,
,
,
. શરતે
,
. ચાલો સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ:
અથવા
. અમે સામાન્ય ઉકેલ માટેના સૂત્રમાં મનસ્વી સ્થિરાંકના મળેલા મૂલ્યને બદલીએ છીએ:
. આ વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ છે જે આપેલ સ્થિતિને સંતોષે છે.

સમીકરણ

(8)

કહેવાય છે પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ કે જેમાં સ્વતંત્ર ચલ નથી . ચાલો તેને ફોર્મમાં લખીએ
અથવા
. ચાલો છેલ્લા સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ:
અથવા
- સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (8).

ઉદાહરણ . સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો
.

ઉકેલ . ચાલો આ સમીકરણને ફોર્મમાં લખીએ:
અથવા
. પછી
,
,
,
. આમ,
આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે.

ફોર્મનું સમીકરણ

(9)

ચલોના વિભાજનનો ઉપયોગ કરીને એકીકરણ કરે છે. આ કરવા માટે, અમે ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ છીએ
, અને પછી ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને અમે તેને એવા સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ કે એક ભાગમાં માત્ર એક્સઅને વિભેદક ડીએક્સ, અને બીજા ભાગમાં - નું કાર્ય ખાતેઅને વિભેદક dy. આ કરવા માટે, સમીકરણની બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે ડીએક્સઅને દ્વારા વિભાજીત કરો
. પરિણામે, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

, (10)

જેમાં ચલ એક્સઅને ખાતેઅલગ ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ (10):
. પરિણામી સંબંધ એ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે (9).

ઉદાહરણ 3 . એકીકૃત સમીકરણ
.

ઉકેલ . ચાલો સમીકરણને રૂપાંતરિત કરીએ અને ચલોને અલગ કરીએ:
,
. ચાલો એકીકૃત કરીએ:
,
અથવા આ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે.
.

સમીકરણ ફોર્મમાં આપવા દો

આ સમીકરણ કહેવાય છે વિભાજિત ચલો સાથે પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ સપ્રમાણ સ્વરૂપમાં.

ચલોને અલગ કરવા માટે, તમારે સમીકરણની બંને બાજુઓ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે
:

. (12)

પરિણામી સમીકરણ કહેવામાં આવે છે વિભાજિત વિભેદક સમીકરણ . ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ (12):

.(13)

સંબંધ (13) એ વિભેદક સમીકરણ (11) નું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે.

ઉદાહરણ 4 . વિભેદક સમીકરણને એકીકૃત કરો.

ઉકેલ . ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ

અને બંને ભાગોને વડે વિભાજીત કરો
,
. પરિણામી સમીકરણ:
એક અલગ ચલ સમીકરણ છે. ચાલો તેને એકીકૃત કરીએ:

,
,

,
. છેલ્લી સમાનતા એ આ વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે.

ઉદાહરણ 5 . વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો
, સ્થિતિ સંતોષે છે
.

ઉકેલ . તે ધ્યાનમાં લેતા
, આપણે ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ છીએ
અથવા
. ચાલો ચલોને અલગ કરીએ:
. ચાલો આ સમીકરણને એકીકૃત કરીએ:
,
,
. પરિણામી સંબંધ આ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે. શરતે
. ચાલો તેને સામાન્ય અવિભાજ્યમાં બદલીએ અને શોધીએ સાથે:
,સાથે=1. પછી અભિવ્યક્તિ
આપેલ વિભેદક સમીકરણનો આંશિક ઉકેલ છે, જે આંશિક અભિન્ન તરીકે લખાયેલ છે.

પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો

સમીકરણ

(14)

કહેવાય છે પ્રથમ ક્રમનું રેખીય વિભેદક સમીકરણ . અજ્ઞાત કાર્ય
અને તેના વ્યુત્પન્ન આ સમીકરણમાં રેખીય રીતે દાખલ થાય છે, અને કાર્યો
અને
સતત

જો
, પછી સમીકરણ

(15)

કહેવાય છે રેખીય સજાતીય . જો
, પછી સમીકરણ (14) કહેવાય છે રેખીય અસંગત .

સમીકરણ (14) નો ઉકેલ શોધવા માટે એક સામાન્ય રીતે ઉપયોગ કરે છે અવેજી પદ્ધતિ (બર્નોલી) , જેનો સાર નીચે મુજબ છે.

આપણે સમીકરણ (14) ના ઉકેલ માટે બે કાર્યોના ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં જોઈશું

, (16)

જ્યાં
અને
- કેટલાક સતત કાર્યો. ચાલો અવેજી કરીએ
અને વ્યુત્પન્ન
સમીકરણમાં (14):

કાર્ય વિઅમે એવી રીતે પસંદ કરીશું કે શરત સંતોષાય
.
પછી

. આમ, સમીકરણ (14) નો ઉકેલ શોધવા માટે, વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી જરૂરી છે.
,
,
,
,
સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ એ રેખીય સજાતીય સમીકરણ છે અને ચલોને અલગ કરવાની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે:
. કાર્ય તરીકે સાથે=1:
તમે સજાતીય સમીકરણના આંશિક ઉકેલોમાંથી એક લઈ શકો છો, એટલે કે. ખાતે
અથવા
. ચાલો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલીએ:
.પછી
.

. આમ, પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે ઉદાહરણ 6
.

ઉકેલ . સમીકરણ ઉકેલો
. પછી
. અમે ફોર્મમાં સમીકરણનો ઉકેલ શોધીશું

અથવા
. ચાલો સમીકરણમાં બદલીએ: વિ. કાર્ય
. પછી
સમાનતા ધરાવે છે તે રીતે પસંદ કરો
,
,
,
,. ચાલો સમીકરણમાં બદલીએ: વિ. ચાલો ચલોના વિભાજનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણોમાંથી પ્રથમ હલ કરીએ:
,
,
,
ચાલો બીજા સમીકરણમાં બદલીએ:
.

. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે

જ્ઞાનના સ્વ-નિયંત્રણ માટેના પ્રશ્નો

વિભેદક સમીકરણ શું છે?

વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ શું છે?

કયા વિભેદક સમીકરણને પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે?

પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણને વિભેદક સ્વરૂપમાં કેવી રીતે લખવામાં આવે છે?

વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શું છે?

અભિન્ન વળાંક શું છે?

પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શું છે?

વિભેદક સમીકરણના આંશિક ઉકેલને શું કહેવામાં આવે છે?

પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યા કેવી રીતે ઘડવામાં આવે છે?

કોચી સમસ્યાનું ભૌમિતિક અર્થઘટન શું છે?

સપ્રમાણ સ્વરૂપમાં વિભાજિત ચલ સાથે વિભેદક સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

કયા સમીકરણને પ્રથમ ક્રમ રેખીય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે?

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે સોંપણીઓ

વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો ઉકેલો:

એ)
;
;

b)
વી)
.

;

એ)
;
જી)
;

2. પ્રથમ ક્રમ રેખીય વિભેદક સમીકરણો ઉકેલો:
;
.

વી)

જી)

;ડી) 6.1. મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ

ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન અને દવામાં વિવિધ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, ઘણી વાર અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરતા ચલોને જોડતા સૂત્રના સ્વરૂપમાં કાર્યાત્મક સંબંધ સ્થાપિત કરવાનું શક્ય નથી. સામાન્ય રીતે તમારે એવા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવો પડશે જેમાં સ્વતંત્ર ચલ અને અજ્ઞાત કાર્ય ઉપરાંત તેના ડેરિવેટિવ્ઝ પણ હોય. y(x)વ્યાખ્યા. સ્વતંત્ર ચલ, અજ્ઞાત કાર્ય અને તેના વિવિધ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્સને જોડતા સમીકરણને કહેવામાં આવે છે.વિભેદક y", y"અજ્ઞાત કાર્ય સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે

અથવા માત્ર y y, અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ -વગેરે અન્ય હોદ્દો પણ શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે: જો= x(t), પછી

; x"(t), x""(t) - તેના ડેરિવેટિવ્ઝ, અને

અથવા

t - સ્વતંત્ર ચલ.અને જો કાર્ય એક ચલ પર આધાર રાખે છે, તો વિભેદક સમીકરણને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય દૃશ્યસામાન્ય વિભેદક સમીકરણ:

;વિભેદક સમીકરણનો ક્રમકાર્યો

એફ f- yકેટલીક દલીલો સમાવી શકાતી નથી, પરંતુ સમીકરણો વિભેદક હોવા માટે, વ્યુત્પન્નની હાજરી આવશ્યક છે. xતેમાં સમાવિષ્ટ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ કહેવાય છે. y"+ 2 y"+ 5 y= xઉદાહરણ તરીકે,

x 2 y" n= 0, y" + sin n= 0 એ પ્રથમ ક્રમના સમીકરણો છે, અને

- બીજા ક્રમનું સમીકરણ.

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, એકીકરણ કામગીરીનો ઉપયોગ થાય છે, જે મનસ્વી સ્થિરાંકના દેખાવ સાથે સંકળાયેલ છે. જો એકીકરણ ક્રિયા લાગુ કરવામાં આવે છે વખત, પછી, દેખીતી રીતે, ઉકેલ સમાવશેમનસ્વી સ્થિરાંકો.

6.2. પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો xઅને સ્વતંત્ર ચલ, અજ્ઞાત કાર્ય અને તેના વિવિધ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્સને જોડતા સમીકરણને કહેવામાં આવે છે.સામાન્ય દૃશ્ય

પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ

અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

;સમીકરણ સ્પષ્ટ રીતે સમાવી શકતું નથી , ક્યાં સાથેપરંતુ આવશ્યકપણે y સમાવે છે".

જો સમીકરણ તરીકે લખી શકાય પછી અમે વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ પ્રથમ-ક્રમ વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણ (6.3) (અથવા (6.4 ટકા) નો સામાન્ય ઉકેલ એ ઉકેલોનો સમૂહ છે સાથે- મનસ્વી સતત. વિભેદક સમીકરણના ઉકેલના ગ્રાફને કહેવામાં આવે છેઅભિન્ન વળાંક.

મનસ્વી સતત આપવો વિવિધ મૂલ્યો, આંશિક ઉકેલો મેળવી શકાય છે. પ્લેનમાં xOy કોઈ એક કરી શકે છે - એક ખાનગી ઉકેલ.

;ખાનગી નિર્ણયવિભેદક સમીકરણ એ તેનો ઉકેલ છે જેમાં મનસ્વી સ્થિરાંકો નથી.

જો એક સામાન્ય ઉકેલ છે, પછી સ્થિતિથી

તમે સતત શોધી શકો છો સાથે.શરત કહેવાય છે પ્રારંભિક સ્થિતિ.

પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા વિભેદક સમીકરણ (6.3) અથવા (6.4) માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની સમસ્યા ખાતે કહેવાય છે કોચી સમસ્યા.શું આ સમસ્યાનો હંમેશા ઉકેલ હોય છે? જવાબ નીચેના પ્રમેયમાં સમાયેલ છે.

કોચીનું પ્રમેય(અસ્તિત્વનો પ્રમેય અને ઉકેલની વિશિષ્ટતા). વિભેદક સમીકરણમાં ચાલો y"= f(x,y)કાર્ય f(x,y)અને તેણી

આંશિક વ્યુત્પન્ન કેટલાકમાં વ્યાખ્યાયિત અને સતત

પ્રદેશ ડી,એક બિંદુ ધરાવે છે પછી વિસ્તારમાં ડીઅસ્તિત્વમાં છે

સમીકરણનો એકમાત્ર ઉકેલ જે પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે ખાતે

કોચીનું પ્રમેય જણાવે છે કે અમુક પરિસ્થિતિઓમાં એક અનન્ય અભિન્ન વળાંક હોય છે y= f(x),એક બિંદુમાંથી પસાર થવું બિંદુઓ કે જેના પર પ્રમેયની શરતો પૂરી થતી નથી

કૌચીસ કહેવાય છે ખાસઆ બિંદુઓ પર તે તૂટી જાય છે જો કાર્ય એક ચલ પર આધાર રાખે છે, તો વિભેદક સમીકરણને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય દૃશ્ય(x, y) અથવા.

કાં તો ઘણા અભિન્ન વણાંકો અથવા એક પણ એકવચન બિંદુમાંથી પસાર થતા નથી.

;જો સોલ્યુશન (6.3), (6.4) ફોર્મમાં જોવા મળે છે જો કાર્ય એક ચલ પર આધાર રાખે છે, તો વિભેદક સમીકરણને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય દૃશ્ય(x, y, સી)= 0, y ની સાપેક્ષ મંજૂરી નથી, તો તેને કહેવામાં આવે છે સામાન્ય અભિન્નવિભેદક સમીકરણ.

કોચીની પ્રમેય માત્ર ખાતરી આપે છે કે ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે. ઉકેલ શોધવા માટે કોઈ એક પદ્ધતિ ન હોવાથી, અમે ફક્ત અમુક પ્રકારનાં પ્રથમ-ક્રમના વિભેદક સમીકરણો પર વિચાર કરીશું કે જેને સંકલિત કરી શકાય ચતુર્થાંશ

;વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે ચતુર્થાંશમાં એકીકૃત,જો તેનો ઉકેલ શોધવાનું કાર્ય સંકલિત કરવા માટે નીચે આવે છે.

6.2.1. વિભાજિત ચલો સાથે પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો

;પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણને સાથે સમીકરણ કહેવામાં આવે છે અલગ કરી શકાય તેવા ચલ,

સમીકરણની જમણી બાજુ (6.5) એ બે કાર્યોનું ઉત્પાદન છે, જેમાંથી દરેક માત્ર એક ચલ પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ વિભાજન સાથેનું સમીકરણ છે

ચલો સાથે
અને સમીકરણ

ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાતું નથી (6.5).

તે ધ્યાનમાં લેતા , અમે ફોર્મમાં (6.5) ફરીથી લખીએ છીએ

આ સમીકરણમાંથી આપણે વિભાજિત ચલો સાથેનું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેમાં વિભેદક એવા કાર્યો છે જે ફક્ત સંબંધિત ચલ પર આધાર રાખે છે:

ટર્મ દ્વારા ટર્મને એકીકૃત કરવું, અમારી પાસે છે

જ્યાં C = C 2 - C 1 - મનસ્વી સ્થિરાંક. અભિવ્યક્તિ (6.6) એ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે (6.5).

સમીકરણની બંને બાજુઓ (6.5) દ્વારા વિભાજીત કરીને, આપણે તે ઉકેલો ગુમાવી શકીએ છીએ જેના માટે, ખરેખર, જો ખાતે

તે દેખીતી રીતે સમીકરણનો ઉકેલ છે (6.5).

ઉદાહરણ 1.જે સમીકરણ સંતોષે છે તેનો ઉકેલ શોધો

શરત: y= 6 વાગ્યે x= 2 (વાય(2) = 6).

ઉકેલ.અમે બદલીશું y"પછી . બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો

ડીએક્સ,કારણ કે વધુ એકીકરણ દરમિયાન તે છોડવું અશક્ય છે ડીએક્સછેદમાં:

અને પછી બંને ભાગોમાં વિભાજન આપણને સમીકરણ મળે છે,

જે સંકલિત કરી શકાય છે. ચાલો એકીકૃત કરીએ:

પછી ; પોટેન્શિએટિંગ, આપણને y = C મળે છે. (x + 1) - ob-

સામાન્ય ઉકેલ.

પ્રારંભિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે એક મનસ્વી સ્થિરાંક નક્કી કરીએ છીએ, તેમને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીને

આખરે આપણને મળે છે y= 2(x + 1) એ ચોક્કસ ઉકેલ છે. ચાલો વિભાજિત ચલો સાથે સમીકરણો ઉકેલવાના થોડા વધુ ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.તે ધ્યાનમાં લેતા , અમને મળે છે .

સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીને, આપણી પાસે છે

જ્યાં

ઉદાહરણ 3.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો ઉકેલ.અમે સમીકરણની બંને બાજુઓને તે પરિબળોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ જે ચલ પર આધાર રાખે છે જે વિભેદક ચિન્હ હેઠળના ચલ સાથે સુસંગત નથી, એટલે કે. અને એકીકૃત. પછી આપણને મળે છે

અને છેલ્લે

ઉદાહરણ 4.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.આપણને શું મળશે તે જાણીને. વિભાગ

લિમ ચલો. પછી

એકીકરણ, અમને મળે છે

ટિપ્પણી.ઉદાહરણો 1 અને 2 માં, જરૂરી કાર્ય છે yસ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત (સામાન્ય ઉકેલ). ઉદાહરણો 3 અને 4 માં - ગર્ભિત (સામાન્ય અભિન્ન). ભવિષ્યમાં, નિર્ણયનું સ્વરૂપ સ્પષ્ટ કરવામાં આવશે નહીં.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો ઉકેલ.

ઉદાહરણ 6.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો , સંતોષકારક

સ્થિતિ y(e)= 1.

ઉકેલ.ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ

દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર ડીએક્સઅને પર, અમે મેળવીએ છીએ

સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરવાથી (જમણી બાજુનો અભિન્ન ભાગ ભાગો દ્વારા લેવામાં આવે છે), અમે મેળવીએ છીએ

પણ શરત મુજબ y= 1 ખાતે x= ઇ. પછી

ચાલો મળેલ મૂલ્યોને બદલીએ સાથેસામાન્ય ઉકેલ માટે:

પરિણામી અભિવ્યક્તિને વિભેદક સમીકરણનો આંશિક ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.

6.2.2. પ્રથમ ક્રમના સજાતીય વિભેદક સમીકરણો

;પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે સજાતીય,જો તે ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય

ચાલો સજાતીય સમીકરણ ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ રજૂ કરીએ.

1. તેના બદલે yચાલો એક નવું ફંક્શન રજૂ કરીએ અને તેથી

2.કાર્યની દ્રષ્ટિએ uસમીકરણ (6.7) સ્વરૂપ લે છે

એટલે કે, રિપ્લેસમેન્ટ એકસમાન સમીકરણને વિભાજિત ચલ સાથેના સમીકરણમાં ઘટાડે છે.

3. સમીકરણ ઉકેલવું (6.8), આપણે પહેલા u અને પછી શોધીએ છીએ y= ux.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો ઉકેલ.ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ

અમે અવેજી બનાવીએ છીએ:
પછી

અમે બદલીશું

dx વડે ગુણાકાર કરો: દ્વારા વિભાજીત કરો xઅને ચાલુ પછી

અનુરૂપ ચલો પર સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કર્યા પછી, અમારી પાસે છે

અથવા, જૂના ચલો પર પાછા ફરવાથી, આપણને છેવટે મળે છે

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો ઉકેલ.દો પછી

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરીએ x2: ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને શરતોને ફરીથી ગોઠવીએ:

જૂના ચલો પર આગળ વધીને, અમે અંતિમ પરિણામ પર પહોંચીએ છીએ:

ઉદાહરણ 3.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો આપેલ છે

ઉકેલ.પ્રમાણભૂત રિપ્લેસમેન્ટ કરવું અમે મેળવીએ છીએ

અથવા

આનો અર્થ એ છે કે ચોક્કસ સોલ્યુશનનું સ્વરૂપ છે ઉદાહરણ 4.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો ઉકેલ.

સ્વતંત્ર કાર્ય

વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો શોધો (1-9).

સજાતીય વિભેદક સમીકરણોનો ઉકેલ શોધો (9-18).

6.2.3. પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણોની કેટલીક એપ્લિકેશનો

કિરણોત્સર્ગી સડો સમસ્યા

સમયની દરેક ક્ષણે Ra (રેડિયમ) ના સડોનો દર તેના ઉપલબ્ધ સમૂહના પ્રમાણસર છે. Ra ના કિરણોત્સર્ગી સડોનો નિયમ શોધો જો તે જાણીતું હોય કે પ્રારંભિક ક્ષણે Ra હતો અને Ra નું અર્ધ જીવન 1590 વર્ષ છે.

ઉકેલ.ત્વરિત દળ Ra થવા દો x= x(t) g, અને પછી સડો દર રા બરાબર છે

સમસ્યાની શરતો અનુસાર

જ્યાં k

છેલ્લા સમીકરણમાં ચલોને અલગ કરીને અને એકીકરણ કરવાથી, આપણને મળે છે

જ્યાં

નક્કી કરવા માટે સીઅમે પ્રારંભિક સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ક્યારે .

પછી અને તેથી,

પ્રમાણસરતા પરિબળ kવધારાની સ્થિતિથી નિર્ધારિત:

અમારી પાસે છે

અહીંથી અને જરૂરી સૂત્ર

બેક્ટેરિયલ પ્રજનન દરની સમસ્યા

બેક્ટેરિયાના પ્રજનનનો દર તેમની સંખ્યાના પ્રમાણસર છે. શરૂઆતમાં 100 બેક્ટેરિયા હતા. 3 કલાકમાં તેમની સંખ્યા બમણી થઈ ગઈ. સમયસર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાની અવલંબન શોધો. 9 કલાકમાં બેક્ટેરિયાની સંખ્યા કેટલી વાર વધશે?

ઉકેલ.દો x- એક સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા t.પછી, શરત મુજબ,

જ્યાં k- પ્રમાણસરતા ગુણાંક.

અહીંથી સ્થિતિ પરથી જાણવા મળે છે કે . અર્થ,

વધારાની શરતમાંથી . પછી

તમે શોધી રહ્યાં છો તે કાર્ય:

તેથી, જ્યારે અન્ય હોદ્દો પણ શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે: જો= 9 x= 800, એટલે કે 9 કલાકની અંદર બેક્ટેરિયાની સંખ્યામાં 8 ગણો વધારો થયો.

એન્ઝાઇમની માત્રામાં વધારો થવાની સમસ્યા

બ્રુઅરની યીસ્ટ કલ્ચરમાં, સક્રિય એન્ઝાઇમની વૃદ્ધિનો દર તેની પ્રારંભિક રકમના પ્રમાણસર હોય છે. xએન્ઝાઇમની પ્રારંભિક માત્રા aએક કલાકમાં બમણું થઈ ગયું. નિર્ભરતા શોધો

x(t).

ઉકેલ.શરત દ્વારા, પ્રક્રિયાના વિભેદક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

અહીંથી

પણ . અર્થ, સી= aઅને પછી

તેવું પણ જાણવા મળે છે

આથી,

6.3. સેકન્ડ ઓર્ડર વિભેદક સમીકરણો

6.3.1. મૂળભૂત ખ્યાલો

;બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણસ્વતંત્ર ચલ, ઇચ્છિત કાર્ય અને તેના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સને જોડતો સંબંધ કહેવાય છે.

ખાસ કિસ્સાઓમાં, સમીકરણમાંથી x ગુમ થઈ શકે છે, ખાતેઅથવા y." જો કે, બીજા ક્રમના સમીકરણમાં આવશ્યકપણે y હોવું આવશ્યક છે." સામાન્ય કિસ્સામાં, બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને આ રીતે લખવામાં આવે છે:

અથવા, જો શક્ય હોય તો, બીજા ડેરિવેટિવના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલા ફોર્મમાં:

પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણના કિસ્સામાં, બીજા-ક્રમના સમીકરણ માટે સામાન્ય અને ચોક્કસ ઉકેલો હોઈ શકે છે. સામાન્ય ઉકેલ છે:

ચોક્કસ ઉકેલ શોધવી

પ્રારંભિક શરતો હેઠળ - આપવામાં આવે છે

નંબરો) કહેવાય છે કોચી સમસ્યા.ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે આપણે અભિન્ન વળાંક શોધવાની જરૂર છે ખાતે= y(x),આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થવું અને આ બિંદુએ સ્પર્શક ધરાવે છે જે છે