三角円。 究極のガイド (2019)

ナンバーサークルは、点が特定の実数に対応する単位円です。

単位円は半径 1 の円です。

ナンバーサークルの全体図。

1) 半径を測定単位とします。

2) 水平方向と垂直方向の直径は、数字の円を 4 等分します。 それぞれ第 1 四半期、第 2 四半期、第 3 四半期、第 4 四半期と呼ばれます。

3) 水平直径は AC で示され、A が極値になります。 右ドット。
垂直方向の直径は BD で指定され、B が最高点になります。
それぞれ：

第 1 四半期は AB の弧です

第 2 四半期 - BC アーク

第 3 クォーター - アーク CD

第 4 四半期 - アーク DA

4) 数字円の始点は点 A です。

数字の円に沿って数えることは、時計回りまたは反時計回りのいずれかで行うことができます。

A点から数えて に対して時計回りといいます 正の方向.

A点から数えて による時計回りと呼ばれる 負の方向.

座標平面上の円に番号を付けます。

数字の円の半径の中心が原点 (数字の 0) に対応します。

水平方向の直径が軸に相当します バツ、縦軸 y.

開始点 数字の円T 字が軸上にありますバツ座標は (1; 0) です。

数字円上の主要な点の名前と位置:

数字のサークル名の覚え方。

数字の円の基本的な名前を簡単に覚えるのに役立つ簡単なパターンがいくつかあります。

始める前に、注意してください。カウントは正の方向、つまり点 A (2π) から反時計回りに実行されます。

1) 座標軸上の極点から始めましょう。

開始点は 2π (軸上の右端の点) です。 バツ、1に等しい)。

ご存知のように、2πは円の円周です。 これは、円の半周が 1π または π であることを意味します。 軸 バツ円を正確に半分に分割します。 したがって、軸上の左端の点は、 バツ-1 に等しいものを π と呼びます。

軸上の最高点 では 1 に等しく、上半円を半分に分割します。 これは、半円が π の場合、半円の半分は π/2 であることを意味します。

同時に、π/2は円の4分の1でもあります。 第 1 四半期から第 3 四半期まで、そのような四半期を 3 つ数えましょう - そうすれば、軸上の最低点に到達します。 で、-1に等しい。 ただし、4 分の 3 が含まれる場合、その名前は 3π/2 になります。

2) 残りのポイントに進みましょう。 注意してください: すべての反対側の点は同じ分母を持っています - これらは軸に対して反対側の点です で、軸の中心に対する相対値と軸に対する相対値の両方 バツ。 これにより、詰め込むことなくポイント値を知ることができます。

最初の四半期の点、π/6、π/4、π/3 の意味だけを覚えておく必要があります。 そして、いくつかのパターンを「確認」します。

- 軸に対して で 第 2 四半期のポイントでは、第 1 四半期のポイントとは反対に、分子の数値は分母のサイズより 1 減ります。 たとえば、点 π/6 を考えてみましょう。 軸に対して反対側の点 でも分母に 6 があり、分子に 5 があります (1 少ない)。 つまり、この点の名前は 5π/6 です。 π/4 の反対側の点も、分母が 4、分子が 3 (4 より 1 小さい) です。つまり、点 3π/4 です。
π/3 の反対側の点も、分母が 3 で、分子が 1 少ない 2π/3 になります。

- 座標軸の中心を基準にすべてが逆です。反対側の点 (第 3 四半期) の分子の数値は、分母の値より 1 大きくなります。 もう一度点 π/6 を考えてみましょう。 中心を基準にして反対側の点も分母が 6 で、分子が 1 増えます。つまり 7π/6 です。
点 π/4 の反対側の点も分母に 4 があり、分子には 1 つ増えて 5π/4 になります。
点 π/3 の反対側の点も分母に 3 があり、分子には 1 つ増えて 4π/3 になります。

- 軸に対して バツ(第4四半期)問題はさらに複雑です。 ここでは、分母の値に 1 を引いた数値を加算する必要があります。この合計は、反対側の点の分子の数値部分と等しくなります。 もう一度π/6から始めましょう。 6 に等しい分母の値に、この数値より 1 少ない数値、つまり 5 を加えてみましょう。 6 + 5 = 11 が得られます。これは、軸の反対側であることを意味します。 バツ点の分母は 6、分子は 11、つまり 11π/6 になります。

点π/4。 分母の値に 1 少ない数値を追加します: 4 + 3 = 7。これは、それが軸の反対側であることを意味します。 バツこの点の分母は 4、分子は 7、つまり 7π/4 です。
点π/3。 分母は 3 です。3 に 1 小さい数、つまり 2 を加えます。結果は 5 になります。これは、その反対側の点の分子に 5 があることを意味し、これが点 5π/3 です。

3) 四半期の中間点のポイントの別のパターン。 分母が 4 であることは明らかです。分子に注目してみましょう。 第 1 四半期の中央の分子は 1π です (ただし、1 と書くのは習慣的ではありません)。 第 2 四半期の中央の分子は 3π です。 第 3 四半期の中央の分子は 5π です。 第 4 四半期半ばの分子は 7π です。 中間の 4 分の 1 の分子には、最初の 4 つの奇数が昇順で含まれていることがわかります。
(1)π、3π、5π、7π。
これも非常にシンプルです。 すべての四分の一の中点の分母は 4 なので、完全な名前はすでにわかっています: π/4、3π/4、5π/4、7π/4。

ナンバーサークルの特徴。 数直線との比較。

ご存知のとおり、数直線上では、各点が 1 つの数値に対応します。 たとえば、直線上の点 A が 3 に等しい場合、それは他の数値に等しくなります。

ナンバーサークルは円なので違います。 たとえば、円の点 A から点 M に到達するには、直線上にあるように (円弧を通過するだけ) こともできますし、円を一周してから点 M に到達することもできます。結論：

点 M がある数値 t に等しいとします。 ご存知のように、円の円周は 2π です。 これは、t または t + 2π という 2 つの方法で円 t 上に点を書くことができることを意味します。 これらは同等の値です。
つまり、t = t + 2πです。 唯一の違いは、最初のケースでは円を作らずにすぐに点 M に来ましたが、2 番目のケースでは円を描いたものの、結局同じ点 M に到達したということです。このようなものは 2 つ、3 つ、または 200 個作ることができます。サークル。 円の数を文字で表すと nそうすると、新しい式が得られます。
t = t + 2π n.

したがって、式は次のようになります。

市立学校法人中等教育学校第1校

KHMAO-ユグラ

授業展開

10年生で

代数と解析原理について

ナデジダ・ミハイロヴナ

数学の先生

ソヴェツキー

トピック: 三角法

三角関数

三角方程式

三角関数変換

数字の円がオン

座標平面

この科目はブロックモジュール技術を使用して教えられます。

このレッスンは、新しい教材を学習するためのレッスンの 1 つです。 したがって、レッスンの主な時間は新しい内容の学習に当てられ、生徒はこの作業のほとんどを自主的に行います。

授業中の生徒の活動の種類: 正面からの活動、独立した活動、個人的な活動。

授業では多くの作業を行う必要があり、生徒の活動の結果を監視する必要があるため、知識を更新したり、新しい内容を学習したりする段階でインタラクティブ ホワイトボードが使用されます。 座標平面上の数字の円のオーバーレイをより視覚的に表現したり、トレーニング セッションの最後に教材の内容を反映したりするために、Power Point プレゼンテーションも使用されます。

教育的

自主的に知識を習得することを学ぶ

育てる

落ち着き、責任感、勤勉さを養う

現像

分析、比較、類推の構築を学ぶ

レッスンプラン：

1) レッスン 2 の構成の瞬間、トピック、目的 分。

2) 知識のアップデート 4 分.

3) 新しい教材の学習 30 分.

4) 反省 3 分。

5) レッスン 1 のまとめ 分。

開催時間

ナンバーサークル

座標平面

座標平面上の数円を考えてみましょう。 一緒に 2 点の座標を見つけます。 次に、円の他の主要点の座標値のテーブルを個別にコンパイルします。

数円上の点の座標を見つける能力をテストします。

知識を更新する

9年生の幾何学コースでは次のことを学びました

材料：

単位半円 (R = 1) 上で、座標を持つ点 M を考えます。 バツそして で

幾何学の教科書からの抜粋

単位円上の点の座標を見つけることを学んだので、

簡単に他の名前であるサインとコサインに移りましょう。

メイントピックへ - 三角法

最初のタスクはインタラクティブ ホワイトボード上で与えられ、生徒はボード上で指でドラッグしてドットとそれに対応する数字を数字の円上の所定の位置に配置する必要があります。

演習 1

結果が得られました:

2 番目のタスクはインタラクティブ ボードで与えられます。 答えは「カーテン」で閉ざされており、解くごとに明らかになっていきます。

タスク 2

タスクの結果:

新しい教材の学習

座標系を作成し、その中心が一致し、円の水平方向の半径が OX 軸の正の方向と一致するように、その上に数字の円を置きましょう (パワーポイントのプレゼンテーション)

その結果、数円と座標平面の両方に属する点が得られます。 これらの点の 1 つ、たとえば点 M (Power Point プレゼンテーション) を考えてみましょう。

M(t)

この点の座標をプロットしてみましょう

分母 4、3、6 と分子 π を使用して、単位円上で注目する点の座標を見つけてみましょう。

数値に対応する単位円上の点の座標を見つけ、それに応じて角度を求めます。

タスク 3

(パワーポイントでのプレゼンテーション)

点の半径と座標を描いてみましょう

ピタゴラスの定理によれば、 バツ 2+× 2 = 12

ただし、三角形の角度は π/4 = 45°です。 , これは、三角形が二等辺であることを意味し、 x = y

数値（角度）に対応する単位円上の点の座標を求めます。

タスク 4

(パワーポイントでのプレゼンテーション)

手段 で= 1/2

ピタゴラスの定理によると

三角形は斜辺が等しい

鋭角、つまり足が等しいことを意味します

前回のレッスンでは、生徒は数字の円とさまざまな表が空白になったシートを受け取りました。

最初の表に記入します。

タスク5

(インタラクティブボード)

まず、2 と 4 の倍数である円の点を表に入力します。

結果の確認:

(インタラクティブボード)

点の座標として上記で取得した線分の長さを使用して、点がどの四半期に位置するかに応じて座標記号を考慮して、これらの点の縦座標と横座標を表に自分で入力します。

タスク6

生徒の 1 人が得られた結果に名前を付け、残りの生徒が答えを確認し、結果を正しく修正します (これらの表は、後の作業でスキルを開発し、トピックに関する知識を深めるために使用されるため)。正しく完成した表が に表示されます。インタラクティブボード。

結果の確認:

(インタラクティブボード)

2 番目の表に記入します。

タスク 7

(インタラクティブボード)

まず、3と6の倍数である円の点を表に入力します。

結果の確認:

(インタラクティブボード)

これらの点の縦座標と横座標を表に自分で記入します。

タスク8

結果の確認:

(インタラクティブボード)

(パワーポイントでのプレゼンテーション)

短い数学のディクテーションを行ってから、自制心を養いましょう。

1) 単位円の点の座標を求めます。

オプション 2

1 オプション

2) 単位円の点の横座標を求めます。

1) 単位円上の点の座標を求める

オプション 2

1 オプション

2) 単位円上の点の横座標を求めます。

自分自身で調べて

3) 単位円の点の座標を求めます。

自分自身では、完成した 4 つの例に「5」をマークできます。

3 つの例の場合は「4」、2 つの例の場合は「3」をマークします

レッスンをまとめると

1) 将来、点と角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を見つけるには、完成したテーブルから最初の四半期に属する点の座標の値を学習する必要があります。 さらに、最初の四半期の点の値を通じて他のすべての点の座標値を表現する方法を学びます。

2) テスト用の理論的な質問を準備します。

宿題：

レッスンの概要

授業に最も積極的に取り組んだ生徒に成績が与えられます。 間違いはレッスン中にすぐに修正されるため、生徒全員の作業は採点されません。 ディクテーションは自己管理のために行われたものであり、評価するには量が不十分です。

解析幾何学は、幾何学的問題を解決するための統一された手法を提供します。 これを行うために、指定された求められるすべての点と線が 1 つの座標系に割り当てられます。

座標系では、各点はその座標によって特徴付けられ、各線は 2 つの未知数を含む方程式によって特徴付けられ、その線がグラフになります。 したがって、幾何学的な問題は代数的な問題に帰着し、すべての計算方法が十分に開発されています。

円は、1 つの特定の特性を持つ点の幾何学的軌跡です (円上の各点は、中心と呼ばれる 1 つの点から等距離にあります)。 円の方程式はこの性質を反映し、この条件を満たさなければなりません。

円の方程式の幾何学的解釈は円の直線です。

座標系に円を配置すると、円上のすべての点が 1 つの条件を満たします。つまり、それらの点から円の中心までの距離が円と同じで等しい必要があります。

点を中心とする円 あ と半径 R それを座標平面に配置します。

中心座標の場合 (a;b) 、および円上の任意の点の座標 (x;y) の場合、円の方程式は次の形式になります。

円の半径の二乗が、円上の任意の点の対応する座標とその中心の差の二乗の和に等しい場合、この方程式は平面座標系における円の方程式となります。

円の中心が原点と一致する場合、円の半径の二乗は、円上の任意の点の座標の二乗の合計に等しくなります。 この場合、円の方程式は次の形式になります。

円の方程式の問題の解き方例

タスク。 与えられた円の方程式を書く

解決.
円の方程式の公式に戻ってみましょう。
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

数値を式に代入してみましょう。
円の半径 R = 4
円の中心の座標（条件による）
a = 2
b = -3

我々が得る：
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
または
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16。

タスク。 点は円の方程式に属しますか?

解決.
点が円に属している場合、その座標は円の方程式を満たします。
指定された座標を持つ点が円に属するかどうかを確認するには、指定された円の方程式に点の座標を代入します。

方程式 ( バツ - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
条件に従って、点 A(2;3) の座標を代入してみましょう。
x = 2
y=3

結果の等価性が真であるかどうかを確認してみましょう
(バツ - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 等価は偽です

したがって、与えられたポイントは 所属していない与えられた円の方程式。

プレゼンテーションのプレビューを使用するには、Google アカウントを作成してログインします: https://accounts.google.com

スライドのキャプション:

座標平面内の番号円

繰り返します: 単位円は半径 1 の数円です。 R=1 C=2 π + - y x

数字円の点 M が数字 t に対応する場合、それは t+2 π k という形式の数字にも対応します。ここで、k は任意の整数 (k ϵ Z) です。 M(t) = M(t+2 π k)、ここで k ϵ Z

基本レイアウト 第 1 レイアウト 0 π y x 第 2 レイアウト y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (-1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

この点に対応する点Mの座標を求めてみましょう。 1) 2) xy M P 45° O A

最初のレイアウトの主要点の座標 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A 点に対応する点 M の座標を求めましょう。 1) 2) 30°

M P 点に対応する点 M の座標を求めましょう。 1) 2) 30° x y O A B

対称性の性質を使用して、y x の倍数である点の座標を見つけます。

2 番目のレイアウトの主要点の座標 x y x y y x

例 数値円上の点の座標を求めます。 解決策: P y x

例 数値円上の縦座標をもつ点を求める 解法: y x x y x y

演習: 数字円上の点の座標を見つけます: a) 、 b) 。 数円上で横軸を持つ点を求めます。

主要点の座標 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 最初のレイアウトの主要点の座標 x y x y 主要なレイアウトの座標セカンドレイアウトのポイント

トピックについて: 方法論の開発、プレゼンテーション、メモ

10年生（プロフィールレベル）の代数と解析の初歩に関する教材「座標平面上の数円」

オプション 1.1. 数円上の点を見つけます: A) -2∏/3B) 72. 数円のどの 4 分の 1 が指すのかを見つけます。

ユニット番号の円を座標平面上に配置すると、その点の座標を見つけることができます。 数字の円は、その中心が平面の原点、つまり点 O (0; 0) と一致するように配置されます。

通常、ユニット番号の円上に、円の原点に対応する点がマークされます。

• 4 分の 1 - 0 または 2π、π/2、π、(2π)/3、
• 中間の 4 分の 1 - π/4、(3π)/4、(5π)/4、(7π)/4、
• 4 分の 3 - π/6、π/3、(2π)/3、(5π)/6、(7π)/6、(4π)/3、(5π)/3、(11π)/6。

単位円の上記の位置を含む座標平面上で、円のこれらの点に対応する座標を見つけることができます。

区画の端の座標は非常に簡単に見つけられます。 円の点 0 では、x 座標は 1、y 座標は 0 です。これは、A (0) = A (1; 0) と表すことができます。

第 1 四半期の終わりは、y 軸の正の位置に位置します。 したがって、B (π/2) = B (0; 1) となります。

第 2 四半期の終わりは負の半軸上にあります: C (π) = C (-1; 0)。

第 3 四半期の終わり: D ((2π)/3) = D (0; -1)。

しかし、各区画の中間点の座標を見つけるにはどうすればよいでしょうか? これを行うには、直角三角形を作成します。 その斜辺は、円の中心 (または原点) から 4 分の 1 円の中点までの線分です。 これは円の半径です。 単位円があるため、斜辺は 1 に等しくなります。次に、円上の点から任意の軸に垂線を引きます。 それをx軸に向けてみましょう。 結果は直角三角形で、その脚の長さは円上の点の x 座標と y 座標になります。

四分円は90度です。 そして 4 分の 1 は 45 度です。 斜辺は四分円の中点に描かれているため、斜辺と原点から伸びる脚との間の角度は 45 度です。 しかし、三角形の角度の合計は 180 度になります。 したがって、斜辺ともう一方の脚の間の角度も 45 度のままになります。 これにより、直角二等辺三角形が得られます。

ピタゴラスの定理から、方程式 x 2 + y 2 = 1 2 が得られます。 x = y および 1 2 = 1 であるため、方程式は x 2 + x 2 = 1 に単純化されます。これを解くと、x = √1/2 = 1/√2 = √2/2 が得られます。

したがって、点の座標 M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) となります。

他の四分の一の中点の座標では、直角三角形がひっくり返るだけであるため、符号のみが変化し、値のモジュールは同じままです。 我々が得る：
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

円の 4 分の 3 の部分の座標を決定すると、直角三角形も作成されます。 点 π/6 を取り、x 軸に垂線を引くと、斜辺と x 軸上にある脚の間の角度は 30 度になります。 30°の角度の反対側にある脚は斜辺の半分に等しいことが知られています。 これは、1/2 に等しい y 座標が見つかったことを意味します。

斜辺と一方の脚の長さがわかったら、ピタゴラスの定理を使用してもう一方の脚を求めます。
× 2 + (1/2) 2 = 1 2
x 2 = 1 - 1/4 = 3/4
x = √3/2

したがって、T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; 1/2) となります。

最初の 4 分の 1 の 2 番目の 3 分の 1 の点 (π/3) については、y 軸に対する垂線を引くとよいでしょう。 すると原点の角度も30度になります。 ここで、x 座標は 1/2、y はそれぞれ √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (1/2; √3/2) となります。

第 3 四半期の他の点については、座標値の符号と順序が変わります。 x 軸に近いすべての点は、√3/2 に等しい係数 x 座標値を持ちます。 y 軸に近い点は、√3/2 に等しい係数 y 値を持ちます。
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-1/2; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; 1/2)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -1/2)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-1/2; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (1/2; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -1/2)