グラフィックと数値の微分。 1変数関数の導関数の数値計算 Excelで関数の導関数を計算する方法

多くのエンジニアリング問題を解決するには、導関数の計算が必要になることがよくあります。 プロセスを説明する公式がある場合、難しいことはありません。学校で教えられたように、その公式を使って導関数を計算し、さまざまな点での導関数の値を見つけるだけです。 おそらく唯一の困難は、導関数の計算方法を覚えることです。 しかし、数百行または数千行のデータしかなく、数式がない場合はどうなるでしょうか? ほとんどの場合、これはまさに実際に起こっていることです。 私は 2 つの方法を提案します。

1 つ目は、標準の Excel 関数を使用して点のセットを近似することです。つまり、点に最も適合する関数を選択します (Excel では、これは線形関数、対数関数、指数関数、多項式、べき乗関数です)。 2 番目の方法は数値微分です。これには、式を入力する機能のみが必要です。

一般に導関数とは何かを思い出してみましょう。

点 x における関数 f (x) の導関数は、引数がゼロになる傾向がある場合の、点 x における関数の増分 Δf と引数の増分 Δx の比の限界です。

したがって、この知識を使用します。導関数を計算するために引数の増分の非常に小さな値を取得するだけです。 Δx。

必要な点での導関数の近似値を見つけるには (点は変形度 ε の異なる値です)、これを行うことができます。 導関数の定義をもう一度見て、引数 Δε の小さな増分 (つまり、テスト中に記録される変形の度合いの小さな増分) を使用すると、点 x における実導関数の値を置き換えることができることがわかります。 0 (f'(x 0) = dy/dx (x 0)) と比率 Δy/Δx=(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx。

したがって、次のことが起こります。

f’(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx (1)

各点でこの導関数を計算するには、2 つの隣接する点を使用して計算を実行します。最初の点は水平軸に沿った座標 ε 0 を持ち、2 番目の点は座標 x 0 + Δx を持ちます。 1 つは計算に使用する導関数で、もう 1 つは右側にあります。 このようにして計算された導関数は次のように呼ばれます。 ステップ単位で右（前方）への差微分Δ バツ.

逆に、他の 2 つの隣接する点 x 0 - Δx と x 0、つまり、関心のある点とその左側の点を取得することもできます。 計算式が得られます ステップ付きの左 (後方) の差微分 -Δ バツ.

f’(x 0) ≈(f (x 0) – f (x 0 – Δx))/Δx (2)

先ほどの公式は「左」と「右」でしたが、別の計算式もあります。 中心差微分 2 Δx のステップで、 数値微分に最もよく使用されます。

f’(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0 – Δx))/2Δx (3)

式を確認するには、既知の関数 y=x 3 を使用した簡単な例を考えてみましょう。 Excel で x と y の 2 つの列を含むテーブルを作成し、利用可能な点を使用してグラフを作成してみましょう。

関数 y=x 3 の導関数は y=3x 2 であり、そのグラフは次のようになります。 放物線は、公式を使用して取得する必要があります。

点 x における中心差微分の値を計算してみましょう。 このために。 表の 2 行目のセルに式 (3) を入力します。 Excel で次の数式を作成します。

ここで、x の既存の値と、中心差微分の取得された値を使用してグラフを構築します。

そしてこれが小さな赤い放物線です！ したがって、公式は機能します。

さて、ここで記事の冒頭で説明した特定の工学的問題、つまり変形の増加に伴う dσ/dε の変化を見つけることに移ります。 応力-ひずみ曲線 σ=f (ε) の一次導関数は、海外の文献では「ひずみ硬化率」と呼ばれ、弊社では「硬化係数」と呼ばれています。 したがって、テストの結果、2 つの列で構成されるデータ配列が得られました。1 つはひずみ値 ε であり、もう 1 つは応力値 σ (MPa 単位) です。 鋼 1035 または当社の 40G (類似鋼の表を参照) の 20°C での冷間変形を見てみましょう。

これは「真応力 - 真ひずみ」座標 σ-ε の曲線です。

前の例と同じように作業を進め、次の曲線を取得します。

変形時の硬化速度の変化です。 それをどうするかは別の問題です。

セル、行、列のフィールド要素の書式設定に加えて、複数の Excel ワークシートを使用すると便利な場合があります。 ブック内の情報を体系化して検索するには、シートの意味内容を反映してシートの名前に固有の名前を割り当てると便利です。 例えば「初期データ」「計算結果」「グラフ」など。 コンテキストメニュー。 シートタブを右クリックし、シートの名前を変更して、 .

1 つ以上の新しいシートを追加するには、[挿入] メニューから [シート] コマンドを選択します。 一度に複数のシートを挿入するには、必要な枚数のタブを長押しして選択する必要があります。 をクリックし、[挿入] メニューから [シート] コマンドを実行します。 シートを取り除く場合も同様に逆の操作を行います。 を通して コンテキストメニュー、ここでは削除コマンドが選択されています。

シートを移動するための便利な操作は、マウスの左ボタンでシート タブをつかみ、目的の場所に移動することです。 押したら 、シートのコピーが移動され、シート名に数値 2 が追加されます。

タスク7。 セル B2 全体の形式を次のように変更します。 font – Arial 11; 場所 - 中央、下端に沿って。 1 行に 1 つの単語。 数値形式 – 「0.00」; セルの境界線 - 二重線

2.3. 内蔵関数

Excel には、計算とデータ処理を簡素化する 150 以上の組み込み関数が含まれています。 関数を含むセルの内容の例: =B2+SIN(C7)。B2 と C7 は数値を含むセルのアドレス、SIN() は関数の名前です。 最もよく使用される Excel 関数:

SQRT(25) = 5 – 数値 (25) の平方根を計算します。 RADIANS(30) = 0.5 – 30 度をラジアンに変換します。 WHOLE(8,7) = 8 – 最も近い下位の整数に丸めます。 REMAIN(-3,2 ) = 1 – 数値 (-3) を除算したときに余りが残ります。

除数(2)。 結果には除数の符号が付きます。 IF(E4>0.2;”追加”;”エラー”)– セル E4 の数値が 0.2 未満の場合、

その場合、Excel は「extra」(true) を返し、それ以外の場合は「error」(false) を返します。

数式では、関数を相互にネストできますが、最大 8 回までネストできます。

関数を使用する場合、主なことは関数自体とその引数を定義することです。 引数は、原則として、情報が記録されているセルのアドレスを指定します。

目的のセルにテキスト (アイコン、数字など) を入力するか、次のコマンドを使用して関数を定義できます。 関数ウィザード。 ここでは、検索を容易にするために、すべての関数が数学的、統計的、論理的などのカテゴリに分類されています。 各カテゴリ内でアルファベット順に並べられています。

関数ウィザード メニューコマンドで呼び出される挿入、機能

またはアイコン (f x ) を押します。 表示される関数ウィザードの最初のウィンドウ (図 4) で、特定の関数のカテゴリと名前を決定し、 。 2 番目のウィンドウ (図 5) では、以下を定義する必要があります。 関数の引数。 これを行うには、最初のセル範囲 (番号 1) の右側にあるボタンをクリックしてウィンドウを「閉じます」。 計算が実行されるセルを選択します。 この後、選択したセルが最初の範囲のウィンドウに入力されます。 もう一度右キーを押します。 引数が複数のセル範囲である場合は、アクションを繰り返します。 次に、作業を完了するには、 をクリックします。 。 元のセルには計算結果が含まれます。

米。 4. 関数ウィザードウィンドウの表示

米。 5. 選択した関数の引数を指定する画面

タスク 8. 一連の数値の平均値を求めます: 2.5; 2.9; 1.8; 3.4; 6.1;

1,0; 4,4.

解決 。 セルに数値を入力します (例: C2:C8)。 関数 = AVERAGE(C2:C8) を記述するセル C9 を選択し、キーを押します。 、C9 では、示された数値の平均値 - 3.15 を取得します。

タスク 9. 条件付き論理 IF 関数を使用して、奇数の名前を「秋」、偶数の名前を「春」に変更する式を作成します。

解決 。 初期データを入力する列を選択します - 偶数（奇数）、たとえば A。 セルB3に数式を書きます =IF(REM(A3,2)=0,"重量","軸")。 セルB3をB列に沿ってコピーすると、A列に書かれた数値の分析結果が得られます。 問題を解決した結果を図に示します。 6.

米。 6. 問題 9 の解決策

問題10。 関数値の計算 x = 1.58 の場合、y = x3 + sinx – 4ex。

解決 。 データをセル A2 – x、B2 – y に配置しましょう。 この問題の解決策は、図 7 の左側に数値形式、右側に数式形式で示されています。 この問題を解決するときは、SIN 関数と指数関数を呼び出して引数を入力することに注意する必要があります (図 8 を参照)。

図7。 問題 No.10 の解決策

図8。 関数の引数SIN、EXPの入力画面

問題11。 Excel で問題の数学モデルを作成し、関数 y= 1/ ((x- 3) · (x+ 4)) を計算します。値 x= 3 および y= -4 には「未定義」が表示され、数値が表示されます。関数の – 他の場合。

問題12。 Excel で問題の数学的モデルを作成します: 12.1。 根を使った計算の場合

a) √ x3 y2 z / √ x z ; b) (z · √ z)2 ; c) 3 √ x2 · 3 √ x ; d) √ 5 x 5 3-1 / √ 20 x 3-1

12.2. 幾何学的計算の場合 a) x が脚、y が斜辺である場合、直角三角形の角度を決定します。

b) 次の式を使用して、デカルト XYZ 座標系の 2 点間の距離を決定します。

d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

c) 次の式を使用して、点 (x 0 ,y 0 ) から直線 a x + b y + c = 0 までの距離を決定します。

d = a x0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )

d) 次の式を使用して頂点の座標から三角形の面積を決定します。

S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]

3. 数式や関数を使って問題を解く

Excel の数式や関数を使用して解決できる問題は実際にたくさんあります。 スプレッドシートを使用して実際に解決されることが最も多い問題、つまり線形方程式とその系、導関数と定積分の数値の計算を考えてみましょう。

関数 y = f(x) の導関数は、次の場合、その増分 Δy と引数の対応する増分 Δx の比です。

Δx→0

y = f (x + x) − f (x)

問題.13。 点 x=3 における関数 y = 2x 3 + x 2 の導関数を求めます。

解決。 解析手法により計算された微分値は 60 です。 Excelで式(1)を使って導関数を計算してみます。 これを行うには、次の一連のアクションを実行します。

· 列を指定しましょう: X – 関数の引数、Y – 関数の値、Y ` – 関数の導関数 (図 9)。

· 点の近傍の関数を表にします。 x = 3 に小さなステップ (たとえば、0.001) を設定すると、結果を X 列に入力します。

米。 9. 関数の導関数を計算するためのテーブル

· セル B2 に、関数 =2*A2^3+A2^2 を計算する式を入力します。

· 数式を行にコピーしましょう 7、引数のタブストップで関数の値を取得します。

· セル C2 に、導関数 =(B3-B2)/ (A3-A2) を計算する式を入力します。

· 数式を行にコピーしましょう 6、引数の集計点における導関数の値を取得します。

値 x = 3 の場合、関数の導関数は値 60.019 に等しく、これは解析的に計算された値に近い値です。

台形法。 台形法では、積分領域を一定のステップでセグメントに分割し、各セグメント上の関数のグラフの下の面積が台形の面積に等しいとみなします。 すると、計算式は次のような形になります

ここで、h = (b- a)/ N – 分割ステップ。 N – 分割ポイントの数。

精度を高めるために、分割点の数が 2 倍になり、積分が再度計算されます。 必要な精度が達成されると、初期間隔の断片化が停止します。

積分である場合、次のアクションを実行します。

– N= 5 を選択し、セル F2 で h 分割ステップを計算します (図 10)。

米。 10. 定積分の計算

· 最初の列でそして、間隔 i の番号を書き留めます。

· セル B2 に、式 =3*(2+F2*A2)^2 を入力して、式 (2) の最初の項を計算します。

· セル C2 に、第 2 項を計算する数式 =3*(2+F2*(A2+1))^2 を書き込みます。

· 数式を含むセルを「ストレッチ」して、 4 行下の列。

· セル C7 に数式を書き込み、項の合計を計算します。

· セル C8 に式を書き込み、定積分の目的の値 SN 19.02 (解析的に得られた値 SN) を計算します。

19).

タスク。 15. 定積分を計算します。

3.2. 一次方程式を解く

一次方程式 Excelでは関数を使用して解決できます パラメータの選択。パラメーターを選択すると、影響を与えるセル (パラメーター) の値は、そのセルに依存する数式が指定された値を返すまで変化します。

未知数が 1 つある線形方程式を解く簡単な例を使用して、パラメーターを見つける手順を考えてみましょう。

問題16。 方程式 10 x - 10 / x = 15 を解きます。

解決。 パラメーターの目的の値 – x として、セル A3 を選択します。 このセルに、関数の定義領域にある任意の数値を入力してみましょう (この例では、この数値はゼロに等しくすることはできません)。 3 としましょう。 この値が初期値として使用されます。 たとえば、セル B3 に、上記の式に従って、式 =10*A3-10/A3 を入力します。 この式を使用した一連の計算の結果、目的のパラメータ値が選択されます。 [ツール]メニューでコマンドを選択します パラメータの選択、パラメータ検索機能を起動しましょう (図 11、a)。 検索パラメータを入力してみましょう。

・フィールド内 セルに設定数式を含むセル $B$3 への絶対参照を入力してみましょう。

· [値] フィールドに、目的の結果を入力します。 15.

・フィールド内 セルの値を変更する選択した値を含むセル A3 へのリンクを入力し、クリックします。 .

機能が完了したら パラメータの選択画面にウィンドウが表示されます パラメータ選択結果をクリックすると、検索結果が表示されます。 見つかったパラメータ 2.000025 は、そのために予約されているセル A3 に表示されます。

この例では、方程式には 2 つの解がありますが、パラメーターが 1 つだけ選択されているという事実に注意してください。 これは、パラメータが必要な値が返されるまでしか変更されないために発生します。 このようにして見つかった最初の引数が検索結果として返されます。 もしそうなら

この例では初期値 -3 を示しているため、方程式の 2 番目の解は -0.5 になります。

図11。 方程式の解: a - データ入力、b - 解の結果

方法: 行列を使用した方程式の代入、加算、減算。 行列を使って正準一次方程式系 (3) を解く方法を考えてみましょう。

a1 x + a2 y + b1 = 0

a3 x + a4 y + b2 =0

行列表現の線形方程式系は次の形式で記述されることが知られています。

ここで、A は係数の行列、X は未知数の列であるベクトル、

B は自由項の列ベクトルです。 そんなシステムの解決策

フォームに書かれた

X = A-1 B、

ここで、A -1 は A の逆行列です。 これは、X の行列方程式を解くときに単位行列 E が残らなければならないという事実からわかります。 方程式 AX = B の左両辺に A -1 を乗算すると、線形連立方程式の解が得られます。

問題 18. 連立一次方程式を解く

解決。 特定の線形方程式系の場合、対応する行列と列ベクトルの値は次の形式になります。

この問題を解決するには、次の手順を実行してください。

· A2:B3 に行列 A の要素を書き込みます。

· たとえば、セルのブロックを選択してみましょう。 C2:C3 に行列 B の要素を書き込みます。

· たとえば、セルのブロックを選択してみましょう。 D2:D3 は、連立方程式を解いた結果を配置します。

· セル D2 に数式 = MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3) を入力します。

数学関数セクションの Excel ライブラリには、行列に対する演算を実行するための関数が含まれています。 特に、次の関数があります。

これらの関数のパラメータは、行列値または範囲名と式を含む配列へのアドレス リンクにすることができます。

たとえば、MOBR (A1: B2) または MOPR (matrix_1) です。

· キーの組み合わせを押して配列に対して操作が実行されていることを Excel に伝えましょう + + 、セル D2 と D3 では、結果は x = 2.16667 になります。 y= - 1.33333。

4. 最適化問題を解く

予測、設計、製造の問題の多くは、広範な種類の最適化問題に集約できます。 そのようなタスクには、たとえば次のようなものがあります。商品の生産のための原材料を制限しながら、商品の生産量を最大化すること。 最小限のコストで最高の結果を達成するために人員配置を計画する。 商品の輸送コストを最小限に抑える。 指定された合金の品質を達成する。 最大容積を達成するための材料のコストを考慮して、特定の容器の寸法を決定する。 様々な

確率変数を含む問題、および最適なリソース割り当てと最適な設計に関するその他の問題。

このタイプの問題は、[ツール] メニューにある解決策検索ツールを使用して EXCEL で解決できます。 このような問題の定式化は、いくつかの未知数と解に対する一連の制限を含む方程式系になる可能性があります。 したがって、問題を解決するには、適切なモデルを構築することから始める必要があります。 例を使用してこれらのコマンドについて理解しましょう。

問題 20. 2 種類のレンズ A と B を製造することにしたとします。タイプ A のレンズは 3 つのレンズ成分で構成され、タイプ B は 4 つのレンズ成分で構成されます。 1週間に最大1,800本のレンズを生産可能。 組み立てにはタイプAのレンズで15分、タイプBのレンズで30分かかります。 従業員 4 人の週の労働時間は 160 時間です。 最大の利益を得るにはレンズ A と B を何枚生産する必要がありますか。タイプ A のレンズの価格が 3500 ルーブルである場合、タイプ B の価格は 4800 ルーブルです。

解決。 この問題を解決するには、図に従って表を作成して記入する必要があります。 12:

· セルの名前を変更する x の B2、タイプ A のレンズの数。

· 同様に、セル B3 の名前を y に変更しましょう。

対象機能 利益 = 3500*x+4800*yセルB5に入力します。 · 梱包のコストは =3*x+4*y に等しいので、セル B7 に入力します。

· 時間コストは =0.25*x+0.5*y に等しいので、セル B8 に入力します。

図12。 テーブルにソース データを入力する

· セル B5 を選択し、[データ] メニューを選択します。その後、[ソリューションの検索] コマンドをアクティブにします。 図 13 に従って、このウィンドウのセルを埋めてみましょう。

・ クリック<Выполнить >; 正しく実行されれば、解決策は以下のようになります。

数値微分

セクション No.5

導関数の近似計算の問題は、検討中の関数の解析式が不明な場合に発生する可能性があります。 関数は表で指定することも、たとえばプロセスパラメータのセンサーからの読み取りの結果として取得される、関数のグラフのみが既知であることも可能です。

コンピューターで問題を解決する場合、計算が面倒なため、解析的手法よりも数値的手法を使用して導関数を計算する方が便利な場合があります。 この場合、もちろん、使用される数値的手法を正当化する、つまり数値的手法の誤差が許容範囲内であることを確認する必要があります。

微分方程式を解くための効果的な方法の 1 つは差分法です。この方法では、目的の関数の代わりに、特定の点での値のテーブルが考慮され、導関数が差分式で近似的に置き換えられます。

関数のグラフを知ろう y = f(バツ) セグメント [ あ,b]関数の幾何学的意味を覚えて、関数の導関数のグラフを作成できます。 ある点における関数の導関数が次のとおりであるという事実を利用しましょう。 バツαは、この点でのグラフの接線の横軸に対する傾斜角の接線に等しい。

もし x = x 0、探してみましょう で 0 =f(バツ 0) グラフを使用して接線を描きます AB点での関数のグラフに ( バツ 0 , y 0) (図5.1)。 接線に平行な直線を引いてみましょう AB、点 (-1, 0) を通過し、点を見つけます で 1 縦軸との交点。 次に、値 で 1 は、横軸に対する接線の正接、つまり関数の導関数に等しい。 f(バツ)その時点で バツ 0:

で 1 = = tg α = f ¢ ( バツ 0), そして期間 M 0 (バツ 0 , で 1) 微分グラフに属します。

微分グラフをプロットするには、セグメント [ あ,b] をドットでいくつかの部分に分割する x i、次に、各点に対して微分値をグラフでプロットし、パターンを使用して結果の点を滑らかな曲線で接続します。

図では、 5.2 は 5 つのポイントの構造を示しています M 1, M 2 ,... , M 5および派生グラフィック。

微分グラフを構築するためのアルゴリズム:

1. 関数のグラフへの接線を作成します。 で= f(バツ)点( バツ 1 ,f(バツ 1)); 点 (-1, 0) から点 ( バツ 1 ,f(バツ 1)) 縦軸と交差するまで直線を描きます。 この交点は導関数の値を与えます。 f ¢ ( バツ 1).ポイントを構築する M 1 (バツ 1 , f ¢ ( バツ 1)).

2. 残りの点も同様に構築しましょう M 2 ,M 3 , M 4と M 5 .

3. 点と点を結ぶ M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 滑らかな曲線。

結果として得られる曲線は、導関数のグラフです。

導関数を決定するためのグラフィカルな方法の精度は低いです。 この方法の説明は、教育目的のみに提供されています。

コメント。 導関数をプロットするアルゴリズムで、点 (-1, 0) の代わりに点 ( -l,0)、ここで 私> 0 の場合、グラフは縦軸に沿って異なるスケールでプロットされます。

5 . 2 .差分の公式

A) 通常のデリバティブの差分公式

導関数の近似計算の差分公式は、導関数の定義そのものによって示唆されます。 関数の値を点に持たせる x iによって示される はい、私:

はい、私= f(x i),x i = a+ ih,私 = 0, 1, ... , n; h=

セグメント上に点が一様に分布している場合を考えます [ ある, b]。 点における導関数の近似計算用 x i以下を使用できます 差分公式 , または 差分導関数 .

関係 (5.1) の極限なので、 h® 0 は次の点での右導関数に等しい x i、この関係は時々呼ばれます。 右差微分 時点で x i同様の理由で、関係 (5.2) は呼び出されます。 左差導関数 時点で x i.Relation (5.3) が呼び出されます。 中心差微分 時点で x i.

関数が f(バツ) 点の近傍でテイラー級数に展開します x i:

f(バツ)=f(x i)+ . (5.4)

(5.4) で仮定すると バツ= x i+ hまたは x = x i- h、 我々が得る

式 (5.10) に展開 (5.5) と (5.6) を直接代入すると、関数の 2 階導関数と 2階導関数の差分式 .

グラフィック微分は、指定された値に基づいて関数グラフをプロットすることから始まります。 実験的研究では、このようなグラフは記録装置を使用して取得されます。 次に、曲線の接線を固定位置に引き、接線が横軸となす角度の接線に対する微分の値を計算します。

図では、 5.8、 あ装置上で実験的に得られた曲線を示します (図 5.6)。 角加速度 (目的の関数) の決定は、次の関係に従ってグラフィック微分によって実行されます。

(5.19)

ある点における曲線の接線の傾斜角の接線 私 セグメントの比率として表されます。 に– 選択した統合セグメント (図 5.8、 b)

この関係を関係 (5.19) に代入すると、次のようになります。

ここで、 は角加速度の需要グラフの縦軸です。

目的のグラフのスケール。 SI 単位: = mm; = mm/(rad s -2)。

関数グラフは、多数の位置で見つかった縦座標値を使用して構築されます。 曲線上の点を滑らかな線で手作業で結び、パターンを使用して輪郭を描きます。

考慮されている接線法を使用したグラフィック微分は精度が比較的低いです。 コード法を使用したグラフ微分により、より高い精度が得られます (図 5.8、 Vそして G).

残りの構成は、接線法を使用したグラフ微分で前述したものと同様です。 セグメント (mm) を選択します。 ある角度で傾いた伝導光線 縦軸と点が交わるまで 1 ", 2 ", 3 「...」は、各間隔の中央に描かれた縦座標に転送されます。結果として得られる点は、 1 *, 2 *, 3 * は必須機能のポイントです .

この作図法による座標軸に沿ったスケールは、接線法を使用した図形微分の場合に導かれた同じ関係 (5.21) によって関連付けられます。

関数の微分 f(x)は、数値の配列の形式で指定 (または計算) され、コンピューターを使用した数値微分の方法によって実行されます。

数値配列のステップが小さいほど、この区間内の関数の導関数の値をより正確に計算できます。