ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ અને લાક્ષણિક સમીકરણ

પૃષ્ઠ 2

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જેમાં મુખ્ય અથવા ગૌણ કર્ણની એક બાજુના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે. ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શું છે?  

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જેમાં મુખ્ય અથવા ગૌણ કર્ણની એક બાજુના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે. ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શું છે?  

રેખીય બીજગણિતના પ્રમેયો અનુસાર ગૌસ પદ્ધતિનો સીધો માર્ગ કરવા માટેની ક્રિયાઓ નિર્ણાયકની કિંમતમાં ફેરફાર કરતી નથી. દેખીતી રીતે, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેના ત્રાંસા તત્વોના ઉત્પાદન સમાન છે.  

આ સાહજિક વિચાર કેટલાક કિસ્સાઓમાં ચોક્કસ જથ્થાત્મક અભિવ્યક્તિ શોધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે જાણીએ છીએ કે (§ 1 માંથી (6) જુઓ) કે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ (ઉપલા અથવા નીચલા) ના નિર્ણાયક મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વોના ઉત્પાદન સમાન છે.  

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસમાં ઘણી નોંધપાત્ર ગુણધર્મો છે, જેના કારણે તેઓ બીજગણિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓના નિર્માણમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, સમાન નામના ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો સરવાળો અને ઉત્પાદન સમાન નામનું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક ત્રાંસા તત્વો, ઇજેનવેલ્યુઝના ઉત્પાદન સમાન છે. ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ તેના ત્રાંસા તત્વો સાથે મેળ ખાય છે, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ સરળતાથી ઊંધુ થઈ જાય છે અને તેનું વ્યસ્ત પણ ત્રિકોણાકાર હશે.  

અગાઉ નોંધ્યું હતું કે નિર્ણાયકને સીધો શોધવા માટે મોટી સંખ્યામાં ગણતરીઓની જરૂર છે. તે જ સમયે, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની સરળતાથી ગણતરી કરવામાં આવે છે: તે તેના ત્રાંસા તત્વોના ઉત્પાદનની બરાબર છે.  

મેટ્રિક્સ A ના ઘટકોમાં જેટલા વધુ શૂન્ય છે અને તે જેટલા વધુ સારા સ્થિત છે, નિર્ણાયક det A ની ગણતરી કરવી તેટલું સરળ છે. આ સાહજિક રજૂઆત કેટલાક કિસ્સાઓમાં ચોક્કસ માત્રાત્મક અભિવ્યક્તિ શોધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે જાણીએ છીએ કે (§ 1 માંથી (6) જુઓ) કે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ (ઉપલા અથવા નીચલા) ના નિર્ણાયક મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વોના ઉત્પાદન સમાન છે.  

ઉદાહરણ તરીકે, નિર્ણાયકને સ્કેલર વડે ગુણાકાર કરવો એ મેટ્રિક્સની કોઈપણ પંક્તિ અથવા કૉલમના ઘટકોને તે સ્કેલર વડે ગુણાકાર કરવા સમાન છે. સમીકરણ (40) અને હકીકત એ છે કે વિસ્તરણ બીજગણિત પૂરકને નિર્ણાયકની જેમ જ લાગુ પડે છે, તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેના ત્રાંસા તત્વોના ઉત્પાદન સમાન છે.  

આ શક્યતા નિર્ણાયકોના ત્રણ મુખ્ય ગુણધર્મોને અનુસરે છે. એક શબ્દમાળાના ગુણાંકને બીજામાં ઉમેરવાથી નિર્ણાયક બદલાતો નથી. બે પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવવાથી નિર્ણાયકનું ચિહ્ન બદલાય છે. ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક ફક્ત તેના કર્ણ તત્વોનું ઉત્પાદન છે. DECOMP લીડિંગ એલિમેન્ટ વેક્ટરના છેલ્લા ઘટકનો ઉપયોગ કરે છે જો ત્યાં ક્રમચયોની બેકી સંખ્યા હોય તો 1 નું મૂલ્ય અને ક્રમચયોની બેકી સંખ્યા હોય તો 1 ની કિંમત. નિર્ણાયક મેળવવા માટે, આ મૂલ્યને આઉટપુટ મેટ્રિક્સના વિકર્ણ તત્વોના ઉત્પાદન દ્વારા ગુણાકાર કરવું આવશ્યક છે.  

આ વિષયમાં આપણે મેટ્રિક્સની વિભાવના, તેમજ મેટ્રિસિસના પ્રકારો પર વિચાર કરીશું. આ વિષયમાં ઘણી બધી શરતો હોવાથી, સામગ્રીને નેવિગેટ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે હું સંક્ષિપ્ત સારાંશ ઉમેરીશ.

મેટ્રિક્સ અને તેના તત્વની વ્યાખ્યા. નોટેશન.

મેટ્રિક્સ$m$ પંક્તિઓ અને $n$ કૉલમનું કોષ્ટક છે. મેટ્રિક્સના ઘટકો સંપૂર્ણપણે અલગ પ્રકૃતિના પદાર્થો હોઈ શકે છે: સંખ્યાઓ, ચલો અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, અન્ય મેટ્રિસિસ. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ માં 3 પંક્તિઓ અને 2 કૉલમ છે; તેના તત્વો પૂર્ણાંકો છે. મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(એરે) \right)$ 2 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ સમાવે છે.

મેટ્રિસિસ લખવાની વિવિધ રીતો: બતાવો\ છુપાવો

મેટ્રિક્સ ફક્ત રાઉન્ડમાં જ નહીં, પણ ચોરસ અથવા ડબલ સીધા કૌંસમાં પણ લખી શકાય છે. એટલે કે, નીચેની એન્ટ્રીઓનો અર્થ સમાન મેટ્રિક્સ છે:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(એરે) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(એરે) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

ઉત્પાદન $m\times n$ કહેવાય છે મેટ્રિક્સ કદ. ઉદાહરણ તરીકે, જો મેટ્રિક્સમાં 5 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ હોય, તો અમે $5\ગુણા 3$ના કદના મેટ્રિક્સ વિશે વાત કરીએ છીએ. મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ નું કદ $3 \times 2$ છે.

સામાન્ય રીતે, મેટ્રિસિસ લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: $A$, $B$, $C$ અને તેથી વધુ. ઉદાહરણ તરીકે, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. લાઇન નંબરિંગ ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે; કૉલમ - ડાબેથી જમણે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $B$ની પ્રથમ પંક્તિમાં ઘટકો 5 અને 3 છે, અને બીજી કૉલમમાં ઘટકો 3, -87, 0 છે.

મેટ્રિસિસના ઘટકો સામાન્ય રીતે નાના અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $A$ ના તત્વોને $a_(ij)$ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. ડબલ ઇન્ડેક્સ $ij$ મેટ્રિક્સમાં તત્વની સ્થિતિ વિશેની માહિતી ધરાવે છે. નંબર $i$ એ પંક્તિ નંબર છે, અને નંબર $j$ એ કૉલમ નંબર છે, જેના આંતરછેદ પર $a_(ij)$ તત્વ છે. ઉદાહરણ તરીકે, બીજી પંક્તિના આંતરછેદ પર અને મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 ની પાંચમી કૉલમ & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ તત્વ $a_(25)= $59:

એ જ રીતે, પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમના આંતરછેદ પર આપણી પાસે $a_(11)=51$; ત્રીજી પંક્તિ અને બીજી કૉલમના આંતરછેદ પર - તત્વ $a_(32)=-15$ અને તેથી વધુ. નોંધ કરો કે પ્રવેશ $a_(32)$ "એક ત્રણ બે" વાંચે છે, પરંતુ "એક બત્રીસ" નહીં.

મેટ્રિક્સ $A$ ને સંક્ષિપ્ત કરવા માટે, જેનું કદ $m\times n$ છે, $A_(m\times n)$ નો ઉપયોગ થાય છે. તમે તેને થોડી વધુ વિગતમાં લખી શકો છો:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

જ્યાં નોટેશન $(a_(ij))$ મેટ્રિક્સ $A$ ના તત્વો દર્શાવે છે. તેના સંપૂર્ણ વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં, મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) અને a_(12) અને \ldots અને a_(1n) \\ a_(21) અને a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(એરે) \right) $$

ચાલો બીજો શબ્દ રજૂ કરીએ - સમાન મેટ્રિસિસ.

સમાન કદના બે મેટ્રિસિસ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ અને $B_(m\times n)=(b_(ij))$ કહેવાય છે સમાન, જો તેમના અનુરૂપ તત્વો સમાન હોય, એટલે કે. $a_(ij)=b_(ij)$ બધા $i=\overline(1,m)$ અને $j=\overline(1,n)$ માટે.

પ્રવેશ માટે સમજૂતી $i=\overline(1,m)$: show\hide

નોટેશન "$i=\overline(1,m)$" નો અર્થ છે કે પરિમાણ $i$ 1 થી m સુધી બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશ $i=\overline(1,5)$ સૂચવે છે કે પરિમાણ $i$ મૂલ્યો 1, 2, 3, 4, 5 લે છે.

તેથી, મેટ્રિસિસ સમાન બનવા માટે, બે શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: કદનો સંયોગ અને સંબંધિત તત્વોની સમાનતા. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ મેટ્રિક્સની બરાબર નથી $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ કારણ કે મેટ્રિક્સ $A$ નું કદ $3\times 2$ અને મેટ્રિક્સ $B$ છે કદ $2\ગુણા $2 ધરાવે છે. ઉપરાંત, મેટ્રિક્સ $A$ એ મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array)(cc) 5 અને 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(એરે)\right)$ સમાન નથી , ત્યારથી $a_( 21)\neq c_(21)$ (એટલે ​​​​કે $0\neq 98$). પરંતુ મેટ્રિક્સ $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ માટે આપણે સુરક્ષિત રીતે $A= લખી શકીએ છીએ. F$ કારણ કે $A$ અને $F$ બંને માપો અને મેટ્રિસીસના અનુરૂપ ઘટકો એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ નંબર 1

મેટ્રિક્સનું માપ નક્કી કરો $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(એરે) \right)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ કયા તત્વો સમાન છે તે દર્શાવો.

આ મેટ્રિક્સમાં 5 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ છે, તેથી તેનું કદ $5\ગુણા 3$ છે. તમે આ મેટ્રિક્સ માટે $A_(5\times 3)$ નો ઉપયોગ પણ કરી શકો છો.

તત્વ $a_(12)$ એ પ્રથમ પંક્તિ અને બીજી કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(12)=-2$. તત્વ $a_(33)$ એ ત્રીજી પંક્તિ અને ત્રીજી કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(33)=23$. તત્વ $a_(43)$ ચોથી પંક્તિ અને ત્રીજા કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(43)=-5$.

જવાબ આપો: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

તેમના કદના આધારે મેટ્રિસિસના પ્રકાર. મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણ. મેટ્રિક્સ ટ્રેસ.

ચોક્કસ મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ આપવા દો. જો $m=1$ (મેટ્રિક્સ એક પંક્તિ ધરાવે છે), તો આપેલ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ-પંક્તિ. જો $n=1$ (મેટ્રિક્સમાં એક કૉલમ હોય છે), તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ-સ્તંભ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(એરે) \right)$ એ પંક્તિ મેટ્રિક્સ છે, અને $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(એરે) \right)$ એ કૉલમ મેટ્રિક્સ છે.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ એ $m\neq n$ (એટલે ​​​​કે, પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી નથી) ની સ્થિતિને સંતોષે છે, તો તે ઘણીવાર કહેવાય છે કે $A$ એક લંબચોરસ છે મેટ્રિક્સ ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ નું કદ $2\times 4 છે $, તે. 2 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ સમાવે છે. પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી ન હોવાથી, આ મેટ્રિક્સ લંબચોરસ છે.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ $m=n$ (એટલે ​​​​કે, પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી હોય) ની સ્થિતિને સંતોષે છે, તો $A$ એ $ નું ચોરસ મેટ્રિક્સ હોવાનું કહેવાય છે. n$. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ એ બીજા-ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ એ ત્રીજા ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. સામાન્ય રીતે, ચોરસ મેટ્રિક્સ $A_(n\times n)$ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) અને a_(12) અને \ldots & a_(1n) \\ a_(21) અને a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(એરે) \right) $$

તત્વો $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ચાલુ હોવાનું કહેવાય છે મુખ્ય કર્ણમેટ્રિસિસ $A_(n\times n)$. આ તત્વો કહેવામાં આવે છે મુખ્ય કર્ણ તત્વો(અથવા માત્ર કર્ણ તત્વો). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ચાલુ છે બાજુ (નાની) કર્ણ; તેઓ કહેવામાં આવે છે બાજુના કર્ણ તત્વો. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( એરે) \right)$ અમારી પાસે છે:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ એ મુખ્ય કર્ણ તત્વો છે; તત્વો $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ એ બાજુના કર્ણ તત્વો છે.

મુખ્ય કર્ણ તત્વોનો સરવાળો કહેવાય છે મેટ્રિક્સ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છેઅને $\Tr A$ (અથવા $\Sp A$) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 અને -9 અને 5 અને 6 \end(એરે)\right)$ અમારી પાસે છે:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

વિકર્ણ તત્વોની વિભાવનાનો ઉપયોગ નોન-સ્ક્વેર મેટ્રિસિસ માટે પણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $B=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(એરે) \right)$ મુખ્ય કર્ણ તત્વો $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ હશે.

તેમના તત્વોના મૂલ્યોના આધારે મેટ્રિસિસના પ્રકાર.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ ના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે નલઅને સામાન્ય રીતે $O$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0 \end(એરે) \right)$ - શૂન્ય મેટ્રિસિસ.

મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ ને નીચેનું સ્વરૂપ રહેવા દો:

પછી આ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ટ્રેપેઝોઇડલ. તેમાં શૂન્ય પંક્તિઓ ન હોઈ શકે, પરંતુ જો તે અસ્તિત્વમાં છે, તો તે મેટ્રિક્સના તળિયે સ્થિત છે. વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં, ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ફરીથી, પાછળની નલ રેખાઓ જરૂરી નથી. તે. ઔપચારિક રીતે, અમે ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ માટે નીચેની શરતોને અલગ પાડી શકીએ છીએ:

1. મુખ્ય કર્ણની નીચેના બધા તત્વો શૂન્ય છે.
2. મુખ્ય કર્ણ પર પડેલા $a_(11)$ થી $a_(rr)$ સુધીના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન નથી: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. કાં તો છેલ્લી $m-r$ પંક્તિઓના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે અથવા $m=r$ (એટલે ​​કે ત્યાં કોઈ શૂન્ય પંક્તિઓ નથી).

ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિસિસના ઉદાહરણો:

ચાલો આગળની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ. મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ કહેવાય છે પગલું ભર્યું, જો તે નીચેની શરતોને સંતોષે છે:

ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટેપ મેટ્રિસિસ આ હશે:

સરખામણી માટે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 અને 0 \end(એરે)\right)$ એ એકેલન નથી કારણ કે ત્રીજી પંક્તિમાં બીજી પંક્તિ જેટલો જ શૂન્ય ભાગ છે. એટલે કે, સિદ્ધાંત "નીચી રેખા, શૂન્ય ભાગ મોટો" નું ઉલ્લંઘન થાય છે. હું ઉમેરીશ કે ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ એ સ્ટેપ્ડ મેટ્રિક્સનો વિશેષ કેસ છે.

ચાલો આગળની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ. જો મુખ્ય કર્ણની નીચે સ્થિત ચોરસ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે. ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(એરે) \right)$ એ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે. નોંધ કરો કે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા મુખ્ય કર્ણની ઉપર અથવા મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત તત્વોના મૂલ્યો વિશે કશું કહેતી નથી. તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે કે નહીં - તે કોઈ વાંધો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(એરે) \right)$ એ પણ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે.

જો મુખ્ય કર્ણની ઉપર સ્થિત ચોરસ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે. નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 3 અને 0 અને 0 અને 0 \\ -5 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 8 અને 2 અને 1 અને 0 \\ 5 અને 4 અને 0 અને 6 \ end(એરે) \right)$ - નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. નોંધ કરો કે નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા તેના પર સ્થિત તત્વોના મૂલ્યો વિશે કશું કહેતી નથી. તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે કે નહીં - તે કોઈ વાંધો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(એરે) \right)$ અને $\left(\ બિગિન (એરે) (સીસીસી) 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0\\ 0 અને 0 અને 0 \ એન્ડ(એરે) \right)$ પણ નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ છે.

ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે કર્ણ, જો આ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો જે મુખ્ય કર્ણ પર આવેલા નથી તે શૂન્ય સમાન છે. ઉદાહરણ: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ અંત(એરે)\જમણે)$. મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો કંઈપણ હોઈ શકે છે (શૂન્યની બરાબર છે કે નહીં) - તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

વિકર્ણ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે એકલ, જો મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત આ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો 1 ની બરાબર હોય. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(એરે)\right)$ - ચોથા ક્રમની ઓળખ મેટ્રિક્સ; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ એ બીજા ક્રમની ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

1. રેન્ક મેટ્રિક્સ આપવા દો. ચાલો આ મેટ્રિક્સના અનુગામી મુખ્ય સગીરો માટે નીચે આપેલા સંકેતો રજૂ કરીએ:

.

ચાલો ધારીએ કે ગૌસીયન અલ્ગોરિધમની શક્યતા માટેની શરતો ધરાવે છે:

ચાલો ગુણાંકના મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણોની સિસ્ટમ (18) દર્શાવીએ, જેમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ ઓછી થાય છે.

ગૌસીયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ. મેટ્રિક્સમાં ઉપલા ત્રિકોણાકાર આકાર હોય છે, અને તેની પ્રથમ પંક્તિઓના ઘટકો સૂત્રો (13) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને છેલ્લી પંક્તિઓના ઘટકો શૂન્યની સમાન હોય છે:

.

મેટ્રિક્સથી મેટ્રિક્સમાં સંક્રમણ નીચેના પ્રકારનાં ઓપરેશન્સની ચોક્કસ સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણ કરવામાં આવ્યું હતું: મેટ્રિક્સની મી પંક્તિ મી પંક્તિમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, અગાઉ ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. આ ક્રિયા મેટ્રિક્સ દ્વારા ડાબી બાજુએ રૂપાંતરિત થતા મેટ્રિક્સને ગુણાકાર કરવા સમાન છે

. (31)

આ મેટ્રિક્સમાં, મુખ્ય કર્ણ સમાયેલ છે, અને તત્વના અપવાદ સાથે, અન્ય તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે.

આમ

,

જ્યાં દરેક મેટ્રિસીસનું સ્વરૂપ (31) હોય છે અને તેથી, 1 ની સમાન કર્ણ તત્વો સાથેનું નીચલું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે.

. (32)

ગૌસિયન એલિમિનેશન પદ્ધતિમાં મેટ્રિક્સ માટે મેટ્રિક્સને ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવશે. બંને મેટ્રિક્સ, અને , મેટ્રિક્સનો ઉલ્લેખ કરીને અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. (32) માંથી તે અનુસરે છે કે જે 1 ની બરાબર કર્ણ તત્વો સાથેનું નીચલું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે (જુઓ પૃષ્ઠ 28).

બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ હોવાથી, પછી (33) માંથી આપણે શોધીએ છીએ:

અમે મેટ્રિક્સને નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કર્યું. આ પ્રકારના મેટ્રિક્સને ફેક્ટર કરવાનો પ્રશ્ન નીચેના પ્રમેય દ્વારા સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ થાય છે:

પ્રમેય 1. ક્રમનું કોઈપણ મેટ્રિક્સ, જેમાં પ્રથમ સળંગ આંખના સગીરો શૂન્ય નથી,

, (34)

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

. (35)

મેટ્રિસિસના પ્રથમ કર્ણ તત્વો અને શરતોને સંતોષતા મનસ્વી મૂલ્યો આપી શકાય છે (36).

મેટ્રિક્સના પ્રથમ કર્ણ તત્વોનો ઉલ્લેખ કરવો અને મેટ્રિક્સના પ્રથમ કૉલમ અને મેટ્રિક્સની પ્રથમ r પંક્તિઓના ઘટકોને વિશિષ્ટ રીતે નિર્ધારિત કરે છે. આ તત્વો માટે નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:

, (37)

મેટ્રિક્સની છેલ્લી સ્તંભોના કિસ્સામાં, તમે બધા તત્વોને અલગ-અલગ શૂન્ય પર સેટ કરી શકો છો, અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓમાં બધા ઘટકોને મનસ્વી મૂલ્યો આપો, અથવા તેનાથી વિપરીત, મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓ શૂન્ય સાથે ભરો, અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી કૉલમ આર્બિટરી લો.

પુરાવો. ઉત્પાદન (35) તરીકે મેટ્રિક્સ સંતોષકારક સ્થિતિ (34) રજૂ કરવાની શક્યતા ઉપર સાબિત થઈ હતી [જુઓ (33")]

હવે ચાલો અને મનસ્વી નિમ્ન અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ જેનું ઉત્પાદન બરાબર છે. બે મેટ્રિસિસના ઉત્પાદનના સગીરો માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ:

ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ હોવાથી, મેટ્રિક્સના પ્રથમ સ્તંભોમાં માત્ર એક જ બિન-શૂન્ય લઘુ ક્રમ હોય છે . તેથી, સમાનતા (38) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ચાલો તેને પહેલા અહીં મુકીએ. પછી આપણને મળે છે:

જેમાંથી સંબંધો (36) પહેલાથી જ અનુસરે છે.

અસમાનતા (35) નું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના, અમે જમણી બાજુના મેટ્રિક્સને મનસ્વી વિશિષ્ટ વિકર્ણ મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, જ્યારે એક સાથે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ. . આ મેટ્રિક્સના સ્તંભોને અનુક્રમે અને મેટ્રિક્સની પંક્તિઓને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવા સમાન છે . તેથી, કર્ણ તત્વો , , કોઈપણ મૂલ્યો આપી શકાય છે જે શરતોને સંતોષે છે (36).

,

એટલે કે, પ્રથમ સૂત્રો (37). મેટ્રિક્સના તત્વો માટે બીજા સૂત્રો (37) સંપૂર્ણપણે સમાન રીતે સ્થાપિત થયેલ છે.

ચાલો આપણે એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના છેલ્લા કૉલમના ઘટકો અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓના ઘટકો બંને એકબીજા સાથે ગુણાકાર થાય છે. આપણે જોયું છે કે મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓના તમામ ઘટકોને શૂન્ય તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. પછી મેટ્રિક્સના છેલ્લા કૉલમના ઘટકો મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે મેટ્રિક્સની છેલ્લી સ્તંભોને શૂન્ય અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓના ઘટકોને મનસ્વી તરીકે લઈએ તો મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન બદલાશે નહીં.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સાબિત પ્રમેયમાંથી સંખ્યાબંધ રસપ્રદ પરિણામો આવે છે.

કોરોલરી 1. મેટ્રિક્સના પ્રથમ સ્તંભોના ઘટકો અને મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિઓ પુનરાવર્તિત સંબંધો દ્વારા મેટ્રિક્સના ઘટકો સાથે સંબંધિત છે:

(41)

સંબંધો (41) મેટ્રિક્સ સમાનતા (35) થી સીધા જ અનુસરે છે;

કોરોલરી 2. જો બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ સંતોષકારક સ્થિતિ છે (34), તો પછી પ્રતિનિધિત્વમાં (35) મેટ્રિસિસ અને આ મેટ્રિસિસના કર્ણ તત્વોને શરતો (36) અનુસાર પસંદ કરવામાં આવે કે તરત જ વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

કોરોલરી 3. જો રેન્કનું સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે અને

,

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ ક્યાં છે જેમાં

2. રજૂ કરીએ (35) મેટ્રિક્સમાં શૂન્યની બરાબર છેલ્લી કૉલમના ઘટકો છે. પછી તમે મૂકી શકો છો:

, , (43)

જ્યાં નીચલું છે અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે; તદુપરાંત, મેટ્રિક્સના પ્રથમ કર્ણ તત્વો અને 1 ની બરાબર છે, અને મેટ્રિક્સના છેલ્લા કૉલમ અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓના ઘટકો સંપૂર્ણપણે મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. (35) અભિવ્યક્તિઓ (43) માટે અને સમાનતા (36) નો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના પ્રમેય પર પહોંચીએ છીએ:

પ્રમેય 2. રેન્કનું કોઈપણ મેટ્રિક્સ જેના માટે

,

ચાલો તેને નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ, વિકર્ણ મેટ્રિક્સ અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરીએ:

(44)

, (45)

a , માટે મનસ્વી છે; .

3. ગૌસિયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ, જેના માટે રેન્ક મેટ્રિક્સ પર લાગુ કરવામાં આવી રહી છે , અમને બે મેટ્રિસિસ આપે છે: 1 ના ત્રાંસા તત્વો સાથેનું નીચલું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ જેના પ્રથમ કર્ણ તત્વો સમાન છે , અને છેલ્લી લીટીઓ શૂન્યથી ભરેલી છે. - મેટ્રિક્સનું ગૌસીયન સ્વરૂપ, - ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ.

મેટ્રિક્સ તત્વોની ચોક્કસ ગણતરી માટે, નીચેની તકનીકની ભલામણ કરી શકાય છે.

જો અમે ગૌસ અલ્ગોરિધમમાં મેટ્રિક્સ પર કરેલા તમામ રૂપાંતરણો (મેટ્રિક્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ) ઓળખ મેટ્રિક્સ પર લાગુ કરીએ તો અમે મેટ્રિક્સ મેળવીશું (આ કિસ્સામાં, સમાન ઉત્પાદનને બદલે, અમારી પાસે સમાન ઉત્પાદન હશે) . તેથી, અમે જમણી બાજુના મેટ્રિક્સને ઓળખ મેટ્રિક્સ અસાઇન કરીએ છીએ:

. (46)

આ લંબચોરસ મેટ્રિક્સમાં ગૌસીયન અલ્ગોરિધમના તમામ રૂપાંતરણોને લાગુ કરીને, અમે બે ચોરસ મેટ્રિક્સ ધરાવતા લંબચોરસ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ અને:

આમ, મેટ્રિક્સ (46) પર ગૌસીયન અલ્ગોરિધમ લાગુ કરવાથી મેટ્રિક્સ અને મેટ્રિક્સ બંને મળે છે.

જો બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે, પછી અને . આ કિસ્સામાં, તે (33) થી અનુસરે છે. મેટ્રિક્સને ગૌસ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાથી નિર્ધારિત અને ગુણાકારમાં ઘટાડો થાય છે, એટલે કે, મેટ્રિક્સના કૉલમ, મેટ્રિક્સ સાથે એકરુપ થાય છે, અને મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ સાથે એકરુપ થાય છે, અને તેથી સૂત્રો ( 53) અને (54) ફોર્મ લે છે

જો ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં n 2 તત્વો હોય, તો તેમાંથી લગભગ અડધા શૂન્ય છે અને તેમને સ્પષ્ટ રીતે સંગ્રહિત કરવાની જરૂર નથી. ખાસ કરીને, જો આપણે n 2 તત્વોના સરવાળામાંથી n કર્ણ તત્વોને બાદ કરીએ, તો બાકીના તત્વોમાંથી અડધા શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, n=25 સાથે મૂલ્ય 0 સાથે 300 તત્વો છે:

(n 2 -n)/2 = (25 2 -25)/2=(625-25)/2 = 300

બે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ A અને B નો સરવાળો અથવા તફાવત અનુરૂપ મેટ્રિક્સ તત્વો ઉમેરીને અથવા બાદબાકી કરીને મેળવવામાં આવે છે. પરિણામી મેટ્રિક્સ ત્રિકોણાકાર છે.

ઉમેરણ C = A + B

બાદબાકી C = A - B

જ્યાં C એ C i, j = A i, j + B i, j તત્વો સાથેનું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે.

ગુણાકાર C = A * B

પરિણામી મેટ્રિક્સ C એ C i, j તત્વો સાથેનું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે, જેનાં મૂલ્યો મેટ્રિક્સ A ની પંક્તિ i અને મેટ્રિક્સ B ના કૉલમ j ના ઘટકોમાંથી ગણવામાં આવે છે:

C i , j =(A i ,0 *B 0, j)+ (A i ,1 *B 1, j)+ (A i ,2 *B 2, j)+…+ (A i, n -1 *B n -1, j)

સામાન્ય ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, નિર્ણાયકની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ કાર્ય છે, પરંતુ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી. ફક્ત કર્ણ પર તત્વોનું ઉત્પાદન મેળવો.

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ સંગ્રહ

ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સને સંગ્રહિત કરવા માટે પ્રમાણભૂત દ્વિ-પરિમાણીય એરેનો ઉપયોગ કરવા માટે કર્ણની નીચે સ્થિત અનુમાનિત શૂન્ય હોવા છતાં, કદ n 2 ની બધી મેમરીનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. આ જગ્યાને દૂર કરવા માટે, અમે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાંથી તત્વોને એક-પરિમાણીય એરે M માં સંગ્રહિત કરીએ છીએ. મુખ્ય કર્ણની નીચેના બધા ઘટકો સંગ્રહિત થતા નથી. કોષ્ટક 3.1 દરેક પંક્તિમાં સંગ્રહિત તત્વોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ સંગ્રહ

કોષ્ટક 1

સ્ટોરેજ અલ્ગોરિધમને એક્સેસ ફંક્શનની જરૂર છે જે એલિમેન્ટ A i, j ના એરે M માં સ્થાન નક્કી કરવું આવશ્યક છે. માટે જે< i элемент A i , j является равным 0 и не сохраняется в М. Для j ³ i функция доступа использует информацию о числе сохраняемых элементов в каждой строке вплоть до строки i. Эта информация может быть вычислена для каждой строки i и сохранена в массиве (rowTable) для использования функцией доступа.

ઉદાહરણ 4.

આપેલ છે કે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના તત્વો એરે M માં પંક્તિ દ્વારા પંક્તિ સંગ્રહિત છે, A i, j માટે એક્સેસ ફંક્શન નીચેના પરિમાણોનો ઉપયોગ કરે છે:

અનુક્રમણિકા i અને j,

rowTable એરે

તત્વ A i, j માટે એક્સેસ અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

જો જે

જો j³i હોય, તો rowTable[i] ની કિંમત પ્રાપ્ત થાય છે, જે એરે M માં સંગ્રહિત તત્વોની સંખ્યા છે, પંક્તિ i સુધીના તત્વો માટે. પંક્તિ i માં, પ્રથમ i તત્વો શૂન્ય છે અને M માં સંગ્રહિત નથી. તત્વ A i, j M+(j-i)] માં મૂકવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 5.

ઉદાહરણ 3.4 માંથી ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ X ને ધ્યાનમાં લો:

1.X 0.2 =M=M=M=0

2.X 1.0 સાચવેલ નથી

3.X 1.2 =M+(2-1)]=M=M=1

ટ્રાઇમેટ વર્ગ

ટ્રાઇમેટ ક્લાસ સંખ્યાબંધ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ કામગીરીનો અમલ કરે છે. ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની બાદબાકી અને ગુણાકાર પ્રકરણના અંતે કસરતો માટે બાકી છે. આપણે માત્ર સ્થિર એરેનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ તે પ્રતિબંધને જોતાં, અમારો વર્ગ પંક્તિ અને કૉલમના કદને 25 સુધી મર્યાદિત કરે છે. અમારી પાસે 300=(25 2 -25)/2 શૂન્ય ઘટકો હશે, તેથી એરે Mમાં 325 ઘટકો હોવા જોઈએ.

TriMat વર્ગ સ્પષ્ટીકરણ

ઘોષણા

# સમાવેશ થાય છે

# સમાવેશ થાય છે

// તત્વો અને પંક્તિઓની મહત્તમ સંખ્યા

// ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ

const int ELEMENTLIMIT = 325;

const int ROWLIMIT = 25;

// ખાનગી ડેટા સભ્યો

int rowTable; // એમ માં શબ્દમાળાનો પ્રારંભિક અનુક્રમણિકા

int n; // પંક્તિ/સ્તંભનું કદ

ડબલ એમ;

// પરિમાણ સાથે કન્સ્ટ્રક્ટર TriMat(int matsize);

// મેટ્રિક્સ તત્વોની ઍક્સેસ પદ્ધતિઓ

void PutElement(ડબલ આઇટમ, int i, int j);

ડબલ GetElement(int i, int j) const;

// મેટ્રિક્સ અંકગણિત કામગીરી

TriMat AddMat(const TriMat&A) const;

ડબલ ડેલમેટ(રદબાતલ) કોન્સ્ટ;

// મેટ્રિક્સ I/O ઓપરેશન્સ

રદબાતલ રીડમેટ(રદબાતલ);

void WriteMat(void) const;

// મેટ્રિક્સ પરિમાણ મેળવો

int GetDimension(void) const;

વર્ણન

કન્સ્ટ્રક્ટર મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા સ્વીકારે છે. PutElement અને GetElement પદ્ધતિઓ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઘટકોને સંગ્રહિત કરે છે અને પરત કરે છે. GetElement કર્ણની નીચેના તત્વો માટે 0 પરત કરે છે. AddMat વર્તમાન ઑબ્જેક્ટ સાથે મેટ્રિક્સ A નો સરવાળો આપે છે. આ પદ્ધતિ વર્તમાન મેટ્રિક્સના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતી નથી. ReadMat અને WriteMat I/O ઓપરેટરો n x n મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો પર કાર્ય કરે છે. રીડમેટ પદ્ધતિ પોતે જ મેટ્રિક્સના ઉપલા ત્રિકોણાકાર તત્વોને સંગ્રહિત કરે છે.

#include trimat.h // TriMat વર્ગનો સમાવેશ કરો

ટ્રાયમેટ એ (10), બી (10), સી (10); // 10x10 ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ

A.ReadMat(); // મેટ્રિસિસ A અને B દાખલ કરો

C = A.AddMat(B); // C = A + B ગણતરી કરો

C.WriteMat(); // પ્રિન્ટ સી

ટ્રાઇમેટ વર્ગનું અમલીકરણ

કન્સ્ટ્રક્ટર મેટસાઇઝ પેરામીટર સાથે ખાનગી સભ્ય n ને પ્રારંભ કરે છે. આ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યાને સેટ કરે છે. સમાન પરિમાણનો ઉપયોગ rowTable એરેને પ્રારંભ કરવા માટે થાય છે, જેનો ઉપયોગ મેટ્રિક્સ ઘટકોને ઍક્સેસ કરવા માટે થાય છે. જો matsize ROWLIMIT કરતાં વધી જાય, તો એક ભૂલ સંદેશ જારી કરવામાં આવે છે અને પ્રોગ્રામ એક્ઝેક્યુશનમાં વિક્ષેપ આવે છે.

// n અને rowTable ને પ્રારંભ કરો

ટ્રાઇમેટ::ટ્રાઇમેટ (ઇન્ટ મેટસાઇઝ)

int storedElements = 0;

// જો મેટસાઇઝ ROWLIMIT કરતા વધારે હોય તો પ્રોગ્રામને રદ કરો

જો (મેટસાઇઝ > ROWLIMIT)

સેર<< "Превышен размер матрицы" << ROWLIMIT << "x" << ROWLIMIT << endl;

// ટેબલ સેટ કરો

માટે (int i = 0; i< n; i++)

rowTable[i] = સંગ્રહિત તત્વો;

સંગ્રહિત તત્વો += n - i;

મેટ્રિક્સ એક્સેસ પદ્ધતિઓ. ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ સાથે કામ કરતી વખતે ચાવી એ રેખીય એરેમાં બિન-શૂન્ય તત્વોને અસરકારક રીતે સંગ્રહિત કરવાની ક્ષમતા છે. આ કાર્યક્ષમતા હાંસલ કરવા અને હજુ પણ મેટ્રિક્સ એલિમેન્ટને એક્સેસ કરવા માટે સામાન્ય દ્વિ-પરિમાણીય અનુક્રમણિકા i અને j નો ઉપયોગ કરવા માટે, અમને મેટ્રિક્સ તત્વોને એરેમાં સંગ્રહિત કરવા અને પરત કરવા માટે PutElement અને GetElement ફંક્શન્સની જરૂર છે.

GetDimension પદ્ધતિ ક્લાયન્ટને મેટ્રિક્સના કદની ઍક્સેસ આપે છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ એ સુનિશ્ચિત કરવા માટે કરી શકાય છે કે એક્સેસર્સ યોગ્ય પંક્તિ અને કૉલમને અનુરૂપ પરિમાણો પસાર કરે છે:

// રીટર્ન મેટ્રિક્સ ડાયમેન્શન એન

int TriMat::GetDimension(void) const

PutElement પદ્ધતિ અનુક્રમણિકા i અને j તપાસે છે. જો j ³ i હોય, તો અમે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ માટે મેટ્રિક્સ એક્સેસ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને ડેટા મૂલ્ય M માં સંગ્રહિત કરીએ છીએ: જો i અથવા j શ્રેણી 0 માં નથી. . (n-1), પછી પ્રોગ્રામ સમાપ્ત થાય છે:

// એરે M માટે મેટ્રિક્સ એલિમેન્ટ લખો

void TriMat::PutElement (ડબલ આઇટમ, int i, int j)

// જો તત્વના અનુક્રમણિકા બહાર હોય તો પ્રોગ્રામને બંધ કરો

// અનુક્રમણિકા શ્રેણી

જો ((હું< 0 || i >= n) || (જે< 0 |1 j >= n))

સેર<< "PutElement: индекс вне диапазона 0-"<< n-1 << endl;

// કર્ણની નીચેના તમામ ઘટકોને અવગણવામાં આવે છે જો (j >= i)

M + j-i] = વસ્તુ;

કોઈપણ તત્વ પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે, GetElement પદ્ધતિ ઈન્ડેક્સ i અને j તપાસે છે. જો i અથવા j શ્રેણી 0...(n - 1) માં નથી, તો પ્રોગ્રામ સમાપ્ત થાય છે. જો જે

// એરે M નું મેટ્રિક્સ તત્વ મેળવો

ડબલ ટ્રાઇમેટ::ગેટ એલિમેન્ટ(int i, int j) const

// જો સૂચકાંકો ઇન્ડેક્સ રેન્જની બહાર હોય તો પ્રોગ્રામને બંધ કરો

જો ((હું< 0 || i >= n) || (જે< 0 |I j >= n))

સેર<< "GetElement: индекс вне диапазона 0-"<< n-1 << endl;

// તત્વ પરત કરો જો તે કર્ણની ઉપર હોય

વળતર M + j-i];

// તત્વ 0 છે જો તે કર્ણની નીચે હોય

મેટ્રિક્સ ઑબ્જેક્ટનું ઇનપુટ/આઉટપુટ. પરંપરાગત રીતે, મેટ્રિક્સ ઇનપુટમાં પંક્તિ અને કૉલમ મૂલ્યોના સંપૂર્ણ સેટ સાથે પંક્તિ દ્વારા ડેટા પંક્તિ દાખલ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. ટ્રાઇમેટ ઑબ્જેક્ટમાં, નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ નલ હોય છે અને મૂલ્યો એરેમાં સંગ્રહિત નથી. જો કે, વપરાશકર્તાને સામાન્ય મેટ્રિક્સ ઇનપુટ જાળવી રાખવા માટે આ શૂન્ય મૂલ્યો દાખલ કરવા માટે સંકેત આપવામાં આવે છે.

// બધા (n x n) તત્વો

void TriMat::ReadMat (રદવાત)

માટે(i = 0; i

માટે(j = 0; j

સ્ટ્રીમમાં મેટ્રિક્સ તત્વોનું //લાઇન-બાય-પંક્તિ આઉટપુટ

void TriMat::WriteMat (void) const

// જારી મોડ સેટ કરો

cout setf (ios::fixed);

cout.precision(3);

cout.setf (ios::શોપોઈન્ટ);

માટે (i = 0; i< n; i++)

માટે (j = 0; j< n; j++)

cout<< setw(7) << GetElement (i,j);

cout<< endl;

મેટ્રિક્સ કામગીરી. TriMat વર્ગમાં બે મેટ્રિક્સના સરવાળા અને મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિઓ છે. AddMat પદ્ધતિ એક પરિમાણ લે છે, જે સરવાળામાં યોગ્ય ઓપરેન્ડ છે. વર્તમાન ઑબ્જેક્ટ ડાબા ઓપરેન્ડ સાથે મેળ ખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ X અને Y નો સરવાળો ઑબ્જેક્ટ X પર AddMat પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે. ધારો કે સરવાળો ઑબ્જેક્ટ Z માં સંગ્રહિત છે. ગણતરી કરવા માટે

Z = X + Y ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરો

Z = X.AddMat(Y) ;

TriMat પ્રકારના બે ઑબ્જેક્ટ ઉમેરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ એલિમેન્ટ્સ B i, j = CurrentObjecty i, j + A i, j સાથે નવું મેટ્રિક્સ B પરત કરે છે:

// વર્તમાન અને મેટ્રિક્સ A નો સરવાળો આપે છે.

// વર્તમાન પદાર્થ બદલાતો નથી

TriMat TriMat::AddMat (const TriMat&A) const

ડબલ આઇટમ વર્તમાન, આઇટમA;

ટ્રાઇમેટ B(A.n); // B માં જરૂરી રકમ હશે

માટે (i = 0; i< n; i++) // цикл по строкам

માટે (j = i; j< n; j++) // пропускать элементы ниже диагонали

itemCurrent=GetElement i, j);

itemA = A.GetElement(i, j);

B. PutElement(itemCurrent + itemA, i, j);

DetMat પદ્ધતિ વર્તમાન ઑબ્જેક્ટના નિર્ણાયકને પરત કરે છે. વળતર મૂલ્ય એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે કર્ણ તત્વોનું ઉત્પાદન છે. ટ્રાઇમેટ ક્લાસના અમલ માટેનો સંપૂર્ણ કોડ સોફ્ટવેર એપ્લિકેશનમાં મળી શકે છે.

જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચેના તમામ તત્વો શૂન્ય સમાન છે.

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ- એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે.

એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ(ઉપલા અથવા નીચલા) - એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણ પરના તમામ ઘટકો એક સમાન હોય છે.

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સમીકરણોની રેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે થાય છે, જ્યારે નીચેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ (વિપરીત) સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી મુશ્કેલ નથી.

ગુણધર્મો

• ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેના મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વોના ગુણાંક સમાન છે.
• એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક એક સમાન છે.
• ક્રમના બિન-એકવચન ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ nક્ષેત્રના તત્વો સાથે ગુણાકાર દ્વારા kએક જૂથ બનાવે છે જે સૂચિત છે યુટી(n, k) અથવા યુટી n (k).
• ક્રમના બિન-એકવચન નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ nક્ષેત્રના તત્વો સાથે ગુણાકાર દ્વારા kએક જૂથ બનાવે છે જે સૂચિત છે એલ.ટી(n, k) અથવા એલ.ટી n (k).
• ક્ષેત્રના તત્વો સાથે ઉપલા એકત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ kપેટાજૂથ બનાવે છે યુટી n (k) ગુણાકાર દ્વારા, જે સૂચવવામાં આવે છે એસયુટી(n, k) અથવા એસયુટી n (k). નીચલા એકકોણાકાર મેટ્રિસિસનું સમાન પેટાજૂથ સૂચવવામાં આવે છે SLT(n, k) અથવા SLT n (k).
• રીંગ k ના તત્વો સાથેના તમામ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસનો સમૂહ સરવાળો, રીંગના તત્વો દ્વારા ગુણાકાર અને મેટ્રિક્સ ગુણાકારના સંદર્ભમાં બીજગણિત બનાવે છે. સમાન વિધાન નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ માટે સાચું છે.
• સમૂહ યુટી એનઉકેલી શકાય તેવું છે, અને તેનું એકત્રિકોણાકાર પેટાજૂથ એસયુટી એનશૂન્ય

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ત્રિકોણ મેટ્રિક્સ" શું છે તે જુઓ:ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ

- — ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા તેની ઉપર સ્થિત તમામ તત્વો શૂન્ય (cf. ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ) સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમારી પાસે ... ...ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ

- એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા તેની ઉપર સ્થિત તમામ ઘટકો શૂન્ય (cf. ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ) સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમે ઉપલા T.m. બીજા નીચલા ભાગમાં... એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે (અથવા ઉપર) સ્થિત તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ, બીજામાં નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. T. m નો નિર્ણાયક તેના તમામ ગુણના સમાન છે.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ MOB - ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ ઇનપુટ-આઉટપુટ બેલેન્સ (IB) ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને પછીના કોઈપણ ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે... ...

આર્થિક-ગાણિતિક શબ્દકોશત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ MOB - ઇનપુટ સંતુલન ગુણાંક (IBO) નું મેટ્રિક્સ, ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને તેને અનુસરતા કોઈપણ ઉત્પાદનના ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે, પરંતુ નહીં... ...

ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે. ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનું ઉદાહરણ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચેના બધા ઘટકો શૂન્ય છે- એક મેટ્રિક્સ છે જેને સબમેટ્રિસિસમાં એવી રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે કે તેના "મુખ્ય કર્ણ" ની એક બાજુ પર, સબમેટ્રિસિસથી બનેલા, ત્યાં શૂન્ય છે. બ્લોક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસના ઉદાહરણોમાં સમાવેશ થાય છે... ... - ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ ઇનપુટ-આઉટપુટ બેલેન્સ (IB) ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને પછીના કોઈપણ ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે... ...

બ્લોક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ- એક મેટ્રિક્સ કે જેને સબમેટ્રિસિસમાં એવી રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે કે તેના "મુખ્ય કર્ણ" ની એક બાજુ પર, સબમેટ્રિસિસથી બનેલા, ત્યાં શૂન્ય છે. બ્લોક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉદાહરણો ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ અને બ્લોક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે... - ઇનપુટ સંતુલન ગુણાંક (IBO) નું મેટ્રિક્સ, ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને તેને અનુસરતા કોઈપણ ઉત્પાદનના ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે, પરંતુ નહીં... ...

મેટ્રિક્સ- તત્વોની સિસ્ટમ (સંખ્યાઓ, કાર્યો અને અન્ય જથ્થાઓ) લંબચોરસ કોષ્ટકના રૂપમાં ગોઠવાય છે જેના પર ચોક્કસ ક્રિયાઓ કરી શકાય છે. કોષ્ટકમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે: સામાન્ય રીતે મેટ્રિક્સ તત્વ આને સૂચવવામાં આવે છે... ... - ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ ઇનપુટ-આઉટપુટ બેલેન્સ (IB) ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને પછીના કોઈપણ ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે... ...

મેટ્રિક્સ- લોજિકલ નેટવર્ક ઇનપુટ/આઉટપુટ ચેનલોના આંતરછેદના લંબચોરસ એરે તરીકે ગોઠવેલ છે. - ઇનપુટ સંતુલન ગુણાંક (IBO) નું મેટ્રિક્સ, ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને તેને અનુસરતા કોઈપણ ઉત્પાદનના ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે, પરંતુ નહીં... ...