Contoh mereduksi matriks ke bentuk Jordan

1°. . Akar persamaan karakteristik: aku 1, 2, 3 = 1. .

vektor eigen A dengan λ = 1, yaitu inti A 1:

, yang artinya dasar N(A 1): .

Gambar operator A 1 M(A 1) kita temukan dari relasi:

; dasar M(A 1) F 3 (1, 2, –1), dst. F 3 = 2F 1 – F 2, lalu F 3 ℒ( F 1 , F 2).

Lalu: dasar akan menjadi vektor ; vektor melengkapi basis sebelum basis akan ada salah satu vektor, misalnya vektor; dan dasar Tidak ada yang perlu ditambahkan ke dasar, karena .

Prototipe A 1 pada= (1, 2, –1)Þ pada 1 – pada 2 – pada 3 = 1, misalnya (1, 0, 0).

Omong-omong: sistem A 1 pada= (1, 0, 0) tidak memiliki solusi, mis. tidak ada bayangan kebalikan dari lapisan kedua untuk vektor (1, 2, –1).

Oleh karena itu, basis operator Jordan A: .

Dan, terakhir, kita memiliki matriks operator bentuk Jordan A: .

2°. Temukan bentuk normal matriks Jordan operator linier A = dan basis yang matriks operatornya berbentuk Jordan.

Δ. Untuk matriks operator linier A = Mari kita buat dan selesaikan persamaan karakteristik: det( A- aku E) = 0 .

= .

Kemudian: = 0 dan oleh karena itu l 1, 2 = –1; aku 3, 4 = 1.

a) Perhatikan operatornya A -1 = A-l E= A+E= A untuk l = - 1, yaitu kernel operator A-1. Untuk melakukan ini, kita memecahkan sistem empat linier persamaan homogen dengan matriks A-1. Dari ketiga dan persamaan keempat sistem jelas bahwa. Maka dapat dengan mudah ditentukan bahwa. Vektor F 1 (1, 1, 0, 0) adalah satu-satunya vektor eigen operator A, sesuai dengan nilai eigen l = -1 dan menjadi dasar kernel operator A–1. Selanjutnya kita mencari dasar gambar operator A –1:

.

Memperhatikan itu untuk vektor F 2 , F 3 , F 4 ada hubungan: F 3 + F 4 – F 2 = (0, 0, 0, 1), carilah dasar bayangan operatornya A –1:

(j 1 (1, 1, 0, 0), j 2 (0, –1, 1, 1), j 3 (0, 0, 0, 1).

Memperhatikan bahwa vektor F 1 dan bertepatan, kami menyimpulkan bahwa vektor ini membentuk dasar perpotongan gambar dan inti operator A -1 .

Multiplisitas akar λ = -1 adalah dua, dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ini hanya satu. Oleh karena itu, kami percaya G 1 sama dengan vektor, dan kami mencari vektor basis Jordan lainnya sebagai gambar kebalikan dari lapisan pertama untuk . Mari kita putuskan sistem heterogen persamaan linear dan temukan vektor kedua G 2 (1, 3/4, 0, 0) Basis Jordan sesuai dengan nilai eigen l = -1 kelipatan dua. Dalam hal ini, yang khas, vektor tidak memiliki gambaran invers dari lapisan kedua, karena sistem dengan matriks yang diperluas

tidak memiliki solusi. Hal ini bukan suatu kebetulan, karena nilai eigen l= -1 dari multiplisitas 2 harus sesuai dengan dua vektor basis operator Jordan A:

G 1 (1, 1, 0, 0); G 2 (1, 3/4, 0, 0).

Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa:

b) Sekarang perhatikan nilai eigen l = 1 dan, karenanya, operatornya A 1 =A+E:

.

Mari kita temukan kernel dari operator ini, mis. vektor eigen operator A pada λ = 1.

.

Vektor F 1 (1, 1, 1, 1) membentuk dasar dari kernel operator A 1 dan merupakan satu-satunya vektor eigen operator A, sesuai dengan nilai eigen l = 1.

Kami mencari dasar gambar M(A 1) operator A 1 .

.

Memperhatikan itu F 1 = F 2 + F 3 + F 4, kami menyimpulkan: dasar perpotongan kernel dan gambar operator A 1 adalah vektor F 1 .

Karena hanya ada satu vektor eigen, dan nilai eigen memiliki multiplisitas 2, kita perlu mencari vektor basis Jordan lainnya. Oleh karena itu kami percaya G 3 sama dengan vektor y 1 (1, 1, 1, 1), dan kita mencari vektor basis Jordan yang lain sebagai gambaran kebalikan dari lapisan pertama untuk y 1 (1, 1, 1, 1). Untuk melakukan ini, kita memecahkan sistem persamaan linear yang tidak homogen A 1 G 4 = j 1 dan tentukan vektornya G 4 (0, 1/2, 0, 1/2) Basis Jordan sesuai dengan nilai eigen l = 1 dari kelipatan dua. Dalam hal ini vektor y 1 (1, 1, 1, 1) tidak mempunyai bayangan kebalikan dari lapisan kedua, karena sistem A 1 kamu = G 4 dengan matriks yang diperluas tidak memiliki solusi. Dan sekali lagi, ini bukan kebetulan, karena nilai eigen l= 1 dari multiplisitas 2 harus sesuai dengan dua vektor basis Jordan, dan keduanya telah ditemukan:

G 3 (1, 1, 1, 1); G 4 (0, 1/2, 0, 1/2).

Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa: Agustus 3 = G 1 , Agustus 4 = G 3 + G 4. Untuk operator A basis Jordan ditemukan: . Pada saat yang sama A G= . ▲

3°. ; itu( A- aku E) = 0 aku 1, 2 = 1; aku 3, 4 = 2.

Δ a) Perhatikan operatornya A 1: A 1 -E= . Kami mencari vektor eigen operator A untuk l = 1, yaitu inti operator A 1 .

. Vektor ( F 1 ,F 2) membentuk dasar N(A 1).

Sejak vektor F 1 , F 2 , F 3 , F 4 – bebas linier, kalau begitu , dan vektor-vektor yang melengkapi basisnya ke basis – vektor.

Diketahui bahwa matriks operator linier berdasarkan vektor eigen dapat direduksi menjadi bentuk diagonal. Namun, pada himpunan bilangan real, operator linier mungkin tidak memiliki nilai eigen, sehingga tidak memiliki vektor eigen. Di atas orang banyak bilangan kompleks setiap operator linier mempunyai vektor eigen, tetapi vektor tersebut mungkin tidak cukup sebagai basis. Ada bentuk kanonik lain dari matriks operator linier, yang mana matriks apa pun pada himpunan bilangan kompleks dapat direduksi.

Teorema 10.1. Setiap matriks dengan elemen kompleks dapat direduksi dalam himpunan bilangan kompleks C menjadi bentuk normal Jordan 14.

Mari kita berikan definisi yang diperlukan:

Definisi 10.1. Matriks orde persegi N, yang unsur-unsurnya merupakan polinomial berderajat sembarang dalam variabel λ dengan koefisien dari himpunan bilangan kompleks C, disebut λ- matriks(atau matriks polinomial, atau matriks polinomial).

Contoh matriks polinomial adalah matriks karakteristik A – λ E sewenang-wenang matriks persegi A. Pada diagonal utama terdapat polinomial derajat pertama, di luarnya terdapat polinomial derajat nol atau nol. Mari kita nyatakan matriks seperti A(λ).

Contoh 10.1. Biarkan matriks diberikan A= , lalu A– λ E = =
= A(λ).

Definisi 10.2. Transformasi dasarλ-matriks disebut transformasi berikut:

perkalian setiap baris (kolom) suatu matriks A(λ) ke bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol;

tambahan apa pun Saya-baris itu ( Saya kolom ke-) dari matriks A(λ) lainnya J baris ke-( J kolom ke-) dikalikan dengan polinomial sembarang (  ).

Sifat-sifat matriks λ

1) Menggunakan transformasi ini dalam matriks A(λ) dua baris atau dua kolom mana pun dapat disusun ulang.

2) Menggunakan transformasi ini dalam matriks diagonal A(λ) elemen diagonal dapat ditukar.

Contoh 10.2. 1) 

  .

2)


.

Definisi 10.3. Matriks A(λ) dan B(λ) disebut setara, jika dari A(λ) kita bisa pergi ke B(λ) menggunakan nomor terbatas transformasi dasar.

Tujuannya adalah untuk menyederhanakan matriks sebanyak mungkin A(λ).

Definisi 10.4. Resmi λ- matriks disebut matriks λ yang mempunyai sifat sebagai berikut:

matriks A(λ) diagonal;

setiap polinomial e Saya (), Saya = 1, 2, …, N habis dibagi e Saya –1 ();

koefisien terdepan dari setiap polinomial e Saya (), Saya = 1, 2, …, N sama dengan 1, atau polinomial ini sama dengan nol.

A(λ) =
.

Komentar. Jika di antara polinomial e Saya() muncul angka nol, menempati diagonal utama tempat terakhir(menurut properti 2), jika ada polinomial berderajat nol, maka polinomial tersebut sama dengan 1 dan menempati tempat pertama pada diagonal utama.

Matriks nol dan matriks identitas adalah matriks λ kanonik.

Dalil10.2. Setiap matriks λ setara dengan beberapa matriks λ kanonik (yaitu, matriks tersebut dapat direduksi dengan transformasi dasar menjadi bentuk kanonik)

Contoh 10.3. Kurangi matriks A(λ) =
ke bentuk kanonik.

Larutan. Jalannya transformasi mirip dengan transformasi dalam metode Gauss, sedangkan elemen kiri atas matriks, ketika direduksi menjadi bentuk kanonik, bukan nol dan mempunyai derajat terkecil.

A(λ) =
 (menukar kolom pertama dan kedua) 
 (pada kolom kedua kita tambahkan kolom pertama dikalikan ( – 2)) 
 (pada baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan ( – 2)) 
 (tukar kolom kedua dan ketiga) 
 (pada kolom ketiga kita tambahkan kolom kedua dikalikan ( – 2) 3) 
 (pada baris ketiga kita tambahkan baris kedua dikalikan ( – 2)) 
.

1. Berikan beberapa polinomial dengan koefisien dari lapangan

Perhatikan matriks persegi orde ke-th

. (36)

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa polinomial tersebut merupakan polinomial karakteristik matriks:

.

Sebaliknya, minor suatu unsur dalam determinan karakteristik sama dengan . Karena itu , .

Jadi, matriks tersebut memiliki polinomial invarian non-kesatuan unik yang sama dengan .

Kita akan menyebut matriks tersebut sebagai matriks penyerta polinomial.

Biarkan matriks dengan polinomial invarian diberikan

Ini semua polinomialnya memiliki derajat lebih tinggi dari poin, dan masing-masing polinomial ini, dimulai dari polinom kedua, merupakan pembagi dari polinomial sebelumnya. Kami menyatakan matriks yang menyertai polinomial ini dengan .

Kemudian matriks kuasi-diagonal orde ke-th

(38)

memiliki polinomial invarian (37) (lihat Teorema 4 di halaman 145). Karena matriks-matriks tersebut memiliki polinomial invarian yang sama, maka matriks-matriks tersebut serupa, yaitu selalu terdapat matriks nonsingular sedemikian rupa sehingga

Matriks disebut bentuk normal natural pertama suatu matriks. Bentuk normal ini dicirikan oleh: 1) penampakan kuasi-diagonal (38), 2) struktur khusus sel diagonal (36) dan 3) kondisi tambahan: dalam rangkaian polinomial karakteristik sel diagonal, setiap polinomial, mulai dari polinomial kedua, merupakan pembagi dari polinomial sebelumnya.

2. Sekarang mari kita nyatakan dengan

(39)

pembagi matriks dasar dalam bidang bilangan. Kami menyatakan matriks penyerta yang bersesuaian dengan

.

Karena merupakan satu-satunya pembagi dasar matriks, maka menurut Teorema 5, matriks kuasi-diagonal

(40)

memiliki polinomial (39) sebagai pembagi dasarnya.

Matriks dan mempunyai pembagi dasar yang sama di lapangan. Oleh karena itu, matriks-matriks ini serupa, yaitu selalu ada matriks non-singular sedemikian rupa

Matriks disebut bentuk normal natural kedua suatu matriks. Bentuk normal ini dicirikan oleh: 1) bentuk kuasi-diagonal (40), 2) struktur khusus sel diagonal (36) dan 3) kondisi tambahan: polinomial karakteristik setiap sel diagonal adalah derajat polinomial yang tidak dapat direduksi di lapangan.

Komentar. Pembagi matriks dasar, tidak seperti polinomial invarian, pada dasarnya berkaitan dengan bidang bilangan tertentu. Jika, alih-alih bidang numerik asli, kita mengambil bidang numerik lain (yang juga berisi elemen matriks ini), maka pembagi dasar dapat berubah. Seiring dengan pembagi dasar, bentuk normal alami kedua dari matriks tersebut juga akan berubah.

Jadi, misalnya, kita diberikan sebuah matriks dengan elemen real. Polinomial karakteristik matriks ini akan mempunyai koefisien real. Pada saat yang sama, polinomial ini dapat memiliki akar yang kompleks. Jika merupakan bidang bilangan real, maka di antara pembagi dasar mungkin juga terdapat pangkat yang tidak dapat direduksi trinomial persegi dengan koefisien nyata. Jika merupakan bidang bilangan kompleks, maka setiap pembagi dasar mempunyai bentuk .

3. Sekarang mari kita asumsikan bahwa bidang bilangan tidak hanya berisi elemen-elemen matriks, tetapi juga semua bilangan karakteristik matriks tersebut. Maka pembagi dasar matriks tersebut berbentuk

. (41)

Mari kita pertimbangkan salah satu pembagi dasar ini

dan kaitkan dengan matriks orde berikut:

. (42)

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa matriks ini hanya mempunyai satu pembagi dasar. Kita akan menyebut matriks (42) sebagai sel Jordan yang sesuai dengan pembagi dasar.

Sel Jordan yang bersesuaian dengan pembagi dasar (41) dilambangkan dengan

Kemudian matriks kuasi-diagonal

memiliki pembagi daya dasar (41).

Matriksnya juga dapat ditulis seperti ini:

Karena matriks-matriks tersebut mempunyai pembagi dasar yang sama, maka matriks-matriks tersebut serupa satu sama lain, yaitu terdapat matriks yang tidak tunggal sehingga

Suatu matriks disebut bentuk normal Jordan atau sekadar bentuk matriks Jordan. Bentuk Jordan dicirikan oleh tampilan kuasi-diagonal dan struktur khusus (42) sel diagonal orde ke-th

Perhatikan juga bahwa jika , maka masing-masing matriks

,

hanya memiliki satu pembagi dasar: . Oleh karena itu, untuk matriks non-singular yang memiliki pembagi elementer (41), bersama dengan (III) dan (IV), representasi berikut berlaku:

Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu mudah. Gunakan formulir di bawah ini

Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.

Bukti: Karena Reduksi suatu matriks ke bentuk diagonal setara dengan reduksibilitas ke bentuk Jordan yang semua sel Jordan berorde 1. Semua pembagi dasar matriks A harus berupa polinomial derajat pertama. Karena semua faktor invarian matriks A - lE adalah pembagi polinomial e n (l), maka syarat terakhir ekuivalen dengan semua pembagi dasar e n (l) berderajat 1, yang perlu dibuktikan.

1.6 Polinomial minimal

Perhatikan matriks persegi berorde A N dengan unsur-unsur dari lapangan P. Jika

F (l) = b 0 lk + b 1 lk -1 + ... + bk -1 l + bk

Polinomial sembarang dari gelanggang P[l], lalu matriksnya

F(A) = b 0 A k + b 1 A k-1 + … + b k-1 A + b k E

akan disebut nilai polinomial F (l) dengan l = A; Mari kita perhatikan fakta itu anggota bebas polinomial F (k) dikalikan dengan matriks derajat nol A, yaitu ke matriks identitas E.

Mari kita definisikan akar matriks.

Jika polinomial F (k) dibatalkan oleh matriks A, mis. F (A) = 0, maka matriks A akan dipanggil akar matriks atau, jika hal ini tidak menimbulkan kebingungan, cukup gunakan akar polinomialnya F (aku) .

Matriks A juga merupakan akar dari polinomial yang koefisien utamanya sama dengan satu - ambil polinomial bukan nol yang dihilangkan oleh matriks A, dan bagi polinomial ini dengan koefisien utamanya.

Definisi: Polinomial berderajat terkecil dengan koefisien terdepan 1 yang dihilangkan oleh matriks A disebut polinomial minimal dari matriks A dan dilambangkan dengan m A .

Dalil: Setiap matriks A hanya mempunyai satu polinomial minimal.

Bukti: Mari kita asumsikan, misalnya, akan ada dua polinomial minimal M 1 (tanah M 2 (k), maka selisihnya adalah polinomial bukan nol berderajat lebih rendah, yang akarnya lagi-lagi adalah matriks A. Membagi selisih ini dengan koefisien terdepannya, kita akan mendapatkan polinomial dengan koefisien utama 1, akarnya di antaranya adalah matriks A dan yang memiliki derajat lebih rendah dari polinomial minimal M 1 (tanah M 2 (l), yang bertentangan dengan definisi polinomial minimal.

Dalil: Polinomial apa pun F(l), yang akarnya adalah matriks A, habis dibagi tanpa sisa oleh polinomial minimal M(k) dari matriks ini.

Bukti: Membiarkan F(l) tidak habis dibagi M(aku). Mari kita nyatakan dengan Q(k) pribadi, melalui R(l) sisa pembagian F(l) aktif M(l), kita akan punya

F(aku) = M(aku) Q(aku) + R(aku).

Mengganti l = A di sini dan menggunakan fakta itu

M(aku) = F(aku) = 0,

R(aku) = 0.

Namun derajat sisanya R(l) lebih kecil dari pangkat pembagi M(aku). Itu sebabnya R(k) adalah polinomial bukan nol yang akarnya adalah matriks A dan derajatnya lebih kecil dari derajat polinomial minimalnya M(l), yang bertentangan. Pernyataan itu terbukti.

Diketahui bahwa matriks-matriks yang sejenis akan mempunyai polinomial karakteristik yang sama. Polinomial minimal juga mempunyai sifat ini: matriks serupa mempunyai polinomial minimal yang sama. Namun polinomial minimal tidak memiliki persamaan kondisi cukup kesamaan matriks.

Untuk membuktikan teorema berikutnya kami berikan definisi matriks terkait.

Biarkan A aku j(1) - komplemen aljabar dari matriks A. Kita mendefinisikan matriks adjoin ke A, dalam notasi A v , sebagai transposisi ke matriks penjumlahan aljabar untuk A. Jadi

Sebuah v = .

Dalil: Pembagi dasar terakhir e N(aku) matriks karakteristik A -akuE adalah polinomial minimal m A.

Bukti: Mari kita tulis persamaannya

(-1)n | A - le | = d n -1 (l) e n (l).

Oleh karena itu d n -1 (l) dan e n (l) tidak akan sama dengan nol. Misalkan B(l) menyatakan matriks adjoin ke matriks A - lE.

B(l) = (A - lE) (1)

Kesetaraan itu adil

(A - lE) B(l) = | A - le | E.(2)

Di sisi lain, karena elemen matriks B(l) adalah minor dari matriks A - lE orde (n - 1) yang diambil dengan tanda plus atau minus dan hanya mereka, dan polinomial d n -1 (l) adalah umum pembagi terbesar semua anak di bawah umur ini, kalau begitu

B(l) = d n -1 (l) C(l), (3)

dan yang terbesar pembagi persekutuan elemen matriks C(n) sama dengan 1.

Persamaan (3), (2) dan (1) mengandung arti persamaan

(A - lE) d n -1 (l) C(l) = (-1) n d n -1 (l) e n (l) E.

Kita kurangi persamaan ini dengan faktor bukan nol d n -1 (l). Perhatikan bahwa jika μ(n) adalah polinomial bukan nol,

D(l) = (d ij (l))

Matriks l bukan nol, dan misalkan d st (l) ? 0, maka pada matriks c(l) D(l) di tempat (s, t) akan terdapat elemen bukan nol c(l) d st (l). Itu.

(A - lE) C(l) = (-1) n e n (l) E,

e n (l) E = (lE - A) [(-1) n+1 C(l)]. (4)

Dari persamaan ini jelas bahwa sisa pembagian kiri matriks-l di sebelah kiri oleh binomial lE - A sama dengan nol. Dari lemma yang dibuktikan pada bagian 3, maka sisanya sama dengan matriks

e n (A) E = e n (A).

Faktanya, matriks e n (n) E dapat ditulis sebagai matriks n-polinomial yang koefisiennya merupakan matriks skalar, yaitu. bepergian dengan matriks A.

itu. polinomial e n (n) memang dihilangkan oleh matriks A. Artinya polinomial e n (n) habis dibagi habis oleh polinomial minimal M (l) matriks A,

e (aku) = M (aku) Q (aku). (5)

jelas bahwa koefisien terdepan dari polinomial Q(-1) n +1 (n) sama dengan satu.

Karena M (A) = 0, sekali lagi, mengingat lemma yang sama dari paragraf 3, sisa pembagian kiri matriks-n M (aku) E pada binomial lE - A sama dengan nol, mis.

M (aku) E = (lE - A) Q(l). (6)

Persamaan (5), (4) dan (6) direduksi menjadi persamaan

(lE - A) [(-1) n+1 C(l)] = (lE - A) .

Kedua sisi kesetaraan ini dapat dikurangi dengan pengganda umum(lE - A), karena koefisien terdepan E dari ini matriks l-polinomial adalah matriks non-tunggal. Itu.,

C(l) = (-1) n +1 Q(l) q(l).

Pembagi persekutuan terbesar dari elemen-elemen matriks C(n) sama dengan 1. Oleh karena itu, polinomial q(n) harus berderajat nol, dan karena koefisien utamanya adalah 1, maka

Jadi, mengingat (5),

e N (aku) = M (aku),

Q.E.D.

Bab 2. Pemecahan masalah

Contoh 1. Kurangi matriks-l ke bentuk kanonik

Larutan: Mari kita reduksi matriks A(n) ini ke bentuk kanonik dengan melakukan transformasi dasar.

1) Tambahkan baris kedua ke baris pertama, lalu kalikan baris pertama dengan (-l) dan (-l 2 -1) dan tambahkan masing-masing dengan baris kedua dan ketiga. Tambahkan kolom pertama dan kedua, kalikan kolom pertama dengan (-l 2 -l). Dalam matriks yang dihasilkan, tukar kolom kedua dan ketiga. Kalikan baris kedua dengan (-l) dan tambahkan ke baris ketiga. Selanjutnya tambahkan kolom kedua dikalikan (-l 2 -l + 1). Kalikan baris kedua dan ketiga dengan (-1).

SEBUAH(l) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = SEBUAH(l).

Matriks yang dihasilkan bersifat kanonik, karena ia mempunyai bentuk diagonal dan setiap polinomial berikutnya pada diagonal utama dibagi dengan polinomial sebelumnya.

Menjawab:

Contoh 2. Buktikan kesetaraan matriks-l

Larutan: Mari kita reduksi matriks A(n) menjadi bentuk kanonik.

1) Pada matriks A(l), tukar kolom pertama dan ketiga:

2) Kurangi baris kedua dari baris pertama:

3) Kalikan baris pertama dengan (l+1) dan kurangi baris ketiga:

4) Kalikan kolom pertama dengan () dan () dan kurangi kolom kedua dan ketiga masing-masing:

5) Tukar baris kedua dan ketiga:

6) Kalikan baris ketiga dengan () dan kurangi baris kedua dari baris tersebut:

7) Kalikan baris ketiga dengan (-1):

SEBUAH(aku) ~ = B(aku).

Menjawab: SEBUAH(aku) ~ B(aku).

Perhatikan bahwa matriks B(n) bersifat kanonik.

Contoh 3. Buktikan itu matriks yang diberikan A(l) adalah unimodular. Kurangi ke tampilan diagonal.

Penentu matriks unimodular tidak sama dengan nol dan tidak bergantung pada l. Mari kita hitung?A:

Kalikan kolom pertama dengan (- l 2) dan menambahkannya dengan yang kedua, kita mendapatkan:

A(l) ~~ ~ ~ ~ ~ ~

Menjawab: matriks A(n) adalah unimodular.

Contoh 4. Dengan menggunakan faktor invarian, temukan matriks Jordan

a) matriks A:

b) matriks B:

c) matriks C:

Larutan: Untuk matriks A kami menyusun tabel pembagi dasar. Di kolom pertama tabel kita menulis pembagi dasar dari faktor invarian terakhir: .

Dengan menggunakan tabel pembagi dasar, kami membuat matriks Jordan. Untuk setiap pembagi dasar kami menulis sel Jordan yang sesuai: J 1 (1), J 1 (2), J 1 (3), J 1 (4). Dengan menempatkan sel-sel ini pada diagonal utama matriks, kita memperoleh matriks Jordan yang diinginkan:

Untuk matriks B, kami menyusun tabel pembagi dasar. Di kolom pertama tabel kita menulis satu-satunya pembagi dasar dari faktor invarian terakhir, di kolom kedua - faktor invarian kedua dari belakang:

Faktor invarian

Untuk matriks C kami menyusun tabel pembagi dasar. Di kolom pertama tabel kita menulis satu-satunya pembagi dasar dari faktor invarian terakhir, kolom kedua - dari faktor kedua dari belakang, di kolom ketiga -

Dengan menggunakan tabel pembagi dasar, kami membuat matriks Jordan. Untuk setiap pembagi dasar kami menulis sel Jordan yang sesuai J 2 (1), J 1 (1), J 1 (1). Dengan menempatkan sel-sel ini pada diagonal utama matriks, kita memperoleh matriks Jordan yang diinginkan:

Menjawab:

Contoh 5. Kurangi matriks berikut ke bentuk Jordan normal:

Larutan: 1. Untuk matriks A, kita mencari matriks Jordan normal, menjadikannya bentuk kanonik. Menyusun matriks karakteristik

matriks bentuk Jordan

2. Mari kita reduksi matriks A - lE ke bentuk kanonik.

1) Tukar kolom pertama dan kedua

2) Kalikan baris pertama dengan (l - 4) dan (-1) dan tambahkan masing-masing dengan baris kedua dan ketiga

3) Tambahkan kolom ketiga dan kedua

4) Tambahkan kolom pertama ke kolom kedua, kalikan kolom pertama dengan (l).

5) Kalikan baris kedua dan ketiga dengan (-1), lalu tukar kolom kedua dan ketiga serta baris kedua dan ketiga

Faktor matriks invarian

e 1 (l) = 1, e 2 (l) = l - 2

e 3 (l) = = = .

3. Dengan menggunakan faktor invarian yang diperoleh e 1 (l) dan e 2 (l), kita buat tabel pembagi dasar, dan pembagi dasar yang sama dengan satu tidak termasuk dalam tabel

Untuk setiap pembagi dasar kami menulis sel Jordan yang sesuai J 1 (2), J 2 (2). Dengan menempatkan sel-sel ini pada diagonal utama matriks, kita memperoleh matriks Jordan yang diinginkan:

J A = .

Mari kita reduksi matriks B ke bentuk Jordan normal melalui minor.

1. Buatlah matriks karakteristik

2. Temukan faktor invarian. Anak di bawah umur orde pertama mempunyai pembagi terbesar

Mari kita temukan semua anak di bawah umur orde kedua:

Pembagi persekutuan terbesar dari polinomial-polinomial ini

Minor orde ketiga bertepatan dengan determinan matriks

det (B - lE) = =.

Mari kita ambil pembagi persekutuan terbesar dengan koefisien terdepan sama dengan 1.

Mari kita cari faktor invariannya:

e 1 (l) = d 1 (l) =1, e 2 (l) = =

3. Dengan menggunakan faktor invarian yang diperoleh e 2 (l) dan e 3 (l), kita buat tabel pembagi dasar.

4. Untuk setiap pembagi dasar kita tuliskan sel Jordan yang sesuai J 1 (-1), J 2 (-1). Dengan menempatkan sel-sel ini pada diagonal utama matriks, kita memperoleh matriks Jordan yang diinginkan:

J B = .

Menjawab:

J A =

J B = .

Contoh 6. Tunjukkan bahwa polinomial karakteristik matriks tersebut

adalah batal demi hukum baginya.

Larutan. Menemukan determinannya polinomial karakteristik matriks A.

Mengganti matriks A dengan variabel l, kita peroleh

SEBUAH = 3 SEBUAH 2 - SEBUAH 3 = 3= 3= 0,

itulah yang perlu ditunjukkan.

Contoh 7. Temukan polinomial minimum suatu matriks

Larutan. Cara pertama. 1. Buatlah matriks karakteristik

2. Kita reduksi matriks-l ini menjadi bentuk diagonal normal. Mari kita tukar baris pertama dan ketiga. Mari kita pilih sebagai elemen utama unit yang ada di sebelah kiri sudut atas matriks. Menggunakan elemen utama yang kami lakukan sama dengan nol sisa elemen baris pertama dan kolom pertama:

Kita ambil elemen terdepan (-l) dan buat semua elemen lain pada baris kedua dan kolom kedua sama dengan nol. Kemudian baris kedua dan ketiga kita kalikan dengan (-1) sehingga koefisien utama elemen diagonalnya adalah sama dengan satu. Kami mendapatkan tampilan diagonal normal:

Polinomial matriks minimum

m A (l) =e 3 (l) =.

Cara kedua. 1. Kami menyusun matriks karakteristik;

2. temukan polinomial karakteristiknya

SEBUAH (l) = 3l 2 - l 3.

3. tentukan minor orde kedua dari matriks karakteristik (A - lE). Mari kita batasi diri kita pada anak di bawah umur yang terletak di dua baris pertama:

M 12 12 = =, M 13 12 = = -l, M 23 12 = = l.

Ungkapan anak di bawah umur yang tersisa sama dengan yang ditemukan. Pembagi persekutuan terbesar dari polinomial, (-l), l sama dengan l, yaitu

4. Sesuai rumus

kita mendapatkan:

Untuk memeriksanya, mari kita hitung

m A (A) =A 2 -3A =

Perhatikan bahwa polinomial minimal m A (A) bersifat memusnahkan, mis.

Menjawab: .

Contoh 8. Populasi negara. Mari kita bagi penduduk negara ini menjadi empat kelompok umur:

(0,20], (20,40], (40,60], (60,) tahun. (1)

X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t))

Jumlah orang dalam kelompok tersebut pada waktu t. kami tertarik pada ukuran populasi dalam subkelompok ini (yaitu struktur umur penduduk suatu negara) dalam 20, 40, 60,... tahun (yaitu X(20), X(40), X(60)... ). Kita akan menghitungnya dari koordinat vektor X(0) dan dari angka kelahiran dan kematian, yang akan kita ambil sedekat mungkin dengan kehidupan.

Mari kita buat persamaan untuk masa depan.

Dalam 20 tahun, hampir semua orang dari kelompok pertama akan berpindah ke kelompok kedua. Beberapa akan meninggal karena penyakit, kecelakaan, dll. Misalkan 0,95 orang dari kelompok pertama berpindah ke kelompok kedua dalam waktu 20 tahun. Berikut koefisien kelompok 1 ke kelompok 2:

x 2 (t + 20) = 0,95 x 1 (t). (2)

Selain itu, sebagian kecil pemuda dari kelompok ini akan mempunyai waktu untuk menikah dan mempunyai anak sebelum usia 20 tahun, sehingga kontribusi kelompok pertama terhadap kelompok pertama (setelah 20 tahun). Misalkan kontribusi ini sama dengan 0,01 dari populasi kelompok pertama. Dan kelompok 2 dan 3 juga akan memberikan kontribusi pada kelompok 1 (berupa anak-anak). Misalkan nilai sumbangan kelompok ke-2 = 0,5 dari jumlahnya (setiap orang sudah menikah dan setiap keluarga mempunyai satu anak), dan sumbangan dari kelompok ke-3 = 0,02 dari jumlahnya. Kemudian

X 1 (t + 20) = 0,01 x 1 (t) + 0,5 x 2 (t) + 0,02 x 3 (t). (3)

Mari kita atur tingkat kelangsungan hidup pada kelompok kedua menjadi 0,8, yaitu.

X 3 (t + 20) = 0,8 x 2 (t). (4)

Dan pada kelompok 3 dan 4 masing-masing 0,7 dan 0,4:

X 4 (t + 20) = 0,7 x 3 (t) + 0,5 x 4 (t). (5)

Kita tulis ulang relasi yang kita berikan (2, 3, 4, 5) dalam bentuk matriks:

X(t + 20) = KAPAK(t). (6)

Dimana matriks A dari koefisien pengaruh adalah:

Itu dikompilasi berdasarkan prinsip:

nomor masukan = nomor kolom,

nomor keluaran = nomor baris.

Jadi koefisien pengaruh kelompok 1 terhadap kelompok 2 harus ditulis pada kolom 1, baris ke-2.

Berdasarkan rumus (6), jika operator A bekerja pada komposisi penduduk X(t) pada waktu t, maka komposisi penduduk X(t + 20) akan diperoleh setelah 20 tahun. Oleh karena itu operator A disebut operator shift (dalam soal ini shiftnya 20 tahun).

Dari rumus (6) berikut ini

X(t + 40) = KAPAK(t + 20) = AAX(t) = A 2 X(t)

X(t + 60) = KAPAK(t + 40) = AA 2 X(t) = A 3 X(t)

X(t + 20n) = A n X(t) (8)

Jadi, kita ingin menghitung jumlah penduduk setelah tahun 20, 40, 60,... (dengan asumsi bahwa baik angka kelahiran maupun angka kematian tidak berubah) - mis. hitung AX(0), A 2 X(0), A 3 X(0),… Hasil Perkalian

A n X(0) = AAAA…AKS(0)

Dapat dihitung dalam urutan yang berbeda. Anda dapat melakukan ini:

A(A…(Kapak(0))). (9)

Atau Anda dapat melakukan ini: pertama A n lalu

Dalam soal ini, jika Anda perlu menghitung populasi masa depan hanya untuk beberapa saat (misalnya, 200 tahun ke depan), maka untuk mengurangi jumlah operasi kita akan menggunakan rumus (9). Namun jika kita ingin memilih elemen numerik matriks A (misalnya, temukan tingkat kelahiran di mana populasi suatu negara stabil pada tingkat yang sama), maka metode (10) lebih mudah digunakan. Jadi, misalkan jumlah penduduk saat ini adalah:

X 1 (0) = 30, x 2 (0) = 40, x 3 (0) = 30, x 4 (0) = 25 (juta jiwa).

Sekarang mari kita lakukan perhitungan untuk N= 2, 3…10 menurut (9) di salah satu program komputer matematika (misalnya, Mathematics, MathCAD, Maple V). Saya menggunakan beberapa program komputer, kita mendapatkan hasilnya, yang kita masukkan ke dalam tabel.

Kita melihat bahwa dalam 200 tahun akan muncul negara dengan jumlah penduduk yang sama Rusia modern, menyusut menjadi populasi Wilayah Leningrad. Mari kita perhatikan bagaimana populasi menua (proporsi penduduk lanjut usia semakin besar). Ini adalah suatu keharusan seiring dengan penurunan populasi. Kenyataannya, keadaannya jauh lebih buruk: penurunan populasi di wilayah yang sama mempersulit generasi muda untuk bertemu dan menikah, mengurangi kekayaan negara dan, sebagai akibatnya, memperburuk kondisi negara. perawatan medis dll. dll. dll. Dengan kata lain, penurunan jumlah penduduk juga akan menyebabkan penurunan jumlah pada tabel A.

Sebagai perbandingan, mari kita atur angka kelahiran di kelompok 2 secara berbeda, yaitu pada tingkat 4 anak per keluarga.

Maka perhitungan yang sama memberi kita:

Dalam 140 tahun, Rusia saat ini akan bisa menyamai populasi Tiongkok yang berjumlah miliaran orang dan setengahnya akan terdiri dari generasi muda.

Tentu saja, jika kita hanya tertarik pada ramalan sederhana seperti itu, kita bisa membatasi diri pada hal itu perhitungan sederhana oleh (9) dan teori bentuk Jordan tidak diperlukan. Namun kami tertarik pada kemampuan untuk mengelola proses tersebut tanpa membiarkan kematian negara atau peningkatan populasi yang menimbulkan bencana. Oleh karena itu, kami tertarik pada tiga pertanyaan:

· apakah mungkin untuk menstabilkan populasi dengan memilih angka kelahiran (lebih mudah meningkatkannya daripada mengurangi angka kematian);

· berapa seharusnya angka kelahiran agar populasi negara tersebut stabil;

· bagaimana struktur penduduk akan terbentuk (rasio antara penduduk muda dan penduduk tua) dengan jumlah penduduk yang stabil (rasio ini menentukan berapa banyak pensiunan yang harus diberi makan oleh setiap pekerja, dan oleh karena itu, bersama dengan produktivitas tenaga kerja, rasio ini menentukan standar hidup ).

Eksperimen numerik, yaitu perhitungan tabel seperti itu di berbagai ukuran angka kelahiran menurut (9), mungkin, akan memungkinkan Anda memilih nilai angka kelahiran. Namun kita akan mendapatkan hasil dengan kesalahan yang tidak kita ketahui karena ketidakmungkinan melakukan perhitungan tanpa batas waktu dan karena kesulitan dalam memahami perilaku bilangan. kelompok terpisah. Memang: nilai x 3 (t) dan x 4 (t) in meja terakhir ragu-ragu. Jika Anda sedikit mengubah parameter kesuburan, fluktuasinya akan sedikit berubah.

Menurut (8), jumlah penduduk negara kita dalam 20n tahun adalah sama dengan

X(20n)=An X(0), (12)

Dimana matriks A diberikan pada (7). Kami tahu itu

A n = S J n S -1 (13)

Dimana S adalah matriks transisi ke basis baru, terdiri dari angka konstan, dan J adalah bentuk normal Jordan dari matriks A.

Untuk menghitung J, kita memerlukan nilai eigen matriks A. Kita menggunakan komputer untuk perhitungannya. Maple V untuk matriks A kita memberikan empat nilai eigen:

aku 1 = 0,7095891332

aku 2 = - 0,667497875

aku 4 = - 0,0320912582

Karena banyaknya nilai eigen berbeda = 4, berarti semua sel Jordan pada matriks J berorde 1, yaitu matriks J murni diagonal dan pangkat ke-nnya berbentuk:

Jadi, kita peroleh untuk (12):

X(20n) = l 1 n V + l 2 n V + l 3 n V + l 4 n V, (14)

dimana huruf V menunjukkan beberapa vektor kolom numerik (konstan).

Struktur rumus (14) menunjukkan perilaku X yang semakin meningkat N. Semua suku berkurang karena nilai eigennya kurang dari 1 dalam nilai absolut, yaitu. X cenderung ke vektor 0. Tiga istilah terakhir mengalami penurunan lebih cepat dari yang pertama. Untuk cukup besar N suku pertama akan menjadi suku utama dalam penjumlahan ini. Suku kedua berkurang lebih cepat dari suku pertama, tetapi karena nilai eigen kedua bersifat negatif, suku tersebut ditambahkan ke suku pertama (untuk suku genap N), atau dikurangi darinya (untuk ganjil N), yaitu, menciptakan osilasi teredam dalam perilaku X. Fluktuasi ini sesuai dengan kenyataan, karena siklus fluktuasi ini ditentukan oleh interval yang dipilih secara sewenang-wenang (20 tahun). Saat membagi populasi menjadi jumlah yang lebih besar kelompok umur nilai eigen negatif akan menghasilkan osilasi dengan periode yang lebih singkat.

Jika terdapat angka kelahiran yang tinggi, maka rumus X(20n) tetap berbentuk (14), namun akan memuat nilai eigen lain yang lebih besar. Dengan angka kelahiran yang tinggi, nilai eigen pertama ternyata lebih besar dari satu, oleh karena itu kami amati pertumbuhan eksponensial populasi.

Dari apa yang telah ditulis di atas, kita dapat menyimpulkan: jika kita ingin menstabilkan jumlah penduduk suatu negara, kita perlu memilih angka kelahiran sehingga nilai eigen pertama sama dengan 1, dan semua nilai eigen lainnya secara absolut kurang dari 1. nilai. Hal ini akan memastikan bahwa tiga suku terakhir dalam persamaan cenderung ke 0 rumus (14), dan kemudian V 1 akan menjadi keadaan stabil populasi yang diinginkan.

Selanjutnya kita akan memilih angka kelahiran. Mari kita kembali ke matriks A yang diberikan pada (7). Angka kelahiran anak golongan 2 (baris pertama, kolom kedua) diganti dengan huruf g. Seperti diketahui, nilai eigen matriks A harus merupakan akar persamaan karakteristiknya. Karena kita membutuhkan l = 1, kita menghitung determinannya det(A - E).

Kami mengerti

det = 0,584880 - 0,57006 gram

dan dari persamaan det = 0 kita temukan g = 1,026. Kita substitusikan nilai angka kelahiran ini ke dalam matriks A (baris ke-1, kolom ke-2) dan hitung kembali jumlah penduduk negara tersebut dalam selang waktu 200 tahun menggunakan (9).

Mereka menyesuaikan angka kelahiran selama 200 tahun sedemikian rupa sehingga menjamin stabilitas populasi negara. Jumlahnya berkisar sekitar 130 juta. Fluktuasi jumlah kelompok individu cukup signifikan. Alasan fluktuasi ini adalah matriks A sekarang mempunyai dua nilai eigen, modulo mendekati satu, dan salah satunya negatif. Artinya, kita mendapatkan hasil seperti ini

X(20n) = V 1 + (-1) n V 2 + aku 3 n V 3 + l 4 n V 4 , (15)

Dua suku terakhir meluruh seiring bertambahnya n karena nilai absolut dari nilai eigen ketiga dan keempat kurang dari 1. Dan suku kedua memastikan bahwa X berosilasi dari nilai V 1 - V 2 ke nilai V 1 + V 2 dan sebaliknya.

Mengingat perkiraan nilai g, matriks A tidak memiliki nilai eigen yang persis sama dengan 1. Oleh karena itu, ukuran kelompok berubah secara perlahan dengan latar belakang fluktuasi yang besar ini. Tentu saja Anda dapat mencoba menyesuaikan kesuburan untuk mencapai nilai eigen yang lebih tepat sama dengan 1, lalu mencari tahu seberapa dekat nilai eigen kedua dengan (-1). Namun, tentu saja, memperjelas nilai eigen dalam masalah ini tidak masuk akal nilai awal dan matriks A sendiri diberikan dengan kesalahan yang besar (dan pengukuran yang tepat atas kesuburan dan kematian, pada prinsipnya, tidak memberi kita dasar untuk perhitungan yang akurat, karena tidak mungkin untuk memperbaikinya). Penyempurnaan model ini harus mengikuti jalur dengan mempertimbangkan ketergantungan lain dalam masyarakat. Namun dari sudut pandang teoritis murni, kita telah memecahkan pertanyaan tentang keberadaan limit (14): jika salah satu nilai eigen sama dengan 1, dan sisanya lebih kecil nilai absolutnya, maka limit tersebut ada.

Kesimpulan

Matriks pertama kali disebutkan pada Tiongkok kuno, kemudian disebut “kotak ajaib”. Penerapan utama matriks adalah menyelesaikan persamaan linier. Selain itu, kotak ajaib baru dikenal beberapa saat kemudian oleh ahli matematika Arab, sekitar saat itulah prinsip penjumlahan matriks muncul. Setelah mengembangkan teori determinan pada akhir abad ke-17, Gabriel Cramer (1704 – 1752) mulai mengembangkan teorinya pada abad ke-18 dan menerbitkan aturan Cramer pada tahun 1751. Sekitar periode waktu yang sama, “metode Gauss” muncul. Teori matriks dimulai pada pertengahan abad ke-19 dengan karya William Hamilton dan Arthur Cayley. Hasil mendasar dalam teori matriks adalah milik Karl Weierstrass (1815 - 1897), Jordan, Frobenius (1849 - 1917). Istilah matriks diciptakan oleh James Sylvester pada tahun 1850.

Matriks dapat ditemukan di mana-mana. Misalnya, tabel perkalian adalah hasil kali matriks. Dalam fisika atau lainnya ilmu terapan matriks adalah sarana untuk merekam data dan mengubahnya. Dalam pemrograman - dalam menulis program. Mereka juga disebut array. Banyak digunakan dalam teknologi. Misalnya, gambar apa pun di layar adalah matriks dua dimensi, yang elemennya merupakan warna titik-titik. Dalam psikologi, pengertian istilah ini mirip dengan istilah ini dalam matematika, tetapi sebaliknya objek matematika yakin " objek psikologis" - misalnya, tes. Selain itu, matriks banyak digunakan dalam bidang ekonomi, biologi, kimia, dan bahkan pemasaran. Ada juga model abstrak - teori pernikahan masyarakat primitif, di mana, dengan menggunakan matriks, opsi pernikahan yang diizinkan untuk perwakilan dan bahkan keturunan suku tertentu ditampilkan.

Dalam matematika, matriks banyak digunakan untuk menulis SLAE atau sistem secara kompak persamaan diferensial. Peralatan matriks memungkinkan seseorang untuk mereduksi solusi SLAE menjadi operasi pada matriks.

Bentuk normal matriks Jordan digunakan ketika menghitung jumlah penduduk yang akan berada di suatu negara, wilayah, atau dunia setelah jangka waktu tertentu. Matriks seperti itu memberikan gambaran tentang perubahan populasi, tergantung pada kondisi tertentu: angka kelahiran dan kematian, tanpa membiarkan kematian suatu negara atau peningkatan populasi yang sangat besar.

Teori matriks tidak diperlukan kurikulum sekolah mempelajari matematika. Di sekolah yang memiliki kelas matematika tingkat lanjut, konsep dasar teori matriks diajarkan secara dangkal. Matriks dibahas lebih rinci ketika mempelajari matematika tingkat tinggi.

Karya ini dapat direkomendasikan kepada siswa untuk memperluas pengetahuan mereka di bidang teori matriks, kepada siswa sekolah menengah dan guru matematika untuk membiasakan diri dengan konsep umum teori matriks sebagai bagian dari perluasan cakrawala matematika mereka.

Tugas yang ditetapkan dalam pekerjaan telah diselesaikan, tujuan telah tercapai.

Daftar literatur bekas

1. Kvashko, L. P. Dasar-dasar aljabar linier: Buku Teks. tunjangan / L.P.Kvashko. - Khabarovsk: Penerbitan DVGUPS, 2012. - 78 hal. : sakit.

2. Ditulis, D. T. Catatan kuliah tentang matematika yang lebih tinggi: [jam 2]. Bagian 1 / D.T. Ditulis. - edisi ke-6. - M.: Iris-press, 2006. - 288 hal.: sakit.

3. Mishina, A. P. Aljabar yang lebih tinggi. / I.V.Proskuryakov. - M., Fizmatlit, 1962. - 300 hal.

4. Romannikov, A.N. Aljabar linier: Buku Ajar. panduan // Moskow universitas negeri ekonomi, statistik dan ilmu komputer. - M., 2003. - 124 hal.

5. Okunev, L.Ya.Aljabar yang lebih tinggi. / L.Ya. - M.: Pendidikan, 1966. - 335 hal.

6. Faddeev, D.K. Kuliah tentang aljabar: Proc. tunjangan./ D.K. Faddeev.-edisi ke-4, terhapus..- St. Petersburg: Lan, 2005.- 416 hal. - (Buku teks untuk universitas. Sastra khusus. Buku teks klasik terbaik. Matematika).

7. Butuzov, V.F. Aljabar linier dalam soal dan soal: buku teks. bantuan untuk siswa universitas/ V.F. Butuzov. - Edisi ke-3, direvisi - St. Petersburg: Lan, 2008. - 256 hal. - (Buku teks untuk universitas. Sastra khusus).

8. Voevodin, V.V.Aljabar linier: Buku Teks. tunjangan/ V.V. Voevodin.-edisi ke-4, terhapus..- St. Petersburg: Lan, 2008.- 416 hal. -(Buku teks untuk universitas. Sastra khusus)

9. Kurosh, A. G. Kursus aljabar yang lebih tinggi: Buku Teks. tunjangan./ A.G. Kurosh. Edisi ke-17, - St. Petersburg: Lan Publishing House, 2008. - 432 hal.: sakit. - (Buku teks untuk universitas. Sastra khusus).

10. Gelfand, I.M. Kuliah aktif aljabar linier./ AKU. Gelfand. - Edisi ke-5, putaran. - M.: Dobrosvet, Pusat Berkelanjutan Moskow pendidikan matematika, 1998. - 320 hal.

11. Maltsev, A.I. Dasar-dasar aljabar linier: Buku Ajar. tunjangan./A.I. Maltsev. edisi ke-5, terhapus. - St.Petersburg: Lan Publishing House, 2009. - 480 hal.: sakit. - (Buku teks untuk universitas. Sastra khusus).

12. Gantmakher, F. R. Teori matriks. Buku pelajaran manual untuk universitas./ F.R. Gantmakher, - M. Sains. 1967. - 576 hal.

13. Kuliah tentang aljabar. Semester 2. Edisi II. Bentuk normal matriks Jordan: Manual pendidikan dan metodologi/ S.N. Tronin. -- Kazan: Kazansky (Privolzhsky) universitas federal, 2012. - 78 hal.

14. Aljabar Van der Waerden B.L. van der Waerden; Per. dengan dia. A A. Belsky.-3rd ed., ster.- St. Petersburg: Lan, 2004.- 624 hal.

15. Alferova, Z.V. Aljabar dan teori bilangan. Kompleks pendidikan dan metodologi/ Z.V. Alferova, E.L. Balyukevich, A.N. Romannikov. - M.: Institut Terbuka Eurasia, 2011. - 279 hal.

16. Lancaster, P., Teori matriks. / P. Lancaster - M.: “Ilmu Pengetahuan” 1973, 280 hal.

17. Schreyer O. Teori matriks / E. Sperner. - L.: ONTI, 1936. - 156 hal.

18. Shneperman, L.B. Kumpulan soal aljabar dan teori bilangan: Buku Ajar. tunjangan./ L.B. Shneperman.-3rd ed., terhapus..- St. Petersburg: Lan, 2008.- 224 hal. -(Buku teks untuk universitas. Sastra khusus).

19. Proskuryakov, I. V. Kumpulan masalah dalam aljabar linier. Buku pelajaran tunjangan / I.V. Proskuryakov. - Edisi ke-13, terhapus. - SPb.: Lan Publishing House, 2010. - 480 hal. -- (Buku teks untuk universitas. Sastra khusus).

20. Kumpulan Soal Aljabar : Buku Soal / ed. A.I. Kostrikin. - M.: MTsNMO, 2009. - 404 hal.

21. Sushkova M. V. Matematika di Universitas / Jurnal Internet Universitas Politeknik Negeri St. - 2002. - No. 2. - URL: https://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_002/Sushkova/par_02.html.

Diposting di Allbest.ru

Dokumen serupa

Operasi dasar matriks dan sifat-sifatnya. Hasil kali matriks atau perkalian matriks. Blokir matriks. Konsep determinan. Bilah alat matriks. Transposisi. Perkalian. Penentu matriks persegi. Modul vektor.

abstrak, ditambahkan 04/06/2003


Kegunaan matriks dan jenis-jenisnya (sama, persegi, diagonal, satuan, nol, vektor baris, vektor kolom). Contoh operasi matriks (perkalian bilangan, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan transposisi matriks) dan sifat-sifat matriks yang dihasilkan.

presentasi, ditambahkan 21/09/2013


Mencatat bentuk dan metode penyelesaian sistem persamaan aljabar dengan n tidak diketahui. Perkalian dan norma vektor dan matriks. Sifat-sifat determinan matriks. Nilai eigen dan vektor eigen. Contoh penggunaan karakteristik numerik matriks

abstrak, ditambahkan 12/08/2009


Konsep, jenis dan aljabar matriks. Penentu matriks persegi dan sifat-sifatnya, teorema Laplace dan pembatalan. Konsep matriks terbalik dan keunikannya, algoritma konstruksi dan propertinya. Definisi matriks identitas untuk matriks persegi saja.

abstrak, ditambahkan 06/12/2010


Interpretasi ortogonal dan matriks kesatuan. Penentu utama matriks. Definisi kuadrat kompleks tidak merosot dan matriks tunggal. Metode untuk mencari determinan. Metode kondensasi Dodgson. Fungsi baris polilinear simetris miring.

tugas kursus, ditambahkan 06/04/2015


Perhitungan biaya tunai suatu perusahaan untuk produksi produk, ketika menyatakan nilainya menggunakan matriks. Memeriksa kesesuaian sistem persamaan dan menyelesaikannya menggunakan rumus Cramer dan menggunakan matriks invers. Menyelesaikan persamaan aljabar menggunakan metode Gauss.

tes, ditambahkan 28/09/2014


Contoh kelompok matriks aljabar, kelompok matriks klasik: umum, khusus, sederhana, dan ortogonal. Komponen grup aljabar. Peringkat matriks, kembali ke persamaan, kompatibilitas. Pemetaan linier, operasi dengan matriks.

tugas kursus, ditambahkan 22/09/2009


Matriks yang dapat dibalik di atas bidang Zp. Rumus penghitungan matriks orde 2 yang dapat dibalik. Rumus penghitungan matriks orde 3 yang dapat dibalik. Rumus umum menghitung matriks yang dapat dibalik di atas bidang Zp. Matriks yang dapat dibalik atas Zn.

tesis, ditambahkan 08/08/2007


Metode perhitungan produk titik vektor yang diberikan. Perhitungan determinan dan pangkat matriks, mencari invers matriks. Penyelesaian persamaan menggunakan metode Cramer, matriks invers, dan fungsi lsolve bawaan. Analisis hasil yang diperoleh.

pekerjaan laboratorium, ditambahkan 13/10/2014


Tindakan Dasar atas matriks. Larutan persamaan matriks menggunakan matriks invers dan menggunakan transformasi dasar. Konsep matriks invers dan transposisi. Memecahkan persamaan matriks berbagai jenis: KAPAK=B, HA=B, AXB=C, KAPAK+XB=C, KAPAK=HA.