Dokumen: Yaitu. Pangkat matriks dipertahankan ketika melakukan operasi berikut:
1. Mengubah urutan garis.
2. Mengalikan suatu matriks dengan bilangan selain nol.
3. Transposisi.
4. Menghilangkan rangkaian angka nol.
5. Menambahkan string lain ke string, dikalikan dengan angka sembarang.
Transformasi pertama akan membuat beberapa anak di bawah umur tidak berubah, tetapi akan mengubah tanda beberapa anak di bawah umur menjadi sebaliknya. Transformasi kedua juga akan membiarkan beberapa minor tidak berubah, sementara minor lainnya akan dikalikan dengan angka selain nol. Transformasi ketiga akan melestarikan semua anak di bawah umur. Oleh karena itu, ketika transformasi ini diterapkan, rank matriks juga akan dipertahankan (definisi kedua). Menghilangkan baris nol tidak dapat mengubah pangkat matriks, karena baris tersebut tidak dapat memasukkan minor bukan nol. Mari kita perhatikan transformasi kelima.
Kita asumsikan bahwa basis minor Δp terletak pada baris p pertama. Biarkan string sembarang b ditambahkan ke string a, yang merupakan salah satu string ini, dikalikan dengan suatu bilangan λ. Itu. ke string a ditambahkan kombinasi linier dari string yang mengandung basis minor. Dalam hal ini, basis minor Δp akan tetap tidak berubah (dan berbeda dari 0). Anak di bawah umur lainnya yang ditempatkan di baris p pertama juga tetap tidak berubah, hal yang sama berlaku untuk semua anak di bawah umur lainnya. Itu. V dalam hal ini peringkat (menurut definisi kedua) akan dipertahankan. Sekarang perhatikan Ms minor, yang tidak memiliki semua baris dari baris p pertama (dan mungkin tidak memiliki satu pun).
Dengan menambahkan string sembarang b ke string ai, dikalikan dengan bilangan λ, kita memperoleh minor baru Ms', dan Ms'=Ms+λ Ms, di mana
Jika s>p, maka Ms=Ms=0, karena semua minor berorde lebih besar dari p matriks asli sama dengan 0. Namun kemudian Ms'=0, dan rank transformasi matriks tidak bertambah. Namun tidak bisa berkurang juga, karena minor dasar tidak mengalami perubahan apapun. Jadi, rank matriksnya tetap tidak berubah.
Anda juga dapat menemukan informasi yang Anda minati di mesin pencari ilmiah Otvety.Online. Gunakan formulir pencarian:
Tujuan langsung kami adalah membuktikan bahwa matriks apa pun dapat direduksi menjadi matriks tertentu tipe standar. Bahasa matriks ekuivalen berguna dalam jalur ini.
Biarkan saja. Kita akan mengatakan bahwa suatu matriks adalah l_ekuivalen (n_ekuivalen atau setara) dengan suatu matriks dan menyatakan (atau) jika matriks tersebut dapat diperoleh dari suatu matriks dengan menggunakan nomor terbatas baris (kolom atau baris dan kolom, masing-masing) transformasi dasar. Jelas bahwa l_setara dan n_ matriks yang setara setara.
Pertama kita akan menunjukkan bahwa matriks apa pun dapat direduksi menjadi tipe khusus, disebut dikurangi.
Biarkan saja. Baris tak nol dari matriks ini dikatakan mempunyai bentuk tereduksi jika mengandung elemen sama dengan 1 sehingga semua elemen kolom selain sama dengan nol, . Kami akan menyebut elemen tunggal garis yang ditandai sebagai elemen utama garis ini dan mengapitnya dalam lingkaran. Dengan kata lain, suatu baris suatu matriks mempunyai bentuk tereduksi jika matriks tersebut memuat kolom berbentuk tersebut
Misalnya pada matriks berikut
garis tersebut mempunyai bentuk sebagai berikut, karena. Mari kita perhatikan fakta bahwa dalam contoh ini sebuah elemen juga berpura-pura menjadi elemen utama garis. Di masa depan, jika suatu baris dengan tipe tertentu berisi beberapa elemen yang memiliki properti utama, kami hanya akan memilih salah satunya dengan cara yang sewenang-wenang.
Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk tereduksi jika setiap baris bukan nolnya mempunyai bentuk tereduksi. Misalnya matriks
memiliki bentuk berikut.
Proposisi 1.3 Untuk setiap matriks terdapat matriks ekuivalen yang bentuk tereduksinya.
Memang jika matriksnya berbentuk (1.1) dan, maka setelah dilakukan transformasi elementer di dalamnya
kita mendapatkan matriksnya
di mana string memiliki bentuk berikut.
Kedua, jika baris matriks diperkecil, maka setelah dilakukan transformasi elementer (1,20) baris matriks tersebut akan diperkecil. Memang sejak diberikan, ada kolom seperti itu
tetapi kemudian dan akibatnya setelah melakukan transformasi (1.20) kolom tidak berubah, yaitu. . Oleh karena itu, garis tersebut mempunyai bentuk sebagai berikut.
Sekarang jelas bahwa dengan mentransformasikan setiap baris matriks yang bukan nol secara bergantian dengan cara di atas, setelah sejumlah langkah berhingga kita akan memperoleh matriks dengan bentuk tereduksi. Karena hanya transformasi elementer baris yang digunakan untuk mendapatkan matriks, maka matriks tersebut l_ekuivalen dengan matriks. >
Contoh 7. Buatlah matriks yang bentuknya tereduksi, l_ekuivalen dengan matriks tersebut
Tiga paragraf pertama bab ini dikhususkan untuk doktrin kesetaraan matriks polinomial. Berdasarkan hal tersebut, dalam tiga paragraf berikutnya kita akan membangun teori analitik pembagi dasar, yaitu teori mereduksi matriks persegi konstan (beberapa nominal) menjadi bentuk biasa. Dua paragraf terakhir bab ini memberikan dua metode untuk membangun matriks transformasi.
§ 1. Transformasi dasar matriks polinomial
Definisi 1. Matriks polinomial atau -matriks adalah matriks persegi panjang yang unsur-unsurnya polinomial di:
inilah derajat polinomial terbesarnya.
kita dapat menyatakan matriks polinomial sebagai polinomial matriks terhadap , yaitu sebagai polinomial dengan koefisien matriks:
Mari kita pertimbangkan operasi dasar berikut pada matriks polinomial:
1. Mengalikan beberapa, misalnya th, baris dengan suatu angka.
2. Menambah beberapa, misalnya th, baris lain, misalnya th, string, yang sebelumnya dikalikan dengan polinomial sembarang.
3. Tukar dua baris mana saja, misalnya baris ke-th dan ke-th.
Kami mengundang pembaca untuk memeriksa bahwa operasi 1, 2, 3 setara dengan mengalikan matriks polinomial di sebelah kiri, masing-masing, dengan matriks persegi berorde berikut :
(1)
yaitu, sebagai hasil penerapan operasi 1, 2, 3, matriks masing-masing diubah menjadi matriks , , . Oleh karena itu, operasi tipe 1, 2, 3 disebut operasi elementer kiri.
Operasi dasar yang benar pada matriks polinomial didefinisikan dengan cara yang sangat mirip (operasi ini dilakukan bukan pada baris, tetapi pada kolom matriks polinomial) dan matriks yang bersesuaian (berurutan):
Sebagai hasil dari penerapan operasi dasar yang benar, matriks di sebelah kanan dikalikan dengan matriks yang bersesuaian.
Kita akan menyebut matriks bertipe (atau, yang sama, tipe ) sebagai matriks dasar.
Penentu suatu matriks elementer tidak bergantung dan berbeda dari nol. Oleh karena itu, untuk setiap operasi dasar kiri (kanan) ada operasi terbalik, yang juga merupakan operasi dasar kiri (masing-masing kanan).
Definisi 2. Dua matriks polinomial disebut 1) ekuivalen kiri, 2) ekuivalen kanan, 3) ekuivalen jika salah satunya diperoleh dari matriks lainnya dengan menerapkan berturut-turut 1) operasi elementer kiri, 2) operasi elementer kanan, 3) kiri dan operasi dasar yang benar.
Biarkan matriks diperoleh dari penggunaan operasi dasar kiri yang berhubungan dengan matriks . Kemudian
. (2).
Dilambangkan dengan hasil perkalian , kita tuliskan persamaan (2) dalam bentuk
, (3)
dimana , seperti masing-masing matriks, mempunyai determinan konstanta bukan nol.
Pada bagian selanjutnya kita akan membuktikan bahwa setiap matriks persegi dengan determinan konstan bukan nol dapat direpresentasikan sebagai hasil kali matriks elementer. Oleh karena itu, persamaan (3) ekuivalen dengan persamaan (2) dan oleh karena itu berarti persamaan kiri matriks dan .
Dalam hal kesetaraan yang tepat matriks polinomial dan alih-alih persamaan (3) kita akan mendapatkan persamaan
, (3")
dan dalam kasus kesetaraan (bilateral) – kesetaraan
Di sini sekali lagi adalah matriks dengan determinan bukan nol dan independen.
Dengan demikian, Definisi 2 dapat diganti dengan definisi yang setara.
Definisi 2". Dua matriks persegi panjang dan disebut 1) ekuivalen kiri, 2) ekuivalen kanan, 3) ekuivalen jika, berturut-turut
1)
, 2) , 3) ,
dimana dan adalah matriks persegi polinomial dengan determinan konstan dan bukan nol.
Kami mengilustrasikan semua konsep yang diperkenalkan di atas dengan contoh penting berikut.
Pertimbangkan sistem linear homogen persamaan diferensial-urutan dengan fungsi argumen yang tidak diketahui dengan koefisien konstan:
(4)
Persamaan mu dari fungsi baru yang tidak diketahui; operasi dasar kedua berarti pengenalan fungsi baru yang tidak diketahui 
(alih-alih ); operasi ketiga berarti mengubah tempat dalam persamaan suku-suku yang mengandung dan (yaitu. 
).
1. Misalkan diberikan dua ruang vektor dan, masing-masing, pengukuran pada suatu bidang bilangan, dan pemetaan operator linier ke dalam . Pada bagian ini kita akan mengetahui bagaimana matriks yang bersesuaian dengan operator linier tertentu berubah ketika basis masuk dan berubah.
Mari kita pilih basis sembarang dan . Dalam basis ini, operator akan berkorespondensi dengan matriks. Kesetaraan vektor
sesuai dengan persamaan matriks
dimana dan adalah kolom koordinat vektor dan basis dan .
Mari kita sekarang memilih basis lain dan . Di basis baru, alih-alih , , kita akan memiliki: , , . Pada saat yang sama
Mari kita nyatakan dengan dan matriks persegi tak tunggal dengan orde dan , masing-masing, yang melakukan transformasi koordinat dalam ruang dan dalam transisi dari basis lama ke basis baru (lihat § 4):
Maka dari (27) dan (29) kita peroleh:
Dengan asumsi , dari (28) dan (30) kita menemukan:
Definisi 8. Dua matriks persegi panjang dan ukuran yang sama dikatakan ekuivalen jika terdapat dua matriks persegi tak tunggal sedemikian rupa
Dari (31) dapat disimpulkan bahwa dua matriks yang bersesuaian dengan operator linier yang sama dengan pilihan basis yang berbeda dan selalu ekuivalen satu sama lain. Sangat mudah untuk melihat bahwa, sebaliknya, jika suatu matriks berkorespondensi dengan operator untuk beberapa basis di dan , matriks tersebut setara dengan matriks , maka matriks tersebut berkorespondensi dengan operator linier yang sama untuk beberapa basis lainnya di dan .
Jadi, setiap operator linier memetakan dan berhubungan dengan kelas matriks yang ekuivalen satu sama lain dengan elemen dari lapangan.
2. Teorema berikut menetapkan kriteria kesetaraan dua matriks:
Teorema 2. Agar dua matriks persegi panjang yang berukuran sama dapat ekuivalen, matriks-matriks tersebut perlu dan cukup mempunyai rank yang sama.
Bukti. Kondisi itu perlu. Saat mengalikan matriks persegi panjang dengan matriks non-singular apa pun matriks persegi(kiri atau kanan) pangkat matriks persegi panjang asal tidak dapat diubah (lihat Bab I, halaman 27). Oleh karena itu, dari (32) berikut ini
Syaratnya cukup. Misalkan matriks persegi panjang berukuran . Ini mendefinisikan operator linier yang memetakan ruang dengan basis ke dalam ruang dengan basis. Mari kita nyatakan dengan angka secara linier vektor independen di antara vektor-vektor tersebut 
. Tanpa kehilangan keumumannya, kita dapat berasumsi bahwa vektor-vektor tersebut bebas linier 
, dan sisanya dinyatakan secara linier melaluinya:
. (33)
Mari kita definisikan dasar baru sebagai berikut:
(34)
Kemudian berdasarkan (33)
. (35)
Vektor-vektornya bebas linier. Mari kita lengkapi dengan beberapa vektor ke basis di .
Kemudian matriks yang bersesuaian dengan operator yang sama di basis baru; , menurut (35) dan (36) akan berbentuk
. (37)
Dalam matriks, matriks berjalan sepanjang diagonal utama dari atas ke bawah; semua elemen matriks lainnya sama dengan nol. Karena matriks-matriks dan berkorespondensi pada operator yang sama, maka matriks-matriks tersebut ekuivalen satu sama lain. Berdasarkan pembuktian, matriks-matriks ekuivalen mempunyai pangkat yang sama. Oleh karena itu, pangkat matriks asal sama dengan .
Kami telah menunjukkan bahwa matriks pangkat persegi panjang sembarang setara dengan matriks "kanonik". Namun matriks sepenuhnya ditentukan dengan menentukan dimensi dan angka. Oleh karena itu, semua matriks persegi panjang dengan ukuran tertentu dan pangkat tertentu adalah ekuivalen terhadap matriks yang sama dan, oleh karena itu, ekuivalen satu sama lain. Teorema tersebut telah terbukti.
3. Misalkan diberikan representasi operator linier ruang -dimensi dalam -dimensi. Himpunan vektor dengan bentuk , dimana , bentuk ruang vektor. Kami akan menyatakan ruang ini dengan ; ia merupakan bagian dari ruang atau, seperti yang mereka katakan, merupakan subruang dalam ruang.
Bersamaan dengan subruang di, kita pertimbangkan himpunan semua vektor yang memenuhi persamaan
Vektor-vektor ini juga membentuk subruang di ; Kami akan menyatakan subruang ini dengan .
Definisi 9. Jika suatu operator linier dipetakan ke , maka banyaknya dimensi ruang disebut pangkat operator, dan banyaknya dimensi ruang yang terdiri dari semua vektor yang memenuhi kondisi (38) disebut cacat operator .
Di antara semua yang setara matriks persegi panjang, mendefinisikan operator ini dalam berbagai basis, ada matriks kanonik[lihat (37)]. Mari kita nyatakan dengan dan basa-basis yang bersesuaian di dan . Kemudian
, 
.
Dari definisi dan berikut ini bahwa vektor-vektor membentuk basis di , dan vektor-vektor tersebut membandingkan basis di . Oleh karena itu pangkat operator dan
Jika suatu matriks sembarang berkorespondensi dengan operator, maka matriks tersebut ekuivalen sehingga mempunyai rank yang sama. Jadi, pangkat operatornya bertepatan dengan pangkat matriks persegi panjang
,
mendefinisikan operator di beberapa basis 
Dan 
.
Kolom-kolom matriks berisi koordinat vektor-vektor . Karena itu pangkat operator, yaitu jumlah dimensi, adalah sama dengan jumlah maksimal vektor bebas linier di antara . Jadi, pangkat matriks tersebut bertepatan dengan jumlah kolom matriks yang bebas linier. Karena pada saat transposisi baris-baris matriks dijadikan kolom-kolom, dan pangkatnya tidak berubah, maka jumlah baris matriks yang bebas linier juga sama dengan pangkat matriks.
4. Biarkan dua diberikan operator linier, dan pekerjaan mereka.
Biarkan operator memetakan ke , dan operator memetakan ke . Kemudian operator memetakan ke:
Mari kita perkenalkan matriks , , yang bersesuaian dengan operator , , untuk pilihan basis tertentu , dan . Maka persamaan operator akan sesuai dengan persamaan matriks ., yaitu dalam, .
