પ્રકાર અને પ્રજાતિઓની અનિશ્ચિતતા એ સૌથી સામાન્ય અનિશ્ચિતતા છે જેને મર્યાદા ઉકેલતી વખતે જાહેર કરવાની જરૂર છે.
વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા આવતી મોટાભાગની મર્યાદા સમસ્યાઓમાં આવી અનિશ્ચિતતાઓ હોય છે. તેમને જાહેર કરવા અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, અનિશ્ચિતતાઓને ટાળવા માટે, મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિના પ્રકારને રૂપાંતરિત કરવા માટે ઘણી કૃત્રિમ તકનીકો છે. આ તકનીકો નીચે મુજબ છે: ચલની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદનો શબ્દવાર ભાગાકાર, સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોના ઉકેલોનો ઉપયોગ કરીને અનુગામી ઘટાડા માટે અવયવીકરણ.
પ્રજાતિઓની અનિશ્ચિતતા
ઉદાહરણ 1.
n 2 ની બરાબર છે. તેથી, અમે અંશ અને છેદ શબ્દને શબ્દ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ:
.
અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુ પર ટિપ્પણી કરો. તીર અને સંખ્યાઓ સૂચવે છે કે અવેજીકરણ પછી અપૂર્ણાંક શું વલણ ધરાવે છે nઅર્થ અનંત. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે 2, ડિગ્રી nઅંશ કરતાં છેદમાં વધુ છે, જેના પરિણામે સમગ્ર અપૂર્ણાંક અનંત અથવા "સુપર-સ્મોલ" થવાનું વલણ ધરાવે છે.
અમને જવાબ મળે છે: અનંત તરફ વલણ ધરાવતા ચલ સાથેના આ કાર્યની મર્યાદા બરાબર છે.
ઉદાહરણ 2. .
ઉકેલ. અહીં ચલની સૌથી વધુ શક્તિ છે x 1 ની બરાબર છે. તેથી, આપણે અંશ અને છેદ શબ્દને પદ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ x:
.
નિર્ણયની પ્રગતિ પર ટિપ્પણી. અંશમાં આપણે ત્રીજી ડિગ્રીના મૂળ હેઠળ “x” ચલાવીએ છીએ, અને જેથી તેની મૂળ ડિગ્રી (1) યથાવત રહે, અમે તેને રૂટની સમાન ડિગ્રી સોંપીએ છીએ, એટલે કે, 3. ત્યાં કોઈ તીર અથવા વધારાની સંખ્યાઓ નથી. આ એન્ટ્રીમાં, તેથી તેને માનસિક રીતે અજમાવો, પરંતુ અગાઉના ઉદાહરણ સાથે સામ્યતા દ્વારા, નિર્ધારિત કરો કે અંશ અને છેદમાં "x" ને બદલે અનંતની અવેજીમાં અભિવ્યક્તિઓ શું વલણ ધરાવે છે.
અમને જવાબ મળ્યો: અનંત તરફ વલણ ધરાવતા ચલ સાથેના આ કાર્યની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર છે.
પ્રજાતિઓની અનિશ્ચિતતા
ઉદાહરણ 3.અનિશ્ચિતતાને ઉજાગર કરો અને મર્યાદા શોધો.
ઉકેલ. અંશ એ ક્યુબ્સનો તફાવત છે. ચાલો શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેને પરિબળ બનાવીએ:
છેદમાં એક ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો સમાવેશ થાય છે, જેને આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીને પરિબળ બનાવીશું (ફરી એક વાર ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની લિંક):
ચાલો રૂપાંતરણના પરિણામે પ્રાપ્ત થયેલ અભિવ્યક્તિ લખીએ અને કાર્યની મર્યાદા શોધીએ:
ઉદાહરણ 4.અનિશ્ચિતતાને અનલૉક કરો અને મર્યાદા શોધો
ઉકેલ. ભાગની મર્યાદા પ્રમેય અહીં લાગુ પડતું નથી, ત્યારથી
તેથી, અમે અપૂર્ણાંકને સમાન રીતે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: અંશ અને છેદને દ્વિપદી સંયોજક દ્વારા છેદ સાથે ગુણાકાર કરીને, અને તેનાથી ઘટાડીને x+1. પ્રમેય 1 ની કોરોલરી અનુસાર, અમે એક અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ, જેને હલ કરીને અમને ઇચ્છિત મર્યાદા મળે છે:
ઉદાહરણ 5.અનિશ્ચિતતાને અનલૉક કરો અને મર્યાદા શોધો
ઉકેલ. ડાયરેક્ટ મૂલ્ય અવેજી xઆપેલ કાર્યમાં = 0 ફોર્મ 0/0 ની અનિશ્ચિતતા તરફ દોરી જાય છે. તેને જાહેર કરવા માટે, અમે સમાન પરિવર્તનો કરીએ છીએ અને આખરે ઇચ્છિત મર્યાદા મેળવીએ છીએ: 
ઉદાહરણ 6.ગણતરી કરો 
ઉકેલ:ચાલો પ્રમેયનો ઉપયોગ મર્યાદા પર કરીએ
જવાબ: 11
ઉદાહરણ 7.ગણતરી કરો 
ઉકેલ:આ ઉદાહરણમાં અંશ અને છેદની મર્યાદા 0 ની બરાબર છે:
; 
. અમને પ્રાપ્ત થયું છે, તેથી, ભાગની મર્યાદા પરનું પ્રમેય લાગુ કરી શકાતું નથી.
ચાલો શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતા સામાન્ય પરિબળ દ્વારા અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા માટે અંશ અને છેદનું અવયવીકરણ કરીએ, અને તેથી, પ્રમેય 3 લાગુ કરવાનું શક્ય બનાવીએ.
અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંશમાં ચોરસ ત્રિપદીનો વિસ્તાર કરીએ છીએ, જ્યાં x 1 અને x 2 ત્રિનોમીના મૂળ છે. પરિબળ અને છેદ ધરાવતાં, અમે અપૂર્ણાંકને (x-2) ઘટાડીએ છીએ, પછી પ્રમેય 3 લાગુ કરીએ છીએ.
જવાબ:
ઉદાહરણ 8.ગણતરી કરો
ઉકેલ:જ્યારે અંશ અને છેદ અનંતતા તરફ વલણ ધરાવે છે, તેથી, જ્યારે પ્રમેય 3 સીધો લાગુ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ, જે અનિશ્ચિતતાને રજૂ કરે છે. આ પ્રકારની અનિશ્ચિતતાથી છુટકારો મેળવવા માટે, તમારે દલીલની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદને વિભાજિત કરવું જોઈએ. આ ઉદાહરણમાં, તમારે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે એક્સ:
જવાબ:
ઉદાહરણ 9.ગણતરી કરો 
ઉકેલ: x 3:
જવાબ: 2
ઉદાહરણ 10.ગણતરી કરો 
ઉકેલ:જ્યારે અંશ અને છેદ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. ચાલો અંશ અને છેદને દલીલની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરીએ, એટલે કે. x 5:
= 
અપૂર્ણાંકનો અંશ 1 તરફ વલણ ધરાવે છે, છેદ 0 તરફ વલણ ધરાવે છે, તેથી અપૂર્ણાંક અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.
જવાબ:
ઉદાહરણ 11.ગણતરી કરો
ઉકેલ:જ્યારે અંશ અને છેદ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. ચાલો અંશ અને છેદને દલીલની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરીએ, એટલે કે. x 7:
જવાબ: 0
વ્યુત્પન્ન.
દલીલ xના સંદર્ભમાં ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્નદલીલ x ના ઇન્ક્રીમેન્ટ x અને તેના ઇન્ક્રીમેન્ટ y ના ગુણોત્તરની મર્યાદા કહેવાય છે, જ્યારે દલીલનો વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે: . જો આ મર્યાદા મર્યાદિત હોય, તો કાર્ય y = f(x) x પર વિભેદક હોવાનું કહેવાય છે. જો આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે, તો તેઓ કહે છે કે કાર્ય y = f(x)બિંદુ x પર અનંત વ્યુત્પન્ન છે.
મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
ભિન્નતાના નિયમો:
a) 
વી) 
ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો 
ઉકેલ:જો બીજા પદનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંકના તફાવતના નિયમ દ્વારા જોવા મળે છે, તો પ્રથમ પદ એક જટિલ કાર્ય છે, જેનું વ્યુત્પન્ન સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:
, ક્યાં 
, પછી
ઉકેલ કરતી વખતે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: 1,2,10,a,c,d.
જવાબ:
ઉદાહરણ 21.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો 
ઉકેલ:બંને શબ્દો જટિલ કાર્યો છે, જ્યાં પ્રથમ માટે , , અને બીજા માટે , , પછી
જવાબ: 
વ્યુત્પન્ન એપ્લિકેશન્સ.
1. ઝડપ અને પ્રવેગક
ફંક્શન s(t) ને વર્ણવવા દો સ્થિતિઅમુક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ઑબ્જેક્ટ સમયે t. પછી ફંક્શન s(t) નું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન ત્વરિત છે ઝડપપદાર્થ:
v=s′=f′(t)
ફંક્શનનું બીજું વ્યુત્પન્ન s(t) ત્વરિતનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે પ્રવેગકપદાર્થ:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. સ્પર્શક સમીકરણ
y−y0=f′(x0)(x−x0),
જ્યાં (x0,y0) સ્પર્શક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, f′(x0) એ સ્પર્શ બિંદુ પર f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે.
3. સામાન્ય સમીકરણ
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
જ્યાં (x0,y0) એ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે કે જેના પર સામાન્ય દોરવામાં આવે છે, f′(x0) એ આ બિંદુ પર f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે.
4. કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડો
જો f′(x0)>0, તો કાર્ય x0 બિંદુ પર વધે છે. નીચેની આકૃતિમાં ફંક્શન x તરીકે વધી રહ્યું છે
જો f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. ફંક્શનની સ્થાનિક સીમા
ફંક્શન f(x) ધરાવે છે સ્થાનિક મહત્તમબિંદુ x1 પર, જો બિંદુ x1 ની પડોશી હોય કે જે આ પડોશમાંથી તમામ x માટે અસમાનતા f(x1)≥f(x) ધરાવે છે.
તેવી જ રીતે, ફંક્શન f(x) પાસે છે સ્થાનિક લઘુત્તમબિંદુ x2 પર, જો બિંદુ x2 ની પડોશી હોય કે જે આ પડોશમાંથી તમામ x માટે અસમાનતા f(x2)≤f(x) ધરાવે છે.
6. જટિલ મુદ્દાઓ
બિંદુ x0 છે નિર્ણાયક બિંદુફંક્શન f(x), જો તેમાં વ્યુત્પન્ન f′(x0) શૂન્યની બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય.
7. એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વની પ્રથમ પર્યાપ્ત નિશાની
જો ફંક્શન f(x) અમુક અંતરાલમાં બધા x માટે (f′(x)>0) વધે છે (a,x1] અને ઘટે છે (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) અંતરાલમાંથી તમામ x માટે)
