અંકગણિત પ્રગતિસંખ્યાઓના ક્રમને નામ આપો (પ્રગતિની શરતો)

જેમાં દરેક અનુગામી પદ નવા શબ્દ દ્વારા અગાઉના એક કરતા અલગ પડે છે, જેને પણ કહેવામાં આવે છે પગલું અથવા પ્રગતિ તફાવત.

આમ, પ્રગતિના પગલા અને તેની પ્રથમ મુદતનો ઉલ્લેખ કરીને, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના કોઈપણ ઘટકો શોધી શકો છો.

અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મો

1) અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજા નંબરથી શરૂ થતા, પ્રગતિના અગાઉના અને પછીના સભ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

વાતચીત પણ સાચી છે. જો પ્રગતિના સંલગ્ન વિષમ (સમ) પદોનો અંકગણિત સરેરાશ તેમની વચ્ચેના શબ્દ સમાન હોય, તો સંખ્યાઓનો આ ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ નિવેદનનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ ક્રમને તપાસવું ખૂબ જ સરળ છે.

ઉપરાંત, અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મ દ્વારા, ઉપરોક્ત સૂત્ર નીચેનામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે

જો તમે સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ શરતો લખો છો તો આ ચકાસવું સરળ છે

તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે વ્યવહારમાં થાય છે.

2) અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n પદોના સરવાળાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર સારી રીતે યાદ રાખો;

3) જો તમારે આખો સરવાળો નહીં, પરંતુ તેના kth પદથી શરૂ થતા ક્રમનો ભાગ શોધવાની જરૂર હોય, તો નીચેના સરવાળા સૂત્ર તમારા માટે ઉપયોગી થશે

4) વ્યાવહારિક રસ એ છે કે kth નંબરથી શરૂ થતા અંકગણિતની પ્રગતિના n શબ્દોનો સરવાળો શોધવો. આ કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો

આ સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને સમાપ્ત કરે છે અને વ્યવહારમાં સામાન્ય સમસ્યાઓના નિરાકરણ તરફ આગળ વધે છે.

ઉદાહરણ 1. અંકગણિત પ્રગતિ 4;7;...નો ચાલીસમો શબ્દ શોધો

ઉકેલ:

અમારી પાસે જે શરત છે તે મુજબ

ચાલો પ્રગતિનું પગલું નક્કી કરીએ

જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રગતિનો ચાલીસમો શબ્દ શોધીએ છીએ

ઉદાહરણ 2.

ઉકેલ:

અંકગણિતની પ્રગતિ તેના ત્રીજા અને સાતમા પદો દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રગતિનું પ્રથમ પદ અને દસનો સરવાળો શોધો.

ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિના આપેલ ઘટકોને લખીએ

અમે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરીએ છીએ, પરિણામે આપણને પ્રગતિનું પગલું મળે છે

અમે પ્રગતિની પ્રથમ દસ શરતોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ છીએ

જટિલ ગણતરીઓનો ઉપયોગ કર્યા વિના, અમને બધી જરૂરી માત્રા મળી.

ઉદાહરણ 3. અંકગણિતની પ્રગતિ છેદ અને તેના એક પદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ, 50 થી શરૂ થતા તેના 50 પદોનો સરવાળો અને પ્રથમ 100 નો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો પ્રગતિના સોમા તત્વ માટે સૂત્ર લખીએ

અને પ્રથમ શોધો

પ્રથમના આધારે, અમે પ્રગતિની 50મી મુદત શોધીએ છીએ

પ્રગતિના ભાગનો સરવાળો શોધવો

અને પ્રથમ 100 નો સરવાળો

પ્રગતિ રકમ 250 છે.

ઉદાહરણ 4.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોની સંખ્યા શોધો જો:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

ઉકેલ:

ચાલો પ્રથમ પદ અને પ્રગતિના પગલાના સંદર્ભમાં સમીકરણો લખીએ અને તેમને નિર્ધારિત કરીએ

સરવાળામાં પદોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે અમે મેળવેલ મૂલ્યોને સરવાળા ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ

અમે સરળીકરણો હાથ ધરીએ છીએ

અને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો

મળેલા બે મૂલ્યોમાંથી, માત્ર નંબર 8 સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને બંધબેસે છે. આમ, પ્રગતિના પ્રથમ આઠ પદોનો સરવાળો 111 છે.

ઉદાહરણ 5.

સમીકરણ ઉકેલો

1+3+5+...x=307.

ઉકેલ: આ સમીકરણ એ અંકગણિતની પ્રગતિનો સરવાળો છે. ચાલો તેની પ્રથમ મુદત લખીએ અને પ્રગતિમાં તફાવત શોધીએ

ઘણા લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિ વિશે સાંભળ્યું છે, પરંતુ દરેકને તે શું છે તેનો સારો ખ્યાલ નથી. આ લેખમાં આપણે અનુરૂપ વ્યાખ્યા આપીશું, અને અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો પણ વિચાર કરીશું અને સંખ્યાબંધ ઉદાહરણો આપીશું.

ગાણિતિક વ્યાખ્યા

તેથી, જો આપણે અંકગણિત અથવા બીજગણિત પ્રગતિ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ (આ વિભાવનાઓ સમાન વસ્તુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે), તો આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં ચોક્કસ સંખ્યા શ્રેણી છે જે નીચેના કાયદાને સંતોષે છે: શ્રેણીમાં દરેક બે અડીને સંખ્યાઓ સમાન મૂલ્ય દ્વારા અલગ પડે છે. ગાણિતિક રીતે તે આ રીતે લખાયેલ છે:

અહીં n નો અર્થ એ છે કે ક્રમમાં તત્વ a n ની સંખ્યા, અને સંખ્યા d એ પ્રગતિનો તફાવત છે (તેનું નામ પ્રસ્તુત સૂત્ર પરથી અનુસરે છે).

ડી તફાવત જાણવાનો અર્થ શું છે? પડોશી નંબરો એકબીજાથી કેટલા "દૂર" છે તે વિશે. જો કે, સમગ્ર પ્રગતિ નક્કી કરવા (પુનઃસ્થાપિત કરવા) માટે d નું જ્ઞાન જરૂરી છે પરંતુ પર્યાપ્ત નથી. તમારે એક વધુ સંખ્યા જાણવાની જરૂર છે, જે પ્રશ્નમાં શ્રેણીના કોઈપણ તત્વ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 4, a10, પરંતુ, નિયમ પ્રમાણે, તેઓ પ્રથમ નંબરનો ઉપયોગ કરે છે, એટલે કે, 1.

પ્રગતિ તત્વો નક્કી કરવા માટેના સૂત્રો

સામાન્ય રીતે, ઉપરોક્ત માહિતી ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આગળ વધવા માટે પહેલેથી જ પૂરતી છે. તેમ છતાં, અંકગણિતની પ્રગતિ આપવામાં આવે તે પહેલાં, અને તેનો તફાવત શોધવા માટે જરૂરી બનશે, અમે કેટલાક ઉપયોગી સૂત્રો રજૂ કરીશું, જેનાથી સમસ્યાઓ હલ કરવાની અનુગામી પ્રક્રિયાને સરળ બનાવશે.

તે દર્શાવવું સરળ છે કે નંબર n સાથેના ક્રમનું કોઈપણ તત્વ નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે:

a n = a 1 + (n - 1) * d

ખરેખર, કોઈ પણ વ્યક્તિ આ સૂત્રને સરળ શોધ દ્વારા ચકાસી શકે છે: જો તમે n = 1 ને અવેજી કરો છો, તો તમને પ્રથમ તત્વ મળશે, જો તમે n = 2 ને બદલે છે, તો અભિવ્યક્તિ પ્રથમ સંખ્યા અને તફાવતનો સરવાળો આપે છે, વગેરે.

ઘણી સમસ્યાઓની શરતો એવી રીતે બનેલી છે કે, સંખ્યાઓની જાણીતી જોડીને જોતાં, જેની સંખ્યાઓ પણ અનુક્રમમાં આપવામાં આવી છે, તે સમગ્ર સંખ્યા શ્રેણીનું પુનર્નિર્માણ કરવું જરૂરી છે (તફાવત અને પ્રથમ તત્વ શોધો). હવે આપણે આ સમસ્યાને સામાન્ય સ્વરૂપમાં હલ કરીશું.

તેથી, n અને m નંબરો સાથેના બે ઘટકો આપવા દો. ઉપર મેળવેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવી શકો છો:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

અજ્ઞાત જથ્થાઓ શોધવા માટે, અમે આવી સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે જાણીતી સરળ તકનીકનો ઉપયોગ કરીશું: જોડીમાં ડાબી અને જમણી બાજુઓને બાદ કરો, સમાનતા માન્ય રહેશે. અમારી પાસે છે:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

આમ, અમે એક અજાણ્યા (a 1) ને બાકાત રાખ્યા છે. હવે આપણે d નક્કી કરવા માટે અંતિમ સમીકરણ લખી શકીએ છીએ:

d = (a n - a m) / (n - m), જ્યાં n > m

અમને એક ખૂબ જ સરળ સૂત્ર પ્રાપ્ત થયું છે: સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર તફાવત d ની ગણતરી કરવા માટે, ફક્ત તત્વો અને તેમના સીરીયલ નંબરો વચ્ચેના તફાવતનો ગુણોત્તર લેવો જરૂરી છે. એક મહત્વના મુદ્દા પર ધ્યાન આપવું જોઈએ: તફાવતો "વરિષ્ઠ" અને "જુનિયર" સભ્યો વચ્ચે લેવામાં આવે છે, એટલે કે, n > m ("વરિષ્ઠ" નો અર્થ ક્રમની શરૂઆતથી આગળ ઊભા રહેવું, તેનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય ક્યાં તો હોઈ શકે છે. વધારે કે ઓછું વધુ "જુનિયર" તત્વ).

પ્રથમ પદનું મૂલ્ય મેળવવા માટે સમસ્યાના ઉકેલની શરૂઆતમાં તફાવત d પ્રગતિ માટેની અભિવ્યક્તિ કોઈપણ સમીકરણોમાં બદલવી જોઈએ.

કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીના વિકાસના આપણા યુગમાં, ઘણા શાળાના બાળકો ઈન્ટરનેટ પર તેમની સોંપણીઓ માટે ઉકેલો શોધવાનો પ્રયાસ કરે છે, તેથી આ પ્રકારના પ્રશ્નો વારંવાર ઉભા થાય છે: અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઑનલાઇન શોધો. આવી વિનંતી માટે, શોધ એંજીન સંખ્યાબંધ વેબ પૃષ્ઠો પરત કરશે, જેના પર જઈને તમારે શરતમાંથી જાણીતો ડેટા દાખલ કરવાની જરૂર પડશે (આ કાં તો પ્રગતિના બે શબ્દો હોઈ શકે છે અથવા તેમાંથી ચોક્કસ સંખ્યાનો સરવાળો હોઈ શકે છે. ) અને તરત જ જવાબ મેળવો. જો કે, વિદ્યાર્થીના વિકાસ અને તેને સોંપેલ કાર્યના સારને સમજવાની દ્રષ્ટિએ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાનો આ અભિગમ બિનઉત્પાદક છે.

સૂત્રોનો ઉપયોગ કર્યા વિના ઉકેલ

ચાલો આપેલ કોઈપણ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કર્યા વિના પ્રથમ સમસ્યા હલ કરીએ. શ્રેણીના ઘટકો આપવા દો: a6 = 3, a9 = 18. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શોધો.

જાણીતા તત્વો એક પંક્તિમાં એકબીજાની નજીક ઊભા છે. સૌથી મોટો મેળવવા માટે તફાવત d ને નાનામાં કેટલી વાર ઉમેરવો જોઈએ? ત્રણ વખત (પ્રથમ વખત d ઉમેરીને, આપણને 7મું તત્વ મળે છે, બીજી વખત - આઠમી, છેલ્લે, ત્રીજી વખત - નવમી). 18 મેળવવા માટે ત્રણ ત્રણ વખત કઈ સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે? આ નંબર પાંચ છે. ખરેખર:

આમ, અજ્ઞાત તફાવત d = 5.

અલબત્ત, ઉકેલ યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવી શક્યો હોત, પરંતુ આ ઇરાદાપૂર્વક કરવામાં આવ્યું ન હતું. સમસ્યાના ઉકેલની વિગતવાર સમજૂતી એ અંકગણિતની પ્રગતિ શું છે તેનું સ્પષ્ટ અને સ્પષ્ટ ઉદાહરણ બનવું જોઈએ.

પાછલા એક જેવું જ કાર્ય

હવે આવી જ સમસ્યા હલ કરીએ, પરંતુ ઇનપુટ ડેટા બદલો. તેથી, તમારે શોધવું જોઈએ જો a3 = 2, a9 = 19.

અલબત્ત, તમે ફરીથી "હેડ-ઓન" સોલ્યુશન પદ્ધતિનો આશરો લઈ શકો છો. પરંતુ શ્રેણીના ઘટકો આપવામાં આવ્યા હોવાથી, જે એકબીજાથી પ્રમાણમાં દૂર છે, આ પદ્ધતિ સંપૂર્ણપણે અનુકૂળ રહેશે નહીં. પરંતુ પરિણામી સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી અમને ઝડપથી જવાબ તરફ દોરી જશે:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

અહીં આપણે અંતિમ સંખ્યાને રાઉન્ડ કરી છે. આ રાઉન્ડિંગ કેટલી હદ સુધી ભૂલ તરફ દોરી ગયું તે પરિણામ તપાસીને નક્કી કરી શકાય છે:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

આ પરિણામ શરતમાં આપેલા મૂલ્યથી માત્ર 0.1% અલગ છે. તેથી, નજીકના સોમાં વપરાતા રાઉન્ડિંગને સફળ પસંદગી ગણી શકાય.

શબ્દ માટે સૂત્ર લાગુ કરવામાં સમસ્યાઓ

ચાલો અજ્ઞાત d નક્કી કરવા માટે સમસ્યાનું ઉત્તમ ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ: a1 = 12, a5 = 40 હોય તો અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત શોધો.

જ્યારે અજાણ્યા બીજગણિત ક્રમની બે સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે, અને તેમાંથી એક તત્વ a 1 છે, તો તમારે લાંબો વિચાર કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તરત જ a n શબ્દ માટે સૂત્ર લાગુ કરવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

વિભાજન કરતી વખતે અમને ચોક્કસ સંખ્યા પ્રાપ્ત થઈ છે, તેથી ગણતરી કરેલ પરિણામની ચોકસાઈ તપાસવાનો કોઈ અર્થ નથી, જેમ કે અગાઉના ફકરામાં કરવામાં આવ્યું હતું.

ચાલો બીજી સમાન સમસ્યા હલ કરીએ: આપણે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શોધવાની જરૂર છે જો a1 = 16, a8 = 37 હોય.

અમે પાછલા એક જેવા જ અભિગમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

તમારે અંકગણિતની પ્રગતિ વિશે બીજું શું જાણવું જોઈએ?

અજ્ઞાત તફાવત અથવા વ્યક્તિગત ઘટકો શોધવાની સમસ્યાઓ ઉપરાંત, ક્રમના પ્રથમ પદોના સરવાળાની સમસ્યાઓ હલ કરવી ઘણી વાર જરૂરી છે. આ સમસ્યાઓની વિચારણા લેખના અવકાશની બહાર છે, જો કે, માહિતીની સંપૂર્ણતા માટે, અમે શ્રેણીમાં n સંખ્યાઓના સરવાળા માટે એક સામાન્ય સૂત્ર રજૂ કરીએ છીએ:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

અંકગણિત પ્રગતિ પર સમસ્યાઓ પ્રાચીન સમયમાં પહેલેથી જ અસ્તિત્વમાં છે. તેઓ દેખાયા અને ઉકેલની માંગ કરી કારણ કે તેમની પાસે વ્યવહારિક જરૂરિયાત હતી.

આમ, પ્રાચીન ઇજિપ્તની એક પેપિરી, જેમાં ગાણિતિક સામગ્રી છે, રિન્ડ પેપિરસ (19મી સદી બીસી), નીચે આપેલ કાર્ય ધરાવે છે: દસ લોકોમાં બ્રેડના દસ માપ વહેંચો, જો કે તે દરેક વચ્ચેનો તફાવત આઠમા ભાગનો હોય. માપ."

અને પ્રાચીન ગ્રીકોના ગાણિતિક કાર્યોમાં અંકગણિતની પ્રગતિ સંબંધિત ભવ્ય પ્રમેય છે. આ રીતે, એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના હાઇપ્સિકલ્સ (2જી સદી, જેમણે ઘણી રસપ્રદ સમસ્યાઓનું સંકલન કર્યું અને યુક્લિડના તત્વોમાં ચૌદમું પુસ્તક ઉમેર્યું), એ વિચાર ઘડ્યો: “એક અંકગણિત પ્રગતિમાં જેમાં સમાન સંખ્યાની શરતો હોય, બીજા અર્ધની શરતોનો સરવાળો વર્ગ 1/2 સભ્યોની સંખ્યા પર 1લીની શરતોના સરવાળા કરતા વધારે છે."

ક્રમ એક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ક્રમની સંખ્યાઓને તેના સભ્યો કહેવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે સૂચકાંકો સાથેના અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે જે આ સભ્યનો સીરીયલ નંબર દર્શાવે છે (a1, a2, a3 ... વાંચો: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” અને તેથી વધુ).

ક્રમ અનંત અથવા મર્યાદિત હોઈ શકે છે.

અંકગણિત પ્રગતિ શું છે? તેના દ્વારા અમારો મતલબ એ જ નંબર d સાથે અગાઉના શબ્દ (n) ઉમેરીને મેળવેલો છે, જે પ્રગતિનો તફાવત છે.

જો ડી<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, પછી આ પ્રગતિને વધતી ગણવામાં આવે છે.

અંકગણિત પ્રગતિને મર્યાદિત કહેવામાં આવે છે જો તેની માત્ર પ્રથમ કેટલીક શરતો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે. ખૂબ મોટી સંખ્યામાં સભ્યો સાથે, આ પહેલેથી જ એક અનંત પ્રગતિ છે.

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

an =kn+b, જ્યારે b અને k અમુક સંખ્યાઓ છે.

વિરુદ્ધ નિવેદન એકદમ સાચું છે: જો સમાન સૂત્ર દ્વારા ક્રમ આપવામાં આવે છે, તો તે બરાબર એક અંકગણિત પ્રગતિ છે જે ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. પ્રગતિની દરેક મુદત એ પાછલી મુદત અને ત્યારપછીના એકનો અંકગણિત સરેરાશ છે.
2. વાર્તાલાપ: જો, 2જીથી શરૂ કરીને, દરેક શબ્દ એ પાછલા પદનો અંકગણિત સરેરાશ છે અને પછીના શબ્દ, એટલે કે. જો શરત પૂરી થાય છે, તો આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ સમાનતા તે જ સમયે પ્રગતિની નિશાની છે, તેથી તેને સામાન્ય રીતે પ્રગતિની લાક્ષણિક મિલકત કહેવામાં આવે છે.
   એ જ રીતે, આ ગુણધર્મને પ્રતિબિંબિત કરતું પ્રમેય સાચું છે: ક્રમ એ અંકગણિતની પ્રગતિ માત્ર ત્યારે જ છે જો આ સમાનતા 2જીથી શરૂ થતા ક્રમની કોઈપણ શરતો માટે સાચી હોય.

અંકગણિત પ્રગતિની કોઈપણ ચાર સંખ્યાઓ માટે લાક્ષણિક ગુણધર્મ an + am = ak + al સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, જો n + m = k + l (m, n, k એ પ્રગતિ સંખ્યાઓ છે).

અંકગણિત પ્રગતિમાં, નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ જરૂરી (Nth) શબ્દ શોધી શકાય છે:

ઉદાહરણ તરીકે: અંકગણિતની પ્રગતિમાં પ્રથમ પદ (a1) આપવામાં આવે છે અને તે ત્રણની બરાબર છે, અને તફાવત (d) ચાર બરાબર છે. તમારે આ પ્રગતિની ચાલીસમી મુદત શોધવાની જરૂર છે. a45 = 1+4(45-1)=177

ફોર્મ્યુલા an = ak + d(n - k) તમને તેના kth પદોમાંથી કોઈપણ દ્વારા અંકગણિત પ્રગતિની nમી અવધિ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે, જો કે તે જાણીતું હોય.

અંકગણિત પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો (એટલે ​​કે મર્યાદિત પ્રગતિની 1લી n શરતો) નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

Sn = (a1+an) n/2.

જો 1 લી શબ્દ પણ જાણીતો છે, તો પછી ગણતરી માટે બીજું સૂત્ર અનુકૂળ છે:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

ગણતરીઓ માટેના સૂત્રોની પસંદગી સમસ્યાઓની શરતો અને પ્રારંભિક ડેટા પર આધારિત છે.

કોઈપણ સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી, જેમ કે 1,2,3,...,n,..., એ અંકગણિતની પ્રગતિનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ છે.

અંકગણિત પ્રગતિ ઉપરાંત, એક ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ છે, જે તેના પોતાના ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે.

સંખ્યા ક્રમની વિભાવના સૂચવે છે કે દરેક કુદરતી સંખ્યા અમુક વાસ્તવિક મૂલ્યને અનુરૂપ છે. સંખ્યાઓની આવી શ્રેણી કાં તો મનસ્વી હોઈ શકે છે અથવા ચોક્કસ ગુણધર્મો ધરાવે છે - એક પ્રગતિ. પછીના કિસ્સામાં, ક્રમના દરેક અનુગામી તત્વ (સદસ્ય) ની ગણતરી પાછલા એકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાત્મક મૂલ્યોનો ક્રમ છે જેમાં તેના પડોશી સભ્યો સમાન સંખ્યા દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે (શ્રેણીના તમામ ઘટકો, 2જીથી શરૂ કરીને, સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે). આ સંખ્યા - અગાઉના અને અનુગામી શબ્દો વચ્ચેનો તફાવત - સ્થિર છે અને તેને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે.

પ્રગતિ તફાવત: વ્યાખ્યા

j મૂલ્યો A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ N ના સમૂહ સાથે સંબંધ ધરાવતા ક્રમને ધ્યાનમાં લો. એક અંકગણિત પ્રગતિ, તેની વ્યાખ્યા મુજબ, એક ક્રમ છે, જેમાં a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = ડી. મૂલ્ય d એ આ પ્રગતિનો ઇચ્છિત તફાવત છે.

d = a(j) – a(j-1).

હાઇલાઇટ:

• વધતી જતી પ્રગતિ, જે કિસ્સામાં d > 0. ઉદાહરણ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• ઘટતી પ્રગતિ, પછી ડી< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

તફાવત પ્રગતિ અને તેના મનસ્વી તત્વો

જો પ્રગતિની 2 મનસ્વી શરતો જાણીતી હોય (i-th, k-th), તો આપેલ ક્રમ માટેનો તફાવત સંબંધના આધારે નક્કી કરી શકાય છે:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, જેનો અર્થ થાય છે d = (a(i) – a(k))/(i-k).

પ્રગતિ અને તેની પ્રથમ મુદતનો તફાવત

આ અભિવ્યક્તિ અજ્ઞાત મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવામાં મદદ કરશે માત્ર એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં ક્રમ ઘટકની સંખ્યા જાણીતી હોય.

પ્રગતિ તફાવત અને તેનો સરવાળો

પ્રગતિનો સરવાળો એ તેની શરતોનો સરવાળો છે. તેના પ્રથમ j તત્વોના કુલ મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, પરંતુ ત્યારથી a(j) = a(1) + d(j – 1), પછી S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... એ અંકગણિત પ્રગતિ છે, કારણ કે દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એકથી ત્રણ દ્વારા અલગ પડે છે (ત્રણ ઉમેરીને અગાઉના એકમાંથી મેળવી શકાય છે):

આ પ્રગતિમાં, તફાવત \(d\) ધન છે (\(3\) ની બરાબર), અને તેથી દરેક આગામી પદ અગાઉના એક કરતા વધારે છે. આવી પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે વધારો.

જો કે, \(d\) નકારાત્મક સંખ્યા પણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિમાં \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... પ્રગતિ તફાવત \(d\) ઓછા છ બરાબર છે.

અને આ કિસ્સામાં, દરેક આગલું તત્વ પાછલા એક કરતાં નાનું હશે. આ પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે ઘટતું.

અંકગણિત પ્રગતિ સંકેત

પ્રગતિ નાના લેટિન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જે સંખ્યાઓ પ્રગતિ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સભ્યો(અથવા તત્વો).

તેઓ અંકગણિત પ્રગતિ તરીકે સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ ક્રમમાં તત્વની સંખ્યા જેટલી સંખ્યાત્મક અનુક્રમણિકા સાથે.

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) તત્વોનો સમાવેશ કરે છે \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) અને તેથી વધુ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રગતિ માટે \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા

સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉપર પ્રસ્તુત માહિતી લગભગ કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પહેલેથી જ પૂરતી છે (OGE પર ઓફર કરાયેલ તે સહિત).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ એ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(b_5=23\)

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો આપવામાં આવ્યા છે: \(62; 49; 36…\) આ પ્રગતિના પ્રથમ નકારાત્મક પદનું મૂલ્ય શોધો..
ઉકેલ:

જવાબ: \(-3\)

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિના કેટલાક સળંગ ઘટકો આપેલ છે: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત તત્વની કિંમત શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(7,5\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ નીચેની શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) આ પ્રગતિના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_6=9\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિમાં \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). આ પ્રગતિનો તફાવત શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(d=7\).

અંકગણિત પ્રગતિ માટે મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અંકગણિત પ્રગતિ પરની ઘણી સમસ્યાઓ મુખ્ય વસ્તુને સમજીને સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે - કે અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓની સાંકળ છે, અને આ સાંકળમાં દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એકમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. પ્રગતિનો તફાવત).

જો કે, કેટલીકવાર એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે "હેડ-ઓન" નક્કી કરવું ખૂબ જ અસુવિધાજનક હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો કે પહેલા જ ઉદાહરણમાં આપણે પાંચમું તત્વ \(b_5\), પરંતુ ત્રણસો છઠ્ઠું \(b_(386)\) શોધવાની જરૂર છે. શું આપણે ચાર \(385\) વખત ઉમેરવું જોઈએ? અથવા કલ્પના કરો કે ઉપાંત્ય ઉદાહરણમાં તમારે પ્રથમ સિત્તેર તત્વોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. તમે ગણીને થાકી જશો...

તેથી, આવા કિસ્સાઓમાં તેઓ "હેડ-ઓન" વસ્તુઓને હલ કરતા નથી, પરંતુ અંકગણિત પ્રગતિ માટે મેળવેલા વિશિષ્ટ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે. અને મુખ્ય છે પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર અને \(n\) પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર.

\(n\)મી શબ્દનું સૂત્ર: \(a_n=a_1+(n-1)d\), જ્યાં \(a_1\) એ પ્રગતિનું પ્રથમ પદ છે;
\(n\) - જરૂરી તત્વની સંખ્યા;
\(a_n\) - સંખ્યા સાથે પ્રગતિનો શબ્દ \(n\).

આ સૂત્ર આપણને માત્ર પ્રથમ અને પ્રગતિના તફાવતને જાણીને, ત્રણ-સોમું અથવા મિલિયનમું તત્વ પણ ઝડપથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ. અંકગણિત પ્રગતિ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(b_(246)=1850\).

પ્રથમ n પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), જ્યાં

\(a_n\) - છેલ્લો સરવાળો શબ્દ;

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ એ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે \(a_n=3.4n-0.6\). આ પ્રગતિના પ્રથમ \(25\) પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(25)=1090\).

પ્રથમ શબ્દોના સરવાળા \(n\) માટે, તમે બીજું સૂત્ર મેળવી શકો છો: તમારે ફક્ત \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) ને બદલે તેના માટે સૂત્ર આપો \(a_n=a_1+(n-1)d\). અમને મળે છે:

પ્રથમ n પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), જ્યાં

\(S_n\) – \(n\) પ્રથમ તત્વોનો જરૂરી સરવાળો;
\(a_1\) – પ્રથમ સરવાળો શબ્દ;
\(ડી\) - પ્રગતિ તફાવત;
\(n\) - કુલ ઘટકોની સંખ્યા.

ઉદાહરણ. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ \(33\)-ex પદોનો સરવાળો શોધો: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(33)=-231\).

વધુ જટિલ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ

હવે તમારી પાસે લગભગ કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી બધી માહિતી છે. ચાલો તે સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈને વિષયને સમાપ્ત કરીએ જેમાં તમારે માત્ર સૂત્રો લાગુ કરવાની જરૂર નથી, પણ થોડો વિચાર પણ કરો (ગણિતમાં આ ઉપયોગી થઈ શકે છે ☺)

ઉદાહરણ (OGE). પ્રગતિના તમામ નકારાત્મક શબ્દોનો સરવાળો શોધો: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(65)=-630.5\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)મી થી \(42\) તત્વ સહિતનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S=1683\).

અંકગણિતની પ્રગતિ માટે, ત્યાં ઘણા વધુ સૂત્રો છે જે અમે તેમની ઓછી વ્યવહારિક ઉપયોગિતાને કારણે આ લેખમાં ધ્યાનમાં લીધા નથી. જો કે, તમે તેમને સરળતાથી શોધી શકો છો.