અસમાનતાઓનું સરળીકરણ. અંતરાલ પદ્ધતિ: સરળ કડક અસમાનતાઓને હલ કરવી

પ્રથમ, અંતરાલ પદ્ધતિ હલ કરે છે તે સમસ્યાની અનુભૂતિ મેળવવા માટે થોડા ગીતો. ચાલો કહીએ કે આપણે નીચેની અસમાનતાને હલ કરવાની જરૂર છે:

(x − 5)(x + 3) > 0

વિકલ્પો શું છે? મોટા ભાગના વિદ્યાર્થીઓ માટે ધ્યાનમાં આવતી પ્રથમ વસ્તુ એ નિયમો છે "વત્તા પર વત્તા આપે છે વત્તા" અને "માઈનસ પર માઈનસ પ્લસ આપે છે." તેથી, જ્યારે બંને કૌંસ હકારાત્મક હોય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે: x − 5 > 0 અને x + 3 > 0. પછી જ્યારે બંને કૌંસ નકારાત્મક હોય ત્યારે આપણે કેસને પણ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

વધુ અદ્યતન વિદ્યાર્થીઓ (કદાચ) યાદ રાખશે કે ડાબી બાજુએ એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે જેનો આલેખ પેરાબોલા છે. વધુમાં, આ પેરાબોલા OX અક્ષને x = 5 અને x = −3 બિંદુઓ પર છેદે છે. વધુ કાર્ય માટે, તમારે કૌંસ ખોલવાની જરૂર છે. અમારી પાસે છે:

x 2 − 2x − 15 > 0

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત છે, કારણ કે ગુણાંક a = 1 > 0. ચાલો આ પેરાબોલાની આકૃતિ દોરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

કાર્ય શૂન્ય કરતા વધારે છે જ્યાં તે OX અક્ષની ઉપરથી પસાર થાય છે. અમારા કિસ્સામાં, આ અંતરાલો છે (−∞ −3) અને (5; +∞) - આ જવાબ છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ચિત્ર બરાબર બતાવે છે કાર્ય રેખાકૃતિ, તેણીનું શેડ્યૂલ નથી. કારણ કે વાસ્તવિક ગ્રાફ માટે તમારે કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવાની, ડિસ્પ્લેસમેન્ટ અને અન્ય વાહિયાતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે જેનો અમને હાલમાં કોઈ ઉપયોગ નથી.

શા માટે આ પદ્ધતિઓ બિનઅસરકારક છે?

તેથી, અમે સમાન અસમાનતાના બે ઉકેલો પર વિચાર કર્યો છે. તે બંને એકદમ બોજારૂપ નીકળ્યા. પ્રથમ નિર્ણય ઉભો થાય છે - ફક્ત તેના વિશે વિચારો! - અસમાનતાઓની સિસ્ટમોનો સમૂહ. બીજો ઉકેલ પણ ખાસ સરળ નથી: તમારે પેરાબોલાના ગ્રાફ અને અન્ય નાના તથ્યોનો સમૂહ યાદ રાખવાની જરૂર છે.

તે ખૂબ જ સરળ અસમાનતા હતી. તેમાં માત્ર 2 ગુણક છે. હવે કલ્પના કરો કે ત્યાં 2 નહીં, પરંતુ ઓછામાં ઓછા 4 ગુણક હશે.

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

આવી અસમાનતા કેવી રીતે ઉકેલવી? ગુણદોષના તમામ સંભવિત સંયોજનોમાંથી પસાર થવું? હા, આપણે ઉકેલ શોધીએ તેના કરતાં આપણે ઝડપથી ઊંઘી જઈશું. ગ્રાફ દોરવા એ પણ વિકલ્પ નથી, કારણ કે તે સ્પષ્ટ નથી કે આવા કાર્ય કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર કેવી રીતે વર્તે છે.

આવી અસમાનતાઓ માટે, વિશિષ્ટ સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમની જરૂર છે, જે આપણે આજે ધ્યાનમાં લઈશું.

અંતરાલ પદ્ધતિ શું છે

અંતરાલ પદ્ધતિ એ એક વિશિષ્ટ અલ્ગોરિધમ છે જે ફોર્મ f (x) > 0 અને f (x) ની જટિલ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે રચાયેલ છે.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. સમીકરણ f(x) = 0 ઉકેલો. આમ, અસમાનતાને બદલે, આપણને એક સમીકરણ મળે છે જે ઉકેલવા માટે ઘણું સરળ છે;
2. સંકલન રેખા પર તમામ મેળવેલા મૂળને ચિહ્નિત કરો. આમ, સીધી રેખાને કેટલાક અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવશે;
3. જમણી બાજુના અંતરાલ પર f (x) ફંક્શનનું ચિહ્ન (વત્તા અથવા ઓછા) શોધો. આ કરવા માટે, તમામ ચિહ્નિત મૂળની જમણી બાજુની કોઈપણ સંખ્યાને f (x) માં બદલવા માટે તે પૂરતું છે;
4. બાકીના અંતરાલો પર ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરો. આ કરવા માટે, ફક્ત યાદ રાખો કે જ્યારે દરેક મૂળમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે ચિહ્ન બદલાય છે.

બસ! આ પછી, જે બાકી છે તે અંતરાલોને લખવાનું છે જે અમને રસ છે. જો અસમાનતા ફોર્મ f (x) > 0 ની હોય તો તેને “+” ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે અથવા જો અસમાનતા f (x) સ્વરૂપની હોય તો “−” ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે.< 0.

પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે અંતરાલ પદ્ધતિ અમુક પ્રકારની નાની વસ્તુ છે. પરંતુ વ્યવહારમાં બધું ખૂબ સરળ હશે. થોડી પ્રેક્ટિસ કરો અને બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે. ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને તમારા માટે જુઓ:

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

(x − 2)(x + 7)< 0

અમે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કામ કરીએ છીએ. પગલું 1: અસમાનતાને સમીકરણ સાથે બદલો અને તેને હલ કરો:

(x − 2)(x + 7) = 0

ઉત્પાદન શૂન્ય છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય હોય:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

અમને બે મૂળ મળ્યા. ચાલો પગલું 2 પર આગળ વધીએ: આ મૂળને સંકલન રેખા પર ચિહ્નિત કરો. અમારી પાસે છે:

હવે પગલું 3: જમણી બાજુના અંતરાલ પર ફંક્શનનું ચિહ્ન શોધો (ચિહ્નિત બિંદુ x = 2 ની જમણી બાજુએ). આ કરવા માટે, તમારે કોઈપણ સંખ્યા લેવાની જરૂર છે જે સંખ્યા x = 2 કરતા મોટી હોય. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો x = 3 લઈએ (પરંતુ કોઈએ x = 4, x = 10 અને x = 10,000 લેવાની મનાઈ નથી). અમને મળે છે:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

આપણે શોધીએ છીએ કે f (3) = 10 > 0, તેથી આપણે સૌથી જમણી બાજુના અંતરાલમાં વત્તાનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ.

ચાલો છેલ્લા મુદ્દા પર આગળ વધીએ - આપણે બાકીના અંતરાલો પરના ચિહ્નોને નોંધવાની જરૂર છે. અમે યાદ રાખીએ છીએ કે દરેક મૂળમાંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્ન બદલવું આવશ્યક છે. ઉદાહરણ તરીકે, રુટ x = 2 ની જમણી બાજુએ વત્તા છે (અમે અગાઉના પગલામાં આની ખાતરી કરી હતી), તેથી ડાબી બાજુ એક બાદબાકી હોવી આવશ્યક છે.

આ બાદબાકી સમગ્ર અંતરાલ (−7; 2) સુધી વિસ્તરે છે, તેથી મૂળ x = −7 ની જમણી બાજુએ એક બાદબાકી છે. તેથી, મૂળ x = −7 ની ડાબી બાજુએ વત્તા છે. સંકલન અક્ષ પર આ ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરવાનું બાકી છે. અમારી પાસે છે:

ચાલો મૂળ અસમાનતા પર પાછા આવીએ, જેનું સ્વરૂપ હતું:

(x − 2)(x + 7)< 0

તેથી કાર્ય શૂન્ય કરતાં ઓછું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે અમને બાદબાકી ચિહ્નમાં રસ છે, જે ફક્ત એક અંતરાલ પર દેખાય છે: (−7; 2). આ જવાબ હશે.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

પગલું 1: ડાબી બાજુ શૂન્ય પર સેટ કરો:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

યાદ રાખો: જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હોય છે. તેથી જ અમને દરેક વ્યક્તિગત કૌંસને શૂન્ય સાથે સમાન કરવાનો અધિકાર છે.

પગલું 2: સંકલન રેખા પરના તમામ મૂળોને ચિહ્નિત કરો:

પગલું 3: સૌથી જમણી બાજુના અંતરનું ચિહ્ન શોધો. આપણે x = 1 કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા લઈએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે x = 10 લઈ શકીએ છીએ. અમારી પાસે છે:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

પગલું 4: બાકીના ચિહ્નો મૂકવા. અમને યાદ છે કે જ્યારે દરેક મૂળમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે ચિહ્ન બદલાય છે. પરિણામે, અમારું ચિત્ર આના જેવું દેખાશે:

બસ. માત્ર જવાબ લખવાનું બાકી છે. મૂળ અસમાનતા પર બીજી નજર નાખો:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

આ ફોર્મ f(x) ની અસમાનતા છે< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

આ જવાબ છે.

કાર્ય સંકેતો વિશે નોંધ

પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે અંતરાલ પદ્ધતિમાં સૌથી મોટી મુશ્કેલીઓ છેલ્લા બે પગલામાં ઊભી થાય છે, એટલે કે. ચિહ્નો મૂકતી વખતે. ઘણા વિદ્યાર્થીઓ મૂંઝવણમાં આવવા લાગે છે: કયો નંબર લેવો અને ક્યાં ચિહ્નો મૂકવો.

અંતમાં અંતરાલ પદ્ધતિ સમજવા માટે, બે અવલોકનો ધ્યાનમાં લો કે જેના પર તે આધારિત છે:

1. સતત ફંક્શન ફક્ત તે બિંદુઓ પર ચિહ્નને બદલે છે જ્યાં તે શૂન્ય બરાબર છે. આવા બિંદુઓ સંકલન અક્ષને ટુકડાઓમાં વિભાજિત કરે છે, જેની અંદર ફંક્શનની નિશાની ક્યારેય બદલાતી નથી. તેથી જ આપણે સમીકરણ f(x) = 0 ઉકેલીએ છીએ અને સીધી રેખા પર મળેલા મૂળને ચિહ્નિત કરીએ છીએ. મળેલ નંબરો "સીમારેખા" પોઈન્ટ છે જે ગુણદોષને અલગ કરે છે.
2. કોઈપણ અંતરાલ પર ફંક્શનની નિશાની શોધવા માટે, આ અંતરાલમાંથી કોઈપણ સંખ્યાને ફંક્શનમાં બદલવા માટે તે પૂરતું છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ (−5; 6) માટે આપણને x = −4, x = 0, x = 4 અને જો આપણે ઈચ્છીએ તો x = 1.29374 લેવાનો અધિકાર છે. આ શા માટે મહત્વનું છે? હા, કારણ કે ઘણા વિદ્યાર્થીઓ પર શંકા ઉપજવા લાગે છે. જેમ કે, જો x = −4 માટે આપણને વત્તા મળે અને x = 0 માટે માઈનસ મળે તો શું? પરંતુ આવું કંઈ ક્યારેય થશે નહીં. સમાન અંતરાલ પરના તમામ બિંદુઓ સમાન ચિહ્ન આપે છે. આ યાદ રાખો.

અંતરાલ પદ્ધતિ વિશે તમારે આટલું જ જાણવાની જરૂર છે. અલબત્ત, અમે તેનું સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં વિશ્લેષણ કર્યું છે. ત્યાં વધુ જટિલ અસમાનતાઓ છે - બિન-કડક, અપૂર્ણાંક અને પુનરાવર્તિત મૂળ સાથે. તમે તેમના માટે અંતરાલ પદ્ધતિનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો, પરંતુ આ એક અલગ મોટા પાઠ માટેનો વિષય છે.

હવે હું એક અદ્યતન તકનીક જોવા માંગુ છું જે નાટકીય રીતે અંતરાલ પદ્ધતિને સરળ બનાવે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, સરળીકરણ ફક્ત ત્રીજા પગલાને અસર કરે છે - રેખાના સૌથી જમણા ભાગ પરના ચિહ્નની ગણતરી. કેટલાક કારણોસર, આ તકનીક શાળાઓમાં શીખવવામાં આવતી નથી (ઓછામાં ઓછું કોઈએ મને આ સમજાવ્યું નથી). પરંતુ નિરર્થક - કારણ કે હકીકતમાં આ અલ્ગોરિધમનો ખૂબ જ સરળ છે.

તેથી, ફંક્શનનું ચિહ્ન નંબર લાઇનના જમણા ભાગ પર છે. આ ટુકડો ફોર્મ (a ; +∞) ધરાવે છે, જ્યાં a એ સમીકરણ f (x) = 0 નું સૌથી મોટું મૂળ છે. તમારા મનને ઉડાવી ન દેવા માટે, ચાલો એક વિશિષ્ટ ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

અમને 3 મૂળ મળ્યા. ચાલો તેમને ચડતા ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરીએ: x = −2, x = 1 અને x = 7. દેખીતી રીતે, સૌથી મોટું મૂળ x = 7 છે.

જેમને ગ્રાફિકલી તર્ક આપવાનું સરળ લાગે છે, હું આ મૂળને સંકલન રેખા પર ચિહ્નિત કરીશ. ચાલો જોઈએ શું થાય છે:

સૌથી જમણી બાજુના અંતરાલ પર ફંક્શન f (x) ની નિશાની શોધવા માટે તે જરૂરી છે, એટલે કે. થી (7; +∞). પરંતુ આપણે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, ચિહ્ન નક્કી કરવા માટે તમે આ અંતરાલમાંથી કોઈપણ સંખ્યા લઈ શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, તમે x = 8, x = 150, વગેરે લઈ શકો છો. અને હવે - તે જ તકનીક જે શાળાઓમાં શીખવવામાં આવતી નથી: ચાલો અનંતતાને સંખ્યા તરીકે લઈએ. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, વત્તા અનંત, એટલે કે +∞.

“તમે પથ્થરમારો છો? તમે કેવી રીતે અનંતતાને ફંક્શનમાં બદલી શકો છો?" - તમે પૂછી શકો છો. પરંતુ તેના વિશે વિચારો: આપણને ફંક્શનના મૂલ્યની જરૂર નથી, આપણને ફક્ત ચિહ્નની જરૂર છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્યો f (x) = −1 અને f (x) = −938 740 576 215 નો અર્થ સમાન છે: આ અંતરાલ પરનું કાર્ય નકારાત્મક છે. તેથી, તમારા માટે જરૂરી છે તે ચિહ્ન શોધવાનું છે જે અનંત પર દેખાય છે, અને કાર્યનું મૂલ્ય નહીં.

હકીકતમાં, અનંતની અવેજીમાં ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

કલ્પના કરો કે x એ ખૂબ મોટી સંખ્યા છે. બિલિયન અથવા તો ટ્રિલિયન. હવે ચાલો જોઈએ કે દરેક કૌંસમાં શું થાય છે.

પ્રથમ કૌંસ: (x − 1). જો તમે અબજમાંથી એક બાદ કરો તો શું થશે? પરિણામ એ સંખ્યા હશે જે બિલિયનથી ઘણી અલગ નહીં હોય, અને આ સંખ્યા હકારાત્મક હશે. એ જ રીતે બીજા કૌંસ સાથે: (2 + x). જો તમે બેમાં એક અબજ ઉમેરશો, તો તમને એક અબજ અને કોપેક્સ મળશે - આ એક સકારાત્મક સંખ્યા છે. છેલ્લે, ત્રીજો કૌંસ: (7 − x). અહીં એક માઇનસ બિલિયન હશે, જેમાંથી સાતના રૂપમાં એક દયનીય ટુકડો "કાપવામાં આવ્યો" હતો. તે. પરિણામી સંખ્યા માઈનસ બિલિયનથી ઘણી અલગ નહીં હોય - તે નકારાત્મક હશે.

જે બાકી છે તે સમગ્ર કાર્યની નિશાની શોધવાનું છે. અમારી પાસે પ્રથમ કૌંસમાં વત્તા અને છેલ્લામાં બાદબાકી હોવાથી, અમને નીચેનું બાંધકામ મળે છે:

(+) · (+) · (−) = (−)

અંતિમ નિશાની માઈનસ છે! અને ફંક્શનનું મૂલ્ય પોતે શું છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે આ મૂલ્ય નકારાત્મક છે, એટલે કે. સૌથી જમણી બાજુના અંતરાલમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન છે. અંતરાલ પદ્ધતિના ચોથા પગલાને પૂર્ણ કરવાનું બાકી છે: બધા ચિહ્નો ગોઠવો. અમારી પાસે છે:

મૂળ અસમાનતા હતી:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

તેથી, અમને ઓછા ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત અંતરાલોમાં રસ છે. અમે જવાબ લખીએ છીએ:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

તે આખી યુક્તિ છે જે હું તમને કહેવા માંગતો હતો. નિષ્કર્ષમાં, અહીં બીજી અસમાનતા છે જે અનંતનો ઉપયોગ કરીને અંતરાલ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. સોલ્યુશનને દૃષ્ટિની રીતે ટૂંકું કરવા માટે, હું સ્ટેપ નંબર્સ અને વિગતવાર ટિપ્પણીઓ લખીશ નહીં. વાસ્તવિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે તમારે જે લખવાની જરૂર છે તે જ હું લખીશ:

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

અમે અસમાનતાને સમીકરણ સાથે બદલીએ છીએ અને તેને હલ કરીએ છીએ:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

અમે ત્રણેય મૂળને સંકલન રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ (એક જ સમયે ચિહ્નો સાથે):

સંકલન અક્ષની જમણી બાજુએ વત્તા છે, કારણ કે કાર્ય આના જેવું લાગે છે:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

અને જો આપણે અનંતતાને બદલીએ (ઉદાહરણ તરીકે, એક અબજ), તો આપણને ત્રણ હકારાત્મક કૌંસ મળે છે. મૂળ અભિવ્યક્તિ શૂન્ય કરતાં મોટી હોવી જોઈએ, અમને ફક્ત પ્લીસસમાં જ રસ છે. જે બાકી છે તે જવાબ લખવાનું છે:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

આ લેખમાં હું મારા સબ્સ્ક્રાઇબર્સના બીજા પ્રશ્નનો જવાબ આપું છું. પ્રશ્નો જુદી જુદી રીતે આવે છે. તે બધા યોગ્ય રીતે ઘડાયેલા નથી. અને તેમાંના કેટલાક એવી રીતે ઘડવામાં આવ્યા છે કે લેખક શું પૂછવા માંગે છે તે તરત જ સ્પષ્ટ થતું નથી. તેથી, મોકલેલા પ્રશ્નોની વિશાળ વિવિધતામાંથી, મારે ખરેખર રસપ્રદ પ્રશ્નો પસંદ કરવા પડશે, જેમ કે “મોતી”, જેનો જવાબ માત્ર રોમાંચક જ નહીં, પણ ઉપયોગી પણ છે, કારણ કે તે મારા અન્ય વાચકો માટે મને લાગે છે. અને આજે હું આમાંથી એક પ્રશ્નનો જવાબ આપું છું. અસમાનતાઓની સિસ્ટમના ઉકેલોના સમૂહનું નિરૂપણ કેવી રીતે કરવું?


આ ખરેખર સારો પ્રશ્ન છે. કારણ કે ગણિતમાં ગ્રાફિકલી સમસ્યાઓ ઉકેલવાની પદ્ધતિ ખૂબ જ શક્તિશાળી પદ્ધતિ છે. વ્યક્તિની રચના એવી રીતે કરવામાં આવી છે કે તેના માટે વિવિધ દ્રશ્ય સામગ્રીની મદદથી માહિતીને સમજવી વધુ અનુકૂળ છે. તેથી, જો તમે આ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવો છો, તો પછી મારા પર વિશ્વાસ કરો, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી કાર્યોને હલ કરતી વખતે, ખાસ કરીને બીજા ભાગમાંથી, અન્ય પરીક્ષાઓમાંથી, અને ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, અને તેથી વધુ, તે તમારા બંને માટે અનિવાર્ય હશે. .

તેથી તે અહીં છે. આપણે આ પ્રશ્નનો જવાબ કેવી રીતે આપી શકીએ? ચાલો સરળ શરૂઆત કરીએ. અસમાનતાની સિસ્ટમમાં માત્ર એક જ ચલ રહેવા દો.

ચાલો આ સિસ્ટમને સરળ બનાવીએ. આ કરવા માટે, પ્રથમ અસમાનતાની બંને બાજુએ 7 ઉમેરો અને અસમાનતાની નિશાની બદલ્યા વિના, બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરો, કારણ કે 2 એ ધન સંખ્યા છે. અમે બીજી અસમાનતાની બંને બાજુએ 4 ઉમેરીએ છીએ પરિણામે, અમે અસમાનતાની નીચેની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

સામાન્ય રીતે આવી સમસ્યાને વન-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે. શા માટે? હા, કારણ કે તેના ઘણા ઉકેલો દર્શાવવા માટે, તે પૂરતું સીધું છે. ચોક્કસ હોવા માટે સંખ્યા રેખા. ચાલો આ સંખ્યા રેખા પર પોઈન્ટ 6 અને 8 ને માર્ક કરીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ 8 એ બિંદુ 6 કરતા જમણી તરફ આગળ હશે, કારણ કે સંખ્યા રેખા પર, મોટી સંખ્યાઓ નાની સંખ્યાઓની જમણી બાજુએ છે. વધુમાં, બિંદુ 8 શેડ કરવામાં આવશે, કારણ કે, પ્રથમ અસમાનતાના સંકેત અનુસાર, તે તેના ઉકેલમાં શામેલ છે. તેનાથી વિપરીત, બિંદુ 6 અનશેડ કરવામાં આવશે, કારણ કે તે બીજી અસમાનતાના ઉકેલમાં શામેલ નથી:

ચાલો હવે સિસ્ટમની પ્રથમ અસમાનતા દ્વારા આવશ્યકતા મુજબ 8 કરતા ઓછા અથવા તેના સમાન મૂલ્યોની ઉપરના તીરથી ચિહ્નિત કરીએ અને નીચે એક તીર વડે - મૂલ્યો કે જે 6 કરતા વધારે હોય, સિસ્ટમની બીજી અસમાનતા:

અસમાનતાઓની સિસ્ટમના ઉકેલો નંબર લાઇન પર ક્યાં સ્થિત છે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનું બાકી છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો. સિસ્ટમનું પ્રતીક - સર્પાકાર તાણવું - ગણિતમાં જોડાણ "I" ને બદલે છે. એટલે કે, સૂત્રોની ભાષાને માનવ ભાષામાં અનુવાદિત કરીને, આપણે કહી શકીએ કે આપણે એવા મૂલ્યો સૂચવવા જરૂરી છે જે 6 કરતા વધારે હોય અને 8 કરતા ઓછા અથવા તેના સમાન હોય. એટલે કે, જરૂરી અંતરાલ ચિહ્નિતના આંતરછેદ પર આવેલું છે. અંતરાલો:

તેથી અમે સંખ્યા રેખા પર અસમાનતાઓની સિસ્ટમના ઉકેલોના સમૂહનું નિરૂપણ કર્યું છે જ્યાં અસમાનતાની સિસ્ટમમાં માત્ર એક જ ચલ હોય છે. આ છાંયેલા અંતરાલમાં તમામ મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે જેના માટે સિસ્ટમમાં લખેલી તમામ અસમાનતાઓ સંતોષાય છે.

ચાલો હવે વધુ જટિલ કેસનો વિચાર કરીએ. ચાલો આપણી સિસ્ટમમાં બે ચલ અને . આ કિસ્સામાં, આવી સિસ્ટમના ઉકેલોને દર્શાવવા માટે માત્ર એક સીધી રેખાનો ઉપયોગ કરવો શક્ય બનશે નહીં. આપણે એક-પરિમાણીય વિશ્વથી આગળ વધીએ છીએ અને તેમાં બીજું પરિમાણ ઉમેરીએ છીએ. અહીં આપણને આખા વિમાનની જરૂર છે. ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પરિસ્થિતિ જોઈએ.

તો, આપણે સમતલ પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બે ચલ સાથે અસમાનતાની આપેલ સિસ્ટમના ઉકેલોના સમૂહને કેવી રીતે દર્શાવી શકીએ? ચાલો સૌથી સરળ વસ્તુથી શરૂઆત કરીએ. ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ કે અસમાનતા દ્વારા આ પ્લેનનો કયો પ્રદેશ નક્કી થાય છે. સમીકરણ ધરી પર લંબરૂપ ચાલતી સીધી રેખાનો ઉલ્લેખ કરે છે ઓક્સબિંદુ દ્વારા (0;0). એટલે કે, હકીકતમાં, આ સીધી રેખા ધરી સાથે એકરુપ છે ઓ.વાય. ઠીક છે, કારણ કે અમને 0 કરતા વધારે અથવા સમાન મૂલ્યોમાં રસ છે, તો પછી સીધી રેખાની જમણી બાજુએ પડેલું આખું અર્ધ-વિમાન યોગ્ય છે:

તદુપરાંત, બધા બિંદુઓ જે ધરી પર આવેલા છે ઓ.વાય, અમારા માટે પણ યોગ્ય છે, કારણ કે અસમાનતા કડક નથી.

ત્રીજી અસમાનતા કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર કયા ક્ષેત્રને વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે સમજવા માટે, તમારે ફંક્શન પ્લોટ કરવાની જરૂર છે. આ મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે અને, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (1;1). એટલે કે, વાસ્તવમાં, તે પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર બનાવતા ખૂણાના દ્વિભાજક ધરાવતી સીધી રેખા છે.

હવે સિસ્ટમમાં ત્રીજી અસમાનતા જોઈએ અને વિચારીએ. આપણે કયા ક્ષેત્રને શોધવાની જરૂર છે? ચાલો જોઈએ:. કરતાં મોટું અથવા સમાન ચિહ્ન. એટલે કે, પરિસ્થિતિ અગાઉના ઉદાહરણમાં સમાન છે. ફક્ત અહીં "વધુ" નો અર્થ "જમણી તરફ વધુ" નથી, પરંતુ "ઉચ્ચ" છે. કારણ કે ઓ.વાય- આ આપણી ઊભી ધરી છે. એટલે કે, ત્રીજી અસમાનતા દ્વારા પ્લેન પર નિર્ધારિત વિસ્તાર એ રેખાની ઉપર અથવા તેના પર સ્થિત બિંદુઓનો સમૂહ છે:

પ્રથમ અસમાનતા સાથે સિસ્ટમ થોડી ઓછી અનુકૂળ છે. પરંતુ અમે ત્રીજી અસમાનતા દ્વારા નિર્ધારિત વિસ્તાર નક્કી કરવામાં સક્ષમ થયા પછી, મને લાગે છે કે કેવી રીતે કાર્ય કરવું તે પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે.

આ અસમાનતાને એવી રીતે રજૂ કરવી જરૂરી છે કે ડાબી બાજુ માત્ર ચલ હોય અને જમણી બાજુએ માત્ર ચલ હોય. આ કરવા માટે, અસમાનતાની બંને બાજુઓમાંથી બાદબાકી કરો અને અસમાનતાના ચિન્હને બદલ્યા વિના, બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરો, કારણ કે 2 એ સકારાત્મક સંખ્યા છે. પરિણામે, અમે નીચેની અસમાનતા મેળવીએ છીએ:

જે બાકી રહે છે તે સંકલન પ્લેન પર એક સીધી રેખા દોરવાનું છે જે ધરીને છેદે છે ઓ.વાયબિંદુ A(0;4) પર અને બિંદુ પર એક સીધી રેખા. લીટીઓના સમીકરણોની જમણી બાજુઓનું સમીકરણ કરીને અને સમીકરણ મેળવીને મેં બાદમાં શીખ્યા. આ સમીકરણમાંથી આંતરછેદ બિંદુનું સંકલન જોવા મળે છે, અને સંકલન, મને લાગે છે કે તમે અનુમાન લગાવ્યું છે, તે સંકલન સમાન છે. જેમણે હજી અનુમાન લગાવ્યું નથી તેમના માટે, આ એટલા માટે છે કારણ કે આપણી પાસે છેદતી રેખાઓમાંથી એકનું સમીકરણ છે: .

જલદી આપણે આ સીધી રેખા દોરીએ છીએ, અમે તરત જ ઇચ્છિત વિસ્તારને ચિહ્નિત કરી શકીએ છીએ. અહીં અસમાનતાનું ચિહ્ન "ઓછું અથવા તેના જેટલું" છે. આનો અર્થ એ છે કે ઇચ્છિત વિસ્તાર નીચે અથવા સીધી ચિત્રિત સીધી રેખા પર સ્થિત છે:

સારું, છેલ્લો પ્રશ્ન. સિસ્ટમની ત્રણેય અસમાનતાને સંતોષતો ઇચ્છિત પ્રદેશ ક્યાં છે? દેખીતી રીતે, તે ત્રણેય ચિહ્નિત વિસ્તારોના આંતરછેદ પર સ્થિત છે. ફરી ક્રોસિંગ! યાદ રાખો: ગણિતમાં સિસ્ટમ સાઇનનો અર્થ છે આંતરછેદ. તે અહીં છે, આ વિસ્તાર:

સારું, છેલ્લું ઉદાહરણ. હજી વધુ સામાન્ય. ચાલો હવે માની લઈએ કે સિસ્ટમમાં આપણી પાસે એક પણ ચલ નથી, કે બે નથી, પરંતુ ત્રણ જેટલા છે!

ત્રણ ચલો હોવાથી, આવી અસમાનતાઓની સિસ્ટમના ઉકેલોના સમૂહનું નિરૂપણ કરવા માટે આપણે અગાઉના ઉદાહરણમાં જે બે સાથે કામ કર્યું હતું તે ઉપરાંત ત્રીજા પરિમાણની જરૂર પડશે. એટલે કે, આપણે વિમાનમાંથી અવકાશમાં ચઢીએ છીએ અને ત્રણ પરિમાણો સાથે અવકાશી સંકલન પ્રણાલીનું નિરૂપણ કરીએ છીએ: એક્સ, વાયઅને ઝેડ. જે લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈને અનુરૂપ છે.

ચાલો આ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ સપાટીનું નિરૂપણ કરીને શરૂઆત કરીએ. સ્વરૂપમાં, તે પ્લેન પરના વર્તુળના સમીકરણ જેવું જ છે, ચલ સાથે માત્ર એક વધુ પદ ઉમેરવામાં આવ્યું છે. અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે આ બિંદુ (1;3;2) પર કેન્દ્ર ધરાવતા ગોળાનું સમીકરણ છે, જેની ત્રિજ્યા 4 છે. એટલે કે, ત્રિજ્યા પોતે 2 છે.

પછી એક પ્રશ્ન. તો પછી અસમાનતા પોતે શું સેટ કરે છે? જેઓ આ પ્રશ્નથી મૂંઝવણમાં છે, હું નીચે મુજબ તર્ક આપવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું. સૂત્રોની ભાષાને માનવ ભાષામાં અનુવાદિત કરતા, આપણે કહી શકીએ કે બિંદુ (1;3;2) પર કેન્દ્ર ધરાવતા તમામ ગોળાઓ સૂચવવા જરૂરી છે, જેની ત્રિજ્યા 2 કરતા ઓછી અથવા સમાન છે. પરંતુ પછી બધા આ ગોળાઓ ચિત્રિત ગોળાની અંદર સ્થિત હશે! તે છે, વાસ્તવમાં, આ અસમાનતા ચિત્રિત ક્ષેત્રના સમગ્ર આંતરિક ક્ષેત્રને સ્પષ્ટ કરે છે. જો તમે ઇચ્છો તો, એક બોલ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે ચિત્રિત ગોળા દ્વારા બંધાયેલ છે:

સમીકરણ x+y+z=4 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સપાટી એ એક સમતલ છે જે બિંદુઓ (0;0;4), (0;4;0) અને (4;0;0) પર સંકલન અક્ષોને છેદે છે. ઠીક છે, તે સ્પષ્ટ છે કે સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુની સંખ્યા જેટલી મોટી હશે, સંકલન કેન્દ્રથી આ સમતલના આંતરછેદના બિંદુઓ સંકલન અક્ષો સાથે જેટલા દૂર હશે. એટલે કે, બીજી અસમાનતા આપેલ પ્લેન "ઉપર" સ્થિત અર્ધ-જગ્યાનો ઉલ્લેખ કરે છે. પરંપરાગત શબ્દ "ઉચ્ચ" નો ઉપયોગ કરીને, મારો અર્થ અક્ષો સાથે સંકલન મૂલ્યો વધારવાની દિશામાં આગળ છે.

આ પ્લેન ચિત્રિત ગોળાને છેદે છે. આ કિસ્સામાં, આંતરછેદ વિભાગ એક વર્તુળ છે. તમે આ વર્તુળનું કેન્દ્ર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના કેન્દ્રથી કેટલા અંતરે સ્થિત છે તેની પણ ગણતરી કરી શકો છો. માર્ગ દ્વારા, જે પણ આ કેવી રીતે કરવું તે અનુમાન કરે છે, ટિપ્પણીઓમાં તમારા ઉકેલો અને જવાબો લખો. આમ, અસમાનતાની પ્રારંભિક પ્રણાલી અવકાશના ક્ષેત્રને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે આ પ્લેનથી આગળ વધેલા કોઓર્ડિનેટ્સની દિશામાં સ્થિત છે, પરંતુ ચિત્રિત ગોળામાં બંધ છે:

આ રીતે અસમાનતાઓની સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલો દર્શાવવામાં આવ્યા છે. જો સિસ્ટમમાં 3 (ઉદાહરણ તરીકે, 4) કરતાં વધુ ચલો હોય, તો ઉકેલોના સમૂહને સ્પષ્ટપણે દર્શાવવાનું હવે શક્ય બનશે નહીં. કારણ કે આ માટે 4-ડાયમેન્શનલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની જરૂર પડશે. પરંતુ એક સામાન્ય વ્યક્તિ કલ્પના કરી શકતો નથી કે 4 પરસ્પર લંબરૂપ સંકલન અક્ષો કેવી રીતે સ્થિત થઈ શકે છે. જોકે મારી પાસે એક મિત્ર છે જે દાવો કરે છે કે તે આ કરી શકે છે, અને સરળતા સાથે. મને ખબર નથી કે તે સાચું કહી રહ્યો છે કે નહીં, કદાચ તે સાચું કહી રહ્યો છે. પરંતુ તેમ છતાં, સામાન્ય માનવીય કલ્પના આ કરવા દેતી નથી.

મને આશા છે કે તમને આજનો પાઠ ઉપયોગી લાગ્યો હશે. તમે તેને કેટલી સારી રીતે સમજી શક્યા છો તે તપાસવા માટે, નીચેનું હોમવર્ક કરો.

અસમાનતાઓની સિસ્ટમ માટે ઉકેલોનો સમૂહ દોરો:

ql-right-eqno"> title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

સેર્ગેઈ વેલેરીવિચ દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવેલી સામગ્રી

લેખમાં આપણે ધ્યાનમાં લઈશું અસમાનતાઓનું નિરાકરણ. અમે તમને તેના વિશે સ્પષ્ટપણે જણાવીશું અસમાનતાનો ઉકેલ કેવી રીતે બનાવવોસ્પષ્ટ ઉદાહરણો સાથે!

ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવા પર નજર કરીએ તે પહેલાં, ચાલો મૂળભૂત ખ્યાલો સમજીએ.

અસમાનતા વિશે સામાન્ય માહિતી

અસમાનતાએક અભિવ્યક્તિ છે જેમાં કાર્યો સંબંધ ચિહ્નો દ્વારા જોડાયેલા હોય છે >, . અસમાનતા સંખ્યાત્મક અને શાબ્દિક બંને હોઈ શકે છે.
ગુણોત્તરના બે ચિહ્નો સાથેની અસમાનતાને ડબલ કહેવામાં આવે છે, ત્રણ સાથે - ટ્રિપલ, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > અથવા અથવા - ચિહ્ન ધરાવતી અસમાનતાઓ કડક નથી.
અસમાનતાનું નિરાકરણચલનું કોઈપણ મૂલ્ય છે જેના માટે આ અસમાનતા સાચી હશે.
"અસમાનતા ઉકેલો" એટલે કે આપણે તેના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવાની જરૂર છે. ત્યાં અલગ અલગ છે અસમાનતાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. માટે અસમાનતા ઉકેલોતેઓ સંખ્યા રેખાનો ઉપયોગ કરે છે, જે અનંત છે. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાનો ઉકેલ x > 3 એ 3 થી + નું અંતરાલ છે, અને નંબર 3 આ અંતરાલમાં શામેલ નથી, તેથી લીટી પરનો બિંદુ ખાલી વર્તુળ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, કારણ કે અસમાનતા કડક છે.
+
જવાબ હશે: x (3; +).
મૂલ્ય x=3 ઉકેલ સમૂહમાં સમાવેલ નથી, તેથી કૌંસ ગોળાકાર છે. અનંત ચિન્હ હંમેશા કૌંસ સાથે પ્રકાશિત થાય છે. ચિહ્નનો અર્થ છે "સંબંધિત."
ચાલો ચિહ્ન સાથે બીજા ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે જોઈએ:
x 2
-+
મૂલ્ય x=2 ઉકેલોના સમૂહમાં સમાવવામાં આવેલ છે, તેથી કૌંસ ચોરસ છે અને રેખા પરનો બિંદુ ભરેલા વર્તુળ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
જવાબ હશે: x.

ત્રીજું ઉદાહરણ. |1 - x| > 2 |x - 1|.

ઉકેલ. પ્રથમ પગલું એ બિંદુઓ નક્કી કરવાનું છે કે જેના પર કાર્યો અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ડાબી બાજુ માટે આ સંખ્યા 2 હશે, જમણી બાજુ માટે - 1. તેમને બીમ પર ચિહ્નિત કરવાની જરૂર છે અને ચિહ્નની સ્થિરતાના અંતરાલો નક્કી કરવામાં આવે છે.

પ્રથમ અંતરાલ પર, માઇનસ અનંતથી 1 સુધી, અસમાનતાની ડાબી બાજુનું કાર્ય હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે, અને જમણી બાજુનું કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. ચાપ હેઠળ તમારે બે ચિહ્નો "+" અને "-" સાથે સાથે લખવાની જરૂર છે.

આગળનું અંતરાલ 1 થી 2 સુધીનું છે. તેના પર, બંને કાર્યો હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. આનો અર્થ એ છે કે ચાપ હેઠળ બે પ્લીસસ છે.

2 થી અનંત સુધીનો ત્રીજો અંતરાલ નીચેનું પરિણામ આપશે: ડાબું કાર્ય નકારાત્મક છે, જમણું કાર્ય હકારાત્મક છે.

પરિણામી ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લેતા, તમારે બધા અંતરાલો માટે અસમાનતા મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

પ્રથમ નીચેની અસમાનતા પેદા કરે છે: 2 - x > - 2 (x - 1). બીજી અસમાનતામાં બે પહેલાંની બાદબાકી એ હકીકતને કારણે છે કે આ કાર્ય નકારાત્મક છે.

રૂપાંતર પછી, અસમાનતા આના જેવી દેખાય છે: x > 0. તે તરત જ ચલની કિંમતો આપે છે. એટલે કે, આ અંતરાલમાંથી માત્ર 0 થી 1 સુધીના અંતરાલનો જવાબ આપવામાં આવશે.

બીજા પર: 2 - x > 2 (x - 1). પરિવર્તનો નીચેની અસમાનતા આપશે: -3x + 4 શૂન્ય કરતા વધારે છે. તેનું શૂન્ય x = 4/3 હશે. અસમાનતા ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા, તે તારણ આપે છે કે x આ સંખ્યા કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે આ અંતરાલ 1 થી 4/3 સુધી ઘટાડીને અંતરાલ કરવામાં આવે છે.

બાદમાં નીચેની અસમાનતા આપે છે: - (2 - x) > 2 (x - 1). તેનું રૂપાંતરણ નીચેના તરફ દોરી જાય છે: -x > 0. એટલે કે, જ્યારે x શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય ત્યારે સમીકરણ સાચું હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી અંતરાલ પર અસમાનતા ઉકેલો પ્રદાન કરતી નથી.

પ્રથમ બે અંતરાલોમાં, મર્યાદા સંખ્યા 1 હોવાનું બહાર આવ્યું. તેને અલગથી તપાસવાની જરૂર છે. એટલે કે, તેને મૂળ અસમાનતામાં બદલો. તે તારણ આપે છે: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. ગણતરી બતાવે છે કે 1 0 કરતા મોટો છે. આ સાચું વિધાન છે, તેથી જવાબમાં એકનો સમાવેશ થાય છે.

જવાબ: x અંતરાલમાં આવેલું છે (0; 4/3).

અસમાનતા ચિહ્નો વિશે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે? ચિહ્ન સાથે અસમાનતા વધુ (> ), અથવા ઓછું (< ) કહેવાય છે કડકચિહ્નો સાથે કરતાં વધુ અથવા તેના સમાન (≥ ), કરતાં ઓછું અથવા બરાબર (≤ ) કહેવાય છે કડક નથી.ચિહ્ન સમાન નથી (≠ ) અલગ પડે છે, પરંતુ તમારે હંમેશા આ ચિહ્ન સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવા પડશે. અને અમે નક્કી કરીશું.)

આયકન પોતે ઉકેલ પ્રક્રિયા પર વધુ પ્રભાવ ધરાવતું નથી. પરંતુ નિર્ણયના અંતે, અંતિમ જવાબ પસંદ કરતી વખતે, ચિહ્નનો અર્થ સંપૂર્ણ બળમાં દેખાય છે! આ તે છે જે આપણે ઉદાહરણોમાં નીચે જોઈશું. ત્યાં કેટલાક જોક્સ છે ...

સમાનતાની જેમ અસમાનતાઓ અસ્તિત્વમાં છે વિશ્વાસુ અને વિશ્વાસુ.અહીં બધું સરળ છે, કોઈ યુક્તિઓ નથી. ચાલો કહીએ 5 > 2 એ સાચી અસમાનતા છે. 5 < 2 - ખોટું.

આ તૈયારી અસમાનતા માટે કામ કરે છે કોઈપણ પ્રકારનુંઅને ભયાનક બિંદુ સુધી સરળ.) તમારે ફક્ત બે (માત્ર બે!) પ્રાથમિક ક્રિયાઓ યોગ્ય રીતે કરવાની જરૂર છે. આ ક્રિયાઓ દરેકને પરિચિત છે. પરંતુ, લાક્ષણિક રીતે, આ ક્રિયાઓમાં ભૂલો એ અસમાનતાઓને હલ કરવામાં મુખ્ય ભૂલ છે, હા... તેથી, આ ક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. આ ક્રિયાઓને નીચે પ્રમાણે કહેવામાં આવે છે:

અસમાનતાના સમાન રૂપાંતરણો.

અસમાનતાના સમાન રૂપાંતરણો સમીકરણોના સમાન રૂપાંતરણો જેવા જ છે. વાસ્તવમાં, આ મુખ્ય સમસ્યા છે. તફાવતો તમારા માથા ઉપર જાય છે અને... તમે અહીં છો.) તેથી, હું ખાસ કરીને આ તફાવતોને પ્રકાશિત કરીશ. તેથી, અસમાનતાઓનું પ્રથમ સમાન રૂપાંતરણ:

1. અસમાનતાની બંને બાજુએ સમાન સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ ઉમેરી (બાદબાકી) કરી શકાય છે. કોઈપણ. આનાથી અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં.

વ્યવહારમાં, આ નિયમ અસમાનતાની ડાબી બાજુથી જમણી તરફ (અને ઊલટું) ચિહ્નના ફેરફાર સાથે શરતોના સ્થાનાંતરણ તરીકે લાગુ થાય છે. પરિભાષાના સંકેતમાં ફેરફાર સાથે, અસમાનતા નહીં! એક-થી-એક નિયમ સમીકરણો માટેના નિયમ જેવો જ છે. પરંતુ અસમાનતાઓમાં નીચેના સમાન રૂપાંતરણો સમીકરણોમાંના ફેરફારો કરતાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. તેથી હું તેમને લાલ રંગમાં પ્રકાશિત કરું છું:

2. અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન વસ્તુ દ્વારા ગુણાકાર (વિભાજિત) કરી શકાય છેહકારાત્મકસંખ્યા કોઈપણ માટેહકારાત્મક બદલાશે નહીં.

3. અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન વસ્તુ દ્વારા ગુણાકાર (વિભાજિત) કરી શકાય છેનકારાત્મકસંખ્યા કોઈપણ માટેનકારાત્મકસંખ્યા આમાંથી અસમાનતાની નિશાનીવિરુદ્ધ બદલાશે.

તમને યાદ છે (હું આશા રાખું છું કે...) કે સમીકરણને કોઈપણ વસ્તુથી ગુણાકાર/વિભાજિત કરી શકાય છે. અને કોઈપણ સંખ્યા માટે, અને X સાથેના અભિવ્યક્તિ માટે. જો તે શૂન્ય ન હોત. આ તેને, સમીકરણ બનાવે છે, ન તો ગરમ કે ઠંડુ.) તે બદલાતું નથી. પરંતુ અસમાનતાઓ ગુણાકાર/ભાગાકાર માટે વધુ સંવેદનશીલ હોય છે.

લાંબી મેમરી માટે સ્પષ્ટ ઉદાહરણ. ચાલો આપણે એવી અસમાનતા લખીએ જે શંકા પેદા ન કરે:

5 > 2

બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો +3, અમને મળે છે:

15 > 6

કોઈ વાંધો? ત્યાં કોઈ વાંધો નથી.) અને જો આપણે મૂળ અસમાનતાની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરીએ -3, અમને મળે છે:

15 > -6

અને આ એક સંપૂર્ણ જૂઠ છે.) સંપૂર્ણ જૂઠ! પ્રજાની છેતરપિંડી! પરંતુ જલદી તમે અસમાનતાના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલો છો, બધું જ જગ્યાએ આવે છે:

15 < -6

હું માત્ર જૂઠ અને છેતરપિંડી વિશે શપથ લેતો નથી.) "સમાન ચિહ્ન બદલવાનું ભૂલી ગયા છો ..."- આ ઘરઅસમાનતાઓને ઉકેલવામાં ભૂલ. આ તુચ્છ અને સાદા નિયમથી ઘણા લોકોને દુઃખ થયું છે! જે તેઓ ભૂલી ગયા...) તેથી હું શપથ લઈ રહ્યો છું. કદાચ મને યાદ હશે...)

ખાસ કરીને સચેત લોકો જોશે કે અસમાનતા X સાથેના અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાતી નથી. ધ્યાન રાખનારને માન!) શા માટે નહીં? જવાબ સરળ છે. અમે X સાથે આ અભિવ્યક્તિની નિશાની જાણતા નથી. તે હકારાત્મક, નકારાત્મક હોઈ શકે છે... તેથી, ગુણાકાર પછી કયો અસમાનતા ચિહ્ન મૂકવો તે આપણે જાણતા નથી. મારે તેને બદલવું જોઈએ કે નહીં? અજ્ઞાત. અલબત્ત, આ પ્રતિબંધ (x સાથે અભિવ્યક્તિ દ્વારા અસમાનતાને ગુણાકાર/વિભાજિત કરવાનો પ્રતિબંધ) ટાળી શકાય છે. જો તમને ખરેખર તેની જરૂર હોય. પરંતુ આ અન્ય પાઠ માટેનો વિષય છે.

તે બધા અસમાનતાના સમાન રૂપાંતરણો છે. ચાલો હું તમને ફરી એકવાર યાદ અપાવી દઉં કે તેઓ તેમના માટે કામ કરે છે કોઈપણઅસમાનતા હવે તમે ચોક્કસ પ્રકારો પર આગળ વધી શકો છો.

રેખીય અસમાનતાઓ. ઉકેલો, ઉદાહરણો.

રેખીય અસમાનતા એ અસમાનતાઓ છે જેમાં x પ્રથમ ઘાતમાં છે અને x દ્વારા કોઈ વિભાજન નથી. પ્રકાર:

x+3 > 5x-5

આવી અસમાનતાઓ કેવી રીતે ઉકેલાય છે? તેઓ ઉકેલવા માટે ખૂબ જ સરળ છે! જેમ કે: ની મદદથી અમે સૌથી ગૂંચવણભરી રેખીય અસમાનતાને ઘટાડીએ છીએ સીધા જવાબ પર.તે ઉકેલ છે. હું નિર્ણયના મુખ્ય મુદ્દાઓને પ્રકાશિત કરીશ. મૂર્ખ ભૂલો ટાળવા માટે.)

ચાલો આ અસમાનતાને હલ કરીએ:

x+3 > 5x-5

અમે તેને રેખીય સમીકરણની જેમ બરાબર એ જ રીતે હલ કરીએ છીએ. માત્ર તફાવત સાથે:

અમે કાળજીપૂર્વક અસમાનતા સાઇન મોનીટર!

પ્રથમ પગલું સૌથી સામાન્ય છે. X ની સાથે - ડાબી બાજુએ, X વિના - જમણી તરફ... આ પહેલું સરખું પરિવર્તન છે, સરળ અને મુશ્કેલી-મુક્ત.) ફક્ત સ્થાનાંતરિત શરતોના ચિહ્નો બદલવાનું ભૂલશો નહીં.

અસમાનતા ચિહ્ન રહે છે:

x-5x > -5-3

અહીં સમાન છે.

અસમાનતા ચિહ્ન રહે છે:

4x > -8

તે છેલ્લું સમાન રૂપાંતરણ લાગુ કરવાનું બાકી છે: બંને બાજુઓને -4 દ્વારા વિભાજીત કરો.

દ્વારા વિભાજીત કરો નકારાત્મકસંખ્યા

અસમાનતાનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાશે:

એક્સ < 2

આ જવાબ છે.

આ રીતે તમામ રેખીય અસમાનતાઓ ઉકેલાય છે.

ધ્યાન આપો! બિંદુ 2 સફેદ દોરવામાં આવે છે, એટલે કે. રંગ વગરનું. અંદર ખાલી. આનો અર્થ એ કે તેણી જવાબમાં શામેલ નથી! મેં તેણીને હેતુસર ખૂબ સ્વસ્થ બનાવ્યા. ગણિતમાં આવા બિંદુ (ખાલી, તંદુરસ્ત નથી!)) કહેવાય છે પંચર થયેલ બિંદુ.

ધરી પરની બાકીની સંખ્યાઓ ચિહ્નિત કરી શકાય છે, પરંતુ જરૂરી નથી. અસાધારણ સંખ્યાઓ કે જે આપણી અસમાનતા સાથે સંબંધિત નથી તે મૂંઝવણમાં મૂકે છે, હા... તમારે ફક્ત યાદ રાખવાની જરૂર છે કે સંખ્યાઓ તીરની દિશામાં વધે છે, એટલે કે. સંખ્યાઓ 3, 4, 5, વગેરે. છે જમણી તરફબે છે, અને સંખ્યાઓ 1, 0, -1, વગેરે છે. - ડાબી તરફ.

અસમાનતા x < 2 - કડક. X સખત રીતે બે કરતા ઓછો છે. જો શંકા હોય તો, તપાસ કરવી સરળ છે. અમે શંકાસ્પદ સંખ્યાને અસમાનતામાં બદલીએ છીએ અને વિચારીએ છીએ: "બે બે કરતા ઓછા છે, અલબત્ત!" તે સાચું છે. અસમાનતા 2 < 2 ખોટુંબદલામાં બે યોગ્ય નથી.

એક ઠીક છે? ચોક્કસ. ઓછી... અને શૂન્ય સારું છે, અને -17, અને 0.34... હા, બે કરતા ઓછી સંખ્યાઓ સારી છે! અને તે પણ 1.9999.... ઓછામાં ઓછું થોડું, પણ ઓછું!

તો ચાલો આ બધી સંખ્યાઓને સંખ્યા અક્ષ પર ચિહ્નિત કરીએ. કેવી રીતે? અહીં વિકલ્પો છે. વિકલ્પ એક શેડિંગ છે. અમે ચિત્ર પર માઉસ ખસેડીએ છીએ (અથવા ટેબ્લેટ પરના ચિત્રને સ્પર્શ કરીએ છીએ) અને જોઈએ છીએ કે x ની સ્થિતિને પૂર્ણ કરતા તમામ x નો વિસ્તાર શેડ થયેલ છે < 2 . બસ.

ચાલો બીજા ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને બીજા વિકલ્પને જોઈએ:

એક્સ ≥ -0,5

એક ધરી દોરો અને નંબર -0.5 ને ચિહ્નિત કરો. આની જેમ:

તફાવતની નોંધ લો?) સારું, હા, તે નોંધવું મુશ્કેલ છે... આ બિંદુ કાળું છે! ઉપર પેઇન્ટેડ. આનો અર્થ -0.5 જવાબમાં સમાવવામાં આવેલ છે.અહીં, માર્ગ દ્વારા, ચકાસણી કોઈને મૂંઝવણમાં મૂકી શકે છે. ચાલો અવેજી કરીએ:

-0,5 ≥ -0,5

કેવી રીતે? -0.5 -0.5 કરતાં વધુ નથી! અને ત્યાં વધુ ચિહ્ન છે ...

તે બરાબર છે. નબળા અસમાનતામાં, આયકન સાથે બંધબેસતી દરેક વસ્તુ યોગ્ય છે. અને બરાબરસારું, અને વધુસારું તેથી, -0.5 પ્રતિભાવમાં સમાવવામાં આવેલ છે.

તેથી, અમે ધરી પર -0.5 ચિહ્નિત કર્યા છે; આ વખતે હું યોગ્ય x મૂલ્યોના ક્ષેત્રને ચિહ્નિત કરું છું નમન(શબ્દમાંથી ચાપ), શેડિંગને બદલે. અમે ડ્રોઇંગ પર કર્સરને હોવર કરીએ છીએ અને આ ધનુષ જુઓ.

શેડિંગ અને આર્મ્સ વચ્ચે કોઈ ખાસ તફાવત નથી. શિક્ષક કહે તેમ કરો. જો કોઈ શિક્ષક ન હોય, તો કમાનો દોરો. વધુ જટિલ કાર્યોમાં, શેડિંગ ઓછું સ્પષ્ટ છે. તમે મૂંઝવણમાં પડી શકો છો.

આ રીતે અક્ષ પર રેખીય અસમાનતાઓ દોરવામાં આવે છે. ચાલો અસમાનતાના આગલા લક્ષણ તરફ આગળ વધીએ.

અસમાનતા માટે જવાબ લખી રહ્યા છીએ.

સમીકરણો સારા હતા.) અમને x મળ્યો અને જવાબ લખ્યો, ઉદાહરણ તરીકે: x=3. અસમાનતામાં જવાબો લખવાના બે પ્રકાર છે. એક અંતિમ અસમાનતાના સ્વરૂપમાં છે. સરળ કેસ માટે સારું. ઉદાહરણ તરીકે:

એક્સ< 2.

આ એક સંપૂર્ણ જવાબ છે.

કેટલીકવાર તમારે એક જ વસ્તુ લખવાની જરૂર છે, પરંતુ એક અલગ સ્વરૂપમાં, સંખ્યાત્મક અંતરાલો પર. પછી રેકોર્ડિંગ ખૂબ જ વૈજ્ઞાનિક દેખાવાનું શરૂ કરે છે):

x ∈ (-∞; 2)

ચિહ્ન હેઠળ ∈ શબ્દ છુપાયેલ છે "છે"

એન્ટ્રી આની જેમ વાંચે છે: x માઇનસ અનંતથી બે સુધીના અંતરાલનો છે સમાવેશ થતો નથી. તદ્દન તાર્કિક. X એ માઈનસ અનંતથી બે સુધીની તમામ સંભવિત સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે. ત્યાં ડબલ X હોઈ શકતો નથી, જે શબ્દ આપણને કહે છે "સહિત નથી".

અને જવાબમાં તે ક્યાં સ્પષ્ટ છે "સહિત નથી"? આ હકીકત જવાબમાં નોંધવામાં આવી છે ગોળાકારબે પછી તરત જ કૌંસ. જો બેનો સમાવેશ થાય, તો કૌંસ હશે ચોરસઆની જેમ: ]. નીચેના ઉદાહરણમાં આવા કૌંસનો ઉપયોગ થાય છે.

ચાલો જવાબ લખીએ: x ≥ -0,5 અંતરાલો પર:

x ∈ [-0.5; +∞)

વાંચે છે: x એ માઈનસ 0.5 થી અંતરાલનો છે, સહિત,વત્તા અનંત સુધી.

અનંતને ક્યારેય ચાલુ કરી શકાતું નથી. તે સંખ્યા નથી, પ્રતીક છે. તેથી, આવા સંકેતોમાં, અનંત હંમેશા કૌંસની બાજુમાં હોય છે.

રેકોર્ડિંગનું આ સ્વરૂપ અનેક જગ્યાઓ ધરાવતા જટિલ જવાબો માટે અનુકૂળ છે. પરંતુ - માત્ર અંતિમ જવાબો માટે. મધ્યવર્તી પરિણામોમાં, જ્યાં વધુ ઉકેલની અપેક્ષા છે, સામાન્ય અસમાનતાના સ્વરૂપમાં સામાન્ય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે. અમે સંબંધિત વિષયોમાં આ સાથે વ્યવહાર કરીશું.

અસમાનતા સાથે લોકપ્રિય કાર્યો.

રેખીય અસમાનતાઓ પોતે જ સરળ છે. તેથી, કાર્યો ઘણીવાર વધુ મુશ્કેલ બની જાય છે. તેથી વિચારવું જરૂરી હતું. આ, જો તમને તેની આદત ન હોય, તો તે ખૂબ સુખદ નથી.) પરંતુ તે ઉપયોગી છે. હું આવા કાર્યોના ઉદાહરણો બતાવીશ. તમારા માટે તેમને શીખવા માટે નથી, તે બિનજરૂરી છે. અને આવા ઉદાહરણોને મળતી વખતે ભયભીત ન થવા માટે. જરા વિચાર કરો - અને તે સરળ છે!)

1. અસમાનતા 3x - 3 માટે કોઈપણ બે ઉકેલો શોધો< 0

જો શું કરવું તે ખૂબ જ સ્પષ્ટ નથી, તો ગણિતનો મુખ્ય નિયમ યાદ રાખો:

જો તમને ખબર નથી કે તમને શું જોઈએ છે, તો તમે જે કરી શકો તે કરો!)

એક્સ < 1

અને શું? ખાસ કંઈ નથી. તેઓ અમને શું પૂછે છે? અમને બે ચોક્કસ સંખ્યાઓ શોધવાનું કહેવામાં આવે છે જે અસમાનતાનો ઉકેલ છે. તે. જવાબ ફિટ. બે કોઈપણસંખ્યાઓ વાસ્તવમાં, આ ગૂંચવણમાં મૂકે છે.) 0 અને 0.5 ની જોડી યોગ્ય છે. એક દંપતી -3 અને -8. આ યુગલોની અસંખ્ય સંખ્યા છે! કયો જવાબ સાચો છે ?!

હું જવાબ આપું છું: બધું! સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી, જેમાંથી દરેક એક કરતાં ઓછી હોય, સાચો જવાબ હશે.તમને જે જોઈએ છે તે લખો. ચાલો આગળ વધીએ.

2. અસમાનતા ઉકેલો:

4x - 3 ≠ 0

આ ફોર્મમાં કાર્યો દુર્લભ છે. પરંતુ, સહાયક અસમાનતાઓ તરીકે, જ્યારે ODZ શોધે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અથવા જ્યારે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધે છે, ત્યારે તે હંમેશા થાય છે. આવી રેખીય અસમાનતાને સામાન્ય રેખીય સમીકરણ તરીકે ઉકેલી શકાય છે. ફક્ત "=" ચિહ્ન સિવાય દરેક જગ્યાએ ( બરાબર) એક ચિહ્ન મૂકો " ≠ " (સમાન નથી). આ રીતે તમે અસમાનતા ચિહ્ન સાથે જવાબનો સંપર્ક કરો છો:

એક્સ ≠ 0,75

વધુ જટિલ ઉદાહરણોમાં, વસ્તુઓ અલગ રીતે કરવી વધુ સારું છે. સમાનતામાંથી અસમાનતા બનાવો. આની જેમ:

4x - 3 = 0

શીખવાડ્યા પ્રમાણે શાંતિથી તેને હલ કરો અને જવાબ મેળવો:

x = 0.75

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે, ખૂબ જ અંતે, અંતિમ જવાબ લખતી વખતે, ભૂલશો નહીં કે અમને x મળ્યો, જે આપે છે સમાનતાઅને અમને જરૂર છે - અસમાનતાતેથી, આપણને ખરેખર આ Xની જરૂર નથી.) અને આપણે તેને સાચા પ્રતીક સાથે લખવાની જરૂર છે:

એક્સ ≠ 0,75

આ અભિગમ ઓછી ભૂલોમાં પરિણમે છે. જેઓ આપમેળે સમીકરણો ઉકેલે છે. અને જેઓ સમીકરણો ઉકેલતા નથી, અસમાનતાઓ, હકીકતમાં, કોઈ કામની નથી...) લોકપ્રિય કાર્યનું બીજું ઉદાહરણ:

3. અસમાનતાનો સૌથી નાનો પૂર્ણાંક ઉકેલ શોધો:

3(x - 1) < 5x + 9

પ્રથમ આપણે અસમાનતાનો ઉકેલ લાવીશું. અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ, તેમને ખસેડીએ છીએ, સમાન લાવીએ છીએ... અમને મળે છે:

એક્સ > - 6

તે તે રીતે કામ કર્યું નથી!? શું તમે સંકેતોનું પાલન કર્યું!? અને સભ્યોના ચિહ્નો પાછળ અને અસમાનતાની નિશાની પાછળ...

ચાલો ફરી વિચારીએ. આપણે એક ચોક્કસ નંબર શોધવાની જરૂર છે જે જવાબ અને સ્થિતિ બંને સાથે મેળ ખાતી હોય "સૌથી નાનો પૂર્ણાંક".જો તે તરત જ તમારા પર ન આવે, તો તમે કોઈપણ નંબર લઈ શકો છો અને તેને શોધી શકો છો. બે ઓવર માઈનસ સિક્સ? ચોક્કસ! શું કોઈ યોગ્ય નાની સંખ્યા છે? અલબત્ત. ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય -6 કરતા વધારે છે. અને તે પણ ઓછું? અમને શક્ય તેટલી નાની વસ્તુની જરૂર છે! માઈનસ થ્રી એટલે માઈનસ સિક્સ કરતાં વધુ! તમે પહેલેથી જ પેટર્ન પકડી શકો છો અને મૂર્ખતાપૂર્વક નંબરોમાંથી પસાર થવાનું બંધ કરી શકો છો, ખરું ને?)

ચાલો -6 ની નજીકની સંખ્યા લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, -5. જવાબ પૂરો થાય છે, -5 > - 6. શું -5 થી ઓછી પરંતુ -6 થી મોટી બીજી સંખ્યા શોધવી શક્ય છે? તમે, ઉદાહરણ તરીકે, -5.5... રોકો! અમને કહેવામાં આવે છે સમગ્રઉકેલ! રોલ કરતું નથી -5.5! માઈનસ સિક્સ વિશે શું? ઉહ-ઉહ! અસમાનતા કડક છે, માઈનસ 6 કોઈ પણ રીતે માઈનસ 6 કરતા ઓછી નથી!

તેથી, સાચો જવાબ -5 છે.

હું આશા રાખું છું કે સામાન્ય ઉકેલમાંથી મૂલ્યની પસંદગી સાથે બધું સ્પષ્ટ છે. બીજું ઉદાહરણ:

4. અસમાનતા ઉકેલો:

7 < 3x+1 < 13

વાહ! આ અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે ત્રિવિધ અસમાનતા.કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, આ અસમાનતાઓની સિસ્ટમનું સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ છે. પરંતુ આવી ટ્રિપલ અસમાનતા હજુ પણ કેટલાક કાર્યોમાં ઉકેલવાની બાકી છે... તે કોઈપણ સિસ્ટમ વિના ઉકેલી શકાય છે. સમાન સમાન પરિવર્તનો અનુસાર.

આપણે આ અસમાનતાને શુદ્ધ Xમાં સરળ બનાવવાની જરૂર છે. પણ... શું ક્યાં ટ્રાન્સફર કરવું જોઈએ?! આ તે છે જ્યાં તે યાદ રાખવાનો સમય છે કે ડાબે અને જમણે ખસેડવું છે ટૂંકા સ્વરૂપપ્રથમ ઓળખ પરિવર્તન.

અને સંપૂર્ણ સ્વરૂપ આના જેવું લાગે છે: સમીકરણ (અસમાનતા) ની બંને બાજુએ કોઈપણ સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ ઉમેરી/બાકી કરી શકાય છે.

અહીં ત્રણ ભાગો છે. તેથી અમે ત્રણેય ભાગોમાં સમાન પરિવર્તનો લાગુ કરીશું!

તેથી, ચાલો અસમાનતાના મધ્ય ભાગમાં એકથી છુટકારો મેળવીએ. ચાલો સમગ્ર મધ્ય ભાગમાંથી એક બાદ કરીએ. જેથી અસમાનતા બદલાતી નથી, અમે બાકીના બે ભાગોમાંથી એક બાદ કરીએ છીએ. આની જેમ:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

તે વધુ સારું છે, બરાબર?) જે બાકી છે તે બધા ત્રણ ભાગોને ત્રણ ભાગમાં વહેંચવાનું છે:

2 < એક્સ < 4

બસ. આ જવાબ છે. X બે (સહિત નથી) થી ચાર (સહિત નહીં) સુધીની કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે. આ જવાબ પણ અંતરાલો પર લખાયેલ છે આવી એન્ટ્રીઓ ચતુર્ભુજ અસમાનતામાં હશે. ત્યાં તેઓ સૌથી સામાન્ય વસ્તુ છે.

પાઠના અંતે હું સૌથી મહત્વપૂર્ણ વસ્તુનું પુનરાવર્તન કરીશ. રેખીય અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સફળતા રેખીય સમીકરણોને પરિવર્તન અને સરળ બનાવવાની ક્ષમતા પર આધારિત છે. જો તે જ સમયે અસમાનતા ચિહ્ન માટે જુઓ,કોઈ સમસ્યા રહેશે નહીં. તે જ હું તમારા માટે ઈચ્છું છું. કોઈ સમસ્યા નથી.)

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.