マトリックス法 SLAU ソリューション方程式の数が未知数の数に対応する連立方程式の解法に適用されます。 この方法は、低次システムを解くのに最適です。 連立一次方程式を解くための行列法は、行列乗算の特性の応用に基づいています。
この方法、つまり、 逆行列法、このように呼ばれるのは、解が通常の行列方程式に帰着し、これを解くには逆行列を見つける必要があるためです。
マトリックス解法行列式がゼロより大きいか小さい SLAE は次のとおりです。
次のような SLE (線形方程式系) があるとします。 n不明 (任意のフィールド上):
これは、行列形式に簡単に変換できることを意味します。
AX=B、 どこ あ— システムのメインマトリックス、 Bそして バツ— それぞれ自由条件とシステムのソリューションの列:
この行列方程式を左から次のように乗算してみましょう。 A−1— 逆行列から行列へ A: A −1 (AX)=A −1 B。
なぜなら A −1 A=E、 手段、 X=A −1 B。 方程式の右側は、初期システムの解列を示します。 行列法の適用条件は行列の非縮退である あ。 このための必要十分条件は、行列の行列式がゼロに等しくないことです。 あ:
detA≠0。
のために 同次一次方程式系、つまり ベクトルの場合 B=0、反対のルールが成り立ちます: システム AX=0次の場合にのみ、自明ではない (つまり、ゼロに等しくない) 解が存在します。 detA=0。 線形方程式の均質系と不均質系の解の間のこの関係は、と呼ばれます。 フレドホルムの代替案。
したがって、マトリックス法を使用した SLAE の解は次の式に従って実行されます。 
。 または、SLAE の解決策は次の方法で見つかります。 逆行列 A−1.
正方行列の場合、 あ注文 nの上 n逆行列があります A−1行列式がゼロ以外の場合のみ。 したがって、システムは n線形代数方程式 nシステムの主行列の行列式がゼロに等しくない場合にのみ、行列法を使用して未知数を解決します。
このような方法の適用可能性には制限があり、係数の大きな値や高次システムの計算は困難であるという事実にもかかわらず、この方法はコンピュータで簡単に実装できます。
不均一な SLAE を解決する例。
まず、未知の SLAE の係数行列の行列式が 0 に等しくないかどうかを確認してみましょう。
今、私たちは見つけました 和集合行列を転置し、式に代入して逆行列を求めます。
変数を式に代入します。
ここで、逆行列と自由項の列を乗算して未知数を求めます。
それで、 x=2; y=1; z=4。
SLAE の通常の形式から行列形式に移行するときは、システムの方程式内の未知の変数の順序に注意してください。 例えば:
次のように記述することはできません。
まず、システムの各方程式の未知の変数を順序付けし、その後で行列表記に進む必要があります。
さらに、未知の変数の指定には注意する必要があります。 ×1、 x 2 , …, x n他の文字もあるかもしれません。 例えば:
マトリックス形式では次のように書きます。
行列法は、方程式の数が未知の変数の数と一致し、システムの主行列の行列式がゼロに等しくない連立一次方程式を解くのに適しています。 システム内に 3 つを超える方程式がある場合、逆行列を見つけるにはより多くの計算量が必要となるため、この場合はガウス法を使用して解くことをお勧めします。
方程式一般、線形代数方程式とその系、およびそれらを解く方法は、理論と応用の両方で数学において特別な位置を占めます。
これは、物理的、経済的、技術的、さらには教育学的な問題の大部分が、さまざまな方程式とその系を使用して記述および解決できるという事実によるものです。 最近、数学的モデリングは、ほぼすべての主題分野の研究者、科学者、実践者の間で特に人気が高まっています。これは、さまざまな性質のオブジェクト、特にいわゆる複雑なオブジェクトを研究するための他のよく知られ実証された方法に比べて、その明白な利点によって説明されています。システム。 さまざまな時期に科学者によって数学モデルのさまざまな定義が示されていますが、私たちの意見では、最も成功しているのは次のステートメントです。 数理モデルとは、方程式で表現される考え方です。 したがって、方程式とそのシステムを作成して解く能力は、現代の専門家に不可欠な特性です。
線形代数方程式系を解くために、最も一般的に使用される方法は、Cramer、Jordan-Gauss、および行列法です。
行列解法は、逆行列を使用して非ゼロ行列式を持つ線形代数方程式系を解く方法です。
未知の量 xi の係数を行列 A に書き出し、未知の量をベクトル列 X に、自由項をベクトル列 B に集めると、線形代数方程式系は次の形式で書くことができます。次の行列方程式 A · X = B は、行列 A の行列式がゼロに等しくない場合にのみ一意の解を持ちます。 この場合、連立方程式の解は次の方法で求めることができます。 バツ = あ-1・ B、 どこ あ-1 は逆行列です。
マトリックス解決法は次のとおりです。
次の線形方程式系を与えてみましょう。 n未知：
これは行列形式で書き直すことができます。 斧 = B、 どこ あ- システムのメインマトリックス、 Bそして バツ- それぞれ自由条件とシステムのソリューションの列:
この行列方程式を左から次のように乗算してみましょう。 あ-1 - 行列の逆行列 あ: あ -1 (斧) = あ -1 B
なぜなら あ -1 あ = E、 我々が得る バツ=A -1 B。 この方程式の右辺は、元のシステムの解列を与えます。 この方法の適用可能性の条件 (および未知数の数と等しい方程式の数をもつ不均一一次方程式系の解が一般的に存在すること) は、行列の非縮退です。 あ。 このための必要十分条件は、行列の行列式がゼロに等しくないことです。 あ:det あ≠ 0.
同次一次方程式系の場合、つまりベクトルが B = 0 、実際には逆のルール、つまりシステム 斧 = 0 は、det の場合にのみ、自明ではない (つまり、ゼロではない) 解を持ちます。 あ= 0。線形方程式の均質系と不均質系の解の間のこのような関係は、フレドホルム代替法と呼ばれます。
例 線形代数方程式の不均一系の解.
線形代数方程式系の未知数の係数で構成される行列の行列式がゼロに等しくないことを確認してみましょう。
次のステップは、未知数の係数で構成される行列の要素の代数補数を計算することです。 逆行列を見つけるために必要になります。
方程式一般、線形代数方程式とその系、およびそれらを解く方法は、理論と応用の両方で数学において特別な位置を占めます。
これは、物理的、経済的、技術的、さらには教育学的な問題の大部分が、さまざまな方程式とその系を使用して記述および解決できるという事実によるものです。 最近、数学的モデリングは、ほぼすべての主題分野の研究者、科学者、実践者の間で特に人気が高まっています。これは、さまざまな性質のオブジェクト、特にいわゆる複雑なオブジェクトを研究するための他のよく知られ実証された方法に比べて、その明白な利点によって説明されています。システム。 さまざまな時期に科学者によって数学モデルのさまざまな定義が示されていますが、私たちの意見では、最も成功しているのは次のステートメントです。 数理モデルとは、方程式で表現される考え方です。 したがって、方程式とそのシステムを作成して解く能力は、現代の専門家に不可欠な特性です。
線形代数方程式系を解くために、最も一般的に使用される方法は、Cramer、Jordan-Gauss、および行列法です。
行列解法は、逆行列を使用して非ゼロ行列式を持つ線形代数方程式系を解く方法です。
未知の量 xi の係数を行列 A に書き出し、未知の量をベクトル列 X に、自由項をベクトル列 B に集めると、線形代数方程式系は次の形式で書くことができます。次の行列方程式 A · X = B は、行列 A の行列式がゼロに等しくない場合にのみ一意の解を持ちます。 この場合、連立方程式の解は次の方法で求めることができます。 バツ = あ-1・ B、 どこ あ-1 は逆行列です。
マトリックス解決法は次のとおりです。
次の線形方程式系を与えてみましょう。 n未知：
これは行列形式で書き直すことができます。 斧 = B、 どこ あ- システムのメインマトリックス、 Bそして バツ- それぞれ自由条件とシステムのソリューションの列:
この行列方程式を左から次のように乗算してみましょう。 あ-1 - 行列の逆行列 あ: あ -1 (斧) = あ -1 B
なぜなら あ -1 あ = E、 我々が得る バツ=A -1 B。 この方程式の右辺は、元のシステムの解列を与えます。 この方法の適用可能性の条件 (および未知数の数と等しい方程式の数をもつ不均一一次方程式系の解が一般的に存在すること) は、行列の非縮退です。 あ。 このための必要十分条件は、行列の行列式がゼロに等しくないことです。 あ:det あ≠ 0.
同次一次方程式系の場合、つまりベクトルが B = 0 、実際には逆のルール、つまりシステム 斧 = 0 は、det の場合にのみ、自明ではない (つまり、ゼロではない) 解を持ちます。 あ= 0。線形方程式の均質系と不均質系の解の間のこのような関係は、フレドホルム代替法と呼ばれます。
例 線形代数方程式の不均一系の解.
線形代数方程式系の未知数の係数で構成される行列の行列式がゼロに等しくないことを確認してみましょう。
次のステップは、未知数の係数で構成される行列の要素の代数補数を計算することです。 逆行列を見つけるために必要になります。
連立一次方程式を解くための行列法
次の形式の線形方程式系を考えてみましょう。
$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(array)\right .$.
数値 $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ はシステム係数、数値 $b_(i) (i=1..n)$ は自由項です。
定義 1
すべての自由項がゼロに等しい場合、システムは均一と呼ばれ、そうでない場合は不均一と呼ばれます。
各 SLAE は複数の行列に関連付けることができ、システムはいわゆる行列形式で記述することができます。
定義 2
システム係数の行列はシステム行列と呼ばれ、通常は文字 $A$ で表されます。
自由項の列は列ベクトルを形成します。これは通常文字 $B$ で示され、自由項の行列と呼ばれます。
未知の変数は列ベクトルを形成します。これは通常文字 $X$ で示され、未知数の行列と呼ばれます。
上で説明した行列の形式は次のとおりです。
$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(array)\right).$
行列を使用すると、SLAE は $A\cdot X=B$ として書き直すことができます。 この表記法は、行列方程式と呼ばれることがよくあります。
一般に、どの SLAE も行列形式で記述することができます。
逆行列を使用して系を解く例
例1
与えられた SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right $ です。マトリックス形式。
解決：
$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ end(配列)\right).$
$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(配列)\right)=\left(\begin(配列)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(配列)\右）$
システムの行列が正方の場合、SLAE は行列法を使用して解くことができます。
行列方程式 $A\cdot X=B$ があると、そこから $X$ を次のように表現できます。
$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$
$A^(-1) \cdot A=E$ (行列積のプロパティ)
$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$
$E\cdot X=X$ (行列積のプロパティ)
$X=A^(-1) \cdot B$
逆行列を使用して代数方程式系を解くアルゴリズム:
- システムを行列形式で書きます。
- システム行列の行列式を計算します。
- システム行列の行列式がゼロ以外の場合、逆行列が見つかります。
- 式 $X=A^(-1) \cdot B$ を使用してシステムの解を計算します。
システムの行列にゼロに等しくない行列式がある場合、このシステムには行列法で見つけることができる一意の解があります。
システムの行列の行列式がゼロに等しい場合、このシステムは行列法を使用して解くことができません。
例 2
与えられた SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right $。可能であれば、逆行列法を使用して SLAE を解きます。
解決：
$A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(配列)\right),B=\left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(array)\right),X=\left (\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)。 $
システム行列の行列式を求める：
$\begin(配列)(l) (\det A=\left|\begin(配列)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(array)$行列式はゼロに等しくないため、この系の行列は逆行列を持ち、したがって、この連立方程式は逆行列法によって解くことができます。 結果として得られるソリューションはユニークなものになります。
逆行列を使用して連立方程式を解いてみましょう。
$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(配列)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(配列) \right|=-(0-3)=3;$
$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(配列)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(配列)\右|=-(0-6)=6; $
$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(配列)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(配列)\右|=-(2-0)=-2;$
$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(配列)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(配列) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(配列)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(配列) \right|=-(1+3)=-4;$
$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array )\右|=2-0=2$
必要な逆行列:
$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(配列)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(配列) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(array)\right )=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$
システムの解決策を見つけてみましょう。
$X=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1) )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(配列)\right)=\left(\begin(配列)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3) )(13) \cdot 52) \\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) \end(array)\right )=\left(\ begin(配列)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(配列)\right)=\left (\begin(配列) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(配列)\right)$
$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ は、連立方程式の望ましい解です。
(この方法は、行列法または逆行列法と呼ばれることもあります) を使用するには、SLAE の表記の行列形式などの概念を事前に理解する必要があります。 逆行列法は、システム行列の行列式がゼロとは異なる線形代数方程式系を解くことを目的としています。 当然のことながら、これはシステムの行列が正方であることを前提としています (行列式の概念は正方行列に対してのみ存在します)。 逆行列法の本質は次の 3 つの点で表現できます。
- システム行列 $A$、未知数の行列 $X$、自由項の行列 $B$ の 3 つの行列を書き留めます。
- 逆行列 $A^(-1)$ を求めます。
- 等式 $X=A^(-1)\cdot B$ を使用して、指定された SLAE の解を取得します。
SLAE は $A\cdot X=B$ のような行列形式で書くことができます。ここで、$A$ はシステムの行列、$B$ は自由項の行列、$X$ は未知数の行列です。 行列 $A^(-1)$ が存在するとします。 等式 $A\cdot X=B$ の両辺に、左側の行列 $A^(-1)$ を掛けてみましょう。
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ は単位行列) なので、上に書かれた等式は次のようになります。
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$E\cdot X=X$ なので、次のようになります。
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
例その1
逆行列を使用して SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ を解きます。
$$ A=\left(\begin(配列) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(配列)\right);\; B=\left(\begin(配列) (c) 29\\ -11 \end(配列)\right);\; X=\left(\begin(配列) (c) x_1\\ x_2 \end(配列)\right)。 $$
システム行列の逆行列を見つけてみましょう。 $A^(-1)$ を計算してみましょう。 例No.2では
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(配列)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(配列)\right) 。 $$
ここで、3 つの行列 ($X$、$A^(-1)$、$B$) をすべて $X=A^(-1)\cdot B$ という等式に代入してみましょう。 次に行列の乗算を実行します
$$ \left(\begin(配列) (c) x_1\\ x_2 \end(配列)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(配列)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(配列)\right)\cdot \left(\begin(配列) (c) 29\\ -11 \end(配列)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(配列)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(配列) (c) 309\\ -206 \end(配列)\right)=\left( \begin(配列) (c) -3\\ 2\end(配列)\right)。 $$
したがって、等価性 $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(配列 )\right)$。 この等式から、$x_1=-3$、$x_2=2$ が得られます。
答え: $x_1=-3$、$x_2=2$。
例その2
SLAE を解く $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ 逆行列法を使用します。
システムの行列 $A$、自由項の行列 $B$、未知数の行列 $X$ を書き留めてみましょう。
$$ A=\left(\begin(配列) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(配列)\right);\; B=\left(\begin(配列) (c) -1\\0\\6\end(配列)\right);\; X=\left(\begin(配列) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(配列)\right)。 $$
次は、システム行列の逆行列を見つける番です。 $A^(-1)$ を見つけます。 逆行列を求めるページの例 3 では、逆行列がすでに求められています。 完成した結果を使用して $A^(-1)$ を書きましょう:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\right)。 $$
ここで、3 つの行列 ($X$、$A^(-1)$、$B$) をすべて $X=A^(-1)\cdot B$ という等式に代入し、右辺で行列の乗算を実行してみましょう。この平等性の。
$$ \left(\begin(配列) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(配列)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(配列) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(配列)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(配列) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(配列)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(配列) (c) 0\\-104\\234\end(配列)\right)=\left( \begin(配列) (c) 0\\-4\\9\end(配列)\right) $$
したがって、等価性が得られます $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(配列)\right)$。 この等式から、$x_1=0$、$x_2=-4$、$x_3=9$ が得られます。
