パーツごとの統合。 解決策の例

またあったね。 今日のレッスンでは、部分ごとに統合する方法を学びます。 部分による積分の方法は、積分の基礎の 1 つです。 テストや試験中、学生はほとんどの場合、次の種類の積分を解くように求められます。 最も単純な積分 (記事を参照)または変数を置き換えることによる積分 (記事を参照)または積分がちょうどオンになっています 部品による一体化方式.

いつものように、次のものを手元に用意する必要があります。 積分の表そして デリバティブ表。 まだお持ちでない場合は、私の Web サイトのストレージ ルームにアクセスしてください。 数式と表。 繰り返しても飽きないので、すべて印刷した方が良いでしょう。 すべての資料を一貫して、簡潔かつ明確に提示するよう努めますが、各部分を統合するのに特別な困難はありません。

部品による一体化という手法はどのような問題を解決するのでしょうか？ パーツごとに統合する方法は、表にないいくつかの機能を統合できるようにするため、非常に重要な問題を解決します。 仕事関数、場合によっては商さえも。 覚えているとおり、便利な公式はありません。 。 しかし、次のようなものがあります。 – 部品ごとに個別に統合するための式。 わかっています、わかっています、あなただけです - レッスン中は彼女と一緒に取り組みます (今はもっと簡単です)。

そしてすぐにリストをスタジオへ。 次の型の積分は部分ごとに取得されます。

1) , , – 対数、対数に何らかの多項式を掛けたもの。

2) ,指数関数に何らかの多項式を掛けたものです。 これには、指数関数と多項式の積のような積分も含まれますが、実際にはこれは 97 パーセントであり、積分の下には素敵な文字「e」が表示されます。 …なんだか叙情的な記事になってしまいましたが、そうそう…春が来ました。

3) , 、三角関数に何らかの多項式を掛けたものです。

4) , – 逆三角関数 (「アーチ」)、「アーチ」に何らかの多項式を掛けたもの。

一部の分数も部分的に取り上げますが、対応する例についても詳細に検討します。

対数の積分

例1

クラシック。 時々、この積分は表で見つかることがありますが、教師は春のビタミン欠乏症で激しく罵倒するため、既製の答えを使用することはお勧めできません。 なぜなら、考慮中の積分は決して表形式ではなく、部分的に取られるからです。 私たちが決めます：

途中の説明のため、解決策を中断します。

部品ごとの積分公式を使用します。

式は左から右に適用されます

左側を見てみましょう。 明らかに、この例 (および今後検討する他のすべての例) では、何かを として指定し、何かを として指定する必要があります。

検討中のタイプの積分では、常に対数が表示されます。

技術的には、ソリューションの設計は次のように実装されます。

つまり、対数を および - で表しました。 残りの部分積分関数式。

次の段階: 差分を見つけます:

微分は微分とほぼ同じであり、その求め方については前のレッスンですでに説明しました。

次に関数を見つけます。 統合する必要がある機能を見つけるには 右側下位の等価性:

次に、ソリューションを開いて、式の右側を作成します。
ちなみに、いくつかのメモを含む最終的なソリューションのサンプルは次のとおりです。

この作業の唯一のポイントは、因数を対数の前に書くのが通例であるため、 と をすぐに交換したことです。

ご覧のとおり、部分積分公式を適用すると、本質的に解は 2 つの単純な積分に減ります。

場合によってはご了承ください 直後のこの公式を適用すると、残りの積分の下で必然的に単純化が実行されます。検討中の例では、被積分関数を「x」に削減しました。

確認しよう。 これを行うには、答えの導関数を取得する必要があります。

元の被積分関数が得られました。これは、積分が正しく解けたことを意味します。

テスト中に、製品差別化ルールを使用しました。 。 そしてこれは偶然ではありません。

部品ごとの積分公式 そして式 – これらは 2 つの相互に逆のルールです。

例 2

不定積分を求めます。

被積分関数は対数と多項式の積です。
決めましょう。

ルールを適用する手順については、後でもう一度詳しく説明します。例はより簡単に示されます。自分で解決するのが難しい場合は、レッスンの最初の 2 つの例に戻る必要があります。 。

すでに述べたように、対数を表す必要があります (累乗であるかどうかは問題ではありません)。 で表します 残りの部分積分関数式。

私たちはコラムに次のように書きます。

まず差分を求めます。

ここでは複素関数を微分するための規則を使用します。 。 このトピックの最初のレッスンで、 不定積分。 解決策の例積分をマスターするには微分を「実際に手に入れる」必要があるという事実に焦点を当てました。 デリバティブを複数回処理する必要があります。

ここで関数を見つけます。このために積分します。 右側下位の等価性:

統合には、最も単純な表式を使用しました。

これで公式を適用する準備がすべて整いました 。 アスタリスクで開き、右側に従ってソリューションを「構築」します。

積分では、対数の多項式が再び得られます。 したがって、解法は再び中断され、部分による積分の規則が再度適用されます。 同様の状況では常に対数が表されることを忘れないでください。

最も単純な積分と導関数を口頭で求める方法を今までに知っていれば良いでしょう。

(1) 標識に惑わされないように！ 非常に多くの場合、ここでマイナスが失われますが、マイナスは次のことを指すことにも注意してください。 みんなにブラケット 、これらの括弧は正しく展開する必要があります。

(2) ブラケットを開きます。 最後の積分を単純化します。

(3) 最後の積分をとります。

(4) 答えを「組み合わせる」。

部分ごとの積分の規則を 2 回 (または 3 回) 適用する必要が生じることは、ほとんどありません。

次に、独自のソリューションの例をいくつか示します。

例 3

不定積分を求めます。

この例は、変数を変更する (または微分符号の下に置き換える) ことで解決されます。 それを部分的に試してみると、面白いことがわかるでしょう。

例 4

不定積分を求めます。

しかし、この積分は部分（約束された分数）ごとに積分されます。

これらは自分で解決できる例であり、レッスンの最後に解決策と回答が表示されます。

例 3 と 4 では、被積分関数は似ているように見えますが、解法が異なります。 これが積分をマスターする際の主な難しさです。積分を解くために間違った方法を選択すると、本物のパズルのように何時間も積分をいじることになる可能性があります。 したがって、さまざまな積分を解けば解くほど、試験や受験は楽になります。 また、2年目では微分方程式が出題されますが、積分や微分を解く経験がないとどうしようもありません。

対数に関しては、おそらくこれで十分です。 余談ですが、工学部の学生は対数を使って女性の胸を呼んでいたことも覚えています =)。 ちなみに、サイン、コサイン、逆正接、指数、3次、4次多項式などの主要な初等関数のグラフを暗記しておくと便利です。 いいえ、もちろん、地球上にコンドームがあります
引き伸ばすつもりはありませんが、このセクションから多くのことを思い出すでしょう グラフと関数 =).

指数関数の積分と多項式の積

原則：

例5

不定積分を求めます。

使い慣れたアルゴリズムを使用して、部分ごとに統合します。

積分が難しい場合は、この記事に戻ってください。 不定積分における変数変更法.

他にできることは、答えを微調整することだけです。

ただし、計算技術があまり優れていない場合、最も有益なオプションは、それを答えとして残すことです。 あるいは

つまり、最後の積分が行われたときに、この例は解決されたと見なされます。 それは間違いではありませんが、教師が答えを簡単にするよう求めるかどうかは別の問題です。

例6

不定積分を求めます。

これは自分で解決できる例です。 この積分は部分ごとに 2 回積分されます。 記号には特に注意を払う必要があります。記号は混乱しやすいため、これは複雑な機能であることも覚えておいてください。

出展者についてはもう言うことはありません。 指数関数と自然対数は相互に逆関数であることだけを付け加えておきます。これは高等数学の面白いグラフの話題についての私です =) やめて、やめて、心配しないでください、講師は冷静です。

三角関数の積分と多項式の積

原則： は常に多項式を表すため

例 7

不定積分を求めます。

部分ごとに統合してみましょう。

うーん...コメントすることは何もありません。

例8

不定積分を求めます

これはあなた自身が解決できる例です

例9

不定積分を求めます

分数を使用した別の例。 前の 2 つの例と同様、for は多項式を表します。

部分ごとに統合してみましょう。

積分を求めるのに困難や誤解がある場合は、レッスンに参加することをお勧めします 三角関数の積分.

例 10

不定積分を求めます

これは自分で解決できる例です。

ヒント: 部分による積分法を使用する前に、2 つの三角関数の積を 1 つの関数に変換する三角関数の公式を使用する必要があります。 この式は、部分積分法を適用する場合にも使いやすい方を使用できます。

おそらくこの段落にはこれがすべてです。 どういうわけか、私は物理学と数学の賛歌の一節を思い出しました。「そして、正弦グラフは横軸に沿って次から次へと波を実行します。」

逆三角関数の積分。
逆三角関数の積分と多項式の積

原則： は常に逆三角関数を表します.

逆三角関数には、逆正弦、逆余弦、逆正接、逆余接が含まれることを思い出してください。 記録を簡潔にするために、私はそれらを「アーチ」と呼びます。

対数の積分

パーツごとの統合。 解決策の例

解決。

例えば。

積分を計算します。

積分 (線形性) の性質を使用して、ᴛ.ᴇ。 、それを表積分に還元すると、次のようになります。

またあったね。 今日のレッスンでは、部分ごとに統合する方法を学びます。 部分積分法は積分計算の基本の一つです。 テストや試験中、学生はほとんどの場合、次の種類の積分を解くように求められます。 (記事を参照不定積分。 解決策の例 ) または変数を置き換えることによる積分 (記事を参照不定積分における変数変更法 ) または積分がちょうどオンになっています 部品による一体化方式.

いつものように、次のものが手元にあるはずです。 積分の表そして デリバティブ表。 まだお持ちでない場合は、私のウェブサイトの保管庫にアクセスしてください。 数式と表。 繰り返しても飽きないので、すべて印刷した方が良いでしょう。 すべての資料を一貫して、簡潔かつ明確に提示するよう努めますが、各部分を統合するのに特別な困難はありません。

部品による一体化という手法はどのような問題を解決するのでしょうか？ パーツごとに統合する方法は、表にないいくつかの機能を統合できるようにするため、非常に重要な問題を解決します。 仕事関数、場合によっては商さえも。 覚えているように、次のような便利な公式はありません。 しかし、これがあります： - 個別の部分による統合の公式。 わかっています、わかっています、あなただけです - レッスン中は彼女と一緒に取り組みます (今はもっと簡単です)。

そしてすぐにリストをスタジオへ。 次の型の積分は部分ごとに取得されます。

1) , – 対数、対数に何らかの多項式を掛けたもの。

2) は、何らかの多項式を乗算した指数関数です。 これには、指数関数と多項式の積のような積分も含まれますが、実際にはこれは 97 パーセントであり、積分の下には素敵な文字「''''е''」が表示されます。 …なんだか叙情的な記事になってしまいましたが、そうそう…春が来ました。

3) , – 三角関数に何らかの多項式を掛けたもの。

4) , – 逆三角関数 (「アーチ」)、「アーチ」、多項式を乗算します。

一部の分数も部分的に取り上げますが、対応する例についても詳細に検討します。

例1

不定積分を求めます。

クラシック。 時々、この積分は表で見つかることがありますが、教師は春のビタミン欠乏症で激しく罵倒するため、既製の答えを使用することはお勧めできません。 なぜなら、考慮中の積分は決して表形式ではなく、部分的に取られるからです。 私たちが決めます：

途中の説明のため、解決策を中断します。

部品ごとの積分公式を使用します。

対数の積分 - 概念と種類。 カテゴリ「対数の積分」の分類と特徴 2017、2018。

逆微分と積分

1. 反誘導体。 X の任意の x に対して等式 F"(x)=f(x) が成り立つ場合、関数 F(x) は区間 X 上の関数 f (x) の逆微分と呼ばれます。

T.7.13 (F(x) が区間 X 上の関数 f(x) の逆微分である場合、関数 f(x) には無限に多くの逆微分があり、これらすべての逆微分は F (x) + C の形式になります。ここで、C は任意の定数 (逆導関数の主な特性) です。

2. 逆誘導体の表。 逆微分を見つけることは微分の逆演算であることを考慮し、微分の表から始めて、次の逆微分の表を取得します (簡単にするために、表には 1 つの逆微分 F(x) が示されており、逆微分 F( x) + C:

逆微分関数と対数関数

対数関数、指数関数の逆関数。 L.f. で示される

引数 x の値に対応するその値 y は、数値 x の自然対数と呼ばれます。 定義上、関係 (1) は同等です

(e はネーパー数)。 任意の実数 y に対して ey > 0 であるため、L.f. は、x > 0 に対してのみ定義されます。より一般的な意味では、L. f. 関数を呼び出す

逆微分べき乗積分対数

ここで、a > 0 (a? 1) は、対数の任意の底です。 ただし、数学的解析では InX 関数が特に重要です。 logaX 関数は、次の式を使用して換算されます。

ここで、M = 1/In a。 L.f. - 主要な初等関数の 1 つ。 そのグラフ (図 1) は対数グラフと呼ばれます。 L.f.の基本特性 指数関数と対数の対応する特性から導き出されます。 たとえば、L.f. 関数方程式を満たします

-1の場合< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

多くの積分は一次関数で表現されます。 例えば

L.f. 数学的解析とその応用では常に発生します。

L.f. 17世紀の数学者にはよく知られていました。 L. f. で表される変数量間の依存性は、J. Napier (1614) によって初めて考慮されました。 彼は、平行線に沿って移動する 2 つの点を使用して、数値とその対数の関係を表しました (図 2)。 そのうちの 1 つ (Y) は C から開始して均一に移動し、もう 1 つ (X) は A から開始して B までの距離に比例した速度で移動します。 SU = y、XB = x とすると、次のようになります。この定義、

dx/dy = - kx、どこから。

L.f. 複素平面上では、引数 z のすべての値に対して定義された多値 (無限値) 関数です。 0はLnzで表されます。 この関数の単一値分岐は次のように定義されます。

Inz = In?z​​?+ i arg z、

ここで、arg z は複素数 z の引数であり、線形関数の主値と呼ばれます。 我々は持っています

Lnz = lnz + 2kpi、k = 0、±1、±2、...

L.f.のすべての意味 負の場合: 実数の z は複素数です。 L. f. の最初の満足のいく理論 複素平面におけるこの定義は L. Euler (1749) によって与えられ、彼は次の定義から発展しました。