A10 最も単純な三角方程式。 最も単純な三角方程式

三角方程式を解く概念。

• 三角方程式を解くには、三角方程式を 1 つ以上の基本的な三角方程式に変換します。 三角方程式を解くことは、最終的には 4 つの基本的な三角方程式を解くことになります。

クラス： 10

「方程式は永遠に続きます。」

A. アインシュタイン

レッスンの目標:

• 教育的:
  • 三角方程式の解法についての理解を深める。
  • 三角方程式を解く方法を区別し、正しく選択するスキルを開発します。
• 教育的:
  • 教育プロセスに対する認知的関心を育む。
  • 与えられたタスクを分析する能力を開発する。
  • 教室内の心理的環境の改善に貢献します。
• 発達:
  • 知識を自主的に取得するスキルの開発を促進する。
  • 生徒が自分の視点を議論する能力を促進します。

装置：基本的な三角関数の公式、コンピューター、プロジェクター、スクリーンを含むポスター。

1レッスン

I. 参考知識の更新

口頭で方程式を解きます。

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (-1) + k;
6) x = (-1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; Zへ。

II. 新しい教材の学習

– 今日は、より複雑な三角方程式を見ていきます。 それらを解決する10の方法を見てみましょう。 次に定着のためのレッスンが 2 つあり、次のレッスンではテストが行​​われます。 「For Lesson」スタンドには、テストに出題される問題と同様のタスクが掲示されており、テスト前に解決する必要があります。 (テストの前日に、これらの課題の解決策をスタンドに掲示してください)。

それでは、三角方程式の解き方を考えてみましょう。 これらの方法の中には、おそらく難しいように思えるものもあれば、簡単に思えるものもあります。 方程式を解くためのいくつかのテクニックはすでにご存知でしょう。

クラスの 4 人の生徒には、三角方程式を解く 4 つの方法を理解し、示すという個別の課題が与えられました。

(話せる生徒は事前にスライドを準備します。クラスの残りの生徒は方程式を解くための主な手順をノートに書き留めます。)

生徒1名： 1方向。 因数分解によって方程式を解く

sin 4x = 3 cos 2x

方程式を解くには、倍角正弦公式 sin 2 = 2 sin cos を使用します。
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0、
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0。係数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、これらの係数の積はゼロに等しくなります。

2x = + k、k Z または sin 2x = 1.5 – 解はありません。 罪| 1
x = + k; Zへ。
答え: x = + k、k Z。

2 学生。 方法2。 三角関数の和または差を積に変換して方程式を解く

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0。

方程式を解くには、sin–sin = 2 sin сos という式を使用します。

cos 3x + 2 sin cos = 0、

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0、

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0。結果として得られる方程式は、次の 2 つの方程式のセットと等価です。

2 番目の方程式の解のセットは、最初の方程式の解のセットに完全に含まれています。 手段

答え：

3 学生。 3ウェイ。 三角関数の積を和に変換して方程式を解く

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x。

方程式を解くには、次の公式を使用します。

答え：

4 学生。 4ウェイ。 二次方程式に帰着する方程式を解く

3 sin x – 2 cos 2 x = 0、
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0、
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0、

sin x = t とします。ここで | |。 二次方程式 2t 2 + 3t – 2 = 0 が得られます。

D = 9 + 16 = 25。

したがって 。 条件を満たしていません | |。

したがって、sin x = です。 それが理由です .

答え：

Ⅲ． A. N. コルモゴロフの教科書から学んだことの定着

1. No.164(a)、167(a)（二次方程式）
2. No.168 (a) (因数分解)
3. 第 174 号 (a) (和を積に変換する)
4. (積を和に変換)

(レッスンの最後に、確認のためにこれらの方程式の解を画面に表示します)

№ 164 (A)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0。
sin x = t とします。 | t | 1.それでは
2 t 2 + t – 1 = 0、t = – 1、t= 。 どこ

答え： - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0。

tg x = 1 とすると、方程式 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 が得られます。

答え：

№ 168 (A)

答え：

№ 174 (A)

方程式を解きます。

答え：

レッスン2（レッスン・講義）

IV. 新しい教材の学習（継続）

– それでは、三角方程式の解き方を勉強していきましょう。

5ウェイ。 同次三角方程式を解く

次の形式の方程式 a sin x + b cos x = 0、ここで a と b は数値であり、sin x または cos x に関する 1 次の同次方程式と呼ばれます。

方程式を考えてみましょう

sin x – cos x = 0。 方程式の両辺をcos xで割ってみましょう。 これはルートの損失が発生しないため可能です。 、 もし cos x = 0、それ 罪 x = 0。 しかし、これは基本的な三角関数の恒等式と矛盾します。 罪 2 x+cos 2 x = 1。

我々が得る タン x – 1 = 0。

タン x = 1、

次の形式の方程式 罪 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 、どこ a、b、c –いくつかの数値は、sin x または cos x に関する 2 次の同次方程式と呼ばれます。

方程式を考えてみましょう

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0。方程式の両辺を cos x で割ってみましょう。根は失われません。 cos x = 0 はこの方程式の根ではありません。

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0。

tg x = t とします。 D = 9 – 8 = 1。

したがって、tg x = 2 または tg x = 1 となります。

結果として、x = arctan 2 + 、x =

答え: arctg 2 + 、

別の方程式、3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2 を考えてみましょう。
方程式の右辺を 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) の形に変形してみましょう。 すると、次のようになります。
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x)、
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0、
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0 (2 番目の方程式が得られ、すでに分析済みです)。

答え: arctan 2 + k、

6ウェイ。 線形三角方程式を解く

線形三角方程式は次の形式の方程式です。 a sin x + b cos x = cここで、a、b、c は数値です。

方程式を考えてみましょう sin x + cos x= – 1.
方程式を次のように書き換えてみましょう。

それを考慮すると、次のようになります。

答え：

7ウェイ。 追加の引数の導入

表現 a cos x + b sin x変換できます:

(三角関数の式を簡略化するときにこの変換をすでに使用しています)

追加の引数を導入しましょう。角度は次のようなものです。

それから

次の式を考えてみましょう: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

宿題： No.164-170(c、d)。

あなたはあなたの問題に対する詳細な解決策を注文することができます!!!

三角関数の符号の下に未知数を含む等式 (「sin x、cos x、tan x」、または「ctg x」) は三角方程式と呼ばれ、その公式についてさらに検討します。

最も単純な方程式は、「sin x=a、cos x=a、tg x=a、ctg x=a」です。ここで、「x」は求める角度、「a」は任意の数値です。 それぞれのルート公式を書き留めてみましょう。

1. 方程式「sin x=a」。

`|a|>1` の場合、解はありません。

`|a| のとき \leq 1` には無限の数の解があります。

根の式: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. 方程式「cos x=a」

`|a|>1` の場合 - 正弦波の場合と同様、実数間には解がありません。

`|a| のとき \leq 1` には無限の数の解があります。

根の式: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

グラフ内のサインとコサインの特殊なケース。

3. 方程式 `tg x=a`

「a」の任意の値に対して無限の数の解があります。

ルート式: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. 方程式「ctg x=a」

また、「a」の任意の値に対して無限の数の解があります。

ルート式: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

表中の三角方程式の根の公式

正弦波の場合:
コサインの場合:
タンジェントとコタンジェントの場合:
逆三角関数を含む方程式を解くための公式:

三角方程式を解く方法

三角方程式を解くには、次の 2 つの段階があります。

• それを最も単純なものに変換するという助けを借りて。
• 上記の根公式と表を使用して得られた最も単純な方程式を解きます。

主な解決方法を例を挙げて見ていきましょう。

代数的手法。

この方法では、変数を置き換えて等式に代入します。

例。 方程式を解きます: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

置換を行います: `cos(x+\frac \pi 6)=y`、次に `2y^2-3y+1=0`、

根: `y_1=1, y_2=1/2` を見つけます。そこから 2 つのケースが続きます。

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`、`x+\frac \pi 6=2\pi n`、`x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`。

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`、`x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`、`x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`。

答え: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`、`x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`。

因数分解。

例。 方程式「sin x+cos x=1」を解きます。

解決。 等式のすべての項を左に移動しましょう: `sin x+cos x-1=0`。 を使用して、左辺を変換して因数分解します。

`sin x — 2sin^2 x/2=0`、

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`、

`2sin x/2 (cos x/2 - sin x/2)=0`、

1. `sin x/2 =0`、`x/2 =\pi n`、`x_1=2\pi n`。
2. `cos x/2-sin x/2=0`、`tg x/2=1`、`x/2=arctg 1+ \pin`、`x/2=\pi/4+ \pin` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`。

答え: `x_1=2\pi n`、`x_2=\pi/2+ 2\pin`。

同次方程式への帰着

まず、この三角方程式を次の 2 つの形式のいずれかに縮小する必要があります。

`a sin x+b cos x=0` (1 次等次方程式) または `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (2 次等次方程式)。

次に、最初の場合は両方の部分を `cos x \ne 0` で除算し、2 番目の場合は `cos^2 x \ne 0` で除算します。 「tg x」の方程式、「a tg x+b=0」および「a tg^2 x + b tg x +c =0」を取得します。これらは既知の方法を使用して解く必要があります。

例。 方程式「2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1」を解きます。

解決。 右辺を `1=sin^2 x+cos^2 x` と書きましょう。

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`、

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`。

これは 2 次の等次三角方程式で、その左辺と右辺を `cos^2 x \ne 0` で割ると、次のようになります。

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

「tg^2 x+tg x — 2=0」。 置換 `tg x=t` を導入して、結果として `t^2 + t - 2=0` を生成しましょう。 この方程式の根は「t_1=-2」と「t_2=1」です。 それから：

1. `tg x=-2`、`x_1=arctg (-2)+\pin`、`n \in Z`
2. `tg x=1`、`x=arctg 1+\pin`、`x_2=\pi/4+\pin`、` n \in Z`。

答え。 `x_1=arctg (-2)+\pin`、`n \in Z`、`x_2=\pi/4+\pin`、`n \in Z`。

半角への移動

例。 方程式「11 sin x - 2 cos x = 10」を解きます。

解決。 倍角の公式を適用すると、次の結果が得られます: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

上で説明した代数的方法を適用すると、次の結果が得られます。

1. `tg x/2=2`、`x_1=2 arctg 2+2\pin`、`n \in Z`、
2. `tg x/2=3/4`、`x_2=arctg 3/4+2\pin`、`n \in Z`。

答え。 `x_1=2 arctg 2+2\pin, n \in Z`、`x_2=arctg 3/4+2\pin`、`n \in Z`。

補助角の導入

三角方程式 `a sin x + b cos x =c` (a、b、c は係数、x は変数) では、両辺を `sqrt (a^2+b^2)` で割ります。

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`。

左側の係数にはサインとコサインの特性があります。つまり、それらの二乗の和は 1 に等しく、モジュールは 1 以下です。これらを次のように表します。 `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C` の場合:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`。

次の例を詳しく見てみましょう。

例。 方程式「3 sin x+4 cos x=2」を解きます。

解決。 等式の両辺を `sqrt (3^2+4^2)`​​ で割ると、次のようになります。

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

「3/5 sin x + 4/5 cos x=2/5」。

`3/5 = cos \varphi` 、 `4/5=sin \varphi` と表します。 `sin \varphi>0`、`cos \varphi>0` なので、補助角として `\varphi=arcsin 4/5` をとります。 次に、等式を次の形式で書きます。

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

サインの角度の合計の公式を適用すると、等式は次の形式で記述されます。

`sin (x+\varphi)=2/5`、

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`、`n \in Z`。

答え。 `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`、`n \in Z`。

分数有理三角方程式

これらは、分数の分子と分母に三角関数が含まれる等式です。

例。 方程式を解きます。 `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`。

解決。 等式の右辺を `(1+cos x)` で乗算および除算します。 結果として、次のことが得られます。

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

分母がゼロに等しくないことを考慮すると、`1+cos x \ne 0`、`cos x \ne -1`、` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` が得られます。

分数の分子をゼロとみなします: `sin x-sin^2 x=0`、`sin x(1-sin x)=0`。 次に、`sin x=0` または `1-sin x=0` となります。

1. `sin x=0`、`x=\pi n`、`n \in Z`
2. `1-sin x=0`、`sin x=-1`、`x=\pi /2+2\pi n、n \in Z`。

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` とすると、解は `x=2\pi n, n \in Z` と `x=\pi /2+2\pi n` になります。 、「n \in Z」。

答え。 `x=2\pi n`、`n \in Z`、`x=\pi /2+2\pi n`、`n \in Z`。

三角法、特に三角方程式は、幾何学、物理学、工学のほぼすべての分野で使用されます。 勉強は10年生から始まり、統一国家試験の課題が常に出題されるので、三角方程式の公式をすべて覚えておいてください。間違いなく役に立ちます。

ただし、暗記する必要はなく、本質を理解し、それを導き出せることが重要です。 思っているほど難しくありません。 ビデオを見てご自身の目で確かめてください。

たくさん解くときは 数学の問題、特に 10 年生より前に発生するものでは、目標につながる実行されるアクションの順序が明確に定義されています。 このような問題には、たとえば、一次方程式および二次方程式、一次方程式および二次方程式、分数方程式、および二次方程式に帰着する方程式が含まれます。 前述した各問題をうまく解決するための原則は次のとおりです。解決している問題の種類を確立し、望ましい結果につながる必要な一連のアクションを覚えておく必要があります。 答えて次の手順に従ってください。

特定の問題の解決が成功するか失敗するかは、主に、解く方程式の種類がどの程度正確に決定されるか、その解決のすべての段階の順序がどの程度正確に再現されるかに依存することは明らかです。 もちろん、この場合、同一の変換と計算を実行するスキルが必要です。

状況は異なります 三角方程式。この方程式が三角関数であるという事実を証明することは、まったく難しいことではありません。 正しい答えにつながる一連のアクションを決定するときに困難が生じます。

方程式の外観に基づいてそのタイプを判断することが難しい場合があります。 また、方程式の種類が分からなければ、数十の三角関数の公式から正しいものを選択することはほぼ不可能です。

三角方程式を解くには、次のことを試す必要があります。

1. 方程式に含まれるすべての関数を「同じ角度」にします。
2. 方程式を「同一関数」にします。
3. 方程式の左辺を因数分解するなど。

考えてみましょう 三角方程式を解くための基本的な方法。

I. 最も単純な三角方程式への帰着

ソリューション図

ステップ1。既知の成分を使用して三角関数を表します。

ステップ2。次の式を使用して関数の引数を見つけます。

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn、n ЄZ。

罪 x = a; x = (-1) n arcsin a + πn、n Є Z。

タン x = a; x = arctan a + πn、n Є Z。

ctg x = a; x = arcctg a + πn、n Є Z。

ステップ3。未知の変数を見つけます。

例。

2 cos(3x – π/4) = -√2。

解決。

1) cos(3x – π/4) = -√2/2。

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn、n Є Z。

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn、n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3、n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3、n Є Z。

答え: ±π​​/4 + π/12 + 2πn/3、n Є Z。

II. 変数の置換

ソリューション図

ステップ1。方程式を三角関数の 1 つに関して代数形式に変換します。

ステップ2。結果の関数を変数 t で表します (必要に応じて、t に制限を導入します)。

ステップ3。結果として得られる代数方程式を書き留めて解きます。

ステップ4。逆の交換を行います。

ステップ5。最も単純な三角方程式を解きます。

例。

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0。

解決。

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0。

2) sin (x/2) = t とします。ここで |t| ≤ 1。

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 または e = -3/2、条件 |t| を満たしていません。 ≤ 1。

4) sin(x/2) = 1。

5) x/2 = π/2 + 2πn、n Є Z;

x = π + 4πn、n Є Z。

答え: x = π + 4πn、n Є Z。

Ⅲ． 方程式次数削減法

ソリューション図

ステップ1。次数を減らす公式を使用して、この方程式を線形方程式に置き換えます。

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x)。

ステップ2。結果の方程式を方法 I および II を使用して解きます。

例。

cos 2x + cos 2 x = 5/4。

解決。

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4。

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn、n Є Z;

x = ±π/6 + πn、n Є Z。

答え: x = ±π/6 + πn、n Є Z。

IV. 同次方程式

ソリューション図

ステップ1。この方程式を次の形式に変形します。

a) a sin x + b cos x = 0 (1次等次方程式)

または景色へ

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (2次の等次方程式)。

ステップ2。方程式の両辺を次の値で割ります。

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

そしてtan x の方程式を取得します。

a) atan x + b = 0;

b) atan 2 x + b arctan x + c = 0。

ステップ3。既知の方法を使用して方程式を解きます。

例。

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0。

解決。

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0。

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0。

3) tg x = t とすると、

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 または t = -4、つまり

tg x = 1 または tg x = -4。

最初の方程式 x = π/4 + πn から、n Є Z; 2 番目の方程式より x = -arctg 4 + πk、kЄZ。

答え: x = π/4 + πn、n Є Z; x = -arctg 4 + πk、k Є Z。

V. 三角関数の公式を用いた方程式の変形方法

ソリューション図

ステップ1。考えられるすべての三角関数の公式を使用して、この方程式を方法 I、II、III、IV によって解かれる方程式に還元します。

ステップ2。既知の方法を使用して、結果の方程式を解きます。

例。

sin x + sin 2x + sin 3x = 0。

解決。

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0。

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 または 2cos x + 1 = 0;

最初の方程式から、2x = π/2 + πn、n Є Z; 2 番目の方程式 cos x = -1/2 より。

x = π/4 + πn/2、n Є Z となります。 2 番目の方程式 x = ±(π – π/3) + 2πk、k Є Z より。

結果として、x = π/4 + πn/2、n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk、k Є Z。

答え: x = π/4 + πn/2、n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk、k Є Z。

三角方程式を解く能力とスキルは非常に優れています。 重要なのは、彼らの発達には生徒側と教師側の両方に多大な努力が必要であるということです。

立体測定や物理学などの多くの問題は、三角方程式の解法に関連しています。このような問題を解くプロセスには、三角法の要素を研究することで得られる知識やスキルの多くが組み込まれています。

三角方程式は、数学の学習と個人の成長全般において重要な位置を占めます。

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三角方程式を解くことは、次の 2 つの段階で構成されます。 方程式変換最も簡単に理解するにはタイプ (上記を参照) と 解決結果として得られる最も単純な 三角方程式。 7つあります 三角方程式を解くための基本的な方法。

1. 代数的方法。

(変数置換と代入の方法)。

2. 因数分解。

例 1. 方程式を解きます。罪 バツ+cos バツ = 1 .

解決策: 方程式のすべての項を左に移動してみましょう。

罪 バツ+cos バツ – 1 = 0 ,

の式を変換して因数分解してみましょう。

方程式の左辺:

例 2. 方程式を解きます。コス 2 バツ+罪 バツコス バツ = 1.

解: cos 2 バツ+罪 バツコス バツ– 罪2 バツ– cos 2 バツ = 0 ,

罪 バツコス バツ– 罪2 バツ = 0 ,

罪 バツ· (cos バツ– 罪 バツ ) = 0 ,

例 3. 方程式を解きます。 cos2 バツ–cos8 バツ+cos6 バツ = 1.

解: cos 2 バツ+cos6 バツ= 1 + cos 8 バツ,

2cos4 バツ cos2 バツ= 2cos² 4 バツ ,

コス4 バツ · (cos2 バツ– cos 4 バツ) = 0 ,

コス4 バツ ・2罪3 バツ罪 バツ = 0 ,

1)。 cos4 バツ= 0、2)。 罪3 バツ= 0、3)。 罪 バツ = 0 ,

4. ハーフアングルに移行します。

このメソッドを例として見てみましょう。

例 方程式を解く: 3罪 バツ– 5コス バツ = 7.

解決策: 6 罪 ( バツ/ 2) cos ( バツ/ 2) – 5 cos² ( バツ/ 2) + 5 sin² ( バツ/ 2) =

7 sin² ( バツ/ 2) + 7 cos² ( バツ/ 2) ,

2 sin² ( バツ/ 2) – 6 罪 ( バツ/ 2) cos ( バツ/ 2) + 12 cos² ( バツ/ 2) = 0 ,

Tan² ( バツ/ 2) – 3 タン ( バツ/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. 補助角度の導入。

次の形式の方程式を考えてみましょう:

ある罪 バツ + bコス バツ = c ,

どこ ある, b, c– 係数;バツ- 未知。

これで、方程式の係数はサインとコサインの特性を持ちます。 つまり：それぞれの係数（絶対値） そのうち 1 つ以下、 それらの二乗の和は 1 です. 次に、次のように表すことができます。 それに応じて彼らも どうやって cos と sin (ここでは - いわゆる 補助角）、 そして私たちの方程式を採用してください