整数系の公理的な構築。 実数の公理

数学理論を公理的に構築する場合、次のようなことが考えられます。 ルール:

· 理論のいくつかの概念は基本的なものとして選択され、定義なしで受け入れられます。

· 基本概念のリストに含まれていない理論の各概念には定義が与えられます。

· 公理が定式化される - 与えられた理論において証明なしで受け入れられる命題。 それらは基本的な概念の特性を明らかにします。

· 公理のリストに含まれていない理論のすべての命題は証明されなければなりません。 このような命題は定理と呼ばれ、公理や定理に基づいて証明されます。

理論の公理的な構築では、すべてのステートメントは証明を通じて公理から導出されます。

したがって、公理系には特別な要件が適用されます。 要件：

· 一貫性 (公理系は、相互に排他的な 2 つの命題を論理的に演繹することができない場合、一貫性があると呼ばれます)。

· 独立性 (公理系のどの公理も他の公理の結果ではない場合、その公理系は独立していると呼ばれます)。

関係が指定された集合は、その中で与えられた系のすべての公理が満たされる場合、与えられた公理系のモデルと呼ばれます。

一連の自然数に対する公理系を構築する方法は数多くあります。 例えば、数値の和や順序関係などを基本概念とすることができる。 いずれの場合も、基本概念の特性を説明する公理系を定義する必要があります。

加算演算の基本概念を受け入れて、公理系を与えてみましょう。

空でない集合 N演算が定義されている場合は、それを自然数の集合と呼びましょう (a; b) → a + b、加算と呼ばれ、次のプロパティがあります。

1. 加算は可換です。つまり、 a + b = b + a。

2. 加算は結合的です。つまり、 (a + b) + c = a + (b + c)。

4. どのセットでも あ、セットのサブセットです N、 どこ あ数字などがあり、すべてが はぁ、 は同じ a+b、 どこ bN.

公理 1 ～ 4 は、自然数の算術全体を構築するのに十分です。 しかし、このような構成では、これらの公理に反映されていない有限集合の性質に依存することはもはや不可能になります。

空でない集合上で定義される「...に直接従う」という関係を主な概念として考えます。 N。 このとき、数の自然系列は「すぐ後に続く」という関係が定義された集合 N となり、N のすべての要素を自然数と呼び、以下が成り立ちます。 ペアノの公理:

公理1.

大量にNこのセットのどの要素の直後にも続かない要素があります。 これを統一と呼び、記号 1 で示します。

公理2.

各要素 a についてNa の直後に要素 a が 1 つあります。

公理3.

各要素 a についてNa の直後に続く要素は最大 1 つです。

アクソイマ4。

集合の任意の部分集合 MNと一致するN、次のプロパティがある場合: 1) 1 は M に含まれます。 2) a が M に含まれるという事実から、a も M に含まれるということになります。

たくさんの ん、公理 1 ～ 4 を満たし、「... に直接従う」関係が確立される要素をと呼びます。 自然数の集合 、その要素は 自然数。

セットなら N公理 1 ～ 4 を満たす特定の関係が「直接続く」が与えられる特定のセットを選択すると、異なる結果が得られます。 解釈（モデル） 与えられた 公理システム。

ペアノ公理系の標準モデルは、社会の歴史的発展の過程で出現した1、2、3、4、5、...という一連の数字です。

ペアノ公理のモデルは、任意の可算集合にすることができます。

たとえば、I、II、III、III、...

おおおおおおおお…

1 2 3 4、 …

set (oo) が最初の要素であり、後続の各セットは、別の円を追加することによって前のセットから取得される一連のセットを考えてみましょう (図 15)。

それから N記述された形式の集合からなる集合があり、それはペアノ​​公理システムのモデルです。

実際、多くの場合、 N指定されたセットのどの要素にも直後に続かない要素 (oo) があります。つまり、 各セットについて公理 1 が満たされます。 あ考慮中の母集団から得られる単一のセットがあります。 あ円を 1 つ追加することで、つまり 各セットに対して公理 2 が成り立ちます。 あセットを形成するセットは最大でも 1 つだけです あ円を 1 つ追加することで、つまり 公理 3 が成立する場合。 MNそして多くのことが知られています あに含まれた Mさんつまり、集合内にある円よりも円が 1 つ多い集合は、 あにも含まれています M、 それ M =N、したがって、公理 4 が満たされます。

自然数の定義では、公理を省略することはできません。

図に示されているセットがどれであるかを確認してみましょう。 16 はペアノ公理のモデルです。

解決。図 16 a) は、公理 2 と 3 が満たされるセットを示しています。実際、各要素の直後に一意の要素があり、その後に一意の要素が続きます。 しかし、この集合では、公理 1 は満たされません (集合内に他の要素のすぐ後に続かない要素がないため、公理 4 は意味を持ちません)。 したがって、このセットはペアノ公理のモデルではありません。

図 16 b) は、公理 1、3、4 が満たされる集合を示していますが、要素の背後にあります。 あ公理 2 で要求されているように、すぐに 2 つの要素が続きます。公理 2 で必要なように、1 つではありません。したがって、このセットはペアノ公理のモデルではありません。

図では、 16 c) は、公理 1、2、4 が満たされる集合を示していますが、要素は と 2 つの要素の直後にすぐに続きます。 したがって、このセットはペアノ公理のモデルではありません。

図では、 図 16 d) は、公理 2、3 を満たす集合を示しています。数値 5 を初期要素としてとると、この集合は公理 1 と 4 を満たすことになります。つまり、この集合には各要素に対してただちに一意の要素が存在します。それに続くものは 1 つの要素です。 このセットのどの要素にも直後に続かない要素もあります。これは 5 です。 , それらの。 公理 1 が満たされると、公理 4 も満たされます。したがって、この集合はペアノの公理のモデルになります。

ペアノの公理を使用すると、多くのステートメントを証明できます。たとえば、すべての自然数について次のことが証明できます。 ××。

証拠。で表しましょう あ自然数の集合 ああ。番号 1 所属 あ、以降のどの数字にも従わないため、 Nこれは、それ自体が続かないことを意味します: 1 1. させて ああ、それから ああ。と表しましょう あを通して b。 公理 3 により、 あb、それらの。 b bそして bA.

(いわゆる R チョップ) で示される実数の場合、要素の各ペアに対して加算 (「+」) の演算が導入されます ( バツ,y) 実数のセットから要素が割り当てられます バツ + y同じセットから、合計と呼ばれます バツそして y .

乗算の公理

乗算演算 (「・」) が、要素の各ペアに対して導入されます ( バツ,y) 実数のセットから要素が割り当てられます (つまり、 バツy) 同じセットから、製品と呼ばれます バツそして y .

足し算と掛け算の関係

秩序の公理

次数 "" (以下) の指定された関係、つまり任意のペアについて x、y条件または の少なくとも 1 つから。

順序と加算の関係

順序と乗算の関係

連続性の公理

コメント

この公理は次のことを意味します。 バツそして Y- 実数の 2 つの空でないセット。 バツのどの要素も超えません Yの場合、これらのセットの間に実数を挿入できます。 有理数の場合、この公理は成り立ちません。 典型的な例: 正の有理数を考慮し、それらをセットに代入します。 バツ二乗が 2 未満の数字とその他の数字 - Y。 その後、その間に バツそして Y有理数を挿入することはできません (有理数ではありません)。

この重要な公理は密度を提供し、それによって数学的分析の構築が可能になります。 その重要性を説明するために、そこから生じる 2 つの基本的な結果を指摘しましょう。

公理の系譜

実数のいくつかの重要な性質は公理から直接得られます。たとえば、次のとおりです。

• ゼロの一意性、
• 反対および逆の要素の一意性。

文学

• ゾーリヒ V. A.数学的分析。 I.M. 巻：Phasis、1997 年、第 2 章。

こちらも参照

リンク

ウィキメディア財団。 2010年。

他の辞書で「実数の公理学」が何であるかを確認してください。

実数、または実数は、周囲の世界の幾何学的および物理量を測定し、根の抽出、対数の計算、解法などの操作を実行する必要性から生じた数学的抽象概念です。

実数、または実数は、特に物理量の値を表し、比較するために役立つ数学的抽象概念です。 このような数値は、直線上の点の位置を表すものとして直感的に表すことができます。 ... ... ウィキペディア

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ウィクショナリーに「公理」という記事があります。 公理（古代ギリシャ語）

さまざまな公理系に見られる公理。 実数の公理学 ヒルベルトのユークリッド幾何学の公理学 コルモゴロフの確率論の公理学 ... ウィキペディア

自然数の公理理論を構築する場合、主な用語は「要素」または「数」（このマニュアルの文脈では同義語として考えることができます）と「集合」、つまり主な関係です。セットに属します）、「平等」、および「 フォローアップ/ で表されます（「数字 a の後にストロークが続く数字」と読みます。たとえば、2 の後に 3 が続きます。つまり 2 / = 3、数字 10 の後に数字 11 が続きます。つまり、 10 / = 11 など）。

自然数の集合(自然数列、正の整数) は、「follow after」関係が導入された集合 N であり、次の 4 つの公理が満たされます。

A1. 集合 N には、と呼ばれる要素があります。 ユニット、他の番号の後には続きません。

A2. 自然系列の各要素の隣には 1 つだけあります。

A3. N の各要素は、自然系列の最大 1 つの要素に従います。

4.( 帰納法の公理) 集合 N の部分集合 M が 1 を含み、またその各要素 a とともに次の要素 a / も含む場合、M は N と一致します。

同じ公理を数学記号を使用して簡単に記述することができます。

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

要素 b が要素 a の後に続く場合 (b = a /)、要素 a は要素 b の前にある (または b に先行する) と言います。 この公理系はと呼ばれます ペアノ公理系（19世紀にイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノによって導入されて以来）。 これは、自然数のセットを定義できる公理のセットの 1 つにすぎません。 他にも同等のアプローチがあります。

自然数の最も単純な性質

プロパティ 1。 要素が異なれば、それに続く要素も異なります。

a  b => a /  b / 。

証拠は矛盾によって実行されます。 a / = b / と仮定すると、(A 3 により) a = b となり、定理の条件に矛盾します。

プロパティ 2。 要素が異なる場合、その前にある要素 (存在する場合) も異なります。

a /  b / => a  b.

証拠: a = b と仮定すると、A 2 によれば、a / = b / となり、定理の条件に矛盾します。

プロパティ 3。 次の自然数と等しい自然数はありません。

証拠: この条件が満たされる自然数からなる集合 M を考慮に入れてみましょう

M = (a  N | a  a / )。

帰納公理に基づいて証明を行っていきます。 集合 M の定義によれば、それは自然数の集合の部分集合です。 次の 1M は、1 が自然数 (A 1) に従わないため、a = 1 の場合にも 1  1 / が成立することを意味します。 ここで、ある a  M があると仮定しましょう。これは、a  a / (M の定義による)、したがって a /  (a /) / (性質 1)、つまり a /  M であることを意味します。上記の帰納法公理の使用に基づいて、M = N、つまり私たちの定理はすべての自然数に対して真であると結論付けることができます。

定理4。 1 以外の自然数には、その前に数字が付きます。

証拠: セットを考える

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / )。

この M は自然数の集合の部分集合であり、1 つは明らかにこの集合に属します。 このセットの 2 番目の部分は先行要素が存在する要素です。したがって、a  M の場合、/ も M に属します (その 2 番目の部分、/ には先行要素があるため、これは a です)。 したがって、帰納法に基づくと、M はすべての自然数の集合と一致します。これは、すべての自然数が 1 か、または先行する要素が存在する自然数のいずれかであることを意味します。 定理は証明されました。

自然数の公理理論の一貫性

自然数の集合の直感的なモデルとして、直線の集合を考えることができます。数値 1 は |、数値 2 || などに対応します。つまり、自然数列は次の形式になります。

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

これらの線の列は、「1 つの線を数値に帰す」という関係を「後続」の関係として使用すると、自然数のモデルとして機能します。 すべての公理の妥当性は直感的に明らかです。 もちろん、このモデルは厳密には論理的ではありません。 厳密なモデルを構築するには、明らかに一貫性のある別の公理理論が必要です。 しかし、上で述べたように、私たちが自由に使えるそのような理論はありません。 したがって、私たちは直観に頼るか、モデルの方法に頼らず、自然数の研究が 6,000 年以上にわたって行われてきたという事実を参照するほかありません。これらの公理が発見されました。

ペアノ公理系の独立性

最初の公理の独立性を証明するには、公理 A 1 が偽で、公理 A 2、A 3、A 4 が真であるモデルを構築するだけで十分です。 数値 1、2、3 を主項 (要素) として考え、1 / = 2、2 / = 3、3 / = 1 の関係によって「後続」関係を定義します。

このモデルには他の公理に従っていない要素はありません (公理 1 は偽) が、他の公理はすべて満たされています。 したがって、最初の公理は他の公理に依存しません。

2 番目の公理は、存在と一意性という 2 つの部分で構成されます。 この公理の (存在の観点からの) 独立性は、単一の関係: 1 / = 2 によって定義される「フォロー」関係を持つ 2 つの数値 (1、2) のモデルによって説明できます。

2 については、次の要素が欠落していますが、公理 A 1、A 3、A 4 は真です。

この公理の独立性は、一意性の観点から、集合 N がすべての通常の自然数の集合、およびあらゆる種類の単語 (必ずしも意味を持たない文字の集合) の集合となるモデルによって示されます。ラテン文字のアルファベットの順 (文字 z の次は aa、次に ab ... az、次に ba ...; 考えられるすべての 2 文字の単語 (最後は zz ) が続きます。 aaa などという単語で)。 図に示すように、「フォロー」関係を導入します。

ここで、公理 A 1、A 3、A 4 も真ですが、1 のすぐ後に 2 つの要素 2 と a が続きます。 したがって、公理 2 は他の公理に依存しません。

公理 3 の独立性は次のモデルで示されます。

ここで、A 1、A 2、A 4 は true ですが、数値 2 は数値 4 と数値 1 の両方の後に続きます。

帰納公理の独立性を証明するために、すべての自然数と 3 つの文字 (a、b、c) で構成される集合 N を使用します。 このモデルでは、次の図に示すような関係を導入できます。

ここで、自然数の場合は通常の追従関係を使用し、文字の場合は a / = b、b / = c、c / = a の式で追従関係を定義します。 1 がどの自然数にも続かないことは明らかであり、それぞれの自然数に対して次の自然数が存在し、1 つだけが存在し、各要素の後に続くのは最大でも 1 つの要素です。 ただし、通常の自然数から構成される集合 M を考慮すると、これは、1 を含むこの集合の部分集合と、M の各要素の次の要素になります。ただし、この部分集合は、以下のモデル全体とは一致しません。 a、b、c の文字が含まれないため、考慮してください。 したがって、このモデルでは帰納公理は満たされないため、帰納公理は他の公理に依存しません。

自然数の公理理論は次のとおりです。 カテゴリー的な（狭義では完全）。

 (n /) =( (n)) / .

完全な数学的帰納法の原理.

帰納定理。あるステートメント P(n) がすべての自然数に対して定式化され、a) P(1) が真、b) P(k) が真であるという事実から、P(k /) も真であるとします。 この場合、ステートメント P(n) はすべての自然数に対して真になります。

これを証明するために、P(n) が真となる自然数 n の集合 M (M  N) を導入しましょう。 公理 A 4 を使用してみましょう。つまり、次のことを証明してみます。

1. k  M => k /  M.

成功すれば、公理 A 4 に従って、M = N、つまり P(n) がすべての自然数に対して真であると結論付けることができます。

1) 定理の条件 a) によれば、P(1) は真であるため、1 ⎃ M となります。

2) ある k ⃎ M の場合、(M の構築により) P(k) が真になります。 定理の条件 b) によれば、これは P(k /) の真理を伴い、これは k /  M を意味します。

したがって、帰納法 (A 4) の公理により、M = N になります。これは、P(n) がすべての自然数に対して真であることを意味します。

したがって、帰納の公理を使用すると、「帰納法によって」定理を証明する方法を作成できます。 この方法は、自然数に関する算術の基本定理を証明する上で重要な役割を果たします。 これは次の内容で構成されます。

1) ステートメントの有効性がチェックされます。n=1 (誘導ベース) ,

2) このステートメントの有効性は次の場合に想定されます。n= k、 どこk– 任意の自然数(帰納的仮説) 、そしてこの仮定を考慮すると、ステートメントの妥当性は次のように確立されます。n= k / (誘導ステップ ).

与えられたアルゴリズムに基づく証明は証明と呼ばれます 数学的帰納法による .

独立した解決策のタスク

1.1番。 リストされたシステムのどれがペアノの公理を満たしているかを調べて (それらは自然数のセットのモデルです)、どの公理が満たされているか、どれが満たされていないかを判断します。

a) N =(3, 4, 5...)、n / = n + 1;

b) N =(n  6, n  N)、n / = n + 1;

c) N =(n  – 2, n  Z)、n / = n + 1;

d) N =(n  – 2, n  Z)、n / = n + 2;

e) 奇数の自然数、n / = n +1。

f) 奇数の自然数、n / = n +2。

g) n / = n + 2 の比を持つ自然数。

h) N =(1, 2, 3)、1 / = 3、2 / = 3、3 / = 2;

i) N =(1、2、3、4、5)、1 / = 2、2 / = 3、3 / = 4、4 / = 5、5 / = 1;

j) 自然数、比 n / = n + 3 の 3 の倍数

k) n / = n + 2 の比を持つ偶数の自然数

m) 整数、
.

演習 3.1.4 で述べたように、整数理論の公理系の与えられた系は独立していません。

定理1.整数の公理理論は一貫しています。

証拠。 自然数の公理理論が無矛盾であるという仮定に基づいて、整数の公理理論の無矛盾性を証明します。 これを行うために、理論のすべての公理が満たされるモデルを構築します。

まずはリングを作りましょう。 セットを検討してください

N´ N = {(a、b)ï a、bÎ N}.

a、b) 自然数。 このようなペアによって、自然数の違いが理解できます。 a-b。 しかし、そのような差が存在する整数系の存在が証明されるまでは、そのような指定を使用する権利はありません。 同時に、そのような理解により、必要に応じてペアのプロパティを設定する機会が得られます。

私たちは、自然数の異なる差が同じ整数に等しくなる可能性があることを知っています。 そこで、セットでご紹介します N´ N等価関係:

(a、b) = (CD) Û a + d = b + c.

この関係が再帰的、対称的、推移的であることは簡単にわかります。 したがって、それは同等の関係であり、平等と呼ばれる権利があります。 集合の因子集合 N´ N Z。 その要素を整数と呼びます。 これらは、ペアのセット上の同値クラスを表します。 ペアを含むクラス
(a、b)、[ で表します a、b].

Z a、b】その違いはどうですか？ a-b

[a、b] + [CD] = [a+c、b+d];

[a、b] × [ CD] = [AC+BD、AD+BC].

厳密に言えば、ここでの演算記号の使用は完全に正しいわけではないことに注意してください。 同じ記号 + は、自然数とペアの加算を示します。 ただし、特定の操作がどのセットで実行されるかは常に明らかであるため、ここではこれらの操作に別個の表記法を導入しません。

これらの操作の定義が正しいこと、つまり結果が要素の選択に依存していないことをチェックする必要があります。 あるそして b、ペアを定義する [ a、b]。 確かに、しましょう

[a、b] = [ある 1 、b 1 ], [SD] = [と 1 、d 1 ].

だということだ a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + と 1. これらの等式を追加すると、次のようになります。

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + と 1Þ[ a + b、c + d] = [ある 1 +と 1 、b 1 + d 1]Þ

Þ [ a、b] + [CD] = [ある 1 、b 1 ] + [c 1 、d 1 ].

乗算の定義の正しさも同様に判定されます。 しかし、ここではまず次のことを確認する必要があります [ a、b] × [ CD] = [ある 1 、b 1 ] × [ CD].

ここで、結果の代数が環、つまり公理 (Z1) – (Z6) であることを確認する必要があります。

たとえば、加算の可換性、つまり公理 (Z2) を確認してみましょう。 我々は持っています

[CD] + [a、b] = = [a+c、b+d] = [a、b] + [CD].

整数の加算の可換性は、既知であると考えられる自然数の加算の可換性から導出されます。

公理 (Z1)、(Z5)、(Z6) も同様にチェックされます。

ゼロの役割はペアによって演じられます。 で表しましょう 0 。 本当に、

[a、b] + 0 = [a、b] + = [α+ 1,b+ 1] = [a、b].

ついに、 -[ a、b] = [b、a]。 本当に、

[a、b] + [b、a] = [a+b、b+a] = = 0 .

次に、拡張公理を確認してみましょう。 リングの要素は自然数のペアのクラスであるため、構築されたリングには自然数自体が存在しないことに留意する必要があります。 したがって、自然数の半環と同型の部分代数を見つける必要があります。 ここでもまたカップルのアイデアが [ a、b】その違いはどうですか？ a-b。 自然数 nたとえば、次のように 2 つの自然値の差として表すことができます。 n = (n+ 1) – 1. したがって、対応関係を確立するという提案が生じます。 f: N ® Z規則に従って

f(n) = [n + 1, 1].

この対応は単射的です:

f(n) = f(メートル) Þ [ n + 1, 1]= [メートル+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (メートル+ 1) Þ n = m.

したがって、以下の間には 1 対 1 対応が成立します。 Nそしていくつかのサブセット Zで表します。 N*。 操作が保存されていることを確認してみましょう。

f(n) + f(メートル) = [n + 1, 1]+ [メートル + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + メートル+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(メートル) = [n+ 1、1]×[ メートル + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

これにより、 N*のフォーム Z加算と乗算の演算に関しては部分代数同型 N

ペアを表すとしましょう [ n+ 1, 1] から N* n、 を通して n a、b] 我々は持っています

[a、b] = [ある + 1, 1] + = [ある + 1, 1] – [b + 1, 1] = ある – b .

これは最終的にカップルの考えを実証します[ a、b] を自然数の差として表します。 同時に、構築されたセットの各要素が Zは 2 つの自然値の差として表されます。 これは最小性の公理を検証するのに役立ちます。

させて M –サブセット Z, 含む N*あらゆる要素と一緒に あそして b彼らの違い a – b。 この場合、それを証明しましょう M =Z。 実際、どの要素も Zは、条件によって以下に属する 2 つの自然数の差として表されます。 Mその違いも含めて。

Z

定理2.整数の公理理論はカテゴリー論的です。

証拠。 この理論のすべての公理が満たされる任意の 2 つのモデルが同型であることを証明しましょう。

しましょう Z 1、+、×、 N 1 ñ と á Z 2、+、×、 N 2 ñ – 私たちの理論の 2 つのモデル。 厳密に言えば、それらの操作は別の記号で示される必要があります。 計算が混乱しないように、この要件から離れていきます。どのような操作について話しているのかは、毎回明確です。 検討中のモデルに属する要素には、対応するインデックス 1 または 2 が与えられます。

最初のモデルから 2 番目のモデルへの同型マッピングを定義します。 なぜなら N 1と N 2 が自然数の半環である場合、最初の半環から 2 番目の半環への同型写像 j が存在します。 マッピングを定義しましょう f: Z 1® Z 2. すべての整数 バツ 1Î Z 1 は 2 つの自然値の差として表されます。
バツ 1 = a 1 –b 1. 我々は信じている

f (バツ 1) = j( ある 1) – j( b 1).

それを証明しましょう f– 同型性。 マッピングが正しく定義されている場合: バツ 1 = で 1 どこで y 1 = c 1 – d 1、それでは

ある 1 –b 1 = c 1 – d 1Þ ある 1 +d 1 = b 1 + c 1×j( ある 1 +d 1) = j( b 1 + c 1)Þ

Þj( ある 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1)Þj( ある 1) – j( b 1)= j( c 1) – j( d 1)Þ f(バツ 1) =f (y 1).

したがって、 f – 1対1のマッピング Z 1インチ Z 2. でも誰にとっても バツ 2の Z 2 自然の要素を見つけることができます ある 2と b 2そのような バツ 2 = a 2 –b 2. j は同型であるため、これらの要素は逆像を持ちます。 ある 1と b 1. 手段、 バツ 2 = j( ある 1) – j( b 1) =
= f (ある 1 –b 1) からの各要素について Z 2はプロトタイプです。 したがって、対応 f 1対1。 操作が保存されることを確認してみましょう。

もし バツ 1 = a 1 –b 1 , y 1 =c 1 –d 1、それでは

バツ 1 + y 1 = (ある 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(バツ 1 + y 1) = j( ある 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( ある 1)+j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( ある 1) – j( b 1)+j( c 1)– j( d 1) =f(バツ 1) + f(y 1).

同様に、乗算が保存されることが確認されます。 これにより、 fは同型写像であり、定理は証明されています。

演習

1. 自然数系を含む環には整数の環も含まれることを証明してください。

2. 恒等性を持つすべての最小順序可換環が整数の環と同型であることを証明します。

3. 約数が 1 でゼロがないすべての順序付けされたリングには、整数のリングと同型の部分リングが 1 つだけ含まれていることを証明します。

4. 実数体上の 2 次行列の環には、整数の環と同型の部分環が無限に多く含まれていることを証明します。

有理数の場

有理数系の定義と構築は、整数系の場合と同じ方法で実行されます。

意味。有理数系は、整数のリングを拡張した最小体です。

この定義に従って、有理数系の次の公理的な構造が得られます。

主な用語:

Q– 有理数のセット;

0、1 – 定数。

+、× – 二項演算 Q;

Z– サブセット Q、整数のセット。

Å、Ä – 二項演算 Z.

公理:

私。 場の公理.

(Q1) ある+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" ある) ある + 0 = ある.

(Q4) (" ある)($(–ある)) ある + (–ある) = 0.

(Q5) ある× ( b× c) = (ある× b) × c.

(問6) ある× b = b× ある.

(Q7) あ× 1 = あ.

(Q8) (" ある¹ 0)($ ある –1) ある × ある –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. 拡張公理.

(問10) b Z、Å、Ä、0、1ñ – 自然数の環。

(Q11) Z Í Q.

(Q12) (" a、bÎ Z) a + b = aÅ b.

(Q13) (" a、bÎ Z) ある× b = aÄ b.

Ⅲ． 最小性の公理.

(問14) MÍ Q, ZÍ M, ("a、bÎ M)(b ¹ 0 ® ある× b–1О M)Þ M = Q.

番号 ある× b–1は数値の商と呼ばれます あそして bで示される ある/bまたは 。

定理1.すべての有理数は 2 つの整数の商として表すことができます。

証拠。 させて M– 2 つの整数の商として表すことができる一連の有理数。 もし n- 全部、それでは n = n/1 所属 Mしたがって、 ZÍ M。 もし a、bÎ M、 それ a = k/l、b = m/ん、どこ k、l、m、nÎ Z。 したがって、 ある/b=
= (知っている) / (lm)Î M。 公理によると（Q14） M= Qとなり、定理が証明されました。

定理2.有理数の場は、独特の方法で線形かつ厳密に順序付けることができます。 有理数の分野での順序はアルキメデス的であり、整数の環でも順序が続きます。

証拠。 で表しましょう Q+ 分数として表現できる一連の数値。 kl> 0。この条件が数値を表す分数の種類に依存しないことは簡単にわかります。

それを確認しましょう Q + – フィールドのポジティブな部分 Q。 整数の場合 kl次の 3 つのケースが考えられます。 kl = 0, klÎ N, –kl Î Nの場合、a = の場合、次の 3 つの可能性のうちの 1 つが得られます: a = 0、aО Q+、-aО Q + 。 さらに、 a = 、 b = が属する場合 Q+ 、その後 kl > 0, ん> 0. 次に、 a + b = 、および ( kn+ml)ln = kln 2 + MNL 2 > 0。つまり a + bО Q + 。 abО と同様の方法で検証できます。 Q + 。 したがって、 Q + – フィールドの正の部分 Q.

させて Q++ – この分野のポジティブな部分。 我々は持っています

l =.l 2 О Q ++ .

ここから NÍ Q＋＋。 定理 2.3.4 により、自然数の逆数も以下に属します。 Q＋＋。 それから Q + Í Q＋＋。 定理 2.3.6 により Q + =Q＋＋。 したがって、正の部分によって定義される次数も一致します。 Q+と Q ++ .

なぜなら Z + = NÍ Q+ の場合、順序は次のようになります。 Qで注文を継続します Z.

ここで、a => 0、b => 0 とします。アルキメデスの整数の環の順序なので、正の場合は次のようになります。 知っているそして ミリリットル何か自然なものがある とそのような と× 知っている>ミリリットル。 ここから と a = と> = b. これは、有理数分野の順序がアルキメデスであることを意味します。

演習

1. 有理数の体が密であること、つまりあらゆる有理数の体が密であることを証明します。 ある < b合理性がある rそのような ある < r < b.

2. 方程式が成り立つことを証明してください バツ 2 = 2には解決策がありません Q.

3. 集合であることを証明する Q数えられるほど。

定理3.有理数の公理理論は一貫しています。

証拠。 有理数の公理理論の一貫性は、整数の場合と同じ方法で証明されます。 これを行うには、理論のすべての公理が満たされるモデルが構築されます。

基本としてセットを採用します

Z´ Z* = {(a、b)ï a、bÎ Z, b ¹ 0}.

このセットの要素はペアです ( a、b) 整数。 このようなペアによって、整数の商がわかります。 ある/b。 これに従って、ペアのプロパティを設定します。

セットで紹介しましょう Z´ Z*等価関係:

(a、b) = (CD) Û 広告 = 紀元前.

これは等価関係であり、平等と呼ばれる権利があることに注意します。 集合の因子集合 Z´ Z*この等価関係によれば、次のように表されます。 Q。 その要素を有理数と呼びます。 ペア ( a、b)、[ で表します a、b].

構築済みセットで紹介しましょう Q加算と乗算の演算。 これは要素を理解するのに役立ちます [ a、b』プライベートとして ある/b。 これに従って、定義により次のように仮定します。

[a、b] + [CD] = [広告+BC、BD];

[a、b] × [ CD] = [AC、BD].

これらの操作の定義が正しいこと、つまり結果が要素の選択に依存しないことをチェックします。 あるそして b、ペアを定義する [ a、b]。 これは、定理 3.2.1 の証明と同じ方法で行われます。

ゼロの役割はペアによって演じられます。 で表しましょう 0 。 本当に、

[a、b] + 0 = [a、b] + = [あ× 1+0× b、b× 1] = [a、b].

の反対 [ a、b] はペア –[ a、b] = [–a、b]。 本当に、

[a、b] + [–a、b]= [ab – ab、bb] = = 0 .

単位はペアです = 1 。 ペアに戻す [ a、b] - ペア [ b、a].

次に、拡張公理を確認してみましょう。 通信を確立しましょう
f: Z ® Q規則に従って

f(n) = [n, 1].

これが 1 対 1 対応であることを確認します。 Zそしていくつかのサブセット Qで表します。 Z*。 さらに、演算が保存されていることを確認します。これは、以下の同型性が確立されていることを意味します。 Zそしてリングの下で Z* V Q。 これは、拡張公理が検証されたことを意味します。

ペアを表すとしましょう [ n、1]から Z*、自然数に対応 n、 を通して n 。 次に、任意のペアについて [ a、b] 我々は持っています

[a、b] = [ああ、 1] × = [ ああ、 1] / [b、 1] = ある /b .

これはペアという考えを正当化します [ a、b] を整数の商として計算します。 同時に、構築されたセットの各要素が Qは 2 つの整数の商として表されます。 これは最小性の公理を検証するのに役立ちます。 検証は定理 3.2.1 と同様に行われます。

したがって、構築されたシステムに対して、 Q整数理論のすべての公理が満たされています。つまり、この理論のモデルが構築されました。 定理は証明されました。

定理4.有理数の公理理論はカテゴリー論的です。

この証明は、定理 3.2.2 の証明と同様です。

定理5.アルキメデスの順序体は、有理数体の拡張です。

証明は演習です。

定理6.させて F– アルキメデス順序体、 ある > b、どこ a、bÎ F。 有理数 Î があります Fそのような ある > > b.

証拠。 させて ある > b³ 0.それでは a-b> 0、および ( a-b) –1 > 0。自然な Tそのような メートル×1 > ( a-b) –1 、どこから メートル –1 < a-b £ あ。 さらに、自然な kそのような k× メートル–13 ある。 させて kは、この不等式が成り立つ最小の数です。 なぜなら k> 1 の場合、次のように入れます。 k = n + 1, n Î N。 その中で
(n+1)× メートル–13 ある, n× メートル –1 < ある。 もし n× メートル–1ポンド b、 それ ある = b + (a-b) > b+m–13 n× メートル –1 + メートル –1 =
= (n+1)× メートル-1 。 矛盾。 手段、 ある >n× メートル –1 > b.

演習

4. 整数の環を含む体には有理数の体も含まれることを証明してください。

5. すべての最小順序体が有理数体と同型であることを証明します。

実数

この推奨事項は、「代数と数論」という分野を研究している教育大学の学生を対象としています。 この分野の枠組み内で、州の基準に従って、6学期に「数値体系」セクションが学習されます。 これらの推奨事項は、自然数系 (ペアノ公理系)、整数系および有理数系の公理的構築に関する資料を提供します。 この公理により、学校の数学コースの基本概念の 1 つである数値とは何かをよりよく理解できるようになります。 内容をよりよく理解できるように、関連するトピックに関する問題が提供されます。 推奨事項の最後には、回答、指示、問題の解決策が記載されています。

査読者：教育科学博士、教授 ダリンジャー V.A.

(c) モザン N.N.

出版のために署名 - 1998/10/22

1. 自然な数字。

1.1 ペアノの公理系と最も単純な結果。

ペアノの公理理論の最初の概念は、集合 N (自然数の集合と呼ぶことにします)、そこから得られる特別な数ゼロ (0)、そして S(a) で示される N に「従う」二項関係です (またはあ())。
公理:
1. ((a(N) a"(0 (数字の後に続かない自然数 0 があります。)
2. a=b (a"=b" (すべての自然数 a に対して、それに続く自然数 a" は 1 つだけあります。)
3. a"=b" (a=b (各自然数の後には最大 1 つの数値が続きます。)
4. (帰納公理) 集合 M(N と M が 2 つの条件を満たす場合:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M の場合、M=N。
関数用語では、これはマッピング S:N®N が単射的であることを意味します。 公理 1 から、マッピング S:N®N は全射的ではないことがわかります。 公理 4 は、「数学的帰納法による」ステートメントを証明するための基礎です。
公理から直接導かれる自然数のいくつかの性質に注目してみましょう。
プロパティ 1. すべての自然数 a(0 の後には 1 つの数値だけが続きます。
証拠。 ゼロと、それぞれが何らかの数字に続くすべての自然数を含む自然数の集合を M で表すことにします。 M=N であること、一意性が公理 3 から得られることを示すだけで十分です。帰納法公理 4 を適用しましょう。
A) 0(M - 集合 M の構築による;
B) if a(M, then a"(M, なぜなら、a" は a の後に続くからです。
これは、公理 4 より、M=N であることを意味します。
プロパティ 2. a(b の場合、a"(b"。
この性質は、公理 3 を使用して矛盾によって証明されます。次の性質 3 は、公理 2 を使用して同様の方法で証明されます。
プロパティ 3. a"(b" の場合、a(b.
プロパティ 4. ((a(N)a(a"。 (自然数が後続することはありません。)
証拠。 M=(x (x(N, x(x")) とします。M=N であることを示すだけで十分です。公理 1 ((x(N)x"(0、つまり 0"(0したがって、公理 4 0(M - の条件 A) が満たされます。x(M、つまり x(x" の場合、プロパティ 2 x"((x")"、つまり条件 B) x になります。 ( M ® x"(M. しかし、公理 4 によれば、M=N となります。
自然数の性質を ( とします。数 a が (という性質を持つ) という事実を、((a) と書きます。
タスク1.1.1。 自然数の集合の定義からの公理 4 が次のステートメントと同等であることを証明してください: for any property (, if ((0) and, then.
タスク1.1.2。 3 要素の集合 A=(a,b,c) では、単項演算 ( (は次のように定義されます: a(=c, b(=c, c(=a)。この集合で真となるペアノ公理はどれですか操作を伴うA（？
タスク1.1.3。 A=(a) を単一集合、a(=a とします。演算 (?
タスク1.1.4。 集合 N に対して、any を仮定して単項演算を定義します。 演算に関して定式化されたペアノ公理のステートメントが N で真となるかどうかを調べます。
問題1.1.5。 そうしましょう。 A が操作 () で閉じていることを証明します。操作 () を使用して、集合 A に関するペアノ公理の真実性を検証します。
問題1.1.6。 としましょう。 A の設定に対する単項演算を定義しましょう。 ペアノの公理のうち、演算を伴う集合 A で正しいものはどれですか?

1.2. ペアノ公理系の一貫性と定言性。

公理系が定理 T とその否定 (T) を公理から証明することが不可能である場合、その公理系は一貫していると呼ばれます。矛盾する公理系が数学において意味を持たないことは明らかです。なぜなら、そのような理論では望むものは何でも証明できるからです。そのような理論は現実世界の法則を反映していません。したがって、公理系の一貫性は絶対に必要な要件です。
定理 T とその否定 (T) が公理理論に見つからない場合、これはそのような理論が将来現れる可能性があることを意味するものではありません。したがって、公理システムの整合性が証明されなければなりません。一貫性を証明する最も一般的な方法は、明らかに一貫した理論 S に公理系の解釈がある場合、公理系自体が一貫しているという事実に基づく解釈の方法です。実際、公理系が矛盾している場合、その場合、定理 T と (T は証明可能ですが、その場合、これらの定理は有効です。およびその解釈では、理論 S の一貫性と矛盾します。解釈の方法では、理論の相対的な一貫性のみを証明できます。
ペアノ公理系については、さまざまな解釈を構築できます。 集合論は特に解釈が豊富です。 これらの解釈のうちの 1 つを示してみましょう。 集合 (、(()、((())、(((())))、... を自然数と見なし、ゼロを特別な数 (と見なします。関係は「次の」になります。集合 M の後に集合 (M) が続き、その唯一の要素は M 自体です。 したがって、("=(()、(()"=((​​()) など) が実現可能です。公理 1 ～ 4 は簡単に検証できますが、そのような解釈の有効性はわずかです。集合論が一貫している場合、ペアノの公理系が一貫していることを示します。しかし、集合論の公理系の一貫性を証明するのはさらに困難です。ペアノ公理システムの最も説得力のある解釈は直感的な算術であり、その一貫性は何世紀にもわたる開発によって確認されています。
一貫した公理系は、この系の各公理が他の公理に基づいて定理として証明できない場合、独立していると呼ばれます。 公理が（システムの他の公理に依存しない）ことを証明するには
(1、(2、...、(n、((1)
公理系が一貫していることを証明できれば十分です
(1、(2、...、(n、(((2)
実際、システム (1) の残りの公理に基づいて (が証明された場合、システム (2) には定理 (および公理 (() が存在するため、システム (2) は矛盾することになります。
したがって、公理系 (1) の他の公理からの独立性を証明するには、公理系 (2) の解釈を構築するだけで十分です。
公理系の独立性はオプションの要件です。 場合によっては、「難しい」定理の証明を避けるために、意図的に冗長な (依存した) 公理系が構築されることがあります。 ただし、「余分な」公理により、理論における公理の役割や、理論の異なるセクション間の内部論理的接続を研究することが困難になります。 さらに、公理の従属系の解釈を構築することは、独立した公理系の解釈を構築するよりもはるかに困難です。 結局のところ、「追加の」公理の妥当性をチェックする必要があります。 これらの理由から、公理間の依存関係の問題は古くから最も重要視されてきました。 かつて、ユークリッドの公理の公準5「点Aを通る直線と平行な直線は1本しかない」が定理である(つまり、残りの公理に依存する)ことを証明する試みがロバチェフスキーの発見につながった。幾何学。
与えられた理論の命題 A が証明または反駁できる場合、つまり A または (A は与えられた理論の定理です。証明も反駁もできない命題がある場合、一貫したシステムは演繹的に完全であると呼ばれます) 、その場合、公理系は演繹的に不完全であると呼ばれます。たとえば、群理論、環理論、および場の理論の公理系は、有限群と無限群の両方が存在するため、必須の要件ではありません。 、体、これらの理論では、「群 (環、体) には有限数の要素が含まれる」という命題を証明することも反証することも不可能です。
多くの公理理論 (つまり、形式化されていない理論) では、一連の命題が正確に定義されていると見なすことができず、したがって、そのような理論の公理系の演繹的完全性を証明することは不可能であることに注意してください。 もう 1 つの完全性の感覚は、カテゴリー性と呼ばれます。 公理系は、その解釈のいずれか 2 つが同型である場合、つまり、一方の解釈の初期オブジェクトの集合ともう一方の解釈の初期オブジェクトの集合の間に、すべての初期関係の下で保存されるような 1 対 1 の対応関係がある場合、カテゴリー的と呼ばれます。 カテゴリ性もオプションの条件です。 たとえば、群論の公理系はカテゴリー的ではありません。 これは、有限群が無限群と同型であることはできないという事実からわかります。 ただし、数値システムの理論を公理化する場合、カテゴリー性は必須です。 たとえば、自然数を定義する公理系のカテゴリー的性質は、同型写像までは自然系列が 1 つだけ存在することを意味します。
ペアノ公理系の定言的性質を証明してみましょう。 (N1, s1, 01) と (N2, s2, 02) をペアノ公理系の任意の 2 つの解釈とします。 以下の条件を満たす全単射 (1 対 1) マッピング f:N1®N2 を示す必要があります。
a) N1 の任意の x に対して f(s1(x)=s2(f(x)))。
b) f(01)=02
単項演算 s1 と s2 の両方が同じ素数で表される場合、条件 a) は次の形式に書き換えられます。
a) f(x()=f(x)(.
次の条件により、集合 N1(N2) 上の二項関係 f を定義しましょう。
1) 01f02;
2) xfy の場合、x(fy(.
この関係が N1 から N2 へのマッピング、つまり N1 からの各 x に対するマッピングであることを確認しましょう。
(((y(N2) xfy (1)
M1 が、条件 (1) が満たされる N1 からのすべての要素 x の集合を表すものとします。 それから
A) 01(1 による M1);
B) x(M1 ® x((2 による M1) および段落 1 のプロパティ 1。
ここから、公理 4 に従って、M1=N1 と結論付けられます。これは、関係 f が N1 から N2 への写像であることを意味します。 さらに、1) より、f(01)=02 となります。 条件 2) は次の形式で記述されます: if f(x)=y, then f(x()=y(. したがって、f(x()=f(x)() となります。したがって、f 条件 a を表示するには) と b) は満たされます。写像 f が全単射であることを証明する必要があります。
N2 からの要素のセットを M2 で表すことにします。各要素は、マッピング f の下で N1 からの 1 つだけの要素のイメージです。
f(01)=02なので、02は画像になります。 さらに、x(N2 および x(01) の場合、項目 1 のプロパティ 1 により、x は N1 の要素 c の後に続き、f(x)=f(c()=f(c)((02 を意味します。これは 02 を意味します)唯一の要素 01、つまり 02(M2.
さらに y(M2 および y=f(x) とします。ここで、x は要素 y の唯一の逆イメージです。次に、条件 a) により、y(=f(x)(=f(x()))、つまり、 y(は要素x (のイメージです。cは要素y(の任意の逆イメージです。つまり、f(c)=y(です。y((02であるため、c(01、cについては前のこの要素を d で表します。すると、y(=f( c)=f(d()=f(d)() となり、公理 3 より y=f(d) となります。ただし、y(M2 なので、d= x, whence c=d(=x(. y が一意の要素のイメージである場合、 y( は一意の要素のイメージ、つまり y(M2 ® y((M2. 両方とも) であることを証明しました。公理 4 の条件が満たされるため、M2=N2 となり、圏性の証明が完了します。
ギリシャ以前の数学はすべて経験的な性質を持っていました。 理論の個々の要素は、実際的な問題を解決するための多数の経験的手法の中に埋もれていました。 ギリシャ人はこの経験的資料を論理処理し、さまざまな経験的情報間のつながりを見つけようとしました。 この意味で、ピタゴラスと彼の学派 (紀元前 5 世紀) は幾何学において重要な役割を果たしました。 公理的方法の考え方は、アリストテレス (紀元前 4 世紀) の著作にはっきりと表れています。 ただし、これらのアイデアの実際の実装は、ユークリッドの『原論』（紀元前 3 世紀）で実行されました。
現在、公理理論は 3 つの形式に区別できます。
1)。 前世紀半ばまでは唯一の公理だった意味のある公理。
2)。 前世紀の最後の四半世紀に生まれた半形式的な公理学。
3)。 形式的（または形式化された）公理学。その誕生の日付は、D. ヒルベルトが形式化された数学の基本原理に関する有名なプログラムを発表した 1904 年と考えられます。
それぞれの新しい形式は以前の形式を否定するものではなく、その発展と明確化であるため、それぞれの新しい形式の厳密さのレベルは以前のものよりも高くなります。
意味のある公理は、公理が定式化される前であっても、最初の概念が直観的に明確な意味を持っているという事実によって特徴付けられます。 したがって、ユークリッドの原論では、点はまさにこの概念によって直感的に理解されるものを意味します。 この場合、アリストテレスに遡る、通常の言語と通常の直感的な論理が使用されます。
半形式的な公理理論でも、通常の言語と直感的な論理が使用されます。 ただし、意味のある公理論とは対照的に、元の概念には直観的な意味が与えられておらず、公理によってのみ特徴付けられます。 直観がある程度厳密さを妨げるため、これにより厳密さが増します。 さらに、そのような理論で証明されたすべての定理はどのような解釈においても有効であるため、一般性が獲得されます。 準形式的な公理理論の例は、ヒルベルトの著書「幾何学の基礎」(1899 年) に記載されている理論です。 準形式理論の例には、環の理論や、代数コースで提示される他の多くの理論もあります。
形式化された理論の例としては、数理論理学のコースで学習される命題微積分があります。 実体公理や半形式公理とは異なり、形式理論では特別な記号言語が使用されます。 つまり、理論のアルファベット、つまり、通常の言語の文字と同じ役割を果たす特定の記号のセットが与えられます。 有限の文字列は式または単語と呼ばれます。 式の中では式のクラスが区別され、各式が式であるかどうかを判断できる正確な基準が示されます。 数式は、通常の言語における文章と同じ役割を果たします。 一部の公式は公理として宣言されています。 さらに、論理推論ルールが指定されます。 このような各ルールは、完全に明確な公式が特定の一連の公式から直接得られることを意味します。 定理自体の証明は式の有限連鎖であり、最後の式は定理自体であり、各式は公理または以前に証明された定理のいずれかであるか、または次のいずれかに従って連鎖の前の式から直接続きます。推論のルール。 したがって、証拠の厳密さについてはまったく疑問の余地はありません。特定のチェーンが証拠であるか、疑わしい証拠がないかのどちらかです。 この点において、形式化された公理論は、主に私たちの日常言語の不正確さや曖昧さによって、通常の直観的論理が誤った結論につながる可能性がある数学理論の実証という特に微妙な問題で使用されます。
形式化された理論では、各式についてそれが式であるかどうかを言うことができるため、形式化された理論の一連の文は明確であると考えることができます。 この点に関して、原理的には、解釈に頼ることなく、演繹的完全性の証明と一貫性の証明の問題を提起することができます。 多くの単純なケースではこれを実現できます。 たとえば、命題微積分の整合性は解釈なしで証明されます。
形式化されていない理論では、多くの命題が明確に定義されていないため、解釈に頼ることなく一貫性を証明するという問題を提起することは無意味です。 演繹的完全性の証明の問題にも同じことが当てはまります。 しかし、証明も反証もできない非形式的な理論の提案に遭遇した場合、その理論は明らかに演繹的に不完全です。
公理的手法は、数学だけでなく物理学でも古くから使用されてきました。 この方向への最初の試みはアリストテレスによってなされましたが、公理的な方法が物理学で実際に応用されたのは、ニュートンの力学の著作においてのみでした。
科学の数学化の急速なプロセスに関連して、公理化のプロセスも存在します。 現在、公理的手法は遺伝学のような生物学の一部の分野でも使用されています。
それにもかかわらず、公理的方法の可能性は無限ではありません。
まず第一に、形式化された理論であっても、直観を完全に避けることはできないことに注意してください。 解釈のない形式化された理論自体には意味がありません。 したがって、形式化された理論とその解釈との関係については、多くの疑問が生じます。 さらに、形式化された理論と同様に、公理系の一貫性、独立性、完全性について疑問が生じます。 このようなすべての疑問の全体は、形式化された理論のメタ理論と呼ばれる別の理論の内容を構成します。 形式化された理論とは異なり、メタ理論の言語は通常の日常言語であり、論理的推論は通常の直観的論理の規則によって実行されます。 したがって、形式化された理論から完全に追放された直観は、そのメタ理論の中に再び現れます。
しかし、これは公理的手法の主な弱点ではありません。 形式化された公理手法の基礎を築いた D. ヒルベルトのプログラムについてはすでに述べました。 ヒルベルトの主なアイデアは、古典数学を形式化された公理理論として表現し、その一貫性を証明することでした。 しかし、このプログラムは要点においてはユートピア的であることが判明した。 1931 年、オーストリアの数学者 K. ゲーデルは彼の有名な定理を証明し、そこからヒルベルトが提起した両方の主要な問題は不可能であることが判明しました。 彼は、コーディング手法を使用して、形式化された算術の公式を使用してメタ理論からのいくつかの真の仮定を表現し、これらの式が形式化された算術では導出できないことを証明しました。 したがって、形式化された算術は演繹的に不完全であることが判明しました。 ゲーデルの結果から、この証明不可能な公式が公理の数に含まれている場合、何らかの真の命題を表す別の証明不可能な公式が存在することがわかりました。 これらすべては、すべての数学だけでなく、その最も単純な部分である算術さえも完全に形式化できないことを意味しました。 特に、ゲーデルは「形式化された算術は一貫している」という文に対応する式を構築し、この式も導出できないことを示しました。 この事実は、形式化された算術の一貫性は算術自体では証明できないことを意味します。 もちろん、より強力な形式化された理論を構築し、その手段を使用して形式化された算術の一貫性を証明することは可能ですが、その場合、この新しい理論の一貫性についてより難しい問題が生じます。
ゲーデルの結果は、公理的手法の限界を示しています。 それでもなお、知られざる真実が存在するという知識理論における悲観的な結論には全く根拠がありません。 形式的な算術では証明できない算術的真理が存在するという事実は、未知の真理が存在するという意味ではなく、人間の思考が制限されているという意味でもありません。 それは、私たちの思考の可能性が完全に形式化された手順に限定されておらず、人類がまだ新しい証明原理を発見し発明していないことを意味するだけです。

1.3.自然数の足し算

自然数の加算と乗算の演算は、ペアノ公理系では仮定されていません。これらの演算を定義します。
意味。 自然数の加算は、集合 N に対する 2 項代数演算 + であり、次の特性があります。
1秒。 ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
疑問が生じます。そのような操作は存在するのか、存在する場合、それが唯一の操作なのかということです。
定理。 自然数の足し算は1つだけです。
証拠。 集合 N に対する 2 値代数演算は、マッピング (:N(N®N) です。プロパティ: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)()。各自然数 x に対して写像の存在を証明する場合) fx:N®N プロパティ 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)() の場合、関数 ((x,y)、等式 ((x) ,y) (fx(y) は条件 1) と 2 を満たします)。
集合 N 上で、次の条件によって二項関係 fx を定義します。
a) 0fxx;
b) yfxzの場合、y(fxz(.
この関係が N から N へのマッピング、つまり N からの各 y に対するマッピングであることを確認しましょう。
(((z(N) yfxz (1)
条件(1)を満たす自然数yの集合をMとする。 次に、条件 a) から 0(M、条件 b) と節 1 のプロパティ 1 から、if y(M, then y((M. ここから、公理 4 に基づいて、M = と結論付けます。 N であり、これはリレーション fx が N から N へのマッピングであることを意味します。このマッピングでは、次の条件が満たされます。
1() fx(0)=x - a) による。
2() fx((y)=fx(y() - b のおかげ)。
したがって、加法が存在することが証明される。
一意性を証明しましょう。 + と ( を、プロパティ 1c と 2c を持つ集合 N に対する任意の 2 つの二項代数演算とします。次のことを証明する必要があります。
((x,y(N) x+y=x(y
任意の数 x を固定し、等式が成り立つ自然数 y の集合を S で表しましょう。
x+y=x(y (2)
実行されました。 1c によると x+0=x および x(0=x なので、
A) 0(S
ここで、y(S、つまり、等式 (2) が満たされるとします。x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(and x+y=x(y)) なので、公理 2 x+y(=x(y(、つまり、条件が満たされます) により、
B) y(S ® y((S.
したがって、公理 4 によれば、S=N となり、定理の証明が完了します。
加算のいくつかの性質を証明しましょう。
1. 数字 0 は加算の中立要素です。つまり、すべての自然数 a に対して a+0=0+a=a となります。
証拠。 等式 a+0=a は条件 1c から導かれます。 0+a=a という等価性を証明してみましょう。
M によって、それが保持するすべての数値の集合を表すことにします。 明らかに、0+0=0 であるため、0(M となります。a(M、つまり、0+a=a とします。その場合、0+a(=(0+a)(=a(、したがって、a((Mこれは M=N を意味し、これを証明する必要があります。
次に補題が必要です。
レマ。 a(+b=(a+b)(。
証拠。 M を、a の任意の値に対して等価 a(+b=(a+b) が真であるすべての自然数 b の集合とします。次に、次のようになります。
A) 0(M、a(+0=(a+0)(; なので)
B) b(M ® b((M. 実際、b(M と 2c という事実から、
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
つまり、b((M。これは M=N を意味し、これを証明する必要があります。
2. 自然数の加算は可換です。
証拠。 M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a) とします。M=N を証明すれば十分です。次のようになります。
A) 0(M - 特性 1 による。
B) a(M ® a((M. 実際、補題と a(M という事実を適用すると、次が得られます。
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(。
これは a((M、そして公理 4 より M=N を意味します。
3. 加算は結合的です。
証拠。 させて
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
M=N であることを証明する必要があります。 (a+b)+0=a+b および a+(b+0)=a+b であるため、0(M とします。c(M、つまり (a+b)+c=a+(b+c ) とします。 。 それから
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
これは c((M であり、公理 4 より M=N を意味します。
4. a+1=a(、1=0(。
証拠。 a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. b(0 の場合、((a(N)a+b(a.
証拠。 M=(a(a(N(a+b(a) とします。0+b=b(0 なので、0(M。さらに、a(M、つまり a+b(a) の場合、プロパティ 2 項目 1 (a+b)((a( または a(+b(a(。つまり、a((M および M=N。
6. b(0 の場合、((a(N)a+b(0.
証拠。 a=0 の場合、0+b=b(0 ですが、a(0 かつ a=c( の場合、a+b=c(+b=(c+b)(0。つまり、いずれの場合も a + b(0.
7. (加算の三分法則)。 任意の自然数 a および b について、次の 3 つの関係のうち 1 つだけが真になります。
1) a=b;
2) b=a+u、ここで u(0;
3) a=b+v、ここで v(0.
証拠。 任意の数 a を固定し、関係 1)、2)、3) の少なくとも 1 つが成立するすべての自然数 b の集合を M で表します。 M=N であることを証明する必要があります。 b=0 とします。 次に、a=0 の場合、関係 1 が真になります)、a(0 の場合、a=0+a であるため、関係 3 が真です)。 つまり、0(M.
ここで、b(M、つまり、選択された a について、関係 1)、2)、3) の 1 つが満たされると仮定します。 a=b の場合、b(=a(=a+1、つまり b の場合 (関係 2 が成立))。b=a+u の場合、b(=a+u(、つまり b(関係 2) a=b+v の場合、v=1 と v(1) の 2 つのケースが考えられます。v=1 の場合、a=b+v=b"、つまり、b" の場合、関係 1 は次のようになります。同じ v(1、次に v=c"、c(0、そして a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c、ここで c(0、つまりb" 関係 3 は満たされます)。したがって、b(M®b"(M、したがって M=N、つまり、任意の a と b について、関係 1)、2)、3 の少なくとも 1 つが満たされることが証明されました。実際に、関係 1) と 2) が満たされる場合、それらは b=b+u となり、ここで u(0) となり、これはプロパティ 5 と矛盾します。 1) の実現の不可能性は、3) と同様の方法でチェックされます。最後に、関係 2) と 3) が満たされる場合、a=(a+u)+v = a+ +(u+v) になります。 ) ですが、これは特性 5 と 6 により不可能です。特性 7 は完全に証明されています。
タスク1.3.1。 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)) とします。3+5=8 であることを証明してください) 2+4=6。

1.4. 自然数の乗算。

1.5。 自然数系の順序。

1.6. 自然数系の完全な順序。

1.7. 誘導の原理。

1.8. 自然数の減算と除算。

1.10. 個別の完全順序集合としての自然数系。

2. 整数と有理数。

2.2. 整数系の存在。

2.3. 整数体系の一意性。

2.4. 有理数系の定義と性質。

2.5. 有理数系の存在。

2.6. 有理数系の一意性。

答え、指示、解決策。

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