代数のレッスンでは、さまざまな種類の式を紹介します。 新しい素材が利用可能になると、表現はより複雑になります。 度数に慣れるにつれて、度数が徐々に式に追加され、複雑になっていきます。 これは分数や他の式でも起こります。

教材をできるだけ便利に学習できるように、特定の名前を使用して強調表示できるようにしています。 この記事では、学校で使用されるすべての基本的な代数式の完全な概要を説明します。

単項式と多項式

単項式と多項式は、7 年生から学校のカリキュラムで学習されます。 このタイプの定義は教科書に記載されています。

定義 1

単項式– これらは、数値、変数、それらの自然指数によるべき乗、それらの助けを借りて作られた製品です。

定義 2

多項式単項式の和と呼ばれます。

たとえば、数値 5、変数 x、次数 z 7 をとった場合、次の形式の積が得られます。 5×そして 7×27z7は単項式とみなされます。 次の形式の単項式の和を取る場合 5+xまたは z 7 + 7 + 7 × 2 7 z 7、多項式が得られます。

単項式と多項式を区別するには、次数とその定義に注意してください。 係数という概念は重要です。 類似した項を削減する場合、それらは多項式の自由項または先頭の係数で除算されます。

ほとんどの場合、一部のアクションは単項式および多項式に対して実行され、その後、式は単項式の形式に変換されます。 多項式の演算を実行するアルゴリズムに依存して、加算、減算、乗算、および除算を実行します。

変数が 1 つの場合、多項式を複数の多項式に分割し、積として表すことができます。 この操作は、多項式の因数分解と呼ばれます。

有理（代数）分数

有理分数の概念は高校2年生で学習します。 著者によっては、それらを代数分数と呼んでいます。

定義 3

有理代数分数分子と分母の代わりに多項式、単項式、または数値が現れる分数と呼ばれます。

3 x + 2, 2 · a + 3 · b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 および 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + のような有理分数を書く例を考えてみましょう。 4. 定義に基づいて、すべての分数は有理分数とみなされます。

代数的な分数は、加算、減算、乗算、除算、累乗することができます。 これについては、代数的な分数の演算に関するセクションで詳しく説明します。 分数を変換する必要がある場合、多くの場合、約分と公分母への約分という性質が使用されます。

有理式

学校のコースでは、有理数式を使用する作業が必要であるため、無理数の概念を学習します。

定義 4

有理式有理数と文字が加算、減算、乗算、除算、および整数乗される場合、数値および文字の式とみなされます。

有理式には関数に属する記号がない場合があり、それが非合理性をもたらします。 有理式には、根、分数無理指数を含むべき乗、指数に変数を含むべき乗、対数式、三角関数などは含まれません。

上記のルールに基づいて、有理的な表現の例を示します。 上記の定義から、1 2 + 3 4 と 5、2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2 の形式の数値式は両方とも次のようになります。 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0、3 は有理数とみなされます。 文字指定を含む式は、a · x 2 + b · x + c の形式の変数を含む有理数 a 2 + b 2 3 · a - 0, 5 · b としても分類されます。 x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 となります。

すべての有理式は整数と分数に分けられます。

有理式全体

有理式全体– これらは、負の次数の変数を含む式への分割を含まない式です。

定義から、有理式全体は、a + 1 などの文字を含む式、x 2 · y 3 − z + 3 2 や a + b 3 などの複数の変数を含む式でもあることがわかります。

のような表現 x: (y − 1)および 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 は、変数を含む式に分割されるため、有理整数にすることはできません。

分数の有理式

分数の有理式負の次数の変数を含む式による除算を含む式です。

この定義から、分数有理式は 1: x、5 x 3 - y 3 + x + x 2 および 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 になることがわかります。

このタイプの式 (2 x − x 2) : 4 および a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2 を考慮する場合、それらは変数を含む式を持たないため、分数有理数とはみなされません。分母。

力を伴う表現

表記法のいずれかの部分にべき乗を含む式は、 力を持った表現または 力の表現.

コンセプトについては、そのような表現の例を示します。 変数を含めることはできません (例: 2 3, 32 - 1 5 + 1, 5 3, 5 5 - 2 5 - 1, 5)。 3 · x 3 · x - 1 + 3 x 、 x · y 2 1 3 の形式のべき乗式も典型的です。 これらを解決するには、いくつかの変換を実行する必要があります。

不合理な表現、根性のある表現

式内に出現するルートにより、別の名前が付けられます。 それらは不合理と呼ばれます。

定義8

不合理な表現文中にルート記号を含む表現です。

定義から、これらが 64, x - 1 4 3 + 3 3, 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2, a + 1 a 1 2 + 2, x y, 3 x + の形式の式であることは明らかです。 1 + 6 x 2 + 5 x および x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 。 それぞれに少なくとも 1 つのルート アイコンがあります。 根と累乗は関係しているので、x 7 3 - 2 5、n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 などの式が見られます。

三角関数の式

三角関数の式- これらは、sin、cos、tg、ctg とその逆数 (arcsin、arccos、arctg、arcctg) を含む式です。

三角関数の例は明らかです: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 および 2 sin x · t g 2 x + 3, 4 3 · t g π - arcsin - 3 5。

このような関数を使用するには、直接関数と逆関数のプロパティと基本公式を使用する必要があります。 三角関数の冠詞変換により、この問題がより詳細に明らかになります。

対数式

対数に慣れると、複雑な対数式について話すことができます。

定義10

対数を持つ式は次のように呼ばれます。 対数.

このような関数の例としては、log 3 9 + ln e、log 2 (4 a b)、log 7 2 (x 7 3)、log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) などがあります。

べき乗と対数が存在する式を見つけることができます。 対数の定義から、対数は指数であることがわかるため、これは理解できます。 次に、x l g x - 10、log 3 3 x 2 + 2 x - 3、log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 の形式の式が得られます。

対数表現の変換に関する資料を参照すると、さらに学習が深まります。

分数

分数と呼ばれる特殊なタイプの式があります。 分子と分母があるため、数値だけでなくあらゆるタイプの式を含めることができます。 分数の定義を見てみましょう。

定義11

分数分子と分母を持つ式であり、数値とアルファベットの両方の指定または式が含まれます。

分子と分母に数字が含まれる分数の例は、次のようになります: 1 4, 2, 2 - 6 2 7, π 2, - e π, (− 15) (− 2) 。 分子と分母には、 (a + 1) 3、(a + b + c) (a 2 + b 2) 、1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 の形式の数値式とアルファベット式の両方を含めることができます。 + 1 5、cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α、2 + ln 5 ln x。

2 5 − 3 7 、 x x 2 + 1: 5 などの式は分数ではありませんが、表記には分数が含まれています。

一般的な表現

高学年では、統一国家試験のグループ C のすべてのタスクを組み合わせた、より難易度の高い問題を検討します。 これらの式は特に複雑で、ルート、対数、べき乗、三角関数のさまざまな組み合わせが含まれています。 これらは、 x 2 - 1 · sin x + π 3 または sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 のようなタスクです。

それらの外観は、それらが上記のタイプのいずれかに分類できることを示唆しています。 ほとんどの場合、それらは特定の組み合わせソリューションを持っているため、いずれにも分類されません。 これらは一般的な表現として考えられ、追加の仕様や表現は説明に使用されません。

このような代数式を解くときは、その表記法、分数、累乗、または追加の式の存在に常に注意を払う必要があります。 これは、解決方法を正確に決定するために必要です。 その名前がわからない場合は、それを一般的なタイプの式と呼び、上記のアルゴリズムに従って解決することをお勧めします。

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数値および代数式。 式の変換。

数学における式とは何ですか? なぜ式の変換が必要なのでしょうか?

彼らが言うように、この質問は興味深いものです...事実、これらの概念はすべての数学の基礎です。 すべての数学は式とその変換で構成されます。 あまり明確ではありませんか? 説明しましょう。

目の前に邪悪な例があるとします。 非常に大きく、非常に複雑です。 あなたは数学が得意で、何も恐れていないとしましょう。 すぐに答えられますか？

そうする必要があります 決めるこの例。 この例では、一貫して段階的に、 簡略化する。 もちろん一定のルールに従ってです。 それらの。 する 表現変換。 これらの変換をよりうまく実行すればするほど、数学が強くなります。 正しい変換の方法を知らなければ、数学で変換を行うことはできません。 何もない...

このような不快な未来 (または現在...) を避けるために、このトピックを理解しておいて損はありません。)

まず、調べてみましょう 数学の式とは何ですか。 どうしたの 数値式そして何ですか 代数式。

数学における式とは何ですか?

数学における表現- これは非常に幅広い概念です。 私たちが数学で扱うほとんどすべては、一連の数式です。 例、公式、分数、方程式などはすべて次のもので構成されています。 数式.

3+2 は数式です。 s 2 - d 2- これも数式です。 健全な分数も、1 つの数値も、すべて数学式です。 たとえば、方程式は次のとおりです。

5x + 2 = 12

等号で接続された 2 つの数式で構成されます。 1 つの式は左側にあり、もう 1 つは右側にあります。

一般的に「」という用語は、 数式「ほとんどの場合、不平不満を避けるために使用されます。たとえば、普通の分数とは何ですか? どう答えるのですか?! と尋ねられます。

最初の答え「これは…」 うーん… そのようなこと... そのうち... 分数をもっと上手に書くことはできますか? あなたはどれが欲しいですか？"

2番目の答え：「普通の分数は（元気に楽しく！） 数式 、分子と分母で構成されます!」

2 番目のオプションは、どういうわけかより印象的になるでしょう?)

これが「」という言葉の目的です。 数式 「非常に良いです。正確かつ確実です。しかし、実際に使用するには、次のことをよく理解する必要があります。」 数学における特定の種類の式 .

具体的なタイプは別問題です。 これ それは全くの別問題です！それぞれの種類の数式には、 私の意思決定を行う際に使用しなければならない一連のルールとテクニック。 分数の処理用 - 1 セット。 三角関数の式を扱うための - 2 番目のもの。 対数を扱う場合 - 3 番目。 等々。 これらのルールは一致するところもあれば、大きく異なるところもあります。 しかし、これらの恐ろしい言葉を恐れないでください。 対数、三角法、その他の不思議なことを適切なセクションでマスターしていきます。

ここでは、2 つの主要なタイプの数式をマスターします (または、人によっては繰り返します)。 数値式と代数式。

数値式。

どうしたの 数値式? これは非常に単純な概念です。 名前自体が、これが数字を使った式であることを示唆しています。 そういうことです。 数字、括弧、算術記号で構成される数式を数値式と呼びます。

7-3は数式です。

(8+3.2) 5.4 も数値表現です。

そしてこのモンスターは、

数値表現もそうです...

通常の数値、分数、X やその他の文字のない計算例、これらはすべて数値表現です。

メインサイン 数値的式 - その中に 文字がありません。 なし。 数字と数学記号のみ (必要な場合)。 シンプルですよね？

では、数値表現を使って何ができるのでしょうか? 数値式は通常、数えることができます。 これを行うには、括弧を開けたり、記号を変更したり、省略したり、用語を交換したりする必要がある場合があります。 する 式の変換。 ただし、それについては以下で詳しく説明します。

ここでは、数値式を使用した場合のこのような面白いケースを扱います。 何もする必要はありません。まあ、何もありません！ この気持ちの良い操作は、 何もしないこと）- 式が指定されたときに実行されます 意味がありません.

数値式が意味をなさないのはどのような場合ですか?

目の前にある種のアブラカダブラを見たら、それは明らかです。

それなら私たちは何もしません。 それはどうすればよいか明確ではないからです。 ある種のナンセンス。 プラスの数を数えてみてはいかがでしょうか...

しかし、表面的には非常にまともな表現があります。 たとえばこれ:

(2+3) : (16 - 2 8)

しかし、この表現も 意味がありません！ 単純な理由は、2 番目の括弧内で数えるとゼロになるからです。 しかし、ゼロで割ることはできません。 これは数学では禁じられた操作です。 したがって、この式についても何もする必要はありません。 このような式を含むタスクの場合、答えは常に同じになります。 「その表現に意味はない！」

もちろん、そのような答えを出すには、括弧内に何が入るかを計算する必要がありました。 そして、括弧内にたくさんのものが含まれていることもあります...まあ、それについては何もできません。

数学では禁止されている演算はそれほど多くありません。 このトピックには 1 つだけあります。 ゼロ除算。 根と対数に生じる追加の制限については、対応するトピックで説明します。

それで、それが何であるかについてのアイデア 数値式- わかりました。 コンセプト 数値表現が意味をなさない- 気がついた。 次へ移りましょう。

代数式。

数式の中に文字が含まれている場合、この式は... になります。 式は... になります。 あれは。。。になる 代数式。 例えば：

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b)2; ...

このような表現はこうも呼ばれます 文字通りの表現。または 変数を使用した式。実質的には同じことです。 表現 5a +cたとえば、リテラルと代数の両方、および変数を含む式です。

コンセプト 代数式 -数値よりも幅が広い。 それ 含まれていますおよびすべての数値表現。 それらの。 数値式は、文字がなければ代数式でもあります。 すべてのニシンは魚ですが、すべての魚がニシンであるわけではありません...)

なぜ アルファベット- それは明らかだ。 まあ、文字があるので…フレーズ 変数を使用した式それもあまり不可解ではありません。 数字が文字の下に隠れていることが理解できれば。 文字の下にはあらゆる種類の数字を隠すことができます...5 や -18 など、好きな数字を何でも隠すことができます。 つまり、手紙は次のようになります。 交換するさまざまな番号に対応します。 それが文字が呼ばれる理由です 変数.

表現において y+5、 例えば、 で- 変数値。 あるいは単に「」と言うだけです。 変数"、「マグニチュード」という言葉なしで。 定数値である 5 とは異なります。 あるいは単に - 絶え間ない.

学期 代数式この式を使用するには法律とルールを使用する必要があることを意味します 代数。 もし 算術特定の数値を扱うと、 代数- すべての数字を一度に。 説明のための簡単な例。

算術では次のように書くことができます

しかし、このような等式を代数式で書くと次のようになります。

a + b = b + a

私たちはすぐに決めます 全て質問。 のために すべての数字脳卒中。 無限のすべてのために。 文字の下にあるので、 あそして b暗黙の 全て数字。 数値だけでなく、他の数式も同様です。 これが代数の仕組みです。

代数式が意味をなさないのはどのような場合ですか?

数値表現に関するすべてが明らかです。 そこではゼロで割ることはできません。 そして、文字を使用すると、何で割っているのかを知ることができるでしょうか?!

たとえば、変数を使用した次の式を考えてみましょう。

2: (あ - 5)

意味はあるでしょうか？ 知るか？ あ- いずれかの番号...

どれでも、どれでも…でも意味は一つだけ あ、この式は その通り意味がありません！ で、この数字は何ですか？ はい！ これは5です！ 変数の場合 あ数字の 5 に置き換えます (「置換」と言います)。括弧内はゼロになります。 分割できないもの。 つまり、私たちの表現は 意味がありません、 もし a = 5。 しかし、他の価値観の場合 あそれは意味がありますか？ 他の数字に置き換えることはできますか?

確かに。 そのような場合、彼らは単に次のような表現をすると言います。

2: (あ - 5)

どのような価値観にも意味がある あ, a = 5 を除く .

一連の数字全体は、 できる与えられた式に代入することは呼び出されます 許容値の範囲この表現。

ご覧のとおり、難しいことは何もありません。 変数を使用した式を見て、変数のどの値で禁止された演算 (ゼロ除算) が得られるのかを考えてみましょう。

そして、タスクの質問を必ず見てください。 彼らは何を尋ねているのでしょうか？

意味がありません、私たちの禁じられた意味が答えになります。

変数のどの値で式が成立するかを尋ねると、 意味がある（違いを感じてください！）、答えは次のとおりです。 他のすべての数字禁止されているものを除いて。

なぜ式の意味が必要なのでしょうか? 彼はそこにいる、彼はいない…何が違うの?! 重要なのは、この概念が高校では非常に重要になるということです。 かなり重要！ これは、許容値の領域や関数の領域などの確固たる概念の基礎です。 これがなければ、深刻な方程式や不等式をまったく解くことができなくなります。 このような。

式の変換。 アイデンティティの変革。

数値表現と代数表現について学びました。 「表現に意味はない」という言葉の意味が分かりました。 今、それが何なのかを理解する必要があります 表現変換。答えは簡単です。恥ずかしいほどです。) これは、式を伴うアクションです。 それだけです。 あなたはこれらの変革を1年生の時から行ってきました。

3+5 というクールな数式を考えてみましょう。 どのように変換できますか? はい、とてもシンプルです！ 計算します:

この計算が式の変換になります。 同じ式を別の方法で書くこともできます。

ここでは何もカウントしませんでした。 表現だけ書いてみた 違う形で。これも表現の変化になります。 次のように書くことができます:

そしてこれも表現の変容です。 このような変換は必要なだけ行うことができます。

どれでも表現に対するアクション どれでも別の形式で記述することを、式の変換と呼びます。 以上です。 すべてはとてもシンプルです。 しかし、ここで一つのことがあります とても重要なルール。安全に呼び出すことができるほど重要です 主なルールすべての数学。 このルールを破る 必然的にエラーにつながります。 入り込んでるのかな？）

次のように式を無計画に変換したとします。

変換？ 確かに。 式を別の形式で書きましたが、どこが間違っているのでしょうか?

そういうわけではありません。) 重要なのは、変換ということです。 "無作為に"数学にはまったく興味がありません。) すべての数学は、外観が変化する変換に基づいて構築されています。 しかし表現の本質は変わりません。 3 プラス 5 はどのような形式でも記述できますが、8 でなければなりません。

変換、 本質を変えない表現呼ばれます 同一。

その通り アイデンティティ変換これにより、次のことを維持しながら、複雑な例を簡単な式に段階的に変換できるようになります。 例の本質。変換の連鎖で間違いを犯した場合、つまり同一の変換を行っていない場合は、次のことを決定します。 別の例。 正しい回答とは関係のない他の回答も含まれます。)

これは、あらゆるタスクを解決するための主要なルールです。つまり、変換の同一性を維持することです。

わかりやすくするために、数式 3+5 を例に挙げました。 代数式では、恒等変換は公式と規則によって与えられます。 代数学に次の式があるとします。

a(b+c) = ab + ac

これは、どの例でも、次の式の代わりに次のことができることを意味します。 a(b+c)自由に表現を書いてください 腹部 + 交流。 およびその逆。 これ 全く同じ変身。数学では、これら 2 つの式のどちらかを選択できます。 そしてどれを書くべきかは具体的な例によって異なります。

もう一つの例。 最も重要かつ必要な変換の 1 つは、分数の基本特性です。 詳細はリンク先でご覧いただけますが、ここではルールだけを思い出してください。 分数の分子と分母に同じ数値を乗算（除算）した場合、またはゼロに等しくない式を実行した場合、分数は変化しません。このプロパティを使用した恒等変換の例を次に示します。

おそらくご想像のとおり、この連鎖は無限に継続することができます...) 非常に重要な特性です。 これにより、あらゆる種類のモンスターを白くふわふわに変えることができます。)

同一の変換を定義する公式が多数あります。 しかし、最も重要なものはかなり妥当な数です。 基本的な変換の 1 つは因数分解です。 初級から上級まであらゆる数学で使用されます。 まずは彼から始めましょう。 次のレッスンで。)

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例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

科学と数学の記事

数値および代数式とは何ですか?

数値式- これは、数値と算術演算の符号で構成され、既知の規則に従って書かれた任意の記録であり、その結果、特定の意味を持ちます。 たとえば、次のエントリは数値式です: 4 + 5; -1.05 × 22.5 - 34. 一方、× 16 - × 0.5 という表記は、数値と算術演算の符号で構成されていますが、数式を構成する規則に従って書かれていないため、数値ではありません。

数値式に数字の代わりに文字がある場合 (すべてまたは一部のみ)、この式はすでに 代数的な.

文字を使用する意味はおおよそ次のとおりです。 文字の代わりに別の数字を使用することもできます。つまり、式に別の意味を持たせることができます。 科学としての代数学は、式を単純化し、さまざまなルール、法則、公式を検索して使用する原理を研究します。 代数は、計算を実行する最も合理的な方法を研究します。これはまさに一般化、つまり特定の数値の代わりに変数 (文字) を使用するためのものです。

代数的事実には、加算と乗算の法則、負の数の概念、常分数と小数分数、およびそれらの算術演算の規則、および常分数の性質が含まれます。 代数は、このようなさまざまな事実を理解し、その使い方を教え、特定の数値および代数式における法則の適用可能性を理解するように設計されています。

数値式が評価されると、結果はその値になります。 代数式の値は、文字を特定の数値に置き換えた場合にのみ計算できます。 たとえば、a = 3 および b = 5 の式 a ÷ b の値は 3 ÷ 5、つまり 0.6 になります。 ただし、代数式は、変数 (文字) の値によってはまったく意味を持たない場合があります。 同じ例 (a ÷ b) の場合、b = 0 の場合、ゼロで割ることはできないため、式は意味を持ちません。

したがって、彼らは特定の代数式の変数の許容可能な値と許容できない値について話します。

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代数式

1. 概念の定義
2. 式の値
3. アイデンティティ表現
4. 問題解決
5. 私たちは何を学んだのでしょうか？

概念の定義

どのような式が代数的と呼ばれますか? これは、数字、文字、算術記号で構成される数学表記です。 数値式と代数式の主な違いは、文字の有無です。 例:

代数式内の文字は数値を表します。 これが変数と呼ばれる理由です。最初の例では文字 a、2 番目の例では b、3 番目の例では c です。 代数式自体も次のように呼ばれます。 変数を使った式.

式の値

代数式の意味は、この式で示されたすべての算術演算を実行した結果として得られる数値です。 ただし、それを取得するには、文字を数字に置き換える必要があります。 したがって、例では、どの数字が文字に対応するかを常に示しています。 a=3 の場合、式 8a-14*(5-a) の値を見つける方法を見てみましょう。

文字 a を数字 3 に置き換えると、8*3-14*(5-3) というエントリが得られます。

数値式と同様に、代数式の解は算術演算を実行するための規則に従って実行されます。 すべてを順番に解決しましょう。

したがって、a=3 における式 8a-14*(5-a) の値は -4 に等しくなります。

変数の値は、式が意味をなす場合、つまり、その解を見つけることができる場合、有効であると呼ばれます。

式 5:2a の有効な変数の例は、数値 1 です。これを式に代入すると、5:2*1=2.5 が得られます。 この式の無効な変数は 0 です。式に 0 を代入すると、5:2*0、つまり 5:0 が得られます。 ゼロで割ることはできません。つまり、式が意味をなさないことになります。

アイデンティティ表現

2 つの式の構成変数の値が等しい場合、それらは と呼ばれます。 同一.
同一の式の例 :
4(a+c)および4a+4c。
文字 a と c がどのような値であっても、式は常に等しくなります。 任意の式は、それと同一の別の式で置き換えることができます。 このプロセスは恒等変換と呼ばれます。

恒等変換の例 .
4*(5a+14c) – この式は、乗算の数学的法則を適用することで、同じ式に置き換えることができます。 数値に 2 つの数値の合計を乗算するには、この数値に各項を乗算し、その結果を加算する必要があります。

したがって、式 4*(5a+14c) は 20a+64c と同じになります。

代数式の文字変数の前に現れる数値は係数と呼ばれます。 係数と変数は乗数です。

問題解決

代数式は問題や方程式を解くために使用されます。
問題を考えてみましょう。 Petyaは数字を思いつきました。 クラスメートのサーシャにそれを推測してもらうために、ペティアは彼にこう言いました。まずその数字に 7 を足し、それから 5 を引いて 2 を掛けました。その結果、28 という数字が得られました。私は何の数字を当てたでしょうか?

この問題を解決するには、非表示の番号を文字 a で指定し、それを使用して指定されたすべてのアクションを実行する必要があります。

次に、結果の方程式を解いてみましょう。

ペティアは12という数字を望みました。

私たちは何を学んだのでしょうか？

代数式は、文字、数字、算術記号で構成されるレコードです。 各式には値があり、その値は式内のすべての算術演算を実行することで見つかります。 代数式内の文字は変数と呼ばれ、その前の数字は係数と呼ばれます。 代数式は問題を解決するために使用されます。

6.4.1. 代数式

私。 文字とともに数字、算術記号、括弧を使用できる式を代数式といいます。

代数式の例:

2m -n; 3 · (2a + b); 0.24倍; 0.3a～b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

代数式内の文字は別の数字に置き換えることができるため、その文字は変数と呼ばれ、代数式自体は変数を含む式と呼ばれます。

II. 代数式で文字 (変数) がその値に置き換えられ、指定されたアクションが実行される場合、結果の数値は代数式の値と呼ばれます。

例。 式の意味を調べます。

1) a + 2b -c (a = -2)。 b = 10; c = -3.5。

2) |x| + |y| -|z| x = -8 で; y = -5; z = 6。

1) a + 2b -c (a = -2)。 b = 10; c = -3.5。 変数の代わりに、その値を代入してみましょう。 我々が得る：

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8 で; y = -5; z = 6。示された値を代入します。 負の数の法はその反対の数に等しく、正の数の法はこの数値自体に等しいことを覚えています。 我々が得る：

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

Ⅲ．代数式が意味をなす文字（変数）の値を文字（変数）の許容値と呼びます。

例。 変数のどの値に対して式は意味をなさないのでしょうか?

解決。ゼロで割ることができないことはわかっているので、分数の分母をゼロにする文字 (変数) の値を考慮すると、これらの式はそれぞれ意味がありません。

例 1) では、この値は a = 0 です。実際、a の代わりに 0 を代入する場合は、数値 6 を 0 で割る必要がありますが、これは実行できません。 答え: a = 0 の場合、式 1) は意味を持ちません。

例 2) では、x = 4 で分母 x - 4 = 0 となるため、この値 x = 4 は取得できません。 答え: x = 4 の場合、式 2) は意味を持ちません。

例 3) では、x = -2 の場合、分母は x + 2 = 0 になります。 答え: x = -2 の場合、式 3) は意味を持ちません。

例 4) では、分母は 5 -|x| です。 |x| の場合 = 0 = 5. そして |5| 以降 = 5 および |-5| = 5 の場合、x = 5 および x = -5 を取ることはできません。 答え: 式 4) は、x = -5 および x = 5 では意味を持ちません。
IV. 変数の許容値について、これらの式の対応する値が等しい場合、2 つの式はまったく等しいと言われます。

例: 5 (a – b) = 5a – 5b という等式が a と b のどの値にも当てはまるため、5 (a – b) と 5a – 5b も等しいです。 等式 5 (a – b) = 5a – 5b は恒等式です。

身元 は、それに含まれる変数のすべての許容値に対して有効な等式です。 すでに知られている恒等の例としては、加算と乗算の性質や分配性質などが挙げられます。

ある式を別の全く同じ式に置き換えることは、恒等変換または単に式の変換と呼ばれます。 変数を使用した式の同様の変換は、数値に対する演算のプロパティに基づいて実行されます。

a)乗算の分配特性を使用して、式をまったく等しいものに変換します。

1) 10・(1.2x + 2.3y); 2) 1.5・(a -2b + 4c); 3) a・(6m -2n + k)。

解決。 乗算の分配特性 (法則) を思い出してみましょう。

(a+b)c=ac+bc(加算に対する乗算の​​分配法則: 2 つの数値の合計に 3 番目の数値を乗算するには、各項にこの数値を乗算し、その結果を加算できます)。
(a-b) c=a c-b c(減算に対する乗算の​​分配法則: 2 つの数値の差に 3 番目の数値を乗算するには、被減数を乗算し、この数値を個別に減算し、最初の結果から 2 番目の数値を減算できます。)

1) 10・(1.2x + 2.3y) = 10・1.2x + 10・2.3y = 12x + 23y。

2) 1.5・(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c。

3) a・(6m -2n + k) = 6am -2an +ak。

b)加算の可換性および結合性 (法則) を使用して、式をまったく等しいものに変換します。

4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4秒-3-2.5-2.3秒。

解決。加算の法則 (性質) を適用してみましょう。

a+b=b+a(可換: 項を並べ替えても合計は変わりません)。
(a+b)+c=a+(b+c)(組み合わせ: 2 つの項の合計に 3 番目の数値を加算するには、2 番目と 3 番目の合計を最初の数値に加算します)。

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11。

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9。

6) 6) 5.4秒 -3 -2.5 -2.3秒 = (5.4秒 -2.3秒) + (-3 -2.5) = 3.1秒 -5.5。

V)乗算の可換性および結合性の性質 (法則) を使用して、式をまったく等しいものに変換します。

7) 4 · バツ · (-2,5); 8) -3,5 · 2y · (-1); 9) 3a · (-3) · 2秒。

解決。乗算の法則 (性質) を適用してみましょう。

a・b=b・a(可換性: 因子を並べ替えても積は変わりません)。
(a b) c=a (b c)(組み合わせ: 2 つの数値の積に 3 番目の数値を掛けるには、最初の数値に 2 番目と 3 番目の数値の積を掛けます)。

7) 4 · バツ · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x。

8) -3,5 · 2y · (-1) = 7у。

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac。

代数式が約分数の形式で与えられる場合、分数を約分するための規則を使用して簡略化できます。 同一のより単純な式に置き換えてください。

例。 分数リダクションを使用して簡略化します。

解決。分数を約分するとは、分子と分母をゼロ以外の同じ数（式）で割ることを意味します。 分数 10) は次のように減ります。 3b; 小数 11) は次のように減算されます。 あそして端数 12) は次のように減算されます。 7n。 我々が得る：

代数式は数式を作成するために使用されます。

数式は、等式として記述され、2 つ以上の変数間の関係を表す代数式です。例: 知っているパスの式 s=vt(s - 移動距離、v - 速度、t - 時間)。 他に知っている公式を思い出してください。

www.mathematics-repetition.com

代数式のルールの意味

数値式と代数式

小学校では、次のような計算を学びました。 整数と分数、方程式を解き、幾何学図形や座標平面に精通しました。 これらすべてが 1 つのコンテンツを構成していました 学校の教科「数学」。 実際、数学のような重要な科学分野は、代数、幾何学、確率論、数学的分析、数理論理学、数理統計、ゲーム理論など、膨大な数の独立した分野に分割されています。 それぞれの分野には独自の研究対象があり、現実を理解するための独自の方法があります。

私たちがこれから勉強しようとしている代数は、人にさまざまな実行の機会を与えるだけでなく、 計算、しかしまた、できるだけ早く合理的にそれを行うように彼に教えます。 代数的手法を習得している人は、代数的手法を習得していない人よりも有利です。計算が速く、人生の状況をよりうまく乗り切り、意思決定をより明確に行い、よりよく考えることができます。 私たちの仕事は、あなたが代数的手法をマスターできるよう手助けすることです。あなたの仕事は、学ぶことに抵抗せず、喜んで私たちに従って、困難を克服することです。

実際、代数では主に数値と代数式を研究するため、小学校ではすでに代数の魔法の世界への窓が開かれています。

数値式とは、数値と算術演算の符号で構成されるレコードであることを思い出してください (もちろん、意味を持って構成されています。たとえば、3 + 57 は数値式ですが、3 + : は数値式ではありません)。意味のない記号のセット）。 いくつかの理由により (後で説明します)、特定の数字の代わりに文字 (主にラテン文字) が使用されることがよくあります。 代数式が得られます。 これらの式は非常に面倒になる場合があります。 代数学は、さまざまなルール、法則、性質、アルゴリズム、公式、定理を使用してそれらを単純化することを教えます。

例1。 数値式を簡略化します。

解決。 さて、一緒に何かを思い出してみましょう。そして、あなたがすでに知っている代数的事実がどれだけあるかがわかります。 まず最初に、計算を実行するための計画を立てる必要があります。 これを行うには、演算の順序に関して数学で受け入れられている規則を使用する必要があります。 この例の手順は次のようになります。

1) 最初の括弧内の式の値 A を見つけます。
A = 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81;

2) 2 番目の括弧内の式の値 B を見つけます。

3) A を B で割ると、分子 (つまり、水平線の上) に含まれる数値 C がわかります。

4) 分母の値 D を求めます (つまり、水平線の下に含まれる式)。
D = 25 - 37 - 0.4;

5) C を D で割ります。これが望ましい結果になります。 つまり、計算計画があります（計画があることは半分です）
成功しました!)、実装を開始しましょう。

1) A = 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81 を求めてみましょう。 もちろん、連続して数えることもできますし、よく言われるように「真っ向勝負」で 2.73 + 4.81 を数え、この数値に加算することもできます。
3.27 から 2.81 を引きます。 しかし、教養のある人はこのように計算しません。 彼は加算の交換法則と結合法則を覚えており (ただし、それらを覚える必要はありません。常に頭の中にあります)、次のように計算します。

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

ここで、例題を解く過程でどのような数学的事実を覚えておく必要があるか (覚えるだけでなく使用する必要があるか) をもう一度一緒に分析してみましょう。

1. 算術演算の順序。

2. 加算の交換法則: a + b = b + a。

4. 加算の組み合わせ法則:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c)。

5. 乗算の組み合わせの法則: abc = (ab)c = a(bc)。

6. 公分数の概念、 10進数、負の数。

7. 小数を使った算術演算。

8. 普通の分数を使った算術演算。

10. ポジティブとネガティブを伴うアクションのルール 数字。 あなたはこれらすべてを知っていますが、これらはすべて代数的事実です。 したがって、皆さんは小学校ですでに代数学にある程度触れていることになります。 例 1 からわかるように、主な困難は、そのような事実が非常に多く存在し、それらを知っているだけでなく、「適切なタイミングで」と言うように、それらを使用できなければならないことです。正しい場所です。」 これが私たちが学ぶことです。

代数式を構成する文字には異なる数値を与えることができる（つまり、文字の意味を変えることができる）ため、これらの文字を変数と呼びます。

b) 同様に、アクションの順序に従って、一貫して次のことがわかります。

しかし、ゼロで割ることはできません。 この場合（および他の同様の場合）、これは何を意味しますか? これは、 when : 指定された代数式が意味をなさないことを意味します。

次の用語が使用されます。文字 (変数) の特定の値について、代数式が数値を持つ場合、変数の指定された値は許容値と呼ばれます。 文字（変数）の特定の値について、代数式が意味をなさない場合、変数の示された値は無効と呼ばれます。

したがって、例 2 では、値 a = 1 および b = 2、a = 3.7 および b = -1.7 は許容されますが、値
無効 (より正確には、最初の 2 つの値のペアは有効で、3 番目の値のペアは無効です)。

一般に、例 2 では、a + b = 0、または a - b = 0 のような変数 a、b の値は受け入れられません。たとえば、a = 7、b = - 7、または a = 28.3, b = 28 ,3 - 無効な値のペア。 最初のケースでは a + b = 0、2 番目のケースでは a - b = 0 です。どちらの場合も、この例で与えられた式の分母はゼロになり、繰り返しますが、ゼロで割ることはできません。 。 おそらく、あなた自身が、変数 a、b の許容可能な値のペアと、例 2 のこれらの変数の無効な値のペアの両方を思いつくことができるでしょう。試してみてください。

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学校の代数学の授業では、さまざまな種類の式に出てきます。 新しい素材を学ぶにつれて、録音表現はより多様かつ複雑になります。 たとえば、累乗について知りました - 累乗が式に現れる、分数を勉強しました - 分数式が現れるなどです。

資料の説明の便宜上、類似の要素からなる表現には、さまざまな表現全体と区別するために特定の名前が付けられています。 この記事では、それらについて詳しく説明します。つまり、学校の代数の授業で学習する基本的な式の概要を説明します。

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単項式と多項式

という式から始めましょう 単項式と多項式。 この記事の執筆時点では、単項式と多項式についての会話は 7 年生の代数の授業で始まります。 そこでは次の定義が与えられています。

意味。

単項式数値、変数、それらの自然指数とのべき乗、およびそれらから構成される積をすべて呼びます。

意味。

多項式は単項式の合計です。

たとえば、数値 5、変数 x、累乗 z 7、積 5 x および 7 x x 2 7 z 7 はすべて単項式です。 単項式の合計、たとえば 5+x または z 7 +7+7·x·2·7·z 7 を取得すると、多項式が得られます。

単項式と多項式を扱うには、多くの場合、それらを使って何かを行う必要があります。 したがって、単項式の集合上で、単項式の乗算と単項式の累乗は、それらの実行の結果として単項式が得られるという意味で定義されます。

加算、減算、乗算、およびべき乗は、多項式のセットで定義されます。 これらのアクションがどのように決定され、どのようなルールによって実行されるかについては、「多項式を使用したアクション」の記事で説明します。

単一の変数を含む多項式について話す場合、多項式を扱う場合、多項式を多項式で除算することが実質的に重要な意味を持ち、多くの場合、そのような多項式は積として表現される必要があります。この操作は多項式の因数分解と呼ばれます。

有理（代数）分数

8年生では、変数を使った式による除算を含む式の学習が始まります。 そして、最初のそのような表現は、 有理分数、一部の著者はこれを呼んでいます 代数分数.

意味。

有理（代数）分数分子と分母が多項式、特に単項式と数値である分数です。

以下に有理分数の例をいくつか示します。 。 ちなみに、普通の分数は有理（代数）分数です。

さまざまな代数の分数について、加算、減算、乗算、除算、累乗が導入されています。 これがどのように行われるかについては、記事「代数分数を使用したアクション」で説明されています。

代数分数の変換が必要になることがよくありますが、最も一般的なのは約分と新しい分母への約分です。

有理式

意味。

べき乗を使った式（べき乗式）表記に度数を含む式です。

以下に、パワーを伴う表現の例をいくつか示します。 2 3 などの変数を含めることはできません。 。 変数を使用したべき乗式も実行されます。 等々。

その方法を知っておくと損はありません。 累乗を使用して式を変換する.

不合理な表現、根性のある表現

意味。

対数を含む式は次のように呼ばれます。 対数表現.

対数式の例は、 log 3 9+lne 、 log 2 (4 a b) 、 .

多くの場合、式にはべき乗と対数の両方が含まれますが、定義上、対数は指数であるため、これは当然のことです。 その結果、次のような式が自然に見えます。

トピックの続きについては、資料を参照してください 対数式の変換.

分数

このセクションでは、特殊なタイプの式、つまり分数について見ていきます。

分数は概念を拡張します。 分数には、水平分数線の上と下 (斜めの分数線の左側と右側) にそれぞれ分子と分母があります。 ただし、通常の分数とは異なり、分子と分母には自然数だけでなく、他の数値や式も含めることができます。

そこで、分数を定義しましょう。

意味。

分数は、分数線で区切られた分子と分母で構成される式で、数値またはアルファベットの式または数値を表します。

この定義により、分数の例を示すことができます。

分子と分母が数値である分数の例から始めましょう: 1/4、 、（−１５）／（−２）。 分数の分子と分母には、数値とアルファベットの両方の式を含めることができます。 このような分数の例は次のとおりです: (a+1)/3、(a+b+c)/(a 2 +b 2)、 .

ただし、2/5−3/7 という式は、表記に分数が含まれていますが、分数ではありません。

一般的な表現

高校では、特に難易度が上がった問題や数学の統一国家試験のCグループの問題では、表記の中に根、べき乗、対数、三角関数などが同時に含まれる複雑な形の式に出くわすでしょう。 例えば、 または 。 これらは、上に挙げたいくつかのタイプの式に適合するようです。 しかし、通常、それらはいずれにも分類されません。 それらは考慮されます 一般的な表現、そして説明するとき、彼らは追加の説明を加えずに単に表現を言うだけです。

この記事の結論として、特定の式が面倒で、それがどのタイプに属しているかよくわからない場合は、それを式ではないという表現よりも、単に式と呼ぶほうがよい、と言いたいと思います。 。

参考文献。

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代数式は7年生から勉強し始めます。 これらには多くのプロパティがあり、問題の解決に使用されます。 このトピックをさらに詳しく調べて、問題を解決する例を考えてみましょう。

概念の定義

どのような式が代数的と呼ばれますか? これは、数字、文字、算術記号で構成される数学表記です。 数値式と代数式の主な違いは、文字の有無です。 例:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5秒:6*(8+5)。

代数式内の文字は数値を表します。 これが変数と呼ばれる理由です。最初の例では文字 a、2 番目の例では b、3 番目の例では c です。 代数式自体も次のように呼ばれます。 変数を使った式.

式の値

代数式の意味は、この式で示されたすべての算術演算を実行した結果として得られる数値です。 ただし、それを取得するには、文字を数字に置き換える必要があります。 したがって、例では、どの数字が文字に対応するかを常に示しています。 a=3 の場合、式 8a-14*(5-a) の値を見つける方法を見てみましょう。

文字 a を数字 3 に置き換えると、8*3-14*(5-3) というエントリが得られます。

数値式と同様に、代数式の解は算術演算を実行するための規則に従って実行されます。 すべてを順番に解決しましょう。

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

したがって、a=3 における式 8a-14*(5-a) の値は -4 に等しくなります。

変数の値は、式が意味をなす場合、つまり、その解を見つけることができる場合、有効であると呼ばれます。

式 5:2a の有効な変数の例は、数値 1 です。

これを式に代入すると、5:2*1=2.5 となります。 この式の無効な変数は 0 です。式に 0 を代入すると、5:2*0、つまり 5:0 が得られます。 ゼロで割ることはできません。つまり、式が意味をなさないことになります。

アイデンティティ表現

2 つの式の構成変数の値が等しい場合、それらは と呼ばれます。 同一.
同一の式の例 :
4(a+c)および4a+4c。
文字 a と c がどのような値であっても、式は常に等しくなります。 任意の式は、それと同一の別の式で置き換えることができます。 このプロセスは恒等変換と呼ばれます。

恒等変換の例 .
4*(5a+14c) – この式は、乗算の数学的法則を適用することで、同じ式に置き換えることができます。 数値に 2 つの数値の合計を乗算するには、この数値に各項を乗算し、その結果を加算する必要があります。

• 4*5a=20a。
• 4*14秒=64秒。
• 20a+64秒。

したがって、式 4*(5a+14c) は 20a+64c と同じになります。

代数式の文字変数の前に現れる数値は係数と呼ばれます。 係数と変数は乗数です。

問題解決

代数式は問題や方程式を解くために使用されます。
問題を考えてみましょう。 Petyaは数字を思いつきました。 クラスメートのサーシャにそれを推測してもらうために、ペティアは彼にこう言いました。まずその数字に 7 を足し、それから 5 を引いて 2 を掛けました。その結果、28 という数字が得られました。私は何の数字を当てたでしょうか?

この問題を解決するには、非表示の番号を文字 a で指定し、それを使用して指定されたすべてのアクションを実行する必要があります。

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28。

次に、結果の方程式を解いてみましょう。

ペティアは12という数字を望みました。

私たちは何を学んだのでしょうか？

代数式は、文字、数字、算術記号で構成されるレコードです。 各式には値があり、その値は式内のすべての算術演算を実行することで見つかります。 代数式内の文字は変数と呼ばれ、その前の数字は係数と呼ばれます。 代数式は問題を解決するために使用されます。

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