多くの組み合わせ問題では、関心のある選択肢の数を直接見つけるのは難しいことがわかります。 ただし、問題の条件を少し変えると、元のオプションの既知の倍を超える多数のオプションが見つかる可能性があります。 このテクニックはと呼ばれます 複数のカウント方法.

1. 「クラス」という単語にはアナグラムがいくつありますか?

難しいのは、この単語には同じ文字 C が 2 つあることです。これらを一時的に異なるものとみなし、C 1 と C 2 を示します。 すると、アナグラムの数は 5 になります。 = 120. しかし、文字 C 1 と C 2 を並べ替えただけで互いに異なる単語は、実際には同じアナグラムです。 したがって、120 個のアナグラムは、同一のアナグラムのペアに分割されます。 必要なアナグラム数は 120/2 = 60 です。

2. CHARADA という単語にはアナグラムがいくつありますか?

3 つの文字 A を別の文字 A 1、A 2、A 3 として数えると、6 になります。 アナグラム しかし、文字 A 1、A 2、A 3 を並べ替えるだけで構成される単語は、実際には同じアナグラムです。 3つあるから！ 文字 A 1、A 2、A 3 の順列は、最初は 6 でした。 アナグラムは3つのグループに分かれています！ 同一であり、異なるアナグラムの数は 6!/3! であることがわかります。 = 120。

3. 少なくとも 1 つの偶数桁を含む 4 桁の数字はいくつありますか?

奇数桁のみが含まれる「不要な」4 桁の数字の数を求めてみましょう。 このような数字は 5 4 = 625 個ありますが、4 桁の数字は合計 9000 個あるため、「必要な」数字の必要数は 9000 – 625 = 8375 になります。

1. VERESK、BALAGAN、CITYMAN という単語のアナグラムの数を調べます。
2. BAOBAB、BALLAD、TURN、ANAGRAM、MATHEMATICS、COMBINATORICS、DEFENSE という単語のアナグラムの数を調べます。
3. 1 人部屋、2 人部屋、4 人部屋の 3 つのホテルの部屋に 7 人の訪問者を収容できる方法は何通りありますか?
4. 冷蔵庫の中にリンゴが 2 個、ナシが 3 個、オレンジが 4 個あります。 9日間連続で毎日、ペティアには果物が1個与えられます。 これを実現できる方法は何通りありますか?
5. 市の大会に参加するには、学校の優秀なスキーヤー 7 人から 3 人のチームを選ばなければなりません。 これを実現できる方法は何通りありますか?
6. 試験前、教授は受験者の半数に悪い成績を与えると約束した。 20人の学生が試験に来ました。 彼は何通りの方法で約束を果たせるでしょうか?
7. 5 文字 A と 3 文字以内の B から単語は何個作れますか?
8. アイスクリームはチョコレート、ストロベリー、ミルクをご用意しております。 アイスクリームを 3 つ買う方法は何通りありますか?
9. ピザを作るとき、特定の味を生み出すためにチーズにさまざまな成分が加えられます。 ビルは玉ねぎ、マッシュルーム、トマト、ピーマン、アンチョビを自由に使えるが、彼の意見ではそれらはすべてチーズに加えることができるという。 ビルは何種類のピザを作ることができますか?
10. 犯罪者対決の目撃者は、犯罪者たちがメルセデスで逃走したことを思い出した。そのナンバープレートには文字T、Z、Uと数字3と7が含まれていた（ナンバーとは、最初に3文字、次に3つの数字が含まれる行のこと） 。 そのような数字はいくつありますか?
11. 凸面の対角線は何本ありますか n-四角？
12. 物は何個ありますか？ n-デジタル数字?
13. 同じ数字が 2 つ以上ある 10 桁の数字はいくつありますか?
14. サイコロは３回投げられます。 考えられるすべての結果の順序の中には、6 が少なくとも 1 回出た結果が含まれます。 何人いますか？
15. 表記に数字 1 が含まれる 5 桁の数字はいくつありますか?
16. 白と黒のキングを互いにぶつけずにチェス盤上に配置する方法は何通りありますか?
17. 10800という数字には約数はいくつありますか?

種類と特徴： 新しい知識を発見して学ぶためのレッスン実践的な問題を解くことで.

レッスンの目的: 次の方法を使用して組み合わせ問題を解決するように生徒に教えます。1) 有限探索。 2) 可能なオプションのツリーを構築する。 3) テーブルを使用する。

装置： 教育複合施設「ヴィレンキン」の構成要素。 5インチ、プロジェクター、コンピューター、インタラクティブホワイトボード ( ID ) , 各机には、7 つの解答済み授業問題が記載されたシート (A4 フォーマット) が 2 枚と、7 つのテスト問題が記載されたシート (A4 フォーマット) が 2 枚あります。. 教師の机には、7 つのクラスの問題が解かれたシート (A4 形式) と、7 つのテスト問題とその解決策が記載されたシート (A4 形式)、および家庭用のプロジェクト課題のプリントがあります。

レッスンのステップ

ステージタスク

ビジュアル

教師の活動

学生活動

UUDの形成

組織的

宿題を集めて授業の準備をする

ボード上でスライドします:

「学ぶのは難しい、戦うのは簡単」

確認のために宿題ノートを提出してください。 今日、私たちは新しいトピックの研究を始めていることを思い出させてください。

出席者は教室を歩き回り、ノートを集めます。

自主規制・予測・評価

理論的知識の更新

レッスンの目的を決める

ホワイトボード: トピックの日付とタイトル: 「組み合わせ問題」

皆さん、今日は「組み合わせ論」の世界への魅力的な旅に出かけましょう。

心の中で「これは何ですか？」と質問してください。

目標設定、主題の振り返り。

新規事項の説明

ラ

基本的な概念を最初に理解した後、

方法、方法

ソリューション

組み合わせ問題

ボードにスライドします: 「コンビナトリックス」という言葉は、「接続する」、「結合する」を意味するラテン語の COMBINARE に由来しています。

先生は「組み合わせ論」という言葉は何を意味すると思いますか、と尋ねます。

教師は立ち止まり、答えを聞いてから、定義を言います。

「コンビナトリックス」という言葉は、「接続する」「結合する」を意味するラテン語のCOMBINAREに由来しています。

子どもたちは仮説を立てて答えます

よく聞いて、配布資料の定義を読んでください

仮説の提案と検証。

ボード上をスライドします

任意の 2 つの数字からなるダイヤル錠でスーツケースを施錠すること。 スーツケースの所有者は、番号 1、2、3 のみを使用することにしました。コードを選択する方法は何通りありますか?

この問題は、考えられるオプションのツリーを使用するか、考えられるすべてのオプションを検索することによって解決できます。

彼らは注意深く耳を傾け、スライドを見て、考え、覚えています。

意味のある読書。

ボード上でスライドします:

可能なツリーによる解決策

オプション

可能なオプションのツリー 多くの場合、そのプロセスは特別な回路を構築して列挙を実行すると便利です。可能なオプションのツリー

木のルートを描画するには、* 記号を付けます。

コードの最初の桁を選択するには、次の 3 つのオプションがあります。 2; 3. したがって、木の根元から 3 本の枝を引き、その端に数字の 1 を置きます。 2; 3.

2 桁目を選択するには、同じ 3 つのオプションがあります。 「小枝」を実施します

オブジェクト分析。

ボード上でスライドします:

ブルートフォースソリューション

適切なコードは、数字から構成される 2 桁の数字です。

1、2、3。このような数字をすべて昇順に書き出します。 この列挙方法により、コードを見逃さず、同時にコードを繰り返さないようにすることができます。

最初から、1 から始まるすべてのコードを昇順に書き留めます: 11、12、13。次に、2 から始まるコードを昇順に書き留めます: 21、22、23。

次に、数字の 3 から始まるコードを昇順に書き留めます: 31、32、33

9通りの選び方があるので、

コード: 11、12、13、21、22、23、31、32、33。

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

オブジェクト分析。

オブジェクトの比較、順序付け、分類のための基準ベースの選択。

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図の作成と変換。

新しい知識の定着

理論的知識の実践的な応用を示す

実際の問題解決への応用を通じて

タスクNo.1の状態でボード上をスライドします。

ダイニングルームでは、ピザ、パン、サンドイッチから朝食をお選びいただけます。また、お茶やジュースでお召し上がりいただけます。 朝食は何種類から選べますか?

溶液を塗ったボード上をスライドさせます

スライドには、可能なオプションのツリーが表示されます

1階「ドリンク」

2 つのオプション: お茶、ジュース。

2 番目のレベルの 3 つのオプション: ピザ、パン、サンドイッチ。

合計6つの朝食オプション:

紅茶+ピザ、紅茶+束、紅茶+サンドイッチ、ジュース+ピザ、ジュース+束、ジュース+サンドイッチ。

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

職業紹介。

オブジェクト分析。

オブジェクトの比較、順序付け、分類のための基準ベースの選択。

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図の作成と変換。

タスクNo.2の条件でボード上をスライドします。

「数学」の国から「文」の国へは3本の道が、「文」の国から「体育」の国へは4本の道が通じています。 「数学」という国から何通りの方法で

「文」という国を経て「体育」という国？

溶液を塗ったボード上をスライドさせます

図面はこの問題を解決するのに役立ちます。

全ての「PATH」を通ってみましょう

「数学」という国から来る道路を次のように指定しましょう: M1、M2、M3、

そして『LITERATURE』L1、L2、L3、L4より。

M1+L1、M1+L2、M1+L3、M1+L4、M2+L1、M2+L2、M2+L3、を見てみましょう。

M2+L4、M3+L1、M3+L2、M3+L3、M3+L4

押す

道路の数を増やすことを考える子どもたち

または、道路の数を 3 * 4 = 12 として乗算することもできます。

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図を理解します。

タスクNo.3の条件でボード上をスライドします。

安全コードは文字と数字で構成され、文字が先頭になります (A7 など)。 文字 A、B、C と数字 3、7、9 を使用して、暗号の異なるバージョンは何通りありますか?

溶液を塗ったボード上をスライドさせます

2) コード文字を選択するには、次の 3 つのオプションがあります。 B ; C. したがって、木の根元から 3 本の枝が引き出され、その端に文字が配置されました。 B ; C.

3) 番号を選択するには、同じ 3 つのオプションがあります。 「小枝」を実施します

ツリーの根元から枝に沿って移動すると、考えられるすべてのコードが得られます。

A3、A7、A9、B3、B7、B9、C3、C7、C9

または合計 3*3=9 オプション

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図を理解します。

タスクNo.4の条件でボード上をスライドします。

いくつかの国は、国家の象徴として、同じ幅で色が異なる白、青、赤の3本の横縞の形の国旗を使用することを決定しました。 それぞれの国が他とは異なる独自の国旗を持っている場合、そのような記号を使用できる国は何カ国ありますか?

溶液を塗ったボード上をスライドさせます

1つ目の方法：ストライプの色を色の名前の頭文字で指定する

B – 白、K – 赤、C – 青。

総当たりで解決しましょう:

BSK、BKS、SBK、SKB、KBS、KSB

合計 6 つのオプションがあります。

2番目の方法:

鉛筆を持って旗を描きます

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図を理解します。

タスクNo.5の条件でボード上をスライドします。

家族は4人で、キッチンのテーブルに椅子が4脚あります。 家族は、毎晩夕食を食べるときに、この 4 つの椅子に異なる座り方をすることにしました。 家族はこれを繰り返さずに何日間行うことができますか?

溶液を塗ったボード上をスライドさせます

2 番目の解決策

わかりやすくするために、椅子をさまざまな色でペイントしてみましょう。

一番上の赤い椅子を固定し、他の 3 つを並べ替えて、6 つの選択肢を取得しましょう。

残りの色でも同じ操作を行ってみましょう。6*4=24 の異なるオプションが得られます。

2番目の方法:

家族全員が最初の椅子に座ることができます。つまり、4 つのオプションがあります。 2番目には、家族の1人がすでに座っているため、3人が座ります。 3人目 - 2名様

二人が座っています。 4 番目には、家族 3 人がすでに座っているため、1 つしかありません。

それでは、すべてのオプションを掛け合わせてみましょう

4*3*2*1= 24

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図を理解します。

タスクNo.6の条件でボード上をスライドします。

Vasyaは新年に行くことにしました

銃士の衣装を着たカーニバル。 レンタルショップでは、ズボンが 3 種類、キャミソールが 2 種類、帽子が 3 種類から選べました。 これらのアイテムから何種類のカーニバル衣装を作ることができますか?

溶液を塗ったボード上をスライドさせます

最初のキャップを Ш1、2 番目のキャップを Ш2、3 番目のキャップを Ш3 と表します。

1) スライドには、* 記号の形で木の根が表示されます。

2) 最初のレベル 3 のズボン。

3) 第 2 レベル 2 つのキャミソール。

4) 第 3 レベルの 3 キャップ。

合計 18 のオプション

あるいは単に「レベル」を増やすだけです

3*2*3=18

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図を理解します。

タスクNo.7の条件でボード上をスライドします。

彼らが会ったとき、7人の小人は握手をしました。 握手は何回行われましたか？

7人の小人たちは写真を交換することにしました。 写真は何枚必要ですか?

ソリューションをボード上でスライドさせます: a)

溶液をボード上でスライドさせます: b)

これら 2 つのタスクは非常に似ていますが、それでも異なります

このような問題を解決するときは、テーブルを使用することをお勧めします。

1) 8*8 の表を描きましょう。最初の行と最初の列は gnome です。

2) ノームが自分に挨拶できないのと同じように、テーブルの対角線を取り消しましょう。

3) 細胞は誰が誰を迎えたかです。

4) 表の下部は上部を繰り返します。

最初のノームが 2 番目のノームに挨拶しました = 2 番目のノームが最初のノームに挨拶しました。

握手回数は全部で21回。

問題 b) は必要であるという点で a) とは異なります

テーブルの一番下を次のように考えます

最初のノームは二番目のノームに写真を渡しました、 不平等 2 番目のノームは最初のノームに写真を渡しました。

写真は合計42枚。

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図を理解します。

知識の体系化

組み合わせ問題を解決する方法を体系化します。

ボード上のスライド

そして次のスライドでは、

問題番号 7 の解決策のスライド

私たちは 3 つの解決方法を知りました。1) 選択肢のツリー。 2）やりすぎ。

3) データの表形式の表示

彼らは注意深く聞き、スライドを見て、考え、分析し、分類し、記憶します。

知識を3つに体系化

方法。

新しい知識を習得する

定義を与える

組み合わせ問題の開発。

ボード上をスライドします

子どもたちに「組み合わせ問題」の概念を自分の言葉で定義してもらいます。

質問に答えてください

類推を確立する。

スキル分類

バット。

この種の問題を解決するための 3 つの方法を特定します。

次のスライド。

問題番号 7 を解決するためのスライド

子どもたちに 3 つの解決方法について自分の言葉で話してもらいます。

組み合わせ問題

質問に答えてください

スキル分類

バット。

特定の解決策に応じて問題を解決する最も効果的な方法を選択する

組み合わせ問題の多変量解法について結論を導き出す

スライド

すべての組み合わせ問題はさまざまな方法を使用して解決できると思いますか?と子供たちに尋ねてください。

スライドを見せた後は体育。 ちょっと待って (3 人の生徒が理事会に呼び出され、さまざまな方法で机に座ります)

質問に答えてください

特定の条件に応じて問題を解決するためのモデルと図を作成します

反射神経

これら

グループ、小グループ、個別に独立した作業を実施します。

対角線

半分に

等しい

直角に

はい

はい

はい

各机には 7 つのタスク (付録 No. 1) が記載されたシート (A4 フォーマット) があります。

答えのあるスライド

ボード上の表 (チームの回答)

コマン-

はい #1

コマン-

はい #2

7a

7b

クラスから 8 ～ 12 人の 2 つのチームが選ばれます。 彼らには次のようなタスクが与えられます。

1. タスクごとに配分します。タスクごとに 1 人か 2 人の生徒を割り当てます。

2. 解決に割り当てられる時間は 7 分以内です。

注: 教師はチームを作成できます。タスクごとの割り当てはありません。子供たち自身のみが 1 分以内に割り当てられる必要があります。 それができない場合は、子どもたちの位置に基づいて、生徒が課題を受け取ります。

1. 正しく解決されたすべてに対して

チームはタスクに対して 1 ポイントを受け取ります

1. クラスをチェックします。チームの答えが黒板に書かれます。 問題を解いた子どもたちが答えを言い、当番の人がそれを書き留めます。

2. スライド上の正解

チームに参加していない生徒は、自分で選んだ 7 つの問題から任意の数の問題を解決します。

チーム、ペア、個人で独立した作業を実行します。

個人の独立した作業とチームのコラボレーションの組み合わせ

宿題の説明

提供する

児童の目的、内容、実施方法の理解

宿題。

各生徒はこの宿題のテキストを机の上に置いています。

タスク。

プロジェクトの宿題

全員に3つ考えてください

あらゆる組み合わせの問題。

グループは5人まで

私たち（教師と生徒）は、これらの課題を今後、クラス内だけでなく学校内でのクイズ大会などで活用していきます。

つまり、「クイズ用のタスク」のバンクを作成します。

タスクを達成するための条件をよく考えてください。

1) 個人またはグループで。

2) タスクを作成するときに何を使用するか、どのリソースを使用するか。

自主規制

自己認識の発達、責任

関係ない

付録第 1 号

タスクNo.1

ダイニングルームでは、パン、キャベツ入りパイ、ジャガイモ入りパイ、サンドイッチから朝食をお選びいただけます。また、お茶やコンポートと一緒に食べることもできます。 朝食は何種類から選べますか?

タスクその2

「数学」の国から「文」の国へは4本の道が、「文」の国から「体育」の国へは5本の道が通じています。 「数学」という国から何通りの方法で

「体育」という国から「文学」という国へ？

タスクその3

安全コードは文字と数字で構成され、文字が先頭になります (たとえば、A7)。 文字 A、M、F と数字 1、4、6、9 を使用して、暗号の異なるバージョンは何通りありますか?

タスクその4

いくつかの国は、州の象徴として、白、青、赤、緑という同じ幅で色の異なる4本の横縞の形の国旗を使用することを決定しました。 各国が他とは異なる独自の国旗を持っている場合、そのような記号を使用できる国は何カ国ありますか?

問題 #5

家族は5人で、キッチンのテーブルに椅子が5脚あります。 家族は、毎晩夕食を食べるときに、これら 5 つの椅子に異なる座り方をすることにしました。 家族はこれを繰り返さずに何日間行うことができますか?

問題 #6

ヴァシャは銃士の格好をして新年のカーニバルに行くことにした。 レンタルショップでは、ズボンが4種類、キャミソールが2種類、帽子が2種類から選べました。 これらのアイテムから何種類のカーニバル衣装を作ることができますか?

問題その7

出会ったとき、4人のドワーフは握手を交わした。 握手は何回行われましたか？

5人の小人は写真を交換することにしました。 写真は何枚必要ですか?

付録第 2 号

宿題（プロジェクト活動）

プロジェクトの宿題

全員に3つ考えてください

あらゆる組み合わせの問題。

問題を思いついたときは、以下を使用できます。 教科書「Vilenkin. 数学 5; 他の本。 インターネット リソース。

グループに参加することはできますが、条件は

各生徒には 3 つのタスクが残っています。

グループは5人まで

3）UMK「ドロフェエフ数学5」。

4) インターネット リソース (gif1000)

このセクションでは、さらにいくつかの組み合わせ問題を検討します。その解決には、上で確立した公式とルールを使用します。

例 1. 特定の州では、2 人ごとに異なる歯のセットがあります。 人の歯の最大数が 32 である場合、この州の住民の最大数は何人になりますか?

解決。 この問題は 2 つの方法で解決できます。 1 つ目の方法は、まず歯を持てる人の数を調べ、次に to からの結果を合計することです。 32 か所のうちの場所をさまざまな方法で選択できることは明らかです。 したがって、正確に k 個の歯に生息するものはありません。 そして、住民の総数は以下を超えない

この方法で得られた答えは、非常に面倒なものであることが判明しました。 § 2 の例 5 を解くときにすでに使用した、帰納法を使用する別のパスを選択する方が有益です。

1 本の歯について話している場合、考えられるのは 2 人だけです。1 人には歯があり、もう 1 人には歯がありません。 歯が 2 つある場合、可能な歯のセットの数は 4 つになります。つまり、歯がない、1 つ目、2 つ目、両方ありです。

歯の数を 3 つに増やすと、可能性の数が 2 倍になり、8 つの異なるセットが得られます。 実際、考慮された 2 本の歯のセットはそれぞれ、3 番目の歯が存在しない場合と存在する場合の 2 回発生する可能性があります。

可能な歯のセットの数を で表しましょう。 これまでの議論により、一部の人にとって等式が正しいと仮定して、同様の等式が歯の場合にも成り立つことを証明しました。 含まれるすべての異なるセットの中には、歯が欠けているセットと、歯が存在するセットが同じ数だけ存在します。

したがって、考えられる歯が与えられると、歯のセットが異なるすべての人の数は に等しくなります。 したがって、私たちの場合、既知のように、 が得られます。 したがって、この州の人口は現在の地球全体の人口よりも多くなる可能性があります。

私たちの結果は実際には、おかしな州の可能性のある人口の推定値以上のものを提供していることに注意してください。 結果の値を、組み合わせの合計として上で記述した式と比較すると、次の式が得られます。

さらに、上記の証明から、帰納法によって、同様の等式がどのような場合にも成り立つことがわかります。つまり、次の式が成り立ちます。

例 2. サイズ の正方形の長方形グリッドが与えられたとします。 このグリッド上の左上から右下に向かうさまざまな道路の数は何ですか (図 46)。 (道路のすべてのリンクは、戻らずに右または下に進むと想定されます。

たとえば、市内の 2 つの交差点間の最短ルートの 1 つを選択するときに、同様の状況が発生します。)

解決。 すべての道路は、水平方向と垂直方向のリンクを含む破線、つまりリンクで構成されています。 異なる道路は、水平方向と垂直方向のリンクの順序が異なるだけです。 したがって、可能な道路の数は、セグメントの総数から垂直セグメントを選択できる方法の数に等しいため、

垂直セグメントではなく水平セグメントを選択する方法の数を考慮することは可能であり、そうすれば答えが得られます。しかし、§ 3 の式 (9) は次のことを示しています。

得られた結果を使用して、別の興味深い式を導き出すことができます。 グリッドを正方形、つまり次元を持つとします。すると、上記の解決策から、左上隅と右下隅を接続するさまざまな道路の数は に等しいことがわかります。

ただし、これらの道路の数は別の方法で計算できます。 左下隅から右上に向かう対角線を考え、この対角線上にある頂点を で示します。 各道路は必ず 1 つの点を通過し、さらにこの対角線の唯一の点を通過するため、道路の総数は、点を通過し、点を通過し、点を通過し、点を通過する道路の数の合計になります。

点に下から上に番号が付けられている場合、点を通過する可能性のある道路の数を調べてみましょう。

これを図に示します。 図 47 に示すように、点は下の水平線から、グリッド正方形の辺の長さを測定単位として数えた距離だけ離れています。 次に、水平セグメントによって右側の垂直セグメントから分離されます。

次に、左上隅と点を結ぶ道路が存在し、点と右下隅を接続する道路が存在します (これは、反対側の頂点が左上隅である等しい長方形を考慮することでわかります)。元の正方形と点、それに応じて点と正方形の右下隅)。 したがって、左上隅と右下隅を結んで通過する道路の総数は次のようになります。ただし、すべての道路の数の合計は次の和に等しくなります。

結果の量を上記の道路数の式と比較すると、次の式が得られます。

例 3. 停留所で 6 人の乗客が 3 両編成の路面電車に乗車します。 車内で配布できる方法は何通りありますか?

解決。 まず第一に、このタスクは十分に正確に定式化されておらず、2 つの異なる解釈が可能であることを指摘する必要があります。 各車両の乗客数のみに興味がある場合もあれば、どの車両に誰が乗っているかに興味がある場合もあります。 考えられる両方の定式化を考えてみましょう。

まず、どの車両に誰が乗っているかを考慮した場合、つまり「1両目に乗客A、2両目に乗客Bがいる場合」と「1両目に乗客Bが乗っている場合」を考えてみましょう。乗客Aは2番目です」は異なるものとみなされます。

ここでは 6 つの要素のうち 3 つの要素を繰り返した配置になっています。6 人の乗客それぞれに 3 つの可能性があります。 § 4 の式 (1) を使用すると、6 人の乗客を 3 台の車両に分配できるさまざまな方法の数は次のとおりであることがわかります。

各車両の乗客数のみに関心がある場合は、異なる結果が得られます。つまり、どの乗客がどこにいるかに関係なく、「1 番目の車両に 1 人の乗客がいて、2 番目の車両に 1 人の乗客がいる」というケースは一意です。 ここで必要なのは

しかし、数えることはもはや配置ではなく、繰り返しとの組み合わせです。 §4 の式 (4) を使用すると、この場合に乗客を分配するさまざまな方法の数は次のとおりであることがわかります。

例 4. 各プレーヤーが 7 つのドミノを得るように、28 個のドミノを 4 人のプレーヤーに分配する方法は何通りありますか?

解決。 最初のプレイヤーはさまざまな方法で 7 つのサイコロを選択できます。 次に、2 番目のプレーヤーは残りの 21 個のサイコロから 7 個のサイコロを選択する必要があります。 これにはいくつかの方法があります。 3 番目のプレーヤーは C 通りのサイコロを選択でき、4 番目のプレーヤーは C 通りのサイコロを選択できます。 合計すると、

骨を分割する方法。

この問題は別の方法で解決できます。 すべてのサイコロを配置して、最初の 7 個のサイコロを最初のプレイヤーに、2 番目の 7 個のサイコロを 2 番目のプレイヤーに渡します。サイコロの数は 28 個あるので、28 個配置できます。 結果は 28 になります! パーティションメソッド。 しかし、これらの方法の中には同じ結果につながるものもあります。プレイヤーはサイコロがどの順序で来るかは気にしませんが、どのサイコロを受け取るかだけが重要です。 したがって、最初の 7 個のサイコロをどのように並べ替えても、次に 2 番目の 7 個のサイコロを並べ替えても、結果は変わりません。最初の 7 個のサイコロは 7 に並べ替えることができます。 ちなみに、2 番目の 7 のサイコロも 7 です。 全体として、指定されたものと同じボーンの分布を与える順列が得られます。 したがって、ボーンを分割する方法の数は次のとおりです。

例 5. 40 個のリンゴを 4 人の男の子に分ける方法は何通りありますか (すべてのリンゴは同じと見なされます)。

組み合わせ論は、与えられたオブジェクト (要素) から特定のタイプの組み合わせをいくつ作ることができるかという問題を研究する数学の一分野です。

乗算則（組合せ論の基本公式）

各グループから 1 つの要素を選択し、それらを特定の順序で配置する (つまり、順序付きセットを取得する) 方法の総数は次のとおりです。

例1

コインは3回投げられました。 トスの結果は何通りあると予想できますか?

解決

最初のコインには表か裏の選択肢があります。 2 番目のコインについては、代替案などもあります。 。

必要なウェイ数:

加算ルール

2 つのグループに共通の要素がない場合は、 from 、 from 、 ... または from のいずれかの要素を 1 つ選択することができます。

例 2

本棚には 30 冊の本があり、そのうち 20 冊は数学、6 冊は技術書、4 冊は経済学です。 数学または経済学の本を 1 冊選ぶ方法は何通りありますか?

解決

数学の本の選び方も、経済学の本の選び方もさまざまです。

和の法則に従って数学や経済学の本を選ぶ方法があります。

配置と再配置

配置- これらは、構成または要素の順序が互いに異なる、順序付けられた要素のコレクションです。

繰り返しのない配置、次の要素を選択する前に、選択した要素が母集団に返されない場合。 このような選択を繰り返しのない逐次選択と呼び、その結果は による要素の繰り返しのない配置になります。

ボリュームの母集団から要素を返さずに順次選択を行うさまざまな方法の数は次のとおりです。

例 3

毎日のスケジュールは5つの異なるレッスンで構成されています。 11 の分野から選択する場合は、スケジュール オプションの数を決定します。

解決

各スケジュール オプションは、11 分野のうち 5 つの分野のセットを表しており、構成と順序の両方において他のオプションとは異なります。 それが理由です：

再配置は、要素の順序が異なるだけの順序付けされたコレクションです。 要素のセットのすべての順列の数は次のとおりです。

例 4

1 つのテーブルに 4 人が座る方法は何通りありますか?

解決

各座席オプションは参加者の順序のみが異なります。つまり、次の 4 つの要素の組み合わせです。

繰り返しのある配置、次の要素を選択する前に、選択した要素が母集団に返されるとき。 この選択をリターン付き逐次選択といい、その結果を による要素の繰り返しによる配置といいます。

ボリュームの母集団から要素を返すための選択を行うさまざまな方法の合計数は、

例5

エレベーターは7階で止まります。 エレベーター キャビンの 6 人の乗客がこれらの階で降りる方法は何通りありますか?

解決

各フロアに乗客を分配する方法は、7 フロアにわたる 6 人の乗客の組み合わせであり、構成と順序の両方において他の組み合わせとは異なります。 同じフロアからは1人または数人の乗客が降りることができるため、同じ乗客を繰り返し利用することができます。 したがって、そのような組み合わせの数は、6 の 7 つの要素が繰り返される配置の数に等しくなります。

組み合わせ

組み合わせ n 要素× k は、少なくとも 1 つの要素が互いに異なる、順序付けされていないコレクションと呼ばれます。

一般母集団から複数の要素を一度に取得します (または、要素は順番に取得されますが、出現順序は考慮されません)。 このように、ボリュームの一般集団から要素を同時に順序なく選択した結果、と呼ばれる組み合わせが得られます。 繰り返しのない組み合わせ要素から .

要素の組み合わせの数は次のとおりです。

例6

１箱の中にリンゴが９個あります。 箱から 3 個のリンゴを選ぶ方法は何通りありますか?

解決

各選択肢は 3 つのリンゴで構成され、構成のみが他の選択肢と異なります。つまり、9 つの要素が繰り返されない組み合わせです。

9 個のリンゴから 3 個を選択する方法の数:

ボリュームの一般母集団から要素を 1 つずつ選択すると、選択された各要素は次の要素を選択する前に一般母集団に戻されます。 これは、どの要素が何回出現したかを記録しますが、出現した順序は考慮されません。 結果として得られる集計は次のように呼ばれます。 繰り返しのある組み合わせ要素から .

要素の繰り返しによる組み合わせの数:

例 7

郵便局では3種類のはがきを販売しています。 ポストカード 6 枚を購入するには何通りの方法がありますか?

これは、3 から 6 までの繰り返しの組み合わせの数を求めるタスクです。

セットをグループに分割する

さまざまな要素のセットをこのようにグループに分割すると、最初のグループには要素が含まれ、2 番目のグループには要素が、3 番目のグループには要素が含まれます。 この状況は、セットをグループに分割することと呼ばれます。

要素が最初のグループに分類され、要素が 2 番目のグループに分類され、要素が k 番目のグループに分類される場合、グループへの分割数は次のようになります。

例8

16 人のグループを 3 つのサブグループに分ける必要があります。最初のサブグループは 5 人、2 番目は 7 人、3 番目は 4 人になります。 これを実現できる方法は何通りありますか?

クラス： 5

この記事では、5 年生の数学コースの、組み合わせ論の導入に特化した授業の 1 つを取り上げます。

レッスンの目標。

教育的:

新しいタイプの問題 (組み合わせ問題) と、それらを解決するための方法 (可能なオプションの列挙、可能なオプションのツリーの構築、乗算規則の適用) を生徒に紹介します。

新しい概念である階乗を導入し、問題、例、方程式を解くときにそれを統合します。

教育的:

仲間への敬意の形成、対話者の話を聞いて聞く能力

人間の最も重要な価値観の 1 つとして、友情に対する態度の形成。

発達:

主題に対する興味の形成。

コンピューティングスキルの形成;

論理的思考の発達;

自分の意見を証明し、実証する能力を養います。

レッスンの進行状況

1. 組織の瞬間

先生：今日は珍しいレッスンです。 数学の最も興味深い分野の 1 つである組み合わせ論に関連する問題を解決します。 科学でも実生活でも、問題を解決しなければならないことがよくありますが、その主な問題は、「これは何通りの方法で解決できるでしょうか?」という質問です。 例えば：

クラスで生徒を評価できる方法は何通りありますか?

クラスモニターを割り当てる方法は何通りありますか?

2 人の教室員を割り当てる方法は何通りありますか?

このような問題を解く際には、有限な要素からさまざまな組み合わせを作り、その組み合わせの数を数えなければなりません。 このような問題は組み合わせ問題と呼ばれ、そのような問題を考慮する数学の分野は組み合わせ論と呼ばれます。 宿題のやり方を確認するときに、レッスンで他にどのようなトピックが取り上げられるかがわかります。

2. 宿題の完了確認

(前のレッスンでは、タスクがちょうど 6 つになるように宿題がまとめられています。たとえば、Vilenkin N.Ya. らの教科書では、これは No. 693(a, c)、735(1) になります。 )、765(a、b、V))

ボード上にはテーブルと磁石で貼り付けられたカードがあります。 カードの片面には宿題の答えが、もう片面には手紙が書かれています。

先生：宿題を確認しましょう。 ノートを開いて鉛筆を取りましょう。 宿題の番号の答えを見つけます。

生徒は一度に 1 人ずつボードに行き、答えが書かれたカードを 1 枚選び、テーブルのタスク番号の下のセルに貼り付けます。 まず、生徒が宿題が正しいかどうかを確認できるように、カードは答えが書かれた面でテーブルのマス目に固定されます。 残りはノートで答えを確認します。

回答の選択肢 (カードの別の面にあります)。 一部の答えが不正解となるように、意図的に過剰な枚数のカードが作成されています。

「5」 - すべてが正しい場合

「4」 - エラーが 1 つある場合

「3」 - 2～3 個のエラー

「2」 - 3 つ以上のエラー

先生: カードを裏返しましょう、どんな単語が出てきましたか? （友情）。 確かに、今日のレッスンでは、数学の問題を解決し、計算スキルを向上させるだけでなく、友情についても話します。

3. 新しい素材。

先生：それで、今日は問題の解決方法を学ぶとすでに言いましたが、その主な問題は「どのようにして...」という質問です。

「FRIENDSHIP」、「BUSINESS」、「LOVES」という 3 つの単語があります (これらの単語を書いた紙を切ります - 各単語につき 7 枚のカード)。 これらの単語を使って文を構成できる方法は何通りありますか?

生徒は選択肢を提示します。これらの選択肢は黒板に書かれています。

答え: 6 つの方法があります。

先生: ロシア語の観点から見ると、どの選択肢が正しいと思いますか? （友情はビジネスを愛する）。 この発言をどう理解しますか?

教師: ここには、考えられるすべてのオプション、またはよく言われるように、考えられるすべての組み合わせが完全に列挙されています。 したがって、これは組み合わせの問題です。 この問題の解決策をどのように書き留めて形式化できるかを考えてみましょう。

1方向。 提案された単語を大文字で示します。

友情 – D

大好き – L

DELO – E (この単語の 2 番目の文字を考えてみましょう)

その後、指定したすべてのメソッド (DLE、DEL、LDE、ICE、EDL、ELD) を単純にリストすることができます。

解決策は、可能なオプションのツリーと呼ばれるモデルの形式で定式化できることがわかりました。 第一に、他の写真と同様に鮮明であり、第二に、何も見逃さずにすべてを考慮することができます。

生徒は教師の指導の下、図を作成します。

方法 3 (推論)

FRIENDSHIP、LOVES、BUSINESS の 3 つの単語のうち 1 つを最初に指定できます。 最初の単語が選択された場合、2 位には残りの 2 つの単語のうちの 1 つを指定でき、3 位には残りの 1 つの単語のみを指定できます。 したがって、オプションの合計は次のようになります。

最後のテクニックは 乗算ルール。

これら 3 つの方法にはそれぞれ、独自の長所と短所があります (話し合ってください)。解決策の選択はあなた次第です。 ただし、乗算ルールを使用すると、さまざまな問題を 1 ステップで解決できることに注意してください。

アーニャには 3 人の友達がいて、それぞれにチョコレート バーを買って、クリスマスのプレゼントとして贈りたいと考えています。 彼女は何通りの方法でこれを行うことができますか?

解答: 生徒はボード上で解答を実行します (解答は 3 つの方法で実行されます)

友人の会社にはアンドレイ、ボリス、ヴィティア、グリシャ、ディマ、エゴールの 6 人がいます。 学校の食堂にはテーブルに椅子が6脚あります。 友人たちは、朝食をとりながら、この 6 つの椅子に毎日違う座り方をすることにしました。 これを繰り返さずに何回行うことができますか?

先生: どの方法を選びますか? (生徒は、教師の指導の下、これが 3 番目の方法、つまり掛け算の規則であるという結論に達する必要があります。)

生徒は黒板に解決策を書きます。

推論の便宜上、友人が一人ずつテーブルに座ると仮定します。 アンドレイが最初にテーブルに座ったと仮定します。 彼には6つの椅子のオプションがあります。 ボリスは 2 番目に座り、残りの 5 つの椅子から独立して椅子を選択します。 Vitya は 3 番目に選択し、4 つの椅子から選択することになります。 Grisha にはすでに 3 つの選択肢があります (Dima – 2、Egor – 1)。乗算ルールによれば、次のようになります。

答えは 720 日、つまりほぼ 2 年です。

先生：ご覧のとおり、問題の条件は異なりますが、解決策は本質的に同じです。 したがって、これらの回答に対して同じ表記法を導入すると便利です。

定義: 1 から n までのすべての自然数の積は n - 階乗と呼ばれ、記号 n! で表されます。

サイン n！ 「En階乗」と読みます。英語から直訳すると、「からなる」という意味になります。 n乗数。」 この値の重要な特徴、つまり急速な成長に注目してみましょう。

計算します:

a) 1!; b) 2!; c) 3!; d) 4!; e) 5!; e)10!

彼らはそれが0だと思っています！ =1 (書き込み)

タスク5。

先生: 友情は人が持つことのできる最も重要な財産の 1 つです。 友情について詩や歌が作られ、ことわざや格言が書かれるのは当然のことです。 友情に関するどんなことわざやことわざを知っていますか?

困った時の友が、真の友。
100ルーブルを持っているわけではありませんが、100人の友達はいます。
数字には安全性がある。
自分は死ぬが、仲間を助けてください。
古い友人は 2 人の新しい友人よりも優れています。
友達がいないと人生は大変です。

よくやった！ すべての人にとって、良い真の友達を持つことは非常に重要です。 新しい概念である階乗を使用していくつかの例を解き、友情に関する新しいことわざを学びましょう。

答えのあるカードはリザーブで完成します（答えではない数字のカードもあります）。

記入後の表:

タスク6。

4人の友人がヴァシャを訪ねてきて、新しい映画を見る予定です。 ヴァシャさんの部屋には椅子があり、キッチンからも椅子を4脚持ってきました。 彼は間違いなく自分で椅子に座り、友達を椅子に座らせるでしょう。 ヴァシャさんは、24 通りの方法で友達を座らせることができると計算しました。

教師: Vasya は正しく計算しましたか? （はい、数学的な観点から言えば）

彼はうまくいきましたか？ (問題の道徳的側面が議論されます)

4.体育の瞬間。

先生: では、少し休みましょう。そのために、ちょっと体操をしましょう。 表現が正しければ、立ち上がって手を上げ、間違っていれば、手を横に置いて座ります。

私たちは起きました。 始めましょう、気をつけてください。

6. 独立した作品。

先生：それでは、ゆっくり休んだので、今日習ったことを授業で確認しましょう。 そのために、私たちは自分たちの仕事をします。

7. 宿題。

「家族」というテーマに関する 2 つの組み合わせ問題の条件と解決策を考え出し、書き留めます。 A4用紙に、タスクの図を作成できます。

8. レッスンのまとめ。

授業をまとめてみましょう。

何を新しく学びましたか? (私たちは乗算ルールを受け取り、その幾何学的モデル - オプションのツリーを調べ、新しい概念 - 階乗を導入しました)

何が好きでしたか？

何を覚えていますか?

レッスンの成績。

文学：

1. E.A. ブニモビッチ、バージニア州 ブリチェフ。 一般教育学校数学コースの確率と統計: 講義 1 ～ 4、5 ～ 8。 – M.: 教育大学「9 月 1 日」、2006 年。
2. ビレンキン N.Ya. 数学。 5年生：一般教養の教科書。 機関 / N.Ya. Vilenkin 他 - M.: Mnemosyna、2009。
3. スミカロバ E.V. 5年生向けの数学に関する追加の章。 SPb:スミオ。 プレス、2006 年。
4. モルドコビッチ A.G. イベント。 確率。