三角形の周囲長を求める公式。三角形の周囲長：概念、特徴、決定方法

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周囲長は、2 次元形状の境界の全長です。三角形の周囲を見つけたい場合は、そのすべての辺の長さを加算する必要があります。三角形の少なくとも 1 つの辺の長さがわからない場合は、それを見つける必要があります。この記事では、(a) 既知の 3 つの辺が与えられた三角形の周囲を見つける方法を説明します。 (b) 2 つの辺だけがわかっている場合に、直角三角形の外周を見つける方法。 (c) 2 つの辺とそれらの間の角度が与えられた場合に、三角形の周囲長を求める方法 (コサイン定理を使用)。

ステップ

1 この三面によると

1 周長を見つけるには、次の式を使用します。 P = a + b + c。a、b、c は 3 辺の長さ、P は周囲長です。
2 3 辺すべての長さを求めます。この例では: a = 5、b = 5、c = 5。
- 3つの辺がすべて同じ長さなので正三角形です。しかし、上の公式はどの三角形にも当てはまります。
3 3 辺すべての長さを加算して周囲長を求めます。この例では、5 + 5 + 5 = 15、つまり P = 15 となります。
- 別の例: a = 4、b = 3、c = 5。P = 3 + 4 + 5 = 12。
4 回答には測定単位を忘れずに記入してください。この例では、辺の単位がセンチメートルであるため、最終的な解答にはセンチメートル (または問題文で指定された単位) も含める必要があります。
- この例では、各辺は 5 cm であるため、最終的な答えは P = 15 cm となります。

2 直角三角形の指定された 2 つの辺について

1 ピタゴラスの定理を思い出してください。この定理は直角三角形の辺間の関係を説明するもので、数学で最も有名で応用されている定理の 1 つです。この定理は、任意の直角三角形の辺が次の関係によって関連付けられることを示しています: a 2 + b 2 = c 2 (a、b は脚、c は斜辺)。
2 三角形を描き、その辺に a、b、c のラベルを付けます。直角三角形の最も長い辺は斜辺です。直角の向かい側にあります。斜辺に「c」というラベルを付けます。脚 (直角に隣接する辺) に「a」と「b」のラベルを付けます。
3 既知の辺の値をピタゴラスの定理 (a 2 + b 2 = c 2) に代入します。文字の代わりに、問題文に示されている数字を置き換えてください。
- たとえば、a = 3 および b = 4 です。これらの値をピタゴラスの定理に代入します: 3 2 + 4 2 = c 2。
- 別の例: a = 6 および c = 10。その場合: 6 2 + b 2 = 10 2
4 結果の方程式を解いて未知の辺を見つけます。これを行うには、まず既知の辺の長さを 2 乗します (単に与えられた数値を単純に掛けます)。斜辺を求める場合は、2 つの辺の 2 乗を加算し、その合計の平方根を求めます。脚を探している場合は、斜辺の 2 乗から既知の脚の 2 乗を引き、得られた商の平方根を求めます。
- 最初の例では、 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2 ; 25= c 2 ; √25 = 秒。したがって、c = 25 となります。
- 2 番目の例: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100。36 を方程式の右側に移動すると、次のようになります。 b 2 = 64; b = √64。したがって、b = 8 となります。
5
- 最初の例では、P = 3 + 4 + 5 = 12 となります。
- 2 番目の例では、P = 6 + 8 + 10 = 24 となります。

3 与えられた 2 つの辺とそれらの間の角度による

1 2 つの辺とそれらの間の角度が与えられれば、余弦の法則を使用して三角形の辺を見つけることができます。この定理はあらゆる三角形に当てはまり、非常に便利な公式です。コサイン定理: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C)、ここで、a、b、c は三角形の辺、A、B、C は三角形の対応する辺の反対側の角度です。
2 三角形を描き、その辺に a、b、c のラベルを付けます。対応する辺の反対側の角に A、B、C というラベルを付けます (つまり、辺「a」の反対側の角には「A」というラベルが付けられます)。
- たとえば、辺が 10 と 12 で、それらの間の角度が 97° の三角形があるとします。つまり、a = 10、b = 12、C = 97°となります。
3 与えられた値を式に代入し、未知の辺「c」を求めます。まず、既知の辺の長さを 2 乗し、その結果の値を加算します。次に、角度 C の余弦を求めます (電卓またはオンライン計算機を使用)。既知の辺の長さに、指定された角度の余弦と 2 を掛けます (2abcos(C))。 2 つの辺の二乗和 (a 2 + b 2) から結果の値を引くと、c 2 が得られます。この値の平方根をとって、未知の辺「c」の長さを求めます。私たちの例では:
- c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
- c 2 = 100 + 144 – (240 × -0.12187)
- c 2 = 244 – (-29.25)
- c 2 = 244 + 29.25
- c 2 = 273.25
- c = 16.53
4 3 つの辺の長さを加算して周囲長を求めます。周長は次の式を使用して計算されることを思い出してください: P = a + b + c。
- この例では、P = 10 + 12 + 16.53 = 38.53 となります。

外周は、平面 (2 次元) の幾何学的図形のすべての辺の長さを示す数量です。幾何学的形状が異なると、周囲を見つける方法も異なります。

この記事では、既知の面に応じてさまざまな方法で図形の周囲を見つける方法を学びます。

考えられる方法:

二等辺三角形またはその他の三角形の 3 つの辺はすべて既知です。
既知の 2 つの面を考慮して直角三角形の周囲を見つける方法。
中心線と高さのない 2 つの面とそれらの間に位置する角度 (コサイン公式) がわかります。

最初の方法: 図形のすべての側面がわかっています

3 つの面がすべてわかっている場合に三角形の周囲を見つける方法の場合は、次の公式を使用する必要があります: P = a + b + c、ここで、a、b、c は三角形のすべての辺の既知の長さ、P は図形の周囲長です。

たとえば、図の 3 つの辺は a = 24 cm、b = 24 cm、c = 24 cm であることがわかります。これは正二等辺図であり、周長を計算するには、P = 24 + 24 + 24 = を使用します。 72センチメートル。

この公式はどの三角形にも当てはまります。、すべての辺の長さを知る必要があるだけです。少なくとも 1 つが不明な場合は、後で説明する他の方法を使用する必要があります。

別の例: a = 15 cm、b = 13 cm、c = 17 cm 周長を計算します: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm。

受信した応答で測定単位をマークすることが非常に重要です。この例では、辺の長さはセンチメートル (cm) で示されていますが、他の測定単位が存在するさまざまなタスクがあります。

2 番目の方法: 直角三角形とその既知の 2 つの辺

解決する必要があるタスクに長方形の図形が与えられ、その 2 つの面の長さはわかっているが、3 番目の面の長さがわかっていない場合は、ピタゴラスの定理を使用する必要があります。

直角三角形の面間の関係を説明します。この定理によって記述される公式は、幾何学の中で最もよく知られ、最も頻繁に使用される定理の 1 つです。したがって、定理自体は次のようになります。

直角三角形の辺は次の方程式で記述されます: a^2 + b^2 = c^2。ここで、a と b は図形の脚、c は斜辺です。

斜辺。これは常に直角 (90 度) の反対側に位置し、三角形の最長の辺でもあります。数学では、斜辺を文字 c で表すのが通例です。
脚- これらは直角に属する直角三角形の辺であり、文字 a と b で指定されます。片方の脚もフィギュアの高さになります。

したがって、問題の条件がこのような幾何学的図形の 3 つの面のうち 2 つの長さを指定している場合、ピタゴラスの定理を使用して 3 番目の面の寸法を求め、最初の方法の公式を使用する必要があります。

たとえば、2 本の脚の長さがわかっています: a = 3 cm、b = 5 cm 値を定理に代入します: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2。 => 25 = c ^2 => c = 5 cm したがって、このような三角形の斜辺は 5 cm です。ちなみに、この例は最も一般的であり、と呼ばれます。つまり、図形の 2 本の脚が 3 cm と 4 cm の場合、斜辺はそれぞれ 5 cm になります。

いずれかの脚の長さが不明な場合は、式を次のように変形する必要があります: c^2 – a^2 = b^2。もう一方の脚ではその逆になります。

例を続けてみましょう。ここで、図形の周長を求めるための標準的な公式、P = a + b + c に目を向ける必要があります。私たちの場合: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm。

3 番目の方法: 2 つの面とそれらの間の角度

高校でも大学でも、ほとんどの場合、この方法で周囲を見つける必要があります。問題の条件が 2 つの辺の長さと、それらの間の角度の寸法を指定している場合、 コサイン定理を使用する必要があります.

この定理はあらゆる三角形に当てはまります。そのため、幾何学で最も役立つ定理の 1 つとなります。定理自体は次のようになります: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C))、ここで、a、b、c は面の標準の長さ、A、B はおよび C は、三角形の対応する面の反対側にある角度です。つまり、A は辺 a の反対側の角度、というようになります。

三角形が記述され、辺 a と辺 b がそれぞれ 100 cm と 120 cm であり、それらの間の角度が 97 度であると想像してみましょう。つまり、a = 100 cm、b = 120 cm、C = 97 度です。

この場合に必要なのは、既知の値をすべてコサイン定理に代入することだけです。既知の面の長さを 2 乗した後、既知の辺同士を 2 で乗算し、それらの間の角度の余弦を乗算します。次に、面の正方形を加算し、そこから得られた 2 番目の値を減算する必要があります。平方根は最終値から取得されます。これは、これまで知られていなかった 3 番目の辺になります。

図形の 3 つの辺がすべてわかった後は、最初の方法で記述された図形の周囲を見つけるための標準公式を使用する必要があります。これはすでに愛用されています。

予備情報

平面上の平らな幾何学図形の周囲は、そのすべての辺の長さの合計として定義されます。トライアングルも例外ではありません。まず、三角形の概念と、辺に応じた三角形の種類を示します。

定義 1

線分によって互いに接続された 3 つの点で構成される幾何学的図形を三角形と呼びます (図 1)。

定義 2

定義 1 の枠組み内で、これらの点を三角形の頂点と呼びます。

定義 3

定義 1 の枠組み内では、セグメントは三角形の辺と呼ばれます。

明らかに、三角形には 3 つの頂点と 3 つの辺があります。

三角形は、各辺の関係に応じて、不等辺三角形、二等辺三角形、正三角形に分けられます。

定義 4

どの辺も他の辺と等しくない場合、三角形を不等辺三角形と呼びます。

定義5

三角形の 2 つの辺が互いに等しいが、3 番目の辺とは等しくない場合、その三角形を二等辺三角形と呼びます。

定義6

すべての辺が互いに等しい場合、三角形を正三角形と呼びます。

図 2 では、これらの三角形のすべてのタイプを確認できます。

不等辺三角形の周囲長を求めるにはどうすればよいですか?

一辺の長さが $α$、$β$、$γ$ に等しい不等辺三角形が与えられるとします。

結論：不等辺三角形の周囲を見つけるには、その辺の長さをすべて加算する必要があります。

例1

$34$ cm、$12$ cm、$11$ cm に等しい不等辺三角形の周囲長を求めます。

$P=34+12+11=57$ cm

答え: $57$ cm。

例 2

脚が $6$ と $8$ cm である直角三角形の周囲の長さを求めます。

まず、ピタゴラスの定理を使って、この三角形の斜辺の長さを求めてみましょう。それを $α$ と表すと、

$α=10$ 不等辺三角形の周囲長を計算する規則によれば、次のようになります。

$P=10+8+6=24$ cm

答え: $24$ を参照してください。

二等辺三角形の周囲長を求めるにはどうすればよいですか?

二等辺三角形が与えられたとします。辺の長さは $α$ に等しく、底辺の長さは $β$ に等しくなります。

平坦な幾何学的図形の周囲長を決定すると、次のことが得られます。

$P=α+α+β=2α+β$

結論：二等辺三角形の周囲長を求めるには、辺の長さの 2 倍を底辺の長さに加えます。

例 3

二等辺三角形の辺が $12$ cm、底辺が $11$ cm のときの周囲長を求めます。

上で説明した例から、次のことがわかります。

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

答え: $35$ cm。

例 4

底辺までの高さが $8$ cm、底辺が $12$ cm の場合の二等辺三角形の周囲長を求めます。

問題の条件に従って図面を見てみましょう。

三角形は二等辺なので、$BD$ は中央値でもあり、したがって $AD=6$ cm になります。

ピタゴラスの定理を使用して、三角形 $ADB$ から辺を求めます。それを $α$ と表すと、

二等辺三角形の周囲長を計算するルールによれば、次のようになります。

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

答え: $32$ を参照してください。

正三角形の周囲長を求めるにはどうすればよいですか?

すべての辺の長さが $α$ に等しい正三角形が与えられるとします。

平坦な幾何学的図形の周囲長を決定すると、次のことが得られます。

$P=α+α+α=3α$

結論：正三角形の周囲長を求めるには、三角形の辺の長さに $3$ を掛けます。

例5

正三角形の一辺が $12$ cm の場合、その周囲の長さを求めます。

上で説明した例から、次のことがわかります。

$P=3\cdot 12=36$ cm

三角形の周囲長を求めるにはどうすればよいですか? 私たちはそれぞれ、学校で勉強しているときにこの質問をしました。この驚くべき人物について知っていることをすべて思い出して、尋ねられた質問にも答えてみましょう。

三角形の周囲をどのように見つけるかという質問に対する答えは通常非常に簡単です。すべての辺の長さを加算する手順を実行するだけです。ただし、目的の値を見つけるためのさらに簡単な方法がいくつかあります。

アドバイス

三角形に内接する円の半径 (r) とその面積 (S) がわかっていれば、三角形の周囲長を求める方法という質問に答えるのは非常に簡単です。これを行うには、通常の公式を使用する必要があります。

辺に隣接する 2 つの角度、たとえば α と β、および辺そのものの長さがわかっている場合、次のような非常によく使われる公式を使用して周長を求めることができます。

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

隣接する辺の長さとそれらの間の角度 β がわかっている場合、周囲長を見つけるには、次の式を使用する必要があります。周囲長は次の式を使用して計算されます。

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

ここで、b2 と a2 は隣接する辺の長さの 2 乗です。根号式は、コサイン定理を使用して表される未知の 3 番目の辺の長さです。

周囲を見つける方法が分からない場合でも、実際には何も複雑なことはありません。次の式を使用して計算します。

ここで、b は三角形の底辺、a はその辺です。

正三角形の周囲長を求めるには、最も単純な公式を使用します。

ここで、a は辺の長さです。

三角形の周囲に外接する円、または三角形に内接する円の半径だけがわかっている場合、三角形の周囲長を見つけるにはどうすればよいでしょうか? 三角形が正三角形の場合は、次の公式を適用する必要があります。

P = 3R√3 = 6r√3、

ここで、R と r はそれぞれ外接円と内接円の半径です。

三角形が二等辺の場合、次の式が適用されます。

P=2R (sinβ + 2sinα)、

ここで、α は底面の角度、β は底面の反対側の角度です。

多くの場合、数学的問題を解決するには、詳細な分析と、必要な公式を見つけて導出する特別な能力が必要ですが、これは、多くの人が知っているように、非常に困難な作業です。ただし、一部の問題は 1 つの公式だけで解決できます。

さまざまな種類の三角形に関連して、三角形の周囲長を求める方法の基本となる公式を見てみましょう。

もちろん、三角形の周囲長を見つけるための主なルールは次のとおりです。三角形の周囲長を見つけるには、適切な公式を使用してすべての辺の長さを加算する必要があります。

ここで、b、a、c は三角形の辺の長さ、P は三角形の周囲長です。

この式には特殊なケースがいくつかあります。問題が次のように定式化されているとします。「直角三角形の外周を見つける方法は?」この場合、次の式を使用する必要があります。

P = b + a + √(b2 + a2)

この式では、b と a は直角三角形の脚の直接の長さです。 (斜辺) の側の代わりに、古代の偉大な科学者ピタゴラスの定理から得られた式が使用されていることは容易に推測できます。

三角形が相似である問題を解決する必要がある場合、このステートメントを使用するのが論理的です。つまり、周囲の比率が相似係数に対応します。 2 つの相似な三角形、ΔABC と ΔA1B1C1 があるとします。次に、類似係数を求めるには、周囲長 ΔABC を周囲長 ΔA1B1C1 で割る必要があります。

結論として、三角形の周囲長は、所有する初期データに応じて、さまざまな手法を使用して見つけることができることがわかります。直角三角形には特殊なケースがいくつかあることを付け加えておきます。

多くの場合、数学的な問題には、詳細な分析、解決策を検索し、必要なステートメントや公式を選択する能力が必要です。この種の作業では混乱しやすいです。しかし、解決策が 1 つの公式の適用に集約される問題もあります。このような問題には、三角形の周囲をどのように見つけるかという問題が含まれます。

さまざまな種類の三角形に関連して、この問題を解くための基本公式を考えてみましょう。

三角形の周囲を見つけるための基本的なルールは、次のステートメントです。三角形の周囲は、そのすべての辺の長さの合計に等しいです。式 P=a+b+c。ここで、a、b、c は三角形の辺の長さ、P はその周囲の長さです。
この式には特殊なケースがあります。例えば：
直角三角形の周長を求める問題の場合は、古典的な公式 (ポイント 1 を参照) と、より少ないデータを必要とする公式 P=a+b+ (a 2 +b 2) の両方を使用できます。ここで、a、bは直角三角形の脚の長さです。 3 番目の辺 (斜辺) がピタゴラスの定理の式に置き換えられていることに簡単に気づきます。
二等辺三角形の周囲長は、公式 P=2*a+b を使用して求められます。ここで、a は三角形の辺の長さ、b は三角形の底辺の長さです。
正三角形 (または正三角形) の周囲長を求めるには、式 P=3*a の値を計算します。ここで、a は三角形の辺の長さです。
相似な三角形が現れる問題を解決するには、次のステートメントを知っておくと役立ちます: 周長の比率は相似係数に等しい。公式を使うと便利です
P(ABC)/P(A 1 B 1 C 1)=k、ABC ~ A 1 B 1 C 1、k は類似係数です。

辺 6、8、10 を持つ ABC と、辺 9、12 を持つ A 1 B 1 C 1 が与えられたとします。角度 B は角度 B 1 に等しいことが知られています。三角形 A 1 B 1 C 1 の周囲を求めます。

AB=6、BC=8、AC=10- A 1 B 1 =9- B 1 C 1 =12 とします。 AB/ A 1 B 1 =BC/ B 1 C 1 であることに注意してください。 6/9=8/12=2/3。また、条件によれば、B=B 1 となります。これらの角度は、それぞれ辺 AB、BC と A1B1、B1C1 の間に含まれます。結論 - 三角形の相似性の 2 番目の基準に基づいて、ABC A 1 B 1 C 1。類似係数ｋ＝２／３。
ステップ 1 の公式を使用して、P(ABC) = 6+8+10=24 (単位) を求めてみましょう。項目 2a の公式を使用できます。ピタゴラスの定理はABCが長方形であることを証明します。
段落 2d からは、P(ABC)/P(A 1 B 1 C 1)=2/3 となります。したがって、P(A 1 B 1 C 1)=3*P(ABC)/2=3*24/2=36 (単位) となります。

今日だけなので注意してください！