Jenis persamaan gelombang sistem fisik ditentukan oleh Hamiltoniannya, yang dengan demikian memperoleh signifikansi mendasar dalam seluruh peralatan matematika mekanika kuantum.

Bentuk Hamiltonian dari partikel bebas telah diketahui ketentuan Umum, terkait dengan homogenitas dan isotropi ruang serta prinsip relativitas Galileo. DI DALAM mekanika klasik persyaratan ini mengarah pada ketergantungan kuadrat energi suatu partikel pada momentumnya: di mana konstanta tersebut disebut massa partikel (lihat I, § 4). Dalam mekanika kuantum, persyaratan yang sama mengarah pada hubungan yang sama nilai eigen energi dan momentum secara bersamaan merupakan besaran kekal (untuk partikel bebas) yang dapat diukur.

Namun agar hubungan tersebut berlaku untuk semua nilai eigen energi dan momentum, hubungan tersebut juga harus valid untuk operatornya:

Mengganti (15.2) di sini, kita memperoleh Hamiltonian dari partikel yang bergerak bebas dalam bentuk

di mana operator Laplace.

Hamiltonian dari sistem partikel yang tidak berinteraksi sama dengan jumlahnya Hamiltonian dari masing-masingnya:

dimana indeks a memberi nomor pada partikel; - Operator Laplace, di mana diferensiasi dilakukan terhadap koordinat partikel.

Dalam mekanika klasik (non-relativistik), interaksi partikel dijelaskan dengan istilah aditif dalam fungsi Hamilton - energi potensial interaksi, yang merupakan fungsi dari koordinat partikel.

Dengan menambahkan fungsi yang sama ke sistem Hamiltonian, interaksi partikel dalam mekanika kuantum dijelaskan:

suku pertama dapat dianggap sebagai operator energi kinetik, dan yang kedua - sebagai operator energi potensial. Secara khusus, Hamiltonian untuk satu partikel yang terletak di medan luar adalah

di mana kamu(x, y, z) - energi potensial partikel di medan luar.

Mengganti ekspresi (17.2)-(17.5) ke dalam persamaan umum(8.1) memberikan persamaan gelombang untuk sistem yang bersangkutan. Mari kita tuliskan di sini persamaan gelombang untuk partikel dalam medan luar

Persamaan (10.2), yang mendefinisikan keadaan stasioner, mengambil bentuk

Persamaan (17.6), (17.7) dibuat oleh Schrödinger pada tahun 1926 dan disebut persamaan Schrödinger.

Untuk partikel bebas, persamaan (17.7) berbentuk

Persamaan ini memiliki solusi yang berhingga di seluruh ruang untuk setiap persamaan nilai positif energi E. Untuk keadaan dengan arah gerak tertentu, solusi ini merupakan fungsi eigen dari operator momentum, dan . Fungsi gelombang lengkap (bergantung waktu) seperti itu keadaan stasioner terlihat seperti

(17,9)

Setiap fungsi tersebut - gelombang bidang - menggambarkan keadaan di mana partikel memiliki energi E dan momentum tertentu. Frekuensi gelombang ini sama dengan vektor gelombangnya dengan panjang gelombang yang sesuai disebut panjang gelombang de Broglie partikel.

Spektrum energi dari partikel yang bergerak bebas ternyata kontinu, membentang dari nol hingga Masing-masing nilai eigen ini (kecuali hanya nilainya yang mengalami degenerasi, dan degenerasinya memiliki multiplisitas tak terhingga. Memang, setiap nilai E yang bukan nol sesuai himpunan tak terbatas fungsi eigen(17.9), berbeda arah vektor dengan nilai mutlak yang sama.

Mari kita telusuri bagaimana transisi limit ke mekanika klasik terjadi dalam persamaan Schrödinger, dengan mempertimbangkan secara sederhana hanya satu partikel dalam medan luar. Mengganti ekspresi pembatas (6.1) dari fungsi gelombang ke dalam persamaan Schrödinger (17.6), kita memperoleh, dengan diferensiasi,

Persamaan ini mempunyai suku-suku real dan imajiner murni (ingat bahwa S dan a adalah real); menyamakan keduanya secara terpisah dengan nol, kita memperoleh dua persamaan:

Mengabaikan suku yang terdapat pada persamaan pertama, kita peroleh

(17,10)

yaitu, seperti yang diharapkan, persamaan klasik Hamilton-Jacobi untuk aksi partikel S. Omong-omong, kita melihat bahwa mekanika klasik berlaku hingga besaran orde pertama (dan bukan nol) inklusif.

Persamaan kedua yang dihasilkan setelah dikalikan dengan 2a dapat ditulis ulang dalam bentuk

Persamaan ini memiliki visual arti fisik: ada kerapatan probabilitas untuk menemukan partikel di tempat tertentu dalam ruang; ada kecepatan klasik v partikel tersebut. Oleh karena itu, persamaan (17.11) tidak lebih dari persamaan kontinuitas, yang menunjukkan bahwa kepadatan probabilitas “bergerak” menurut hukum mekanika klasik dengan kecepatan klasik v di setiap titik.

Tugas

Temukan hukum transformasi fungsi gelombang pada transformasi Galilea.

Larutan. Mari kita lakukan transformasi fungsi gelombang gerak bebas suatu partikel (gelombang bidang). Karena fungsi apa pun dapat diperluas menjadi gelombang bidang, hukum transformasi akan ditemukan untuk fungsi gelombang sembarang.

Gelombang bidang dalam sistem referensi K dan K" (K" bergerak relatif terhadap K dengan kecepatan V):

Selain itu, momentum dan energi partikel di kedua sistem dihubungkan satu sama lain melalui rumus

(lihat I, § 8), Mengganti ekspresi ini dengan yang kita dapatkan

Dalam bentuk ini, rumus ini tidak lagi memuat besaran-besaran yang bersifat karakterisasi gerakan bebas partikel, dan mengatur yang diinginkan hukum umum transformasi fungsi gelombang keadaan partikel yang berubah-ubah. Untuk sistem partikel, eksponen pada (1) harus memuat jumlah seluruh partikel.

Persamaan umum Schrödinger. Persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner

Interpretasi statistik gelombang de Broglie (lihat § 216) dan hubungan ketidakpastian Heisenberg (lihat 5 215) mengarah pada kesimpulan bahwa persamaan gerak dalam mekanika kuantum, yang menggambarkan pergerakan mikropartikel dalam berbagai medan gaya, harus ada persamaan yang akan mengikuti nilai-nilai yang diamati secara eksperimental sifat gelombang partikel. Persamaan utama harus berupa persamaan fungsi gelombang Ψ (x, y, z, t), karena justru ini, atau lebih tepatnya, besaran |Ψ| 2, menentukan peluang suatu partikel berada pada waktu t dalam volume dV, yaitu pada daerah dengan koordinat x dan x+dx, y dan y+dy, z dan z+dz. Karena persamaan yang diperlukan harus memperhitungkan sifat gelombang partikel, maka persamaan tersebut harus mempertimbangkannya persamaan gelombang, mirip dengan persamaan yang menjelaskan gelombang elektromagnetik.

Persamaan dasar mekanika kuantum nonrelativistik dirumuskan pada tahun 1926 oleh E. Schrödinger. Persamaan Schrödinger, seperti semua persamaan dasar fisika (misalnya persamaan Newton dalam mekanika klasik dan persamaan Maxwell untuk mekanika klasik) medan elektromagnetik), tidak diturunkan, tetapi didalilkan. Kebenaran persamaan ini ditegaskan oleh kesesuaian dengan pengalaman atas hasil yang diperoleh dengan bantuannya, yang, pada gilirannya, memberinya karakter hukum alam. Persamaan Schrödinger memiliki bentuk

dimana h=h/(2π), m adalah massa partikel, ∆ adalah operator Laplace ( ),

Saya- satuan imajiner, kamu (x, y, z, t) - fungsi potensial partikel dalam medan gaya tempat ia bergerak, Ψ (x, y, z, t ) - dicari fungsi gelombang partikel.

Persamaan (217.1) berlaku untuk partikel apa pun (dengan putaran sama dengan 0; lihat § 225) yang bergerak dengan kecepatan rendah (dibandingkan dengan kecepatan cahaya), yaitu dengan kecepatan υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

harus berkesinambungan; 3) fungsi |Ψ| 2 harus dapat diintegrasikan; kondisi ini dalam kasus paling sederhana direduksi menjadi kondisi normalisasi probabilitas (216.3).

Untuk sampai pada persamaan Schrödinger, perhatikan partikel yang bergerak bebas, yang menurut gagasan de Broglie, berhubungan dengan gelombang bidang. Untuk mempermudah, kami mempertimbangkan kasus satu dimensi. Persamaan gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu x mempunyai bentuk (lihat § 154)

Atau dalam rekaman yang kompleks . Oleh karena itu, gelombang bidang de Broglie mempunyai bentuk

(217.2)

(diperhitungkan bahwa ω = E/h, k=p/h). Dalam mekanika kuantum, eksponen diambil dengan tanda minus, tetapi karena hanya |Ψ| yang mempunyai arti fisis. 2 , maka ini (lihat (217.2)) tidak penting. Kemudian

,

; (217.3)

Dengan menggunakan hubungan antara energi E dan momentum p (E = p 2 /(2m)) dan mensubstitusi ekspresi (217.3), kita memperoleh persamaan diferensial

yang bertepatan dengan persamaan (217.1) untuk kasus U = 0 (kami menganggap partikel bebas).

Jika suatu partikel bergerak dalam medan gaya yang bercirikan energi potensial U, maka energi total E adalah penjumlahan energi kinetik dan energi potensial. Dengan melakukan penalaran serupa dengan menggunakan hubungan antara E dan p (untuk kasus ini p 2 /(2m)=E -U), kita sampai pada persamaan diferensial yang bertepatan dengan (217.1).

Alasan di atas tidak boleh dianggap sebagai turunan dari persamaan Schrödinger. Mereka hanya menjelaskan bagaimana seseorang bisa sampai pada persamaan ini. Bukti kebenaran persamaan Schrödinger adalah kesesuaian dengan pengalaman atas kesimpulan yang dihasilkannya.

Persamaan (217.1) adalah persamaan umum Schrödinger. Persamaan ini juga disebut persamaan Schrödinger bergantung waktu. Untuk banyak fenomena fisika yang terjadi di dunia mikro, persamaan (217.1) dapat disederhanakan dengan menghilangkan ketergantungan pada waktu, dengan kata lain, carilah persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner – keadaan dengan nilai energi tetap. Hal ini dimungkinkan jika medan gaya tempat partikel bergerak diam, yaitu fungsi U = U(x, y, z ) tidak bergantung secara eksplisit pada waktu dan mempunyai arti energi potensial. Dalam hal ini, penyelesaian persamaan Schrödinger dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua fungsi, salah satunya merupakan fungsi koordinat saja, yang lain hanya waktu, dan ketergantungan terhadap waktu dinyatakan dengan pengali.

,

di mana E - energi total partikel, konstan dalam kasus medan stasioner. Substitusikan (217.4) ke (217.1), kita peroleh

dari mana, setelah membaginya dengan faktor persekutuan e – i (E/ h) t dan transformasi yang sesuai, kita sampai pada persamaan yang mendefinisikan fungsi ψ:

(217.5)

Persamaan (217.5) disebut persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner.

Persamaan ini memasukkan energi total E partikel sebagai parameter. Dalam teori persamaan diferensial terbukti bahwa persamaan tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga, dari mana solusi yang mempunyai arti fisis dipilih dengan menerapkan kondisi batas. Untuk persamaan Schrödinger, kondisi berikut adalah syarat keteraturan fungsi gelombang: fungsi gelombang harus berhingga, bernilai tunggal, dan kontinu beserta turunan pertamanya. Jadi, hanya solusi yang dinyatakan dengan fungsi reguler ψ yang mempunyai arti fisis sebenarnya . Tetapi solusi reguler tidak terjadi untuk nilai parameter E apa pun, tetapi hanya untuk himpunan nilai tertentu, yang merupakan karakteristik dari masalah tertentu. Nilai energi ini disebut nilai eigen. Solusi yang sesuai dengan nilai eigen energi disebut fungsi eigen. Nilai eigen E dapat berupa deret kontinu atau deret diskrit. Dalam kasus pertama mereka berbicara tentang spektrum kontinu atau padat, dalam kasus kedua - tentang spektrum diskrit.

Menurut cerita rakyat yang tersebar luas di kalangan fisikawan, kejadiannya seperti ini: pada tahun 1926, seorang fisikawan teoretis bernama berbicara di seminar ilmiah di Universitas Zurich. Dia berbicara tentang ide-ide baru yang aneh di udara, tentang bagaimana benda-benda mikroskopis sering kali berperilaku lebih seperti gelombang daripada partikel. Kemudian seorang guru tua meminta untuk berbicara dan berkata: “Schrödinger, tidakkah kamu melihat bahwa semua ini tidak masuk akal? Atau tidakkah kita semua tahu bahwa gelombang hanyalah gelombang yang bisa dijelaskan dengan persamaan gelombang?” Schrödinger menganggap ini sebagai penghinaan pribadi dan mulai mengembangkan persamaan gelombang untuk mendeskripsikan partikel dalam kerangka mekanika kuantum - dan mengatasi tugas ini dengan cemerlang.

Penjelasan perlu dibuat di sini. Dalam dunia kita sehari-hari, energi ditransfer melalui dua cara: melalui materi ketika berpindah dari satu tempat ke tempat lain (misalnya, lokomotif yang bergerak atau angin) - partikel berpartisipasi dalam transfer energi tersebut - atau melalui gelombang (misalnya, gelombang radio yang ditransmisikan oleh pemancar yang kuat dan ditangkap oleh antena televisi kita). Artinya, dalam makrokosmos tempat Anda dan saya tinggal, semua pembawa energi dibagi menjadi dua jenis - sel (terdiri dari partikel material) atau gelombang. Selain itu, setiap gelombang dijelaskan oleh jenis persamaan khusus - persamaan gelombang. Tanpa kecuali, semua gelombang - gelombang laut, gelombang batuan seismik, gelombang radio dari galaksi jauh - dijelaskan dengan persamaan gelombang yang sama. Penjelasan ini diperlukan untuk memperjelas bahwa jika kita ingin merepresentasikan fenomena dunia subatom dalam kaitannya dengan distribusi probabilitas gelombang (lihat Mekanika Kuantum), gelombang ini juga harus dijelaskan dengan persamaan gelombang yang sesuai.

Schrödinger menerapkan persamaan diferensial klasik fungsi gelombang pada konsep gelombang probabilitas dan memperoleh persamaan terkenal yang menyandang namanya. Sama seperti persamaan fungsi gelombang biasa yang menggambarkan perambatan, misalnya, riak di permukaan air, persamaan Schrödinger menjelaskan perambatan gelombang dengan kemungkinan menemukan partikel pada titik tertentu di ruang angkasa. Puncak gelombang ini (titik probabilitas maksimum) menunjukkan di mana partikel tersebut kemungkinan besar akan berakhir. Meskipun persamaan Schrödinger termasuk dalam bidang matematika tingkat tinggi, persamaan ini sangat penting untuk memahami fisika modern sehingga saya akan menyajikannya di sini - dalam bentuknya yang paling sederhana (yang disebut "persamaan Schrödinger stasioner satu dimensi"). Fungsi gelombang distribusi probabilitas di atas, dilambangkan dengan huruf Yunani (psi), adalah solusi dari persamaan diferensial berikut (tidak apa-apa jika Anda tidak memahaminya; yakinlah bahwa persamaan ini menunjukkan bahwa probabilitas berperilaku seperti gelombang ): :

Gambaran peristiwa kuantum yang diberikan oleh persamaan Schrödinger adalah bahwa elektron dan partikel elementer lainnya berperilaku seperti gelombang di permukaan laut. Seiring waktu, puncak gelombang (sesuai dengan lokasi di mana elektron paling mungkin berada) bergerak dalam ruang sesuai dengan persamaan yang menggambarkan gelombang tersebut. Artinya, apa yang secara tradisional kita anggap sebagai partikel berperilaku seperti gelombang di dunia kuantum.

Ketika Schrödinger pertama kali mempublikasikan hasilnya, badai terjadi di dunia fisika teoretis. Faktanya adalah bahwa hampir pada saat yang sama, karya kontemporer Schrödinger, Werner Heisenberg, muncul (lihat Prinsip Ketidakpastian Heisenberg), di mana penulis mengemukakan konsep "mekanika matriks", di mana masalah mekanika kuantum yang sama diselesaikan. dalam bentuk matriks sudut pandang matematika lain yang lebih kompleks. Keributan ini disebabkan oleh fakta bahwa para ilmuwan hanya takut bahwa dua pendekatan yang sama-sama meyakinkan untuk menggambarkan dunia mikro akan saling bertentangan. Kekhawatirannya sia-sia. Pada tahun yang sama, Schrödinger sendiri membuktikan kesetaraan lengkap dari kedua teori tersebut - yaitu, persamaan matriks mengikuti persamaan gelombang, dan sebaliknya; hasilnya identik. Saat ini, versi Schrödinger (kadang-kadang disebut "mekanika gelombang") yang digunakan karena persamaannya tidak terlalu rumit dan lebih mudah untuk diajarkan.

Namun, tidak mudah untuk membayangkan dan menerima bahwa elektron berperilaku seperti gelombang. Dalam kehidupan sehari-hari, kita menjumpai partikel atau gelombang. Bola adalah sebuah partikel, suara adalah gelombang, dan hanya itu. Dalam dunia mekanika kuantum, segala sesuatunya tidak sesederhana itu. Faktanya - dan eksperimen segera menunjukkan hal ini - di dunia kuantum, entitas berbeda dari objek yang kita kenal dan memiliki sifat berbeda. Cahaya, yang kita anggap sebagai gelombang, terkadang berperilaku seperti partikel (disebut foton), dan partikel seperti elektron dan proton dapat berperilaku seperti gelombang (lihat Prinsip Komplementaritas).

Masalah ini biasanya disebut sifat gelombang partikel ganda atau ganda dari partikel kuantum, dan tampaknya merupakan karakteristik semua objek di dunia subatom (lihat teorema Bell). Kita harus memahami bahwa di dunia mikro, gagasan intuitif kita yang biasa tentang bentuk materi dan bagaimana perilakunya tidak berlaku. Fakta bahwa kita menggunakan persamaan gelombang untuk menggambarkan pergerakan benda yang biasa kita anggap sebagai partikel adalah bukti nyata akan hal ini. Sebagaimana dicatat dalam Pendahuluan, tidak ada kontradiksi khusus dalam hal ini. Lagi pula, kita tidak punya alasan kuat untuk percaya bahwa apa yang kita amati di makrokosmos seharusnya direproduksi secara akurat di tingkat mikrokosmos. Namun sifat ganda partikel elementer tetap menjadi salah satu aspek mekanika kuantum yang paling membingungkan dan meresahkan bagi banyak orang, dan tidak berlebihan untuk mengatakan bahwa semua masalah dimulai oleh Erwin Schrödinger.

Ensiklopedia oleh James Trefil “Sifat Sains. 200 hukum alam semesta."

James Trefil adalah profesor fisika di Universitas George Mason (AS), salah satu penulis buku sains populer Barat yang paling terkenal.

Max Planck, salah satu pendiri mekanika kuantum, mengemukakan gagasan kuantisasi energi, mencoba menjelaskan secara teoritis interaksi antara gelombang elektromagnetik dan atom yang baru ditemukan dan dengan demikian memecahkan masalah radiasi benda hitam. Dia menyadari bahwa untuk menjelaskan spektrum emisi atom yang diamati, kita harus berasumsi bahwa atom memancarkan dan menyerap energi dalam porsi (yang oleh ilmuwan disebut kuanta) dan hanya pada frekuensi gelombang individu.

Benda yang benar-benar hitam yang sepenuhnya menyerap radiasi elektromagnetik dari frekuensi berapa pun, ketika dipanaskan, memancarkan energi dalam bentuk gelombang yang didistribusikan secara merata ke seluruh spektrum frekuensi.

Kata “kuantum” berasal dari bahasa Latin quantum (“berapa banyak, berapa banyak”) dan bahasa Inggris quantum (“kuantitas, porsi, kuantum”). “Mekanika” telah lama menjadi nama yang diberikan pada ilmu tentang pergerakan materi. Oleh karena itu, istilah “mekanika kuantum” berarti ilmu tentang pergerakan materi dalam beberapa bagian (atau, dalam bahasa ilmiah modern, ilmu tentang pergerakan materi yang terkuantisasi). Istilah “kuantum” diciptakan oleh fisikawan Jerman Max Planck untuk menggambarkan interaksi cahaya dengan atom.

Salah satu fakta dunia subatom adalah bahwa objek-objeknya - seperti elektron atau foton - sama sekali tidak mirip dengan objek-objek biasa di dunia makro. Mereka berperilaku tidak seperti partikel atau gelombang, tetapi seperti formasi yang benar-benar khusus yang menunjukkan sifat gelombang dan sel tergantung pada keadaan. Membuat pernyataan adalah satu hal, tetapi menghubungkan aspek gelombang dan partikel dari perilaku partikel kuantum, dan mendeskripsikannya dengan persamaan yang tepat adalah hal lain. Hal inilah yang sebenarnya dilakukan dalam hubungan de Broglie.

Dalam kehidupan sehari-hari, ada dua cara untuk mentransfer energi di ruang angkasa - melalui partikel atau gelombang. Dalam kehidupan sehari-hari, tidak terlihat kontradiksi antara kedua mekanisme transfer energi tersebut. Jadi, bola basket adalah sebuah partikel, dan suara adalah gelombang, dan semuanya jelas. Namun, dalam mekanika kuantum, segala sesuatunya tidak sesederhana itu. Bahkan dari eksperimen paling sederhana dengan objek kuantum, segera menjadi jelas bahwa prinsip dan hukum dunia makro yang kita kenal tidak berlaku di dunia mikro. Cahaya, yang biasa kita anggap sebagai gelombang, terkadang berperilaku seolah-olah terdiri dari aliran partikel (foton), dan partikel elementer, seperti elektron atau bahkan proton masif, sering kali menunjukkan sifat-sifat gelombang.

Yang terpenting, Einstein memprotes perlunya menggambarkan fenomena dunia mikro dalam kaitannya dengan probabilitas dan fungsi gelombang, dan bukan dari posisi koordinat dan kecepatan partikel yang biasa. Itulah yang dia maksud dengan "melempar dadu". Dia menyadari bahwa menggambarkan pergerakan elektron berdasarkan kecepatan dan koordinatnya bertentangan dengan prinsip ketidakpastian. Namun, menurut Einstein, harus ada beberapa variabel atau parameter lain, dengan mempertimbangkan gambaran mekanika kuantum dunia mikro akan kembali ke jalur integritas dan determinisme. Artinya, tegasnya, bagi kita sepertinya Tuhan sedang bermain dadu dengan kita, karena kita tidak memahami segalanya. Oleh karena itu, dialah orang pertama yang merumuskan hipotesis variabel tersembunyi dalam persamaan mekanika kuantum. Hal ini terletak pada kenyataan bahwa elektron sebenarnya memiliki koordinat dan kecepatan yang tetap, seperti bola bilyar Newton, dan prinsip ketidakpastian serta pendekatan probabilistik terhadap penentuannya dalam kerangka mekanika kuantum adalah hasil dari ketidaklengkapan teori itu sendiri, yaitu mengapa hal itu tidak memungkinkan mereka untuk menentukan secara pasti.

Yulia Zotova

Anda akan mempelajari: Teknologi apa yang disebut kuantum dan mengapa. Apa keunggulan teknologi kuantum dibandingkan teknologi klasik? Apa yang bisa dan tidak bisa dilakukan oleh komputer kuantum. Bagaimana fisikawan membuat komputer kuantum. Kapan itu akan dibuat.

Fisikawan Perancis Pierre Simon Laplace mengajukan pertanyaan penting tentang apakah segala sesuatu di dunia ini ditentukan sebelumnya oleh keadaan dunia sebelumnya, atau apakah suatu sebab dapat menimbulkan beberapa akibat. Seperti yang diharapkan oleh tradisi filsafat, Laplace sendiri dalam bukunya “Exposition of the World System” tidak mengajukan pertanyaan apapun, melainkan mengatakan jawaban yang sudah jadi bahwa ya, segala sesuatu di dunia ini telah ditentukan sebelumnya, namun seperti yang sering terjadi dalam filsafat, gambaran dunia yang dikemukakan oleh Laplace tidak meyakinkan semua orang sehingga jawabannya menimbulkan perdebatan seputar masalah tersebut yang berlanjut hingga saat ini. Terlepas dari pendapat beberapa filsuf bahwa mekanika kuantum menyelesaikan masalah ini demi pendekatan probabilistik, namun teori predeterminasi lengkap Laplace, atau disebut juga teori determinisme Laplace, masih dibahas hingga saat ini.

Gordey Lesovik

Beberapa waktu yang lalu, saya dan sekelompok rekan penulis mulai menurunkan hukum kedua termodinamika dari sudut pandang mekanika kuantum. Misalnya, dalam salah satu rumusannya, yang menyatakan bahwa entropi sistem tertutup tidak berkurang, biasanya meningkat, dan terkadang tetap konstan jika sistem diisolasi secara energetik. Dengan menggunakan hasil yang diketahui dari teori informasi kuantum, kami telah memperoleh beberapa kondisi yang membuat pernyataan ini benar. Di luar dugaan, ternyata kondisi tersebut tidak sejalan dengan kondisi sistem isolasi energi.

Profesor fisika Jim Al-Khalili mengeksplorasi teori ilmiah yang paling tepat dan paling membingungkan - fisika kuantum. Pada awal abad ke-20, para ilmuwan menyelami kedalaman materi yang tersembunyi, bahan penyusun subatom dunia di sekitar kita. Mereka menemukan fenomena yang berbeda dari apa yang terlihat sebelumnya. Dunia dimana segala sesuatu bisa berada di banyak tempat pada waktu yang sama, dimana realitas hanya benar-benar ada jika kita mengamatinya. Albert Einstein menolak gagasan bahwa esensi alam didasarkan pada kebetulan. Fisika kuantum menyiratkan bahwa partikel subatom dapat berinteraksi lebih cepat daripada kecepatan cahaya, yang bertentangan dengan teori relativitasnya.

Perkenalan

Diketahui bahwa mata kuliah mekanika kuantum adalah salah satu mata kuliah yang paling sulit untuk dipahami. Hal ini disebabkan bukan karena peralatan matematika yang baru dan “tidak biasa”, tetapi terutama karena sulitnya memahami gagasan revolusioner, dari sudut pandang fisika klasik, yang mendasari mekanika kuantum dan kompleksitas dalam menafsirkan hasilnya.

Di sebagian besar buku teks mekanika kuantum, penyajian materi biasanya didasarkan pada analisis solusi persamaan stasioner Schrödinger. Namun, pendekatan stasioner tidak memungkinkan seseorang untuk secara langsung membandingkan hasil penyelesaian masalah mekanika kuantum dengan hasil klasik serupa. Selain itu, banyak proses yang dipelajari dalam mata kuliah mekanika kuantum (seperti perjalanan partikel melalui penghalang potensial, peluruhan keadaan kuasi-stasioner, dll.) pada prinsipnya bersifat non-stasioner dan, oleh karena itu, dapat dapat dipahami secara penuh hanya berdasarkan solusi persamaan non-stasioner Schrödinger. Karena jumlah masalah yang dapat dipecahkan secara analitis sedikit, penggunaan komputer dalam proses mempelajari mekanika kuantum sangatlah relevan.

Persamaan Schrödinger dan makna fisis solusinya

Persamaan gelombang Schrödinger

Salah satu persamaan dasar mekanika kuantum adalah persamaan Schrödinger, yang menentukan perubahan keadaan sistem kuantum dari waktu ke waktu. Itu tertulis dalam formulir

dimana H adalah operator Hamilton sistem, yang bertepatan dengan operator energi jika tidak bergantung pada waktu. Jenis operator ditentukan oleh properti sistem. Untuk gerak nonrelativistik suatu partikel bermassa dalam medan potensial U(r), operatornya nyata dan dinyatakan dengan jumlah operator energi kinetik dan energi potensial partikel tersebut.

Jika suatu partikel bergerak dalam medan elektromagnetik, maka operator Hamilton akan menjadi kompleks.

Meskipun persamaan (1.1) merupakan persamaan orde pertama dalam waktu, namun karena adanya satuan imajiner, persamaan tersebut juga mempunyai solusi periodik. Oleh karena itu, persamaan Schrödinger (1.1) sering disebut persamaan gelombang Schrödinger, dan penyelesaiannya disebut fungsi gelombang bergantung waktu. Persamaan (1.1) dengan bentuk operator H yang diketahui memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai fungsi gelombang pada waktu berikutnya, jika nilai ini diketahui pada waktu awal. Jadi, persamaan gelombang Schrödinger mengungkapkan prinsip kausalitas dalam mekanika kuantum.

Persamaan gelombang Schrödinger dapat diperoleh berdasarkan pertimbangan formal berikut. Dalam mekanika klasik diketahui energi diberikan sebagai fungsi koordinat dan momentum

kemudian transisi ke persamaan klasik Hamilton-Jacobi untuk fungsi aksi S

dapat diperoleh dari (1.3) dengan transformasi formal

Dengan cara yang sama, persamaan (1.1) diperoleh dari (1.3) dengan meneruskan dari (1.3) ke persamaan operator melalui transformasi formal

jika (1.3) tidak mengandung hasil kali koordinat dan momentum, atau mengandung hasil kali keduanya, setelah diteruskan ke operator (1.4), saling berpindah-pindah. Menyamakan setelah transformasi ini hasil aksi fungsi operator ruas kanan dan kiri dari persamaan operator yang dihasilkan, kita sampai pada persamaan gelombang (1.1). Namun, transformasi formal ini tidak boleh dianggap sebagai turunan dari persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger adalah generalisasi data eksperimen. Hal ini tidak diturunkan dalam mekanika kuantum, sama seperti persamaan Maxwell tidak diturunkan dalam elektrodinamika, prinsip aksi terkecil (atau persamaan Newton) dalam mekanika klasik.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa persamaan (1.1) terpenuhi untuk fungsi gelombang

menggambarkan gerak bebas suatu partikel dengan nilai momentum tertentu. Secara umum, validitas persamaan (1.1) dibuktikan dengan persetujuan pengalaman dari semua kesimpulan yang diperoleh dengan menggunakan persamaan ini.

Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (1.1) menyiratkan persamaan yang penting

menunjukkan bahwa normalisasi fungsi gelombang berlanjut seiring waktu. Mari kita kalikan (1.1) di sebelah kiri dengan fungsi *, dan konjugasi kompleks persamaan ke (1.1) dengan fungsi dan kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama yang diperoleh; lalu kita temukan

Mengintegrasikan hubungan ini pada semua nilai variabel dan dengan mempertimbangkan kedekatan diri operator, kita memperoleh (1.5).

Jika kita mensubstitusikan ke dalam relasi (1.6) ekspresi eksplisit dari operator Hamilton (1.2) untuk gerak suatu partikel dalam medan potensial, maka kita sampai pada persamaan diferensial (persamaan kontinuitas)

di mana adalah kepadatan probabilitas, dan vektornya

dapat disebut vektor kerapatan arus probabilitas.

Fungsi gelombang kompleks selalu dapat direpresentasikan sebagai

dimana dan merupakan fungsi real waktu dan koordinat. Jadi, kepadatan probabilitas

dan probabilitas kepadatan arus

Dari (1.9) dapat disimpulkan bahwa j = 0 untuk semua fungsi yang fungsinya tidak bergantung pada koordinat. Khususnya, j= 0 untuk semua fungsi nyata.

Solusi persamaan Schrödinger (1.1) dalam kasus umum diwakili oleh fungsi kompleks. Menggunakan fungsi yang kompleks cukup nyaman, meski tidak perlu. Alih-alih menggunakan satu fungsi kompleks, keadaan sistem dapat dijelaskan dengan dua fungsi nyata dan memenuhi dua persamaan terkait. Misalnya, jika operator H real, maka dengan mensubstitusi fungsi tersebut ke dalam (1.1) dan memisahkan bagian real dan imajiner, kita memperoleh sistem dua persamaan.

dalam hal ini, kepadatan probabilitas dan kepadatan arus probabilitas akan berbentuk

Fungsi gelombang dalam representasi impuls.

Transformasi Fourier dari fungsi gelombang mencirikan distribusi momentum dalam keadaan kuantum. Diperlukan persamaan integral untuk potensial dengan transformasi Fourier sebagai intinya.

Larutan. Ada dua hubungan yang saling berbanding terbalik antara fungsi dan.

Jika relasi (2.1) digunakan sebagai definisi dan operasi diterapkan padanya, maka dengan mempertimbangkan definisi fungsi 3 dimensi,

sebagai hasilnya, seperti yang mudah dilihat, kita mendapatkan hubungan terbalik (2.2). Pertimbangan serupa digunakan di bawah ini dalam menurunkan relasi (2.8).

lalu untuk transformasi Fourier dari potensi yang kita miliki

Dengan asumsi fungsi gelombang memenuhi persamaan Schrödinger

Mengganti ekspresi (2.1) dan (2.3) di sini sebagai ganti dan, masing-masing, kita peroleh

Dalam integral ganda, kita berpindah dari integrasi pada suatu variabel ke integrasi pada suatu variabel, dan sekali lagi menyatakan variabel baru ini dengan. Integral over hilang untuk nilai apa pun hanya jika integran itu sendiri sama dengan nol, tetapi kemudian

Ini adalah persamaan integral yang diinginkan dengan transformasi Fourier dari potensi sebagai kernel. Tentu saja, persamaan integral (2.6) hanya dapat diperoleh jika ada transformasi potensial Fourier (2.4); untuk ini, misalnya, potensinya harus berkurang dalam jarak yang jauh setidaknya sebesar, dimana.

Perlu diperhatikan dari kondisi normalisasi

kesetaraan mengikuti

Hal ini dapat ditunjukkan dengan mensubstitusikan ekspresi (2.1) untuk fungsi tersebut ke dalam (2.7):

Jika kita pertama kali melakukan integrasi di sini, kita dapat dengan mudah memperoleh relasi (2.8).

Heisenberg dibawa pada kesimpulan bahwa persamaan gerak dalam mekanika kuantum, yang menggambarkan pergerakan mikropartikel di berbagai medan gaya, harus menjadi persamaan yang akan mengikuti sifat gelombang partikel yang diamati secara eksperimental. Persamaan yang mengatur harus berupa persamaan fungsi gelombang Ψ (x, y, z, t), karena justru ini, atau lebih tepatnya, kuantitas |Ψ| 2, menentukan probabilitas kehadiran suatu partikel pada momen waktu tertentu T dalam volume Δ V, yaitu di daerah dengan koordinat X Dan x + dx, y Dan y + hari, z Dan z+ dz.

Persamaan dasar mekanika kuantum nonrelativistik dirumuskan pada tahun 1926 oleh E. Schrödinger. Persamaan Schrödinger, seperti semua persamaan dasar fisika (misalnya persamaan Newton dalam mekanika klasik dan persamaan Maxwell untuk medan elektromagnetik), tidak diturunkan, tetapi dipostulatkan. Kebenaran persamaan ini ditegaskan oleh kesesuaian dengan pengalaman atas hasil yang diperoleh dengan bantuannya, yang, pada gilirannya, memberinya karakter hukum alam.

Persamaan umum Schrödinger adalah:

Di mana ? =h/(2π), M- massa partikel, Δ - Operator Laplace , Saya- satuan imajiner, kamu(x, y, z, t) adalah fungsi potensial partikel dalam medan gaya tempat ia bergerak, Ψ( x, y, z, t) adalah fungsi gelombang partikel yang diinginkan.

Persamaan (1) berlaku untuk setiap partikel (dengan putaran sama dengan 0) yang bergerak dengan kecepatan rendah (dibandingkan dengan kecepatan cahaya), yaitu. υ "Dengan.

Itu dilengkapi dengan syarat-syarat, ditumpangkan pada fungsi gelombang:

1) fungsi gelombang harus berhingga, tidak ambigu dan kontinu;

2) turunan harus berkesinambungan;

3) fungsi |Ψ| 2 harus dapat diintegrasikan (kondisi ini dalam kasus paling sederhana direduksi menjadi kondisi normalisasi probabilitas).

Persamaan (1) disebut persamaan Schrödinger bergantung waktu.

Untuk banyak fenomena fisik yang terjadi di dunia mikro, persamaan (1) dapat disederhanakan dengan menghilangkan ketergantungan pada waktu, yaitu. temukan persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner – keadaan dengan nilai energi tetap. Hal ini dimungkinkan jika medan gaya di mana partikel bergerak diam, yaitu fungsinya kamu = kamu(x, kamu,z) tidak secara eksplisit bergantung pada waktu dan mempunyai arti energi potensial. Dalam hal ini, solusi persamaan Schrödinger dapat direpresentasikan dalam bentuk

. (2)

Persamaan (2) disebut persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner.

Persamaan ini memasukkan energi total sebagai parameter E partikel. Dalam teori persamaan diferensial terbukti bahwa persamaan tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga, dari mana solusi yang mempunyai arti fisis dipilih dengan menerapkan kondisi batas. Untuk persamaan Schrödinger, kondisinya adalah kondisi keteraturan fungsi gelombang: Fungsi baru harus berhingga, tidak ambigu, dan kontinu beserta turunan pertamanya.

Jadi, hanya solusi yang dinyatakan dengan fungsi reguler Ψ yang mempunyai arti fisis sebenarnya. Namun solusi reguler tidak dilakukan untuk nilai parameter apa pun E, tetapi hanya untuk sekumpulan tugas tertentu, yang merupakan karakteristik dari tugas tertentu. Nilai energi ini disebut nilai eigen . Solusi yang sesuai dengan nilai eigen energi disebut fungsi eigen . Nilai eigen E dapat membentuk rangkaian kontinu atau diskrit. Dalam kasus pertama mereka berbicara tentang spektrum kontinu atau padat, dalam kasus kedua - tentang spektrum diskrit.

Partikel dalam "sumur potensial" persegi panjang satu dimensidengan “dinding” yang sangat tinggi

Mari kita lakukan analisis kualitatif terhadap solusi persamaan Schrödinger seperti yang diterapkan pada partikel dalam “sumur potensial” persegi panjang satu dimensi dengan “dinding” yang sangat tinggi. “Lubang” seperti itu dijelaskan oleh energi potensial dari bentuk tersebut (untuk mempermudah kita berasumsi bahwa partikel bergerak sepanjang sumbu X)

Di mana aku adalah lebar “lubang”, dan energi dihitung dari dasarnya (Gbr. 2).

Persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner pada kasus permasalahan satu dimensi akan ditulis dalam bentuk:

. (1)

Menurut kondisi masalah (“dinding” yang sangat tinggi), partikel tidak menembus melampaui “lubang”, oleh karena itu kemungkinan deteksinya (dan, akibatnya, fungsi gelombang) di luar “lubang” adalah nol. Di batas “lubang” (at X= 0 dan x = 1) fungsi gelombang kontinu juga harus hilang.

Oleh karena itu, syarat batas dalam hal ini berbentuk:

Ψ (0) = Ψ ( aku) = 0. (2)

Di dalam “lubang” (0 ≤ X≤ 0) persamaan Schrödinger (1) akan direduksi menjadi persamaan:

atau . (3)

Di mana k 2 = 2mE / ? 2.(4)

Solusi umum persamaan diferensial (3):

Ψ ( X) = A dosa kx + B karena kx.

Karena menurut (2) Ψ (0) = 0, maka B = 0. Maka

Ψ ( X) = A dosa kx. (5)

Kondisi Ψ ( aku) = A dosa kl= 0 (2) dijalankan hanya ketika kl = nπ, Di mana N- bilangan bulat, mis. itu perlu

k = nπ/l. (6)

Dari ekspresi (4) dan (6) berikut ini:

(N = 1, 2, 3,…), (7)

yaitu, persamaan stasioner Schrödinger, yang menggambarkan gerak suatu partikel dalam “sumur potensial” dengan “dinding” yang sangat tinggi, dipenuhi hanya untuk nilai eigen E hal, bergantung pada bilangan bulat P. Oleh karena itu, energi E hal partikel-partikel dalam “sumur potensial” dengan “dinding” yang sangat tinggi hanya menerima saja nilai diskrit tertentu, yaitu terkuantisasi.

Nilai energi terkuantisasi E hal dipanggil tingkat energi dan nomornya P, yang menentukan tingkat energi suatu partikel disebut bilangan kuantum utama. Jadi, mikropartikel dalam “sumur potensial” dengan “dinding” yang tingginya tak terhingga hanya dapat berada pada tingkat energi tertentu. E hal, atau, seperti yang mereka katakan, partikel tersebut berada dalam keadaan kuantum P.

Substitusikan ke (5) nilainya k dari (6), kita menemukan fungsi eigen:

.

Konstanta integrasi A kita temukan dari kondisi normalisasi, yang untuk kasus ini akan ditulis dalam bentuk:

.

Sebagai hasil integrasi kita memperoleh , dan fungsi eigennya akan berbentuk:

(N = 1, 2, 3,…). (8)

Grafik fungsi eigen (8) yang berhubungan dengan tingkat energi (7) di N= 1,2,3, ditunjukkan pada Gambar. 3, A. Pada Gambar. 3, B menunjukkan kepadatan probabilitas untuk mendeteksi partikel pada berbagai jarak dari “dinding” lubang, sama dengan ‌‌‌‌‌‌ Ψ N(X)‌ 2 = Ψ N(X)·Ψ N * (X) Untuk n = 1, 2 dan 3. Dari gambar tersebut dapat disimpulkan bahwa, misalnya, dalam keadaan kuantum dengan n= 2, sebuah partikel tidak bisa berada di tengah-tengah “lubang”, dan seringkali juga bisa berada di bagian kiri dan kanannya. Perilaku partikel ini menunjukkan bahwa konsep lintasan partikel dalam mekanika kuantum tidak dapat dipertahankan.

Dari persamaan (7) dapat disimpulkan bahwa interval energi antara dua tingkat yang berdekatan adalah sama dengan:

Misalnya untuk elektron dengan dimensi sumur aku= 10 -1 m (elektron bebas dalam logam) , Δ E n ≈ 10 -35 · N J ≈ 10 -1 6 N eV, yaitu Tingkat energi terletak sangat dekat sehingga spektrumnya secara praktis dapat dianggap kontinu. Jika dimensi sumur sebanding dengan ukuran atom ( aku ≈ 10 -10 m), maka untuk elektron Δ E n ≈ 10 -17 N J ≈ 10 2 N eV, yaitu Jelas diperoleh nilai energi diskrit (spektrum garis).

Jadi, penerapan persamaan Schrödinger pada sebuah partikel dalam “sumur potensial” dengan “dinding” yang sangat tinggi menghasilkan nilai energi yang terkuantisasi, sedangkan mekanika klasik tidak memberlakukan batasan apa pun pada energi partikel tersebut.

Selain itu, pertimbangan mekanika kuantum terhadap masalah ini mengarah pada kesimpulan bahwa sebuah partikel “dalam sumur potensial” dengan “dinding” yang sangat tinggi tidak dapat memiliki energi kurang dari energi minimum yang sama dengan π 2 ? 2 /(2t1 2). Kehadiran energi minimum bukan nol bukanlah suatu kebetulan dan berasal dari hubungan ketidakpastian. Ketidakpastian koordinat Δ X partikel dalam “lubang” yang lebar aku sama dengan Δ X= aku.

Kemudian, menurut hubungan ketidakpastian, impuls tidak dapat mempunyai nilai pasti, dalam hal ini nol. Ketidakpastian momentum Δ R ≈ jam/l. Penyebaran nilai momentum ini sesuai dengan energi kinetik E menit ≈(Δ P) 2 / (2M) = ? 2 / (2ml 2). Semua level lainnya ( hal> 1) memiliki energi melebihi nilai minimum ini.

Dari rumus (9) dan (7) dapat disimpulkan bahwa untuk bilangan kuantum besar ( N"1) Δ E n / E p ≈ 2/N“1, yaitu tingkat yang berdekatan letaknya berdekatan: semakin dekat semakin dekat P. Jika N sangat besar, maka kita dapat berbicara tentang urutan level yang hampir berkesinambungan dan ciri khas proses kuantum - keleluasaan - diperhalus. Hasil ini merupakan kasus khusus dari prinsip korespondensi Bohr (1923), yang menyatakan bahwa hukum mekanika kuantum harus diubah menjadi hukum fisika klasik pada nilai bilangan kuantum yang besar.