રેખાનું સમીકરણ c. સીધી રેખા

શ્રેણીમાંથી પાઠ "ભૌમિતિક અલ્ગોરિધમ્સ"

હેલો પ્રિય વાચક!

આજે આપણે ભૂમિતિને લગતા અલ્ગોરિધમ્સ શીખવાનું શરૂ કરીશું. હકીકત એ છે કે કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ સંબંધિત કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં ઘણી બધી ઓલિમ્પિયાડ સમસ્યાઓ છે અને આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ ઘણીવાર મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે.

કેટલાક પાઠો દરમિયાન, અમે સંખ્યાબંધ પ્રાથમિક પેટા કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈશું કે જેના પર કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિમાં મોટાભાગની સમસ્યાઓનો ઉકેલ આધારિત છે.

આ પાઠમાં આપણે માટે એક પ્રોગ્રામ બનાવીશું રેખાનું સમીકરણ શોધવુંઆપેલ છે બે પોઈન્ટ. ભૌમિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, અમને ગણતરીત્મક ભૂમિતિના કેટલાક જ્ઞાનની જરૂર છે. અમે તેમને જાણવા માટે પાઠનો એક ભાગ સમર્પિત કરીશું.

કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિમાંથી આંતરદૃષ્ટિ

કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ એ કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનની એક શાખા છે જે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમનો અભ્યાસ કરે છે.

આવી સમસ્યાઓ માટે પ્રારંભિક ડેટા પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ, સેગમેન્ટ્સનો સમૂહ, બહુકોણ (ઉદાહરણ તરીકે, ઘડિયાળની દિશામાં તેના શિરોબિંદુઓની સૂચિ દ્વારા ઉલ્લેખિત) વગેરે હોઈ શકે છે.

પરિણામ કાં તો અમુક પ્રશ્નનો જવાબ હોઈ શકે છે (જેમ કે કોઈ બિંદુ કોઈ સેગમેન્ટનો છે, બે સેગમેન્ટ એકબીજાને છેદે છે, ...), અથવા અમુક ભૌમિતિક ઑબ્જેક્ટ (ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ બિંદુઓને જોડતો સૌથી નાનો બહિર્મુખ બહુકોણ, વિસ્તાર બહુકોણ, વગેરે).

અમે કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિની સમસ્યાઓને માત્ર પ્લેનમાં અને માત્ર કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ધ્યાનમાં લઈશું.

વેક્ટર અને કોઓર્ડિનેટ્સ

કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિની પદ્ધતિઓ લાગુ કરવા માટે, ભૌમિતિક છબીઓને સંખ્યાઓની ભાષામાં અનુવાદિત કરવી જરૂરી છે. અમે ધારીશું કે પ્લેનને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે, જેમાં ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણની દિશા હકારાત્મક કહેવાય છે.

હવે ભૌમિતિક પદાર્થો વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ મેળવે છે. તેથી, બિંદુને સ્પષ્ટ કરવા માટે, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવવા માટે તે પૂરતું છે: સંખ્યાઓની જોડી (x; y). એક સેગમેન્ટને તેના છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સ દર્શાવીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

પરંતુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનું અમારું મુખ્ય સાધન વેક્ટર હશે. તેથી હું તેમના વિશે કેટલીક માહિતી યાદ કરું.

સેગમેન્ટ એબી, જેમાં એક બિંદુ છે એશરૂઆત (એપ્લીકેશનનો મુદ્દો), અને બિંદુ તરીકે ગણવામાં આવે છે IN- અંત, જેને વેક્ટર કહેવાય છે એબીઅને ક્યાં તો અથવા બોલ્ડ લોઅરકેસ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે એ .

વેક્ટરની લંબાઈ દર્શાવવા માટે (એટલે ​​​​કે, અનુરૂપ સેગમેન્ટની લંબાઈ), અમે મોડ્યુલસ પ્રતીકનો ઉપયોગ કરીશું (ઉદાહરણ તરીકે, ).

મનસ્વી વેક્ટર પાસે તેના અંત અને શરૂઆતના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના તફાવતની સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ હશે:

,

અહીં પોઈન્ટ છે એઅને બી કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે અનુક્રમે

ગણતરીઓ માટે આપણે ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીશું લક્ષી કોણ, એટલે કે, એક કોણ જે વેક્ટરની સંબંધિત સ્થિતિને ધ્યાનમાં લે છે.

વેક્ટર વચ્ચે ઓરિએન્ટેડ કોણ a અને b જો પરિભ્રમણ વેક્ટરમાંથી હોય તો હકારાત્મક a વેક્ટર માટે b હકારાત્મક દિશામાં કરવામાં આવે છે (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) અને અન્ય કિસ્સામાં નકારાત્મક. Fig.1a, Fig.1b જુઓ. એવું પણ કહેવાય છે કે વેક્ટરની જોડી a અને b હકારાત્મક (નકારાત્મક) લક્ષી.

આમ, ઓરિએન્ટેડ એંગલનું મૂલ્ય એ ક્રમ પર આધાર રાખે છે કે જેમાં વેક્ટર સૂચિબદ્ધ છે અને અંતરાલમાં મૂલ્યો લઈ શકે છે.

કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિમાં ઘણી સમસ્યાઓ વેક્ટરના વેક્ટર (સ્ક્યુ અથવા સ્યુડોસ્કેલર) ઉત્પાદનોની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરે છે.

વેક્ટર a અને b નું વેક્ટર ઉત્પાદન આ વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણની સાઈનનું ઉત્પાદન છે:

.

કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટરનું ક્રોસ ઉત્પાદન:

જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિ એ બીજા ક્રમના નિર્ણાયક છે:

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં આપેલ વ્યાખ્યાથી વિપરીત, તે એક અકાશ છે.

વેક્ટર પ્રોડક્ટનું ચિહ્ન એકબીજાને સંબંધિત વેક્ટરની સ્થિતિ નક્કી કરે છે:

a અને b હકારાત્મક લક્ષી.

જો મૂલ્ય છે, તો વેક્ટરની જોડી a અને b નકારાત્મક લક્ષી.

બિનશૂન્ય વેક્ટર્સનું ક્રોસ ઉત્પાદન શૂન્ય છે જો અને માત્ર જો તેઓ સમરેખા હોય ( ). આનો અર્થ એ છે કે તેઓ સમાન રેખા પર અથવા સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે.

ચાલો કેટલીક સરળ સમસ્યાઓ જોઈએ જે વધુ જટિલ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે જરૂરી છે.

ચાલો બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી સીધી રેખાનું સમીકરણ નક્કી કરીએ.

તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા ઉલ્લેખિત બે જુદા જુદા બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ.

બે બિન-સંયોગી બિંદુઓને સીધી રેખા પર આપવા દો: કોઓર્ડિનેટ્સ (x1; y1) અને કોઓર્ડિનેટ્સ (x2; y2) સાથે. તદનુસાર, બિંદુ પર શરૂઆત અને બિંદુ પર અંત સાથેનો વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (x2-x1, y2-y1). જો P(x, y) એ આપણી લાઇન પર એક મનસ્વી બિંદુ છે, તો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ (x-x1, y – y1) સમાન છે.

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને, વેક્ટરની સમકક્ષતા માટેની સ્થિતિ અને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

તે. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

અમે છેલ્લા સમીકરણને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ છીએ:

કુહાડી + બાય + સી = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

તેથી, ફોર્મ (1) ના સમીકરણ દ્વારા સીધી રેખા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

સમસ્યા 1. બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવ્યા છે. તેનું પ્રતિનિધિત્વ ax + by + c = 0 સ્વરૂપમાં શોધો.

આ પાઠમાં આપણે કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ વિશે કેટલીક માહિતી શીખી. અમે બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી રેખાનું સમીકરણ શોધવાની સમસ્યા હલ કરી.

આગળના પાઠમાં આપણે આપણા સમીકરણો દ્વારા આપેલ બે લીટીઓના આંતરછેદ બિંદુને શોધવા માટે એક પ્રોગ્રામ બનાવીશું.

બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ. લેખમાં" " મેં તમને વચન આપ્યું હતું કે આ આલેખને ફંક્શનનો આલેખ અને સ્પર્શક આપવામાં આવ્યો છે. અમે આ પદ્ધતિની ચર્ચા કરીશું , તેને ચૂકશો નહીં! શા માટેઆગામી એક માં?

હકીકત એ છે કે ત્યાં સીધી રેખાના સમીકરણ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. અલબત્ત, અમે ફક્ત આ સૂત્ર બતાવી શકીએ છીએ અને તમને તે શીખવાની સલાહ આપી શકીએ છીએ. પરંતુ તે ક્યાંથી આવે છે તે સમજાવવું વધુ સારું છે (તે કેવી રીતે ઉતરી આવ્યું છે). આ જરૂરી છે! જો તમે તેને ભૂલી જાઓ છો, તો તમે તેને ઝડપથી પુનઃસ્થાપિત કરી શકો છોમુશ્કેલ નહીં હોય. બધું વિગતવાર નીચે દર્શાવેલ છે. તેથી, આપણી પાસે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર બે બિંદુ A છે(x 1;y 1) અને B(x 2;y 2), દર્શાવેલ બિંદુઓ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરવામાં આવે છે:

અહીં સીધી સૂત્ર પોતે છે:

*એટલે કે, જ્યારે પોઈન્ટના ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીએ છીએ, ત્યારે આપણને y=kx+b ફોર્મનું સમીકરણ મળે છે.

**જો તમે આ સૂત્રને ફક્ત "યાદ" કરો છો, તો સૂચકાંકો સાથે મૂંઝવણમાં આવવાની ઉચ્ચ સંભાવના છે જ્યારે એક્સ. વધુમાં, સૂચકાંકોને વિવિધ રીતે નિયુક્ત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

તેથી જ તેનો અર્થ સમજવો મહત્વપૂર્ણ છે.

હવે આ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ. તે ખૂબ જ સરળ છે!

ત્રિકોણ ABE અને ACF તીવ્ર કોણમાં સમાન છે (જમણો ત્રિકોણની સમાનતાનો પ્રથમ સંકેત). તે આનાથી અનુસરે છે કે અનુરૂપ તત્વોના ગુણોત્તર સમાન છે, એટલે કે:

હવે આપણે પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સમાં તફાવત દ્વારા આ સેગમેન્ટ્સને ખાલી વ્યક્ત કરીએ છીએ:

અલબત્ત, જો તમે તત્વોના સંબંધોને અલગ ક્રમમાં લખો તો કોઈ ભૂલ થશે નહીં (મુખ્ય વસ્તુ સુસંગતતા જાળવવી છે):

પરિણામ રેખાનું સમાન સમીકરણ હશે. આ બધું છે!

એટલે કે, પોઈન્ટ્સ પોતે (અને તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ) કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે તે કોઈ બાબત નથી, આ સૂત્રને સમજવાથી તમે હંમેશા સીધી રેખાનું સમીકરણ મેળવશો.

સૂત્ર વેક્ટરના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે, પરંતુ વ્યુત્પત્તિનો સિદ્ધાંત સમાન હશે, કારણ કે આપણે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સની પ્રમાણસરતા વિશે વાત કરીશું. આ કિસ્સામાં, જમણા ત્રિકોણની સમાન સમાનતા કામ કરે છે. મારા મતે, ઉપર વર્ણવેલ નિષ્કર્ષ વધુ સ્પષ્ટ છે)).

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને આઉટપુટ જુઓ >>>

આપેલ બે બિંદુઓ A(x 1;y 1) અને B(x 2;y 2)માંથી પસાર થતા સંકલન સમતલ પર એક સીધી રેખા બાંધવા દો. ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે લીટી પર મનસ્વી બિંદુ C ચિહ્નિત કરીએ ( x; y). અમે બે વેક્ટર પણ સૂચવીએ છીએ:

તે જાણીતું છે કે સમાંતર રેખાઓ (અથવા સમાન રેખા પર) પર આવેલા વેક્ટર માટે, તેમના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર છે, એટલે કે:

- અમે અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સના ગુણોત્તરની સમાનતા લખીએ છીએ:

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

કોઓર્ડિનેટ્સ (2;5) અને (7:3) સાથે બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

તમારે સીધી રેખા પોતે પણ બનાવવાની જરૂર નથી. અમે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ:

ગુણોત્તર દોરતી વખતે તમે પત્રવ્યવહારને સમજો તે મહત્વપૂર્ણ છે. જો તમે લખો તો તમે ખોટું નહીં કરી શકો:

જવાબ: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

પરિણામી સમીકરણ યોગ્ય રીતે જોવા મળે છે તેની ખાતરી કરવા માટે, તે તપાસવાની ખાતરી કરો - ડેટાના કોઓર્ડિનેટ્સને તેમાં બિંદુઓની સ્થિતિમાં બદલો. સમીકરણો સાચા હોવા જોઈએ.

બસ એટલું જ. મને આશા છે કે સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી.

શ્રેષ્ઠ સાદર, એલેક્ઝાન્ડર.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

આ લેખ પ્લેન પરની રેખાના સમીકરણનો વિષય ચાલુ રાખે છે: અમે આ પ્રકારના સમીકરણને રેખાના સામાન્ય સમીકરણ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો પ્રમેયને વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને તેની સાબિતી આપીએ; ચાલો જાણીએ કે રેખાનું અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ શું છે અને સામાન્ય સમીકરણમાંથી રેખાના અન્ય પ્રકારના સમીકરણોમાં સંક્રમણ કેવી રીતે કરવું. અમે સમગ્ર સિદ્ધાંતને ચિત્રો અને વ્યવહારિક સમસ્યાઓના ઉકેલો સાથે મજબૂત કરીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

પ્લેન પર એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ O x y નો ઉલ્લેખ કરવા દો.

પ્રમેય 1

પ્રથમ ડિગ્રીનું કોઈપણ સમીકરણ, A x + B y + C = 0 સ્વરૂપ ધરાવતું, જ્યાં A, B, C એ કેટલીક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે (A અને B એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી), એક સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ. બદલામાં, પ્લેન પર લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં કોઈપણ સીધી રેખા એ સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જે A, B, C મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ માટે A x + B y + C = 0 સ્વરૂપ ધરાવે છે.

પુરાવો

આ પ્રમેયમાં બે મુદ્દા છે; અમે તેમાંથી દરેકને સાબિત કરીશું.

1. ચાલો સાબિત કરીએ કે સમીકરણ A x + B y + C = 0 પ્લેન પર સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

કેટલાક બિંદુ M 0 (x 0 , y 0) હોવા દો, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ A x + B y + C = 0 સમીકરણને અનુરૂપ છે. આમ: A x 0 + B y 0 + C = 0. સમીકરણો A x + B y + C = 0 સમીકરણ A x 0 + B y 0 + C = 0 ની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાંથી બાદબાકી કરો, આપણે એક નવું સમીકરણ મેળવીએ છીએ જે A (x) જેવું લાગે છે - x 0) + B (y - y 0) = 0 . તે A x + B y + C = 0 ની સમકક્ષ છે.

પરિણામી સમીકરણ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 એ વેક્ટર n → = (A, B) અને M 0 M → = (x - x) ની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ છે. 0, y - y 0) . આમ, બિંદુઓનો સમૂહ M (x, y) વેક્ટર n → = (A, B) ની દિશાને લંબરૂપ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આપણે ધારી શકીએ કે આવું નથી, પરંતુ પછી વેક્ટર્સ n → = (A, B) અને M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) લંબરૂપ નહીં હોય, અને સમાનતા A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 સાચું નહીં હોય.

પરિણામે, સમીકરણ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 પ્લેન પર લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં ચોક્કસ રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને તેથી સમકક્ષ સમીકરણ A x + B y + C = 0 વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સમાન રેખા. આ રીતે આપણે પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ સાબિત કર્યો.

1. ચાલો એક સાબિતી રજૂ કરીએ કે પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કોઈપણ સીધી રેખા પ્રથમ ડિગ્રી A x + B y + C = 0 ના સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

ચાલો પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સીધી રેખા a વ્યાખ્યાયિત કરીએ; બિંદુ M 0 (x 0 , y 0) જેમાંથી આ રેખા પસાર થાય છે, તેમજ આ રેખા n → = (A, B) નો સામાન્ય વેક્ટર.

અમુક બિંદુ M (x, y) પણ હોવા દો - એક રેખા પર તરતો બિંદુ. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર્સ n → = (A, B) અને M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) એકબીજાને લંબરૂપ છે, અને તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય છે:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

ચાલો સમીકરણ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, C વ્યાખ્યાયિત કરીએ: C = - A x 0 - B y 0 અને અંતિમ પરિણામ તરીકે આપણને સમીકરણ A x + B y + C = મળે છે. 0.

તેથી, અમે પ્રમેયનો બીજો ભાગ સાબિત કર્યો છે, અને અમે સમગ્ર પ્રમેયને સંપૂર્ણ રીતે સાબિત કર્યું છે.

વ્યાખ્યા 1

ફોર્મનું સમીકરણ A x + B y + C = 0 - આ રેખાનું સામાન્ય સમીકરણલંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેન પરઓક્સી.

સાબિત થયેલા પ્રમેયના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે નિશ્ચિત લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેન પર વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા અને તેના સામાન્ય સમીકરણ અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૂળ રેખા તેના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે; રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ આપેલ રેખાને અનુરૂપ છે.

પ્રમેયના પુરાવા પરથી તે પણ અનુસરે છે કે x અને y ચલ માટેના ગુણાંક A અને B એ રેખાના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, જે A x + B y + C = રેખાના સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. 0.

ચાલો સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણના ચોક્કસ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

સમીકરણ 2 x + 3 y - 2 = 0 આપવા દો, જે આપેલ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં સીધી રેખાને અનુરૂપ છે. આ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર વેક્ટર છે n → = (2 , 3) ​​. ચાલો ડ્રોઈંગમાં આપેલ સીધી રેખા દોરીએ.

અમે નીચેની બાબતો પણ કહી શકીએ: સીધી રેખા જે આપણે ડ્રોઇંગમાં જોઈએ છીએ તે સામાન્ય સમીકરણ 2 x + 3 y - 2 = 0 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, કારણ કે આપેલ સીધી રેખા પરના તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આ સમીકરણને અનુરૂપ છે.

રેખાના સામાન્ય સમીકરણની બંને બાજુઓને શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને આપણે સમીકરણ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 મેળવી શકીએ છીએ. પરિણામી સમીકરણ મૂળ સામાન્ય સમીકરણની સમકક્ષ છે, તેથી, તે પ્લેન પર સમાન સીધી રેખાનું વર્ણન કરશે.

રેખાનું સંપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ– સીધી રેખા A x + B y + C = 0 નું આવું સામાન્ય સમીકરણ, જેમાં A, B, C સંખ્યાઓ શૂન્યથી અલગ છે. અન્યથા સમીકરણ છે અપૂર્ણ.

ચાલો રેખાના અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણની તમામ વિવિધતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ.

1. જ્યારે A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ત્યારે સામાન્ય સમીકરણ B y + C = 0 સ્વરૂપ લે છે. આવા અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં O x y એક સીધી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે O x અક્ષની સમાંતર હોય છે, કારણ કે x ના કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્ય માટે ચલ y મૂલ્ય લેશે - સી બી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સીધી રેખા A x + B y + C = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ, જ્યારે A = 0, B ≠ 0, બિંદુઓના સ્થાન (x, y) નો ઉલ્લેખ કરે છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન સંખ્યાના સમાન હોય છે. - સી બી.
2. જો A = 0, B ≠ 0, C = 0, તો સામાન્ય સમીકરણ y = 0 સ્વરૂપ લે છે. આ અપૂર્ણ સમીકરણ x-axis O x ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
3. જ્યારે A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, ત્યારે આપણે એક અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ A x + C = 0 મેળવીએ છીએ, જે ઓર્ડિનેટની સમાંતર સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 ચાલો, પછી અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ x = 0 સ્વરૂપ લેશે, અને આ સંકલન રેખા O y નું સમીકરણ છે.
5. અંતે, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 માટે, અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ A x + B y = 0 સ્વરૂપ લે છે. અને આ સમીકરણ મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું વર્ણન કરે છે. હકીકતમાં, સંખ્યાઓની જોડી (0, 0) સમાનતા A x + B y = 0 ને અનુરૂપ છે, કારણ કે A · 0 + B · 0 = 0.

ચાલો ઉપરોક્ત તમામ પ્રકારની સીધી રેખાના અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણને ગ્રાફિકલી રીતે સમજાવીએ.

ઉદાહરણ 1

તે જાણીતું છે કે આપેલ સીધી રેખા ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર છે અને બિંદુ 2 7, - 11માંથી પસાર થાય છે. આપેલ લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ લખવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર એક સીધી રેખા ફોર્મ A x + C = 0 ના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં A ≠ 0 છે. શરત એ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનો પણ ઉલ્લેખ કરે છે કે જેના દ્વારા રેખા પસાર થાય છે, અને આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ A x + C = 0, એટલે કે. સમાનતા સાચી છે:

A 2 7 + C = 0

તેમાંથી C નક્કી કરવું શક્ય છે જો આપણે A ને અમુક બિન-શૂન્ય મૂલ્ય આપીએ, ઉદાહરણ તરીકે, A = 7. આ કિસ્સામાં, આપણને મળે છે: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. અમે A અને C બંને ગુણાંક જાણીએ છીએ, તેમને સમીકરણ A x + C = 0 માં બદલીએ અને જરૂરી સીધી રેખા સમીકરણ મેળવો: 7 x - 2 = 0

જવાબ: 7 x - 2 = 0

ઉદાહરણ 2

ડ્રોઇંગ એક સીધી રેખા બતાવે છે તમારે તેનું સમીકરણ લખવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

આપેલ ડ્રોઇંગ અમને સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પ્રારંભિક ડેટા સરળતાથી લેવા દે છે. આપણે ડ્રોઈંગમાં જોઈએ છીએ કે આપેલ સીધી રેખા O x અક્ષની સમાંતર છે અને બિંદુ (0, 3)માંથી પસાર થાય છે.

સીધી રેખા, જે એબ્સીસાની સમાંતર છે, તે અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ B y + C = 0 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો B અને C ના મૂલ્યો શોધીએ. બિંદુ (0, 3) ના કોઓર્ડિનેટ્સ, આપેલ રેખા તેમાંથી પસાર થતી હોવાથી, રેખા B y + C = 0 ના સમીકરણને સંતોષશે, પછી સમાનતા માન્ય છે: B · 3 + C = 0. ચાલો B ને શૂન્ય સિવાયની કોઈ કિંમત પર સેટ કરીએ. ચાલો B = 1 કહીએ, જે કિસ્સામાં સમાનતા B · 3 + C = 0 માંથી આપણે C: C = - 3 શોધી શકીએ છીએ. B અને C ના જાણીતા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, અમે સીધી રેખાનું જરૂરી સમીકરણ મેળવીએ છીએ: y - 3 = 0.

જવાબ: y - 3 = 0 .

પ્લેનમાં આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ

આપેલ રેખાને બિંદુ M 0 (x 0 , y 0)માંથી પસાર થવા દો, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ રેખાના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. સમાનતા સાચી છે: A x 0 + B y 0 + C = 0. ચાલો રેખાના સામાન્ય સંપૂર્ણ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાંથી આ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ બાદ કરીએ. આપણને મળે છે: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, આ સમીકરણ મૂળ સામાન્ય સમકક્ષ છે, બિંદુ M 0 (x 0, y 0)માંથી પસાર થાય છે અને તેની પાસે સામાન્ય છે વેક્ટર n → = (A, B) .

અમે જે પરિણામ મેળવ્યું છે તે લીટીના સામાન્ય વેક્ટરના જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ અને આ રેખાના ચોક્કસ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે રેખાના સામાન્ય સમીકરણને લખવાનું શક્ય બનાવે છે.

ઉદાહરણ 3

એક બિંદુ M 0 (- 3, 4) આપેલ છે જેમાંથી એક રેખા પસાર થાય છે, અને આ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર n → = (1 , - 2) . આપેલ લીટીનું સમીકરણ લખવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ અમને સમીકરણને સંકલિત કરવા માટે જરૂરી ડેટા મેળવવાની મંજૂરી આપે છે: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. પછી:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

સમસ્યા અલગ રીતે ઉકેલી શકાય છે. સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ A x + B y + C = 0 છે. આપેલ સામાન્ય વેક્ટર અમને ગુણાંક A અને B ના મૂલ્યો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે, પછી:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ચાલો હવે સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા ઉલ્લેખિત બિંદુ M 0 (- 3, 4) નો ઉપયોગ કરીને C ની કિંમત શોધીએ, જેમાંથી સીધી રેખા પસાર થાય છે. આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ x - 2 · y + C = 0 સમીકરણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. - 3 - 2 4 + C = 0. તેથી C = 11. જરૂરી સીધી રેખા સમીકરણ ફોર્મ લે છે: x - 2 · y + 11 = 0.

જવાબ: x - 2 y + 11 = 0 .

ઉદાહરણ 4

એક લીટી 2 3 x - y - 1 2 = 0 અને આ લીટી પર પડેલો બિંદુ M 0 આપેલ છે. આ બિંદુનો માત્ર એબ્સીસા જાણીતો છે, અને તે - 3 ની બરાબર છે. આપેલ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ નક્કી કરવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો બિંદુ M 0 ના કોઓર્ડિનેટ્સ x 0 અને y 0 તરીકે નિયુક્ત કરીએ. સ્ત્રોત ડેટા સૂચવે છે કે x 0 = - 3. બિંદુ આપેલ રેખાથી સંબંધિત હોવાથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ આ રેખાના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે. પછી સમાનતા સાચી થશે:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 વ્યાખ્યાયિત કરો

જવાબ: - 5 2

રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાંથી રેખાના અન્ય પ્રકારના સમીકરણોમાં સંક્રમણ અને ઊલટું

જેમ આપણે જાણીએ છીએ, પ્લેન પર સમાન સીધી રેખા માટે ઘણા પ્રકારના સમીકરણો છે. સમીકરણના પ્રકારની પસંદગી સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત છે; તેને હલ કરવા માટે વધુ અનુકૂળ હોય તે પસંદ કરવાનું શક્ય છે. એક પ્રકારના સમીકરણને બીજા પ્રકારના સમીકરણમાં રૂપાંતર કરવાની કુશળતા અહીં ખૂબ જ ઉપયોગી છે.

પ્રથમ, ચાલો ફોર્મ A x + B y + C = 0 ના સામાન્ય સમીકરણથી પ્રમાણભૂત સમીકરણ x - x 1 a x = y - y 1 a y સુધીના સંક્રમણને ધ્યાનમાં લઈએ.

જો A ≠ 0 હોય, તો આપણે B y શબ્દને સામાન્ય સમીકરણની જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ. ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસમાંથી A લઈએ છીએ. પરિણામે, આપણને મળે છે: A x + C A = - B y.

આ સમાનતાને પ્રમાણ તરીકે લખી શકાય છે: x + C A - B = y A.

જો B ≠ 0 હોય, તો આપણે સામાન્ય સમીકરણની ડાબી બાજુએ માત્ર A x શબ્દ છોડીએ છીએ, અન્યને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે: A x = - B y - C. અમે કૌંસમાંથી – B લઈએ છીએ, પછી: A x = - B y + C B .

ચાલો સમાનતાને પ્રમાણ તરીકે ફરીથી લખીએ: x - B = y + C B A.

અલબત્ત, પરિણામી સૂત્રોને યાદ રાખવાની જરૂર નથી. સામાન્ય સમીકરણમાંથી કેનોનિકલ સમીકરણ તરફ જતી વખતે ક્રિયાઓના અલ્ગોરિધમને જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

ઉદાહરણ 5

રેખા 3 y - 4 = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે. તેને પ્રામાણિક સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો મૂળ સમીકરણને 3 y - 4 = 0 તરીકે લખીએ. આગળ, અમે અલ્ગોરિધમ મુજબ આગળ વધીએ છીએ: શબ્દ 0 x ડાબી બાજુ રહે છે; અને જમણી બાજુએ અમે મૂકીએ છીએ - કૌંસમાંથી 3; આપણને મળે છે: 0 x = - 3 y - 4 3 .

ચાલો પરિણામી સમાનતાને પ્રમાણ તરીકે લખીએ: x - 3 = y - 4 3 0 . આમ, આપણે પ્રામાણિક સ્વરૂપનું સમીકરણ મેળવ્યું છે.

જવાબ: x - 3 = y - 4 3 0.

રેખાના સામાન્ય સમીકરણને પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, પ્રથમ કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં સંક્રમણ કરવામાં આવે છે, અને પછી રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણમાંથી પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં સંક્રમણ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 6

સીધી રેખા સમીકરણ 2 x - 5 y - 1 = 0 દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ રેખા માટે પેરામેટ્રિક સમીકરણો લખો.

ઉકેલ

ચાલો સામાન્ય સમીકરણમાંથી કેનોનિકલ સમીકરણમાં સંક્રમણ કરીએ:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

હવે આપણે પરિણામી પ્રમાણભૂત સમીકરણની બંને બાજુઓ λ બરાબર લઈએ, પછી:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

જવાબ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

સામાન્ય સમીકરણને ઢાળ y = k · x + b સાથે સીધી રેખાના સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, પરંતુ જ્યારે B ≠ 0 હોય ત્યારે જ. સંક્રમણ માટે, અમે ડાબી બાજુએ B y શબ્દ છોડીએ છીએ, બાકીનાને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. આપણને મળે છે: B y = - A x - C . ચાલો પરિણામી સમાનતાની બંને બાજુઓને B વડે વિભાજીત કરીએ, શૂન્યથી અલગ: y = - A B x - C B.

ઉદાહરણ 7

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે: 2 x + 7 y = 0. તમારે તે સમીકરણને ઢાળ સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

ચાલો એલ્ગોરિધમ મુજબ જરૂરી ક્રિયાઓ કરીએ:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

જવાબ: y = - 2 7 x .

રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાંથી, ફોર્મ x a + y b = 1 ના સેગમેન્ટમાં સમીકરણ મેળવવા માટે તે પૂરતું છે. આવા સંક્રમણ કરવા માટે, અમે સંખ્યા C ને સમાનતાની જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, પરિણામી સમાનતાની બંને બાજુઓને – C વડે વિભાજીત કરીએ છીએ અને અંતે, x અને y ચલોના ગુણાંકને છેદમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ઉદાહરણ 8

x - 7 y + 1 2 = 0 રેખાના સામાન્ય સમીકરણને સેગમેન્ટમાં રેખાના સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો 1 2 ને જમણી બાજુએ ખસેડીએ: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને -1/2 દ્વારા વિભાજીત કરીએ: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

જવાબ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

સામાન્ય રીતે, વિપરીત સંક્રમણ પણ સરળ છે: અન્ય પ્રકારના સમીકરણોથી સામાન્ય એક સુધી.

સેગમેન્ટમાં રેખાનું સમીકરણ અને કોણીય ગુણાંક સાથેના સમીકરણને સમાનતાની ડાબી બાજુના તમામ પદોને એકત્ર કરીને સરળતાથી સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

કેનોનિકલ સમીકરણ નીચેની યોજના અનુસાર સામાન્ય સમીકરણમાં રૂપાંતરિત થાય છે:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

પેરામેટ્રિક રાશિઓમાંથી ખસેડવા માટે, પહેલા પ્રમાણભૂત પર જાઓ, અને પછી સામાન્ય પર જાઓ:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ઉદાહરણ 9

રેખા x = - 1 + 2 · λ y = 4 ના પેરામેટ્રિક સમીકરણો આપવામાં આવ્યા છે. આ લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ લખવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાંથી પ્રમાણભૂત સમીકરણોમાં સંક્રમણ કરીએ:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

ચાલો કેનોનિકલથી સામાન્ય તરફ જઈએ:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

જવાબ: y - 4 = 0

ઉદાહરણ 10

x 3 + y 1 2 = 1 ખંડોમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે. સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપમાં સંક્રમણ કરવું જરૂરી છે.

ઉકેલ:

અમે ફક્ત સમીકરણને જરૂરી સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

જવાબ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ દોરવું

અમે ઉપર કહ્યું છે કે સામાન્ય સમીકરણ સામાન્ય વેક્ટરના જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ અને બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે લખી શકાય છે જેમાંથી રેખા પસાર થાય છે. આવી સીધી રેખા સમીકરણ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ત્યાં અમે અનુરૂપ ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ પણ કર્યું.

હવે ચાલો વધુ જટિલ ઉદાહરણો જોઈએ, જેમાં પહેલા આપણે સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 11

રેખા 2 x - 3 y + 3 3 = 0 ની સમાંતર રેખા આપી છે. બિંદુ M 0 (4, 1) જેમાંથી આપેલ રેખા પસાર થાય છે તે પણ જાણીતું છે. આપેલ લીટીનું સમીકરણ લખવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

પ્રારંભિક સ્થિતિઓ અમને જણાવે છે કે રેખાઓ સમાંતર છે, પછી, રેખાના સામાન્ય વેક્ટર તરીકે, જેનું સમીકરણ લખવું જરૂરી છે, અમે રેખા n → = (2, - 3) ની દિશા વેક્ટર લઈએ છીએ: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. હવે આપણે લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ બનાવવા માટે જરૂરી તમામ ડેટા જાણીએ છીએ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

જવાબ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

ઉદાહરણ 12

આપેલ રેખા x - 2 3 = y + 4 5 રેખાના મૂળ કાટખૂણેથી પસાર થાય છે. આપેલ રેખા માટે સામાન્ય સમીકરણ બનાવવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

આપેલ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર એ રેખા x - 2 3 = y + 4 5 ની દિશા વેક્ટર હશે.

પછી n → = (3, 5) . સીધી રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે, એટલે કે. બિંદુ O (0, 0) દ્વારા. ચાલો આપેલ લીટી માટે સામાન્ય સમીકરણ બનાવીએ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

જવાબ આપો: 3 x + 5 y = 0 .

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

અવકાશમાં રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જે દિશા વેક્ટરને આપેલ બિંદુ સમસ્તરમાંથી પસાર થતી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

એક બિંદુ અને દિશા વેક્ટર આપવા દો. એક મનસ્વી બિંદુ એક રેખા પર આવેલું છે lમાત્ર જો વેક્ટર અને સમરેખા હોય, એટલે કે, તેમના માટે સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોય:

.

ઉપરોક્ત સમીકરણો સીધી રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો છે.

સંખ્યાઓ m , nઅને પીસંકલન અક્ષો પર દિશા વેક્ટરના અંદાજો છે. વેક્ટર બિન-શૂન્ય હોવાથી, પછી બધી સંખ્યાઓ m , nઅને પીએક સાથે શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે. પરંતુ તેમાંથી એક કે બે શૂન્ય થઈ શકે છે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની એન્ટ્રીની મંજૂરી છે:

,

જેનો અર્થ છે કે ધરી પર વેક્ટરના અંદાજો ઓયઅને ઓઝશૂન્ય સમાન છે. તેથી, પ્રામાણિક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર અને સીધી રેખા બંને અક્ષોને લંબરૂપ છે ઓયઅને ઓઝ, એટલે કે વિમાનો yOz .

ઉદાહરણ 1.પ્લેન પર લંબરૂપ અવકાશમાં રેખા માટે સમીકરણો લખો અને ધરી સાથે આ પ્લેનના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થવું ઓઝ .

ઉકેલ. ચાલો ધરી સાથે આ વિમાનના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ ઓઝ. કોઈપણ બિંદુ ધરી પર બોલતી હોવાથી ઓઝ, કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, તો પછી, પ્લેનના આપેલ સમીકરણમાં ધારી રહ્યા છીએ x = y = 0, આપણને 4 મળે છે z- 8 = 0 અથવા z= 2. તેથી, ધરી સાથે આ પ્લેનનું આંતરછેદ બિંદુ ઓઝકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (0; 0; 2) . ઇચ્છિત રેખા પ્લેન પર લંબ હોવાથી, તે તેના સામાન્ય વેક્ટરની સમાંતર છે. તેથી, સીધી રેખાનો નિર્દેશક વેક્ટર સામાન્ય વેક્ટર હોઈ શકે છે આપેલ વિમાન.

હવે એક બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના જરૂરી સમીકરણો લખીએ એ= (0; 0; 2) વેક્ટરની દિશામાં:

આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો

એક સીધી રેખા તેના પર પડેલા બે બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને આ કિસ્સામાં, સીધી રેખાનો નિર્દેશક વેક્ટર વેક્ટર હોઈ શકે છે. પછી રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો સ્વરૂપ લે છે

.

ઉપરોક્ત સમીકરણો આપેલ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા નક્કી કરે છે.

ઉદાહરણ 2.બિંદુઓમાંથી પસાર થતી અવકાશમાં રેખા માટે સમીકરણ લખો અને .

ઉકેલ. ચાલો સૈદ્ધાંતિક સંદર્ભમાં ઉપર આપેલ ફોર્મમાં સીધી રેખાના જરૂરી સમીકરણો લખીએ:

.

ત્યારથી, પછી ઇચ્છિત સીધી રેખા અક્ષને લંબરૂપ છે ઓય .

વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરીકે સીધી

અવકાશમાં એક સીધી રેખાને બે બિન-સમાંતર વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરીકે અને એટલે કે, બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંતોષતા બિંદુઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

સિસ્ટમના સમીકરણોને અવકાશમાં સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણો પણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3.સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલ અવકાશમાં રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો બનાવો

ઉકેલ. લીટીના પ્રામાણિક સમીકરણો અથવા, સમાન શું છે, આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો લખવા માટે, તમારે રેખા પરના કોઈપણ બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કોઈપણ બે સંકલન વિમાનો સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદના બિંદુઓ હોઈ શકે છે yOzઅને xOz .

રેખા અને વિમાનના આંતરછેદનું બિંદુ yOzએબ્સિસા છે x= 0. તેથી, સમીકરણોની આ સિસ્ટમમાં ધારી રહ્યા છીએ x= 0, અમને બે ચલો સાથેની સિસ્ટમ મળે છે:

તેણીનો નિર્ણય y = 2 , z= 6 સાથે x= 0 એક બિંદુ વ્યાખ્યાયિત કરે છે એ(0; 2; 6) ઇચ્છિત રેખા. પછી આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ધારી રહ્યા છીએ y= 0, અમને સિસ્ટમ મળે છે

તેણીનો નિર્ણય x = -2 , z= 0 સાથે મળીને y= 0 એક બિંદુ વ્યાખ્યાયિત કરે છે બી(-2; 0; 0) વિમાન સાથેની રેખાનું આંતરછેદ xOz .

હવે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો લખીએ એ(0; 2; 6) અને બી (-2; 0; 0) :

,

અથવા છેદને -2 વડે વિભાજિત કર્યા પછી:

,

આ લેખમાં આપણે પ્લેન પર સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણ પર વિચાર કરીશું. જો આ રેખાના બે બિંદુઓ જાણીતા હોય અથવા જો એક બિંદુ અને આ રેખાના સામાન્ય વેક્ટર જાણીતા હોય, તો ચાલો રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ બાંધવાના ઉદાહરણો આપીએ. ચાલો સામાન્ય સ્વરૂપમાં સમીકરણને પ્રમાણભૂત અને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ રજૂ કરીએ.

એક મનસ્વી કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપવામાં આવે ઓક્સી. પ્રથમ ડિગ્રી અથવા રેખીય સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

જ્યાં A, B, C- કેટલાક સ્થિરાંકો, અને ઓછામાં ઓછા એક તત્વો એઅને બીશૂન્યથી અલગ.

અમે બતાવીશું કે પ્લેન પરનું રેખીય સમીકરણ સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ચાલો નીચેના પ્રમેયને સાબિત કરીએ.

પ્રમેય 1. પ્લેન પર મનસ્વી કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, દરેક સીધી રેખા રેખીય સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. તેનાથી વિપરીત, પ્લેન પર મનસ્વી કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં દરેક રેખીય સમીકરણ (1) એક સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

પુરાવો. તે સાબિત કરવા માટે પૂરતી છે કે સીધી રેખા એલકોઈપણ એક કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે રેખીય સમીકરણ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, ત્યારથી તે કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીની કોઈપણ પસંદગી માટે રેખીય સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે.

પ્લેન પર એક સીધી રેખા આપવા દો એલ. ચાલો એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પસંદ કરીએ જેથી ધરી બળદસીધી રેખા સાથે સુસંગત એલ, અને ધરી ઓયતેના માટે લંબરૂપ હતું. પછી રેખાનું સમીકરણ એલનીચેનું ફોર્મ લેશે:

એક લીટી પર તમામ બિંદુઓ એલરેખીય સમીકરણ (2) ને સંતોષશે, અને આ રેખાની બહારના તમામ બિંદુઓ સમીકરણ (2) ને સંતોષશે નહીં. પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ સાબિત થયો છે.

કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી આપવા દો અને એક રેખીય સમીકરણ (1) આપવા દો, જ્યાં ઓછામાં ઓછા એક તત્વો એઅને બીશૂન્યથી અલગ. ચાલો બિંદુઓના ભૌમિતિક સ્થાન શોધીએ જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (1). ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક હોવાથી એઅને બીશૂન્યથી અલગ છે, પછી સમીકરણ (1) પાસે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે એમ(x 0 ,y 0). (ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે એ≠0, બિંદુ એમ 0 (−C/A, 0) આપેલ પોઈન્ટના ભૌમિતિક સ્થાનથી સંબંધિત છે). આ કોઓર્ડિનેટ્સને (1) માં બદલીને આપણે ઓળખ મેળવીએ છીએ

ચાલો (1) માંથી ઓળખ (3) બાદ કરીએ:

દેખીતી રીતે, સમીકરણ (4) સમીકરણ (1) ની સમકક્ષ છે. તેથી, તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે (4) ચોક્કસ રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

અમે કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પર વિચાર કરી રહ્યા હોવાથી, તે સમાનતા (4) થી અનુસરે છે કે ઘટકો સાથે વેક્ટર ( x−x 0 , y−y 0 ) વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ nકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ( A, B}.

કેટલીક સીધી રેખા ધ્યાનમાં લો એલ, બિંદુમાંથી પસાર થવું એમ 0 (x 0 , y 0) અને વેક્ટરને લંબ છે n(ફિગ.1). બિંદુ દો એમ(x,y) લાઇનથી સંબંધિત છે એલ. પછી કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર x−x 0 , y−y 0 લંબ nઅને સમીકરણ (4) સંતુષ્ટ છે (વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન nઅને શૂન્યની બરાબર). તેનાથી વિપરીત, જો બિંદુ એમ(x,y) એક લીટી પર જૂઠું બોલતું નથી એલ, પછી કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર x−x 0 , y−y 0 એ વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ નથી nઅને સમીકરણ (4) સંતુષ્ટ નથી. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પુરાવો. કારણ કે રેખાઓ (5) અને (6) સમાન રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પછી સામાન્ય વેક્ટર n 1 ={એ 1 ,બી 1) અને n 2 ={એ 2 ,બી 2) કોલિનિયર. વેક્ટર્સ થી n 1 ≠0, n 2 ≠0, પછી આવી સંખ્યા છે λ , શું n 2 =n 1 λ . અહીંથી અમારી પાસે છે: એ 2 =એ 1 λ , બી 2 =બી 1 λ . ચાલો તે સાબિત કરીએ સી 2 =સી 1 λ . દેખીતી રીતે, એકરૂપ રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે એમ 0 (x 0 , y 0). સમીકરણ (5) વડે ગુણાકાર λ અને તેમાંથી સમીકરણ (6) બાદ કરવાથી આપણને મળે છે:

સમીકરણો (7) માંથી પ્રથમ બે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ હોવાથી, પછી સી 1 λ −સી 2 =0. તે. સી 2 =સી 1 λ . ટીપ્પણી સાબિત થઈ છે.

નોંધ કરો કે સમીકરણ (4) બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે એમ 0 (x 0 , y 0) અને સામાન્ય વેક્ટર ધરાવે છે n={A, B). તેથી, જો રેખાના સામાન્ય વેક્ટર અને આ રેખાથી સંબંધિત બિંદુ જાણીતા હોય, તો સમીકરણ (4) નો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ બનાવી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1. એક સીધી રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે એમ=(4,−1) અને સામાન્ય વેક્ટર ધરાવે છે n=(3, 5). રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ બનાવો.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે: x 0 =4, y 0 =−1, એ=3, બી=5. સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણને બાંધવા માટે, અમે આ મૂલ્યોને સમીકરણમાં બદલીએ છીએ (4):

જવાબ:

વેક્ટર રેખાની સમાંતર છે એલઅને તેથી, રેખાના સામાન્ય વેક્ટરને લંબરૂપ એલ. ચાલો સામાન્ય રેખા વેક્ટર બનાવીએ એલ, ધ્યાનમાં લેતા કે વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન nઅને શૂન્ય બરાબર. આપણે લખી શકીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, n={1,−3}.

સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ રચવા માટે, આપણે સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટને (4) માં બદલીએ એમ 1 (આપણે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ લઈ શકીએ છીએ એમ 2) અને સામાન્ય વેક્ટર n:

પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને એમ 1 અને એમ 2 in (9) આપણે ખાતરી કરી શકીએ છીએ કે સમીકરણ (9) દ્વારા આપવામાં આવેલી સીધી રેખા આ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

જવાબ:

(1) માંથી (10) બાદ કરો:

અમે રેખાનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવ્યું છે. વેક્ટર q={−બી, એ) એ રેખા (12) ની દિશા વેક્ટર છે.

વિપરીત રૂપાંતરણ જુઓ.

ઉદાહરણ 3. પ્લેન પરની સીધી રેખા નીચેના સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:

ચાલો બીજા પદને જમણી તરફ લઈ જઈએ અને સમીકરણની બંને બાજુઓને 2·5 વડે ભાગીએ.