必要なベクトル 
の場合、システム (1) は条件が悪いと呼ばれます。 この場合、行列の係数と右辺の誤差や計算時の丸め誤差により、解が大きく歪む可能性があります。
多くの問題を解くとき、系 (1) の右辺と行列 A の係数はおおよそわかります。 この場合、正確なシステム (1) の代わりに、別のシステムがあります。
そのような
と d の値が既知であると仮定します。
システム (1) の代わりにシステム (2) があるため、システム (1) に対する近似解しか見つけることができません。 システム (1) の近似解を構築する方法は、初期データの小さな変化に対して安定していなければなりません。
系（１）の擬似解は、空間全体にわたる不一致を最小化するベクトルである。
x 1 を からの固定ベクトルとし、通常は問題ステートメントによって決定されます。
ベクトル x 1 に関するシステム (1) の法線の解は、最小ノルムを持つ擬似解 x 0 です。
ここで、F はシステム (1) のすべての擬似解のセットです。
さらに 
ここで、¾ はベクトル x の成分です。
タイプ (1) のシステムには、正規の解が存在し、固有のものです。 条件の悪いシステムに対する正規の解を見つける問題 (1) は、不適切な設定です。
システム (1) の近似正規解を見つけるには、正則化法を使用します。
この方法に従って、次の形式の平滑化関数を構築します。
この関数を最小化するベクトルを見つけます。 また、正則化パラメータ a は条件から一意に決定されます。
どこ 
.
劣化したシステムや状態が悪いシステムは、所定の精度内では区別できない場合があります。 ただし、システム (1) の可解性に関する情報がある場合は、条件 (5) の代わりに次の条件を使用する必要があります。
コンポーネント 
ベクトルは線形代数方程式系の解であり、関数の最小値の条件から得られます (4)
そして次のように見えます
ここで E は単位行列、
¾エルミート共役行列。
実際には、ベクトルを選択するには追加の考慮事項が必要です。 存在しない場合は、=0 とみなされます。
=0 の場合、システム (7) を次の形式で書きます。
どこ 
求められたベクトルは、系 (1) の近似正規解になります。
パラメーター a の選択に焦点を当てましょう。 a=0 の場合、システム (7) は悪条件のシステムになります。 a が大きい場合、システム (7) は良好に調整されますが、正規化された解はシステム (1) の望ましい解には近づきません。 したがって、a が大きすぎても小さすぎても適切ではありません。
通常、実際には、パラメータ a のいくつかの値を使用して計算が実行されます。 例えば、
a の各値について、関数 (4) を最小化する要素を見つけます。 正則化パラメータの望ましい値は、等式 (5) または (6) が必要な精度で満たされる数値 a とみなされます。
Ⅲ． エクササイズ
1. 3 つの未知数を含む 3 つの方程式で構成され、値が 10 -6 程度の行列式をもつ線形代数方程式系を構築します。
2. 最初のシステムと同様ですが、最初のシステムの無料期間とは 0.00006 だけ異なる他の無料期間を持つ 2 番目のシステムを構築します。
3. 正則化法 (=0 および d=10 -4 と仮定) およびその他の方法 (ガウス法など) を使用して、構築されたシステムを解きます。
4. 得られた結果を比較し、使用した方法の適用可能性について結論を導き出します。
IV. 報告書の作成
レポートには以下を提示する必要があります。
1. 作品のタイトル。
2. 問題の説明。
3. 解決アルゴリズム (メソッド) の説明。
4. 説明を含むプログラムのテキスト。
5. プログラムの結果。
書誌リスト
1. チホノフ A.N.、アルセニン V.Ya。 不適切な問題を解決するための方法。 - M.: ナウカ、1979 年、286 p。
2. バフバロフ N.S.、ジドコフ N.P.、コベルコフ G.M. 数値的手法。 - 男: ビノム。 知識の実験室、2007 636 pp.
実験作品No.23
成績証明書
1 6. 縮退および悪条件の SLAE 1 6. 縮退および悪条件の SLAE ここで、サイズ MxM の正方行列 A を持つ 2 つのタイプの SLAE (27) を考えてみましょう。 条件の悪いシステム (行列式 A はゼロではありませんが、条件数が非常に大きい)。 これらのタイプの連立方程式は互いに大きく異なるという事実にもかかわらず (前者には解がありませんが、後者には解が 1 つだけあります)、コンピューターの実用的な観点からは、これらの間には多くの共通点があります。彼ら。 縮退システムは、ゼロ行列式 A =0 (特異行列) を持つ行列で記述されるシステムです。 このようなシステムに含まれる一部の方程式は他の方程式の線形結合によって表されるため、実際にはシステム自体が過小決定されます。 右側ベクトル b の特定のタイプに応じて、解が無限に存在するか、まったく存在しないかのいずれかになることは容易に理解できます。 最初のケース、特異正方行列 A を持つ SLAE A x=b が単一の解を持たない場合を考えてみましょう。 このオプションは、結局のところ、通常の擬似解を構築することになります (つまり、無限の解のセットから、特定のベクトル、たとえばゼロに最も近いものを選択します)。 このような問題の例を示します (2 つの方程式系の場合) A= , b= (37) SLAE (37) を図に示します。 これは、システムを定義する 2 つの方程式が平面上の 2 本の平行線 (x 1、x 2) を定義することを示しています。 線はどの点でも交差しません
2 2 6. 座標面の 1 点で SLAE が退化して状態が悪くなり、したがってシステムに対する解決策が存在しません。 サイズ 2x2 の正方行列によって定義される SLAE は、平面上で交差する線のペアを定義することに注意してください (下図を参照)。 システムが一貫している場合、方程式の幾何学的表現は、無限の数の解を記述する 2 本の一致する直線になるということも言っておかなければなりません。 米。 19. 互換性のない SLAE の図。 20. x 1 に依存する残差 f(x)= A x b のセクションのグラフ 考慮中の特異なケースでは、残差 A x b を最小化する系 (37) の擬似解が無限に存在することは容易に推測できます。そしてそれらは、図に示されている 2 つに平行な 3 番目の直線上にあります。 19 であり、それらの中間に位置します。 これを図に示します。 これは、残差関数 f(x) = A x b のいくつかのセクションを示しており、同じ深さの最小値のファミリーの存在を示しています。 一意の解を決定するには、疑似解のセット全体から、次の条件を満たすものを選択する必要があります。
3 6. 最小基準による、変性および状態不良の SLAE 3。 したがって、特異な場合、明確な解を得るには、多次元の最小化問題を数値的に解く必要があります。 ただし、後で説明するように、より効率的な方法は、正則化または直交行列分解を使用することです (それぞれ 7 と 10 を参照)。 次に、条件の悪いシステム、すなわち、システムに目を向けましょう。 行列 A を使用した SLAE。行列式は 0 に等しくありませんが、条件数 A -1 A が大きくなります。 条件の悪いシステムには独自の解決策があるという事実にもかかわらず、実際には、この解決策を探すのは無意味であることがよくあります。 同じ右側 b とわずかに異なる行列 A および B を持つ、非常によく似た悪条件の SLAE の 2 つの特定の例を使用して、悪条件の SLAE の特性を考えてみましょう: A= B=, b=, 3 5。 (38) ) これらのシステムが近接しているにもかかわらず、それらの正確な解は互いに非常に離れていることがわかります。つまり、 y A = , y B = (39) ノイズの存在を思い出してください。 入力データに常に存在するエラーについては、標準的な方法を使用して条件の悪いシステムを解決することはまったく意味がないことが明らかになります。 小さなモデル誤差 (行列 A とベクトル b) が大きな解誤差を引き起こす問題は不正であると呼ばれることを思い出してください。 したがって、不適切な条件の SLAE は不適切な問題の典型的な例です。 さらに、2 つの方程式系の場合、正確な解を得るのは簡単ですが、高次元の SLAE (「正確な」アルゴリズムを含む) を解く場合には注意してください。
4 4 6. 縮退した悪条件のガウス SLAE)、計算中に必然的に蓄積される小さな丸め誤差であっても、結果に大きな誤差が生じます。 問題自体が不安定であるため、数値的解法が完全に間違っていることが判明する可能性があることが事前にわかっている場合、数値的解法を探すことに意味があるのでしょうか?という疑問が生じます。 不正確さの理由をさらに理解するには、2 つの方程式の良好な状態 (図 21) と不十分に条件付けされたシステム (図 22) のグラフによる解釈を比較することが役立ちます。 システムの解は、各方程式を表す 2 本の直線の交点によって視覚化されます。 米。 21. 適切に調整された SLAE のグラフ 図 22. 不良状態の SLAE のグラフ 図から。 図２２では、条件の悪いＳＬＡＥに対応する直線が互いに近接して（ほぼ平行に）位置していることが分かる。 この点で、各ラインの位置の小さな誤差は、よく調整されたシステムの場合とは対照的に、交点 (SLAE の解) の位置を特定する際に重大な誤差を引き起こす可能性があります。線の傾きは交点の位置にほとんど影響を与えません (図 21)。
5 6. 縮退した悪条件の SLAE 5 過剰決定された (一貫性のない) SLAE (断層撮影問題など) によって与えられた実験データを再構成する場合にも、悪条件の行列が典型的であることに注意してください。 不適切な設定の問題、特に縮退した不適切な条件の SLAE を解決するために、正則化と呼ばれる非常に効果的な方法が開発されました。 これは、実際のケースでは非常に多くの場合に利用可能な、ソリューションの構造に関する追加の事前情報を考慮することに基づいています。
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7. 正則化 1 7. 正則化 不正設定問題を解決するために、ソビエトの数学者ティホノフは、正則化と呼ばれる単純だが非常に効果的な方法を提案しました。
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実験室作業その3
条件の悪い線形代数方程式系を解く
正則化方法
入力パラメータ: システムの次数 n に等しい n の正の整数。 a は、システム係数の行列を含む n x n の実数の配列です。 b - システムの自由項の列を含む n 個の実数の配列 (b(1) = b 1、b(2)=b 2、…b(n)=b n) .
出力パラメータ: x – システム ソリューション。 p 反復回数。
アルゴリズム図を図 18 に示します。
プログラムテキスト:
プロシージャ regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvector; アルファ、s1、s:実数; 最大、eps:実数; i、j、k、l:整数;
Out_Slau_T(n,a,b);
For I:=1 To n Do (A T A 受信)
For K:=1 To N Do
J:=1 から N に対して S:=S+A*A;
For I:=1 To N Do (A T B 受信)
For J:=1 To N Do
開始 S:=S+A*B[j];
アルファ:=0; (初期アルファ値)
k:=0; (反復回数)
アルファ:=アルファ+0.01; Inc(k); a2:=a1;
i:=1 から N の場合、a2:=a1+alfa を実行します。 (AT A+alfa受信中)
i:=1 から N の場合、b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i] を実行します。 (AT B+alfa受信中)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
for i:=2 to n を行う
abs(b2[i]-X[i])>max の場合、max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1.981 X2 = 0.4735
図 18 - 正則化法のアルゴリズムのスキーム
正則化法を使用して悪条件システムを解くためのタスクのバリエーションを表 3 に示します。
回転方法(ギブンズ)
アルゴリズム図を図 19 に示します。
例。 連立方程式を解く
プログラムテキスト:
手順 Vrash;
変数 I、J、K: 整数。 M、L、R: 本物。 F1:テキスト; ラベル M1、M2。
Out_Slau_T(nn,aa,b);
for i:=1 から Nn まで
For I:=1 To Nn-1 を開始します
For K:=I+1 To Nn Do Begin
(Aa0.0) の場合は M1 に移動します。(Aa0.0) の場合は M1 に移動します。
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1.0*Aa/M;
M2:For J:=1 To Nn Do Begin
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
For I:=Nn Downto 1 Do Begin
K:=0 から Nn-I-1 の場合、M:=M+Aa*Aa を開始します。 終わり;
Aa:=(Aa-M)/Aa; 終わり;
for i:=1 to Nn do x[i]:=Aa;End;
プログラムに従って計算すると、次の結果が得られました。
X1 = 1.981 X2 = 0.4735
図 19 - ギブンス法アルゴリズムのスキーム (回転)
タスクのオプション
表3
|
マトリックスA |
マトリックスA |
||||||
知識管理に関する実験室作業 No. 3 のトピックは、管理およびトレーニング プログラムで説明されています。
実験室作業その4
非線形方程式および非線形方程式系を解く
単純な反復方法
実験室作業を実行する手順:
解のゼロ近似を求めます。
システム f(x) = 0 を x = Ф(x) の形式に変換します。
メソッドの収束条件を確認します。
アルゴリズム図を図 20 に示します。
例。 単純な反復法を使用して系を解く
ゼロ近似として、点 x = 1、y = 2.2、z = 2 を選択します。システムを次の形式に変換しましょう。
プログラムテキスト:
手順 イテラズ;
変数 I、J、K、J1: 整数。
X2、X3、Eps: 実数。
Eps:=0.01; X2:=0.0; K:=1;
For J:=1 To Nn Do Begin
For I:=1 To Nn Do Begin S:=S+Aa*Xx[i]; 終わり;
J1 の場合:=1 To Nn Do Begin Xx:=R; 終わり; X3:=Xx;
For I:=1 To Nn Do Begin If (Xx[i]>=X3) then X3:=Xx[i]; 終わり;
For I:=1 To Nn Do Begin Xx[i]:=Xx[i]/X3; 終わり;
X1:=X3; U:=絶対値(X2-X1); U1:=U/絶対値(X1);
(U1>=Eps) の場合、X2:=X1;
((K>=50)or(U1 まで)
プログラムに従って計算すると、次の結果が得られました。
X(1)= 1.1132 X(2)= 2.3718 X(3)= 2.1365
反復回数:5
図 20 - 単純な反復法のアルゴリズム図
ニュートン法
このプログラムは、10 次以下の系を解くために使用できます。
入力パラメータ: n - システムの方程式の数 (未知数の数と一致します)、n ≠ 10。 解の初期推定を含む n 個の実数の x 配列。 f は外部プロシージャ f(n, x, y) の名前です。このプロシージャは、配列 x の要素にある指定された値 x に基づいて、関数 f の現在の値を計算し、それらを配列 y の要素。 g - 外部プロシージャ g(n, x, d) の名前。配列 x の指定された値 x から行列要素を計算します。 
、次元 n x n の配列 d にあります。 eps - 反復プロセスを終了するための条件の値。
出力パラメータ: x - n 個の実数の配列 (入力とも呼ばれます) には、サブルーチンを終了するときの解の近似値が含まれます。 k は反復回数です。
UDC 519.61:621.3
副社長 ボロボエフ*、VP クリメンコ*
物理的物体を記述する線形代数方程式の悪条件系を解くための 1 つのアプローチについて
ウクライナ国立科学アカデミー数学機械およびシステム問題研究所、キエフ、ウクライナ
抽象的な。 線形代数方程式系 (SLAR) によって記述される離散モデルである物理オブジェクトのモデリング結果の可能性は、行列の設計が不適切な結果としてではなく、ノード電位またはその類似の方法を使用した、折り畳まれたレベルの段階での SLAR の誤った選択の変更、および方法自体。これは、タスクを正しく設定する方法からの大きな逸脱であり、SLAR の正しさをチェックする方法によって形成されます。完全な対称行列を持つノード電位の方法が提案されており、それを正しい形式に変換する必要があります。
キーワード: システム、モデリング、間違った設定、間違った推論、線形代数方程式系、ノード ポテンシャルの方法、タスクの正しい設定方法、正しさのチェック。
注釈。 物理オブジェクトのモデリング結果の信頼性は、線形代数方程式系 (SLAE) によって記述される離散モデルですが、行列の条件の悪さではなく、SLAE 変数の誤った選択に依存することが示されています。節点ポテンシャルまたはその類似の方法を使用して方程式を作成する段階で、この方法自体が問題を正しく定式化する方法の特別な 1 つのケースです。 節点ポテンシャル法により編集された非縮退対称行列を有するＳＬＡＥの正しさをチェックし、必要に応じて正しい形式に変換する手法を提案する。
キーワード: システム、モデリング、不正設定問題、不正条件付け、線形代数方程式系、節点ポテンシャルの方法、正しい問題の定式化方法、正当性チェック。
抽象的な。 この論文は、線形代数方程式 (SLAE) 系によって記述される離散モデルである物理オブジェクトのシミュレーション結果の信頼性は、条件の悪い行列ではなく、方程式生成段階での変数 SLAE の誤った選択に依存することを示しています。ノードポテンシャル法またはその類似物によるものであり、この方法は問題を正しく記述する方法の特殊なケースです。 非特異行列と対称行列を持ち、必要に応じて正しい形式に変換するノードポテンシャル法によって作成された SLAE の正確さのチェックアウト方法が提案されました。
キーワード: システム、シミュレーション、誤った問題、不良条件、線形代数方程式系、ノード ポテンシャル法、問題を正しく記述する方法、正しさのチェックアウト。
1. はじめに
物理 (技術) オブジェクトのモデリングに関する多くの問題は、最終的には線形代数方程式 (SLAE) 系を解くことに帰着します。 このようなシステムを解く際のすべての計算は有限の有効数字を使用して実行されるため、丸め誤差により精度が大幅に失われる可能性があります。 条件が不十分な (不安定な) システム、またはより一般的な定式化では、間違って提示された問題は、一定レベルの入力データ エラーと計算精度を考慮すると、解の精度が保証されない問題であると考えられます。 条件番号は、SLAE を解く際に起こり得るエラーの事前の最悪推定値として使用されます。 文献からわかるように、不正設定問題を解決するための方法の開発は、多くの問題の数値的解決が可能であるという事実にもかかわらず、物理的 (技術的) オブジェクトの特徴は考慮されない純粋に数学的問題として考えられています。数理物理学と複雑な物理プロセスの数学的モデリングの研究
© ボロボエフ副社長、クリメンコ副社長、2014
フクロウと技術システムは、線形代数の問題の無尽蔵の源です。 リストされたクラスの問題については、解決方法を開発するときに、SLAE をコンパイルする段階は考慮されません。SLAE をコンパイルする段階では、何らかの方法で特定の問題の特徴を考慮することが可能です。 この段階を考慮する必要があるという事実は、以下の研究の結果によって確認されます。
まず第一に、SLAE を解く際の精度の損失が小さく、条件数の値が大きい行列の例を提供する研究に注目する価値があります。つまり、一般に受け入れられている基準が SLAE の条件番号に基づいて SLAE を解く精度を事前に評価することは必要ですが、十分ではありません。 不適切な問題を解決するためのまったく新しいアプローチが現在提案されています。 それは、条件数の値が大きい場合であっても、ＳＬＡＥを解く精度を高めるために、物体の離散モデルを記述する段階で、ＳＬＡＥを正しく構成することが提案されているという事実にある。 これは、研究で報告されているように、そのような行列が存在することだけでなく、オブジェクトの離散モデルを記述する SLAE 行列を正しくコンパイルするための方法が提案されていることも意味します。 SLAE の行列をコンパイルする方法は、電気回路、電力システム、力学の棒系、および数理物理の楕円方程式の動作をモデル化する問題に関連して検討されます。
この方法の本質は、既存の方法とは異なり、SLAE を形成する際に、対象を絞った変数の選択によって物理オブジェクトの離散モデルのパラメーターが考慮されることです。 この方法は、離散モデル トポロジがグラフで表されるオブジェクトにのみ適用できることに注意してください。
この要件は、電気回路と電力システムの設計モデルによって満たされます。 複雑な物理プロセス、技術システム、および数理物理の数学的モデリングの多くの問題では、グラフの形式での離散モデルのトポロジーの表現は使用されません。 これらの研究は、物理オブジェクトの離散モデルの設計スキームの要素のトポロジーをグラフの形式で表現することによって、上記の制限が取り除かれることを示しています。 要素のトポロジーをグラフで表現する方法もあります。
本論文では、離散モデルのトポロジーがグラフ形式で表現されていない場合に、誤って提示された問題を修正する方法を提案する。 この方法を開発する際には、数理物理学および複雑な物理プロセスおよび技術システムの問題の離散モデルを記述するための一般に受け入れられている方法 (節点ポテンシャル法) が、SLAE 行列を正しくコンパイルするための方法の特殊なケースであるという事実を考慮します。 。
2. 物体の離散モデルを記述するSLAEの解の精度と方程式の組み立て方法との関係
学者ヴォエヴォディン V.V. は、ガウス法を使用して SLAE を解く結果の精度が最も高くなるのは、主要素を選択してこの方法を使用した場合に達成されることをその研究で示しました。 この考えに基づいて膨大な数の作品が出版されています。 しかし、実際の問題を解くと、特に条件の悪い行列の場合、SLAE を解く精度が丸め誤差によって大幅に失われることがわかりました。つまり、解の段階で結果の精度を向上させるには、それだけでは十分ではありません。主要な要素を選択してガウス法を使用するだけです。
このアイデアのさらなる発展は、研究で提案されている方法であり、オブジェクトの離散モデルの記述を編集する段階で、行列の対角要素を主要な要素として形成することが提案されています。 これを行うには、記述をコンパイルするときに追加情報、つまり離散モデルのパラメーターが使用されます。 このアプローチの有効性、つまり、離散的要素を記述する SLAE の解の精度の依存性
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方程式の組み立て方から物体の新しいモデルをモデル例を用いて説明します。 以下では、メイン要素を選択する場合と選択しない場合に、で説明した方法を使用してモデル例の説明とその解決策をコンパイルすることを検討します。
図 1 に示す電気回路をモデル例として選択しました。 1.
米。 1. 電気回路
電気回路を記述する SLAE の条件は、回路コンポーネントの導電率 (抵抗) 値の広がりの範囲に依存することが知られています。 電気回路の構成要素の導電率の変化の選択範囲は 15 次に等しいため、SLAE の条件が悪く、一般に信じられているように、問題が正しくないことが保証されます。 ノード 2 の電位 (G2 成分の電圧) を計算する例を使用して、電気回路の記述を作成する際の、計算結果の信頼性の対角要素の形成方法への依存性を分析します。
以下は、正しい問題定式化の方法を使用してモデル例を解くために必要な主な規定です。 この方法を使用した電気回路の数学的モデルの構築は、コンポーネント方程式とキルヒホッフの法則に基づいてまとめられた方程式を含む電気回路の基本方程式系に基づいています。 モデルの例では、成分方程式は次の形式になります。
ここで、U i はコンポーネントの両端で降下した電圧、I はコンポーネントを流れる電流、Gt はコンポーネントの導電率です。
電気回路のグラフを記述し、それに応じてキルヒホッフの法則に基づく方程式を記述するには、等高線と断面の位相行列が使用されます。 回路図は電気回路と一致します。 等高線とセクションのトポロジー行列のコンパイルには、回路グラフ ツリーの選択と、選択したツリーの等高線の描画が含まれます。 電気回路グラフのツリーは、すべての電圧源がツリーに含まれ、すべての電流源がコードに含まれるように選択されます。 回路コンポーネントの電圧ベクトル U と電流 I の要素は、ツリー (インデックス D) に含まれる要素、つまり枝と弦 (インデックス X) にグループ化されます。
等高線は、回路グラフ ツリーにコードを結合することによって形成されます。 この場合
等高線の位相行列は次の形式になります。
ここで、1 はコードの単位部分行列、t です。
行列の転置を示し、セクションのトポロジカル行列は |1 -F の形式になります。ここで 1 はブランチの単位部分行列です。 から次のように、行列の対角項は
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回路内のツリーコンポーネントの導電率が最大の導電率を持つ場合の主な導電率になります。 トポロジカル行列の種類を考慮すると、キルヒホッフの法則に基づいてまとめられた回路方程式は、次のように行列形式で書くことができます。
彼らの =-ɑid、(3)
コンパイルされた連立方程式の変数は、主連立方程式の分析の結果として、コンポーネントの電圧および/または電流から選択されます。 ツリーの枝に含まれるコンポーネントが可変電圧として選択された場合、コンポーネント方程式 (1) および方程式 (3)、(4) は次の形式に変形できます。
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0。
以下に、モデル例の方程式の作成を示します。 まず、行列の対角項を中心に電気回路を記述します。 この要件は、ツリーに含まれるコンポーネント E1、G6、G3、G2 のセットによって満たされます (図 1 では、ツリーの枝が太線で強調表示されています)。 次のコンポーネントの電圧と電流のベクトルは、選択したツリーに対応します。
と位相行列
式 (5) は、(6)、(7)、および変換後の成分方程式を考慮すると、次の形式になります。
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
行列の固有値 \= 1.5857864376253、R2 = 5.0E +14+j5.0E +14、A = 5.0E +14 - j5.0E +14 であるため、SLAE (8) は悪条件です。 システムを解く結果の精度が方程式を構成するオプションの選択にどのように依存するかを判断するために、ノード 2 のポテンシャル Uq の計算が一般的な形式で実行されます。
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(g1+g2+g4+g5)-
計算プロセスの分析 (9-11) から、導電率値の変化の範囲が広い (15 桁) にもかかわらず、数値表現の最終的な精度については厳密な要件がないことがわかります。方程式を作成するときとそれを解くとき。 信頼できる結果を得るには、有効数字 2 桁までの数値を表す精度で SLAE をコンパイルおよび解く計算プロセスを実行するだけで十分です。
SLAE (8) では、行列 G+G4+G5I の 2 行目 (列) の対角要素が、残りの項の合計よりも大幅に (15 桁) 大きいことに注意してください。
行 (列) | G4+2G51。 これは、UG = 0 とすれば、SLAE を単純化できることを意味します。
(8) 結果の信頼性を維持します。 手動で数えていた時代、この技術はノード 2 と 3 を組み合わせることに相当しました (図 1)。
2 番目のケース (対角要素を主要素として選択しない) では、ツリー内のコンポーネント Ex、G6、G4、G2 を選択するだけで十分です (図 1 では、ツリーの枝は破線でマークされています)
ライン）。 これらのコンポーネントでの電圧降下は、ゼロ ノードから数えて 1、4、3、2 のノード電位に対応します。 これは、ツリー内のコンポーネントをこのように選択すると、SLAE 行列を正しく構成する方法が節点ポテンシャルの方法と一致することを意味します。 次のコンポーネントの電圧と電流のベクトルは、選択したツリーとコードに対応します。
U D = UG UG G4、Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4、Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ig G2 G5
と位相行列
式 (5) は、(12)、(13) および成分方程式を考慮すると、次のようになります。
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G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 うお。 = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
連立方程式 (14) は行列の固有値 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015 を持つため、悪条件です。 例の最初のバージョンと同様に、ノード 2 の潜在的な UG は一般的な形式で計算されます。
(G+G+G)----------
V 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
連立方程式 (15 ～ 17) を解く計算プロセスの分析から、結果の信頼性は、方程式を作成するときと解くときの両方で、数値表現の最終的な精度に依存することがわかります。 したがって、系 (15-17) を解く計算プロセスが有効数字 15 桁未満の精度で実行された場合、結果は次のようになります。
1015 +1015 ~ ああ、
精度が有効数字 15 桁を超える場合は、
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
行列 (8) と (14) の比較、および連立方程式を解くための計算プロセスから、次の結論が得られます。
節点ポテンシャルの方法は、 で提案された方法の特殊なケースです。つまり、節点ポテンシャルの方法では、ベース ノードと残りのノードを接続するグラフのエッジが常にツリーに選択されます。
行列の対角要素は、行列が最大の対角要素を選択して構成されているかどうかに関係なく、行と列の両方で他の要素よりも係数が大きくなります。 唯一の違いは、対角要素が非対角要素よりもどれだけ大きいかです。 これは、主要素を選択してガウス法を使用してこのタイプの SLAE を解決しても、このクラスの問題の結果の精度は向上しないことを意味します。
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ガウス解で使用される最終的な有効数字の数は、最大の対角要素を選択して行列が構築されたかどうかに大きく依存します。 あるバージョンの問題と別のバージョンの問題の違いは、方程式を作成する段階で、あるケースでは最大の導電率を持つコンポーネントがツリー内で選択されるため、このコンポーネントの電圧が SLAE の変数として機能することだけです。 このコンポーネントの導電率は、マトリックスの対角要素の形成にのみ関与します。 別のケースでは、このコンポーネントはコードに分類されます。 式 (3) からわかるように、コンポーネントの応力は木のコンポーネントの応力によって決定されます。 式 (4) から、コンポーネントの導電率が行と列の要素の形成に関与し、したがって弦の導電率がこれらのマトリックス要素のサイズを決定することがわかります。
3. 節点ポテンシャルの方法によってコンパイルされた SLAE マトリックスの、正しい定式化に対応する形式への変換
数理物理学の問題、複雑な物理プロセスの数学的モデリング、およびこれらの問題の離散モデルを記述する SLAE をコンパイルするための技術システムを数値的に解決する場合、節点ポテンシャルまたはその類似の方法が主に使用されます。 この手法の特徴は、基底ノードから残りのノードまでの離散モデルの設計スキームのポテンシャル、方程式を構成するための簡単なアルゴリズム、および SLAE の弱充填行列を SLAE 変数として使用することです。 このような効率性の代償として、タスクが不正確になる可能性があります。 節点ポテンシャルの方法が問題を正しく設定する方法の変形の 1 つにすぎないことを考慮すると、誤って設定された問題は行列変換を適用することで修正できます。 以下では、節点ポテンシャルの方法によって誤って構成された問題を変換するためのアルゴリズムを検討します。
あらゆる種類の物理オブジェクトのうち、線形離散モデルが非縮退対称行列を使用して SLAE によって記述されるオブジェクトのみが考慮されます。
3.1. 行列変換アルゴリズム
行列変換アルゴリズムを開発するときは、行列の i 行目の j 番目の非対角要素がマイナス記号付きで行列に含まれており、接続を記述する離散モデル パラメーターが含まれているという事実が使用されます。離散モデルの i 番目のノードと j 番目のノードの間。 対角要素は正の符号付きで行列に含まれ、非対角要素の合計と、i 番目のノードと基本ノードの間の接続を記述する離散モデル パラメーターが含まれます。 通常、離散モデルのノードに番号を付ける場合、基本ノードはゼロとみなされます。
上記で実行された研究からわかるように、コンパイルされた SLAE のレベルでの問題の不正確さは、線分の非対角要素の少なくとも 1 つが離散モデルのパラメーターよりも大幅に大きい場合にのみ発生します。対角要素内。 以下は、コンパイルされた SLAE の正確性をチェックするための方法です。
SLAE に次の形式を持たせます
ここで、x は節点電位 (節点の影響) のベクトル、y は外部流れのベクトル、A は次の形式の行列です。
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а11 а1і a1ja1n
аі1、іajain、(21)
aJ1 an1 аі aJJ アン
ここで、n は行列のサイズです。 行列要素は次の要件を満たします。
ai > 0、a。< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
以下では、行列の i 行目の正確性をチェックし、必要に応じてその修正を検討します。
まず、行列の i 行目の対角要素のみに含まれる離散モデル パラメーター ait が決定されます。
パラメータ ait が条件を満たしている場合、行列の i 行目は正しく構成されているとみなされます。
1 < j < n, при j Ф і.
条件 (24) が満たされない場合、i 番目の行が調整されます。 まず、非対角要素のうち最大の要素が選択されます。 これを i 番目の行の j 番目の要素とします。 行列組成の詳細 (条件 (22)) により、要素 o の形成に関与する離散モデルのパラメーターが、次のことを検証するのは簡単です。 i 行目と j 行目の a.^ は、要素 aii と a に統合された部分として含まれます。 。 i 行目の調整の本質は、要素の値が a になるように行列の i 行目と j 行目を変換することです。 要素 aii にのみ含まれていました。 変数 xi を次の形式で表すと、それが簡単にわかります。
X = xj + xj (25)
そして、SLAE行列のj番目の列の要素に対して次の変換を実行します。
オ＝アイ。 +あい、1< 1 < n , (26)
行列の新しい j 番目の列を取得します。ここで、変換された要素は a です。 そして、 要素aを形成した離散モデルのパラメータは含まれません。 そして、 。
次のステップでは、次の式を使用して j 番目の行を変換します。
aji = a.i + aii、1< l < n . (27)
変換された j 文字列の要素 a i には、要素 a i に対応する離散モデル パラメーターが含まれなくなります。
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SLAE マトリックスの正確性のチェックと間違った行の修正は、マトリックス全体に対して実行されます。 この作業では、行列を正しい形式に変換するアルゴリズムを構築するアプローチのみが考慮されます。 行列を正しい形式に変換するための効率的なアルゴリズムの開発に関連する問題は、この作業では考慮されていません。 以下に、節点ポテンシャルの方法によってコンパイルされた SLAE マトリックス (14) の変換の例を示します。
3.2. デモの例
まず第一に、行列 (14) は対称で非縮退であることに注意する必要があります。 マトリックス係数は条件 (22) を満たします。 節点電位はコンポーネント間の電圧降下に対応します
U4 = UG^、U3 = UG、U2 = UG
(28) を考慮すると、SLAE (14) は次のように表すことができます。
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
マトリックスの正確性のチェックには、次の操作が含まれます。
式 (23) による離散モデル パラメーター ait の決定 (のみ含まれます)
対角要素に変換します。 行列の最初の行については G6、2 行目については G4、そして 3 行目については (G1 + G2) になります。
マトリックスの行が正しいかどうかのチェックは、式 (24) に従って実行されます。 このチェックの結果、 (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) であるため、2 行目は正確性の要件を満たしていないことがわかります。 パラメータ G3 も行列の 3 行目に含まれているため、式 (25) に従って、変数 U3 の表現は次の形式で選択されます。
U3 = U2 + U23、(30)
式 (26) に従って 3 列目の要素を変換した結果、次の形式の行列 (29) が得られます。
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
式 (27) に従って 3 行目を変換すると、行列 (31) は次の形式になります。
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 。 (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) は正確性の要件を満たしているため、調整は完了したと見なされます。 SLAE 変数 (32) は SLAE 変数 (8) に対応します。
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ツリーに変換した結果、問題を正しく定式化する方法と同じコンポーネントが選択されました。 SLAE (8) と (32) を比較すると、行列 (32) の 2 列目と 2 行目の非対角要素は行列 (8) とは符号が異なることがわかります。 これは、行列 (14) を変換するときに、SLAE (8) をコンパイルするときに選択した方向とは逆の、G3 コンポーネントの電流の方向が選択されたという事実の結果です。 変数 U23 を U23 = -U23 に置き換え、2 番目の方程式の要素の符号を逆に変更すると、行列 (8) が得られます。
4. 結論
モデリングは人類の知的活動に不可欠な部分となっており、モデリング結果の信頼性がモデリング結果を評価する主な基準となっています。 結果の信頼性を確保するには、複雑なオブジェクトとその解決策を記述するための方法とアルゴリズムの開発に対する新しいアプローチが必要です。
不適切な設定の問題を解決する方法を開発する既存のアプローチとは対照的に、この論文では、不適切な設定の問題 (悪条件) を正しい形式にすることを提案します。 物理的オブジェクトの離散モデルを記述する SLAE を解く際に信頼できる結果を得るのを困難にしているのは、行列の条件性が悪いためではなく、方程式を作成する段階での SLAE 変数の選択と節点の方法が間違っていることが示されています。ポテンシャルとその類似物は、離散モデルを記述する SLAE をコンパイルするために使用され、問題を正しく定式化する方法の特殊なケースです。 SLAE行列が非特異的で対称である場合に、節点ポテンシャルの方法によってコンパイルされたSLAEの正確さをチェックするための技術が提案されています。 行列を正しい形に変換するアルゴリズムを考える。
参考文献
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もう一度SLAUに戻りましょう Aх=b正方行列Aサイズ付き MхNこれは、上で検討した「良い」ケース (セクション 8.D を参照) とは対照的に、特別なアプローチが必要です。 2 つの類似したタイプの SLAE に注目してみましょう。
- 縮退系 (ゼロ行列式) |A|=0);
- 条件が不十分なシステム (行列式 A はゼロではありませんが、条件数が非常に大きい)。
これらのタイプの連立方程式は互いに大きく異なるという事実にもかかわらず (前者には解がありませんが、後者には解が 1 つだけあります)、コンピューターの実用的な観点からは、これらの間には多くの共通点があります。彼ら。
変性したSLAE
縮退システムは、行列式がゼロの行列で記述されるシステムです。 |A|=0(特異行列)。 このようなシステムに含まれる一部の方程式は他の方程式の線形結合によって表されるため、実際にはシステム自体が過小決定されます。 右側ベクトル b の特定のタイプに応じて、解が無限に存在するか、まったく存在しないかのいずれかになることは容易に理解できます。 最初のオプションは、結局、通常の擬似解を構築することになります (つまり、無限の解のセットから、特定のベクトル、たとえばゼロに最も近いものを選択します)。 このケースについては、セクションで詳しく説明しました。 8.2.2 (リスト 8.11 ～ 8.13 を参照)。
米。 8.7。 特異行列を含む 2 つの方程式からなる一貫性のない系のグラフィック表示
2 番目のケース、つまり SLAE が Aх=b特異正方行列 A では解がありません。 このような問題の例 (2 つの方程式系の場合) を図に示します。 8.7、その上部にマトリックスが入力されます あそしてベクトル b、また、関数を使用してシステムを解く試みも行われます (行列 A が特異であるため失敗します)。 解決する。 図の主要部分を占めるグラフは、システムを定義する 2 つの方程式が平面 (x0,x1) 上の 2 本の平行線を定義していることを示しています。 線は座標平面内のどの点でも交差しないため、システムに対する解はありません。
注記
まず、サイズ 2x2 の正方行列によって定義される SLAE は、平面内で交差する線のペアを定義することに注意してください (以下の図 8.9 を参照)。 第二に、システムが一貫している場合、方程式の幾何学的表現は、無限の数の解を記述する 2 本の一致する直線になるということは言う価値があります。.
米。 8.8。 残差関数 f (x) = |Ax-b| のセクションのグラフ
不一致を最小限に抑えるシステムの擬似解の考慮された特異なケースでは、次のことが容易に推測できます。 |斧-b|、無限に多くあり、それらは図に示されている 2 つに平行な 3 番目の直線上にあります。 8.7 であり、それらの中間に位置します。 これを図に示します。 8.8、関数のいくつかのセクションを示します。 f(x)= | 斧b |、同じ深さの最小値ファミリーの存在を示します。 組み込み関数を使用してそれらを見つけようとすると、 最小化する、その数値的手法は、(初期条件に応じて) 前述の直線の任意の 1 点を常に見つけます。 したがって、一意の解を決定するには、疑似解のセット全体から最小のノルムを持つものを選択する必要があります。 組み込み関数の組み合わせを使用して、Mathcad でこの多次元最小化問題を定式化してみることができます。 最小化するただし、より効率的な方法は、正則化 (下記を参照) または直交行列分解 (セクション 8.3 を参照) を使用することです。
