ボールと球の基本要素。球と球、球の体積、球の面積、公式

ボール（球体）

球面。ボール（球体）。ボールセクション: サークル。

アルキメデスの定理。ボールのパーツ: 球状セグメント、

球状層、球状ベルト、球状セクター。

球面 - これ 点の軌跡(それらの。多くの全点の数)空間内で、一点から等距離にある ○ 、球面の中心と呼ばれます (図90)。半径あおい直径 AB 円と同じように決定されます。

ボール（球体） - これ 球面で囲まれた物体。できる半円を回転させてボールを取得します (またはサークル）直径の周り。ボールのすべての平面セクションは、 サークル (図90 ）。最大の円はボールの中心を通る部分にあり、 大きな円。その半径はボールの半径と同じです。 2 つの大きな円はボールの直径に沿って交差します ( AB、図91 ).この直径は、交差する大円の直径でもあります。同じ直径の端にある球面の 2 点を通る(A と B、図 91 ）、大きな円を無数に描くことができます。たとえば、地球の極を通る子午線は無限に引くことができます。

球の体積は、その周囲に外接する円柱の体積の 1.5 分の 1 です。 (図92 ), あ ボールの表面積は、同じ円柱の全表面積の 1.5 分の 1 です ( アルキメデスの定理):

ここ S ボール そして V ボール - それぞれボールの表面と体積。

S シル そして V シル - 外接する円柱の総表面積と体積。

ボールのパーツ。 ボール（球体）の一部 )、何らかの平面によってそこから切り離されます ( ABC、図93)、呼ばれた ボール(球状 ) セグメント。サークルABC 呼ばれた基礎ボールセグメント。線分ミネソタ州中心から引いた垂線 NサークルABC 球面と交わるまでをといいます。身長ボールセグメント。ドット M 呼ばれた上ボールセグメント。

2 つの平行な平面の間に囲まれた球の一部球面と交差するABCとDEF(図93)、呼ばれた 球状層; 球状層の曲面をといいます。 ボールベルト(ゾーン). サークル ABCとDEF – 根拠ボールベルト。距離 N.K. 球状ベルトの基部の間 - その身長。球セグメントの曲面で囲まれたボールの部分 ( AMCB、 Fig.93) と円錐面 OABC 、そのベースがセグメントのベースになります ( ABC )、頂点はボールの中心です○ 、と呼ばれる 球状扇形.

ボールと球はまず幾何学的図形であり、ボールが幾何学的な物体であれば、球はボールの表面です。これらの数字は紀元前何千年も前から興味深いものでした。

その後、地球が球で空が天球であることが発見されたとき、幾何学の新しい興味深い方向性、つまり球上の幾何学または球面幾何学が開発されました。ボールのサイズと体積について話すには、まずボールを定義する必要があります。

ボール

幾何学における点 O を中心とする半径 R の球は、共通の特性を持つ空間内のすべての点によって作成される物体です。これらの点は、ボールの半径を超えない距離に配置されます。つまり、ボールの中心から全方向にボールの半径未満の空間全体を占めます。ボールの中心から等距離にある点のみを考慮する場合は、ボールの表面またはシェルを考慮します。

どうすればボールを手に入れることができますか？紙から円を切り取り、その直径を中心に回転させ始めます。つまり、円の直径が回転軸になります。形成された図形はボールになります。したがって、ボールは回転体とも呼ばれます。平らな図形、つまり円を回転させることで形成できるからです。

飛行機に乗ってボールをカットしましょう。ちょうどオレンジをナイフで切るのと同じです。ボールから切り取った部分を球状セグメントと呼びます。

古代ギリシャでは、ボールや球を幾何学的図形として扱う方法、たとえば建築に使用する方法だけでなく、ボールの表面積やボールの体積を計算する方法も知っていました。

球とは、ボールの表面の別名です。球は物体ではありません - それは回転体の表面です。しかし、地球も多くの物体も、たとえば水滴などの球形をしているため、球内の幾何学的関係の研究が広く行われるようになりました。

たとえば、球の2点を直線で結んだ場合、この直線は弦と呼ばれ、この弦が球の中心（ボールの中心と一致する）を通過すると、その場合、弦は球の直径と呼ばれます。

球と一点だけで接する直線を引くと、この線は接線と呼ばれます。さらに、この点での球の接線は、接触点に描かれた球の半径に対して垂直になります。

球面から一方向または別の方向に弦を直線に延長すると、この弦はセカントと呼ばれます。あるいは、別の言い方をすることもできます。球の正割にはその弦が含まれています。

ボールの体積

ボールの体積を計算する公式は次のとおりです。

ここで、R はボールの半径です。

球状セグメントの体積を求める必要がある場合は、次の式を使用します。

Ｖｓｅｇ＝πｈ２（Ｒ－ｈ／３）、ｈは球状セグメントの高さである。

ボールまたは球の表面積

球の面積またはボールの表面積を計算するには (これらは同じものです):

ここで、R は球の半径です。

アルキメデスはボールと球体がとても好きで、自分の墓に円筒の中にボールを刻んだ絵を残してほしいとさえ頼みました。アルキメデスは、ボールの体積とその表面は、ボールが内接する円柱の体積と表面の 3 分の 2 に等しいと信じていました。」

第 2 章では、「構造幾何学」を続け、最も重要な空間図形 (球体、円柱、円錐、角柱やピラミッドなど) の構造と特性について説明します。人間の手によって作成されたほとんどの物体 (建物、車、家具、食器)。、、、、、、などはこのような形状の部品で構成されています。

§ 4. 球とボール

直線や平面に次いで、球や球は最もシンプルですが、さまざまな性質に富んだ非常に重要な空間図形です。ボールとその表面、つまり球体の幾何学的特性については、何冊もの本が書かれています。これらの特性のいくつかは古代ギリシャの幾何学者に知られていましたが、いくつかは最近、近年になって発見されました。これらの特性は (自然科学の法則と合わせて)、たとえば天体や魚卵が球形である理由、バチスカーフやサッカーボールがボールの形で作られている理由、テクノロジーにおいてボールベアリングが非常に一般的である理由などを説明します。私たちが証明できるのは、ボールの最も単純な特性だけです。他の特性の証明は、非常に重要ではあるものの、完全に非基本的な方法の使用を必要とすることがよくありますが、そのような特性の定式化は非常に簡単な場合があります。たとえば、特定の表面積を持つすべての物体の中で、ボールは最大の体積を持ちます。

4.1. 球とボールの定義。

球とボールは、平面上の円と円とまったく同じ方法で空間内に定義されます。球は、特定の点から離れた空間内のすべての点で構成される図形です。

異なる点が同じ (正の) 距離にあります。

この点は球の中心と呼ばれ、距離はその半径になります (図 4.1)。

したがって、中心 O と半径 R の球は、空間のすべての点 X によって形成される図形です。

ボールは、特定の点から特定の (正の) 距離以下の距離にある空間内のすべての点によって形成される図形です。この点はボールの中心と呼ばれ、この距離がボールの半径となります。

したがって、中心 O と半径 R の球は、空間のすべての点 X によって形成される図形です。

中心 O と半径 R を持つボールの点 X は、球を形成します。彼らは、この球が特定のボールを囲んでいる、またはその表面であると言います。

彼らがボールの内側にあると言うボールのほぼ同じポイントX。

球 (およびボール) の半径は、距離だけでなく、中心と球上の点を結ぶ線分とも呼ばれます。

幾何学模様

セクション II。ステレオメトリー

§22. ボール。球。

1. ボールと球の定義。ボールと球の要素。

弾丸は、その直径を含む軸の周りの円の回転によって形成される幾何学的な物体です (図 500)。

回転する円の中心をボールの中心、円の半径をボールの半径、円の直径をボールの直径といいます。図 500 では、点 O はボールの中心、OA と OB はボールの半径、AB はボールの直径です。

ボールの表面を球と呼びます。

球の中心、半径、直径は球の中心、半径、直径でもあります。

球上のすべての点は、球の中心から同じ距離 (半径に等しい) にあります。球に属さないボールの他の点は内部点と呼ばれ、そのような点は球の内側にあると言われます。ボールの内部ポイントは、ボールの中心から半径より短い距離に位置します。

したがって、球とボールの別の定義に到達します。

球は、同じ点から等距離にある空間内のすべての点で構成される面です。この点は球の中心と呼ばれ、球の中心からそのいずれかの点までの距離が球の半径です。

弾丸は、特定の点から特定の点以下の距離にある空間内のすべての点で構成される幾何学的な物体です。この点はボールの中心と呼ばれ、この距離はボールの半径と呼ばれます。

例。球の半径は 3.5 cm です。点 A は、球の中心から遠い場合は球の内側または外側に位置します: 1) cm、2)。 cm。

ボールは、特定の点から特定の距離以下の距離にある空間内のすべての点で構成される物体です。この点はボールの中心と呼ばれ、この距離はボールの半径と呼ばれます。ボールの境界を球面または球と呼びます。球の点は、中心から半径に等しい距離だけ離れたボールのすべての点です。ボールの中心と球面上の点を結ぶ線分も半径と呼ばれます。ボールの中心を通り、球面上の2点を結んだ線分を直径といいます。任意の直径の端は、ボールの正反対の点と呼ばれます。

ボールは、円錐や円柱と同じように回転体です。ボールは、その直径を軸として半円を回転させると得られます。

ボールの表面積は次の式で求められます。

ここで、r はボールの半径、d はボールの直径です。

ボールの体積は次の式で求められます。

V = 4 / 3 πr 3、

ここで、r はボールの半径です。

定理。ボールの平面によるすべての部分は円です。この円の中心は、ボールの中心から切断面に引いた垂線の底辺になります。

この定理に基づいて、中心 O、半径 R のボールが平面 α と交差する場合、その断面は中心 K を持つ半径 r の円になります。平面によるボールの断面の半径は次のように求められます。式によって

この公式から、中心から等距離にある平面がボールと等しい円で交差することがわかります。断面の半径が大きいほど、切断面がボールの中心に近くなり、距離が小さくなるほど OK になります。最大半径は、ボールの中心を通る平面による断面を有する。この円の半径はボールの半径と同じです。

ボールの中心を通る平面を中心面といいます。球の直径面による断面を大円といい、球の断面を大円といい、球の断面を大円といいます。

定理。ボールの直径面はすべて対称面です。ボールの中心が対称の中心です。

球面の点 A を通り、点 A に描かれた半径に垂直な平面を接平面と呼びます。点Aを接点といいます。