ઓસિલેશન સમીકરણ. યાંત્રિક સ્પંદનો મૂળભૂત સૂત્રો યાંત્રિક સંતુલન યાંત્રિક સ્પંદનો અને તરંગોના સૂત્રો

અને બે મફત પાઠ મેળવો SkyEng અંગ્રેજી ભાષાની શાળામાં!
હું જાતે ત્યાં અભ્યાસ કરું છું - તે ખૂબ સરસ છે. પ્રગતિ છે.

એપ્લિકેશનમાં તમે શબ્દો શીખી શકો છો, સાંભળી શકો છો અને ઉચ્ચાર શીખી શકો છો.

તેને અજમાવી જુઓ. મારી લિંકનો ઉપયોગ કરીને મફતમાં બે પાઠ!
ક્લિક કરો

ઓસીલેટરી હલનચલન (અથવા ઓસિલેશન)ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ટેક્નોલોજીમાં આ પ્રકારની હલનચલન (અથવા રાજ્યોમાં થતા ફેરફારો) કહેવામાં આવે છે જેમાં અમુક અંશે પુનરાવર્તિતતા હોય છે.

સાઈન અથવા કોસાઈનના નિયમો અનુસાર થતા ઓસિલેશનને હાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે.

હાર્મોનિક વાઇબ્રેશન સમીકરણ:

જ્યાં ટી-ટાઇમ; x-મૂલ્ય સમય સાથે બદલાતું રહે છે (સંકલન, ચાર્જ, વર્તમાન, ઇએમએફ, વગેરે); A - ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર - સરેરાશ (શૂન્ય) મૂલ્યમાંથી ઓસીલેટીંગ મૂલ્યનું મહત્તમ વિચલન; - ઓસિલેશન તબક્કો; - પ્રારંભિક તબક્કો; w - ચક્રીય આવર્તન (એકમ સમય દીઠ તબક્કામાં ફેરફાર). સમયગાળા દરમિયાન તબક્કો બદલાય છે.

હાર્મોનિક સ્પંદનોનું વિભેદક સમીકરણ

ફોર્મનું સમીકરણ:

હાર્મોનિક સ્પંદનોનું વિભેદક સમીકરણ.

સામયિક ઓસિલેશનના પ્રકારોને હાર્મોનિક ઓસિલેશનના સરવાળા તરીકે, કહેવાતા હાર્મોનિક શ્રેણી તરીકે કોઈપણ ડિગ્રીની ચોકસાઈ સાથે રજૂ કરી શકાય છે.

જો શરીર સંતુલનમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે તો (કોઈપણ રીતે) અને પોતાની તરફ છોડી દેવામાં આવે તો તે જે ઓસિલેશન કરશે તેને ફ્રી (કુદરતી) ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છે. જો કુદરતી સ્પંદનો માત્ર અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળની હાજરીને કારણે થાય છે, તો તે હાર્મોનિક હશે.

અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળ અને ઘર્ષણ બળ (જે ત્વરિત ગતિના પ્રમાણસર હોય છે: ) ની એક સાથે ક્રિયાને કારણે થતા શારીરિક સ્પંદનોને ભીના ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છે.

સમીકરણ (3) ને ભીના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. અહીં એટેન્યુએશન ગુણાંક છે.

ઓસિલેશનના વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ

ભીના ઓસિલેશન (3) ના વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ એ ફોર્મનો સંબંધ છે:

સમીકરણ (4) ને ભીના ઓસિલેશનનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. સમીકરણ (4) બતાવે છે કે ભીના થયેલા ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સમય પર આધારિત છે. સ્થિરાંકો એ પ્રારંભિક શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટે છે અને તેઓ સામાન્ય રીતે ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે દેખાય છે. 1

ચોખા 1.

ભીના ઓસિલેશનનો સમયગાળો સૂત્ર (5) નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

ભીના ગુણાંકનો ભૌતિક અર્થ એ છે કે ભીનાશ ગુણાંક એ છૂટછાટના સમયનો પરસ્પર છે. અને છૂટછાટનો સમય એ સમય છે જે દરમિયાન કંપનવિસ્તાર e વખત ઘટે છે. જો કે, એટેન્યુએશન ગુણાંક એટેન્યુએશનને સંપૂર્ણપણે દર્શાવતું નથી. સામાન્ય રીતે, ઓસિલેશનની ભીનાશ ભીનાશ ઘટાડાની લાક્ષણિકતા છે. બાદમાં દર્શાવે છે કે ઓસિલેશન સમયગાળાની સમાન સમયગાળામાં ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર કેટલી વખત ઘટે છે. એટલે કે, ભીનાશમાં ઘટાડો નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે:

ભીના થતા ઘટાડાનો લઘુગણક લઘુગણક ઘટાડો કહેવાય છે, તે દેખીતી રીતે સમાન છે:

જો ઓસીલેટરી સિસ્ટમ બાહ્ય સામયિક બળના સંપર્કમાં આવે છે, તો કહેવાતા દબાણયુક્ત ઓસિલેશન્સ ઉદ્ભવે છે, જે પ્રકૃતિમાં અસ્પષ્ટ છે.

ફોર્સ્ડ ઓસિલેશનને સ્વ-ઓસિલેશનથી અલગ પાડવું જોઈએ. સિસ્ટમમાં સ્વ-ઓસિલેશનના કિસ્સામાં, એક વિશિષ્ટ મિકેનિઝમ માનવામાં આવે છે કે, તેના પોતાના ઓસિલેશન સાથે, સિસ્ટમને ઊર્જાના નાના ભાગો "સપ્લાય" કરે છે.

સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1

હાર્મોનિક ઓસિલેશન કાયદા અનુસાર થાય છે:

x = એ cos(ω t + φ 0),

જ્યાં x- સંતુલન સ્થિતિમાંથી કણનું વિસ્થાપન, એ– ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, ω – પરિપત્ર આવર્તન, φ 0 – પ્રારંભિક તબક્કો, t- સમય.

ઓસિલેશન સમયગાળો ટી = .

ઓસીલેટીંગ કણની ગતિ:

υ = = – એω sin(ω t + φ 0),

પ્રવેગક a = = –એω 2 cos (ω t + φ 0).

ઓસીલેટરી ગતિમાંથી પસાર થતા કણની ગતિ ઊર્જા: ઇ k = =
પાપ 2 (ω t+ φ 0).

સંભવિત ઊર્જા:

ઇ n=
cos 2 (ω t + φ 0).

પેન્ડુલમ ઓસિલેશનનો સમયગાળો

- વસંત ટી =
,

જ્યાં m- કાર્ગોનો સમૂહ, k- વસંતની જડતા ગુણાંક,

- ગાણિતિક ટી = ,

જ્યાં l- સસ્પેન્શન લંબાઈ, g- મુક્ત પતન પ્રવેગક,

- ભૌતિક ટી =
,

જ્યાં આઈ- સસ્પેન્શન બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષની તુલનામાં લોલકની જડતાની ક્ષણ, m- લોલકનો સમૂહ, l- સસ્પેન્શન બિંદુથી સમૂહના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર.

ભૌતિક લોલકની ઘટાડેલી લંબાઈ આ સ્થિતિમાંથી જોવા મળે છે: l np = ,

હોદ્દો ભૌતિક લોલક માટે સમાન છે.

જ્યારે સમાન આવર્તન અને એક દિશાના બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે કંપનવિસ્તાર સાથે સમાન આવર્તનનું હાર્મોનિક ઓસિલેશન પ્રાપ્ત થાય છે:

એ = એ 1 2 + એ 2 2 + 2એ 1 એ 2 cos(φ 2 – φ 1)

અને પ્રારંભિક તબક્કો: φ = આર્ક્ટાન
.

જ્યાં એ 1 , એ 2 – કંપનવિસ્તાર, φ 1, φ 2 – ફોલ્ડ ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કાઓ.

સમાન આવર્તનના પરસ્પર કાટખૂણે ઓસિલેશન ઉમેરતી વખતે પરિણામી ચળવળનો માર્ગ:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

ભીના ઓસિલેશન્સ કાયદા અનુસાર થાય છે:

x = એ 0 ઇ - β t cos(ω t + φ 0),

જ્યાં β એ ભીનાશ ગુણાંક છે, બાકીના પરિમાણોનો અર્થ હાર્મોનિક ઓસિલેશન જેવો જ છે, એ 0 - પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર. સમયની એક ક્ષણે tકંપન કંપનવિસ્તાર:

એ = એ 0 ઇ - β t .

લઘુગણક ભીનાશ ઘટાડાને કહેવામાં આવે છે:

λ = લોગ
= β ટી,

જ્યાં ટી- ઓસિલેશન સમયગાળો: ટી = .

ઓસીલેટરી સિસ્ટમના ગુણવત્તા પરિબળને કહેવામાં આવે છે:

વિમાન મુસાફરી તરંગના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

y = y 0 cos ω( t ± ),

જ્યાં ખાતે- સંતુલન સ્થિતિમાંથી ઓસીલેટીંગ જથ્થાનું વિસ્થાપન, ખાતે 0 – કંપનવિસ્તાર, ω – કોણીય આવર્તન, t- સમય, એક્સ- સંકલન કે જેની સાથે તરંગ ફેલાય છે, υ - તરંગોના પ્રસારની ગતિ.

“+” ચિહ્ન અક્ષની સામે પ્રસરી રહેલા તરંગને અનુરૂપ છે એક્સ, “–” ચિહ્ન ધરી સાથે પ્રસરી રહેલા તરંગને અનુરૂપ છે એક્સ.

તરંગલંબાઇને તેની અવકાશી અવધિ કહેવામાં આવે છે:

λ = υ ટી,

જ્યાં υ - તરંગ પ્રસારની ગતિ, ટી- ઓસિલેશનના પ્રચારનો સમયગાળો.

તરંગ સમીકરણ લખી શકાય છે:

y = y 0 cos 2π (+).

સ્થાયી તરંગને સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

y = (2y 0cos ) કારણ ω t.

સ્થાયી તરંગનું કંપનવિસ્તાર કૌંસમાં બંધાયેલું છે. મહત્તમ કંપનવિસ્તાર સાથેના બિંદુઓને એન્ટિનોડ્સ કહેવામાં આવે છે,

x n = n ,

શૂન્ય કંપનવિસ્તાર સાથેના બિંદુઓ - ગાંઠો,

x y = ( n + ) .

સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

સમસ્યા 20

હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર 50 મીમી છે, સમયગાળો 4 સે અને પ્રારંભિક તબક્કો છે . a) આ ઓસિલેશનનું સમીકરણ લખો; b) પર સંતુલન સ્થિતિથી ઓસીલેટીંગ બિંદુનું વિસ્થાપન શોધો t=0 અને પર t= 1.5 સે; c) આ ચળવળનો ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ

ઓસિલેશન સમીકરણ આ રીતે લખાયેલ છે x = a cos( t+  0).

સ્થિતિ અનુસાર, ઓસિલેશનનો સમયગાળો જાણીતો છે. તેના દ્વારા આપણે ગોળ આવર્તન  = વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ . બાકીના પરિમાણો જાણીતા છે:

અ) x= 0.05cos( t + ).

b) ઓફસેટ xખાતે t= 0.

x 1 = 0.05 cos = 0.05 = 0.0355 મી.

મુ t= 1.5 સે

x 2 = 0.05 cos( 1,5 + )= 0.05 cos  = – 0.05 મી.

વી ) ફંક્શનનો ગ્રાફ x=0.05cos ( t + ) આના જેવો દેખાય છે:

ચાલો કેટલાક બિંદુઓની સ્થિતિ નક્કી કરીએ. ઓળખાય છે એક્સ 1 (0) અને એક્સ 2 (1.5), તેમજ ઓસિલેશન સમયગાળો. તેથી,  દ્વારા t= 4 સે મૂલ્ય એક્સપુનરાવર્તન, અને પછી  t = 2 s ફેરફારોનું ચિહ્ન. મધ્યમાં મહત્તમ અને લઘુત્તમ વચ્ચે 0 છે.

સમસ્યા 21

બિંદુ હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે. ઓસિલેશન સમયગાળો 2 સે છે, કંપનવિસ્તાર 50 મીમી છે, પ્રારંભિક તબક્કો શૂન્ય છે. સમયની ક્ષણે બિંદુની ગતિ શોધો જ્યારે તેનું સંતુલન સ્થાનથી વિસ્થાપન 25 મીમી હોય.

ઉકેલ

1 રસ્તો. અમે બિંદુ ઓસિલેશનનું સમીકરણ લખીએ છીએ:

x= 0.05 cos t, કારણ કે  = =.

સમયની ક્ષણે ગતિ શોધવી t:

υ = = – 0,05 cos t.

અમે સમયની ક્ષણ શોધીએ છીએ જ્યારે વિસ્થાપન 0.025 મીટર છે:

0.025 = 0.05 cos t 1 ,

તેથી cos  t 1 = ,  t 1 = . અમે આ મૂલ્યને ઝડપ માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ:

υ = – 0.05  પાપ = - 0.05  = 0.136 m/s.

પદ્ધતિ 2. ઓસીલેટરી ગતિની કુલ ઊર્જા:

ઇ =
,

જ્યાં એ– કંપનવિસ્તાર,  – ગોળાકાર આવર્તન, m – કણ સમૂહ.

સમયની દરેક ક્ષણે તે બિંદુની સંભવિત અને ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે

ઇ k = , ઇ n = , પરંતુ k = m 2, જેનો અર્થ થાય છે ઇ n =
.

ચાલો ઊર્જાના સંરક્ષણનો કાયદો લખીએ:

= +
,

અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0.136 m/s.

સમસ્યા 22

સામગ્રી બિંદુના હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર એ= 2 સે.મી., કુલ ઊર્જા ઇ= 3∙10 -7 J. સંતુલન સ્થાનમાંથી કયા વિસ્થાપન પર બળ ઓસીલેટીંગ બિંદુ પર કાર્ય કરે છે એફ = 2.25∙10 -5 N?

ઉકેલ

હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતા બિંદુની કુલ ઉર્જા સમાન છે: ઇ =
. (13)

સ્થિતિસ્થાપક બળનું મોડ્યુલસ સંતુલન સ્થિતિમાંથી બિંદુઓના વિસ્થાપન દ્વારા વ્યક્ત થાય છે xનીચે મુજબ:

એફ = k x (14)

ફોર્મ્યુલા (13) માં સમૂહનો સમાવેશ થાય છે mઅને પરિપત્ર આવર્તન , અને (14) માં - જડતા ગુણાંક k. પરંતુ પરિપત્ર આવર્તન સંબંધિત છે mઅને k:

 2 = ,

અહીંથી k = m 2 અને F = m 2 x. વ્યક્ત કર્યા m 2 સંબંધમાંથી (13) આપણે મેળવીએ છીએ: m 2 = , એફ = x.

જ્યાંથી આપણે વિસ્થાપન માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ x: x = .

આંકડાકીય મૂલ્યોને બદલવાથી મળે છે:

x =
= 1.5∙10 -2 મીટર = 1.5 સે.મી.

સમસ્યા 23

બિંદુ સમાન સમયગાળા અને પ્રારંભિક તબક્કાઓ સાથે બે ઓસિલેશનમાં ભાગ લે છે. ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર એ 1 = 3 cm અને A 2 = 4 cm પરિણામી કંપનનું કંપનવિસ્તાર શોધો જો: 1) સ્પંદનો એક દિશામાં થાય છે; 2) સ્પંદનો પરસ્પર લંબ છે.

ઉકેલ

જો ઓસિલેશન એક દિશામાં થાય છે, તો પરિણામી ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર આ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં એ 1 અને એ 2 – ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર,  1 અને  2 – પ્રારંભિક તબક્કાઓ. સ્થિતિ અનુસાર, પ્રારંભિક તબક્કાઓ સમાન છે, જેનો અર્થ છે  2 –  1 = 0, અને cos 0 = 1.

આથી:

એ =
=
= એ 1 +એ 2 = 7 સે.મી.

જો ઓસિલેશન્સ પરસ્પર લંબ હોય, તો પરિણામી ગતિનું સમીકરણ આ હશે:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

શરત દ્વારા  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, સમીકરણ આ રીતે લખવામાં આવશે:
=0,

અથવા
=0,

અથવા
.

વચ્ચે પરિણામી સંબંધ xઅને ખાતેગ્રાફ પર ચિત્રિત કરી શકાય છે. આલેખ બતાવે છે કે પરિણામ સીધી રેખા પરના બિંદુનું ઓસિલેશન હશે MN. આ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર આ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે: =
એ

= 5 સે.મી.

સમસ્યા 24 ટીભીના ઓસિલેશનનો સમયગાળો t =4 સે, લઘુગણક ભીનાશમાં ઘટાડો  = 1.6, પ્રારંભિક તબક્કો શૂન્ય છે. પર પોઇન્ટ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ

ઉકેલ

શૂન્ય પ્રારંભિક તબક્કા સાથે ભીના ઓસિલેશનના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

x = એ 0 ઇ -  t cos2 .

સંખ્યાત્મક મૂલ્યોને બદલવા માટે પૂરતા પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર મૂલ્યો નથી એ 0 અને એટેન્યુએશન ગુણાંક .

લોગરીધમિક એટેન્યુએશન ઘટાડાના સંબંધ પરથી એટેન્યુએશન ગુણાંક નક્કી કરી શકાય છે:

 = ટી.

આમ  = = = 0.4 સે -1 .

પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર બીજી સ્થિતિને બદલીને નક્કી કરી શકાય છે:

4.5 સેમી = એ 0
cos 2 = એ 0
cos = એ 0
.

અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ:

એ 0 = 4,5∙

(cm) = 7.75 cm.

ગતિનું અંતિમ સમીકરણ છે:

x = 0,0775
ખર્ચ

સમસ્યા 25

ગાણિતિક લોલકનું લોગરીધમિક ડેમ્પિંગ ડિક્રમેન્ટ શું છે, જો માટે t = 1 મિનિટ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર અડધાથી ઘટ્યું? લોલક લંબાઈ l = 1 મી.

ઉકેલ

લઘુગણક ભીનાશ ઘટાડાને સંબંધમાંથી શોધી શકાય છે: =  ટી,

જ્યાં  એટેન્યુએશન ગુણાંક છે, ટી- ઓસિલેશનનો સમયગાળો. ગાણિતિક લોલકની કુદરતી પરિપત્ર આવર્તન:

 0 =
= 3.13 સે -1 .

ઓસિલેશન ડેમ્પિંગ ગુણાંક સ્થિતિ પરથી નક્કી કરી શકાય છે: એ 0 = એ 0 ઇ -  t ,

t= ln2 = 0.693,

 =
= 0.0116c -1 .

 થી<<  0 , то в формуле  =
 0 ની સરખામણીમાં અવગણના કરી શકાય છે અને ઓસિલેશન સમયગાળો સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે: ટી = = 2c.

અમે  અને ટીલોગરીધમિક ડેમ્પિંગ ડિક્રમેન્ટ માટે અભિવ્યક્તિમાં અને આપણને મળે છે:

 = ટી= 0.0116 s -1 ∙ 2 s = 0.0232.

સમસ્યા 26

અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેશનનું સમીકરણ ફોર્મમાં આપવામાં આવ્યું છે x= 4 sin600  tસેમી

અંતરે સ્થિત બિંદુની સમતુલા સ્થિતિ પરથી વિસ્થાપન શોધો lસ્પંદન સ્ત્રોતમાંથી = 75 સે.મી., મારફતે tઓસિલેશનની શરૂઆત પછી = 0.01 સે. ઓસિલેશન પ્રચાર ઝડપ υ = 300 m/s.

ઉકેલ

ચાલો આપેલ સ્ત્રોતમાંથી પ્રસરી રહેલા તરંગનું સમીકરણ લખીએ: x= 0.04 પાપ 600 ( t– ).

આપણે આપેલ જગ્યાએ આપેલ સમયે તરંગનો તબક્કો શોધીએ છીએ:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0.0075 = 4.5,

sin 4.5 = sin = 1.

તેથી, બિંદુ વિસ્થાપન x= 0.04 મીટર, એટલે કે. ના અંતરે l = સમયે સ્ત્રોતથી 75 સે.મી t= 0.01 સે મહત્તમ બિંદુ વિસ્થાપન.

સંદર્ભો

Volkenshtein V.S.. ભૌતિકશાસ્ત્રના સામાન્ય અભ્યાસક્રમ માટે સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: સ્પેટ્સલિટ, 2001.

સેવલીવ આઇ.વી.. સામાન્ય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રશ્નો અને સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. - એમ.: નૌકા, 1998.

(lat. કંપનવિસ્તાર- મેગ્નિટ્યુડ) એ સંતુલન સ્થિતિથી ઓસીલેટીંગ બોડીનું સૌથી મોટું વિચલન છે.

લોલક માટે, આ મહત્તમ અંતર છે જે બોલ તેની સંતુલન સ્થિતિથી દૂર જાય છે (નીચેની આકૃતિ). નાના કંપનવિસ્તાર સાથેના ઓસિલેશન માટે, આવા અંતરને આર્ક 01 અથવા 02 ની લંબાઈ તેમજ આ સેગમેન્ટ્સની લંબાઈ તરીકે લઈ શકાય છે.

ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર લંબાઈના એકમોમાં માપવામાં આવે છે - મીટર, સેન્ટિમીટર, વગેરે. ઓસિલેશન ગ્રાફ પર, કંપનવિસ્તારને સિનુસોઇડલ વળાંકના મહત્તમ (મોડ્યુલો) ઓર્ડિનેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (નીચેની આકૃતિ જુઓ).

ઓસિલેશન સમયગાળો.

ઓસિલેશન સમયગાળો- આ સૌથી ટૂંકો સમયગાળો છે કે જેના દ્વારા ઓસીલેટીંગ સિસ્ટમ ફરીથી તે જ સ્થિતિમાં પરત આવે છે જેમાં તે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે હતી, મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવી હતી.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઓસિલેશન સમયગાળો ( ટી) એ સમય છે જે દરમિયાન એક સંપૂર્ણ ઓસિલેશન થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની આકૃતિમાં, આ તે સમય છે જે લોલક બોબને સમતુલા બિંદુથી જમણી બાજુએથી ખસવા માટે લે છે. વિશેદૂર ડાબી બાજુ અને બિંદુ દ્વારા પાછા વિશેફરી જમણી તરફ.

ઓસિલેશનના સંપૂર્ણ સમયગાળા દરમિયાન, શરીર આમ ચાર કંપનવિસ્તારના સમાન માર્ગની મુસાફરી કરે છે. ઓસિલેશનનો સમયગાળો સમયના એકમો - સેકન્ડ, મિનિટ વગેરેમાં માપવામાં આવે છે. ઓસિલેશનનો સમયગાળો ઓસિલેશનના જાણીતા ગ્રાફ પરથી નક્કી કરી શકાય છે (નીચેની આકૃતિ જુઓ).

"ઓસિલેશન અવધિ" ની વિભાવના, સખત રીતે કહીએ તો, માત્ર ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે ઓસીલેટીંગ જથ્થાના મૂલ્યો ચોક્કસ સમયગાળા પછી બરાબર પુનરાવર્તિત થાય છે, એટલે કે હાર્મોનિક ઓસિલેશન માટે. જો કે, આ ખ્યાલ લગભગ પુનરાવર્તિત જથ્થાના કેસોને પણ લાગુ પડે છે, ઉદાહરણ તરીકે, માટે ભીના ઓસિલેશન.

ઓસિલેશન આવર્તન.

ઓસિલેશન આવર્તન- આ સમયના એકમ દીઠ કરવામાં આવતી ઓસિલેશનની સંખ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, 1 સે.

આવર્તનનું SI એકમ નામ આપવામાં આવ્યું છે હર્ટ્ઝ(હર્ટ્ઝજર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી જી. હર્ટ્ઝ (1857-1894) ના સન્માનમાં. જો ઓસિલેશન આવર્તન ( વિ) બરાબર છે 1 હર્ટ્ઝ, આનો અર્થ એ છે કે દર સેકન્ડે એક ઓસિલેશન છે. ઓસિલેશનની આવર્તન અને અવધિ સંબંધો દ્વારા સંબંધિત છે:

ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં તેઓ ખ્યાલનો પણ ઉપયોગ કરે છે ચક્રીય, અથવા પરિપત્ર આવર્તન ω . તે સામાન્ય આવર્તન સાથે સંબંધિત છે વિઅને ઓસિલેશન સમયગાળો ટીગુણોત્તર

.

ચક્રીય આવર્તનપ્રતિ કરવામાં આવેલ ઓસિલેશનની સંખ્યા છે 2πસેકન્ડ

હાર્મોનિક સમીકરણ

જ્યાં X -સંતુલન સ્થિતિમાંથી ઓસીલેટીંગ બિંદુનું વિસ્થાપન;
t- સમય; એ,ω, φ - કંપનવિસ્તાર, કોણીય આવર્તન, અનુક્રમે,
ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો; - આ ક્ષણે ઓસિલેશનનો તબક્કો t.

કોણીય આવર્તન

જ્યાં ν અને T એ ઓસિલેશનની આવર્તન અને અવધિ છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતા બિંદુની ગતિ છે

હાર્મોનિક ઓસિલેશન દરમિયાન પ્રવેગક

કંપનવિસ્તાર એએક જ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે બે ઓસિલેશન ઉમેરીને મેળવેલ પરિણામી ઓસિલેશન, એક સીધી રેખા સાથે થાય છે, તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં a 1 અને એ 2 - કંપન ઘટકોના કંપનવિસ્તાર; φ 1 અને φ 2 તેમના પ્રારંભિક તબક્કાઓ છે.

પરિણામી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો φ સૂત્રમાંથી શોધી શકાય છે

વિવિધ પરંતુ સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ ν 1 અને ν 2,

કંપનવિસ્તાર A 1 અને A 2 અને પ્રારંભિક તબક્કાઓ φ 1 અને φ 2,

જો ઓસિલેશન ઘટકોના પ્રારંભિક તબક્કાઓ φ 1 અને φ 2 સમાન હોય, તો માર્ગ સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

એટલે કે, બિંદુ સીધી રેખામાં ખસે છે.

તબક્કો તફાવત છે તે ઘટનામાં, સમીકરણ
ફોર્મ લે છે

એટલે કે, બિંદુ લંબગોળ સાથે ખસે છે.

સામગ્રી બિંદુના હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ

અથવા,
જ્યાં m બિંદુનો સમૂહ છે; k-અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળ ગુણાંક ( k=ટીω 2).

હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતી સામગ્રી બિંદુની કુલ ઊર્જા છે

વસંત (વસંત લોલક) પર સ્થગિત શરીરના ઓસિલેશનનો સમયગાળો

જ્યાં m- શરીરનું વજન; k-વસંતની જડતા. સૂત્ર એ મર્યાદામાં સ્થિતિસ્થાપક સ્પંદનો માટે માન્ય છે જેમાં હૂકનો કાયદો સંતુષ્ટ છે (શરીરના સમૂહની તુલનામાં વસંતના નાના સમૂહ સાથે).

ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો

જ્યાં l- લોલકની લંબાઈ; જી-ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગક. ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો

જ્યાં જે- ધરીને સંબંધિત ઓસીલેટીંગ બોડીની જડતાની ક્ષણ

ખચકાટ એ- ઓસિલેશનની ધરીથી લોલકના સમૂહના કેન્દ્રનું અંતર;

ભૌતિક લોલકની ઘટાડેલી લંબાઈ.

આપેલ ફોર્મ્યુલા અમર્યાદિત કંપનવિસ્તારના કેસ માટે સચોટ છે. મર્યાદિત કંપનવિસ્તાર માટે, આ સૂત્રો માત્ર અંદાજિત પરિણામો આપે છે. કરતાં વધુ ન હોય તેવા કંપનવિસ્તાર પર, સમયગાળાના મૂલ્યમાં ભૂલ 1% થી વધુ નથી.

સ્થિતિસ્થાપક થ્રેડ પર લટકાવેલા શરીરના ટોર્સનલ સ્પંદનોનો સમયગાળો છે

જ્યાં J-સ્થિતિસ્થાપક થ્રેડ સાથે સુસંગત અક્ષની તુલનામાં શરીરની જડતાની ક્ષણ; k-સ્થિતિસ્થાપક થ્રેડની કઠોરતા, જે સ્થિતિસ્થાપક ક્ષણના ગુણોત્તર સમાન હોય છે જ્યારે થ્રેડને જે ખૂણા પર ટ્વિસ્ટ કરવામાં આવે છે તે કોણ તરફ વળે છે.

ભીના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ
, અથવા ,

જ્યાં આર- પ્રતિકાર ગુણાંક; δ - એટેન્યુએશન ગુણાંક: ; ω 0 - ઓસિલેશનની કુદરતી કોણીય આવર્તન *

ડમ્પ્ડ ઓસિલેશન સમીકરણ

જ્યાં A(t)-આ ક્ષણે ભીના થયેલા ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર t;ω તેમની કોણીય આવર્તન છે.

ભીના ઓસિલેશનની કોણીય આવર્તન

О સમયસર ભીના થયેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારનું અવલંબન

જ્યાં એ 0 - આ ક્ષણે ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર t=0.

લોગરીધમિક ઓસિલેશનમાં ઘટાડો

જ્યાં A(t)અને A (t+T) -સમયગાળા દ્વારા સમયાંતરે અલગ કરાયેલા બે ક્રમિક ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર.

ફરજિયાત ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ

બાહ્ય સામયિક બળ ક્યાં કાર્ય કરે છે
સામગ્રી બિંદુ ઓસીલેટીંગ અને ફરજ પડી કારણ
વધઘટ F 0 -તેનું કંપનવિસ્તાર મૂલ્ય;

દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર

રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી અને રેઝોનન્ટ કંપનવિસ્તાર અને

સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1.બિંદુ કાયદા અનુસાર oscillates x(t)= ,જ્યાં A=2પ્રારંભિક તબક્કો નક્કી કરો φ જો જુઓ

x(0) = સેમી અને એક્સ , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
કોપ t=0.

ઉકેલ. ચાલો ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ અને આ ક્ષણે વિસ્થાપનને વ્યક્ત કરીએ tપ્રારંભિક તબક્કા દ્વારા =0:

અહીંથી આપણે પ્રારંભિક તબક્કો શોધીએ છીએ:

* હાર્મોનિક સ્પંદનો માટે અગાઉ આપેલા સૂત્રોમાં, સમાન જથ્થાને ખાલી ω (ઇન્ડેક્સ 0 વિના) નિયુક્ત કરવામાં આવી હતી.

ચાલો આપેલ મૂલ્યોને આ અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ x(0) અને અ:φ=
= દલીલનું મૂલ્ય સંતોષે છે
બે કોણ મૂલ્યો:

આમાંથી કયું કોણ મૂલ્ય φ સંતોષે છે તે નક્કી કરવા માટે
શરતને પણ સંતોષે છે, ચાલો પહેલા શોધીએ:

આ અભિવ્યક્તિમાં મૂલ્યને બદલીને t=0 અને વૈકલ્પિક મૂલ્યો
પ્રારંભિક તબક્કાઓ અને , આપણે શોધીએ છીએ

હંમેશની જેમ એ>0 અને ω>0, પછી જ
પ્રારંભિક તબક્કાના પ્રથમ મૂલ્ય સુધી.
આમ, જરૂરી પ્રારંભિક
તબક્કો

φ ના મળેલ મૂલ્યના આધારે, અમે રચના કરીએ છીએ
તેમને વેક્ટર ડાયાગ્રામ (ફિગ. 6.1).
ઉદાહરણ 2.સામગ્રી બિંદુ
સમૂહ ટી=5 ગ્રામ હાર્મોનિક કરે છે
આવર્તન સાથે ઓસિલેશન ν =0.5 હર્ટ્ઝ.
ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર એ=3 સે.મી.
ભાગાકાર: 1) ઝડપ υ પોઈન્ટ્સ mo- માં
સમય માં ક્ષણ જ્યારે ઓફસેટ x=
= 1.5 સેમી; 2) મહત્તમ શક્તિ
એફ મહત્તમ એક બિંદુ પર અભિનય; 3)
ચોખા. 6.1 કુલ ઊર્જા ઇઓસીલેટીંગ પોઈન્ટ
કી

અને અમે ડિસ્પ્લેસમેન્ટનું પ્રથમ વખત ડેરિવેટિવ લઈને સ્પીડ ફોર્મ્યુલા મેળવીએ છીએ:

વિસ્થાપન દ્વારા ઝડપ વ્યક્ત કરવા માટે, ફોર્મ્યુલા (1) અને (2) માંથી સમયને બાકાત રાખવો જરૂરી છે. આ કરવા માટે, આપણે બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીએ છીએ અને પ્રથમને વડે ભાગીએ છીએ A 2, A 2 ω 2 પર બીજો અને ઉમેરો:

અથવા

υ માટે છેલ્લું સમીકરણ હલ કર્યા પછી , અમે શોધીશું

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કર્યા પછી, આપણને મળે છે

જ્યારે વેગની દિશા ધરીની સકારાત્મક દિશા સાથે એકરુપ હોય ત્યારે વત્તાનું ચિહ્ન કેસને અનુરૂપ હોય છે X,બાદબાકીનું ચિહ્ન - જ્યારે વેગની દિશા અક્ષની નકારાત્મક દિશા સાથે એકરુપ હોય છે એક્સ.

સમીકરણ (1) ઉપરાંત હાર્મોનિક ઓસિલેશન દરમિયાન વિસ્થાપન પણ સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે

આ સમીકરણ સાથે સમાન ઉકેલને પુનરાવર્તિત કરવાથી, આપણને સમાન જવાબ મળે છે.

2. અમે ન્યુટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને એક બિંદુ પર કાર્ય કરતા બળ શોધીએ છીએ:

જ્યાં A -બિંદુનું પ્રવેગક, જે આપણે ઝડપનો સમય વ્યુત્પન્ન કરીને મેળવીએ છીએ:

પ્રવેગક અભિવ્યક્તિને સૂત્ર (3) માં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

તેથી બળનું મહત્તમ મૂલ્ય

આ સમીકરણમાં π, ν ના મૂલ્યોને બદલીને, ટીઅને એ,અમે શોધીશું

3. ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટની કુલ ઉર્જા એ સમયની કોઈપણ ક્ષણ માટે ગણતરી કરેલ ગતિ અને સંભવિત ઉર્જાઓનો સરવાળો છે.

કુલ ઊર્જાની ગણતરી કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ ક્ષણ છે જ્યારે ગતિ ઊર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. આ ક્ષણે સંભવિત ઊર્જા શૂન્ય છે. તેથી કુલ ઊર્જા ઇઓસીલેટીંગ પોઈન્ટ મહત્તમ ગતિ ઊર્જા સમાન છે

અમે ફોર્મ્યુલા (2), મૂકીને મહત્તમ ઝડપ નક્કી કરીએ છીએ
: . ફોર્મમાં ઝડપ માટે અભિવ્યક્તિને બદલીને
મુલુ (4), ચાલો શોધીએ

આ સૂત્રમાં જથ્થાના મૂલ્યોને બદલીને અને ગણતરીઓ કરવાથી, આપણને મળે છે

અથવા µJ.

ઉદાહરણ 3. l= 1 મીટર અને સમૂહ m 3 =400 ગ્રામ દડા સાથે પ્રબલિત નાના દડા m 1 =200 ગી m 2 = 300 ગ્રામ. સળિયા એક આડી અક્ષ, કાટખૂણે ફરે છે

સળિયા માટે dicular અને તેના મધ્યમાંથી પસાર થવું (ફિગ. 6.2 માં બિંદુ O). સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીસળિયા દ્વારા બનાવેલ ઓસિલેશન.

ઉકેલ. ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો, જેમ કે દડાઓ સાથેનો સળિયો, સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

જ્યાં J- ટી -તેનો સમૂહ; એલ સી -લોલકના સમૂહના કેન્દ્રથી ધરી સુધીનું અંતર.

આ લોલકની જડતાની ક્ષણ બોલની જડતાની ક્ષણોના સરવાળા જેટલી છે જે 1 અને J2અને લાકડી જે 3:

દડાઓને ભૌતિક બિંદુઓ તરીકે લેતા, અમે તેમની જડતાની ક્ષણોને વ્યક્ત કરીએ છીએ:

ત્યારથી અક્ષ સળિયાની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે, પછી
આ અક્ષ વિશે તેની જડતાની ક્ષણ જે 3 =
= . પરિણામી અભિવ્યક્તિઓને બદલીને જે 1 , J2અને
જે 3 સૂત્ર (2) માં, આપણે ફાઈ-ની જડતાની કુલ ક્ષણ શોધીએ છીએ
સ્થિર લોલક:

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ હાથ ધર્યા પછી, આપણે શોધીએ છીએ

ચોખા. 6.2 લોલકના દળમાં દડા અને દળના સમૂહનો સમાવેશ થાય છે
લાકડી:

અંતર એલ સીઅમે નીચેની બાબતોના આધારે ઓસિલેશનની અક્ષમાંથી લોલકના દળનું કેન્દ્ર શોધીશું. જો ધરી એક્સસળિયા સાથે દિશામાન કરો અને કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળને બિંદુ સાથે સંરેખિત કરો વિશે,પછી જરૂરી અંતર lલોલકના સમૂહના કેન્દ્રના સંકલન સમાન, એટલે કે.

જથ્થાના મૂલ્યોને બદલીને m 1 , m 2 , m, lઅને ગણતરીઓ કર્યા પછી, આપણે શોધીએ છીએ

સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કર્યા પછી, અમે ભૌતિક લોલકનો ઓસિલેશન સમયગાળો મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.ભૌતિક લોલક એક લાકડી છે
લંબાઈ l= 1 મીટર અને સમૂહ 3 ટી 1 સાથેતેના એક છેડા સાથે જોડાયેલ
હૂપ વ્યાસ અને વજન ટી 1 . આડી ધરી ઓઝ

પેન્ડુલમ સળિયાની મધ્યમાંથી તેની કાટખૂણેથી પસાર થાય છે (ફિગ. 6.3). સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીઆવા લોલકના ઓસિલેશન.

ઉકેલ. ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(1)

જ્યાં J-ઓસિલેશનની અક્ષની તુલનામાં લોલકની જડતાની ક્ષણ; ટી -તેનો સમૂહ; lસી - લોલકના સમૂહના કેન્દ્રથી ઓસિલેશનની અક્ષ સુધીનું અંતર.

લોલકની જડતાની ક્ષણ સળિયાની જડતાની ક્ષણોના સરવાળા જેટલી છે જે 1 અને હૂપ જે 2:

અક્ષની તુલનામાં સળિયાની જડતાની ક્ષણ,
લાકડી અને પસાર થવા માટે લંબરૂપ
તેના સમૂહના કેન્દ્ર દ્વારા, ફોર્મ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે-
લે આ કિસ્સામાં t= 3ટી 1 અને

આપણે હૂપનો ઉપયોગ કરીને જડતાની ક્ષણ શોધીશું
સ્ટેઈનરની પ્રમેય કહેવાય છે,
જ્યાં J-તરફી સંબંધી જડતાની ક્ષણ
મનસ્વી અક્ષ; J 0 -સંબંધિત જડતાની ક્ષણ
સમૂહના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની તુલનામાં
આપેલ ધરીની સમાંતર; A -અંતર
દર્શાવેલ અક્ષો વચ્ચે. આ ફોર્મનો ઉપયોગ કરીને
હૂપ માટે ખચ્ચર, અમને મળે છે

અવેજી અભિવ્યક્તિઓ જે 1 અને જેસૂત્ર (2) માં 2, આપણે પરિભ્રમણની અક્ષની તુલનામાં લોલકની જડતાની ક્ષણ શોધીએ છીએ:

અંતર એલ સીલોલકની ધરીથી તેના દળના કેન્દ્ર સુધી સમાન છે

સૂત્ર (1) માં અભિવ્યક્તિઓને બદલીને જે, l s અને લોલકનો સમૂહ, આપણે તેના ઓસિલેશનનો સમયગાળો શોધીએ છીએ:

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કર્યા પછી આપણને મળે છે ટી=2.17 સે.

ઉદાહરણ 5.સમાન દિશામાં બે ઓસિલેશન ઉમેરવામાં આવે છે
સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલા શબ્દો; x 2 =
= , ક્યાં એ 1 = 1 સે.મી., એ 2 =2 cm, s, s, ω =
= 1. ઓસીલેટરી ઘટકોના પ્રારંભિક તબક્કાઓ φ 1 અને φ 2 નક્કી કરો

બાનિયા. 2. કંપનવિસ્તાર શોધો એઅને પરિણામી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો φ. પરિણામી કંપન માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ. 1. હાર્મોનિક વાઇબ્રેશનનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

ચાલો સમસ્યા નિવેદનમાં ઉલ્લેખિત સમીકરણોને સમાન સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

સમાનતા (1) સાથે અભિવ્યક્તિઓ (2) ની સરખામણીથી, આપણે પ્રથમ અને બીજા ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કાઓ શોધીએ છીએ:

પ્રસન્ન અને પ્રસન્ન.

2. કંપનવિસ્તાર નક્કી કરવા એપરિણામી ઓસિલેશનમાં, પ્રસ્તુત વેક્ટર ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે ચોખા 6.4. કોસાઇન પ્રમેય મુજબ, આપણને મળે છે

ઓસિલેશનના ઘટકો વચ્ચેના તબક્કામાં તફાવત ક્યાં છે.
, ત્યારથી, મળેલ અવેજીમાં
φ 2 અને φ 1 ની કિંમતો rad છે.

ચાલો મૂલ્યોને બદલીએ એ 1 , એ 2 અને ફોર્મ્યુલામાં (3) અને
ચાલો ગણતરીઓ કરીએ:

A= 2.65 સે.મી.

પરિણામી ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કા φ ની સ્પર્શક નક્કી કરવામાં આવે છે
અંજીરમાંથી સીધા લિમ. 6.4: , થી
હા પ્રારંભિક તબક્કો

ચાલો મૂલ્યોને બદલીએ એ 1 , એ 2 , φ 1, φ 2 અને ગણતરીઓ કરો:

ઉમેરાયેલ ઓસિલેશનની કોણીય આવર્તન સમાન હોવાથી,
પછી પરિણામી ઓસિલેશનની સમાન આવર્તન હશે ω. આ
અમને ફોર્મમાં પરિણામી કંપનનું સમીકરણ લખવા દે છે
, ક્યાં એ=2.65 સેમી, , રેડ.

ઉદાહરણ 6.ભૌતિક બિંદુ બે પરસ્પર લંબરૂપ હાર્મોનિક ઓસિલેશનમાં વારાફરતી ભાગ લે છે, જેનાં સમીકરણો

જ્યાં a 1 = 1 સે.મી., એ 2 =2 સે.મી., . બિંદુના માર્ગનું સમીકરણ શોધો
કી સ્કેલને માન આપીને એક માર્ગ બનાવો અને સૂચવો
બિંદુની હિલચાલની દિશા.

ઉકેલ. બિંદુના માર્ગ માટે સમીકરણ શોધવા માટે, અમે સમયને દૂર કરીએ છીએ tઆપેલ સમીકરણોમાંથી (1) અને (2). આ કરવા માટે, ઉપયોગ કરો

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ. આ કિસ્સામાં
, એટલે જ

ફોર્મ્યુલા (1) મુજબ હોવાથી , પછી બોલ સમીકરણ
રીસ

પરિણામી અભિવ્યક્તિ એ પેરાબોલાનું સમીકરણ છે જેની ધરી ધરી સાથે એકરુપ છે ઓહ.સમીકરણો (1) અને (2) પરથી તે અનુસરે છે કે સંકલન અક્ષો સાથે બિંદુનું વિસ્થાપન મર્યાદિત છે અને અક્ષ સાથે -1 થી +1 સેમી સુધીની રેન્જ ધરાવે છે. ઓહઅને ધરી સાથે -2 થી +2 સે.મી ઓહ.

બોલ બનાવવા માટે, અમે મૂલ્યો શોધવા માટે સમીકરણ (3) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ y,મૂલ્યોની શ્રેણીને અનુરૂપ X,સ્થિતિને સંતોષતા સે.મી., અને ટેબલ બનાવો:

બિંદુની હિલચાલની દિશા સૂચવવા માટે, અમે સમય સાથે તેની સ્થિતિ કેવી રીતે બદલાય છે તેનું નિરીક્ષણ કરીશું. પ્રારંભિક ક્ષણે t=0 પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે x(0)=1 સેમી અને y(0)=2 સેમી સમયના અનુગામી બિંદુએ, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે t 1 =l s, બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલાશે અને સમાન બનશે એક્સ(1) = -1 સેમી, y( t )=0. સમયની પ્રારંભિક અને અનુગામી (બંધ) ક્ષણો પર બિંદુઓની સ્થિતિને જાણીને, તમે માર્ગ સાથે બિંદુની હિલચાલની દિશા સૂચવી શકો છો. ફિગ માં. 6.5 ચળવળની આ દિશા તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (બિંદુથી એમૂળ સુધી). ક્ષણ પછી t 2 = 2 s ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટ પોઈન્ટ સુધી પહોંચશે ડી,તે વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધશે.

હાર્મોનિક ઓસિલેશનની ગતિશાસ્ત્ર

6.1. બિંદુ ઓસિલેશનના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે,
જ્યાં ω=π s -1, τ=0.2 s. સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીઅને પ્રારંભિક તબક્કો φ
ખચકાટ

6.2. સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટી,આવર્તન v અને પ્રારંભિક તબક્કો φ ઓસિલેશન, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં ω=2.5π s -1,
τ=0.4 સે.

6.3.
જ્યાં એ x(0)=2સેમી અને
; 2) x(0) = cm અને ; 3) x(0)=2cm અને ; 4)
x(0)= અને . માટે વેક્ટર ડાયાગ્રામ બનાવો
ક્ષણ t=0.

6.4. બિંદુ કાયદા અનુસાર ઓસીલેટ થાય છે,
જ્યાં એ=4 સેમી પ્રારંભિક તબક્કો નક્કી કરો φ જો: 1) x(0)=2સેમી અને
; 2) x(0) = સેમી અને ; 3) એક્સ(0) = સેમી અને ;
4) x(0) = સેમી અને . માટે વેક્ટર ડાયાગ્રામ બનાવો
ક્ષણ t=0.

6.5. બિંદુ કાયદા અનુસાર ઓસીલેટ થાય છે,
જ્યાં એ=2 સેમી; ; φ= π/4 રેડ. નિર્ભરતા ગ્રાફ બનાવો
સમયથી: 1) વિસ્થાપન x(t); 2) ઝડપ; 3) પ્રવેગક

6.6. બિંદુ કંપનવિસ્તાર સાથે ઓસીલેટ થાય છે એ=4 સેમી અને સમયગાળો T=2 સે.આ ઓસિલેશન માટે એક સમીકરણ લખો, એમ ધારીને કે માં
ક્ષણ t=0 ઓફસેટ x(0)=0અને . તબક્કો નક્કી કરો
સમય માં બે ક્ષણો માટે: 1) જ્યારે વિસ્થાપન x= 1cm અને ;
2) જ્યારે ઝડપ = -6 cm/s અને x<0.

6.7. બિંદુ T=6 s ના સમયગાળા સાથે વર્તુળની વિરુદ્ધ દિશામાં એકસરખી રીતે ફરે છે. વ્યાસ ડીવર્તુળ 20 સેમી છે અક્ષ પરના બિંદુના પ્રક્ષેપણની ગતિનું સમીકરણ લખો X,વર્તુળના મધ્યમાંથી પસાર થવું, જો સમયની ક્ષણે પ્રારંભિક તરીકે લેવામાં આવે, તો ધરી પર પ્રક્ષેપણ એક્સશૂન્ય બરાબર. ઓફસેટ શોધો X,ત્વરિત સમયે બિંદુના પ્રક્ષેપણની ઝડપ અને પ્રવેગક t= 1 સે.

6.8. કંપનવિસ્તાર સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતા બિંદુની ઝડપ અને પ્રવેગકના મહત્તમ મૂલ્યો નક્કી કરો A= 3cm અને કોણીય આવર્તન

6.9. બિંદુ કાયદા અનુસાર oscillates, જ્યાં A =
=5 સેમી; . સમયની ક્ષણે બિંદુની પ્રવેગકતા નક્કી કરો,
જ્યારે તેની ઝડપ = 8 cm/s.

6.10. બિંદુ હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે. મહાનતમ
પૂર્વગ્રહ x m ah બિંદુ 10 cm છે, મહત્તમ ઝડપ =
=20 સેમી/સે. ઓસિલેશનની કોણીય આવર્તન ω અને બિંદુની મહત્તમ પ્રવેગક શોધો.

6.11. હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતા બિંદુની મહત્તમ ઝડપ 10 સેમી/સે છે, મહત્તમ પ્રવેગ =
= 100 સેમી/સે 2 . ઓસિલેશનની કોણીય આવર્તન ω, તેમનો સમયગાળો શોધો ટી
અને કંપનવિસ્તાર એ.પ્રારંભિક તબક્કાને શૂન્યની બરાબર લઈને, ઓસિલેશનનું સમીકરણ લખો.

6.12. બિંદુ કાયદા અનુસાર oscillates. અમુક સમયે વિસ્થાપન એક્સ 1 બિંદુ 5 સે.મી.ની બરાબર નીકળ્યું, જ્યારે વિસ્થાપન તબક્કો બમણો થયો, ત્યારે વિસ્થાપન x 8 સે.મી એખચકાટ

6.13. બિંદુ કાયદા અનુસાર oscillates.
અમુક સમયે વિસ્થાપન એક્સબિંદુ 5 સેમી છે, તેની ઝડપ
= 20 cm/s અને પ્રવેગક = -80 cm/s 2. કંપનવિસ્તાર શોધો એ, કોણીય આવર્તન ω, સમયગાળો ટીસમયસર ગણવામાં આવેલ ક્ષણે ઓસિલેશન અને તબક્કો.

સ્પંદનોનો ઉમેરો

6.14. કંપનવિસ્તાર સાથે સમાન સમયગાળાના બે સમાન નિર્દેશિત હાર્મોનિક ઓસિલેશન એ 1 =10 સેમી અને એ 2 =6 cm કંપનવિસ્તાર સાથે એક કંપન સુધી ઉમેરો A= 14 સે.મી.

6.15. સમાન સીધી રેખા સાથે નિર્દેશિત અને સમાન કંપનવિસ્તાર અને અવધિ ધરાવતા બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન, સમાન કંપનવિસ્તારના એક ઓસિલેશન સુધી ઉમેરે છે. ઉમેરાયેલ ઓસિલેશનના તબક્કા તફાવત શોધો.

6.16. કંપનવિસ્તાર નક્કી કરો એઅને પ્રારંભિક તબક્કા f પરિણામો
ઓસીલેટીંગ વાઇબ્રેશન કે જ્યારે બે સ્પંદનો ઉમેરવામાં આવે ત્યારે થાય છે
સમાન દિશા અને સમયગાળો: અને
, ક્યાં એ 1 =એ 2 =1 સેમી; ω=π s -1 ; τ=0.5 સે. પરિણામી કંપનનું સમીકરણ શોધો.

6.17. બિંદુ બે સમાન નિર્દેશિત ઓસિલેશનમાં ભાગ લે છે: અને , ક્યાં એ 1 = 1 સેમી; એ 2 =2 સેમી; ω=
= 1 સે -1 . કંપનવિસ્તાર નક્કી કરો એપરિણામી કંપન,
તેની આવર્તન v અને પ્રારંભિક તબક્કો φ. આ ગતિનું સમીકરણ શોધો.

6.18. એકના બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન ઉમેરવામાં આવે છે
સમાન સમયગાળા સાથે શાસન કરે છે ટી 1 =ટી 2 = 1.5 સે અને કંપનવિસ્તાર
એ 1 =એ 2 = 2 સે.મી. ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કાઓ અને. કંપનવિસ્તાર નક્કી કરો એઅને પરિણામી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો φ. તેનું સમીકરણ શોધો અને તેને માપ પ્રમાણે બનાવો
કંપનવિસ્તાર ઉમેરાનું વેક્ટર ડાયાગ્રામ.

6.19. સમાન સમયગાળા સાથે સમાન દિશામાં ત્રણ હાર્મોનિક ઓસિલેશન ઉમેરવામાં આવે છે T 1 =T 2 =T 3 =2અને કંપનવિસ્તાર સાથે એ 1 =એ 2 =એ 3 =3 સે.મી. કંપનવિસ્તાર ઉમેરાનું વેક્ટર ડાયાગ્રામ બનાવો. ડ્રોઇંગમાંથી કંપનવિસ્તાર નક્કી કરો એઅને પરિણામી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો φ. તેનું સમીકરણ શોધો.

6.20. સમાન બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન
આવર્તન અને સમાન દિશા: અને x 2 =
= ક્ષણ માટે વેક્ટર ડાયાગ્રામ દોરો
સમય t=0. વિશ્લેષણાત્મક રીતે કંપનવિસ્તાર નક્કી કરો એઅને પ્રારંભિક
પરિણામી ઓસિલેશનનો તબક્કો φ. મુલતવી રાખો એઅને વેક્ટર પર φ
રેખાકૃતિ પરિણામી કંપનનું સમીકરણ શોધો (કોસાઇન દ્વારા ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં). બે માટે સમસ્યા હલ કરો
કિસ્સાઓ: 1) એ 1 = 1cm, φ 1 =π/3; એ 2 =2 સે.મી., φ 2 =5π/6; 2) A 1 = 1 સે.મી.,
φ 1 =2π/3; એ 2 =1 સે.મી., φ 2 =7π/6.

6.21. બે ટ્યુનિંગ ફોર્ક વારાફરતી અવાજ કરે છે. તેમના ઓસિલેશનની આવર્તન ν 1 અને ν 2 અનુક્રમે 440 અને 440.5 Hz છે. સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીધબકારા

6.22. બે પરસ્પર લંબ ઓસિલેશન ઉમેરવામાં આવે છે,
સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અને , ક્યાં
એ 1 =2 સેમી, એ 2 =1 સે.મી., τ=0.5 સે. બોલ સમીકરણ શોધો
અને તેને બનાવો, બિંદુની હિલચાલની દિશા દર્શાવે છે.

6.23. એક બિંદુ વારાફરતી પરસ્પર લંબ દિશામાં થતા બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે
અને સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત અને,
જ્યાં એ 1 = 4 સે.મી., એ 1 =8 સે.મી., τ=1 સે. બિંદુના માર્ગનું સમીકરણ શોધો અને તેની હિલચાલનો આલેખ બનાવો.

6.24. એક બિંદુ એકસાથે સમાન આવર્તનના બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે, જે સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ પરસ્પર લંબ દિશાઓમાં થાય છે: 1) અને

બિંદુના માર્ગનું સમીકરણ (આઠ કિસ્સાઓ માટે) શોધો, તેને સ્કેલ અનુસાર બનાવો અને ચળવળની દિશા સૂચવો. સ્વીકારો: A=2સેમી, એ 1 =3 સે.મી., એ 2 = 1 સેમી; φ 1 =π/2, φ 2 =π.

6.25 . બિંદુ બે પરસ્પર કાટખૂણે એકસાથે ભાગ લે છે, જે સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અને
, ક્યાં એ 1 = 2 સે.મી., એ 2 =1 cm બોલ સમીકરણ શોધો
નિર્દેશ કરે છે અને તેને બાંધે છે, ચળવળની દિશા સૂચવે છે.

6.26. એક બિંદુ વારાફરતી પરસ્પર લંબ દિશામાં થતા બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે
અને સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત થાય છે અને , ક્યાં એ 1 =
=0.5 સેમી; એ 2 =2 cm બિંદુના માર્ગનું સમીકરણ શોધો અને બાંધો
તેણી, ચળવળની દિશા સૂચવે છે.

6.27. બિંદુની ગતિ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે અને y=
= , ક્યાં એ 1 =10 સે.મી., એ 2 =5 સે.મી., ω=2 s -1, τ=π/4 સે. શોધો
સમયની ક્ષણે એક બિંદુની ગતિ અને ગતિનું સમીકરણ t=0.5 સે.

6.28. સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ બે પરસ્પર કાટખૂણે એકસાથે એક ભૌતિક બિંદુ ભાગ લે છે
અને, ક્યાં એ 1 =2 સેમી, એ 2 =1 સેમી શોધો
માર્ગ સમીકરણ અને તેનું નિર્માણ કરો.

6.29. સમીકરણો દ્વારા વર્ણવેલ પરસ્પર લંબ દિશામાં થતા બે હાર્મોનિક ઓસિલેશનમાં બિંદુ એક સાથે ભાગ લે છે: 1) અને

બિંદુના માર્ગનું સમીકરણ શોધો, તેને સ્કેલ અનુસાર બાંધો અને ચળવળની દિશા સૂચવો. સ્વીકારો: એ=2 સેમી; એ 1 =zસેમી

6.30. બિંદુ એક સાથે બે પરસ્પર કાટખૂણે ભાગ લે છે
સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ ક્યુલર સ્પંદનો અને

y=A 2પાપ 0.5ω t, ક્યાં એ 1 = 2cm, એ 2 =3 સે.મી.

6.31. ઓસિલોસ્કોપ સ્ક્રીન પર તેજસ્વી બિંદુનું વિસ્થાપન એ બે પરસ્પર લંબરૂપ ઓસિલેશનના ઉમેરાનું પરિણામ છે, જે સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે: 1) x=Aપાપ 3 ω tઅને ખાતે=એપાપ 2ω t; 2) x=Aપાપ 3ω tઅને y=એ cos 2ω t; 3) x=Aપાપ 3ω tઅને y= એકારણ કે ω t.

ગ્રાફિકલ એડિશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અને સ્કેલનું અવલોકન કરીને, સ્ક્રીન પર એક તેજસ્વી બિંદુનો માર્ગ બનાવો. સ્વીકારો એ=4 સેમી.

હાર્મોનિક ઓસિલેશનની ગતિશીલતા. લોલક

6.32. સમૂહ સાથે સામગ્રી બિંદુ ટી=50 ગ્રામ ઓસિલેશનમાંથી પસાર થાય છે, જેનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે x=Aકારણ કે ω ટી,જ્યાં એ= 10 સે.મી., ω=5 s -1. તાકાત શોધો F,બિંદુ પર કાર્ય કરવું, બે કિસ્સાઓમાં: 1) તે ક્ષણે જ્યારે તબક્કો ω t=π/3; 2) બિંદુના સૌથી મોટા વિસ્થાપનની સ્થિતિમાં.

6.33. દળ સાથે સામગ્રી બિંદુનું ઓસિલેશન ટી=0.1 ગ્રામ સમીકરણ અનુસાર થાય છે એક્સ=એકારણ કે ω ટી,જ્યાં એ=5 સેમી; ω=20 સે -1 . પુનઃસ્થાપિત બળ F મહત્તમ અને ગતિ ઊર્જાના મહત્તમ મૂલ્યો નક્કી કરો ટીમી આહ.

6.34. પુનઃસ્થાપન બળ શોધો એફઆ ક્ષણે t=1 સે અને સંપૂર્ણ ઉર્જા ઇકાયદા અનુસાર ભૌતિક બિંદુ ઓસીલેટીંગ x=Aકારણ કે ω t, ક્યાં A = 20 સે.મી.; ω=2π/3 સે -1. વજન ટીસામગ્રી બિંદુ 10 ગ્રામ બરાબર છે.

6.35. સમીકરણ અનુસાર ભૌતિક બિંદુનું ઓસિલેશન થાય છે x=Aકારણ કે ω ટી,જ્યાં એ=8 સેમી, ω=π/6 સે -1. આ ક્ષણે જ્યારે પુનઃસ્થાપિત બળ એફપ્રથમ વખત -5 mN ના મૂલ્ય સુધી પહોંચ્યું, બિંદુની સંભવિત ઊર્જા P 100 μJ ની બરાબર બની. આ ક્ષણને સમયસર શોધો tઅને તેના અનુરૂપ તબક્કો ω t.

6.36. એક વજન m=250 ગ્રામ, સ્પ્રિંગથી સસ્પેન્ડ, સમયગાળા સાથે ઊભી રીતે ઓસીલેટ થાય છે ટી = 1સાથે.કઠિનતા નક્કી કરો kઝરણા

6.37. સર્પાકાર ઝરણામાંથી વજન લટકાવવામાં આવ્યું હતું, જેના કારણે ઝરણું ખેંચાઈ ગયું હતું x=9જુઓ સમયગાળો શું હશે ટીજો તમે તેને થોડું નીચે ખેંચો અને પછી તેને છોડો તો શું વજન ઓસીલેટ થાય છે?

6.38. સ્પ્રિંગમાંથી સસ્પેન્ડ કરેલું વજન કંપનવિસ્તાર સાથે ઊભી રીતે ઓસીલેટ કરે છે એ=4 સેમી કુલ ઊર્જા નક્કી કરો ઇવજનના સ્પંદનો, જો કઠોરતા kવસંત 1 kN/m છે.

6.39. બે ગાણિતિક લોલકની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધો જો તેમના ઓસિલેશનના સમયગાળાનો ગુણોત્તર 1.5 હોય.

6.40. l=લિફ્ટમાં 1 મી. લિફ્ટ પ્રવેગક સાથે વધે છે એ=2.5 m/s 2. સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીપેન્ડુલમ ઓસિલેશન.

6.41. પાતળા સળિયાની લંબાઈના છેડે l= 30 સેમી સમાન વજન નિશ્ચિત છે, દરેક છેડે એક. સળિયાના એક છેડામાંથી d=10 cm સ્થિત બિંદુમાંથી પસાર થતી આડી અક્ષની આસપાસ વજન સાથેનો સળિયો ફરે છે. ઘટાડેલી લંબાઈ નક્કી કરો એલઅને સમયગાળો ટીઆવા ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશન. સળિયાના સમૂહની ઉપેક્ષા કરો.

6.42. એક સળિયા લંબાઈ પર l=30 સે.મી., બે સરખા વજન નિશ્ચિત છે: એક સળિયાની મધ્યમાં, બીજું તેના એક છેડે. વજન સાથેનો સળિયો સળિયાના મુક્ત છેડામાંથી પસાર થતી આડી અક્ષની આસપાસ ફરે છે. ઘટાડેલી લંબાઈ નક્કી કરો એલઅને સમયગાળો ટીઆવી સિસ્ટમના સ્પંદનો. સળિયાના સમૂહની ઉપેક્ષા કરો.

6.43. લંબાઈના સળિયા દ્વારા જોડાયેલ ત્રણ વજનની સિસ્ટમ l=30 સેમી (ફિગ. 6.6), ડ્રોઇંગ પ્લેન પર કાટખૂણે બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી આડી અક્ષ વિશે ઓસીલેટ કરે છે. સમયગાળો શોધો ટીસિસ્ટમ સ્પંદનો. સળિયાના સમૂહને અવગણો, સામગ્રીના બિંદુઓ તરીકે લોડને ધ્યાનમાં લો.

6.44. એક પાતળી હૂપ દિવાલની સમાંતર સમતલમાં દિવાલમાં આડી રીતે ચાલતા ખીલી પર લટકાવવામાં આવે છે. ત્રિજ્યા આરહૂપ 30 સેમી છે સમયગાળાની ગણતરી કરો ટીહૂપના સ્પંદનો.

6.45. ત્રિજ્યા સાથે સજાતીય ડિસ્ક આર=30 cm ડિસ્કની નળાકાર સપાટીના જનરેટિસમાંથી એકમાંથી પસાર થતી આડી અક્ષ વિશે ઓસીલેટ. સમયગાળો શું છે ટીતેની ખચકાટ?

6.46. ડિસ્ક ત્રિજ્યા આર = 24 સે.મી. એ ડિસ્કના પ્લેન પર લંબરૂપ ત્રિજ્યામાંથી એકની મધ્યમાંથી પસાર થતી આડી અક્ષ વિશે ઓસીલેટ કરે છે. ઘટાડેલી લંબાઈ નક્કી કરો એલઅને સમયગાળો ટીઆવા લોલકના ઓસિલેશન.

6.47. ત્રિજ્યા સાથે પાતળા સજાતીય ડિસ્કમાંથી આર= 20 સે.મી., એક ભાગ કાપવામાં આવે છે જે ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ જેવો દેખાય છે આર = 10cm, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 6.7. ડિસ્કનો બાકીનો ભાગ આડી અક્ષ O ની તુલનામાં ઓસીલેટ થાય છે, જે ડિસ્કની નળાકાર સપાટીના જનરેટિસમાંના એક સાથે એકરુપ છે. સમયગાળો શોધો ટીઆવા લોલકના ઓસિલેશન.

6.48. ગાણિતિક લોલક લંબાઈ l 1 =40 સેમી અને એક ભૌતિક લોલક લંબાઈના પાતળા સીધા સળિયાના રૂપમાં l 2 =60 cm સમાન આડી અક્ષ વિશે સિંક્રનસ રીતે ઓસીલેટ. અંતર નક્કી કરો એસ્પંદનની અક્ષમાંથી સળિયાના સમૂહનું કેન્દ્ર.

6.49. લંબાઈના પાતળા સીધા સળિયાના સ્વરૂપમાં ભૌતિક લોલક l=120 સેમી સળિયાને કાટખૂણેથી પસાર થતી આડી અક્ષ વિશે થોડે દૂર એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે એસળિયાના સમૂહના કેન્દ્રમાંથી. કયા મૂલ્ય પર એસમયગાળો ટીઓસિલેશનનું ઓછામાં ઓછું મહત્વ છે?

6.50. ટીસમૂહનો એક નાનો દડો તેની સાથે જોડાયેલ છે ટી.લોલક સળિયા પર બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી આડી અક્ષની આસપાસ ફરે છે. સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીકેસો a માટે લોલકના હાર્મોનિક ઓસિલેશન, b, c, d ફિગમાં બતાવેલ છે. 6.8. લંબાઈ lસળિયાની લંબાઈ 1 મીટર છે.

6.51. ભૌતિક લોલક એ સમૂહ સાથેની પાતળી સજાતીય સળિયા છે ટીતેની સાથે બે નાના સમૂહના દડાઓ જોડાયેલા છે ટીઅને 2 ટી. લોલક એક બિંદુમાંથી પસાર થતી આડી અક્ષની આસપાસ ફરે છે વિશેસળિયા પર. કેસ માટે લોલકના હાર્મોનિક ઓસિલેશનની આવર્તન ν નક્કી કરો a, b, c, d,ફિગમાં બતાવેલ છે. 6.9. લંબાઈ lસળિયાની લંબાઈ 1 મીટર છે.

6.52. બોડી માસ ટી=4 કિગ્રા, આડી અક્ષ પર નિશ્ચિત, અવધિ સાથે ઓસીલેટેડ ટી 1 =0.8 સે. જ્યારે આ અક્ષ પર ડિસ્ક માઉન્ટ કરવામાં આવી હતી જેથી તેની ધરી શરીરના કંપનની ધરી સાથે એકરુપ હોય, તે સમયગાળો ટી 2 ઓસિલેશન 1.2 સેકન્ડ સમાન બન્યા. ત્રિજ્યા આરડિસ્ક 20 સેમી છે, તેનો સમૂહ શરીરના સમૂહ જેટલો છે. જડતાની ક્ષણ શોધો જેકંપનની અક્ષને સંબંધિત શરીર.

6.53. માસ હાઇડ્રોમીટર ટી=50 ગ્રામ, નળીનો વ્યાસ ધરાવતો ડી= 1 સે.મી., પાણીમાં તરે છે. હાઇડ્રોમીટર પાણીમાં થોડું ડૂબી ગયું અને પછી તેને પોતાની તરફ છોડી દેવામાં આવ્યું, પરિણામે તે હાર્મોનિક સ્પંદનો કરવાનું શરૂ કર્યું. સમયગાળો શોધો ટીઆ વધઘટ.

6.54. U-આકારની ટ્યુબમાં, ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર સાથે, બંને છેડે ખોલો એસ=0.4 સેમી 2 ઝડપથી પારાના સમૂહમાં રેડવું ટી=200 ગ્રામ સમયગાળો નક્કી કરો ટીનળીમાં પારાના સ્પંદનો.

6.55. એક સોજો લોગ, જેનો ક્રોસ-સેક્શન તેની સમગ્ર લંબાઈ સાથે સતત હોય છે, તે પાણીમાં ઊભી રીતે ડૂબી જાય છે જેથી માત્ર એક નાનો ભાગ (તેની લંબાઈની તુલનામાં) પાણીની ઉપર હોય. સમયગાળો ટીલોગનું કંપન 5 સે છે. લંબાઈ નક્કી કરો lલોગ

ભીના થયેલા ઓસિલેશન

6.56. સમય જતાં લોલકના ભીના થયેલા ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ટી 1=5 મિનિટ અડધાથી ઘટ્યો. કેટલા સમય માટે t2,પ્રારંભિક ક્ષણથી ગણતરી કરીએ તો, કંપનવિસ્તાર આઠ ગણો ઘટશે?

6.57. સમય દરમિયાન t=8 મિનિટ, લોલકના ભીના થયેલા ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ત્રણ વખત ઘટ્યું. ભીનાશ ગુણાંક δ નક્કી કરો .

6.58. લંબાઈ સાથે લોલકના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર l=સમય દીઠ 1 મી t=10 મિનિટ અડધાથી ઘટ્યા. ઓસિલેશન Θ ના લઘુગણક ઘટાડાને નિર્ધારિત કરો.

6.59. પેન્ડુલમના ઓસિલેશન Θ નો લઘુગણક ઘટાડો 0.003 છે. સંખ્યા નક્કી કરો એનકંપનવિસ્તારને અડધું કરવા માટે લોલકને કુલ ઓસીલેશન્સ કરવા જોઈએ.

6.60. વજન સમૂહ ટી=500 ગ્રામ જડતા સાથે કોઇલ સ્પ્રિંગમાંથી સસ્પેન્ડ k=20 N/m અને ચોક્કસ માધ્યમમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્પંદનો કરે છે. ઓસિલેશનનો લઘુગણક ઘટાડો Θ=0.004. સંખ્યા નક્કી કરો એનસંપૂર્ણ ઓસિલેશન્સ કે જે વજન એ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટવા માટે બનાવવું જોઈએ n=2 વખત. કેટલા સમય માટે tશું આ ઘટાડો થશે?

6.61. બોડી માસ ટી=5 ગ્રામ ભીના ઓસિલેશન કરે છે. સમય જતાં t= 50 ના દાયકામાં શરીર તેની 60% ઊર્જા ગુમાવે છે. ખેંચો ગુણાંક નક્કી કરો b

6.62. સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીભીના ઓસિલેશન, જો સમયગાળો ટી 0સિસ્ટમના કુદરતી ઓસિલેશન 1 સે ની બરાબર છે અને ઓસિલેશનનો લઘુગણક ઘટાડો Θ = 0.628 છે.

6.64. બોડી માસ ટી=1 કિગ્રા ખેંચો ગુણાંક સાથે ચીકણું માધ્યમમાં છે b=0.05 કિગ્રા/સે. જડતાના બે સરખા ઝરણાનો ઉપયોગ કરવો k=50 N/m દરેક શરીરને સંતુલન સ્થિતિમાં રાખવામાં આવે છે, ઝરણા વિકૃત નથી (ફિગ. 6.10). શરીર તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપિત થાય છે અને

પ્રકાશિત. નક્કી કરો: 1) એટેન્યુએશન ગુણાંક δ ; 2) ઓસિલેશનની આવર્તન ν; 3) ઓસિલેશનનું લઘુગણક ઘટાડવું Θ; 4) નંબર એન oscillations, જે પછી કંપનવિસ્તાર e વખત ઘટશે.

દબાણયુક્ત સ્પંદનો. પડઘો

6.65. ઇલેક્ટ્રિક મોટરના ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ, કેન્ટીલીવર બીમ કે જેના પર તે સ્થાપિત થયેલ છે તેના દ્વારા વાંકા h=1 મીમી. કેટલી ઝડપે nશું મોટર આર્મેચરમાં પડઘોનો ભય છે?

6.66. કારનું વજન ટી=80 t માં ચાર ઝરણા છે. કઠોરતા kદરેક ઝરણાનું ઝરણું 500 kN/m છે. જો લંબાઈ હોય તો, રેલના સાંધા પરના આંચકાને લીધે કાર કઈ ઝડપે જોરદાર રીતે ડોલવાનું શરૂ કરશે lરેલ 12.8 મીટર છે?

6.67. ઓસીલેટરી સિસ્ટમ ν=1000 Hz ની આવર્તન સાથે ભીના ઓસિલેશન કરે છે. જો રેઝોનન્ટ આવર્તન ν pe з =998 Hz હોય તો કુદરતી ઓસિલેશનની આવર્તન ν 0 નક્કી કરો.

6.68. રેઝોનન્ટ આવર્તન સિસ્ટમના કુદરતી ઓસિલેશનની આવર્તન ν 0 =l kHz થી કેટલી અલગ છે તે નક્કી કરો, જે ભીના ગુણાંક δ=400 s -1 દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

6.69. ઓસીલેટરી સિસ્ટમના ઓસિલેશન Θ ના લઘુગણક ઘટાડાને નિર્ધારિત કરો, જેના માટે રેઝોનન્સ કુદરતી આવર્તન ν 0 =10 kHz બાય Δν=2 Hz કરતાં ઓછી આવર્તન પર જોવા મળે છે.

6.70. સમયગાળો ટીસ્પ્રિંગ લોલકના 0 પ્રાકૃતિક ઓસિલેશન 0.55 સે.ના બરાબર છે. એક ચીકણું માધ્યમમાં, સમયગાળો ટીસમાન લોલકનું 0.56 સેકન્ડ જેટલું બન્યું. ઓસિલેશનની રેઝોનન્ટ આવર્તન ν pe નક્કી કરો.

6.71. વસંત લોલક (જડતા kવસંત 10 N/m, માસ છે ટી 100 ગ્રામ જેટલું લોડ) ડ્રેગ ગુણાંક સાથે ચીકણું માધ્યમમાં દબાણયુક્ત સ્પંદનો કરે છે આર=2·10 -2 કિગ્રા/સે. ભીનાશ ગુણાંક δ અને રેઝોનન્ટ કંપનવિસ્તાર નક્કી કરો એકાપો, જો પ્રેરક બળનું કંપનવિસ્તાર મૂલ્ય એફ 0 =10 mN.

6.72. શરીર ખેંચો ગુણાંક સાથે માધ્યમમાં ફરજિયાત ઓસિલેશન કરે છે આર = 1 ગ્રામ/સે. એટેન્યુએશન નાનું હોવાનું ધારીને, પ્રેરક બળનું કંપનવિસ્તાર મૂલ્ય નક્કી કરો જો રેઝોનન્ટ કંપનવિસ્તાર એ res = 0.5 cm અને કુદરતી ઓસિલેશનની આવર્તન ν 0 10 Hz છે.

6.73. ફ્રીક્વન્સીઝ ν 1 = 400 Hz અને ν 2 = 600 Hz પર ફરજિયાત હાર્મોનિક ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર સમાન છે. રેઝોનન્ટ આવર્તન ν pe h નક્કી કરો. એટેન્યુએશનને અવગણો.

6.74. વસંત જડતા કોઇલ કરવા માટે k= 10N/m સસ્પેન્ડેડ માસનું વજન ટી=10 ગ્રામ અને સમગ્ર સિસ્ટમને ચીકણા માધ્યમમાં ડુબાડી દીધી. ડ્રેગ ગુણાંક લઈ રહ્યા છીએ b 0.1 kg/s ની બરાબર, નક્કી કરો: 1) કુદરતી ઓસિલેશનની આવર્તન ν 0; 2) રેઝોનન્ટ આવર્તન ν pe з; 3) રેઝોનન્ટ કંપનવિસ્તાર એકાપો, જો ડ્રાઇવિંગ ફોર્સ હાર્મોનિક કાયદા અને તેના કંપનવિસ્તાર મૂલ્ય અનુસાર બદલાય છે F 0 ==0.02 એન; 4) બળના પ્રભાવ હેઠળ સ્થિર વિસ્થાપન માટે રેઝોનન્ટ કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર F 0 .

6.75. જો પ્રેરક બળના પરિવર્તનની આવર્તન રેઝોનન્ટ આવર્તન કરતાં વધુ હોય તો ફરજિયાત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર રેઝોનન્ટ કંપનવિસ્તાર કરતાં કેટલી વખત ઓછું હશે: 1) 10%? 2) બે વાર? બંને કિસ્સાઓમાં ભીનાશ ગુણાંક δ એ 0.1 ω 0 (ω 0 એ કુદરતી ઓસિલેશનની કોણીય આવર્તન છે) ની બરાબર લેવામાં આવે છે.

§ 6. યાંત્રિક સ્પંદનોમૂળભૂત સૂત્રો

હાર્મોનિક સમીકરણ

જ્યાં X -સંતુલન સ્થિતિમાંથી ઓસીલેટીંગ બિંદુનું વિસ્થાપન; t- સમય; એ,ω, φ - અનુક્રમે કંપનવિસ્તાર, કોણીય આવર્તન, ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો; t.

- આ ક્ષણે ઓસિલેશનનો તબક્કો

કોણીય આવર્તન

જ્યાં ν અને T એ ઓસિલેશનની આવર્તન અને અવધિ છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતા બિંદુની ગતિ છે

હાર્મોનિક ઓસિલેશન દરમિયાન પ્રવેગક એકંપનવિસ્તાર

જ્યાં a 1 એક જ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે બે ઓસિલેશન ઉમેરીને મેળવેલ પરિણામી ઓસિલેશન, એક સીધી રેખા સાથે થાય છે, તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે એ 2 - અને

કંપન ઘટકોના કંપનવિસ્તાર; φ 1 અને φ 2 તેમના પ્રારંભિક તબક્કાઓ છે.

પરિણામી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો φ સૂત્રમાંથી શોધી શકાય છે

વિવિધ પરંતુ સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ ν 1 અને ν 2,

કંપનવિસ્તાર A 1 અને A 2 અને પ્રારંભિક તબક્કાઓ φ 1 અને φ 2,

જો ઓસિલેશન ઘટકોના પ્રારંભિક તબક્કાઓ φ 1 અને φ 2 સમાન હોય, તો માર્ગ સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

એટલે કે, બિંદુ સીધી રેખામાં ખસે છે.

જો તબક્કામાં તફાવત હોય તો, સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

એટલે કે, બિંદુ લંબગોળ સાથે ખસે છે.

સામગ્રી બિંદુના હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ k- અથવા, જ્યાં m બિંદુનું દળ છે; k=ટીω 2).

અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળ ગુણાંક (

હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતી સામગ્રી બિંદુની કુલ ઊર્જા છે

જ્યાં mવસંત (વસંત લોલક) પર સ્થગિત શરીરના ઓસિલેશનનો સમયગાળો k- - શરીરનું વજન;

વસંતની જડતા.

જ્યાં lસૂત્ર એ મર્યાદામાં સ્થિતિસ્થાપક સ્પંદનો માટે માન્ય છે જેમાં હૂકનો કાયદો સંતુષ્ટ છે (શરીરના સમૂહની તુલનામાં વસંતના નાના સમૂહ સાથે). g- ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો

જ્યાં જે- લોલકની લંબાઈ;

ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગક. ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો એ- ધરીને સંબંધિત ઓસીલેટીંગ બોડીની જડતાની ક્ષણ

ખચકાટ

- ઓસિલેશનની ધરીથી લોલકના સમૂહના કેન્દ્રનું અંતર;

ભૌતિક લોલકની ઘટાડેલી લંબાઈ.

જ્યાં જે- આપેલ ફોર્મ્યુલા અમર્યાદિત કંપનવિસ્તારના કેસ માટે સચોટ છે. મર્યાદિત કંપનવિસ્તાર માટે, આ સૂત્રો માત્ર અંદાજિત પરિણામો આપે છે. કરતાં વધુ ન હોય તેવા કંપનવિસ્તાર પર, સમયગાળાના મૂલ્યમાં ભૂલ 1% થી વધુ નથી. k- સ્થિતિસ્થાપક થ્રેડ પર લટકાવેલા શરીરના ટોર્સનલ સ્પંદનોનો સમયગાળો છે

સ્થિતિસ્થાપક થ્રેડ સાથે સુસંગત અક્ષની તુલનામાં શરીરની જડતાની ક્ષણ;

જ્યાં આરસ્થિતિસ્થાપક થ્રેડની કઠોરતા, જે સ્થિતિસ્થાપક ક્ષણના ગુણોત્તર સમાન હોય છે જ્યારે થ્રેડને જે ખૂણા પર ટ્વિસ્ટ કરવામાં આવે છે તે કોણ તરફ વળે છે. - ભીના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ, અથવા,

- પ્રતિકાર ગુણાંક; δ

જ્યાં એટેન્યુએશન ગુણાંક: ; ω 0 - ઓસિલેશનની કુદરતી કોણીય આવર્તન *- આ ક્ષણે ભીના થયેલા ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર t;ω તેમની કોણીય આવર્તન છે.

ભીના ઓસિલેશનની કોણીય આવર્તન

О સમયસર ભીના થયેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારનું અવલંબન

જ્યાં એ 0 - આ ક્ષણે ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર t=0.

લોગરીધમિક ઓસિલેશનમાં ઘટાડો

જ્યાં એટેન્યુએશન ગુણાંક: ; ω 0 - ઓસિલેશનની કુદરતી કોણીય આવર્તન *એક જ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે બે ઓસિલેશન ઉમેરીને મેળવેલ પરિણામી ઓસિલેશન, એક સીધી રેખા સાથે થાય છે, તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે A(t+T)- સમયગાળા દ્વારા સમયાંતરે અલગ કરાયેલા બે ક્રમિક ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર.

ફરજિયાત ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ

જ્યાં બાહ્ય સામયિક બળ ઓસીલેટીંગ મટીરીયલ પોઈન્ટ પર કામ કરે છે અને ફરજિયાત ઓસીલેશનનું કારણ બને છે; એફ 0 - તેનું કંપનવિસ્તાર મૂલ્ય;

દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર

રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી અને રેઝોનન્ટ કંપનવિસ્તાર અને

સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1.બિંદુ કાયદા અનુસાર oscillates x(t)= , જ્યાં A=2પ્રારંભિક તબક્કો નક્કી કરો φ જો જુઓ

x(0) = સેમી અને એક્સ , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

ઉકેલ. ચાલો ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ અને આ ક્ષણે વિસ્થાપનને વ્યક્ત કરીએ tપ્રારંભિક તબક્કા દ્વારા =0:

અહીંથી આપણે પ્રારંભિક તબક્કો શોધીએ છીએ:

* હાર્મોનિક સ્પંદનો માટે અગાઉ આપેલા સૂત્રોમાં, સમાન જથ્થાને ખાલી ω (ઇન્ડેક્સ 0 વિના) નિયુક્ત કરવામાં આવી હતી.

ચાલો આપેલ મૂલ્યોને આ અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ x(0) અને અ:φ= = .

દલીલનું મૂલ્ય બે ખૂણાના મૂલ્યો દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે:

કોણ φના આમાંથી કયું મૂલ્ય પણ સ્થિતિને સંતોષે છે તે નક્કી કરવા માટે, આપણે પ્રથમ શોધીએ છીએ: tઆ અભિવ્યક્તિમાં મૂલ્યને બદલીને

ટી =0 અને વૈકલ્પિક રીતે પ્રારંભિક તબક્કાઓના મૂલ્યો અને , આપણે શોધીએ છીએ એહંમેશની જેમ

>0 અને ω>0, પછી માત્ર પ્રારંભિક તબક્કાનું પ્રથમ મૂલ્ય જ સ્થિતિને સંતોષે છે. આમ, ઇચ્છિત પ્રારંભિક તબક્કો φ ના મળેલ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, અમે વેક્ટર ડાયાગ્રામ (ફિગ. 6.1) બનાવીએ છીએ.ઉદાહરણ 2. ટીસમૂહ સાથે સામગ્રી બિંદુ ν =5 g આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે એ=0.5 હર્ટ્ઝ. ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર =3 સેમી નક્કી કરો: 1) ઝડપ υ x=જ્યારે વિસ્થાપન થાય છે તે સમયે પોઇન્ટ ઇ= 1.5 સેમી; 2) બિંદુ પર અભિનય કરતું મહત્તમ બળ F મહત્તમ; 3) ફિગ. 6.1 કુલ ઊર્જા

ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટ.

અને અમે ડિસ્પ્લેસમેન્ટનું પ્રથમ વખત ડેરિવેટિવ લઈને સ્પીડ ફોર્મ્યુલા મેળવીએ છીએ: એ 2 , વિસ્થાપન દ્વારા ઝડપ વ્યક્ત કરવા માટે, ફોર્મ્યુલા (1) અને (2) માંથી સમયને બાકાત રાખવો જરૂરી છે. આ કરવા માટે, આપણે બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીએ છીએ અને પ્રથમને વડે ભાગીએ છીએ

A 2 ω 2 પર બીજો અને ઉમેરો: , અમે શોધીશું

υ માટે છેલ્લું સમીકરણ હલ કર્યા પછી

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કર્યા પછી, આપણને મળે છે X,જ્યારે વેગની દિશા ધરીની સકારાત્મક દિશા સાથે એકરુપ હોય ત્યારે વત્તાનું ચિહ્ન કેસને અનુરૂપ હોય છે એક્સ.

બાદબાકીનું ચિહ્ન - જ્યારે વેગની દિશા અક્ષની નકારાત્મક દિશા સાથે એકરુપ હોય છે

સમીકરણ (1) ઉપરાંત હાર્મોનિક ઓસિલેશન દરમિયાન વિસ્થાપન પણ સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે

2. અમે ન્યુટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને એક બિંદુ પર કાર્ય કરતા બળ શોધીએ છીએ:

જ્યાં A -બિંદુનું પ્રવેગક, જે આપણે ઝડપનો સમય વ્યુત્પન્ન કરીને મેળવીએ છીએ:

પ્રવેગક અભિવ્યક્તિને સૂત્ર (3) માં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

તેથી બળનું મહત્તમ મૂલ્ય

આ સમીકરણમાં π, ν ના મૂલ્યોને બદલીને, ટીએક જ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે બે ઓસિલેશન ઉમેરીને મેળવેલ પરિણામી ઓસિલેશન, એક સીધી રેખા સાથે થાય છે, તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે એ,અમે શોધીશું

3. ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટની કુલ ઉર્જા એ સમયની કોઈપણ ક્ષણ માટે ગણતરી કરેલ ગતિ અને સંભવિત ઉર્જાઓનો સરવાળો છે.

કુલ ઊર્જાની ગણતરી કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ ક્ષણ છે જ્યારે ગતિ ઊર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. આ ક્ષણે સંભવિત ઊર્જા શૂન્ય છે. તેથી કુલ ઊર્જા ઇઓસીલેટીંગ પોઈન્ટ મહત્તમ ગતિ ઊર્જા સમાન છે

અમે ફોર્મ્યુલા (2) થી મહત્તમ ઝડપ નક્કી કરીએ છીએ, સેટિંગ: . ગતિ માટે અભિવ્યક્તિને સૂત્ર (4) માં બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ

આ સૂત્રમાં જથ્થાના મૂલ્યોને બદલીને અને ગણતરીઓ કરવાથી, આપણને મળે છે

અથવા µJ.

ઉદાહરણ 3.પાતળા સળિયાની લંબાઈના છેડે l= 1 મીટર અને સમૂહ m 3 =400 ગ્રામ દડા સાથે પ્રબલિત નાના દડા m 1 = 200 ગ્રામ એક જ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે બે ઓસિલેશન ઉમેરીને મેળવેલ પરિણામી ઓસિલેશન, એક સીધી રેખા સાથે થાય છે, તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે m 2 = 300 ગ્રામ. સળિયા એક આડી અક્ષ, કાટખૂણે ફરે છે

સળિયા માટે dicular અને તેના મધ્યમાંથી પસાર થવું (ફિગ. 6.2 માં બિંદુ O). સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીસળિયા દ્વારા બનાવેલ ઓસિલેશન.

ઉકેલ. ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો, જેમ કે દડાઓ સાથેનો સળિયો, સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

જ્યાં જે- ટી -તેનો સમૂહ; l સાથે - લોલકના સમૂહના કેન્દ્રથી ધરી સુધીનું અંતર.

આ લોલકની જડતાની ક્ષણ બોલની જડતાની ક્ષણોના સરવાળા જેટલી છે જે 1 અને જે 2 અને લાકડી જે 3:

દડાઓને ભૌતિક બિંદુઓ તરીકે લેતા, અમે તેમની જડતાની ક્ષણોને વ્યક્ત કરીએ છીએ:

અક્ષ સળિયાની મધ્યમાંથી પસાર થતો હોવાથી, તેની જડતાની ક્ષણ આ અક્ષની તુલનામાં જે 3 = = . પરિણામી અભિવ્યક્તિઓને બદલીને જે 1 , જે 2 અને જે 3 સૂત્ર (2) માં, આપણે ભૌતિક લોલકની જડતાની કુલ ક્ષણ શોધીએ છીએ:

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ હાથ ધર્યા પછી, આપણે શોધીએ છીએ

ચોખા. 6.2 લોલકના સમૂહમાં દડાના સમૂહ અને સળિયાના સમૂહનો સમાવેશ થાય છે:

અંતર l સાથે અમે નીચેની બાબતોના આધારે ઓસિલેશનની અક્ષમાંથી લોલકના દળનું કેન્દ્ર શોધીશું. જો ધરી એક્સસળિયા સાથે દિશામાન કરો અને કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળને બિંદુ સાથે સંરેખિત કરો વિશે,પછી જરૂરી અંતર lલોલકના સમૂહના કેન્દ્રના સંકલન સમાન, એટલે કે.

જથ્થાના મૂલ્યોને બદલીને m 1 , m 2 , m, lઅને ગણતરીઓ કર્યા પછી, આપણે શોધીએ છીએ

સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કર્યા પછી, અમે ભૌતિક લોલકનો ઓસિલેશન સમયગાળો મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.ભૌતિક લોલક લંબાઈની લાકડી છે l= 1 મીટર અને સમૂહ 3 ટી 1 સાથેવ્યાસ અને સમૂહ સાથે હૂપ દ્વારા તેના એક છેડા સાથે જોડાયેલ ટી 1 . આડી ધરી ઓઝ

પેન્ડુલમ સળિયાની મધ્યમાંથી તેની કાટખૂણેથી પસાર થાય છે (ફિગ. 6.3). સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો ટીઆવા લોલકના ઓસિલેશન.

ઉકેલ. ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં જે- ઓસિલેશનની અક્ષની તુલનામાં લોલકની જડતાની ક્ષણ; ટી -તેનો સમૂહ; lસી - લોલકના સમૂહના કેન્દ્રથી ઓસિલેશનની અક્ષ સુધીનું અંતર.

લોલકની જડતાની ક્ષણ સળિયાની જડતાની ક્ષણોના સરવાળા જેટલી છે જે 1 અને હૂપ જે 2:

સળિયાના કાટખૂણે અક્ષની તુલનામાં સળિયાની જડતાની ક્ષણ અને તેના દળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવાનું સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં t= 3ટી 1 અને

અમે સ્ટીનરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને હૂપની જડતાની ક્ષણ શોધીએ છીએ, જ્યાં જે- મનસ્વી અક્ષ વિશે જડતાની ક્ષણ; જે 0 - આપેલ ધરીની સમાંતર સમૂહના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ વિશે જડતાની ક્ષણ; A -દર્શાવેલ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર. આ સૂત્રને હૂપ પર લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે

અવેજી અભિવ્યક્તિઓ જે 1 અને જેસૂત્ર (2) માં 2, આપણે પરિભ્રમણની અક્ષની તુલનામાં લોલકની જડતાની ક્ષણ શોધીએ છીએ:

અંતર l સાથે લોલકની ધરીથી તેના દળના કેન્દ્ર સુધી સમાન છે

સૂત્ર (1) માં અભિવ્યક્તિઓને બદલીને જે, l s અને લોલકનો સમૂહ, આપણે તેના ઓસિલેશનનો સમયગાળો શોધીએ છીએ:

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કર્યા પછી આપણને મળે છે ટી=2.17 સે.

ઉદાહરણ 5.સમાન દિશાના બે ઓસિલેશન ઉમેરવામાં આવે છે, સમીકરણો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે; એક્સ 2 = =, ક્યાં એ 1 = 1 સેમી, એ 2 =2 cm, s, s, ω = =. 1. ઓસીલેટરી ઘટકોના પ્રારંભિક તબક્કાઓ φ 1 અને φ 2 નક્કી કરો

બાનિયા. 2. કંપનવિસ્તાર શોધો એઅને પરિણામી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો φ. પરિણામી કંપન માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ. 1. હાર્મોનિક વાઇબ્રેશનનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

ચાલો સમસ્યા નિવેદનમાં ઉલ્લેખિત સમીકરણોને સમાન સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

સમાનતા (1) સાથે અભિવ્યક્તિઓ (2) ની સરખામણીથી, આપણે પ્રથમ અને બીજા ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કાઓ શોધીએ છીએ:

પ્રસન્ન અને પ્રસન્ન.

2. કંપનવિસ્તાર નક્કી કરવા એપરિણામી ઓસિલેશનમાં, પ્રસ્તુત વેક્ટર ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે ચોખા 6.4. કોસાઇન પ્રમેય મુજબ, આપણને મળે છે

ઓસિલેશનના ઘટકો વચ્ચેના તબક્કામાં તફાવત ક્યાં છે. ત્યારથી, φ 2 અને φ 1 ના મળેલ મૂલ્યોને બદલીને આપણને rad મળે છે.

ચાલો મૂલ્યોને બદલીએ એ 1 , એ 2 અને સૂત્ર (3) માં અને ગણતરીઓ કરો:

એ= 2.65 સે.મી.

ચાલો ફિગમાંથી સીધા પરિણામી ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કા φ ની સ્પર્શક નક્કી કરીએ. 6.4: , જ્યાંથી પ્રારંભિક તબક્કો આવે છે

ચાલો મૂલ્યોને બદલીએ એ 1 , એ 2 , φ 1, φ 2 અને ગણતરીઓ કરો:

ઉમેરાયેલ ઓસિલેશનની કોણીય આવર્તન સમાન હોવાથી, પરિણામી ઓસિલેશનની સમાન આવર્તન ω હશે. આ આપણને પરિણામી ઓસિલેશનના સમીકરણને ફોર્મમાં લખવાની મંજૂરી આપે છે, જ્યાં એ=2.65 સેમી, , રેડ.

ઉદાહરણ 6.ભૌતિક બિંદુ બે પરસ્પર લંબરૂપ હાર્મોનિક ઓસિલેશનમાં વારાફરતી ભાગ લે છે, જેનાં સમીકરણો

જ્યાં a 1 = 1 સે.મી., એ 2 =2 સે.મી., . બિંદુના માર્ગનું સમીકરણ શોધો. સ્કેલને માન આપીને એક માર્ગ બનાવો અને બિંદુની હિલચાલની દિશા સૂચવો.

ઉકેલ. બિંદુના માર્ગ માટે સમીકરણ શોધવા માટે, અમે સમયને દૂર કરીએ છીએ tઆપેલ સમીકરણોમાંથી (1) અને (2). આ કરવા માટે, ઉપયોગ કરો

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ. આ કિસ્સામાં, તેથી

ફોર્મ્યુલા (1) મુજબ હોવાથી , પછી બોલ સમીકરણ

પરિણામી અભિવ્યક્તિ એ પેરાબોલાનું સમીકરણ છે જેની ધરી ધરી સાથે એકરુપ છે ઓહ.સમીકરણો (1) અને (2) પરથી તે અનુસરે છે કે સંકલન અક્ષો સાથે બિંદુનું વિસ્થાપન મર્યાદિત છે અને અક્ષ સાથે -1 થી +1 સેમી સુધીની રેન્જ ધરાવે છે. ઓહઅને ધરી સાથે -2 થી +2 સે.મી ઓહ.

બોલ બનાવવા માટે, અમે મૂલ્યો શોધવા માટે સમીકરણ (3) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ y,મૂલ્યોની શ્રેણીને અનુરૂપ X,સ્થિતિને સંતોષતા સે.મી., અને ટેબલ બનાવો:

સંકલન અક્ષો દોર્યા પછી અને સ્કેલ પસંદ કર્યા પછી, અમે તેને પ્લેન પર કાવતરું કરીએ છીએ xOyપોઈન્ટ મળ્યા. તેમને એક સરળ વળાંક સાથે જોડીને, અમે ગતિના સમીકરણો (1) અને (2) (ફિગ. 6.5) અનુસાર ઓસીલેટીંગ બિંદુનો માર્ગ મેળવીએ છીએ.

બિંદુની હિલચાલની દિશા સૂચવવા માટે, અમે સમય સાથે તેની સ્થિતિ કેવી રીતે બદલાય છે તેનું નિરીક્ષણ કરીશું. પ્રારંભિક ક્ષણે t=0 પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે x(0)=1 સેમી અને y(0)=2 સેમી સમયના અનુગામી બિંદુએ, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે t 1 =l s, બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલાશે અને સમાન બનશે એક્સ(1) = -1 સેમી, y( t )=0. સમયની પ્રારંભિક અને અનુગામી (બંધ) ક્ષણો પર બિંદુઓની સ્થિતિને જાણીને, તમે માર્ગ સાથે બિંદુની હિલચાલની દિશા સૂચવી શકો છો. એફિગ માં. 6.5 ચળવળની આ દિશા તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (બિંદુથી tમૂળ સુધી). ક્ષણ પછી ડી, 2 = 2 s ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટ પોઈન્ટ સુધી પહોંચશે

તે વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધશે.

કાર્યો

6.1. હાર્મોનિક ઓસિલેશનની ગતિશાસ્ત્ર ટીબિંદુ ઓસિલેશનના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે, જ્યાં ω=π s -1, τ=0.2 s. સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો

6.2. અને ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો φ. ટી,સમયગાળો વ્યાખ્યાયિત કરો

6.3. આવર્તન v અને પ્રારંભિક તબક્કો φ ઓસિલેશનનો, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં ω=2.5π s -1, τ=0.4 s. એ x(0)=2બિંદુ કાયદા અનુસાર oscillates, જ્યાં t=0.

6.4. સેમી અને ; 2) x(0) = cm અને ; એ 3) x(0)=2cm અને ; 4) x(0)= અને . ક્ષણ માટે વેક્ટર ડાયાગ્રામ બનાવો= 2 બિંદુ કાયદા અનુસાર oscillates, જ્યાં x=4 સેમી પ્રારંભિક તબક્કો નક્કી કરો φ જો: 1) એક્સ x(0) xસેમી અને ; 2) t=0.