タスクNo.1
ロジックは単純です。三角関数の引数がより複雑になったという事実に関係なく、以前と同じように処理します。
次の形式の方程式を解くとします。
次に、次の答えを書き留めます。
または（以来）
しかし、今では私たちの役割は次の式によって担われています。
次に、次のように書くことができます。
私たちの目標は、左側が「不純物」のないシンプルな状態になるようにすることです。
徐々に解消していきましょう！
まず、分母を削除しましょう。これを行うには、等式に次の値を掛けます。
次に、両方の部分を分割してそれを取り除きましょう。
では、8 つを削除しましょう。
結果として得られる式は、2 系列の解として書くことができます (二次方程式から類推して、判別式を加算または減算します)。
最大の負の根を見つける必要があります。 整理する必要があることは明らかです。
まずは最初のエピソードを見てみましょう。
私たちが取ると、結果として正の数値を受け取ることは明らかですが、それらは私たちには興味がありません。
だからネガティブに捉える必要があるのです。 そうしましょう。
根元が狭くなる場合：
そして、最大のマイナスを見つける必要があります!! これは、ここではマイナス方向に進むことはもはや意味をなさないことを意味します。 そして、この系列の最大の負の根は次のようになります。
次に、2 番目のシリーズを見てみましょう。
そして再び次のように置き換えます。
興味がない！
そうなるとこれ以上増やしても意味がありません！ 減らしていきましょう！ それでは、次のようにしましょう。
フィットします！
そうしましょう。 それから
それから - 最大の負の根！
答え：
タスクその2
複素余弦引数に関係なく、もう一度解きます。
ここで、再び左式で表現します。
両辺に次の値を掛けます
両辺を次のように割ります
残っているのは、符号をマイナスからプラスに変えて右に移動することだけです。
再び 2 つの一連のルートが得られます。1 つは with で、もう 1 つは with です。
最大の負の根を見つける必要があります。 最初のエピソードを見てみましょう:
最初の負のルートが で得られることは明らかであり、それは 1 系列内で最大の負のルートと等しく、最大の負のルートになります。
第2シリーズに向けて
最初の負の根も で取得され、次と等しくなります。 なぜなら、 then は方程式の最大の負の根です。
答え： .
タスクその3
複素正接引数に関係なく解決します。
さて、複雑ではないように思えますよね?
前と同様に、左辺で次のように表現します。
なるほど、それは素晴らしいですね、ここには一連の根が 1 つだけあります。 最大のマイナスをもう一度見つけてみましょう。
置いてみると分かる。 そして、このルートは等しいです。
答え：
次に、次の問題を自分で解決してみてください。
宿題または独立して解決する 3 つのタスク。
- 方程式を解きます。
- 方程式を解きます。
pi-shi-th-the-smallest-possibleroot に対する答えです。 - 方程式を解きます。
pi-shi-th-the-smallest-possibleroot に対する答えです。
準備ができて？ 確認しよう。 解決アルゴリズム全体については、すでに十分な注目を集めているため、詳細には説明しません。
さて、すべて正しいでしょうか？ ああ、あの厄介な副鼻腔には、常に何らかの問題が存在します。
さて、これで簡単な三角方程式を解くことができるようになりました。
解決策と回答を確認してください。
タスクNo.1
表現しましょう
次のようにすると、最小の正の根が得られます。
答え：
タスクその2
最小の正の根は で得られます。
それは平等になります。
答え： .
タスクその3
手に入れたとき、手に入れたとき。
答え： .
この知識は、試験で遭遇する多くの問題を解決するのに役立ちます。
「5」の評価を申請する場合は、次の記事を読み進めてください。 中級レベルこれは、より複雑な三角方程式を解くことに専念します (タスク C1)。
平均レベル
この記事では説明します より複雑な三角方程式を解くそしてそのルーツを選択する方法。 ここでは次のトピックについて説明します。
- 初心者向けの三角方程式 (上記を参照)。
より複雑な三角方程式は、高度な問題の基礎となります。 これらは、方程式自体を一般形式で解くことと、特定の指定された区間に属するこの方程式の根を見つけることの両方を必要とします。
三角方程式を解くことは、次の 2 つのサブタスクに分かれます。
- 方程式を解く
- ルートの選択
2 番目は常に必要なわけではありませんが、ほとんどの例では依然として選択が必要であることに注意してください。 しかし、それが必要でない場合は、私たちはあなたに同情することができます。これは、方程式自体が非常に複雑であることを意味します。
C1 問題を分析した私の経験によると、C1 問題は通常次のカテゴリに分類されます。
複雑さが増したタスクの 4 つのカテゴリ (以前の C1)
- 因数分解に帰着する方程式。
- 方程式を形にまとめたもの。
- 変数を変更して方程式を解きます。
- 無理数または分母のために根の追加の選択が必要な方程式。
簡単に言うと「捕まった場合」 最初の 3 種類の方程式の 1 つ、その後、自分は幸運だと考えてください。 それらの場合、原則として、特定の間隔に属するルートをさらに選択する必要があります。
タイプ 4 の方程式に遭遇した場合は、それほど幸運ではありません。より長く、より慎重にそれをいじくり回す必要がありますが、多くの場合、根を追加で選択する必要はありません。 それでも、次の記事ではこのタイプの方程式を分析し、今回は最初の 3 つのタイプの方程式を解くことに専念します。
因数分解に帰着する方程式
このタイプの方程式を解くために覚えておく必要がある最も重要なことは、
実際にやってみるとわかるように、原則として、この知識があれば十分です。 いくつかの例を見てみましょう。
例 1. リダクションおよび倍角正弦公式を使用して因数分解された方程式
- 方程式を解く
- カットの上にあるこの方程式の根をすべて見つけます
ここでは、約束したように、リダクション公式が機能します。
すると、私の方程式は次のようになります。
すると、私の方程式は次の形式になります。
近視眼的な学生はこう言うかもしれません。「さあ、両辺を約定して、最も単純な方程式を求めて、人生を楽しみましょう!」 そして彼はひどい間違いをするでしょう！
| 覚えておいてください: 未知の関数を含む関数で三角方程式の両辺を約分することはできません。 それであなたは自分のルーツを失います！ |
じゃあ何をすればいいの？ はい、簡単です。すべてを片側に移動して、共通因数を取り出します。
さて、それを因数分解してみました。万歳！ では、次のように決めましょう。
最初の方程式には根があります。
そして2番目:
これで問題の最初の部分が完了しました。 次に、ルートを選択する必要があります。
ギャップはこんな感じです。
または、次のように書くこともできます。
さて、根を取りましょう:
まず、最初のエピソードに取り組んでみましょう (控えめに言っても、より簡単です!)
間隔は完全に負であるため、非負のものを取得する必要はありません。それでも非負の根が得られます。
それでは、受け取りましょう - 多すぎます、当たりません。
それなら放っておいてください - 私は再びそれを打たなかったのです。
もう 1 回試してみて、それから、はい、わかりました! 最初の根が見つかりました！
もう一度撃つ、そしてまた撃つ！
さて、もう一度: : - これはすでにフライトです。
したがって、最初のシリーズからは、区間に属する 2 つのルートがあります。
私たちは 2 番目のシリーズに取り組んでいます (構築中です) ルールに従ってべき乗):
アンダーシュート！
またまた懐かしい！
またまた懐かしい！
わかった！
フライト！
したがって、私の間隔には次の根があります。
これは、他のすべての例を解くために使用するアルゴリズムです。 もう 1 つの例を使って一緒に練習してみましょう。
例 2. 換算式を使用して方程式を因数分解する
- 方程式を解く
解決：
ここでも悪名高い削減公式を示します。
二度と切り戻そうとしないでください！
最初の方程式には根があります。
そして2番目:
さて、またルーツ探しです。
2 番目のエピソードから始めます。前の例でそれについてはすでにすべて知っています。 区間に属するルートが次のようになっていることを確認してください。
さて、最初のエピソードですが、もっと簡単です:
- 適切な場合
それもいいなら
すでにフライトの場合。
すると根は以下のようになります。
独立した作品。 3つの方程式。
さて、そのテクニックは理解できましたか？ 三角方程式を解くことはもうそれほど難しくないと思われませんか? 次に、次の問題を自分ですぐに解決してから、他の例を解決します。
- 方程式を解く
区間より上にあるこの方程式の根をすべて見つけます。 - 方程式を解く
カットの上にある方程式の根を示します - 方程式を解く
それらの間にあるこの方程式の根をすべて見つけます。
式1。
そして再び削減公式:
最初の一連のルート:
ルートの 2 番目のシリーズ:
ギャップの選定を開始します
答え： 、 。
式2。 独立した作品をチェックしています。
因子にグループ化するのは非常に難しいです (倍角正弦の公式を使用します)。
それから、または
これは一般的な解決策です。 次に、ルートを選択する必要があります。 問題は、コサインが 4 分の 1 に等しい角度の正確な値を知ることができないことです。 したがって、アークコサインを単純に取り除くことはできません。残念です。
私にできることは、そうだ、だから、では、と理解することです。
テーブルを作成しましょう: 間隔:
さて、苦労の末、私たちは方程式の根が示された区間に 1 つあるという残念な結論に達しました。 \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
式 3: 独立した作業テスト。
恐ろしい見た目の方程式。 ただし、倍角正弦の公式を適用することで非常に簡単に解決できます。
それを 2 減らしてみましょう:
最初の項を 2 番目の項と、3 番目の項を 4 番目の項とグループ化し、共通因数を取り出してみましょう。
最初の方程式に根がないことは明らかです。次に、2 番目の方程式を考えてみましょう。
一般に、このような方程式を解くことについてはもう少し後で考えるつもりでしたが、実際にそうなったので、何もすることがなく、それを解く必要があります...
次の形式の方程式:
この方程式は、両辺を次のように除算して解きます。
したがって、方程式には単一の一連の根があります。
区間に属するものを見つける必要があります: 。
先ほどと同じように、テーブルを再度作成してみましょう。
答え： 。
方程式は次の形式に変換されます。
さて、方程式の 2 番目の部分に移ります。特に、新しいタイプの三角方程式の解が何で構成されているかについてはすでに豆知識をこぼしたためです。 しかし、この方程式は次の形式であることを繰り返す価値があります。
両辺を余弦で割ることで解きます。
- 方程式を解く
カットの上にある方程式の根を示します。 - 方程式を解く
それらの間にある方程式の根を示します。
例1.
1 つ目は非常にシンプルです。 右に移動して、倍角コサイン公式を適用します。
うん！ 次の形式の方程式: 。 両方の部分を次のように割ります
ルートスクリーニングを行います。
ギャップ：
答え：
例2。
すべては非常に簡単です。右側の括弧を開けてみましょう。
基本的な三角関数の恒等式:
倍角の正弦:
最後に次のようになります。
ルートスクリーニング: 間隔。
答え： 。
さて、テクニックはどうですか、複雑すぎませんか? そうならないことを願います。 すぐに予約することができます。純粋な形では、すぐに接線の方程式に帰着する方程式は非常にまれです。 通常、この遷移 (コサインによる除算) は、より複雑な問題の一部にすぎません。 練習用の例を次に示します。
- 方程式を解く
- カットの上にあるこの方程式の根をすべて見つけます。
確認しよう：
この方程式は、次のように両辺を割るだけですぐに解くことができます。
根のスクリーニング:
答え： 。
いずれにせよ、私たちは今調べたようなタイプの方程式にまだ出会っていません。 しかし、これで終わりと言うには時期尚早です。まだ分析していない方程式の「層」がもう 1 つあります。 それで：
変数を変更して三角方程式を解く
ここではすべてが透明です。方程式を注意深く見て、可能な限り単純化し、置換を行い、それを解き、逆置換を行います。 言葉で言えば、すべてはとても簡単です。 実際に動作を見てみましょう:
例。
- 方程式を解きます。
- カットの上にあるこの方程式の根をすべて見つけます。
さて、ここで置き換え自体が私たちに示唆されています。
すると、方程式は次のようになります。
最初の方程式には根があります。
そして2つ目はこんな感じです。
次に、区間に属する根を見つけてみましょう
答え： 。
もう少し複雑な例を一緒に見てみましょう。
- 方程式を解く
- 与えられた方程式の間の上にある根を示します。
ここでは、置換はすぐには見えず、さらに、あまり明白ではありません。 まず考えてみましょう：私たちに何ができるでしょうか？
たとえば、次のように想像できます。
そして同時に
この場合、私の方程式は次の形式になります。
そして今、注目し、集中してください:
方程式の両辺を次のように割ってみましょう。
突然、あなたと私には相対的な二次方程式ができました。 置換を行ってみましょう。すると次のようになります。
この方程式には次の根があります。
不快な根の第二シリーズですが、何もすることはできません！ 区間内のルートを選択します。
それも考慮する必要があります
それ以来、そしてそれから
答え：
自分で問題を解決する前にこれを強化するために、次の別の演習を行ってください。
- 方程式を解く
- それらの間にあるこの方程式の根をすべて見つけます。
ここで注意してください。分母がゼロになる可能性があります。 したがって、根には特に注意する必要があります。
まず、適切な置換を行えるように方程式を再構成する必要があります。 今のところ、タンジェントをサインとコサインで書き直す以外に良い方法は思いつきません。
ここで、基本的な三角関数恒等式を使用して、コサインからサインに移行します。
そして最後に、すべてを共通点にまとめます。
ここで方程式に移ります。
しかし、（つまり、）で。
これで、すべてを交換する準備が整いました。
それから、または
ただし、同時に注意してください。
誰がこれで苦しんでいますか？ タンジェントの問題は、コサインがゼロに等しい場合にはタンジェントが定義されないことです (ゼロによる除算が発生します)。
したがって、方程式の根は次のようになります。
次に、区間内のルートをふるいにかけてみます。
| - フィットします | |
| - やりすぎ |
したがって、方程式は区間上に単一の根を持ち、等しくなります。
分母の出現 (接線と同様に、根に関して特定の困難が生じます。ここではさらに注意する必要があります!)。
さて、あなたと私は三角方程式の解析をほぼ終えました。残りはほとんどありません。自分で 2 つの問題を解決する必要があります。 どうぞ。
- 方程式を解く
カットの上にあるこの方程式の根をすべて見つけます。 - 方程式を解く
カットの上にあるこの方程式の根を示します。
決めた？ とても難しくないですか？ 確認しよう：
- 以下の削減公式に従って作業します。
方程式に代入します。
置き換えを簡単にするために、コサインを使用してすべてを書き直してみましょう。
これで、簡単に置き換えることができます。
方程式には解がないので、これが無関係な根であることは明らかです。 それから：
インターバルで必要なルートを探しています
答え： 。
ここでは、置換がすぐに表示されます。それから、または
-ぴったりです！ -ぴったりです！ -ぴったりです！ -ぴったりです！ - たくさんの！ - それもたくさん！ 答え：
さて、それで終わりです！ しかし、三角方程式を解くことはそこで終わるわけではありません。方程式に無理数やさまざまな「複雑な分母」が含まれている場合、私たちは最も困難な場合に取り残されてしまいます。 このようなタスクを解決する方法については、上級レベルの記事で説明します。
上級レベル
前の 2 つの記事で説明した三角方程式に加えて、さらに慎重な分析が必要な別のクラスの方程式を検討します。 これらの三角関数の例には無理数または分母が含まれているため、分析がより困難になります。。 ただし、試験問題のパート C でこれらの方程式に遭遇する可能性は十分にあります。 ただし、すべての雲には希望の光が含まれています。そのような方程式では、原則として、その根のどれが特定の区間に属するかという問題は提起されなくなります。 難しいことを言うのではなく、三角関数の例に直接行きましょう。
例1.
方程式を解き、セグメントに属する根を見つけます。
解決：
ゼロに等しくない分母があります。 この方程式を解くことは系を解くことと同じです
それぞれの方程式を解いてみましょう。
そして今度は 2 つ目です:
次に、シリーズを見てみましょう。
この場合、分母がゼロにリセットされるため、このオプションが適切でないことは明らかです (2 番目の方程式の根の式を参照)。
もしそうであれば、すべてが順調であり、分母はゼロではありません。 この場合、方程式の根は次のようになります。 、 。
次に、区間に属するルートを選択します。
| - 適切ではありません | - フィットします | |
| - フィットします | - フィットします | |
| やりすぎ | やりすぎ |
すると、根は次のようになります。
分母の形に小さな乱れが現れても、方程式の解法に大きな影響を与えました。分母を無効にする一連の根は破棄されました。 不合理な三角関数の例に遭遇すると、事態はさらに複雑になる可能性があります。
例2。
方程式を解きます。
解決：
まあ、少なくとも根を取り除く必要はないので、それは良いことです。 非合理性に関係なく、まず方程式を解いてみましょう。
それで、それだけですか？ いや、残念ながら、それは簡単すぎます。 ルートの下に表示できるのは負ではない数値のみであることを覚えておく必要があります。 それから：
この不等式の解は次のとおりです。
ここで、最初の方程式の根の一部が不注意で不等式が成り立たないところに到達したかどうかを調べることが残っています。
これを行うには、テーブルを再度使用します。
| ： 、 しかし | いいえ！ | |
| はい！ | ||
| はい！ |
こうして、私の根の一つが「抜け落ちた」のです。 置いてみると判明。 すると、答えは次のように書くことができます。
答え：
ご存知のとおり、根にはさらに注意が必要です。 もっと複雑にしてみましょう。ルートの下に三角関数があるとしましょう。
例 3.
前と同様に、まずそれぞれを個別に解決してから、何を行ったかを考えます。
次に 2 番目の方程式は次のようになります。
ここで最も難しいのは、最初の方程式の根を代入した場合に算術根の下で負の値が得られるかどうかを調べることです。
数値はラジアンとして理解する必要があります。 ラジアンはおよそ度であるため、ラジアンは度のオーダーになります。 第2クォーターのコーナーです。 第 2 四半期の余弦の符号は何ですか? マイナス。 正弦はどうでしょうか？ プラス。 それでは、この式について何が言えるでしょうか。
ゼロ未満ですよ！
これは、方程式の根ではないことを意味します。
さあ、時間です。
この数値をゼロと比較してみましょう。
コタンジェントは 1 四半期で減少する関数です (引数が小さいほど、コタンジェントは大きくなります)。 ラジアンはおよそ度です。 同じ時に
それ以来、それから、したがって
,
答え： 。
これ以上複雑になる可能性はありますか? お願いします！ ルートが依然として三角関数であり、方程式の 2 番目の部分が再び三角関数である場合、それはさらに難しくなります。
三角関数の例が多いほど良いです。以下を参照してください。
例4.
コサインが限られているためルートは適切ではありません
次に 2 つ目:
同時に、ルートの定義により、次のようになります。
単位円、つまり正弦がゼロより小さい四半期を覚えておく必要があります。 これらの区画は何ですか? 3番目と4番目。 次に、第 3 四半期または第 4 四半期にある最初の方程式の解に興味を持ちます。
最初のシリーズでは、第 3 四半期と第 4 四半期の交差点に根が存在します。 2 番目のシリーズは、その正反対にあり、第 1 四半期と第 2 四半期の境界に根を生みます。 したがって、このシリーズは私たちには適していません。
答え： 、
そしてまた 「難しい非合理性」を含む三角関数の例。 三角関数が根の下に再びあるだけでなく、分母にも含まれています。
例5.
まあ、何もすることはできません - 私たちは以前と同じようにします。
次に、分母を操作します。
三角関数の不等式を解きたくないので、何かずるいことをします。つまり、一連の根を不等式に代入します。
- が偶数の場合、次のようになります。
ビューのすべての角度が第 4 四半期にあるためです。 そして再び神聖な質問です。第 4 四半期の正弦の符号は何ですか? ネガティブ。 すると、不等式が
-奇数の場合:
角度はどの四半期にありますか? 第2クォーターのコーナーです。 その後、すべてのコーナーが再び第 2 クォーターのコーナーになります。 そこの正弦は正です。 必要なものだけを！ したがって、シリーズは次のとおりです。
フィットします！
ルートの 2 番目の系列も同じ方法で処理します。
不等式に代入します。
もし - さえあれば、
第1クォーターのコーナー。 そこのサインは正であり、シリーズが適切であることを意味します。 ここで - 奇数の場合、次のようになります。
も合います！
さて、それでは答えを書いていきます！
答え：
まあ、これはおそらく最も労働集約的なケースでした。 ここで、あなた自身で解決できる問題を紹介します。
トレーニング
- セグメントに属する方程式の根をすべて解いて見つけます。
解決策:
最初の方程式:
または
ルートのODZ:2 番目の方程式:
区間に属するルートの選択
答え：
または
または
しかし
考えてみましょう: 。 もし - さえあれば、
- 合わない！
- 奇数の場合: - 適切です!
これは、方程式には次の一連の根があることを意味します。
または
区間内のルートの選択:
| - 適切ではありません | - フィットします | |
| - フィットします | - たくさんの | |
| - フィットします | たくさんの |
答え： 、 。
または
したがって、接線は定義されていません。 この一連の根は直ちに廃棄します。
後半:
同時に、DZ によれば、次のことが求められます。
最初の方程式で見つかった根を確認します。
サインの場合:
接線が正となる最初の 4 分の 1 の角度。 合わないよ！
サインの場合:
第4クォーターコーナー。 そこでは正接が負になります。 フィットします。 答えを書き留めます。
答え： 、 。
この記事では複雑な三角関数の例をまとめて見てきましたが、方程式は自分で解く必要があります。
概要と基本公式
三角方程式は、未知数が厳密に三角関数の符号の下にある方程式です。
三角方程式を解くには 2 つの方法があります。
1 つ目の方法は、数式を使用することです。
2 番目の方法は、三角関数を使用する方法です。
角度を測定し、サイン、コサインなどを見つけることができます。
三角方程式を解く方法。三角方程式を解くことは、次の 2 つの段階で構成されます。 方程式変換最も簡単に理解するにはタイプ (上記を参照) と 解決結果として得られる最も単純な 三角方程式。 7つあります 三角方程式を解くための基本的な方法。
1. 代数的方法。
(変数置換と代入方法)。
2. 因数分解。
例 1. 方程式を解きます。罪 バツ+cos バツ = 1 .
解決策: 方程式のすべての項を左に移動してみましょう。
罪 バツ+cos バツ – 1 = 0 ,
の式を変換して因数分解してみましょう。
方程式の左辺:
例 2. 方程式を解きます。コス 2 バツ+罪 バツコス バツ = 1.
解: cos 2 バツ+罪 バツコス バツ– 罪2 バツ– cos 2 バツ = 0 ,
罪 バツコス バツ– 罪2 バツ = 0 ,
罪 バツ· (cos バツ– 罪 バツ ) = 0 ,
例 3. 方程式を解きます。 cos2 バツ–cos8 バツ+cos6 バツ = 1.
解: cos 2 バツ+cos6 バツ= 1 + cos 8 バツ,
2cos4 バツ cos2 バツ= 2cos² 4 バツ ,
コス4 バツ · (cos2 バツ– cos 4 バツ) = 0 ,
コス4 バツ ・2罪3 バツ罪 バツ = 0 ,
1)。 cos4 バツ= 0、2)。 罪3 バツ= 0、3)。 罪 バツ = 0 ,
3. への還元 同次方程式。方程式 呼ばれた からの均質な に関して 罪そして コス , もし それのすべて ～に対して同次の項 罪そして コス同じ角度。 同次方程式を解くには、以下が必要です。 あ) すべてのメンバーを左側に移動します。 b) すべての共通因子を括弧の外に置きます。 V) すべての因数と括弧をゼロと同等とします。 G) かっこがゼロに等しい場合は、 次数の次数の同次方程式。次のように分割する必要があります。 コス（または 罪）上級学位を取得している。 d) 結果の代数方程式を解きます。黄褐色 . 罪 2 バツ+4罪 バツコス バツ+5コス 2 バツ = 2. 解決策: 3sin 2 バツ+4罪 バツコス バツ+5cos2 バツ= 2sin 2 バツ+2cos2 バツ , 罪2 バツ+4罪 バツコス バツ+3cos2 バツ = 0 , タン2 バツ+4タン バツ + 3 = 0 , ここから y 2 + 4y +3 = 0 , この方程式の根は次のとおりです。y 1 = - 1, y 2 = - 3、したがって 1) 日焼け バツ= –1, 2) タン バツ = –3, |
4. ハーフアングルに移行します。
例を使用してこの方法を見てみましょう。
例 方程式を解く: 3罪 バツ– 5コス バツ = 7.
解決策: 6 罪 ( バツ/ 2) cos ( バツ/ 2) – 5 cos² ( バツ/ 2) + 5 sin² ( バツ/ 2) =
7 sin² ( バツ/ 2) + 7 cos² ( バツ/ 2) ,
2 sin² ( バツ/ 2) – 6 罪 ( バツ/ 2) cos ( バツ/ 2) + 12 cos² ( バツ/ 2) = 0 ,
Tan²( バツ/ 2) – 3 タン ( バツ/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. 補助角度の導入。
次の形式の方程式を考えてみましょう:
ある罪 バツ + bコス バツ = c ,
どこ ある, b, c– 係数;バツ- 未知。
これで、方程式の係数はサインとコサインの特性を持ちます。 つまり：それぞれの係数（絶対値） そのうち 1 つ以下、 それらの二乗の和は 1 です. 次に、次のように表すことができます。 それに応じて彼らも どうやって cos と sin (ここでは - いわゆる 補助角）、 そして私たちの方程式を採用してください
「簡単な三角方程式を解く」というテーマのレッスンとプレゼンテーション
追加資料
ユーザーの皆様、コメント、レビュー、要望を忘れずに残してください。 すべての資料はウイルス対策プログラムによってチェックされています。
Integral オンライン ストアの 1C から 10 年生向けのマニュアルとシミュレーター
幾何学の問題を解決します。 宇宙に建築するためのインタラクティブなタスク
ソフトウェア環境「1C: Mathematical Constructor 6.1」
私たちが勉強する内容:
1. 三角方程式とは何ですか?
3. 三角方程式を解くための 2 つの主な方法。
4. 同次三角方程式。
5. 例。
三角方程式とは何ですか?
皆さん、私たちはすでに逆正弦、逆余弦、逆正接、逆余接について勉強しました。 ここで、三角方程式一般を見てみましょう。
三角方程式は、変数が三角関数の符号の下に含まれる方程式です。
最も単純な三角方程式を解く形式を繰り返してみましょう。
1) |a|≤ 1 の場合、方程式 cos(x) = a の解は次のようになります。
X= ± arccos(a) + 2πk
2) |a|≤ 1 の場合、方程式 sin(x) = a の解は次のようになります。
3) |a| の場合 > 1 の場合、方程式 sin(x) = a および cos(x) = a には解がありません。 4) 方程式 tg(x)=a には解があります: x=arctg(a)+ πk
5) 方程式 ctg(x)=a には解があります: x=arcctg(a)+ πk
すべての式で、k は整数です
最も単純な三角方程式の形式は次のとおりです: T(kx+m)=a、T は三角関数です。
例。方程式を解きます: a) sin(3x)= √3/2
解決：
A) 3x=t とすると、式を次の形式に書き換えます。
この方程式の解は次のようになります: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn。
値の表から、t=((-1)^n)×π/3+πn が得られます。
変数に戻りましょう: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn、
すると、x= ((-1)^n)×π/9+πn/3となります。
答え: x= ((-1)^n)×π/9+πn/3、n は整数です。 (-1)^n – マイナス 1 の n 乗。
三角方程式のその他の例。
方程式を解きます: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3解決：
A) 今回は、すぐに方程式の根の計算に直接進みましょう。
X/5= ± arccos(1) + 2πk。 次に、x/5= πk => x=5πk
答え: x=5πk、k は整数です。
B) 3x- π/3=arctg(√3)+ πk の形式で書きます。 arctan(√3)= π/3 であることがわかっています。
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
答え: x=2π/9 + πk/3、k は整数です。
方程式を解きます: cos(4x)= √2/2。 そして、セグメント上のすべてのルートを見つけます。
解決：
方程式を一般形式で解いてみましょう: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
次に、セグメントにどのようなルーツがあるかを見てみましょう。 k = 0、x = π/16 では、指定されたセグメント内にいます。
k=1、x= π/16+ π/2=9π/16 として、再度ヒットします。
k=2 の場合、x= π/16+ π=17π/16 ですが、ここではヒットしませんでした。これは、k が大きい場合も明らかにヒットしないことを意味します。
答え: x= π/16、x= 9π/16
主な解決方法は 2 つあります。
ここでは最も単純な三角方程式について説明しましたが、より複雑な三角方程式もあります。 これらを解決するために、新たな変数を導入する方法や因数分解法が用いられます。 例を見てみましょう。方程式を解いてみましょう:
解決：
方程式を解くために、t=tg(x) を表す新しい変数を導入する方法を使用します。
置換の結果、次の結果が得られます: t 2 + 2t -1 = 0
二次方程式の根を見つけてみましょう: t=-1 と t=1/3
次に、tg(x)=-1 および tg(x)=1/3 となり、最も単純な三角方程式が得られます。その根を求めてみましょう。
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk。
答え: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk。
方程式を解く例
方程式を解く: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
解決：
恒等式を使用しましょう: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
方程式は次の形式になります: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
置換 t=cos(x) を導入しましょう: 2t 2 -3t - 2 = 0
二次方程式の解は根です: t=2 と t=-1/2
この場合、cos(x)=2 および cos(x)=-1/2 となります。
なぜなら cosine は 1 より大きい値を取ることができないため、cos(x)=2 には根がありません。
cos(x)=-1/2 の場合: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
答え: x= ±2π/3 + 2πk
同次三角方程式。
定義: a sin(x)+b cos(x) の形式の方程式は、1 次の等次三角方程式と呼ばれます。次の形式の方程式
2次の等次三角方程式。
1 次の等次三角方程式を解くには、cos(x) で割ります。 
コサインがゼロに等しい場合、コサインで割ることはできません。そうでないことを確認しましょう。
cos(x)=0 とすると、asin(x)+0=0 => sin(x)=0 になりますが、サインとコサインは同時にゼロに等しくなく、矛盾が生じるため、安全に割り算できます。ゼロで。
方程式を解きます。
例: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
解決：
共通因数を取り出してみましょう: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
次に、2 つの方程式を解く必要があります。
Cos(x)=0 および cos(x)+sin(x)=0
x= π/2 + πk で Cos(x)=0;
方程式 cos(x)+sin(x)=0 を考えてください。方程式を cos(x) で割ります。
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
答え: x= π/2 + πk および x= -π/4+πk
2次の等次三角方程式を解くにはどうすればよいですか?
皆さん、常にこれらのルールに従ってください。
1. 係数 a が何に等しいかを確認します。a=0 の場合、方程式は cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) の形式になります。その解の例は前のスライドにあります。
2. a≠0 の場合、方程式の両辺をコサインの 2 乗で割る必要があり、次のようになります。
変数 t=tg(x) を変更すると、次の方程式が得られます。
例題番号:3を解く
方程式を解きます。解決：
方程式の両辺をコサイン二乗で割ってみましょう。 
変数 t=tg(x) を変更します: t 2 + 2 t - 3 = 0
二次方程式の根を見つけてみましょう: t=-3 と t=1
次に、 tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
答え: x=-arctg(3) + πk および x= π/4+ πk
解答例No.:4
方程式を解きます。解決：
式を変形してみましょう。
このような方程式を解くことができます: x= - π/4 + 2πk および x=5π/4 + 2πk
答え: x= - π/4 + 2πk および x=5π/4 + 2πk
例題番号:5を解く
方程式を解きます。解決：
式を変形してみましょう。
置換 tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 を導入しましょう。
二次方程式の解は根です: t=-2 と t=1/2
次に、tg(2x)=-2 および tg(2x)=1/2 が得られます。
2x=-arctg(2)+πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
答え: x=-arctg(2)/2 + πk/2 および x=arctg(1/2)/2+ πk/2
独自の解決策が求められる問題。
1) 方程式を解くA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7
2) 方程式を解きます: sin(3x)= √3/2。 そして、セグメント [π/2; π]。
3) 方程式を解きます: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0
4) 方程式を解きます: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) 方程式を解きます: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) 方程式を解きます: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
例:
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
三角方程式の解き方:
三角方程式は、次のいずれかのタイプに変換する必要があります。
\(\sint=a\)、\(\cost=a\)、tg\(t=a\)、ctg\(t=a\)
ここで、 \(t\) は x を含む式、 \(a\) は数値です。 このような三角方程式は次のように呼ばれます。 もっとも単純な。 これらは () または特別な公式を使用して簡単に解くことができます。
簡単な三角方程式の解き方については、こちらのインフォグラフィックを参照してください: および。
例 。 三角方程式 \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\) を解きます。解決：
答え： \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)
三角方程式の根の公式における各記号の意味を参照してください。
注意！\(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) の場合、方程式 \(\sinx=a\) と \(\cosx=a\) には解がありません。 任意の x のサインとコサインは \(-1\) 以上、\(1\) 以下であるため、次のようになります。
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
例
。 方程式 \(\cosx=-1,1\) を解きます。
解決：
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
答え
: 解決策がありません。
例 。 三角方程式 tg\(x=1\) を解きます。
解決：
|
|
数円を使って方程式を解いてみましょう。 このために： |
例
。 三角方程式 \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\) を解きます。
解決：
|
|
もう一度ナンバーサークルを使ってみましょう。 \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) いつものように、\(x\) を方程式で表します。 \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
三角方程式を最も単純なものにするのは創造的な作業です。ここでは方程式を解くための特別な方法を使用する必要があります。
- 方法（統一国家試験で最も人気のある）。
- 方法。
- 補助引数のメソッド。
二次三角方程式を解く例を考えてみましょう
例 。 三角方程式 \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) を解きます。解決：
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
\(t=\cosx\) を置き換えてみましょう。 |
|
私たちの方程式は典型的なものになりました。 を使用して解決できます。 |
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\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
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\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
逆の交換を行います。 |
|
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
最初の方程式をナンバーサークルを使用して解きます。 |
 |
これらの点にある数字をすべて書き留めてみましょう。 |
ODZ の研究を使用して三角方程式を解く例:
例（使用例） 。 三角方程式 \(=0\) を解きます|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
分数と余接が存在します。つまり、それを書き留める必要があります。 コタンジェントは実際には分数であることを思い出してください。 ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) したがって、ctg\(x\) の ODZ: \(\sinx≠0\) となります。 |
|
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
数字の円の上に「非解決策」をマークしましょう。 |
|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
ctg\(x\) を乗算して、方程式の分母を取り除きましょう。 上で ctg\(x ≠0\) と書いたので、これが可能です。 |
|
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
正弦の倍角公式を適用しましょう: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\)。 |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
コサインで割ろうと手を伸ばしたら、手を引っ込めてください。 明らかにゼロに等しくない場合は、変数を使用した式で除算できます (たとえば、\(x^2+1.5^x\))。 代わりに、括弧の外に \(\cosx\) を入れてみましょう。 |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
方程式を 2 つに「分割」しましょう。 |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
ナンバーサークルを使用して最初の方程式を解いてみましょう。 2 番目の方程式を \(2\) で割って、\(\sinx\) を右側に移動させてみましょう。 |
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\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)。 \(\cosx=\sinx\) |
結果として得られるルートは ODZ には含まれません。 したがって、返信は書きません。 |
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またまたサークルを使います。 |
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これらのルートは ODZ によって除外されないため、回答に記述することができます。 |
クラス： 10
「方程式は永遠に続きます。」
A. アインシュタイン
レッスンの目標:
- 教育的:
- 三角方程式の解法についての理解を深める。
- 三角方程式を解く方法を区別し、正しく選択するスキルを開発します。
- 教育的:
- 教育プロセスに対する認知的関心を育む。
- 与えられたタスクを分析する能力を開発する。
- 教室内の心理的環境の改善に貢献します。
- 発達:
- 知識を自主的に取得するスキルの開発を促進する。
- 生徒が自分の視点を議論する能力を促進します。
装置：基本的な三角関数の公式、コンピューター、プロジェクター、スクリーンを含むポスター。
1レッスン
I. 参考知識の更新
口頭で方程式を解きます。
1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0
1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (-1) + k;
6) x = (-1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k;
Zへ。
II. 新しい教材の学習
– 今日は、より複雑な三角方程式を見ていきます。 それらを解決する10の方法を見てみましょう。 次に定着のためのレッスンが 2 つあり、次のレッスンではテストが行われます。 「For Lesson」スタンドには、テストに出題される問題と同様のタスクが掲示されており、テスト前に解決する必要があります。 (テストの前日に、これらの課題の解決策をスタンドに掲示してください)。
それでは、三角方程式の解き方を考えてみましょう。 これらの方法の中には、おそらく難しいように思えるものもあれば、簡単に思えるものもあります。 方程式を解くためのいくつかのテクニックはすでにご存知でしょう。
クラスの 4 人の生徒には、三角方程式を解く 4 つの方法を理解し、示すという個別の課題が与えられました。
(話せる生徒は事前にスライドを準備します。クラスの残りの生徒は方程式を解くための主な手順をノートに書き留めます。) 生徒1名：
1方向。 因数分解によって方程式を解く
sin 4x = 3 cos 2x
方程式を解くには、倍角正弦公式 sin 2 = 2 sin cos を使用します。
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0、
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0。係数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、これらの係数の積はゼロに等しくなります。
2x = + k、k Z または sin 2x = 1.5 – 解はありません。 罪| 1
x = + k; Zへ。
答え: x = + k、k Z。 方法2。 三角関数の和または差を積に変換して方程式を解く
cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0。
方程式を解くには、sin–sin = 2 sin сos という式を使用します。
cos 3x + 2 sin cos = 0、
сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0、
cos 3x (1 – 2 sinx) = 0。結果として得られる方程式は、次の 2 つの方程式のセットと等価です。
2 番目の方程式の解のセットは、最初の方程式の解のセットに完全に含まれています。 手段 
答え：
3 学生。 3ウェイ。 三角関数の積を和に変換して方程式を解く
sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x。
方程式を解くには、次の式を使用します。
答え： 
4の生徒。 4ウェイ。 二次方程式に帰着する方程式を解く
3 sin x – 2 cos 2 x = 0、
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0、
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0、
sin x = t とします。ここで | |。 二次方程式 2t 2 + 3t – 2 = 0 が得られます。
D = 9 + 16 = 25。
したがって 。 条件を満たしていません | |。
したがって、sin x = です。 それが理由です 
.
答え： 
Ⅲ． A. N. コルモゴロフの教科書から学んだことの定着
1. No.164(a)、167(a)（二次方程式）
2. No.168 (a) (因数分解)
3. 第 174 号 (a) (和を積に変換する)
4. 
(積を和に変換)
(レッスンの最後に、確認のためにこれらの方程式の解を画面に表示します)
№ 164 (A)
2 sin 2 x + sin x – 1 = 0。
sin x = t とします。 | t | 1.それでは
2 t 2 + t – 1 = 0、t = – 1、t= 。 どこ 
答え： - 
.
№ 167 (A)
3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0。
tg x = 1 とすると、方程式 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 が得られます。
答え： 
№ 168 (A)
答え： 
№ 174 (A)
方程式を解きます。 
答え： 
レッスン2（レッスン・講義）
IV. 新しい教材の学習（継続）
– それでは、三角方程式の解き方を勉強していきましょう。
5ウェイ。 同次三角方程式を解く
次の形式の方程式 a sin x + b cos x = 0、ここで a と b は数値であり、sin x または cos x に関する 1 次の同次方程式と呼ばれます。
方程式を考えてみましょう
sin x – cos x = 0。 方程式の両辺をcos xで割ってみましょう。 これはルートの損失が発生しないため可能です。 、 もし cos x = 0、それ 罪 x = 0。 しかし、これは基本的な三角関数の恒等式と矛盾します。 罪 2 x+cos 2 x = 1。
我々が得る タン x – 1 = 0。
タン x = 1、
次の形式の方程式 罪 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 、どこ a、b、c –いくつかの数値は、sin x または cos x に関する 2 次の同次方程式と呼ばれます。
方程式を考えてみましょう
sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0。方程式の両辺を cos x で割ってみましょう。根は失われません。 cos x = 0 はこの方程式の根ではありません。
tg 2 x – 3tg x + 2 = 0。
tg x = t とします。 D = 9 – 8 = 1。
したがって、tg x = 2 または tg x = 1 となります。
結果として、x = arctan 2 + 、x =
答え: arctg 2 + 、
別の方程式、3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2 を考えてみましょう。
方程式の右辺を 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) の形に変形してみましょう。 すると、次のようになります。
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x)、
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0、
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0 (2 番目の方程式が得られ、すでに分析済みです)。
答え: arctan 2 + k、
6ウェイ。 線形三角方程式を解く
線形三角方程式は次の形式の方程式です。 a sin x + b cos x = cここで、a、b、c は数値です。
方程式を考えてみましょう sin x + cos x= – 1.
方程式を次のように書き換えてみましょう。 
それを考慮すると、次のようになります。
答え： 
7ウェイ。 追加の引数の導入
表現 a cos x + b sin x変換できます:
(三角関数の式を簡略化するときにこの変換をすでに使用しています)
追加の引数を導入しましょう。角度は次のようなものです。 
それから 
次の式を考えてみましょう: 3 sinx + 4 cosx = 1. =
宿題： No.164-170(c、d)。
