このようなベクトル空間に対応します。この記事では、最初の定義を開始点として取り上げます。

N (\表示スタイル n)-次元ユークリッド空間は通常、次のように表されます。 E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); この表記は、空間が自然なユークリッド構造を備えていることが文脈から明らかな場合にもよく使用されます。

正式な定義

ユークリッド空間を定義する最も簡単な方法は、スカラー積を主概念として取ることです。ユークリッドベクトル空間は、実数フィールド上の有限次元ベクトル空間として定義され、そのベクトルのペア上で実数値関数が指定されます。 (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)次の 3 つのプロパティがあります。

ユークリッド空間 - 座標空間の例 R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)可能なすべての実数セットで構成される (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)次の式で決定されるスカラー積 (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n 。 (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n)。)

長さと角度

ユークリッド空間上で定義されるスカラー積は、長さと角度の幾何学的概念を導入するのに十分です。ベクトルの長さ u (\displaystyle u)として定義される (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))そして指定されている | あなた | 。 (\displaystyle |u|.)スカラー積の正定性により、非ゼロベクトルの長さが非ゼロであることが保証され、双線形性から次のことがわかります。 | う | = | | | あなた | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)つまり、比例ベクトルの長さは比例します。

ベクトル間の角度 u (\displaystyle u)そして v (\displaystyle v)式によって決定される φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) 。 (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)。コサイン定理から、2 次元ユークリッド空間 ( ユークリッド平面) この角度の定義は通常の角度の定義と一致します。直交ベクトルは、3 次元空間と同様に、間の角度が次の値に等しいベクトルとして定義できます。 π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2))。

コーシー・ブニャコフスキー・シュワルツ不等式と三角不等式

上記の角度の定義にはギャップが 1 つ残っています。 arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))が定義されている場合、不等式が成り立つ必要があります。 | (x, y) | × | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)この不等式は任意のユークリッド空間で成立し、コーシー-ブニャコフスキー-シュワルツの不等式と呼ばれます。この不等式から、次の三角不等式が導かれます。 | u + v | ⩽ | あなた | + | v | 。 (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|)三角不等式は、上記の長さのプロパティとともに、ベクトルの長さがユークリッドベクトル空間上のノルムであり、関数が d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)ユークリッド空間上の計量空間の構造を定義します（この関数をユークリッド計量と呼びます）。特に要素（点）間の距離 x (\表示スタイル x)そして y (\表示スタイル y)座標空間 R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))は次の式で与えられます d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 。 (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2)))。

代数的性質

正規直交基底

共役空間と演算子

任意のベクトル x (\表示スタイル x)ユークリッド空間は線形関数を定義します x ∗ (\displaystyle x^(*))この空間上で、次のように定義されます x ∗ (y) = (x , y) 。 (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y)。)この比較は、ユークリッド空間とその双対空間の間の同型写像であり、計算を損なうことなくそれらを識別できるようになります。特に、共役演算子は双対ではなく元の空間に作用すると考えることができ、自己随伴演算子はその共役と一致する演算子として定義できます。正規直交基底では、随伴演算子の行列は元の演算子の行列に転置され、自己随伴演算子の行列は対称になります。

ユークリッド空間の運動

ユークリッド空間の動きは、計量保存変換 (アイソメトリとも呼ばれます) です。モーション例 - ベクトルへの平行移動 v (\displaystyle v)、要点を翻訳します p (\displaystyle p)その通り p + v (\displaystyle p+v)。どのような動きも、一点を固定した平行移動と変形の合成であることがよくわかります。座標の原点として固定点を選択すると、そのような動きは次のように考えることができます。

4.3.1 線形空間の定義

させて ā , , - あるセットの要素 ā , , 土地 λ , μ - 実数、 λ , μ R..

集合 L は次のように呼ばれます線形 またはベクトル空間、 2 つの操作が定義されている場合:

1 0 . 追加。 このセットの要素の各ペアは、それらの合計と呼ばれる同じセットの要素に関連付けられます。

ā + =

2°。数値を乗算します。 任意の実数 λ と要素 ā L同じセットの要素と一致します λ ā Lそして次の特性が満たされます。

1.a+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. 存在する ゼロ要素
、そのような ā +=ā ;

4.存在する 反対側の要素 -
そのような ā +(-ā )=.

もし λ , μ - 実数の場合:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

線形空間の要素 ā、 , ... をベクトルといいます。

エクササイズ。これらの集合が線形空間を形成していることを示してください。

1) 平面上の幾何学的ベクトルの集合。

2) 3 次元空間内の多くの幾何学的ベクトル。

3) ある程度の多項式のセット。

4) 同じ次元の行列のセット。

4.3.2 線形依存ベクトルと独立ベクトル。空間の次元と基底

線形結合 ベクトル ā 1 , ā 2 , …, ā n Lは次の形式の同じ空間のベクトルと呼ばれます。

どこ λ 私は実数です。

ベクトル ā 1 , .. , ā n 呼ばれます線形に独立しており、 それらの線形結合がゼロベクトルである場合、すべての λ がその場合に限ります私 ゼロに等しい、あれは

λ i =0

線形結合がゼロベクトルであり、次の少なくとも 1 つである場合、 λ 私がゼロではない場合、これらのベクトルは線形依存と呼ばれます。後者は、ベクトルの少なくとも 1 つが他のベクトルの線形結合として表現できることを意味します。確かに、たとえば次のような場合でも、
。それから、
、どこ

.

最大限に線形に独立した順序付けされたベクトル系をと呼びます。基礎空間 L。基底ベクトルの数は次のように呼ばれます。寸法空間。

あると仮定しましょう n線形独立ベクトルの場合、その空間は次のように呼ばれます。 n-次元。他の空間ベクトルは線形結合として表現できます。 n基底ベクトル。ベースごと n- 次元空間が取れる どれでも nこの空間の線形独立ベクトル。

例17。これらの線形空間の基底と次元を求めます。

a) 直線上にあるベクトルのセット (ある直線と同一直線上にある)

b) 平面に属するベクトルのセット

c) 3次元空間のベクトルの集合

d) 2 次以下の多項式のセット。

解決。

A)直線上にある 2 つのベクトルは同一線上にあるため、線形従属になります。
、それ
, λ - スカラー。したがって、与えられた空間の基底は、ゼロとは異なる 1 つの (任意の) ベクトルだけです。

通常、このスペースは指定されます R、その次元は 1 です。

b)任意の 2 つの非共線ベクトル
は線形独立であり、平面上の任意の 3 つのベクトルは線形独立です。あらゆるベクトルに対して、数字があります  そして  そのような
。この空間は 2 次元と呼ばれ、次のように表されます。 R 2 .

2 次元空間の基礎は、任意の 2 つの非共線ベクトルによって形成されます。

V) 3 つの非共面ベクトルは線形に独立しており、3 次元空間の基礎を形成します。 R 3 .

G) 2 次以下の多項式空間の基礎として、次の 3 つのベクトルを選択できます。 ē 1 = バツ 2 ; ē 2 = バツ; ē 3 =1 .

(1 は 1 に等しい多項式です)。この空間は三次元になります。

線形(ベクトル)空間はベクトルと呼ばれる任意の要素の集合 V であり、ベクトルの加算とベクトルの数値の乗算の演算が定義されています。任意の 2 つのベクトル \mathbf(u) と (\mathbf(v)) にはベクトルが割り当てられます。 \mathbf(u)+\mathbf(v)ベクトル \mathbf(u) と (\mathbf(v)) の和と呼ばれる、任意のベクトル (\mathbf(v)) と実数体 \mathbb(R) の任意の数値 \lambda がベクトルに関連付けられます。 \lambda\mathbf(v)、ベクトル \mathbf(v) と数値 \lambda の積と呼ばれます。したがって、次の条件が満たされます。

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(加算の可換性);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(加算の結合性);
3. V にはゼロベクトルと呼ばれる要素 \mathbf(o)\ があります。 \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. 各ベクトル (\mathbf(v)) に対して、次のようなベクトル \mathbf(v) の逆と呼ばれるベクトルがあります。 \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ \mathbb(R) で;
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

条件 1 ～ 8 が呼び出されます。線形空間の公理。ベクトル間に置かれた等号は、等号の左側と右側が集合 V の同じ要素を表すことを意味し、そのようなベクトルは等しいと呼ばれます。

線形空間の定義では、ベクトルと数値を乗算する演算が実数に対して導入されます。このような空間をこう呼ぶ実数体上の線形空間、または、要するに、実線形空間。定義内で、実数のフィールド \mathbb(R) の代わりに、複素数のフィールド \mathbb(C) を使用すると、次のようになります。複素数体上の線形空間、または、要するに、複雑な線形空間。数値体として、有理数体 \mathbb(Q) を選択することもできます。この場合、有理数体上の線形空間が得られます。以下では、特に明記しない限り、実際の線形空間を考慮します。以下で説明するすべての空間は線形であるため、場合によっては、簡潔にするために線形という言葉を省略して空間について説明します。

注8.1

1. 公理 1 ～ 4 は、線形空間が加算演算に関して可換群であることを示しています。

2. 公理 5 および 6 は、ベクトルを加算する演算 (公理 5) または数値を加算する演算 (公理 6) に関連して、ベクトルに数値を乗算する演算の分配性を決定します。公理 7 は、数値と乗算の結合の法則と呼ばれることもありますが、ベクトルと数値の乗算と数値の乗算という 2 つの異なる演算間の関係を表します。公理 8 で定義される性質は、ベクトルと数値を乗算する演算のユニタリティーと呼ばれます。

3. 線形空間は必ずゼロベクトルを含むため、空ではない集合です。

4. ベクトルを加算したり、ベクトルに数値を乗算したりする演算は、ベクトルに対する線形演算と呼ばれます。

5. ベクトル \mathbf(u) と \mathbf(v) の差は、ベクトル \mathbf(u) と反対のベクトル (-\mathbf(v)) の合計であり、次のように表されます。 \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. 次のような数 \lambda がある場合、2 つの非ゼロベクトル \mathbf(u) と \mathbf(v) は共線的 (比例) と呼ばれます。 \mathbf(v)=\ラムダ \mathbf(u)。共線性の概念は、任意の有限数のベクトルに拡張されます。ゼロベクトル \mathbf(o) は、任意のベクトルと同一線上にあるとみなされます。

線形空間公理の系譜

1. 線形空間にはゼロベクトルが 1 つだけあります。

2. 線形空間では、V の任意のベクトル \mathbf(v)\ に対して、一意の反対ベクトルが存在します。 (-\mathbf(v))\in V.

3. 任意の空間ベクトルと数値ゼロの積は、ゼロベクトルに等しい。 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. ゼロベクトルと任意の数値の積は、ゼロベクトル、つまり任意の数値 \lambda と等しくなります。

5. 与えられたベクトルの反対側のベクトルは、このベクトルと数値 (-1) の積に等しくなります。 (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. 形式の表現において \mathbf(a+b+\ldots+z)(有限数のベクトルの合計) または \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(ベクトルと有限数の因子の積) 括弧は任意の順序で配置することも、まったく指定しないこともできます。

たとえば、最初の 2 つの性質を証明してみましょう。ゼロベクトルの一意性。 \mathbf(o) と \mathbf(o)" が 2 つのゼロベクトルの場合、公理 3 により、2 つの等式が得られます。 \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"または \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o)、公理 1 によれば、その左辺は等しい。したがって、右辺も等しい。つまり、 \mathbf(o)=\mathbf(o)"。逆のベクトルのユニークさ。ベクトル \mathbf(v)\in V に 2 つの反対のベクトル (-\mathbf(v)) と (-\mathbf(v))" がある場合、公理 2、3、4 によってそれらの等価性が得られます。

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v))。

残りの特性も同様の方法で証明されます。

線形空間の例

1. \(\mathbf(o)\) - 1 つのゼロベクトルを含む集合を次の演算で表します。 \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)そして \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o)。示された操作では、公理 1 ～ 8 が満たされます。したがって、集合 \(\mathbf(o)\) は、任意の数値フィールド上の線形空間になります。この線形空間をヌルと呼びます。

2. V_1、\、V_2、\、V_3 とします。ベクトルの加算とベクトルの数値の乗算という通常の演算を使用して、それぞれ直線上、平面上、空間上のベクトルのセット (有向線分) を表します。線形空間の公理 1 ～ 8 は初等幾何学の過程で成り立ちます。したがって、集合 V_1、\、V_2、\、V_3 は実線形空間になります。自由ベクトルの代わりに、対応する動径ベクトルのセットを考慮することができます。たとえば、共通の原点を持つ平面上のベクトルのセット、つまり平面の 1 つの固定点からプロットされるのは、実際の線形空間です。単位長さの動径ベクトルの集合は、線形空間を形成しません。なぜなら、これらのベクトルのいずれについても、合計が \mathbf(v)+\mathbf(v)は検討中のセットに属しません。

3. \mathbb(R)^n - 行列の加算と行列の数値の乗算を行う、サイズ n\times1 の行列列のセットを表します。このセットでは、線形空間の公理 1 ～ 8 が満たされます。このセットのゼロベクトルはゼロ列です o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T。したがって、集合 \mathbb(R)^n は実線形空間になります。同様に、複素要素を含むサイズ n\times1 の \mathbb(C)^n 列のセットは複素線形空間です。逆に、非負の実数要素を持つ列行列のセットは、反対のベクトルを含まないため、線形空間ではありません。

4. \(Ax=o\) - 未知数を含む線形代数方程式の均質系 Ax=o の解の集合 (A は系の実数行列) を表します。行列の加算と行列の数値の乗算により、サイズは n\times1 になります。これらの演算は実際にはセット \(Ax=o\) に対して定義されていることに注意してください。均質系に対する解の性質 1 (セクション 5.5 を参照) から、均質系の 2 つの解の和とその解の数の積も均質系の解であることがわかります。集合 \(Ax=o\) に属します。列の線形空間の公理が満たされています (線形空間の例のポイント 3 を参照)。したがって、均質系の解の集合は実線形空間です。

逆に、不均質系 Ax=b,~b\ne o の解の集合 \(Ax=b\) は、ゼロ要素を含まないという理由だけで線形空間ではありません (x=o は不均一系の解決策ではありません)。

5. M_(m\times n) - 行列の加算と行列の数値の乗算を伴うサイズ m\times n の行列のセットを表します。このセットでは、線形空間の公理 1 ～ 8 が満たされます。ゼロベクトルは、適切なサイズのゼロ行列 O です。したがって、集合 M_(m\times n) は線形空間です。

6. P(\mathbb(C)) - 複素係数を持つ 1 つの変数の多項式のセットを表します。多くの項を加算し、多項式に 0 次の多項式とみなされる数値を乗算する演算が定義されており、公理 1 ～ 8 を満たします (特に、ゼロベクトルは全くゼロに等しい多項式です)。したがって、集合 P(\mathbb(C)) は複素数体上の線形空間です。実数係数を持つ多項式の集合 P(\mathbb(R)) も線形空間です (ただし、もちろん実数体上にあります)。実係数を持つ最大 n 次の多項式の集合 P_n(\mathbb(R)) も実線形空間です。多項式の和の次数が項の次数を超えないため、多くの項の加算演算がこのセットで定義されていることに注意してください。

次数 n の多項式の集合は、そのような多項式の和が問題の集合に属さないより低い次数の多項式になる可能性があるため、線形空間ではありません。正の係数を持つ次数が n 以下のすべての多項式の集合も線形空間ではありません。これは、そのような多項式に負の数を乗算すると、この集合に属さない多項式が生成されるためです。

7. C(\mathbb(R)) - \mathbb(R) 上で定義され連続する実関数のセットを表します。関数 f,g の和 (f+g)、関数 f と実数 \lambda の積 \lambda f は、次の等式で定義されます。

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\mathbb(R) のすべての x\

連続関数の和、および連続関数と数値の積は連続関数であるため、これらの演算は実際に C(\mathbb(R)) で定義されます。 C(\mathbb(R)) の要素。線形空間の公理が成り立つかどうかを確認してみましょう。実数の加算は可換であるため、次の等式が成り立ちます。 f(x)+g(x)=g(x)+f(x)任意の x\in \mathbb(R) に対して。したがって、f+g=g+f、つまり公理 1 は満たされます。公理 2 も同様に加算の結合性から導かれます。ゼロベクトルは関数 o(x) であり、全くゼロに等しく、もちろん連続です。任意の関数 f に対して、等式 f(x)+o(x)=f(x) が成り立ちます。つまり、公理 3 は真です。ベクトル f の反対のベクトルは関数 (-f)(x)=-f(x) になります。このとき、f+(-f)=o (公理 4 が成り立ちます)。公理 5、6 は実数の加算と乗算の演算の分配性から、公理 7 は数値の乗算の結合性から得られます。 1 を乗算しても関数は変わらないため、最後の公理は満たされます: 1\cdot f(x)=f(x) for any x\in \mathbb(R)、つまり 1\cdot f=f 。したがって、導入された演算を含む考慮された集合 C(\mathbb(R)) は実線形空間です。同様に、次のことが証明されます C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- 1 番目、2 番目などの連続導関数を持つ関数のセット。次数もそれぞれ線形空間です。

三角関数の二項式 (多くの場合 \omega\ne0 ) のセットを実係数で表しましょう。フォームの多くの機能 f(t)=a\sin\オメガt+b\cos\オメガt、どこ a\in \mathbb(R)、~b\in \mathbb(R)。このような二項式の合計、および二項式と実数の積が三角二項式です。考慮中の集合の線形空間公理は満たされています (なぜなら、 T_(\omega)(\mathbb(R))\サブセット C(\mathbb(R))）。したがって、多くの T_(\オメガ)(\mathbb(R))関数の加算と数値による乗算の通常の演算を使用すると、それは実線形空間になります。ゼロ要素は二項式です o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t、同様にゼロに等しい。

\mathbb(R) 上で定義され単調な実関数のセットは、2 つの単調関数の差が非単調関数になる可能性があるため、線形空間ではありません。

8. \mathbb(R)^X - 集合 X に対して次の演算で定義された実関数の集合を表します。

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

これは実線形空間です (証明は前の例と同じです)。この場合、集合 X は任意に選択できます。特に、 X=\(1,2,\ldots,n\)の場合、f(X) は順序付けられた数値のセットになります。 f_1、f_2、\ldots、f_n、どこ f_i=f(i),~i=1,\ldots,nこのようなセットは、次元 n\times1 の行列列と考えることができます。たくさんの \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))集合 \mathbb(R)^n と一致します (線形空間の例についてはポイント 3 を参照)。 X=\mathbb(N) の場合 (\mathbb(N) は自然数の集合であることを思い出してください)、線形空間が得られます。 \mathbb(R)^(\mathbb(N))- 多くの数列 \(f(i)\)_(i=1)^(\infty)。特に、2 つの収束数列の和は収束し、収束数列のすべての項に数値を乗算すると収束数列が得られるため、収束数列の集合も線形空間を形成します。対照的に、発散シーケンスのセットは線形空間ではありません。これは、たとえば、発散シーケンスの合計には制限がある可能性があるためです。

9. \mathbb(R)^(+) - 和 a\oplus b と積 \lambda\ast a が成り立つ正の実数の集合 (この例の表記は通常のものと異なります) と表します。等式によって定義されます。 a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda)つまり、要素の合計は数値の積として理解され、要素と数値の乗算はべき乗として理解されます。正の数の積は正の数であり、正の数の実累乗も正の数であるため、どちらの演算も実際には集合 \mathbb(R)^(+) で定義されます。公理の妥当性を確認してみましょう。平等

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

公理 1 と 2 が満たされることを示します。このセットのゼロベクトルは 1 です。 a\oplus1=a\cdot1=a、つまり o=1 。 a の反対のベクトルはベクトル \frac(1)(a) で、これは a\ne o 以来定義されています。確かに、 a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o。公理 5、6、7、8 が成り立つかどうかを確認してみましょう。

\begin(gathered) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(集めた)

すべての公理が満たされます。したがって、考慮中の集合は実線形空間です。

10. V を実線形空間とする。 V 上で定義された線形スカラー関数のセットを考えてみましょう。機能 f\colon V\to \mathbb(R)、実数値を取得し、条件を満たします。

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(相加性);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)（均一性）。

線形関数の線形演算は、線形空間の例の段落 8 と同じ方法で指定されます。和 f+g と積 \lambda\cdot f は次の等式で定義されます。

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ V では、~ \forall \lambda\in \mathbb(R)。

線形空間公理が成り立つことは、段落 8 と同様に確認されます。したがって、線形空間 V 上に定義された一次関数の集合は線形空間です。この空間は空間 V との共役と呼ばれ、 V^(\ast) で表されます。その要素はコベクターと呼ばれます。

たとえば、ベクトル引数のスカラー関数のセットとみなされる、n 個の変数の線形形式のセットは、空間 \mathbb(R)^n に共役な線形空間です。

第 8 章線形空間 § 1. 線形空間の定義

学校幾何学で知られるベクトルの概念を一般化して、n 次元幾何学を構築できる代数構造 (線形空間) を定義します。その特殊なケースは解析幾何学です。

定義 1. 集合 L=(a,b,c,…) とフィールド P=( ,…) が与えられる。加算の代数演算を L で定義し、L の要素と体 P の要素の乗算を定義するとします。

集合 L は次のように呼ばれますフィールド P 上の線形空間、次の要件が満たされる場合 (線形空間の公理):

1. L 加算に関して可換基。

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α、β P、a L;

5. a L 次の等式が真です: 1 a=a (1 はフィールド P の単位です)。

線形空間 L の要素はベクトルと呼ばれ (これらはラテン文字 a、b、c、... で表されることにもう一度注意します)、体 P の要素は数字と呼ばれます (これらを数字で表します)。ギリシャ文字αで表すと、

注 1. 「幾何学的」ベクトルのよく知られた性質が線形空間の公理として解釈されることがわかります。

注 2. 一部の有名な代数教科書では、数値とベクトルに異なる表記が使用されています。

線形空間の基本的な例

1. R 1 は、ある線上のすべてのベクトルの集合です。

で以下では、そのようなベクトルをベクトルと呼びますセグメントベクトル直線上にあります。 R を P とすると、明らかに R1 は体 R 上の線形空間です。

2. R 2 、R3 – 平面上および 3 次元空間上のセグメントベクトル。 R2 と R3 が R 上の線形空間であることが簡単にわかります。

3. P を任意のフィールドとする。集合 P を考えます(n) フィールド P の n 要素のすべての順序付きセット:

P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P、i=1,2,..,n 。

集合 a=(α1,α2,…,αn) を n 次元と呼びます行ベクトル。番号はコンポーネントと呼ばれます

ベクトルa。

P(n) からのベクトルについては、幾何学と同様に、任意の (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) と (β1 ,β2 ,..) を仮定して、数値による加算と乗算の演算を自然に導入します。 .,βn ) P(n) :

(α1 ,α2 ,...,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ),
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) R.

行ベクトルの加算の定義から、それがコンポーネントごとに実行されることは明らかです。 P(n) が P 上の線形空間であることを確認するのは簡単です。

ベクトル 0=(0,…,0) はゼロベクトル (a+0=a a P(n)) であり、ベクトル -a=(-α1,-α2,…,-αn) は a の逆です (なぜなら、 .a+(-a)=0)。

線形空間P(n) は、行ベクトルの n 次元空間、または n 次元算術空間と呼ばれます。

注意 3. 場合によっては、列ベクトルの n 次元算術空間を P(n) で表すこともあります。これは、ベクトルの書き方が P(n) と異なるだけです。

4. 集合 M を考えます n (P) は、フィールド P の要素を含む n 次のすべての行列です。これは P 上の線形空間であり、ゼロ行列はすべての要素がゼロである行列です。

5. フィールド P からの係数を持つ変数 x 内のすべての多項式の集合 P[x] を考えてみましょう。P[x] が P 上の線形空間であることを検証するのは簡単です。それを次のように呼びましょう。多項式の空間。

6. P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) を次数 n 以下のすべての多項式の集合とし、

0. フィールド P 上の線形空間です。 n [x] を呼び出します最大 n 次の多項式の空間.

7. 同じ定義域を持つ実数変数のすべての関数の集合を Ф で表しましょう。この場合、Ф は R 上の線形空間です。

でこの空間では、他の線形空間、たとえば、一次関数、微分可能関数、連続関数などの空間を見つけることができます。

8. すべてのフィールドはそれ自体の上の線形空間です。

線形空間の公理からのいくつかの帰結

系 1. L を体 P 上の線形空間とします。L にはゼロ要素 0 と L (-а) L が含まれます (L は加法群であるため)。

で以下では、体 P のゼロ要素と線形空間 L を同じように表すことにします。

0. 通常、これによって混乱が生じることはありません。

系 2. 0 a=0 a L (左側が 0 P、右側が 0 L)。

証拠。 α a について考えてみましょう。ここで、α は P からの任意の数です。α a=(α+0)a=α a+0 a となり、0 a= α a +(-α a)=0 となります。

系 3. α 0=0 α P.

証拠。 α a=α(a+0)=α a+α 0 を考えてみましょう。したがって、α 0=0 です。系 4. α=0 または a=0 のいずれかの場合に限り、α a=0。

証拠。適切性系2と系3で証明される.

必要性を証明しましょう。 α a=0 とする (2)。 α 0 と仮定します。次に、α P であるため、α-1 P が存在します。(2) に α-1 を掛けると、次が得られます。

α-1 (α a)=α-1 0。系 2 より、α-1 0=0、つまり α－１（αａ）＝０。 (3)

一方、線形空間の公理 2 と 5 を使用すると、α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a となります。

(3) と (4) から、a=0 となります。調査により証明されました。

以下の記述を証拠なしで提示します（それらの正当性は容易に検証されます）。

系 5. (-α) a=-α a α P, a L. 系 6. α (-a)=-α a α P, a L. 系 7. α (a–b)=α a–α b α P、a、b L。

§ 2. ベクトルの線形依存性

L をフィールド P 上の線形空間とし、a1 ,a2 ,…as (1) を L からのベクトルの有限セットとします。

集合 a1 、a2 、…as をベクトル系と呼びます。

b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs as , (αi P) の場合、ベクトル b は直線的に表現されるシステム (1) を介して、または線形結合システム (1) のベクトル。

解析幾何学の場合と同様、線形空間ではベクトルの線形依存系と線形独立系の概念を導入できます。これを 2 つの方法でやってみましょう。

定義 I. s 2 のベクトルの有限系 (1) は次のように呼ばれます。線形依存性、そのベクトルの少なくとも 1 つが他のベクトルの線形結合である場合。それ以外の場合 (つまり、どのベクトルも他のベクトルの線形結合ではない場合)、それは呼び出されます。線形的に独立しています。

定義 II. ベクトルの有限系 (1) は次のように呼ばれます。線形依存性、数値のセット α1 、α2 、…、αs 、αi P があり、その少なくとも 1 つが 0 に等しくない場合 (このようなセットを非ゼロと呼びます)、等式が成り立ちます: α1 a1 +…+ αs は =0 (2) となります。

定義 II から、線形独立システムのいくつかの同等の定義を取得できます。

定義2.

a) システム (1) 線形独立, (2) から、α1 =…=αs =0 となります。

b) システム(1) 線形独立、式 (2) がすべての αi =0 (i=1,…,s) についてのみ満たされる場合。

c) システム (1) 線形独立、この系のベクトルの非自明な線形結合が 0 以外の場合、つまり β1 , …,βs がゼロ以外の数値のセットである場合、β1 a1 +…βs は 0 となります。

定理 1. s 2 については、線形依存性 I と II の定義は同等です。

証拠。

I) (1) が定義 I により線形従属であるとします。すると、一般性を失うことなく、 =α1 a1 +…+αs-1 as-1 と仮定できます。この等式の両辺にベクトル (-as) を追加しましょう。我々が得る：

0= α1 a1 +…+αs-1 as-1 +(-1) as (3) (系 5 より)

(-as ) =(-1) as )。式 (3) では、係数 (-1) は 0 であるため、システム (1) は線形依存しており、定義により

II) システム (1) が定義 II によって線形依存するとします。すなわち、 (2) を満たす非ゼロの集合 α1 ,…,αs があります。一般性を失うことなく、αs が 0 であると仮定できます。(2) では、両側に (-αs as) を追加します。我々が得る：

α1 a1 +α2 a2 +…+αs as - αs as = -αs as 、したがって α1 a1 +…+αs-1 as-1 = -αs as です。

なぜなら αs 0 の場合、αs -1 P があります。式 (4) の両辺に (-αs -1 ) を掛けて、線形空間の公理をいくつか使用してみましょう。我々が得る：

(-αs -1 ) (-αs as )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 )、次のようになります: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 as-1 =as。

表記 β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 を導入しましょう。次に、上記で得られた等価性は次のように書き換えられます。

as = β1 a1 +…+ βs-1 as-1 。

s 2 以降、右側には少なくとも 1 つのベクトル ai が存在します。システム (1) は定義 I によって線形に依存することがわかりました。

定理は証明されました。

定理 1 により、必要に応じて、s 2 に対して上記の線形依存性の定義のいずれかを適用できます。

注 1. システムが 1 つのベクトル a1 のみで構成されている場合、その定義のみがそれに適用されます。

a1 =0 とします。その場合、1a1 =0となります。なぜなら 1 0 の場合、a1 =0 は線形依存システムです。

a1 0 とします。この場合、任意の α1 0 に対して、α1 a1 ≠0 となります。これは、非ゼロベクトル a1 が線形独立であることを意味します。

ベクトルシステムの線形依存性とそのサブシステムの間には重要な関係があります。

定理 2. ベクトルの有限系の一部のサブシステム (つまり、一部) が線形依存する場合、系全体は線形依存します。

この定理の証明は自分で行うのは難しくありません。これは代数学や解析幾何学の教科書に載っています。

結果 1. 線形独立システムのすべてのサブシステムは線形独立です。定理 2 の矛盾により得られます。

注釈 2. 線形依存システムが線形にサブシステムを持つことができることは簡単にわかります。

系 2. システムに 0 または 2 つの比例 (等しい) ベクトルが含まれる場合、そのシステムは線形に依存します (0 または 2 つの比例ベクトルのサブシステムは線形に依存するため)。

§ 3. 最大線形独立サブシステム

定義 3. a1、a2、…、ak、… とします。 (1) は、線形空間 L のベクトルの有限または無限系です。その有限部分系 ai1、ai2、…、air (2) は次のように呼ばれます。システムの基礎 (1)または最大線形独立サブシステム次の 2 つの条件が満たされた場合にこのシステムが適用されます。

1) サブシステム (2) は線形独立です。

2) システム (1) のベクトル aj がサブシステム (2) に割り当てられている場合、線形従属式が得られます。

システム ai1、ai2、…、air、aj (3)。

例 1. 空間 Pn [x] で、多項式 1,x1 , …, xn (4) の系を考えます。 (4) が線形独立であることを証明しましょう。 α0、α1、…、αn を、α0 1+α1 x+...+αn xn =0 となるような P からの数とする。すると、多項式の等価性の定義により、α0 =α1 =…=αn =0となります。これは、多項式系 (4) が線形独立であることを意味します。

ここで、系 (4) が線形空間 Pn [x] の基底であることを証明しましょう。

任意の f(x) Pn [x] については次のようになります。 f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; したがって、f(x) はベクトル (4) の線形結合です。この場合、系 1,x1 , …, xn ,f(x) は (定義 I により) 線形依存します。したがって、（４）が線形空間Ｐｎ［ｘ］の基礎となる。

例2。図では、 1 a1、a3 および a2、a3 – ベクトル a1、a2、a3 の系の基底。

定理 3. 部分系 (2) ai1 ,…, 有限または無限系 (1) の空気 a1 , a2 ,…,as ,… は、次の場合に限り、系 (1) の最大線形独立部分系 (基底) です。

a) (2) 線形独立。 b) (1) のベクトルは (2) を介して線形に表現されます。

必要性。 (2) をシステム (1) の最大線形独立サブシステムとする。この場合、定義 3 の 2 つの条件が満たされます。

1) (2) 線形独立。

2) 任意のベクトルに対して、(1) からの j システム ai1 ,…, ais ,aj (5) は線形従属です。ステートメント a) と b) が真実であることを証明する必要があります。

条件 a) が 1) と一致する。したがって、a) が満たされます。

さらに、２）により、α１ａｉ１＋…＋αｒａｉｒ＋βａｊ＝０（７）となる非ゼロ集合α１、…、αｒ、β Ｐ（６）が存在する。 β 0 (8) であることを証明しましょう。 β=0 (9) と仮定します。次に、(7) から、α1 ai1 +…+αr air =0 (10) が得られます。集合 (6) が非ゼロであり、β=0 であるという事実から、α1 ,...,αr は非ゼロ集合であるということになります。そして、(10) から、(2) は線形従属であることがわかり、これは条件 a) と矛盾します。これは (8) を証明します。

等式 (7) の両辺にベクトル (-βaj) を追加すると、-βaj = α1 ai1 +…+αr air が得られます。 β 0 なので、

β-1 Pがあります。最後の等式の両辺に β-1 を掛けます: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )air =aj 。紹介しましょう

表記法: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; したがって、次のようになります。 1 ai1 +…+ r air =aj ; したがって、条件 b) が満たされることが証明されました。

必要性は証明されています。

十分。定理 3 の条件 a) と b) が満たされるとします。定義 3 の条件 1) と 2) が満たされることを証明する必要があります。

条件 a) は条件 1) と一致するため、1) が満たされます。

2) が成り立つことを証明しましょう。条件 b) により、任意のベクトル aj (1) は (2) を通して線形に表現されます。したがって、(5) は (定義 1 により) 線形に依存します。２）が満たされている。

定理は証明されました。

コメント。すべての線形空間に基底があるわけではありません。たとえば、空間 P[x] には基底がありません (そうでない場合、P[x] 内のすべての多項式の次数は、定理 3 の段落 b から続くように集合的に有界になります)。

§ 4. 線形依存性に関する主定理。その結果

定義 4. 線形空間のベクトルの 2 つの有限系 L:a1 ,a2 ,…,al (1) とします。

b1 ,b2 ,…,bs (2)。

系 (1) の各ベクトルが (2) を介して線形に表現される場合、系 (1) と言えます。

は(2)で線形に表現されます。例:

1. システムの任意のサブシステム 1 ,…,ai ,…,ak はシステム全体で線形に表現されます。

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ak 。

2. R2 からのセグメントベクトルのシステムは、2 つの非同一線上の平面ベクトルからなるシステムを通じて線形に表現されます。

定義 5. 2 つの有限ベクトル系が相互に線形表現される場合、それらは等価であると呼ばれます。

注 1. 次の例からわかるように、2 つの等価なシステム内のベクトルの数は異なる場合があります。

3. 各システムはその基底と等価です (これは定理 3 と例 1 から導かれます)。

4. 任意の 2 つのシステム R2 からのセグメントベクトルは、それぞれ 2 つの非共線ベクトルを含み、等価です。

次の定理は、線形空間の理論で最も重要な記述の 1 つです。線形依存性に関する基本定理。フィールド P 上の線形空間 L に 2 が与えられるとします。

ベクトルシステム:

a1 ,a2 ,…,al (1) および b1 ,b2 ,…,bs (2) および (1) は線形独立であり、(2) を通じて線形で表現されます。次に、(3) を実行します。証拠。不等式(3)を証明する必要があります。逆のことを仮定してみます。l>s (4) とします。

条件により、(1) の各ベクトル ai はシステム (2) を通じて線形表現されます。

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs 。

次の方程式を作成しましょう: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6)、ここで xi はフィールド P (i=1,…,s) から値を取得する未知数です。

それぞれの等式 (5) に x1、x2、...、xl をそれぞれ掛けて、(6) に代入し、b1、次に b2、最後に bs を含む項をまとめてみましょう。我々が得る：

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0。

ゼロ以外の解を見つけてみましょう	式(6)。これを行うには、すべてをゼロにします。
bi (i=1, 2,…,s) の係数を計算し、次の連立方程式を構成します。
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 +α22 x2 +…+αl2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0。

(8) 未知数 x の同次方程式系 s 1、…、xl 。彼女はいつも協力的です。

で不等式 (4) により、この系では未知数の数が方程式の数よりも多いため、ガウス法から次のように、台形に変換されます。これは、非ゼロがあることを意味します

システム(8)の解決策。そのうちの 1 つを x1 0 、x2 0 、…、xl 0 (9)、xi 0 P (i=1, 2,…s) で表します。

(7) の左辺に数値 (9) を代入すると、x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0 が得られます。 (10)

したがって、(9) は方程式 (6) の非ゼロの解になります。したがって、系 (1) は線形従属となり、条件に矛盾します。したがって、私たちの仮定 (4) は正しくなく、l です。

定理は証明されました。

線形依存性に関する主定理からの帰結系 1. 2 つの有限等価線形独立ベクトル系は次のもので構成されます。

ベクトルの数も同じです。

証拠。ベクトル系 (1) と (2) が等価で線形独立であるとします。これを証明するために、主定理を 2 回適用します。

なぜなら系 (2) は線形独立であり、(1) を介して主定理 l s (11) によって線形に表現されます。

一方、(1) は線形独立であり、(2) と主定理 s l (12) によって線形に表現されます。

（１１）および（１２）から、ｓ＝１であることが分かる。この発言は証明されました。

系 2. あるベクトル系 a1 ,…,as ,… (13) (有限または無限) に 2 つの基底がある場合、それらは同じ数のベクトルで構成されます。

証拠。 ai1 ,…,ail (14) と aj1 ,..ajk (15) をシステム (13) の基底とします。それらが同等であることを示しましょう。

定理 3 によれば、系 (13) の各ベクトルはその基底 (15) を通じて線形に表現され、特に系 (14) の任意のベクトルは系 (15) を通じて線形に表現されます。同様に、系 (15) は (14) を通して線形に表現されます。これは、システム (14) と (15) が等価であり、系 1 により l=k が得られることを意味します。

この発言は証明されました。

定義 6. ベクトルの有限 (無限) システムの任意の基底にあるベクトルの数は、このシステムのランクと呼ばれます (基底がない場合、システムのランクは存在しません)。

系 2 により、システム (13) に少なくとも 1 つの基底がある場合、そのランクは一意になります。

注意 2. システムがゼロベクトルのみで構成されている場合、そのランクは 0 であると仮定します。ランクの概念を使用すると、主定理を強化できます。

系 3. ベクトル (1) および (2) の 2 つの有限系が与えられると、(1) は (2) を通じて線形に表現されます。この場合、システム (1) のランクはシステム (2) のランクを超えません。

証拠。システム (1) のランクを r1 で表し、システム (2) のランクを r2 で表します。 r1 =0 の場合、ステートメントは true になります。

r1 を 0 とすると、r2 は 0 になります。 (1) から (2) までを線形に表現します。これは、系 (1) と (2) に基底があることを意味します。

a1 ,…,ar1 (16) をシステム (1) の基礎とし、 b1 ,…,br2 (17) をシステム (2) の基礎とします。それらは基底の定義により線形独立です。

なぜなら (16) は線形独立であるため、主定理はシステム (16)、(17) のペアに適用できます。これで

定理 r1 r2 。この発言は証明されました。

系 4. ベクトルの 2 つの有限等価系は同じランクを持ちます。このステートメントを証明するには、系 3 を 2 回適用する必要があります。

注記 3. ベクトルの線形独立システムのランクは、そのベクトルの数に等しいことに注意してください (線形独立システムでは、その唯一の基底がシステム自体と一致するため)。したがって、系 1 は系 4 の特殊な場合です。しかし、この特殊な場合の証明がなければ、系 2 を証明し、ベクトル系のランクの概念を導入し、系 4 を得ることができません。

§ 5. 有限次元線形空間

定義 7. 体 P 上の線形空間 L に少なくとも 1 つの基底がある場合、その空間 L は有限次元と呼ばれます。

有限次元線形空間の基本的な例:

1. 直線、平面、空間上のベクトルセグメント (線形空間 R1、R2、R3)。

2. n 次元の算術空間 P(n) 。 P(n) に次の基底があることを示しましょう: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

en =(0,0,…1)。

まず、(1) が線形独立システムであることを証明しましょう。方程式 x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2) を作成しましょう。

ベクトル (1) の形式を使用して、方程式 (2) を次のように書き換えます: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , …,xn )=(0,0,…,0)。

行ベクトルの等価性の定義により、次のようになります。

x1 =0、x2 =0、…、xn =0 (3)。したがって、(1) は線形独立システムです。基底に関する定理 3 を使用して、(1) が空間 P(n) の基底であることを証明しましょう。

任意の a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn に対して、次のようになります。

а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ンエン。

これは、空間 P(n) 内の任意のベクトルが (1) によって線形に表現できることを意味します。したがって、（１）は空間Ｐ（ｎ）の基底となるため、Ｐ（ｎ）は有限次元の線形空間となる。

3. 線形空間 Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P)。

空間 Pn [x] の基底が多項式 1,x,…,xn であることを検証するのは簡単です。だからプン

[バツ] は有限次元の線形空間です。

4. 線形空間M n(P)。唯一の非ゼロ要素 1 が i 番目の行と j 番目の列 (i,j=1,…,n) の交点にある形式の行列のセットは、Eij であることが検証できます。、基本Ｍｎ（Ｐ）を構成する。

有限次元線形空間の線形依存性に関する主定理からの帰結

主な線形依存定理 1 ～ 4 の帰結に加えて、この定理から他のいくつかの重要なステートメントを得ることができます。

系 5. 有限次元線形空間の 2 つの基底は、同じ数のベクトルで構成されます。

このステートメントは、線形空間全体に適用される主な線形依存定理からの系 2 の特殊なケースです。

定義 8. 有限次元線形空間 L の任意の基底におけるベクトルの数は、この空間の次元と呼ばれ、dim L で表されます。

系 5 によれば、すべての有限次元の線形空間は固有の次元を持ちます。定義 9. 線形空間 L の次元が n の場合、それは n 次元と呼ばれます

直線的な空間。例:

1. dim R 1 =1;

2. dimR 2 =2;

3. dimP (n) =n、つまり P(n) は n 次元の線形空間です。上記の例 2 では、(1) が基礎であることが示されています。

P(n);

4. dimP n [x]=(n+1)。簡単に確認できるように、1,x,x2 ,…,xn はこの空間の n+1 個のベクトルの基底であるためです。

5. dimM n (P)=n2。例 4 で示した形式のEIj の行列が正確に n2 個あるためです。

系 6. n 次元の線形空間 L では、任意の n+1 ベクトル a1 ,a2 ,…,an+1 (3) が線形従属系を構成します。

証拠。 L の空間次元の定義により、n 個のベクトルの基底があります: e1 ,e2 ,…,en (4)。システム (3) と (4) のペアを考えてみましょう。

(3) が線形独立であると仮定します。なぜなら (4) が L の基底である場合、空間 L の任意のベクトルは (4) によって線形に表現できます (§3 の定理 3 による)。特に、系 (3) は (4) を通じて線形に表現されます。仮定 (3) により、それは線形独立です。したがって、線形依存性に関する主定理はシステム (3) と (4) のペアに適用できます。 n+1 n となりますが、これは不可能です。この矛盾は、(3) が線形従属であることを証明します。

調査により証明されました。

注 1. §2 の系 6 と定理 2 から、n 次元線形空間では、n 個を超えるベクトルを含む有限ベクトル系は線形従属であることがわかります。

この発言から次のことがわかります

系7。 n 次元の線形空間では、線形独立システムには最大でも n 個のベクトルが含まれます。

注意 2. このステートメントを使用すると、一部の線形空間が有限次元ではないことを証明できます。

例。多項式 P[x] の空間を考えて、それが有限次元ではないことを証明してみましょう。 dim P[x]=m, m N と仮定します。1, x,…, xm – P[x] からの (m+1) 個のベクトルのセットを考えます。上で述べたように、このベクトル系は線形独立であり、P[x] の次元が m に等しいという仮定に矛盾します。

有限次元の線形空間が、実変数のすべての関数の空間や連続関数の空間などではないことを (P[x] を使用して) 簡単に確認できます。

系 8. 有限次元線形空間 L の任意の有限線形独立系ベクトル a1 , a2 ,…,ak (5) は、この空間の基底に追加できます。

証拠。 n=dim L とします。考えられる 2 つのケースを考えてみましょう。

1. k=n の場合、a 1 、a2 、…、ak は n 個のベクトルの線形独立システムです。系 7 より、任意の b L に対して、系 a1 、 a2 、…、ak 、 b は線形依存します。つまり、 (5) – 基準 L.

2. k n にしましょう。この場合、系 (5) は L の基底ではありません。つまり、ベクトル a が存在します。 k+1 L、つまり a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) は線形独立系です。 (k+1) の場合

系 7 により、このプロセスは有限のステップ数の後に終了します。 (5) を含む線形空間 L の基底 a1 、 a2 、…、ak 、 ak+1 、…、an を取得します。

調査により証明されました。

系8から次のようになります

系９。有限次元線形空間Ｌの任意の非ゼロベクトルは、何らかの基底Ｌに含まれる（そのようなベクトルは線形独立系であるため）。

P が無限体である場合、体 P 上の有限次元線形空間には無限に多くの基底が存在することになります (L には a、a 0、P\0 の形式のベクトルが無限に多くあるため)。

§ 6. 線形空間の同型性

定義 10. 1 つの体 P 上の 2 つの線形空間 L および L` は、全単射がある場合に同型と呼ばれます: L L` が次の条件を満たす:

1. (a+b)= (a)+(b) a、b L、

2. (a)= (a) P、a L。

このような写像自体は同型写像または同型写像と呼ばれます。同型マッピング.

同型写像の性質。

1. 同型写像では、ゼロベクトルはゼロになります。

証拠。 L と L L` を同型写像とします。 a=a+0 なので、(a)= (a+0)= (a)+(0) となります。

なぜなら (L)=L` の場合、最後の等式から、(0) (0` で表します) がゼロベクトルであることが明らかです。

2. 同型性により、線形従属系は線形従属系に変換されます。証拠。 a1 , a2 ,…,as (2) を L からの線形依存系とする。

1 a1 +…+ s =0 となるような、P からの非ゼロの数値セット 1 ,…, s (3)。この等式の両辺を同型写像に従わせてみましょう。同型性の定義を考慮すると、次のようになります。

1 (a1 )+…+ s (as )= (0)=0` (プロパティ 1 を使用しました)。なぜなら set (3) がゼロ以外の場合、最後の等式から、(1),..., (s) は線形従属システムであることがわかります。

3. L L` が同型の場合、 -1 : L` L も同型です。

証拠。は全単射であるため、全単射 -1 : L` L が存在します。 a` の場合、

同型なので、a`+b`= (a)+(b) = (a+b) となります。これは次のことを意味します:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+(b))。

(5) と (6) から、-1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`) となります。

同様に、-1 (a`) = -1 (a`) であることが確認されます。したがって、-1 は同型写像です。

性質が証明されました。

4. 同型性を使用すると、線形独立システムは線形独立システムに変換されます。証拠。 L L` は同型写像であり、a1, a2,…,as (2) は線形独立系です。必須

(a1), (a2),…, (as) (7) も線形独立であることを証明します。

(7) が線形従属であると仮定しましょう。次に、-1 を表示すると、a1,...,as という体系に入ります。

性質 3 により -1 は同型であり、性質 2 により系 (2) も線形従属となり、条件に矛盾します。したがって、私たちの仮定は間違っています。

性質が証明されました。

5. 同型写像では、ベクトルの系の基礎がその画像の系の基礎に入ります。証拠。 a1 、 a2 、…、as 、… (8) を線形ベクトルの有限系または無限系とします。

space L, : L L` は同型写像です。システム (8) に基底 ai1 , …,air (9) があるとします。システムが

(a1),…, (ak),… (10) には根拠 (ai1),…, (air) (11) があります。

(9) は線形独立であるため、性質 4 により、システム (11) は線形独立です。 (10) からの任意のベクトルを (11) に代入しましょう。結果は次の通りです: (ai1)、…、(air)、(aj) (12)。システム ai1 , …,air , aj (13) を考えてみましょう。 (9) はシステム (8) の基礎であるため、これは線形に依存します。しかし、同型写像の下では (13) は (12) になります。 (13) は線形従属であるため、性質 2 により、系 (12) も線形従属になります。これは、(11) がシステム (10) の基礎であることを意味します。

性質 5 を有限次元線形空間 L 全体に適用すると、次のようになります。

ステートメント 1. L を体 P, 上の n 次元線形空間とする: L L` 同型。この場合、L` も有限次元空間であり、dim L`= dim L = n となります。

特に、ステートメント 2 が真になります。有限次元の線形空間が同型である場合、それらの次元は等しくなります。

コメント。 §7 では、このステートメントの逆の妥当性も確立されます。

§ 7. ベクトル座標

L を体 P 上の有限次元線形空間とし、 e1 ,...,en (1) を L の基底とします。

定義 11. a L を考えます。基底 (1) を通じてベクトル a を表現しましょう。つまり、 a= 1 e1 +…+ n en (2)、i P (i=1,…,n)。列 (1,…, n)t (3) が呼び出されます座標列基底 (1) のベクトル a。

基底 e のベクトル a の座標列は、[a]、[a]e、または [1,..., n] とも表されます。

解析幾何学の場合と同様に、基底を通じてベクトル表現の一意性が証明されます。特定の基底におけるベクトルの座標列の一意性。

注 1. 一部の教科書では、座標列の代わりに座標線が考慮されます (書籍内など)。この場合、そこで得られる座標列の言語での式は異なって見えます。

定理4. L をフィールド P 上の n 次元線形空間とし、(1) を L の基底とします。マッピングを考えてみましょう: a (1,..., n)t。これは、L からの任意のベクトル a をその座標列に関連付けます。根拠(1)では。次に、空間 L と P(n) の同型写像です (P(n) は列ベクトルの n 次元算術空間です)。

証拠。ベクトル座標の一意性により、マッピングは一意になります。が全単射であり、(a)= (a)、(a)+(b)= (a+b) であることを確認するのは簡単です。これは同型性を意味します。

定理は証明されました。

系 1. 有限次元線形空間 L のベクトル a1 、a2 、…as の系は、空間 L のある基底におけるこれらのベクトルの座標列で構成される系が線形従属である場合に限り、線形従属します。

このステートメントの妥当性は、定理 1 と同型性の 2 番目と 4 番目の性質からわかります。注釈 2. 系 1 により、次のベクトル系の線形依存性の問題を研究できるようになります。

有限次元の線形空間では、特定の行列の列について同じ問題を解くことに帰着できます。

定理 5 (有限次元線形空間の同型性の基準)。 1 つの体 P 上の 2 つの有限次元線形空間 L と L` は、それらが同じ次元を持つ場合にのみ同型です。

必要性。 L L` とします。 §6 のステートメント 2 により、L の次元は L1 の次元と一致します。

適切性。 dim L = dim L`= n とします。次に、定理 4 により、次のようになります。 L P(n)		および L` P(n) 。ここから
L L` を取得するのは難しくありません。
定理は証明されました。
注記。以下では、n 次元線形空間を Ln で表すことがよくあります。
§ 8. 遷移行列
定義 12. 線形空間 Ln を入れる	2 つの塩基が与えられます。
e= (е1,...еn) および e`=(e1`,...,e`n) (古いものと新しいもの)。
基底 e` のベクトルを基底 e に拡張しましょう。
e`1 =t11 e1 +…+tn1 en
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn en 。

t11…………t1n

T=…………

tn1…………tnn

呼ばれた遷移行列基底 e から基底 e` まで。

等式 (1) を次のように行列形式で記述すると便利であることに注意してください: e` = eT (2)。この等式は、遷移行列を定義することと同じです。

注意 1. 遷移行列を構築するための規則を定式化しましょう。基底 e から基底 e` への遷移行列を構築するには、新しい基底 e` のすべてのベクトル ej` が、その座標列を古い基底 e を抽出し、それらを行列 T の対応する列として書き込みます。

注 2. 本では、遷移行列は行ごとに (古い基底の新しい基底のベクトルの座標行から) コンパイルされます。

定理 6. 体 P 上の n 次元線形空間 Ln の 1 つの基底から他の基底への遷移行列は、体 P の要素を含む n 次の非特異行列です。

証拠。 T を基底 e から基底 e` への遷移行列とする。定義 12 により、行列 T の列は、基底 e 内の基底 e` のベクトルの座標列です。e` は線形独立系なので、定理 4 の系 1 により、行列 T の列になります。は線形独立であるため、|T|≠0。

定理は証明されました。

逆もまた真です。

定理 7. 体 P の要素を持つ n 次の非縮退正方行列は、体 P 上の n 次元線形空間 Ln の 1 つの基底から他の基底 Ln への遷移行列として機能します。

証拠。線形空間 L と非特異正方行列の基底 e = (e1, ..., en) が与えられるとします。

Т= t11………t1n

tn1…………tnn

体 P の要素を持つ n 次。線形空間 Ln で、ベクトルの順序付けシステム e`=(e1 `,…,e`n) を考えます。行列 T の列は基底 e の座標列です。。

ベクトル系 e' は n 個のベクトルで構成され、非特異行列 T の列は線形独立であるため、定理 4 の系 1 により線形独立です。したがって、この系は線形空間 Ln の基礎となり、系ベクトル e` の選択により、等式 e`=eT が成り立ちます。これは、T が基底 e から基底 e` への遷移行列であることを意味します。

定理は証明されました。

異なる基底におけるベクトル a の座標間の関係

基底 e=(е1,...еn) および e`=(e1`,...,e`n) が、基底 e から基底 e` までの遷移行列 T を持つ線形空間 Ln で与えられるものとします。、つまり (2)は真実です。ベクトル a は基底 e および e` [a]e =(1 ,…, n)T および [a]e` =(1 `,…,

n `)T、つまり a=e[a]e および a=e`[a]e` 。

次に、一方では a=e[a]e 、もう一方では a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (ここでは等式 ( 2))。これらの等式から、 a=e[a]e =e(T[a]e` ) が得られます。したがって、基底におけるベクトルの展開の一意性により、

これは、[a]e =Т[a]e` (3) が等価であることを意味します。または




	ん。

関係(3)と(4)は次のように呼ばれます。座標変換式線形空間の基底が変わるとき。これらは、古いベクトル座標を新しいベクトル座標で表現します。これらの式は、左側の (4) に T-1 を乗算することによって、新しいベクトル座標を基準にして解決できます (T は非特異行列であるため、このような行列が存在します)。

次に、 [a]e` =T-1 [a]e を取得します。この公式を使用すると、線形空間 Ln の古い基底 e でのベクトルの座標がわかっているので、新しい基底 e` でのその座標を見つけることができます。

§ 9. 線形空間の部分空間

定義 13. L をフィールド P および H L 上の線形空間とする。L と同じ演算に関して H も P 上の線形空間である場合、H は次のように呼ばれます。亜空間線形空間 L.

ステートメント 1. 以下の条件が満たされる場合、体 P 上の線形空間 L の部分集合 H は L の部分空間です。

1. 任意の h1 、h2 H に対する h 1 +h2 H。

2. h H は任意の h H および P に対応します。

証拠。 H で条件 1 と 2 が満たされる場合、体 P の要素による加算と乗算が H で指定されます。H に対する線形空間公理のほとんどの妥当性は、L に対する妥当性から得られます。それらのいくつかを確認してみましょう。

a) 0 h=0 H (条件 2 による);

b) h H は次のようになります: (-h)=(-1)h H (条件 2 による)。

この発言は証明されました。

1. 線形空間 L の部分空間は 0 と L です。

2. R 1 – 平面上のセグメントベクトルの空間 R2 の部分空間。

3. 実数変数の関数空間には、特に次の部分空間があります。

a) ax+b の形式の線形関数。

b) 連続関数。 c) 微分可能関数。

線形空間の部分空間を識別する普遍的な方法の 1 つは、線形ハルの概念に関連付けられています。

定義 14. a1 ,…as (1) を線形空間 L 内のベクトルの任意の有限系とします。リニアシェルこのシステムセットの ( 1 a1 +…+ s as | i P) = 。システム (1) の線形シェルは、L(a1 ,…,as ) とも表されます。

定理 8. 線形空間 L の有限ベクトル系 (1) の線形包 H は、線形空間 L の有限次元部分空間です。系 (1) の基底は H の基底でもあり、次元はH のランクはシステム (1) のランクに等しい。

証拠。 H= とします。。線形包の定義から、ステートメント 1 の条件 1 と 2 が満たされることが容易にわかります。このステートメントにより、H は線形空間 L の部分空間です。ai1 ,….,air (2) を基底とします。システム(1)の。次に、線形シェルの定義により、任意のベクトル h H は (1) を通じて線形表現され、(1) はその基底 (2) を通じて線形表現されます。 (2) は線形独立システムなので、N の基底となります。ただし、(2) のベクトルの数はシステム (1) のランクに等しいです。これは dimH=r を意味します。

定理は証明されました。

注 1. H が線形空間 L の有限次元部分空間であり、h1 ,...,hm が H の基底である場合、H= であることが簡単にわかります。