arcctg は何に等しいですか? 三角法

簡単に言えば、特別なレシピに従って水で調理された野菜です。 最初の 2 つのコンポーネント (野菜サラダと水) と最終結果であるボルシチを検討します。 幾何学的には、片面がレタス、もう片面が水を表す長方形と考えることができます。 これら 2 つの辺を合計するとボルシチになります。 このような「ボルシチ」長方形の対角線と面積は純粋に数学的な概念であり、ボルシチのレシピでは決して使用されません。

数学の教科書には線形角関数については何も載っていません。 しかし、それらがなければ数学はあり得ません。 数学の法則は、自然法則と同様、私たちがその存在を知っているかどうかに関係なく機能します。

線形角関数は加算法則です。代数が幾何学に、幾何学が三角法にどのように変化するかを見てみましょう。

線形角関数なしで行うことは可能ですか? 数学者はそれらがなくてもなんとかやっていけるので、それは可能です。 数学者のトリックは、彼らが常に自分自身が解決方法を知っている問題についてのみ話し、解決できない問題については決して語らないことです。 見て。 加算と 1 つの項の結果がわかっている場合は、減算を使用してもう 1 つの項を見つけます。 全て。 私たちは他の問題を知りませんし、その解決方法も知りません。 足し算の結果だけがわかっていて、両方の項がわからない場合はどうすればよいでしょうか? この場合、加算の結果は線形角関数を使用して 2 つの項に分解する必要があります。 次に、私たち自身が 1 つの項が何になるかを選択します。線形角関数は、加算の結果が正確に必要なものになるように 2 番目の項がどうあるべきかを示します。 このような用語のペアは無限に存在する可能性があります。 日常生活では、合計を分解しなくても、引き算だけで十分です。 しかし、自然法則を科学的に研究する場合、合計をその成分に分解することは非常に役立ちます。

数学者が話したくないもう 1 つの加算法則 (数学者のトリックのもう 1 つ) では、項が同じ測定単位を持つことが要求されます。 サラダ、水、ボルシチの場合、これらは重量、体積、金額、または測定単位の単位になります。

この図は、数学的 の 2 つのレベルの差を示しています。 最初のレベルは数値フィールドの違いであり、それが示されています。 ある, b, c。 これは数学者がやっていることです。 2 番目のレベルは測定単位の分野の違いであり、角括弧内に表示され、文字で示されています。 U。 これが物理学者のやっていることです。 私たちは第3レベル、つまり説明されているオブジェクトの領域の違いを理解することができます。 異なるオブジェクトは、同じ数の同じ測定単位を持つことができます。 これがどれほど重要であるかは、ボルシチ三角法の例でわかります。 異なるオブジェクトの同じ単位指定に添え字を追加すると、特定のオブジェクトを表す数学的量と、それが時間の経過や私たちの行動によってどのように変化するかを正確に言うことができます。 手紙 Wお水を文字で指定させていただきます Sサラダは文字でご指定させていただきます B- ボルシチ。 ボルシチの線形角関数は次のようになります。

水の一部とサラダの一部を取り出すと、それらは一緒にボルシチの一部になります。 ここで、ボルシチから少し休憩して、遠い子供時代を思い出してみることをお勧めします。 私たちがウサギとアヒルを組み合わせる方法をどのように教えられたかを覚えていますか? 動物が何匹いるかを調べる必要がありました。 そのとき私たちは何をするように教えられたのでしょうか？ 私たちは、測定単位を数値から分離し、数値を加算することを教えられました。 はい、任意の数値を他の任意の数値に加算できます。 これは現代数学の自閉症への直接的な道です。私たちはそれを何をするのか、なぜ理解できないのか、そしてこれが現実とどのように関係しているのか理解できません。3 つのレベルの違いがあるため、数学者は 1 つのレベルだけで操作します。 ある測定単位から別の測定単位に移動する方法を学ぶ方が正確です。

ウサギ、アヒル、小動物は細かく数えることができます。 さまざまな物体に共通の 1 つの測定単位を使用することで、それらを合計することができます。 これは子供向けの問題です。 大人向けの同様のタスクを見てみましょう。 ウサギとお金を加えると何が得られますか? ここで 2 つの解決策を提案できます。

最初のオプション。 当社はウサギの市場価値を決定し、利用可能な金額に追加します。 私たちは自分たちの富の総額を金銭で表しました。

2 番目のオプション。 私たちが持っている紙幣の枚数にウサギの数を追加することができます。 動産の金額を分割して受け取ります。

ご覧のとおり、同じ加算法則でも異なる結果が得られます。 それはすべて、私たちが正確に何を知りたいかによって異なります。

さて、ボルシチの話に戻りましょう。 これで、線形角度関数のさまざまな角度値で何が起こるかを確認できます。

角度はゼロです。 サラダはありますが、水はありません。 ボルシチは作れません。 ボルシチの量もゼロです。 これは、ボルシチゼロが水ゼロと等しいという意味ではまったくありません。 サラダがゼロのボルシチもあり得ます（直角）。

私個人にとって、これは、 という事実の主な数学的証明です。 ゼロを追加しても数値は変わりません。 これは、項が 1 つしかなく、2 番目の項が欠落している場合、加算自体が不可能であるために発生します。 これについては好きなように感じて構いませんが、覚えておいてください。ゼロを使ったすべての数学演算は数学者自身によって発明されたものであるため、自分の論理を捨てて、「ゼロによる除算は不可能である」、「任意の数の乗算は不可能である」など、数学者によって発明された定義を愚かにも詰め込んでください。ゼロはゼロに等しい」、「穿刺点ゼロを超えて」などのナンセンス。 ゼロは数ではないということを一度覚えておくだけで十分です。そして、ゼロが自然数かどうかという質問は二度と起こらなくなります。なぜなら、そのような質問はまったく意味を失うからです。なぜなら、数ではないものがどうして数とみなされるのかということです。 ? それは、目に見えない色を何色に分類すべきかを問うようなものです。 数字にゼロを加えるのは、そこにない絵の具で絵を描くのと同じです。 私たちは乾いた筆を振って、みんなに「絵を描きました」と言いました。 しかし、少し脱線します。

角度は 0 度より大きく 45 度未満です。 レタスはたくさんありますが、水が足りません。 その結果、濃厚なボルシチが出来上がります。

角度は45度です。 私たちは同量の水とサラダを持っています。 これは完璧なボルシチです（シェフの皆様、ごめんなさい、これは単なる計算です）。

角度は 45 度より大きく、90 度より小さいです。 たくさんの水と少しのサラダがあります。 液体のボルシチが出来上がります。

直角。 水はあります。 かつてサラダをマークしていた線からの角度を測定し続けると、サラダに残るのは思い出だけです。 ボルシチは作れません。 ボルシチの量はゼロです。 この場合は、水を持っている間は我慢して水を飲んでください）））

ここ。 このようなもの。 ここで適切以上の他のストーリーをここでお話しできます。

2 人の友人が共通のビジネスで株式を持っていました。 そのうちの一人を殺した後、すべてがもう一方に移った。

私たちの地球上での数学の出現。

これらすべての物語は、線形角関数を使用した数学の言語で語られます。 数学の構造におけるこれらの関数の実際の位置については、また別の機会に説明します。 それまでの間、ボルシチ三角法に戻り、射影について考えてみましょう。

2019年10月26日土曜日

2019年8月7日水曜日

会話の結論として、無限集合を考える必要があります。 重要なのは、ボアコンストリクターがウサギに影響を与えるように、「無限」の概念が数学者に影響を与えるということです。 震える無限の恐怖は数学者から常識を奪います。 以下に例を示します。

オリジナルのソースが見つかりました。 アルファは実数を表します。 上記の式の等号は、無限大に数値または無限大を加算しても何も変化せず、結果は同じ無限大になることを示します。 自然数の無限集合を例として取り上げると、考慮された例は次の形式で表すことができます。

彼らが正しかったことを明確に証明するために、数学者はさまざまな方法を考え出しました。 個人的に、私はこれらすべての方法を、タンバリンを持って踊るシャーマンのように見ています。 本質的に、それらはすべて、部屋の一部が空いていて新しい客が引っ越してくるか、または客のためのスペースを作るために訪問者の一部が廊下に放り出される（非常に人間的です）という事実に要約されます。 私はそのような決定についての私の見解を、ブロンドについてのファンタジー物語の形で提示しました。 私の推論は何に基づいているのでしょうか？ 無限の数の訪問者を移動させるには無限の時間がかかります。 最初の部屋をゲストのために空けた後、訪問者の一人は必ず時間が終わるまで自分の部屋から次の部屋まで廊下を歩きます。 もちろん、時間的要因は愚かにも無視することができますが、これは「愚か者のために書かれた法律はない」という範疇に入るでしょう。 それはすべて、私たちが何をしているか、つまり現実を数学理論に合わせて調整するか、その逆に調整するかによって決まります。

「エンドレスホテル」とは？ 無限ホテルとは、占有されている部屋の数に関係なく、常に任意の数の空のベッドがあるホテルです。 無限の「訪問者」の廊下のすべての部屋が占有されている場合、「ゲスト」の部屋のある別の無限の廊下が存在します。 そのような回廊は無数に存在するでしょう。 また、「無限ホテル」は、無数の神が創造した無数の宇宙、無数の惑星、無数の建物の無数のフロアを有する。 数学者は日常の平凡な問題から距離を置くことができません。神、アッラー、仏は常にただ 1 つだけであり、ホテルも 1 つだけ、廊下も 1 つだけです。 そのため、数学者たちはホテルの部屋の通し番号をうまく使いこなし、「不可能に挑戦する」ことが可能だと私たちに信じ込ませようとしているのです。

自然数の無限集合の例を使用して、私の推論の論理を説明します。 まず、非常に単純な質問に答える必要があります。自然数のセットは何組ありますか (1 つまたは複数)。 私たちが数字を発明したのですから、この質問に対する正しい答えはありません。数字は自然界には存在しません。 確かに、自然は数を数えるのが得意ですが、そのために私たちにはなじみのない他の数学的ツールを使用します。 自然が何を考えているかはまた別の機会にお話します。 私たちは数字を発明したので、自然数の集合が何組あるかは私たち自身で決めることになります。 本物の科学者らしく、両方の選択肢を検討してみましょう。

オプション 1。 棚の上に静かに置かれている自然数のセットを 1 つ「与えてみましょう」。 このセットを棚から取り出します。 それだけです。他の自然数は棚に残っておらず、どこにも持っていくことができません。 すでに持っているため、このセットに追加することはできません。 本当にそうしたい場合はどうしますか？ 問題ない。 すでに取ったセットから 1 つ取り出して棚に戻すことができます。 その後、棚から 1 つ取り出して、残っているものに追加します。 その結果、再び自然数の無限集合が得られます。 すべての操作を次のように書き留めることができます。

私はアクションを代数表記と集合論表記で書き、集合の要素の詳細なリストを付けました。 下付き文字は、自然数のセットが 1 つだけあることを示します。 自然数の集合は、そこから 1 を引いて同じ単位を加えた場合にのみ変化しないことがわかります。

オプション 2。 私たちの棚には、さまざまな自然数の無限の集合がたくさんあります。 事実上区別がつかないにもかかわらず、私は強調したいと思います。 これらのセットのうちの 1 つを取り上げてみましょう。 次に、別の自然数のセットから 1 つを取り出し、それをすでに取り出したセットに追加します。 2 組の自然数を加算することもできます。 これが得られる結果です:

下付き文字「one」と「two」は、これらの要素が異なるセットに属していることを示します。 はい、無限セットに 1 を追加すると、結果も無限セットになりますが、元のセットと同じにはなりません。 1 つの無限セットに別の無限セットを追加すると、結果は最初の 2 つのセットの要素で構成される新しい無限セットになります。

自然数の集合は、定規が測定に使用されるのと同じように、数を数えるために使用されます。 ここで、定規に 1 センチメートル追加したと想像してください。 これは、元の行とは異なる行になります。

私の推論を受け入れるか受け入れないかはあなた次第です。それはあなた自身の仕事です。 しかし、数学的な問題に遭遇した場合は、何世代にもわたる数学者が歩んできた誤った推論の道をたどっていないかどうかを考えてください。 結局のところ、数学を学ぶことは、まず第一に、私たちの中に安定した思考の固定観念を形成し、それから初めて私たちの精神的能力を高めます（あるいは逆に、私たちから自由な思考を奪います）。

ポズグル

2019年8月4日（日）

に関する記事の追記を終えていたところ、ウィキペディアで次のような素晴らしい文章を見つけました。

「…バビロンの数学の豊かな理論的基礎は、全体的な性格を持たず、共通のシステムや証拠基盤を欠いた、一連の異種技術に還元された。」

おお！ 私たちはどれほど賢く、他人の欠点をどれほどよく見ることができるか。 現代数学を同じ文脈で見るのは難しいでしょうか? 上記の文章を少し言い換えると、個人的には次のように感じました。

現代数学の豊富な理論的基礎は本質的に全体的ではなく、共通のシステムや証拠基盤を欠いた一連の異なるセクションに縮小されています。

私の言葉を確認するためにそこまではしません。数学には他の多くの分野の言語や慣例とは異なる言語や慣例があります。 数学の異なる分野では同じ名前が異なる意味をもつ場合があります。 私は一連の出版物全体を現代数学の最も明白な間違いに捧げたいと考えています。 また近いうちにお会いしましょう。

2019年8月3日土曜日

セットをサブセットに分割するにはどうすればよいでしょうか? これを行うには、選択したセットの一部の要素に存在する新しい測定単位を入力する必要があります。 例を見てみましょう。

たくさんありますように あ 4人で構成されています。 この集合は「人」に基づいて形成されています。この集合の要素を文字で表します。 あ、数字の付いた下付き文字は、このセット内の各人物のシリアル番号を示します。 新しい測定単位「性別」を導入し、文字で表しましょう b。 性的特徴はすべての人に生まれつき備わっているため、セットの各要素を掛け合わせます。 あ性別に基づいて b。 「人々」のセットが「性別特性を持つ人々」のセットになっていることに注目してください。 この後、性的特徴を男性に分けることができます。 BMそして女性用 モノクロ性的特徴。 ここで数学的フィルターを適用できます。男性か女性かに関係なく、これらの性的特徴の 1 つを選択します。 人がそれを持っている場合は1を掛け、そのような兆候がない場合は0を掛けます。 そして、通常の学校の数学を使用します。 何が起こったのか見てみましょう。

乗算、削減、再配置の結果、最終的に 2 つの部分集合が得られました。男性の部分集合です。 Bmそして一部の女性 Bw。 数学者は集合論を実際に適用するとき、ほぼ同じ方法で推論します。 しかし、彼らは詳細を教えてくれませんが、「多くの人は男性の一部と女性の一部で構成されている」という最終的な結果を教えてくれます。 当然のことながら、「上で概説した変換に数学はどの程度正確に適用されているのでしょうか?」という疑問が生じるかもしれません。 本質的に、変換は正しく行われたことをあえて保証します。算術、ブール代数、その他の数学分野の数学的基礎を知っていれば十分です。 それは何ですか？ これについてはまた別の機会にお話します。

スーパーセットに関しては、これら 2 つのセットの要素に存在する測定単位を選択することで、2 つのセットを 1 つのスーパーセットに結合できます。

ご覧のとおり、測定単位と通常の数学により、集合論は過去の遺物となっています。 集合論ですべてがうまくいっていないことの兆候は、数学者が集合論用の独自の言語と表記法を考え出したことです。 数学者はかつてシャーマンのように行動しました。 シャーマンだけが、自分の「知識」を「正しく」適用する方法を知っています。 彼らは私たちにこの「知識」を教えてくれます。

最後に、数学者が をどのように操作するかを示したいと思います。

2019年1月7日月曜日

紀元前 5 世紀、古代ギリシャの哲学者エレアのゼノンは有名なアポリアを定式化しました。その中で最も有名なのは「アキレスと亀」のアポリアです。 それは次のようになります:

アキレスが亀の10倍の速さで走り、亀より1000歩遅れているとします。 アキレスがこの距離を走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。 アキレスが 100 歩走ると、亀はさらに 10 歩這って進みます。 このプロセスは無限に続き、アキレスは決して亀に追いつきません。

この推論は、その後のすべての世代にとって論理的な衝撃となりました。 アリストテレス、ディオゲネス、カント、ヘーゲル、ヒルベルト...彼らは皆、何らかの形でゼノンのアポリアを考察しました。 あまりにも衝撃が強かったので」 ...議論は今日まで続いている;科学界はパラドックスの本質についてまだ共通の意見に達することができていない...数学的分析、集合論、新しい物理的および哲学的アプローチがこの問題の研究に関与した。 ; それらはいずれも、問題に対する一般に受け入れられる解決策にはなりませんでした...「[Wikipedia、「ゼノンのアポリア」。騙されているということは誰もが理解しているが、その欺瞞が何なのかは誰も理解していない。

数学的な観点から見ると、ゼノンはアポリアの中で、量から への移行を明確に実証しました。 この移行は、永続的なものではなく適用を意味します。 私の理解する限り、可変の測定単位を使用するための数学的装置はまだ開発されていない、あるいはゼノンのアポリアには適用されていない。 通常の論理を適用すると、私たちは罠に陥ります。 私たちは思考の慣性により、逆数の値に一定の時間単位を適用します。 物理的な観点から見ると、これは時間がゆっくりになり、アキレスが亀に追いついた瞬間に完全に停止するように見えます。 時間が止まったら、アキレスは亀を追い越せなくなります。

いつもの論理をひっくり返せば、すべてがうまくいきます。 アキレスは一定の速度で走ります。 彼のパスの後続の各セグメントは、前のセグメントよりも 10 倍短くなります。 したがって、それを克服するのに費やされる時間は、以前のものよりも10倍少なくなります。 この状況に「無限」の概念を当てはめると、「アキレスは無限に早く亀に追いつく」というのが正しいでしょう。

この論理的な罠を回避するにはどうすればよいでしょうか? 一定の時間単位を維持し、逆数単位に切り替えないでください。 Zeno の言語では次のようになります。

アキレスが千歩走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。 最初の時間と同じ次の時間間隔の間に、アキレスはさらに 1000 歩を走り、亀は 100 歩を這うことになります。 今、アキレスは亀より八百歩先を行っています。

このアプローチは、論理的な矛盾なしに現実を適切に説明します。 しかし、これは問題の完全な解決策ではありません。 光の速さの抵抗不可能性についてのアインシュタインの発言は、ゼノンのアポリア「アキレスと亀」に非常に似ています。 私たちはまだこの問題を研究し、再考し、解決する必要があります。 そして、解決策は無限大の数ではなく、測定単位で求められなければなりません。

ゼノンのもう一つの興味深いアポリア​​は、飛んでいく矢について語っています。

飛んでいる矢は、あらゆる瞬間に静止しているので動かず、あらゆる瞬間に静止しているので、常に静止している。

このアポリアでは、論理的パラドックスは非常に簡単に克服されます。飛んでいる矢が各瞬間に空間の異なる点で静止しており、実際にはそれが運動であることを明確にするだけで十分です。 ここでもう 1 つの点に注意する必要があります。 道路上の車の 1 枚の写真からは、その移動の事実も、車までの距離も判断することは不可能です。 車が動いているかどうかを判断するには、異なる時点で同じ場所から撮影した 2 枚の写真が必要ですが、それらの写真からの距離を判断することはできません。 車までの距離を判断するには、ある時点で空間の異なる点から撮影した 2 枚の写真が必要ですが、それらからは移動の事実を判断することはできません (もちろん、計算には追加のデータが必要ですが、三角法が役に立ちます) ）。 私が特に注意したいのは、時間上の 2 点と空間上の 2 点は異なるものであり、研究に異なる機会を提供するため、混同すべきではないということです。
例を挙げてプロセスを説明します。 私たちは「ニキビの中の赤い固体」を選択します。これが私たちの「全体」です。 同時に、これらのものには弓があるものもあれば、弓のないものもあることが分かります。 その後、「全体」の一部を選択し、「弓付き」のセットを形成します。 このようにして、シャーマンは定説を現実に結びつけることで食料を得るのです。

では、ちょっとしたトリックをやってみましょう。 「リボン付きのニキビのある固体」を取り出し、これらの「全体」を色に応じて組み合わせて、赤い要素を選択しましょう。 たくさんの「赤」をいただきました。 最後の質問です。結果として得られる「弓付き」と「赤」のセットは同じセットですか、それとも 2 つの異なるセットですか? 答えはシャーマンだけが知っています。 より正確には、彼ら自身は何も知りませんが、彼らが言うように、そうなるでしょう。

この簡単な例は、集合論が現実になるとまったく役に立たないことを示しています。 秘密は何ですか？ 「ニキビとリボンのある赤い立体」のセットを作りました。 形成は、色 (赤)、強度 (固体)、粗さ (ニキビ)、装飾 (リボン付き) の 4 つの異なる測定単位で行われました。 数学の言語で実際の物体を適切に記述することができるのは、一連の測定単位だけです。。 見た目はこんな感じです。

異なるインデックスを持つ文字「a」は、異なる測定単位を示します。 準備段階で「全体」を区別するための測定単位が括弧内に強調表示されています。 セットを形成するための測定単位が括弧内に表示されます。 最後の行は、最終結果、つまりセットの要素を示します。 ご覧のとおり、測定単位を使用してセットを形成する場合、結果はアクションの順序に依存しません。 そしてこれは数学であり、タンバリンを持ったシャーマンの踊りではありません。 シャーマンは、測定単位が彼らの「科学的」武器の一部ではないため、それが「明白」であると主張して、「直感的に」同じ結果に達することができます。

測定単位を使用すると、1 つのセットを分割したり、複数のセットを 1 つのスーパーセットに結合したりすることが非常に簡単になります。 このプロセスの代数を詳しく見てみましょう。

数値の逆正接と逆余接 あ

平等

TG φ = あ (1)

角度を定義します φ 曖昧な。 実際、もし φ 0 は等式 (1) を満たす角度であり、接線の周期性により、角度もこの等式を満たすことになります。

φ 0 + n π ,

どこ nすべての整数 (n = 0、±1、±2、±3、...) を実行します。 このような曖昧さは、次の角度を追加で要求することで回避できます。 φ 範囲内でした - - π / 2 < φ < π / 2 。 確かにその合間には

- π / 2 < バツ < π / 2

関数 y = tg バツ - ∞ から + ∞ まで単調増加します。

したがって、この区間では接線は必ず直線と交差します。 y =あ しかも、ある時点でのみ。 この点の横座標は通常、数値 a の逆正接と呼ばれ、次のように表されます。 arctgある .

逆正接 あは - からの区間に含まれる角度です π / 2～+ π / 2 (または -90° ～ +90°)、その正接は あ.

例。

1). 逆正接 1 = π / 4 または 逆正接 1 = 45°。 確かに角度は π / 4 ラジアンは間隔 (- π / 2 , π / 2 )、そのタンジェントは 1 です。

2) arctg (- 1 / \/ 3 ) = - π / 6 , または arctg (- 1 / \/ 3 ) = -30°。 実際、角度 -30° は区間 (-90°, 90°) 内に収まり、その正接は次の値に等しくなります。 - 1 / \/ 3

等式から注意してください

TG π = 0

arctan 0 = であると結論付けることはできません。 π 。 やっぱり角度は π ラジアンが範囲内にありません
(- π / 2 , π / 2 ) したがって、ゼロの逆正接になることはできません。 読者はすでに arctan 0 = 0 であることを推測しているようです。

平等

ctg φ = あ , (2)

等式 (1) と同様に、角度を決定します。 φ 曖昧な。 この曖昧さを取り除くには、必要な角度に追加の制限を課す必要があります。 そのような制限として、条件を選択します

0 < φ < π .

引数の場合 バツ 間隔 (0, π )、次に関数 y = ctg バツ + ∞ から - ∞ まで単調減少します。 したがって、考慮中の区間では、コタンジェントイドは必然的に直線と交差します。 y =あ しかも、ある時点でのみ。

この点の横座標は通常、数値の逆正接と呼ばれます。 あ そして指定する アーククトグある .

逆余接 あ 0 から 0 までの範囲に含まれる角度です。 π (または 0° から 180°)、その余接は次のようになります。 あ.

例 .

1) arcctg 0 = π / 2 、 または arcctg 0 = 90°。 確かに角度は π / 2 ラジアンは間隔内にあります" (0, π )、そのコタンジェントは 0 です。

2) arcctg (- 1 / \/ 3 ) = 2π / 3 、 または arcctg (- 1 / \/ 3 ) =120°。 実際、角度 120° は間隔 (0°,180°) 内に収まり、その余接は次と等しくなります。 - 1 / \/ 3 .

等式から注意してください

ctg (-45°) = -1

arcctg (-1) = - 45° であると結論付けることはできません。 結局のところ、-45°の角度は区間 (0°、180°) には入らないため、数値 -1 の逆正接になることはできません。 それは明らかです

arcctg( - 1) = 135°。

演習

私。 計算する :

1)。 arctg0 + arctg 1 / \/ 3 + arctg \/ 3 + arctg 1.

2)。 arcctg0 + arcctg 1 / \/ 3 + arcctg \/ 3 + arcctg 1.

3)。 arcctg 0 + arcctg (- 1) -arcctg (- 1 / \/ 3 ) + arcctg(- \/ 3 )。

4)。 arctg (- 1) + arctg (- \/ 3 ) - arctg (- 1 / \/ 3 ) - arctg 0.

II. 数量はどのような値を取ることができますか? あ そして b 、 もし b =アークタン ある ?

Ⅲ． 数量はどのような値を取ることができますか? あ そして b 、 もし b = arcctg あ ?

IV. 角度は何番目の四半期で終わりますか?

a) arctg 5; c) arcctg 3; d) π / 2 - arcctg (- 4);

b) arctg (-7); d) arcctg (-2); e) 3π/ 2 + arctg 1 / 2 ?

V. 表現が可能 arctgあ そして アーククトグあ 次の値を取ります。 a) 同じ符号。 b) 異なる兆候?

VI. 次の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを求めます。

a) アークタグ 5 / 12 ; c) arcctg (- 5 / 12 );

b) arctg (-0.75); d) arcctg (0.75)。

VII. 身元を証明する :

1)。 arctg(- バツ ) = - arctan バツ .

2)。 arcctg(- バツ ) = π - arcctg バツ .

Ⅷ. 計算する :

1)。 arcctg (ctg 2)。

関数 sin、cos、tg、ctg には常に逆正弦、逆余弦、逆正接、逆余接が伴います。 一方は他方の結果であり、関数のペアは三角関数の式を扱う上で同様に重要です。

三角関数の値をグラフィカルに表示する単位円の図を考えてみましょう。

円弧 OA、円弧 OC、arctg DE、および arcctg MK を計算すると、それらはすべて角度 α の値に等しくなります。 以下の式は、基本的な三角関数とそれに対応する円弧との関係を反映しています。

逆正弦の特性についてさらに理解するには、その機能を考慮する必要があります。 スケジュール は座標中心を通る非対称な曲線の形をしています。

逆正弦の特性:

グラフを比較してみると 罪そして 逆正弦、2 つの三角関数は共通の原理を持つことができます。

逆余弦

数値の Arccos は角度 α の値であり、その余弦は a に等しい。

曲線 y = アルコス x arcsin x グラフを反映していますが、唯一の違いは、OY 軸上の点 π/2 を通過していることです。

逆余弦関数をさらに詳しく見てみましょう。

1. この関数は間隔 [-1; 1]。
2. アークコスのODZ - 。
3. グラフは完全に第 1 四半期と第 2 四半期に位置しており、関数自体は偶数でも奇数でもありません。
4. x = 1 で Y = 0。
5. 曲線は全長に沿って減少します。 逆余弦のいくつかの特性は余弦関数と一致します。

逆余弦のいくつかの特性は余弦関数と一致します。

おそらく、小学生には「アーチ」のそのような「詳細な」研究は不要であると思われるでしょう。 しかし、そうしないと、一部の初等標準試験課題が生徒を行き詰まりに導く可能性があります。

演習 1.図に示されている機能を示します。

答え：米。 図1 – 4、図2 – 1。

この例では、小さなことに重点が置かれています。 通常、学生はグラフの構築や関数の外観にはあまり注意を払いません。 実際、計算された点を使用して常に曲線をプロットできるのであれば、曲線の種類を覚えておく必要はありません。 テスト条件下では、より複雑なタスクを解決するには、単純なタスクの描画に費やす時間が必要になることを忘れないでください。

逆正接

アークタグ数値 a は、その正接が a に等しくなるような角度 α の値です。

逆正接グラフを考慮すると、次の特性が強調表示されます。

1. グラフは無限であり、区間 (- ∞; + ∞) で定義されます。
2. 逆正接は奇関数であるため、arctan (- x) = - arctan x となります。
3. x = 0 で Y = 0。
4. 曲線は定義領域全体にわたって増加します。

tg x と arctg x の簡単な比較分析を表の形式で示します。

逆余接

数値の Arcctg - そのコタンジェントが a に等しくなるように、間隔 (0; π) から値 α を取得します。

逆余接関数のプロパティ:

1. 関数定義間隔は無限大です。
2. 許容可能な値の範囲は間隔 (0; π) です。
3. F(x) は偶数でも奇数でもありません。
4. その全長にわたって、関数のグラフは減少します。

ctg x と arctg x を比較するのは非常に簡単です。2 つの図を作成し、曲線の動作を記述するだけです。

タスク2。グラフと関数の表記形式を合わせてください。

論理的に考えれば、両方の機能が増加していることがグラフから明らかです。 したがって、両方の図は特定の arctan 関数を示します。 逆正接の性質から、x = 0 では y=0 であることがわかります。

答え：米。 1 – 1、図。 2～4。

三角恒等式 arcsin、arcos、arctg、および arcctg

以前に、アーチと三角法の基本関数との関係をすでに特定しました。 この依存関係は、たとえば、引数の正弦を逆正弦、逆余弦、またはその逆で表現できるようにする多くの式で表現できます。 このようなアイデンティティの知識は、特定の例を解決するときに役立ちます。

arctg と arcctg の関係もあります。

もう 1 つの便利な式のペアは、arcsin と arcos の合計、および同じ角度の arcctg と arcctg の値を設定します。

問題解決の例

三角関数のタスクは 4 つのグループに分類できます。特定の式の数値を計算する、指定された関数のグラフを作成する、定義領域または ODZ を見つける、例を解くための分析変換を実行する。

最初のタイプの問題を解決するときは、次のアクション プランに従う必要があります。

関数グラフを扱う際に重要なのは、関数グラフのプロパティと曲線の外観についての知識です。 三角方程式と不等式を解くには恒等表が必要です。 学生が覚えている公式が多いほど、課題に対する答えを見つけるのが簡単になります。

統一国家試験で、次のような方程式の答えを見つける必要があるとします。

式を正しく変換して目的の形式にすれば、問題を解決するのは非常に簡単かつ迅速です。 まず、arcsin x を等式の右側に移動させましょう。

公式を覚えておけば arcsin (sin α) = αそうすると、答えの検索を 2 つの方程式系を解くことに減らすことができます。

モデル x に対する制限は、やはり arcsin の特性から生じました: x の ODZ [-1; 1]。 a ≠0 の場合、システムの一部は根 x1 = 1 および x2 = - 1/a をもつ二次方程式になります。 a = 0 の場合、x は 1 になります。

(円関数、円弧関数) - 三角関数の逆関数。

逆正接- 指定: アークタンXまたは アークタンX.

逆正接 (y = 逆正接 x) - 逆関数 TG (x = タン y)、ドメインと値のセットを持ちます。 。 つまり、角度をその値で返します。 TG.

関数 y = 逆正接 xは連続的であり、その数直線全体に沿って有界です。 関数 y = 逆正接 x厳密に増加しています。

arctg 関数のプロパティ。

関数 y = arctan x のグラフ。

逆正接グラフは、正接グラフの横軸と縦軸を入れ替えることで得られます。 曖昧さを取り除くために、値のセットは間隔に制限されます 、その関数は単調です。 この定義は逆正接の主値と呼ばれます。

arctg関数を取得します。

機能があります y = タン x。 定義領域全体を通じて区分的に単調であるため、逆対応 y = 逆正接 xは関数ではありません。 したがって、それが増加し、すべての値を 1 回だけ取得するセグメントを考慮します - 。 そのようなセグメントでは y = タン x単調に増加するだけで、すべての値は 1 回だけ取ります。つまり、間隔に逆数があります。 y = 逆正接 x、そのグラフはグラフと対称です y = タン x比較的直線的なセグメント上にある y = x.

定義と表記法

逆正弦は次のように表されることもあります。
.

逆正弦関数のグラフ

関数 y = のグラフ 逆正弦×

逆正弦グラフは、正弦グラフの横軸と縦軸を入れ替えると得られます。 曖昧さを排除するために、値の範囲は関数が単調である区間に制限されます。 この定義は逆正弦の主値と呼ばれます。

逆余弦、アークコス

定義と表記法

逆余弦は次のように表されることもあります。
.

逆余弦関数のグラフ

関数 y = のグラフ アーコスX

逆コサイングラフは、コサイングラフの横軸と縦軸を入れ替えると得られます。 曖昧さを排除するために、値の範囲は関数が単調である区間に制限されます。 この定義は逆余弦の主値と呼ばれます。

パリティ

逆正弦関数は奇数です。
arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = -アークシン×

逆余弦関数は偶数でも奇数でもありません。
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

プロパティ - 極値、増加、減少

関数 arcsine と arccosine は、その定義領域では連続です (連続性の証明を参照)。 逆正弦と逆余弦の主な特性を表に示します。

逆正弦と逆余弦の表

この表は、引数の特定の値に対する逆正弦と逆余弦の値を度およびラジアンで示します。

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

数式

和と差の公式

または

と

と

または

と

と

で

で

で

で

対数、複素数による表現

双曲線関数による式

デリバティブ

;
.
「アークサインおよびアークコサイン導関数の導出」を参照してください。 > > >

高次導関数:
,
ここで、 は次数の多項式です。 それは次の式で決定されます。
;
;
.

arcsine と arccosine の高次導関数の導出を参照してください。 > > >

積分

x = という置換を行います。 罪です。 -π/ を考慮して、部分ごとに積分します。 2 ≤ t ≤ π/2, コスト ≥ 0:
.

逆余弦を逆正弦で表現しましょう。
.

シリーズ展開

|x| のとき< 1 次の分解が行われます。
;
.

逆関数

逆正弦と逆余弦の逆数は、それぞれ正弦と余弦です。

次の式は、定義範囲全体にわたって有効です。
sin(アークサイン x) = x
cos(arccos x) = x .

次の式は、逆正弦値と逆余弦値のセットに対してのみ有効です。
arcsin(sin x) = xで
arccos(cos x) = xで 。

参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。