無限の積分限界を持つ 19 個の不適切な積分。 不適切な積分

呼ばれた 不適切な積分 関数からF(バツ) 上限は無限です。この制限が存在し、有限である場合、不適切な積分が呼び出されます。 収束。 しかし、それが存在しないか等しい場合は、
± ¥ の場合、この不適切な積分は次のように呼ばれます。 発散。

もし F(バツ) ≥ 0 すべてのために バツ ≥ あ、 それ U不適切な積分 (6.1) には明らかな幾何学的意味があり、これは通常の定積分の幾何学的意味 (4.3) から導き出されます。 確かに、図によれば、 5.14

(6.2)

(6.3)

ここ S¥ - 軸方向に無限に広がる領域 おお曲線台形 (図 5.15)。 その広がりは無限であるにもかかわらず、有限であることが判明することもあります。 しかし、図によれば、これは起こり得ることです。 5.15の場合のみ Y = F(バツ) → 0時 バツ → ¥ 。 それでも、関数が Y = F(バツ) → 0時 バツ → ¥ 十分に速いです。

例1. エリアを探す S¥ 、図に示されています。 5.16

,
1年以来 B → ¥ で B → ¥ .

それで、 S¥ =円。 そして、これは、関数が バツ → ¥ 。 不適切な積分、つまり発散します。

例2。 エリアを探す S¥ 、図に示されています。 5.17。

ここ S¥ = 1. つまり、無限に広がった領域が有限であることが判明しました。 これは、次の被積分関数関数が原因で発生しました。 バツ → ¥ 十分に高速です (少なくとも前の例の被積分関数よりもはるかに高速です)。 不適切な積分 (数値)。収束することを意味します。

例 3 . 不適切な積分が収束するか発散するかを調べます。

解決 . この積分を計算してみましょう。

存在しない。 これは、関数のグラフの動作を思い出せば明らかです。 Y= = 罪 バツ(正弦波) バツ → ¥ 。 したがって、それは存在しない、つまり発散することを意味します。 ただし、被積分関数 cos であるため、これは他の方法ではあり得ません。 バツ次の場合にはゼロになる傾向はありません × →¥ .

タイプの不適切な積分を計算するとき、および通常の定積分を計算するときは、ニュートン・ライプニッツの公式をすぐに適用できることに注意してください。

本当に：

値が F(¥ ) が存在し有限である場合、ニュートン・ライプニッツの公式 (6.4) によれば、不適切な積分も収束します。

注記。無限の上限を持つ積分とまったく同じように、無限の下限を持つ不適切な積分、さらには両方の無限の積分限界を持つ積分を考えることができます。 つまり、次の形式の積分です。

それらを計算するには、ニュートン-ライプニッツの公式を使用することもできます。

例4.

それで、 (数値)、つまり、この積分は収束します。 その値 π は面積に等しい S¥ 図に示す両方向に無限に拡張された図形。 5.18

無限の積分限界を持つ不適切な積分の収束発散という事実自体が、これらの積分の直接計算によって確立される必要はないことに注意してください。 この問題は、この不適切な積分を、収束発散がすでに確立されている他の積分と比較することによって、はるかに簡単に解決できることがよくあります。

たとえば、誰にとっても不平等があるとします。 F(バツ) £ G(バツ), どこ Y = F(バツ) そして Y = G(バツ) - 2 つの連続した非負関数 (図 5.19)。 そうすれば、それは明らかです

不等式 (6.6) と図より。 5.19 は明らかに、いわゆる 不適切な積分の比較テスト:

機能としては G(バツ) 、この関数は間隔で比較されます。 F(バツ), この関数はよく使用され、積分は比較積分として使用されます。 あ > 0 および任意の α 関数は正の連続関数であり、

例5。

解決。 それは明らかです すべてのために バツ Î 任意の点選択の要件に違反しています 部分的なセグメントでは選択できません =と、この時点での関数の値は未定義であるためです。 ただし、これらの場合でも、極限まで別の通路を導入することによって、定積分の概念を一般化することができます。 無限区間にわたる積分および不連続 (無制限) 関数にわたる積分は呼び出されます。 あなた自身のものではありません.

意味。

機能させましょう
間隔 [ ある; ) 任意の有限区間で積分可能です [ ある; b]、つまり 存在します
誰にも b > ある。 種類の制限
呼ばれた 不適切な積分 第一種 (または無限区間にわたる不適切な積分) を示します。
.

したがって、定義により、
=
.

右辺の極限が存在し、有限である場合、不適切な積分は
呼ばれた 収束する 。 この極限が無限であるか、まったく存在しない場合、彼らは、不適切な積分であると言います。 発散する .

同様に、関数の不適切な積分の概念を導入できます。
間隔に沿って (–; b]:

=
.

そして関数の不適切な積分
区間 (–; +) にわたる は、上で紹介した積分の合計として定義されます。

=
+
,

どこ あ– 任意の点。 この積分は両方の項が収束すると収束し、少なくとも 1 つの項が発散すると発散します。

幾何学的な観点から見ると、積分は
,
、関数のグラフによって上に境界付けられる無限に湾曲した台形の面積の数値を決定します
、左 - まっすぐ
、下から - OX 軸によって。 積分の収束は、そのような台形の有限領域の存在と、可動右側壁を備えた曲線台形の領域の限界との等しいことを意味します。
.

無限極限を持つ積分の場合、次のように一般化できます。 ニュートン・ライプニッツの公式:

=
= F( + ) – F( ある),

ここで、F( + ) =
。 この制限が存在する場合、積分は収束します。それ以外の場合、積分は発散します。

定積分の概念を無限区間の場合に一般化することを検討しました。

ここで、無制限関数の場合の一般化を考えてみましょう。

意味

機能させましょう
間隔 [ ある; b)、ポイントの近くの一部では無制限です b、任意の間隔で連続的です
、ここで、>0 (したがって、この区間で積分可能です。つまり、
存在します）。 種類の制限
呼ばれた 第二種不適切積分 (または無制限関数の不適切な積分) で表されます。
.

したがって、点における非有界の不適切な積分は、 b関数は定義上存在します

=
.

右側の極限が存在し、有限である場合、積分は次のように呼ばれます。 収束する。 有限極限がない場合、不適切な積分が呼び出されます。 発散する。

同様に、関数の不適切な積分を定義できます。
点で無限の不連続性がある あ:

=
.

関数の場合
内点に無限のギャップがあります と
の場合、不適切な積分は次のように定義されます。

=
+
=
+
.

この積分は両方の項が収束すると収束し、少なくとも 1 つの項が発散すると発散します。

幾何学的観点から見ると、非有界関数の不適切積分は、非有界湾曲台形の面積も特徴付けます。

不適切積分は、定積分から極限まで通過することによって導出されるので、定積分のすべての特性を (適切な改良を加えて) 第 1 種および第 2 種の不適切積分に移すことができます。

不適切な積分を引き起こす多くの問題では、この積分が何に等しいかを知る必要はなく、その収束または発散を検証するだけで十分です。 このために彼らは使用します 収束の兆し. 不適切な積分の収束の兆候:

1) 比較記号.

みんなのためにしましょう バツ

。 そうすると、
収束し、その後収束する
、 そして

。 もし
発散し、次に発散し、
.

2) 収束した場合
、その後収束し、
(この場合の最後の積分は 絶対に収束する).

非有界関数の不適切な積分の収束と発散の兆候は、上で定式化したものと似ています。

問題解決の例。

例1.

A)
; b)
; V)

G)
; d)
.

解決。

a) 定義により、次のようになります。

.

b) 同様に

したがって、この積分は収束し、次と等しくなります。 .

c) 定義上
=
+
、 そして あ– 任意の数。 ケースに入れてみましょう
そうすると、次のようになります。

この積分は収束します。

これは、この積分が発散することを意味します。

e) 考えてみましょう
。 被積分関数の逆微分を求めるには、部分積分法を適用する必要があります。 すると、次のようになります。

どちらでもないので
、 または
存在しない、その後は存在しない、そして

したがって、この積分は発散します。

例2。

積分の収束を調べる に応じて P.

解決。

で
我々は持っています：

もし
、 それ
そして 。 したがって、積分は発散します。

もし
、 それ
、A
、 それから

= ,

したがって、積分は収束します。

もし
、 それ

したがって、積分は発散します。

したがって、

例 3.

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

A)
; b)
; V)
.

解決。

a) 一体型
は第 2 種の不適切な積分です。
ある時点で限定されない

。 次に、定義により、

.

積分は収束し、次と等しくなります。 .

b) 検討してください
。 ここでも被積分関数はその時点では制限されていません
。 したがって、この積分は第 2 種としては不適切であり、定義上、

したがって、積分は発散します。

c) 検討してください
。 被積分関数
次の 2 つの点で無限のギャップが発生します。
そして
、その最初の部分は積分区間に属します
。 したがって、この積分は第 2 種の不適切な積分になります。 そうすると、定義上、

=

=

.

したがって、積分は収束し、次と等しくなります。
.

2第一種不適切積分は、次の形式の積分と呼ばれます。被積分関数は、積分のセクション全体にわたって連続であると想定されます。

2 極限が存在し、有限である場合、不適切な積分は収束し、以下に等しいと言われます。

積分 と も同様に定義されます。

(8.21)
どこ あ– 任意の実数。 さらに、彼らは最後の積分について、その構成積分が両方とも収束する場合にのみ収束すると述べています。

問題8.10。

解決。

したがって、積分は発散します。

問題8.11。不適切な積分を計算します。

解決。

この積分は収束します。

2 第 2 種不適切積分は、次の形式の積分と呼ばれます。ここで、被積分関数は f(バツ) 有限セグメント上に無限の不連続点があります [ ある; b]。 第 2 種不適正積分は、区間上の不連続点の位置に応じて、異なる方法で定義されます [ ある; b].

1) 次の関数があるとします。 f(バツ) 積分領域 ( cÎ( ある; b)) セグメントの他の点 [ ある; b] 関数は連続であると仮定されます。

次に、極限と存在が有限である場合、積分は収束して次と等しいと言います。

. (8.22)
2) 関数の不連続点を 1 つだけとします。 f(バツ) 点と一致します あ

. (8.23)
3) 関数の不連続点を 1 つだけとします。 f(バツ) 点と一致します b。 そして、極限が存在し有限であれば、積分は収束して次と等しいと言います。

. (8.24)
全体を通して、e > 0 および d > 0 であると想定されます。

問題8.12。不適切な積分を計算します。

解決。 バツ= 2. したがって、

問題8.13。不適切な積分を計算します。

解決。被積分関数には次の点で第 2 種不連続性があります。 バツ= 0 (積分領域内)。 したがって、

最初の限界は存在し、有限ですが、2 番目の限界は無限 (at) に等しくなります。 したがって、この積分は発散します。

第9章 いくつかの変数の関数

§9.1。 意味 n-次元ユークリッド空間 Rn。

多くの変数の関数の学習に進む前に、次の概念を紹介することが役立ちます。 n-次元空間 n = 1, 2, 3,… .

2ドット ×n- 次元空間 (ベクトル) は順序付けられたコレクションです n実数。

番号が呼ばれます 私ベクトルの 番目の座標。

2 2点間の距離 n-次元空間であり、次の式で決定されます。

点から点までの距離 バツベクトルの係数と呼ばれる バツと指定されています。 式 (9.1) から、次のことがわかります。

で n-次元空間では、スカラー積の概念が自然に導入されます。

ベクトル間の角度 バツそして y次の式で決定できます。

先ほどと同様に、ベクトル バツそして yは、そのスカラー積がゼロの場合にのみ垂直になります。

2全点セット n- 式 (9.1) に従って距離が定義され、スカラー積が呼び出される次元空間 n-次元ユークリッド ベクトル空間であり、 で表されます。

いつ n= 1 の場合、スペースはラインと一致します。 n= 2 – 飛行機の場合、およびケースの場合 n= 3 – スペースあり。

2 と をさせます。 となるようなすべての点の集合は次のように呼ばれます。 n- 点の中心にある測定されたボール バツまたは e- ポイントの近傍 バツ空間では で表されます。

座標形式では、この定義は次のようになります。

直系の場合、つまり で n= 1、点の近傍は半径点を中心とする区間です e。 飛行機の場合、つまり で n= 2、点の近傍は半径点を中心とする白円になります。 e。 空間の場合、つまり で n= 3 点の近傍は半径点を中心とする開いた球です e.

§9.2。 いくつかの変数の関数の定義領域。 連続

2 機能 n変数は、以下から構成される各セットに従う規則 (法則) です。 nある領域から取得された変数 DN-次元空間は単一の数値に割り当てられます z。 最も単純な場合。

2 2 変数の関数は、各点が従う規則 (法則) です。 M(バツ; y)、ある地域に属する D飛行機 xOy、単数に一致します z.

座標を持つ空間内の多くの点が特定の面 (図 9.1) を形成し、その領域の上に隆起します。 D(2 変数関数の幾何学的意味)。

2 エリア D上記の対応関係が構築される、関数の定義域と呼ばれます。

問題9.1。関数のドメインを見つける

解決。必要な定義領域は平面上の点の集合です xOy、不平等系を満たします。 次の線が交差する場合、不等式とその符号は (それぞれ) 逆に変わります。 バツ = yそして バツ = 0, y= 0。これらの線は平面を分割します。 xOy 6つの地域向け。 一貫して、各領域の任意の点をシステムに代入することにより、領域 (1) と (3) の和集合が元の関数の定義領域であると確信します。 しかも真っ直ぐです バツ = y点 (0; 0) を除いて、直線は定義領域に含まれます。 バツ= 0、および y= 0 – 含まれません (図 9.2)。

2 領域の閉包は空間内の点の集合であり、それぞれの近傍には領域の点が含まれます。 D.

たとえば、次のようにしましょう。 D– 飛行機上の一部の空き領域（境界線は含まれません） xOy。 次に、領域への場合、領域の閉包が取得されます。 D境界線を付ける G .

2 あるエリアに入れてください D飛行機 xOy関数が与えられ、領域の終点のある点とします。 D()。 番号 あはその点における関数の極限と呼ばれます M任意の数値の場合は 0 e> 0 そのような数字があります δ > 0、これは点以外のすべての点に対して M 0 とそこからの距離未満 δ 、不等式が満たされます。

2 関数がこの点 () で定義され、等式が成り立つ場合、その関数はその点で連続的であると呼ばれます。

§9.3。 2 変数関数のレベルライン

2 平面上の線 xOy、方程式 で与えられます。 と– 関数レベルラインと呼ばれる任意の定数。

レベル ラインは、サーフェス、特定の関数、および平面の交差線です。 z = C、平面に平行 xOy。 レベル ラインを使用すると、関数で指定されたサーフェスの形状を調べることができます。

例9.2。レベルラインを見つけて、方程式で与えられる表面の形状を決定します。

この場合のレベル ラインの方程式は次の形式になります。 Cで< 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy）。 で C= 0 1 つの点だけがレベル ライン方程式を満たす バツ = 0, y= 0 (平面あり) xOyサーフェスは座標の原点でのみ交差します)。 で C> 0 のレベル ラインは、半軸と を備えた楕円です。 さまざまな値に対応するレベル ライン と、図に示されています。 9.3. この方程式で定義される面を楕円放物面といいます(図9.4)。

§9.4。 一次偏導関数

どこかの地域に入れてください D飛行機 xOy関数が与えられており、領域内の特定の点です D.

バツ

, (9.2)

2 変数に関するある点における関数の偏導関数 y( または で示される) と呼ばれる

, (9.3)
この制限が存在し、有限である場合。

2 偏微分関数 nある時点での変数を変数ごとに x i呼ばれた

, (9.4)
この制限が存在し、有限である場合。

式 (9.2) ～ (9.4) からわかるように、偏導関数は 1 つの変数の関数の導関数を決定するのと同じ方法で決定されます。 制限を計算するとき、変数のうち 1 つだけが増分を受け取り、残りの変数は増分を受け取らず、一定のままになります。 したがって、偏導関数は、すべての自由変数 (微分を行う変数を除く) を定数として扱い、通常の導関数と同じルールを使用して計算できます。

問題9.3。関数の偏導関数を求める

解決。 .

問題9.4。関数の偏導関数を求めます。

解決。与えられた関数を変数に関して微分するとき バツべき乗関数を微分するためのルールを使用し、変数に関する偏導関数を求めるときに使用します。 y– 指数関数を微分するための規則:

問題9.5。その点における関数の偏導関数を計算します。

解決。複素関数の微分規則を適用して、偏導関数を求めます。

点の座標を偏導関数に代入する M、 我々が得る

§9.5。 複数の変数の関数の勾配。
方向導関数

2 ある点における関数の勾配は、指定された点で計算された指定された関数の偏導関数で構成されるベクトルです。

2 ベクトルの方向のある点における関数の導関数は、その点で計算されたこの関数の勾配ベクトルの投影です。 M 0 、この方向に

式 (2.6) に従ってベクトルのベクトルへの射影を計算すると、次のようになります。

. (9.7)
どこにあることに気づきますか ある– ベクトルが軸となす角度 牛、ベクトルの方向に関する導関数を計算するための別の式が得られます。

問題9.6。ある点における関数の勾配を求める M 0 (4; 2) およびベクトルの方向に関する導関数

解決。偏導関数を求めてみましょう

点における偏導関数の値を計算してみましょう M 0:

ある点における関数の勾配 M 0 は式 (9.5) を使用して求められます。

問題9.7。時点で M 0 (0; 1) 2 番目の座標角の二等分線の方向の関数の導関数を計算します。

解決。関数の偏導関数を求めてみましょう。

偏導関数の値とその点での関数の勾配を計算してみましょう M 0:

ある点における関数の導関数 M 2 番目の座標角の二等分線の方向に 0 (この方向は軸と一致します) 牛コーナー ある= 135°) は、式 (9.8) を使用して求めることができます。

§9.6。 複数の変数の関数の微分
とその近似計算への応用

1 ある点で関数に連続偏導関数 と がある場合、その点から移動するときのその合計増分 M 0 から点までは次のように表すことができます。

, (9.9)
どこで 、 。

2 この式は、その点における関数の全微分と呼ばれます。

式 (9.9) から、関数の微分は関数の合計増分の主要な線形部分であることがわかります。 十分に小さい D の場合 バツそしてD y式は微分より大幅に小さいため、無視できます。 したがって、次の近似式が得られます。

. (9.10)
コメント。式 (9.10) を使用すると、点 に十分近い点でのみ関数の値を近似的に計算できます。 値が小さいほど、式 (9.9) で求められる値はより正確になります。

例9.8。微分を使用して近似的に計算します。

機能を考えてみましょう。 価値を計算する必要がある zこの関数のポイント ( バツ 1 ; y 1) = (0.09; 6.95)。 点として点 (0; 7) を選択し、近似式 (9.9) を使用しましょう。 それからD バツ = バツ 1 – バツ 0 = 0.09 – 0 = 0.09、D y =y 1 – y 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.

したがって、

§9.7。 高次の偏導関数

エリア内に入れてください Dこの領域内で連続偏導関数を持つ関数が与えられます。 したがって、その地域では、 D 2 つの変数と の 2 つの新しい連続関数が得られました。 その地域のどこかの時点で D関数と変数の両方に関して偏導関数があります バツ、そして変更により yの場合、これらの導関数は関数の 2 次導関数と呼ばれます。 それらは次のように指定されます。

1 エリア内のどこかの時点で D関数には連続混合微分値 と があり、これらの微分値が等しい点では、 になります。 D、次の条件を満たす必要があります: D = 32 – 9 = 23。

判別式はゼロより大きいため、次の点で M関数には極値があります。 つまり、極小値です。 あそして とゼロ以上の。 その中で

無限積分限界を持つ不適切な積分

このような不適切な積分は、第 1 種不適切な積分とも呼ばれます。.gif" width="49" height="19 src=">"。

あまり一般的ではありませんが、無限の下限または 2 つの無限の限界を持つ積分です。

最も一般的なケースを検討します https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? いいえ、いつもではありません。 被積分関数https://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

被積分関数のグラフを図に描いてみましょう。 この場合の典型的なグラフと湾曲した台形は次のようになります。

不適切な積分https://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">"、つまり面積も無限です。 そうかもしれない。この場合、彼らは、不適切な積分であると言います。 発散する.

2) しかし。 逆説的に聞こえるかもしれませんが、無限の図形の面積は...有限の数と等しくなります。 例: .. 2 番目のケースでは、不適切な積分 収束する.

無限に曲がった台形が軸の下にある場合はどうなりますか?.gif" width="217" height="51 src=">。

: .

例1

被積分関数 https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23"> これは、すべてが正常であり、不適切な積分が「」を使用して計算できることを意味します。標準」方式。

私たちの公式の適用 https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

つまり、不適切な積分は発散し、影付きの曲線台形の面積は無限大に等しくなります。

不正積分を解くときは、基本的な初等関数のグラフがどのようなものであるかを知ることが非常に重要です。

例 2

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

絵を描いてみましょう:

まず、次のことに注意してください。被積分関数は半区間で連続です。 良いですね。.gif" width="327" height="53">

(1) べき乗関数の最も単純な積分をとります (この特殊なケースは多くの表にあります)。 以降の計算の邪魔にならないように、マイナスを限界記号の外側にすぐに配置することをお勧めします。

(2) ニュートン・ライプニッツの公式を使用して上限と下限を代入します。

(3) https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (皆さん、これは長い間理解する必要があります) であることを指摘します。少し前)、答えを簡略化します。

ここで、無限曲線台形の面積は有限数です！ 信じられないけど本当です。

例 3

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

被積分関数は 上で連続です。

まず、逆微分関数（不定積分）を求めてみましょう。

被積分関数はテーブル積分のどれに似ていますか? 逆正接を思い出させます。 。 これらの考慮事項は、分母に 2 乗があるとよいことを示唆しています。 これは交換によって行われます。

置き換えてみましょう:

チェックを実行すること、つまり、得られた結果を区別することは常に役立ちます。

ここで、不適切な積分を見つけます。

(1) 式に従って解を書きます 。 さらなる計算を妨げないように、定数を直ちに限界記号を超えて移動することをお勧めします。

(2) ニュートン・ライプニッツの公式に従って上限と下限を代入します。.gif" width="56" height="19 src=">? すでに繰り返し推奨されている記事の逆正接グラフを参照してください。

(3) 最終的な答えが得られます。 暗記しておくと役に立つ事実。

上級者は、不定積分を個別に求めて置換法を使用せず、微分符号の下の関数を代入して不適切な積分を「すぐに」解く方法を使用する場合があります。 この場合、解決策は次のようになります。

“

被積分関数は https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104"> で連続しています。
“

例 4

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

! これは典型的な例であり、同様の積分は非常に頻繁に見つかります。 うまくやってください！ ここでは、完全な正方形を分離する方法を使用して、逆微分関数が求められます。

例5

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

この積分は詳細に解くことができます。つまり、まず変数を変更して不定積分を求めます。 あるいは、関数を微分符号の下に包含することで、「すぐに」解決することもできます。

無制限関数の不適切な積分

このような不適切な積分は、第 2 種不適切な積分と呼ばれることもあります。 第 2 種の不適切な積分は、通常の定積分の下で気づかぬうちに「暗号化」され、まったく同じように見えます: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) または点 , 3)または両方のポイントを一度に、または統合セグメントについても検討します。ケース 3 ～ 4 については、記事の最後に追加のレッスンへのリンクがあります。

明確にするための単なる例: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41"> すると、分母はゼロになります。つまり、この時点では被積分関数は単に存在しません。

一般に、不適切な積分を解析する場合、 常に両方の積分極限を被積分関数に代入する必要があります。..jpg" alt="不適切な積分、積分下限の不連続点" width="323" height="380">!}

ここでは、すべてが第 1 種積分の場合とほぼ同じです。
私たちの積分は、上からの境界がない、影付きの湾曲した台形の面積に数値的に等しくなります。 この場合、不適切な積分が発散する (面積が無限である) か、不適切な積分が有限数に等しい (つまり、無限の図形の面積が有限である) という 2 つの選択肢があります。

あとはニュートン・ライプニッツの公式を修正するだけです。 また、制限の助けを借りて変更されますが、制限はもはや無限になる傾向はありませんが、 貴ぶhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> 右に.

例6

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

被積分関数にはある点で無限の不連続性があります (すべてが上限内で問題がないことを口頭またはドラフトで確認することを忘れないでください)。

まず、不定積分を計算してみましょう。

交換：

不適切な積分を計算してみましょう。

(1) ここで何が新しいのですか? ソリューション技術に関してはほとんど何もありません。 唯一変更されたのは、制限アイコンの下のエントリです。 この追加は、右側の値を目指していることを意味します (これは論理的です - グラフを参照)。 極限理論におけるこのような極限は片側極限と呼ばれます。 この場合、右手の制限があります。

(2) ニュートン・ライプニッツの公式を使用して上限と下限を代入します。

(3) https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. 式をどこに配置するかを決定する方法を理解しましょう。大まかに言うと、では、値を代入し、4 分の 3 を代入して、答えをコームすることを示すだけです。

この場合、不適切な積分は負の数に等しくなります。

例 7

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

例8

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

その時点で被積分関数が存在しない場合

このような不適切な積分の無限曲線台形は、基本的に次のようになります。

ここでは、制限が次の傾向にあることを除いて、すべてがまったく同じです。 貴ぶhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> 限界点に限りなく近づけなければなりません 左.

時々、このような不適切な積分は、 第二種不適切積分。 第 2 種の不適切な積分は、通常の定積分の下で気づかぬうちに「暗号化」され、まったく同じように見えます。

ただし、定積分とは異なり、被積分関数には無限の不連続性があります (存在しません)。

1) 点で、

2) ポイント、

3) 両方のポイントで同時に、

4) または積分間隔でも。

最初の 2 つのケースを見ていきます。ケース 3 ～ 4 については、記事の最後に追加のレッスンへのリンクがあります。

明確にするために例を見てみましょう。

定積分のようです。 しかし、実際には、これは第 2 種の不適切な積分です。被積分関数に代入すると、下限の値が

その場合、分母はゼロになります。つまり、この時点では被積分関数は単に存在しません。

不正積分を解析する場合 常に両方の積分極限を被積分関数に代入する必要があります。。 この点に関して、上限を確認してみましょう。

ここではすべてが順調です。 考慮中の不適切な積分のタイプの曲線台形は、基本的に次のようになります。

ここでは、すべてが第 1 種積分の場合とほぼ同じです。 私たちの積分は、上からの境界がない、影付きの湾曲した台形の面積に数値的に等しくなります。 この場合、不適切な積分が発散する (面積が無限である)、または不適切な積分が有限数に等しい (無限の図形の面積が有限である場合) という 2 つのオプションがあります。

あとはニュートン・ライプニッツの公式を修正するだけです。 また、制限の助けを借りて変更されますが、制限はもはや無限になる傾向はありませんが、 貴ぶ 右側。図面から軸に沿ってトレースするのは簡単です 牛 右に.

これが実際にどのように実装されるかを見てみましょう。

例6

（上限内に問題がないことを口頭または下書きで確認することを忘れないでください。） まず、不定積分を計算してみましょう。

交換でお困りの場合はレッスンをご参照ください 不定積分の代入法.

不適切な積分を計算してみましょう。

(1) ここで何が新しいのですか? ソリューション技術に関してはほとんど何もありません。 唯一変更されたのは、制限アイコンの下のエントリです。

+0 を追加することは、右側の ¾ の値を目指していることを意味し、これは論理的です (グラフを参照)。 極限理論におけるこのような極限は、 一方的な制限。 この場合、 右側の限界.

(2) ニュートン・ライプニッツの公式を使用して上限と下限を代入します。

(3) で対処しましょう。 式がどこに行くのかを判断するにはどうすればよいでしょうか? 大まかに言えば、それに値を代入し、4 分の 3 を代入して、 であることを示すだけです。 答えを調べてみましょう。

この場合、不適切な積分は負の数に等しくなります。 これには何の罪もありません。対応する湾曲した台形が軸の下にあるだけです。 牛。 次に、独立したソリューションの例を示します。

例 7

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

例8

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

その時点で被積分関数が存在しない場合

このような不適切な積分の無限曲線台形は、基本的に次のようになります。

ここでは、制限が次の傾向にあることを除いて、すべてをまったく同じに実行します。 貴ぶ b左。軸 牛私たちは限界点に限りなく近づかなければなりません 左.

例9

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

被積分関数は次の点で無限不連続になります。 b = 3 (他の統合制限に問題がないことを口頭で確認します。)

バリエーションを増やすために、関数を微分符号の下に包含することによって、この制限をすぐに解決しましょう。 難しいと感じる人は、まずすでに説明したスキームを使用して不定積分を求めることができます。

加算 (-0) は制限があることを意味します 左利き、そして要点まで b = 3 私たちは軸に近づいています 牛 左.

なぜ分数になるのか考えてみましょう

（これは口頭または草稿で行う方が良いでしょう）。

ルートの下の制限値を置き換えます b = 3 - 0.

ついに：

不適切な積分は発散します。

マイナス記号は、対応する湾曲した台形が軸の下にあることを意味します 牛. 標識には十分注意してください。

はい、もちろん、不適切な積分は発散しますが、両方は異なるもの、異なるジャンルであり、記号に注意を払わない場合、厳密に言えば、重大な間違いを犯すことになります。

独立して検討できる最後の 2 つの例は次のとおりです。

例 10

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

例 11

不適切な積分を計算するか、その発散を確立します。

両方の統合限界が「悪い」場合、または限界点が統合セグメントに直接含まれている場合の状況の分析については、記事を参照してください。 定積分および不正積分を解くための効率的な方法.

解決策と答え:

例 4: 解決策:

.

例 5: 解決策:

被積分関数は連続です。 .

例 7: 解決策:

被積分関数は次の点で無限不連続になります。

不適切な積分は発散します。

注: 表現制限あり