તીવ્રતા જ્યાં હું ગ્રાહકની આવક છું, p1p2 એ સારાની કિંમત છે, x2 એ 2જી સારીની માત્રા છે. આ કિસ્સામાં એક અને બે ફાયદા છે:વિનિમયક્ષમ

યોગ્ય એક પસંદ કરોબજાર અર્થશાસ્ત્રના કીનેસિયન સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત નિવેદન 1) બેરોજગારીની હાજરીમાં બજારની અર્થવ્યવસ્થામાં સંતુલનનો સામાન્ય કિસ્સો, અને સંપૂર્ણ રોજગાર માત્ર એક વિશેષ કેસ છે; 2) વધતા વ્યાજ દરો સાથે રોકાણની માંગ ઘટે છે.

અધિકારો પસંદ કરોમજબૂત નિવેદનો, જેના અમલીકરણથી આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલના પરિમાણો નક્કી કરવાની વિશ્વસનીયતા અને ચોકસાઈ વધે છે. 1. મૉડલના પરિમાણો નક્કી કરવા માટેની સ્વીકૃત પદ્ધતિ વિશ્વસનીયતાને સુનિશ્ચિત કરવાના દૃષ્ટિકોણથી સાચી હોવી જોઈએ, 2. ગાણિતિક મોડલ શોધવા માટે ઑબ્જેક્ટના ઇનપુટ અને આઉટપુટ સૂચકાંકો વિશે પૂરતી પ્રારંભિક માહિતી હોવી જોઈએ, 3. અભ્યાસ કરેલ અંતરાલ પર ઇનપુટ સૂચકાંકોના વેક્ટર મોટા પ્રમાણમાં બદલાતા હોવા જોઈએ, 4. પ્રાધાન્ય સ્વીકાર્યું છે, મોડેલે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા ઑબ્જેક્ટની વાસ્તવિક પેટર્નને નોંધપાત્ર રીતે પ્રતિબિંબિત કરવી જોઈએ.

નમૂના સમીકરણજો ત્યાં કોઈ પેરવાઈઝ રીગ્રેસન y=-3+2x ન હોય, તો સેમ્પલ પેરવાઈઝ સહસંબંધ ગુણાંક..(-3,2,0.6,-2,-0.6) ...ની બરાબર હોઈ શકે છે.0.7 અથવા 0.6.

પસંદગીપૂર્વકજોડી પ્રમાણે રીગ્રેસન સમીકરણ y=-3+2x સ્વરૂપ ધરાવે છે. પછી નમૂના જોડી સહસંબંધ ગુણાંક સમાન હોઈ શકે છે: 0,7.

જ્યાં B - વધતી મૂડીની તીવ્રતાના ગુણાંક; પર મહત્તમ પહોંચી છે , અને Y(0)=C(0) પર શૂન્યની બરાબર છે.

પૂર્વધારણાઓ, બજાર અર્થતંત્રના શાસ્ત્રીય મોડેલમાં શ્રમ માંગ કાર્ય મેળવવા માટે વપરાય છે: માલસામાનની સપ્લાય કરવામાં અને મજૂરોની ભરતી કરવામાં કંપનીઓ સંપૂર્ણપણે સ્પર્ધાત્મક છે. અન્ય વસ્તુઓ સમાન હોવાને કારણે, શ્રમનો ઉપયોગ વધે તેમ શ્રમનું સીમાંત ઉત્પાદન ઘટે છે.

કાર્યો આપેલ છેમાંગ અને S=2p+1.5 ઓફર કરે છે, જ્યાં p એ ઉત્પાદનની કિંમત છે. પછી સંતુલન કિંમત છે. જવાબ: x1= 0.34+0.18+340.....x2=0;25+0.53+280.

કાર્યો આપેલ છેમાંગ અને S=2p+1.5 ઓફર કરે છે, જ્યાં p એ ઉત્પાદનની કિંમત છે. પછી સંતુલન કિંમત =1 .

કાર્યો આપેલ છેમાંગ અને S=2p+1.5 ઓફર કરે છે, જ્યાં p એ ઉત્પાદનની કિંમત છે. પછી સંતુલન કિંમત = 5,5.

કાર્યો આપેલ છેમાંગ q=(p+6)/(p+2) અને સપ્લાય s=2p-2, જ્યાં p એ ઉત્પાદનની કિંમત છે. પછી સંતુલન કિંમત છે: 2.

કાર્યો આપવામાં આવે છેમાંગ q=p+6/p+2 અને અગાઉના s=2p-2…..2.

જો સાચવવામાં આવે છેસમાન શરતો, પછી કિંમતમાં વધારા સાથે ગિફિન માલની માંગ: ...વધતું

જો મોડેલમાંસંકેન્દ્રિત લેગના સ્વરૂપમાં ઇન્વેસ્ટમેન્ટ લેગને ધ્યાનમાં લેવા માટે સોલો, પછી રોકાણ I(t) અને ભંડોળ V(t) ના ઇનપુટ વચ્ચેનું જોડાણ સમીકરણના સ્વરૂપમાં પ્રતિબિંબિત થઈ શકે છે...V(t) = I(t-t)().

જો સ્થૂળમાંથીઘરેલું ઉત્પાદન અવમૂલ્યન શુલ્ક બાદ કરો, અમને મળે છે:નવી બનાવેલી કિંમત (N.D.).

જો કુલ ઘરેલુમાંથીઉત્પાદન ઘસારાના શુલ્ક બાદ કરો, અમને મળે છે: શુદ્ધ સ્થાનિક ઉત્પાદન.

જો ક્રોસમાંગના ભાવ સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક >0, પછી...(I ઉત્પાદન j ને બદલે છે).

જો ઉત્પાદન કાર્યy=f(x 1;x 2), તો મિલકતનો અર્થ એ થાય છે કે એક સંસાધનના ઉપયોગમાં વધારા સાથે, સીમાંત કાર્યક્ષમતા¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

જો ઉત્પાદનફંક્શન એ ડિગ્રી p > 0 નું સજાતીય કાર્ય છે, પછી p = 2 સાથે અને ઉત્પાદનના ધોરણમાં 3 ગણો વધારો થાય છે, આઉટપુટનું પ્રમાણ કેટલી વખત વધે છે... 9.

જો ઉત્પાદનફંક્શન એ ડિગ્રી p > 0 નું સજાતીય ફંક્શન છે, પછી p = 2 સાથે અને ઉત્પાદનના સ્કેલમાં 4 ગણો વધારો, આઉટપુટની માત્રા કેટલી વખત વધે છે...16.

જો તે થાયઉપભોક્તા આવકમાં વધારો, પછી માંગની ચાલ (સાચું નિવેદન સૂચવો): ઓછી સ્થિતિસ્થાપકતાવાળા માલથી ઉચ્ચ સ્થિતિસ્થાપકતાવાળા માલ સુધી. ઓછી સ્થિતિસ્થાપકતા સાથે માલના વપરાશની માત્રામાં ઘટાડો થાય છે.

જો પી.એફદૃશ્ય y=f(x 1 ;x 2), મિલકતનો અર્થ એ છે કે એક સંસાધનના ઉપયોગમાં વધારા સાથે, અન્ય સંસાધનની સીમાંત કાર્યક્ષમતા વધે છે, જે સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

જો સાચવવામાં આવે છેસમાન શરતો, પછી કિંમતમાં વધારા સાથે ગિફિન માલની માંગ: વધતું

વચ્ચે અવલંબનઉત્પાદન ખર્ચ અને ઉત્પાદનનું પ્રમાણ કાર્ય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે સમાન છે: 3.

અવલંબન એમઉત્પાદન ખર્ચ અને ઉત્પાદન વોલ્યુમ વચ્ચે કાર્ય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે .પછી ઉત્પાદનની સીમાંત કિંમત છે સમાન છે:23.

વ્યસનઉત્પાદન ખર્ચ C અને ઉત્પાદન વોલ્યુમ વચ્ચે Q ફંક્શન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે . પછી ઉત્પાદન વોલ્યુમ Q = 10 માટે સીમાંત ખર્ચ સમાન છે: .. 3 .

વચ્ચે અવલંબન C ની ઉત્પાદન કિંમત અને ઉત્પાદન Q ના વોલ્યુમ C = 20-0.5*Q તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. પછી ઉત્પાદન વોલ્યુમ Q=10 સાથેની સ્થિતિસ્થાપકતા c/c બરાબર છે: -1/3.

નિર્ધારિત ઉત્પાદનફોર્મનું કાર્ય: Y=3 K 0.5 *L 0.5 તો શ્રમનું સરેરાશ ઉત્પાદન K=25,L=100 પર બરાબર છે……1.5.

ઉપભોક્તાનું કાર્યપસંદગી છે:આપેલ સમૂહમાંથી માલની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ગ્રાહકની ઉપયોગિતા મહત્તમ છે.

કાર્યગ્રાહક પસંદગી છે: સમસ્યા ગ્રાહક બંડલ (x, x) પસંદ કરવાની છે જે આપેલ બજેટ મર્યાદા હેઠળ ઉપયોગિતા કાર્યને મહત્તમ કરે છે.

ઉપભોક્તાનું કાર્યપસંદગી છે: આપેલ સમૂહમાંથી માલની સંખ્યા શોધો જે ગ્રાહકના ઉપયોગિતા કાર્યને મહત્તમ કરે છે.

ઘટવાનો કાયદોઉત્પાદન કાર્યક્ષમતા એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે ઉપયોગમાં લેવાતા સંસાધનોની માત્રામાં વધારો સાથે... જવાબ: ન્યૂનતમ શક્ય આઉટપુટ વોલ્યુમ .

ઘટવાનો કાયદોઉત્પાદન કાર્યક્ષમતા એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે ઉપયોગમાં લેવાતા સંસાધનની માત્રામાં વધારો સાથે: સંસાધનનું દરેક વધારાનું એકમ આઉટપુટમાં નાનો અને નાનો વધારો આપે છે.

ઘટવાનો કાયદોઉત્પાદન કાર્યક્ષમતા એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે ઉપયોગમાં લેવાતા સંસાધનની માત્રામાં વધારો સાથે.. જવાબ: આઉટપુટ (y) નું મહત્તમ શક્ય વોલ્યુમ વધી રહ્યું છે.

Eq થી. Slutsky મેળવી શકાય છે ( જથ્થો માલ, માલની કિંમત). આને અનુલક્ષે છે: (બહુવિધ જવાબો શક્ય છે): 1) ગિફિન ઉત્પાદન, 2) ઓછા મૂલ્યનું ઉત્પાદન.

પૂર્વધારણાઓ શું છે?બજાર અર્થતંત્રના શાસ્ત્રીય મોડેલમાં શ્રમ માંગ કાર્ય મેળવવા માટે વપરાય છે: માલસામાનની ઓફર કરતી વખતે અને મજૂરોની ભરતી કરતી વખતે કંપનીઓ સંપૂર્ણપણે સ્પર્ધાત્મક હોય છે; અન્ય વસ્તુઓ સમાન હોવાથી, શ્રમનું ઉત્પાદન ઘટે છે કારણ કે ગુલામ બળ વધે છે.

શું વધારાના એસખોટી બાબતો EMM બાંધવામાં મુશ્કેલી બનાવે છે....અર્થશાસ્ત્રમાં સક્રિય પ્રયોગ હાથ ધરવાની મુશ્કેલી વધુમાં, વર્ચ્યુઅલ રીતે દરેક આર્થિક વસ્તુ અથવા પ્રક્રિયા અનન્ય છે, જે એક વખત બનેલા મોડલની નકલ કરવાનું અશક્ય બનાવે છે.

શું વ્યવહારુEMM નો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે. 1. આર્થિક વસ્તુઓ અને પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ 2. આર્થિક આગાહી અને આર્થિક પ્રક્રિયાઓના વિકાસની અપેક્ષા 3. અર્થતંત્રના તમામ સ્તરે મેનેજમેન્ટ નિર્ણયોનો વિકાસ.

શું નિવેદનગ્રે અર્ધપારદર્શક બોક્સ સમસ્યાના ઉકેલને અનુરૂપ છે:ઇનપુટ અને આઉટપુટ સૂચકાંકો વિશેની માહિતી છે, અને ચોક્કસ માળખાના મોડેલને આધાર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અથવા સ્વીકારવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં ઓળખ કાર્ય આ મોડેલના પરિમાણો શોધવાનું છે.

શું નિવેદનગ્રે બોક્સ સમસ્યાના ઉકેલને અનુરૂપ છે: ઇનપુટ અને આઉટપુટ પરિમાણો ઉપરાંત, કન્વર્ટરની ઓપરેટિંગ સિસ્ટમ ઉલ્લેખિત છે. ચોક્કસ પાર્મ-થ પૃષ્ઠો સુધી ઘટાડવું.

શું નિવેદન, કીન્સના મોડેલ મુજબ, સાચું હશે:જ્યારે વ્યાજ દર વધે છે, ત્યારે ગ્રાહક માંગ વધે છે અને રોકાણની માંગ ઘટે છે(સામાનના પુરવઠામાં વધારા સાથે ગ્રાહક માલની માંગ રેખીય રીતે વધે છે, વ્યાજ દરમાં વધારા સાથે રોકાણના માલની માંગ રેખીય રીતે ઘટે છે).

અંતિમ ઉત્પાદનસ્થિર સંતુલન મોડેલમાં અંતિમ ઉત્પાદનની તુલનામાં ગતિશીલ સંતુલન મોડેલમાં શામેલ નથી નિકાસ

અંતિમ ઉત્પાદનસ્થિર સંતુલન મોડેલમાં અંતિમ ઉત્પાદનની તુલનામાં ગતિશીલ સંતુલન મોડેલમાં શામેલ નથી: આંતરક્ષેત્રીય મૂડી રોકાણો.

ગુણાંકમાંગની કિંમતની સ્થિતિસ્થાપકતા E ii p<-1. Это соответствует товару с: માંગની ઉચ્ચ સ્થિતિસ્થાપકતા.

મેક્રો ઇકોનોમિક સંતુલનમોડેલો તે માનવામાં આવે છે જે અર્થવ્યવસ્થાની સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે જ્યારે અર્થતંત્રને આ સ્થિતિમાંથી બહાર લાવવા માટેના તમામ પરિબળોનું પરિણામ 0 ની બરાબર હોય છે.

લિયોન્ટિફ મોડેલ(સ્થિર સંતુલન) માં ફોર્મનું સમીકરણ શામેલ છે: x i -Sa ij =y j .

આંતર-ઉદ્યોગ મોડેલસીધા ખર્ચ ગુણાંકના મેટ્રિક્સ સાથે વોલ્યુમ X1 અને X2 ના ઉત્પાદિત ઉત્પાદનો માટે બેલેન્સ શીટ અને અનુક્રમે 340 અને 280 એકમોના જથ્થામાં અંતિમ ઉત્પાદન ફોર્મ ધરાવે છે: x 1 =0.34x 1 +0.18x 2 +340; x 2 =0.25x 2 +0.53x 2 +280..

Törnqvist મોડેલ n "માગ-આવક" પ્રકાર (અન્ય અક્ષરો): જવાબ : વૈભવી વસ્તુઓ (જૂથ 2).

Törnqvist મોડેલ, ફોર્મની "માગ-આવક" Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3:લક્ઝરી વસ્તુઓ.

હેરોડ-ડોમર મોડેલવિભેદક સમીકરણના સ્વરૂપમાં
નીચેના ઉકેલો છે: ).

એક isoquant પરકોબ-ડગ્લાસ ઉત્પાદન કાર્ય:

ઓનલાઈન

ઓનલાઈનઉદાસીનતા ગ્રાહક કીટ ધરાવે છે: સમાન મૂલ્યોજવાબ: V(t) = I(t-τ).

ઉત્પાદન પરઆઇસોક્વન્ટ પર કોબ-ડગ્લાસ કાર્ય કરે છે: મૂડી અને શ્રમના મૂલ્યોના સંયોજનો બતાવવામાં આવે છે, સમાન આઉટપુટ પ્રદાન કરે છે.

રેખા સાથેઉદાસીનતા ગ્રાહક સમૂહમાં છે:વ્યક્તિની જરૂરિયાતોના સંતોષનું સમાન સ્તર.

જેમ તમે વધારોઆવકની માંગની ચાલ (સાચું નિવેદન સૂચવો): જવાબ: જેમ જેમ આવક વધે છે તેમ, માંગ પ્રથમ અને બીજા જૂથના માલમાંથી ત્રીજા અને ચોથા જૂથના માલ તરફ જાય છે, જ્યારે પ્રથમ જૂથના માલનો વપરાશ સંપૂર્ણ રીતે ઘટે છે.

જેમ તમે વધારોઆવકની માંગની ચાલ (સાચું નિવેદન સૂચવે છે):ઓછી સ્થિતિસ્થાપકતાવાળા માલથી લઈને ઉચ્ચ સ્થિતિસ્થાપકતાવાળા માલના વપરાશની માત્રામાં ઘટાડો થાય છે.

ઉપયોગિતા મર્યાદા1લી પ્રોડક્ટ u = 8 અને 2જી પ્રોડક્ટ u = 2. જો વ્યક્તિએ પ્રથમ ઉત્પાદનનો વપરાશ એક યુનિટથી ઘટાડ્યો હોય તો તેણે 2 ઉત્પાદનોનો વપરાશ કેટલો વધારવો જોઈએ...4.

સીમાંત ઉપયોગિતાઓપ્રથમ ઉત્પાદન , અને બીજું ઉત્પાદન . જો વ્યક્તિએ પ્રથમ ઉત્પાદનનો વપરાશ એક યુનિટથી ઘટાડ્યો હોય તો તેણે બીજા ઉત્પાદનનો વપરાશ કેટલો વધારવો જોઈએ? જવાબ: ખાતરી નથી: 3.

ઉપયોગ કરતી વખતેનોટેશન્સ: -જીડીપીમાં કુલ રોકાણનો હિસ્સો, ગ્રોસ આઉટપુટમાં મધ્યવર્તી ઉત્પાદનનો હિસ્સો, સોલો મોડેલમાં X(t)-ગ્રોસ આઉટપુટ, બિન-ઉત્પાદક વપરાશ ભંડોળ C(t) નું મૂલ્ય સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. :С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

જ્યારે વિશ્લેષણલિયોન્ટિવનું મોડલ (આંકડાકીય ઇનપુટ બેલેન્સ) દર્શાવે છે કે અંતિમ ઉત્પાદનોનો સરવાળો અને શરતી ચોખ્ખા ઉત્પાદનોનો સરવાળો:…એકબીજાની સમાન.

ઉપયોગ કરતી વખતેનોટેશન: - કુલ સ્થાનિક ઉત્પાદનમાં કુલ રોકાણનો હિસ્સો, a- કુલ ઉત્પાદનમાં મધ્યવર્તી ઉત્પાદનનો હિસ્સો, X(t) - આર. સોલો મોડેલમાં કુલ ઉત્પાદન, બિન-ઉત્પાદક વપરાશ ભંડોળ C(t) નું મૂલ્ય સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

થોડી સાથે 1 ઉત્પાદન માટે શરતી ચલ ખર્ચમાં ઉત્પાદન વોલ્યુમમાં વધારો: યથાવત રહે છે (વધારો, કદાચ)

વર્ણન કરતી વખતે PFCD ની મદદથી પ્રક્રિયાના અભ્યાસ માટે, ખાનગી અસરો નીચે મુજબ હતી: ભંડોળ E k = 2 માટે, શ્રમ E l = 8 માટે. આ કિસ્સામાં, સામાન્યકૃત અસર E સમાન છે: 16.

વર્ણન કરતી વખતે જવાબ: 3 (2 ની ઘાત o.5 નો 4.5 નો ઘાત o.5 નો ગુણાકાર).

વર્ણન કરતી વખતે 3 વખત (2 બરાબર નથી)

વર્ણન કરતી વખતેફોર્મના કોબ-ડગ્લાસ ઉત્પાદન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયા ખાનગી…..કાર્યક્ષમતા નીચે મુજબ હતી: ભંડોળ માટે Ek=2, મજૂર માટે EL=4.5. આ કિસ્સામાં, સામાન્યકૃત કાર્યક્ષમતા સૂચક E બરાબર છે. .. 3( 2 ની ઘાત o.5 ને 4.5 વડે ગુણાકાર o.5).

વર્ણન કરતી વખતેફોર્મના કોબ-ડગ્લાસ ઉત્પાદન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયા ખાનગી…..કાર્યક્ષમતા નીચે મુજબ હતી: ભંડોળ માટે Ek=2, મજૂર માટે EL=8. આ કિસ્સામાં, સામાન્યકૃત કાર્યક્ષમતા સૂચક E સમાન છે:4 અથવા 16.

વર્ણન કરતી વખતેફોર્મના કોબ-ડગ્લાસ ઉત્પાદન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયા ખાનગી…..કાર્યક્ષમતા નીચે મુજબ હતી: ભંડોળ માટે Ek=2, શ્રમ માટે EL=4.5. આ કિસ્સામાં, સામાન્યકૃત કાર્યક્ષમતા સૂચક E બરાબર છે.

વર્ણન કરતી વખતેઅભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયામાં, કોબ-ડગ્લાસ ઉત્પાદન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને, તે જાણીતું બન્યું કે સામાન્યકૃત ઉત્પાદન કાર્યક્ષમતા સૂચક E = 1.5 છે, અને ઉત્પાદન સ્કેલ M = 2 છે. આ કિસ્સામાં, કુલ ઉત્પાદનમાં વધારો થયો છે 3 વખત.

જ્યારે મકાનઑબ્જેક્ટના જાણીતા ઇનપુટ અને આઉટપુટ સૂચકાંકો પર આધારિત EMM મોટેભાગે મોડેલના નિયંત્રણ ગુણધર્મોના પ્રતિબિંબની નજીકના માપદંડ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાય છે...વર્ગ તફાવતનો ન્યૂનતમ સરવાળો.

જ્યારે સ્વીકારવામાં આવે છેનોટેશન...મૂડીની નિવૃત્તિ અને કુલ રોકાણની રકમ.

જ્યારે સ્વીકારવામાં આવે છેસંકેત f(Kо) - સ્થિર માર્ગ પર શ્રમ ઉત્પાદકતા, - સ્થિર માર્ગ પર મૂડી-શ્રમ ગુણોત્તર દેખાય છે...().

જ્યારે સ્વીકારવામાં આવે છેસોલો મોડેલમાં નોટેશન, અર્થતંત્રને સ્થિર માર્ગ સુધી પહોંચવાની શરતનો ફોર્મ જવાબ છે: k(t)=k ઘાત 0=const.

સ્વીકૃત નોટેશન સાથે…સાપેક્ષ એકમોમાં આર. સોલોના મોડેલમાંના એક સમીકરણનું સ્વરૂપ હશે: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -એ)f/(2) આ સમીકરણમાં, શરતો (1) અને (2) મૂડી-શ્રમ ગુણોત્તરમાં ફેરફાર પર અસર દર્શાવે છે.

તે સિવાયગીફીન માલની માંગ વધતી કિંમતો સાથે સમાન શરતો દરેક વસ્તુની માંગ વધી રહી છે .

નક્કી કરતી વખતે ;p1x1+p2x2=I જ્યાં I=1000, p1=5, p2=10ed.. 2જી ઉત્પાદનના 1લા ઉત્પાદનનો જથ્થો શું છે….100 એકમો - 1 ઉત્પાદન અને 50 એકમો - બીજું.

નક્કી કરતી વખતેગ્રાહક પસંદગીની સમસ્યાઓને સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ છે ;p1x1+p2x2=I જ્યાં I=1000, p1=10, p2=5ed.. 2જી ઉત્પાદનના 1લા ઉત્પાદનનો જથ્થો શું છે? ….50, 100.

જ્યારે વધી રહી છેઆવક, સામાન્ય રીતે સ્થિર ભાવે ઉત્પાદનની માંગ...વધે છે (સાઇનસોઇડલ કાયદા અનુસાર ફેરફારો).

ઉત્પાદનહું ફંક્શન છું , તો Kt=4, Lt=25 પર સીમાંત ઉત્પાદન બરાબર છે 2,5.

ઉત્પાદન કાર્ય , તો Kt=4, Lt=25 પર સીમાંત ઉત્પાદન બરાબર...0.2.

ઉત્પાદન Kt=1100, Lt=9900. મૂડી પર સીમાંત વળતર શું છે?...1.5 (અથવા 10)

ઉત્પાદન કાર્યપ્રકારની કહેવાય છે: રેખીય, ઉમેરણ ઉત્પાદન કાર્ય.

ઉત્પાદન કાર્ય X t =K t 0.5 ´L t 0.5 તરીકે આપવામાં આવે છે, જ્યાં K t મૂડી છે, L t શ્રમ છે. પછી K t =16, L t =25 પર શ્રમનું સીમાંત ઉત્પાદન ¶У/¶L બરાબર છે: 0,4.

કોબ ઉત્પાદન કાર્ય-ડગ્લાસ દેખાવ ધરાવે છે જ્યાં Kt=4000, Lt=10. મજૂરની સીમાંત ઉત્પાદકતા શું છે જવાબ: 10.

ઉત્પાદનકોબ-ડગ્લાસ ફંક્શન ફોર્મ ધરાવે છે જ્યાં Kt=9000, Lt=10. શ્રમની સીમાંત ઉત્પાદકતા શું છે?...15.

ઉત્પાદનકોબ-ડગ્લાસ ફંક્શન એવું લાગે છે કે કરેક્શન ફેક્ટરની ગાણિતિક અપેક્ષા છે .. = 1.

ઉત્પાદન કાર્યકોબ-ડગ્લાસનું સ્વરૂપ છે: X t =K t 0.5 ´L t 0.5;K t =900,L t =10. મજૂરની સીમાંત ઉત્પાદકતા શું છે ¶Х/¶L: 15.

ઉત્પાદનકાર્યને ગતિશીલ કહેવામાં આવે છે જો: 1) સમય ટી આઉટપુટના વોલ્યુમને અસર કરતા સ્વતંત્ર ચલ તરીકે દેખાય છે 2) PF પરિમાણો સમય પર આધાર રાખે છે 3) PF લાક્ષણિકતાઓ સમય પર આધારિત છે.

ઉત્પાદન કાર્યઆ- આવા ફંક્શન, જેમાંથી સ્વતંત્ર ચલ વપરાયેલ સંસાધનના વોલ્યુમોના મૂલ્યો લે છે (ઉત્પાદનનું પરિબળ), અને આશ્રિત ચલ આઉટપુટ y=f(x) ના વોલ્યુમોના મૂલ્યો લે છે.

ઉત્પાદન-tion K-D ફોર્મ ધરાવે છે જ્યારે મૂડી Kt 1 વધે ત્યારે Xt આઉટપુટ કેટલી ટકાવારીથી વધશે % (0,4).

ઉત્પાદનકાર્યને ગતિશીલ કહેવામાં આવે છે જો:સમય ટી દેખાય છે..PF પરિમાણો સમય પર આધાર રાખે છે …. ઉત્પાદન કાર્યની લાક્ષણિકતાઓ સમય પર આધારિત છે.

મધ્યવર્તીદેશના બંધ અર્થતંત્રમાં મેક્રો ઇકોનોમિક સૂચકોના સંબંધને પ્રતિબિંબિત કરતી યોજનામાંનું ઉત્પાદન છે:શ્રમ અને ઉપભોક્તા ચીજવસ્તુઓના માધ્યમ.

સ્થાપના પ્રક્રિયાકોબવેબ મોડેલમાં સંતુલન કિંમત...યથાવત રહે છે.

કાર્ય કરવા દોઉપયોગિતા પાસે ફોર્મ છે , માલના પ્રારંભિક ભાવો અને . વ્યક્તિની આવક 2000 એકમો છે, અને માલનો શ્રેષ્ઠ સમૂહ છે ; જો કિંમત ચાર ગણી થઈ ગઈ હોય, તો વ્યક્તિની વળતરની આવક અને માલના શ્રેષ્ઠ સમૂહના મૂલ્યો શું હશે? :I k = 2000; x 1 =50; x 2 =40.

કાર્ય કરવા દોયુટિલિટી પાસે ફોર્મ u(x1;x2)=x1*x2 છે, સામાન P1 અને P2ની પ્રારંભિક કિંમતો. વ્યક્તિગત આવક = 1000 એકમો, અને માલનો શ્રેષ્ઠ સમૂહ x1 = 100 એકમો, x2 = 20 એકમો. જો કિંમત 4 ગણી વધી છે, તો વ્યક્તિની વળતરની આવક અને માલના શ્રેષ્ઠ સમૂહ (x1 x2) ની કિંમતો શું સમાન હશે? 2000 50,40.

સંતુલન મોડેલોગણવામાં આવે છે...મોડેલો કે જે એક-કીની આવી સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે, જ્યારે તમામ દળોનું પરિણામ. (જવાબ 0 બરાબર છે)

પદયોગ્ય ક્રમમાં FUI ના નિર્માણના તબક્કાઓ: 1. આર્થિક સમસ્યાનું નિવેદન અને તેનું ગુણાત્મક વિશ્લેષણ 2. ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ 3. મોડેલનું ગાણિતિક વિશ્લેષણ 4. પ્રારંભિક માહિતીની તૈયારી 5. સંખ્યાત્મક ઉકેલ 6. સંખ્યાત્મક પરિણામોનું વિશ્લેષણ અને તેનો ઉપયોગ.

પદયોગ્ય ક્રમમાં EMM બનાવવાના તબક્કાઓ: 1. આર્થિક સમસ્યાનું નિવેદન અને તેનું ગુણાત્મક વિશ્લેષણ 2. ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ 3. મોડેલનું ગાણિતિક વિશ્લેષણ 4. પ્રારંભિક માહિતીની તૈયારી 5. સંખ્યાત્મક ઉકેલ 6. સંખ્યાત્મક પરિણામોનું વિશ્લેષણ અને તેનો ઉપયોગ.

જેની મદદથીમોડેલ (એક સૂત્રના સ્વરૂપમાં) દેશના અર્થતંત્રના સ્તરે ગ્રોસ આઉટપુટ, મધ્યવર્તી ઉત્પાદન, કુલ સ્થાનિક ઉત્પાદનને પ્રતિબિંબિત કરવું શક્ય છે: લિયોન્ટિવનું સંતુલન મોડેલ.

ઉપયોગ કરીનેદેશની અર્થવ્યવસ્થાના સ્તરે ગ્રોસ આઉટપુટ અને વપરાયેલ સંસાધનોની નિર્ભરતાને કયું મોડેલ પ્રતિબિંબિત કરી શકે છે: ...કોબ-ડગ્લાસ મોડલ (PFKD)

ઉપયોગ કરીનેશું મોડેલ (એક સૂત્રના સ્વરૂપમાં).. VP ના સૂચકાંકો, મધ્યવર્તી ઉત્પાદન, GDP વચ્ચેનો સંબંધ….લિયોન્ટિવનું સંતુલન મોડેલ.

સમીકરણોની સિસ્ટમ લિયોન્ટિવ મોડેલમાં જો તે ઉકેલી શકાય તેવું હોય તો તેને ઉત્પાદક કહેવામાં આવે છે. જવાબ: બિન-નકારાત્મક Xi>0 માં, i=1÷n સાથે.

અનુસારબજાર અર્થતંત્રના ક્લાસિકલ મોડેલમાં, માલનો પુરવઠો આના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: સંપૂર્ણ રોજગાર સ્તર.

અનુસારબજાર અર્થતંત્રનું ક્લાસિકલ મોડલ, સમાન જીડીપી સાથે, નાણાં પુરવઠામાં વધારો તરફ દોરી જશે...જીડીપીના એકમના ભાવમાં વધારો.

મોડેલ મુજબસોલોનો સંચયનો "સુવર્ણ" નિયમ ભૌતિક મૂડી માટે α-સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક સમાન સંચયના દરને અનુરૂપ છે.phi=1.

મોડેલ મુજબહેરોર્ડ-ડોમર, વપરાશના જથ્થામાં શું વધારો થશે તે આવકના વધારાના દરની બરાબર હશે: જવાબ: આર< 1/в, r=p .

મોડેલ મુજબ Harrord-Domar, શું.... વપરાશના જથ્થામાં વધારો તે આવકના વધારાના દરની બરાબર હશે: જવાબ: જો r = р0, р0 = а0 /В, а0 એ આરંભમાં સંચયનો દર છે સમયની ક્ષણ.

સ્ટેટિક મુજબલિયોન્ટિફ મોડલ, જો પ્રથમ ઉદ્યોગનું અંતિમ ઉત્પાદન y1 = 1000 એકમો અને કુલ ઉત્પાદન x1 = 2500 એકમો હોય, તો અન્ય ઉદ્યોગો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રથમ ઉદ્યોગના ઉત્પાદનનું પ્રમાણ કેટલું છે? 1.5.(1500 અથવા 3500).

સ્ટેટિક મુજબલિયોન્ટિફ મોડલ, જો પ્રથમ ઉદ્યોગનું અંતિમ ઉત્પાદન y1 = 1500 એકમો છે, અને કુલ ઉત્પાદન x1 = 3500 એકમો છે, તો અન્ય ઉદ્યોગો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રથમ ઉદ્યોગના ઉત્પાદનનું પ્રમાણ કેટલું છે? 2000 એકમો .

સ્થિર મોડેલલિયોન્ટિવમાં ફોર્મના સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે…. .

શરતી શુદ્ધ પીઆંતર-ઉદ્યોગ સંતુલનમાં ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે...અવમૂલ્યન, શ્રમ અને ચોખ્ખી આવક.

ઉપયોગિતા કાર્યવપરાશનું સ્વરૂપ છે .સારા x ની કિંમત 10 ની બરાબર છે, સારા y માટે 5 ની બરાબર છે, ઉપભોક્તા આવક 200 ની બરાબર છે. પછી ઉપભોક્તા માલના શ્રેષ્ઠ સમૂહનું સ્વરૂપ છે: 10,20.

ઉપયોગિતા કાર્યવપરાશનું સ્વરૂપ છે .સારા x ની કિંમત 5 છે, સારા y માટે 10 છે, ઉપભોક્તા આવક 200 છે. પછી ઉપભોક્તા માલના શ્રેષ્ઠ સમૂહનું સ્વરૂપ છે...20.10.(200 અથવા 400)

ઉપયોગિતા કાર્યગ્રાહક પાસે ગુણધર્મો છે ...જો વપરાશ ઘટે તો સીમાંત ઉપયોગિતા ઘટે છે; એક ઉત્પાદનના વપરાશમાં વધારો ઉપયોગિતામાં વધારો તરફ દોરી જાય છે; (જો બીજા ઉત્પાદનની માત્રા વધે તો દરેક ઉત્પાદનની સીમાંત ઉપયોગિતા વધે છે).

વેચાણ કિંમતએક ઉત્પાદન 7 એકમો જેટલું છે. સ્થિર ખર્ચ 8000 એકમોની બરાબર છે. વેરિયેબલ ખર્ચ 5 એકમોની બરાબર છે. 1 ટુકડા માટે બ્રેક-ઇવન ઉત્પાદન વોલ્યુમ શું છે? 4000 એકમો

મોડેલમાં તે શું સમાન છેજો મની સપ્લાય = 1000 યુનિટ હોય તો બોન્ડ માટે કીન્સની માંગ. , વાસ્તવિક બજારમાં નાણાંના ટર્નઓવરની ઝડપ k=0.1 છે, GDP ના એકમની કિંમત p=0.5 એકમ છે, GDP નું મૂલ્ય 10,000 એકમ છે... 500.

શું બરાબર છેકીન્સના મોડેલમાં, બોન્ડની માંગ જો પૈસાનો પુરવઠો = 1000 એકમો. , વાસ્તવિક બજારમાં નાણાંના ટર્નઓવરની ઝડપ k=0.1 છે, GDP ના એકમની કિંમત p=0.2 એકમ છે, GDP નું મૂલ્ય 10,000 એકમ છે... 800.

ચાલો ફોર્મના સંબંધને ધ્યાનમાં લઈએ F(x, y)=0, કનેક્ટીંગ વેરિયેબલ xઅને ખાતે. અમે સમાનતા કહીશું (1) બે ચલ સાથેનું સમીકરણ x, y,જો આ સમાનતા સંખ્યાઓની તમામ જોડી માટે સાચી નથી એક્સઅને ખાતે. સમીકરણોના ઉદાહરણો: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

જો (1) x અને y સંખ્યાઓની તમામ જોડી માટે સાચું હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે ઓળખ. ઓળખના ઉદાહરણો: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

અમે સમીકરણ કહીશું (1) બિંદુઓના સમૂહનું સમીકરણ (x; y),જો આ સમીકરણ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ હોય એક્સઅને ખાતેસમૂહના કોઈપણ બિંદુ અને આ સમૂહ સાથે સંબંધિત ન હોય તેવા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સથી સંતુષ્ટ નથી.

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં એક મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ એ રેખાના સમીકરણનો ખ્યાલ છે. પ્લેન પર એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અને કેટલીક લાઇન આપવા દો α.

વ્યાખ્યા.સમીકરણ (1) ને રેખા સમીકરણ કહેવામાં આવે છે α (નિર્મિત કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં), જો આ સમીકરણ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ હોય એક્સઅને ખાતેરેખા પર પડેલો કોઈપણ બિંદુ α , અને આ લાઇન પર ન હોય તેવા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને સંતોષતા નથી.

જો (1) એ રેખાનું સમીકરણ છે α, પછી આપણે કહીશું કે સમીકરણ (1) વ્યાખ્યાયિત કરે છે (સેટ્સ)રેખા α.

રેખા α માત્ર ફોર્મ (1) ના સમીકરણ દ્વારા જ નહીં, પણ ફોર્મના સમીકરણ દ્વારા પણ નક્કી કરી શકાય છે

F (P, φ) = 0ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે.

• કોણીય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ;

અક્ષને કાટખૂણે નહીં, કેટલીક સીધી રેખા આપવા દો ઓહ. ચાલો ફોન કરીએ ઝોક કોણધરીને સીધી રેખા આપી છે ઓહખૂણો α , જેના પર ધરી ફેરવવી જોઈએ ઓહજેથી સકારાત્મક દિશા સીધી રેખાની એક દિશા સાથે એકરુપ થાય. અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક ઓહકહેવાય છે ઢાળઆ રેખા અને અક્ષર દ્વારા સૂચિત છે TO.

ચાલો આ લીટીનું સમીકરણ મેળવીએ જો આપણને તેની ખબર હોય TOઅને સેગમેન્ટમાં મૂલ્ય ઓબી, જે તે ધરી પર કાપી નાખે છે ઓપ-એમ્પ.

સમીકરણ (2) કહેવાય છે કોણીય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ.જો K=0, પછી સીધી રેખા અક્ષની સમાંતર છે ઓહઅને તેનું સમીકરણ છે y = b.

• બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ;

જો y 1 = y 2, પછી ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે y = y 1. આ કિસ્સામાં, સીધી રેખા અક્ષની સમાંતર છે ઓહ. જો x 1 = x 2, પછી બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા એમ 1અને એમ 2, ધરીની સમાંતર ઓપ-એમ્પ, તેનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે x = x 1.

• આપેલ ઢોળાવ સાથે આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ;

અને, તેનાથી વિપરીત, મનસ્વી ગુણાંક માટે સમીકરણ (5). A, B, C (એઅને B ≠ 0એકસાથે) લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં ચોક્કસ સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે ઓહ.

પુરાવો.

પ્રથમ, ચાલો પ્રથમ નિવેદન સાબિત કરીએ. જો રેખા કાટખૂણે ન હોય ઓહ,પછી તે પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: y = kx + b, એટલે કે ફોર્મનું સમીકરણ (5), જ્યાં

A = k, B = -1અને C = b.જો રેખા કાટખૂણે હોય ઓહ,પછી તેના તમામ બિંદુઓ મૂલ્યની સમાન સમાન એબ્સિસાસ ધરાવે છે α ધરી પર એક સીધી રેખા દ્વારા કાપીને સેગમેન્ટ ઓહ.

આ રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે x = α,તે ફોર્મ (5) નું પ્રથમ ડિગ્રી સમીકરણ પણ છે, જ્યાં A = 1, B = 0, C = - α.આ પ્રથમ નિવેદન સાબિત કરે છે.

ચાલો કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ સાબિત કરીએ. સમીકરણ (5) અને ઓછામાં ઓછું એક ગુણાંક આપવા દો એઅને B ≠ 0.

જો B ≠ 0, પછી (5) ફોર્મમાં લખી શકાય છે. ફ્લેટ , આપણને સમીકરણ મળે છે y = kx + b, એટલે કે ફોર્મનું સમીકરણ (2) જે સીધી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

જો B = 0, તે A ≠ 0અને (5) ફોર્મ લે છે. દ્વારા સૂચિત α, અમે મેળવીએ છીએ

x = α, એટલે કે કાટખૂણે રેખાનું સમીકરણ ઓહ.

પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણ દ્વારા લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ કહેવામાં આવે છે પ્રથમ ઓર્ડર લીટીઓ.

ફોર્મનું સમીકરણ Ax + Wu + C = 0અપૂર્ણ છે, એટલે કે કેટલાક ગુણાંક શૂન્ય સમાન છે.

1) C = 0; આહ + વુ = 0અને મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

2) B = 0 (A ≠ 0); સમીકરણ Ax + C = 0 ઓહ.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0અને સીધી રેખા સમાંતર વ્યાખ્યાયિત કરે છે ઓહ.

સમીકરણ (6) ને "સેગમેન્ટ્સમાં" સીધી રેખાનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓ એઅને bતે સેગમેન્ટ્સના મૂલ્યો છે જે સીધી રેખા સંકલન અક્ષો પર કાપી નાખે છે. સમીકરણનું આ સ્વરૂપ સીધી રેખાના ભૌમિતિક બાંધકામ માટે અનુકૂળ છે.

• રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ;

Аx + Вy + С = 0 એ ચોક્કસ રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ છે અને (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

તેનું સામાન્ય સમીકરણ.

સમીકરણો (5) અને (7) સમાન સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પછી ( A 1x + B 1y + C 1 = 0અને

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) આ સમીકરણોના ગુણાંક પ્રમાણસર છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણની તમામ શરતો (5) ને ચોક્કસ પરિબળ M વડે ગુણાકાર કરીને, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ MA x + MV y + MS = 0, સમીકરણ (7) સાથે સુસંગત છે એટલે કે.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

પરિબળ M શોધવા માટે, આપણે આ સમાનતાઓમાંથી પ્રથમ બેનો વર્ગ કરીએ છીએ અને ઉમેરીએ છીએ:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

લક્ષ્ય:પ્લેન પર લાઇનના ખ્યાલને ધ્યાનમાં લો, ઉદાહરણો આપો. રેખાની વ્યાખ્યાના આધારે, પ્લેન પરની રેખાના સમીકરણનો ખ્યાલ રજૂ કરો. સીધી રેખાઓના પ્રકારોને ધ્યાનમાં લો, ઉદાહરણ અને સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરવાની પદ્ધતિઓ આપો. સામાન્ય સ્વરૂપમાંથી સીધી રેખાના સમીકરણને કોણીય ગુણાંક સાથે “સેગમેન્ટ્સમાં” સીધી રેખાના સમીકરણમાં અનુવાદિત કરવાની ક્ષમતાને મજબૂત બનાવો.

1. પ્લેન પરની રેખાનું સમીકરણ.
2. પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ. સમીકરણોના પ્રકાર.
3. સીધી રેખા સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.

1. x અને y ને બે મનસ્વી ચલ રહેવા દો.

વ્યાખ્યા: ફોર્મ F(x,y)=0 નો સંબંધ કહેવાય છે સમીકરણ , જો તે x અને y સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી માટે સાચું નથી.

ઉદાહરણ: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

જો સમાનતા F(x,y)=0 કોઈપણ x, y માટે ધરાવે છે, તો, તેથી, F(x,y) = 0 એ ઓળખ છે.

ઉદાહરણ: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

તેઓ કહે છે કે સંખ્યાઓ x 0 છે અને y 0 છે સમીકરણ સંતોષો , જો તેમને આ સમીકરણમાં બદલતી વખતે તે સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે.

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ એ રેખાના સમીકરણનો ખ્યાલ છે.

વ્યાખ્યા: આપેલ રેખાનું સમીકરણ એ સમીકરણ F(x,y)=0 છે, જે આ રેખા પર પડેલા તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે, અને આ રેખા પર ન હોય તેવા કોઈપણ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સથી સંતુષ્ટ નથી.

સમીકરણ y = f(x) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાને f(x) નો ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે. x અને y ચલોને વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તે ચલ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

કેટલાક ઉદાહરણોરેખા વ્યાખ્યાઓ.

1) x – y = 0 => x = y. આ સમીકરણ સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => બિંદુઓએ કાં તો સમીકરણ x - y = 0, અથવા સમીકરણ x + y = 0, જે પ્લેન પર અનુરૂપ છે તે સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ છેદતી સીધી રેખાઓની જોડી જે સંકલન કોણના દ્વિભાજકો છે:

3) x 2 + y 2 = 0. આ સમીકરણ માત્ર એક બિંદુ O(0,0) દ્વારા સંતુષ્ટ છે.

2. વ્યાખ્યા: પ્લેન પરની કોઈપણ સીધી રેખા પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે

Ax + Wu + C = 0,

તદુપરાંત, સ્થિરાંકો A અને B એક જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી, એટલે કે. A 2 + B 2 ¹ 0. આ પ્રથમ ક્રમ સમીકરણ કહેવાય છે સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

સ્થિરાંકો A, B અને C ના મૂલ્યો પર આધાર રાખીને, નીચેના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ શક્ય છે:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – સીધી રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (બાય + C = 0) - ઓક્સ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – ઓય અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા

B = C = 0, A ¹ 0 – સીધી રેખા ઓય અક્ષ સાથે એકરુપ છે

A = C = 0, B ¹ 0 – સીધી રેખા ઓક્સ અક્ષ સાથે એકરુપ છે

કોઈ પણ પ્રારંભિક સ્થિતિને આધારે સીધી રેખાના સમીકરણને વિવિધ સ્વરૂપોમાં રજૂ કરી શકાય છે.

કોણીય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ.

જો સીધી રેખા Ax + By + C = 0 ના સામાન્ય સમીકરણને ફોર્મમાં ઘટાડવામાં આવે તો:

અને સૂચિત કરો, પછી પરિણામી સમીકરણ કહેવાય છે ઢાળ k સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ.

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ.

જો સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, તો પછી, –С વડે ભાગતાં, આપણને મળે છે: અથવા , જ્યાં

ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ એ છે કે ગુણાંક એઓક્સ અક્ષ સાથેની રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું સંકલન છે, અને b- ઓય અક્ષ સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું સંકલન.

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

જો Ax + By + C = 0 સમીકરણની બંને બાજુઓને સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે તો કહેવાય છે સામાન્યકરણ પરિબળ, પછી આપણને મળે છે

xcosj + ysinj - p = 0 - સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

નોર્મલાઇઝિંગ ફેક્ટરનું ચિહ્ન ± પસંદ કરવું આવશ્યક છે જેથી m×С< 0.

p એ મૂળથી સીધી રેખા પર પડેલા કાટખૂણાની લંબાઈ છે અને j એ ઓક્સ અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે આ કાટખૂણે રચાયેલો ખૂણો છે.

3. બિંદુ અને ઢાળનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ.

રેખાના કોણીય ગુણાંકને k બરાબર થવા દો, રેખા M(x 0, y 0) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. પછી સીધી રેખાનું સમીકરણ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: y – y 0 = k(x – x 0)

બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ.

બે બિંદુઓ M 1 (x 1, y 1, z 1) અને M 2 (x 2, y 2, z 2) અવકાશમાં આપવા દો, તો આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ છે:

જો કોઈપણ છેદ શૂન્ય હોય, તો અનુરૂપ અંશ શૂન્યની બરાબર સેટ કરવો જોઈએ.

પ્લેન પર, ઉપર લખેલી સીધી રેખાનું સમીકરણ સરળ છે:

જો x 1 ¹ x 2 અને x = x 1, જો x 1 = x 2.

અપૂર્ણાંક = k કહેવાય છે ઢાળપ્રત્યક્ષ

ચાલો સમીક્ષા કરીએ * કયા સમીકરણને ચતુર્ભુજ કહેવાય છે? * કયા સમીકરણોને અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે? * કયા ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઘટાડો કહેવામાં આવે છે? * ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ શું કહેવાય છે? * ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? કયા સમીકરણને ચતુર્ભુજ કહેવાય છે? કયા સમીકરણોને અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે? કયા ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઘટાડો કહેવામાં આવે છે? ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ શું છે? ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? કયા સમીકરણને ચતુર્ભુજ કહેવાય છે? કયા સમીકરણોને અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે? કયા ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઘટાડો કહેવામાં આવે છે? ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ શું છે? ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે?

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ: 1. ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે સૌથી વધુ તર્કસંગત રીત નક્કી કરો 2. ઉકેલવા માટે સૌથી વધુ તર્કસંગત રીત પસંદ કરો 3. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવી 4. વધુ સારા માટે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધો યાદ રાખવા માટે, ટેબલ ભરો... વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે, ટેબલ ભરો... વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે, ટેબલ ભરો...

વધારાની સ્થિતિ સમીકરણ મૂળના ઉદાહરણો 1. b = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), જ્યાં c/a 0. b) જો c/a 0 હોય, તો ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/2 a, જ્યાં D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – સમ સંખ્યા (b = 2k), a 0, 0 માં, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, જ્યાં k = 6. વિયેટાના પ્રમેય x 2 + px + q માટે વ્યસ્ત પ્રમેય = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. વિશેષ પદ્ધતિઓ 7. દ્વિપદીના વર્ગને અલગ કરવાની પદ્ધતિ. ધ્યેય: સામાન્ય સમીકરણને અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં ઘટાડી દો. નોંધ: પદ્ધતિ કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને લાગુ પડે છે, પરંતુ હંમેશા વાપરવા માટે અનુકૂળ હોતી નથી. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સૂત્ર સાબિત કરવા માટે વપરાય છે. ઉદાહરણ: સમીકરણ x 2 -6 x+8=0 8 ઉકેલો. ઉચ્ચતમ ગુણાંકને "સ્થાનાંતરણ" કરવાની પદ્ધતિ. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ax 2 + bx + c = 0 અને y 2 +by+ac=0 ના મૂળ સંબંધો દ્વારા સંબંધિત છે: અને નોંધ: પદ્ધતિ "અનુકૂળ" ગુણાંક સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો માટે સારી છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, તે તમને ચતુર્ભુજ સમીકરણને મૌખિક રીતે હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ: પ્રમેયના આધારે સમીકરણ 2 x 2 -9 x-5=0 ઉકેલો: ઉદાહરણ: સમીકરણ 157 x x-177=0 9 ઉકેલો. જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ a+b+c=0 હોય, તો તેમાંથી એક મૂળ 1 છે, અને બીજું, વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, c/a 10 ની બરાબર છે. જો ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં a + c = b હોય, તો વિયેટાના પ્રમેય મુજબ એક મૂળ -1 બરાબર છે અને બીજું પ્રમેય, –c/a ની બરાબર છે ઉદાહરણ: સમીકરણ 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a ઉકેલો

III. સમીકરણો ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિઓ 11. ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિ. ધ્યેય: સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણને A(x)·B(x)=0 ફોર્મમાં ઘટાડી દો, જ્યાં A(x) અને B(x) એ xના સંદર્ભમાં બહુપદી છે. પદ્ધતિઓ: સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું; સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને; જૂથ પદ્ધતિ. ઉદાહરણ: સમીકરણ 3 x 2 +2 x-1=0 12 ઉકેલો. નવા ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ. નવા ચલની સારી પસંદગી સમીકરણની રચનાને વધુ પારદર્શક બનાવે છે ઉદાહરણ: સમીકરણ ઉકેલો (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8