三角形の面積 - 公式と問題解決の例

以下は 任意の三角形の面積を求める公式これは、三角形のプロパティ、角度、サイズに関係なく、三角形の面積を見つけるのに適しています。 式は図の形式で表示され、その適用に関する説明やその正しさの根拠が示されています。 また、式中の文字記号と図面中の図記号との対応を別図に示す。

注記 。 三角形に特殊なプロパティ (二等辺、長方形、正三角形) がある場合は、以下の式と、これらのプロパティを持つ三角形にのみ有効な追加の特別な式を使用できます。

• 「正三角形の面積の公式」

三角形の面積の公式

計算式の説明:
a、b、c- 面積を求めたい三角形の辺の長さ
r- 三角形に内接する円の半径
R- 三角形に外接する円の半径
h- 三角形の高さを横に下げました
p- 三角形の半周長、その辺の合計の 1/2 (周長)
α - 三角形の辺 a の反対側の角度
β - 三角形の辺 b の反対側の角度
γ - 三角形の辺 c の反対側の角度
h ある, h b , h c- 三角形の高さを辺 a、b、c に下げる

与えられた表記は上の図に対応していることに注意してください。そのため、実際の幾何学の問題を解くときに、式の適切な場所に正しい値を置き換えるのが視覚的に簡単になります。

• 三角形の面積は、 三角形の高さと、この高さを低くした辺の長さの積の半分（式1）。 この式の正しさは論理的に理解できます。 高さを底辺まで下げると、任意の三角形が 2 つの長方形に分割されます。 それぞれを寸法 b と h の長方形に構築すると、明らかに、これらの三角形の面積は長方形の面積のちょうど半分に等しくなります (Spr = bh)。
• 三角形の面積は、 2 つの辺の積の半分とそれらの間の角度の正弦(式 2) (以下のこの式を使用して問題を解く例を参照してください)。 以前とは違うように見えますが、簡単に変身できます。 角度 B から辺 b まで高さを下げると、直角三角形の正弦の性質に従って、辺 a と角度 γ の正弦の積が、描いた三角形の高さに等しいことがわかります。 、これで前の式が得られます。
• 任意の三角形の面積を求めることができます を通して 仕事すべての辺の長さの合計によって内接する円の半径の半分(式3)、簡単に言うと、三角形の半周長に内接円の半径を掛ける必要があります(覚えやすいです)。
• 任意の三角形の面積は、そのすべての辺の積をその外接円の半径4倍で割ることで求められます（式4）
• 式 5 は、三角形の辺の長さと半周長 (すべての辺の合計の半分) から三角形の面積を求めます。
• ヘロンの公式(6) は、同じ式を半周の概念を使用せず、辺の長さだけで表現したものです。
• 任意の三角形の面積は、三角形の辺の二乗と、この辺に隣接する角の正弦を、この辺の反対側の角の2倍正弦で割った値に等しい(式7)
• 任意の三角形の面積は、各角度の正弦で囲まれた円の 2 つの正方形の積として求められます。 (式8)
• 1つの辺の長さと隣接する2つの角の値がわかっている場合、三角形の面積は、この辺の2乗をこれらの角の余接の2倍和で割ったものとして求められます(式9)
• 三角形の各高さの長さだけがわかっている場合 (式 10)、ヘロンの公式によると、そのような三角形の面積はこれらの高さの長さに反比例します。
• 式 11 を使用すると、次のように計算できます。 頂点の座標に基づく三角形の面積、各頂点の (x;y) 値として指定されます。 個々の頂点 (またはすべての頂点) の座標が負の値の領域にある可能性があるため、結果の値はモジュロで取得する必要があることに注意してください。

注記。 以下は、三角形の面積を求める幾何学問題を解く例です。 ここに類似していないジオメトリの問題を解決する必要がある場合は、フォーラムにそれについて書いてください。 ソリューションでは、「平方根」記号の代わりに sqrt() 関数を使用できます。ここで、sqrt は平方根記号であり、根号式は括弧内に示されています。.単純な部首表現には、この記号が使用できる場合があります。 √

タスク。 与えられた 2 つの辺の面積とそれらの間の角度を求めます

三角形の辺は5cmと6cmで、その間の角度は60度です。 三角形の面積を求めます.

解決.

この問題を解決するには、レッスンの理論部分の公式 2 を使用します。
三角形の面積は、2つの辺の長さとそれらの間の角度の正弦によって求められ、次のようになります。
S=1/2 ab sin γ

解決策に必要なデータはすべて (式に従って) あるため、問題の条件の値を式に代入することしかできません。
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

三角関数の値の表で、正弦60度の値を見つけて式に代入します。 これは 3 の 2 の根に等しくなります。
S = 15 √3 / 2

答え: 7.5 √3 (教師の要件に応じて、おそらく 15 √3/2 のままにすることができます)

タスク。 正三角形の面積を求めます

一辺3cmの正三角形の面積を求めます。

解決 。

三角形の面積はヘロンの公式を使用して求めることができます。

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c であるため、正三角形の面積の公式は次の形式になります。

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

答え: 9 √3 / 4.

タスク。 辺の長さを変えたときの面積の変化

三角形の辺が4倍になると面積は何倍になるでしょうか？

解決.

三角形の辺の寸法は未知であるため、問題を解決するには、辺の長さがそれぞれ任意の数 a、b、c に等しいと仮定します。 次に、問題の質問に答えるために、与えられた三角形の面積を求め、次に辺が 4 倍大きい三角形の面積を求めます。 これらの三角形の面積の比率から問題の答えが得られます。

以下に、問題の解決策を段階的にテキストで説明します。 ただし、最後には、これと同じソリューションがより便利なグラフィック形式で表示されます。 興味のある方は、すぐに解決策を確認してください。

解決するには、ヘロンの公式を使用します (レッスンの理論部分で上記を参照)。 次のようになります。

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(下の図の最初の行を参照)

任意の三角形の辺の長さは、変数 a、b、c によって指定されます。
辺が 4 倍に増加すると、新しい三角形 c の面積は次のようになります。

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(下の図の 2 行目を参照)

ご覧のとおり、4 は数学の一般規則に従って 4 つの式すべてから括弧内を取り出すことができる共通の因数です。
それから

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - 画像の3行目に
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - 4行目

256という数字の平方根が完璧に抽出できたので、根の下から取り出してみましょう
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(下の図の 5 行目を参照)

問題での質問に答えるには、結果の三角形の面積を元の三角形の面積で割るだけです。
式を互いに割り、得られた分数を減らすことによって面積比を決定しましょう。

面積式は、図形の面積を決定するために必要です。これは、ユークリッド平面の図形の特定のクラスで定義され、次の 4 つの条件を満たす実数値関数です。

1. ポジティブ - 面積をゼロ未満にすることはできません。
2. 正規化 - 辺ユニットのある正方形は面積 1 を持ちます。
3. 合同 - 合同な図形の面積は等しい。
4. 加法性 - 共通の内部点を持たない 2 つの図形の和分の面積は、これらの図形の面積の合計に等しい。

学校の幾何学のカリキュラムで覚えているかもしれませんが、三角形は、同じ直線上にない 3 つの点で接続された 3 つの線分から形成される図形です。 三角形は 3 つの角を形成するため、この図形の名前が付けられました。 定義は違うかもしれません。 三角形は 3 つの角を持つ多角形とも呼ばれ、答えも正解になります。 三角形は、等しい辺の数と図形内の角の大きさに応じて分割されます。 したがって、三角形は、それぞれ二等辺三角形、正三角形、不等辺三角形、および長方形、鋭角、鈍角として区別されます。

三角形の面積を計算する公式はたくさんあります。 三角形の面積を見つける方法を選択します。つまり、 どの公式を使用するかはあなた次第です。 ただし、三角形の面積を計算するための多くの公式で使用される表記法の一部のみに注目する価値があります。 したがって、次のことを覚えておいてください。

Sは三角形の面積、

a、b、c は三角形の辺であり、

h は三角形の高さ、

Rは外接円の半径、

p は半周長です。

ここでは、幾何学のコースを完全に忘れてしまった場合に役立つ基本的な表記法を示します。 以下は、三角形の未知の謎の面積を計算するための最も理解しやすく複雑でないオプションです。 それは難しいことではなく、家庭のニーズや子供たちを助けるために役立ちます。 できるだけ簡単に三角形の面積を計算する方法を覚えてみましょう。

私たちの場合、三角形の面積は次のとおりです: S = 1/2 * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 平方センチメートル。 面積は平方センチメートル (sqcm) で測定されることに注意してください。

直角三角形とその面積。

直角三角形は、1 つの角が 90 度に等しい三角形です (したがって、直角と呼ばれます)。 直角は 2 本の垂直線 (三角形の場合は 2 本の垂直線分) によって形成されます。 直角三角形では直角は 1 つしか存在しません。なぜなら... 任意の 1 つの三角形のすべての角度の合計は 180 度に等しくなります。 残りの 90 度は、70 と 20、45 と 45 など、他の 2 つの角度で分割する必要があることがわかります。 したがって、重要なことは覚えています。残っているのは、直角三角形の面積を見つける方法を見つけることだけです。 目の前にこのような直角三角形があり、その面積 S を見つける必要があると想像してみましょう。

1. 直角三角形の面積を求める最も簡単な方法は、次の式を使用して計算します。

この場合、直角三角形の面積は、S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 平方センチです。

原則として、他の方法で三角形の面積を検証する必要はなくなりました。 これだけあれば便利で日常生活に役立ちます。 ただし、鋭角を通して三角形の面積を測定するオプションもあります。

2. 他の計算方法の場合は、コサイン、サイン、タンジェントのテーブルが必要です。 自分で判断してください。引き続き使用できる直角三角形の面積を計算するためのオプションがいくつかあります。

最初の式を使用することにしましたが、多少の汚れはありましたが (ノートに描き、古い定規と分度器を使用しました)、正しい計算が得られました。

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2)。 次の結果が得られました: 3.6=3.7 ですが、セルのシフトを考慮すると、このニュアンスは許容できます。

二等辺三角形とその面積。

二等辺三角形の公式を計算するというタスクに直面した場合、最も簡単な方法は、三角形の面積の主な古典的な公式と考えられるものを使用することです。

しかし、まず、二等辺三角形の面積を求める前に、それがどのような図形であるかを調べてみましょう。 二等辺三角形は、2つの辺が同じ長さを持つ三角形です。 これら 2 つの側面は側面と呼ばれ、3 番目の側面は底面と呼ばれます。 二等辺三角形と正三角形を混同しないでください。 3 つの辺がすべて等しい正三角形。 このような三角形では、角度、あるいはそのサイズに特別な傾向はありません。 ただし、二等辺三角形の底辺の角度は等しいですが、等しい辺の間の角度とは異なります。 したがって、最初の主要な公式はすでに知っていますが、二等辺三角形の面積を決定するための他の公式がどのようなことが知られているかを知る必要があります。

三角形の面積を求めるには、さまざまな公式を使用できます。 すべての方法の中で、最も簡単で最も頻繁に使用されるのは、高さに底辺の長さを掛けて、その結果を 2 で割ることです。 ただし、この方法が唯一の方法というわけではありません。 以下では、さまざまな公式を使用して三角形の面積を見つける方法を説明します。

これとは別に、長方形、二等辺三角形、正三角形など、特定の種類の三角形の面積を計算する方法を見ていきます。 各公式には、その本質を理解するのに役立つ短い説明が付いています。

三角形の面積を求めるための普遍的な方法

以下の式では特別な表記法が使用されています。 それぞれを解読していきます。

• a、b、c – 考慮している図形の 3 つの辺の長さ。
• r は三角形に内接する円の半径です。
• R は、その周りに記述できる円の半径です。
• α は辺 b と辺 c によって形成される角度の大きさです。
• β は a と c の間の角度の大きさです。
• γ は辺 a と辺 b によって形成される角度の大きさです。
• h は、角度 α から辺 a まで下げた三角形の高さです。
• p – 辺 a、b、c の合計の半分。

なぜこの方法で三角形の面積を求めることができるのかは論理的に明らかです。 三角形は、三角形の一辺が対角線となる平行四辺形に簡単に完成させることができます。 平行四辺形の面積は、その辺の 1 つの長さに、そこに描かれた高さの値を掛けることで求められます。 対角線は、この条件付き平行四辺形を 2 つの同一の三角形に分割します。 したがって、元の三角形の面積がこの補助平行四辺形の面積の半分に等しくなければならないことは明らかです。

S=1/2 a b sin γ

この公式によると、三角形の面積は、その 2 つの辺の長さ、つまり a と b に、それらによって形成される角度の正弦を乗じることによって求められます。 この式は、前の式から論理的に導出されます。 角度 β から辺 b までの高さを下げる場合、直角三角形の性質に従って、辺 a の長さに角度 γ の正弦を掛けると、三角形の高さ、つまり h が得られます。 。

問題の図形の面積は、それに内接することができる円の半径の半分とその周囲の長さを乗じることによって求められます。 言い換えれば、前述の円の半周長と半径の積を求めます。

S= a b c/4R

この公式によれば、必要な値は、図形の各辺の積を、その周囲に描かれた円の半径 4 つで割ることによって求められます。

これらの公式は、あらゆる三角形（不等辺三角形、二等辺三角形、正三角形、長方形）の面積を求めることができるため、普遍的です。 これは、より複雑な計算を使用して実行できますが、詳細については説明しません。

特定の特性を持つ三角形の領域

直角三角形の面積はどうやって求めますか? この図形の特徴は、その両面が同時に高さであることです。 a と b が足で、c が斜辺になる場合、面積は次のように求められます。

二等辺三角形の面積はどうやって求めますか? 長さ a の 2 つの辺と長さ b の 1 つの辺があります。 したがって、その面積は、辺 a の 2 乗と角度 γ の正弦の積を 2 で割ることによって求めることができます。

正三角形の面積はどうやって求めますか? この図では、すべての辺の長さは a に等しく、すべての角度の大きさは α です。 その高さは、辺 a の長さと 3 の平方根の積の半分に等しくなります。正三角形の面積を求めるには、辺 a の 2 乗に 3 の平方根を掛けて、で割る必要があります。 4.

底辺と高さがわかればわかります。 図の全体の単純さは、高さが底辺aを2つの部分a 1とa 2に分割し、三角形自体が2つの直角三角形に分割され、その面積が と であるという事実にあります。 次に、三角形全体の面積は、指定された2つの面積の合計となり、括弧から高さの1秒を取り出すと、合計で底辺が返されます。

より難しい計算方法はヘロンの公式で、3 つの辺をすべて知っている必要があります。 この式では、まず三角形の半周長を計算する必要があります。 Heron の公式自体は、半周の平方根に各辺の差を乗算したものを意味します。

次の方法は、任意の三角形にも関連しており、2 つの辺を通る三角形の面積とそれらの間の角度を見つけることができます。 この証明は、高さの公式から得られます。既知の辺のいずれかで高さを描き、角度 α のサインから h=a⋅sinα が得られます。 面積を計算するには、高さの半分に 2 番目の辺を掛けます。

もう 1 つの方法は、2 つの角度とそれらの間の辺を知って、三角形の面積を見つけることです。 この式の証明は非常に簡単で、図からはっきりとわかります。

3 番目の角の頂点から既知の辺までの高さを下げ、それに応じて結果のセグメントを x と呼びます。 直角三角形から、最初のセグメント x が積に等しいことがわかります。