振動方程式。 機械振動の基本公式 機械平衡 機械振動と波の公式

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振動運動（または振動）物理学やテクノロジーでは、ある程度の再現性を持つこの種の動き (または状態の変化) を呼びます。

サインまたはコサインの法則に従って発生する振動は、高調波と呼ばれます。

調和振動方程式:

ここで、t 時間。 時間とともに変化する x 値 (座標、電荷、電流、起電力など)。 A - 振動の振幅 - 平均（ゼロ）値からの振動値の最大偏差。 - 振動位相; - 初期段階。 w - サイクリック周波数 (単位時間あたりの位相変化)。 期間中、フェーズは に変わります。

調和振動の微分方程式

次の形式の方程式:

調和振動の微分方程式。

周期振動の種類は、調和振動の合計、いわゆる調和系列として任意の精度で表現できます。

物体が（どのようにして）平衡状態から外れて放置された場合に生じる振動は、自由（自然）振動と呼ばれます。 固有振動が準弾性力のみの存在によって引き起こされる場合、それらは調和振動になります。

準弾性力と摩擦力 (瞬間速度に比例します: ) の同時作用によって引き起こされる物体振動は、減衰振動と呼ばれます。

式(3)は減衰振動の微分方程式と呼ばれます。 こちらが減衰係数です。

振動の微分方程式の解

減衰振動の微分方程式 (3) の解は、次の形式の関係になります。

式(4)は減衰振動の方程式と呼ばれます。 式 (4) は、減衰振動の振幅が時間に依存することを示しています。 定数 A は初期条件によって決まります。 振動の振幅は減少し、通常は図のようになります。 1

米。 1.

減衰振動の周期は式 (5) を使用して計算されます。

減衰係数の物理的意味は、減衰係数が緩和時間の逆数であるということです。 そして、緩和時間は振幅が e 倍に減少する時間です。 ただし、減衰係数は減衰を完全に特徴付けるものではありません。 通常、振動の減衰は減衰の減少によって特徴付けられます。 後者は、発振周期に等しい時間にわたって発振振幅が何回減少するかを示します。 つまり、減衰減少量は次のように決定されます。

減衰減衰の対数は対数減衰と呼ばれ、明らかに次と等しくなります。

振動システムが外部の周期的な力にさらされると、本質的に減衰しない、いわゆる強制振動が発生します。

強制発振は自己発振と区別する必要があります。 システム内の自己振動の場合、それ自身の振動に合わせて、エネルギーの少量をシステムに「供給」する特別なメカニズムが想定されます。

問題解決の例

例 1

調和振動は次の法則に従って発生します。

バツ = あ cos(ω t + φ 0),

どこ バツ– 平衡位置からの粒子の変位、 あ– 振動の振幅、ω – 円周周波数、φ 0 – 初期位相、 t- 時間。

発振周期 T = .

振動する粒子の速度:

υ = = – あω罪(ω t + φ 0),

加速度 ある = = –あω2コス(ω t + φ 0).

振動運動する粒子の運動エネルギー: E k = =
罪2(ω t+ φ 0).

位置エネルギー：

E n=
cos2(ω t + φ 0).

振り子振動の周期

- 春 T =
,

どこ メートル– 貨物の質量、 k– ばね剛性係数、

– 数学的 T = ,

どこ 私– サスペンションの長さ、 g- 重力加速度、

- 物理的な T =
,

どこ 私– 吊り下げ点を通過する軸に対する振り子の慣性モーメント、 メートル– 振り子の質量、 私– サスペンションポイントから重心までの距離。

物理的な振り子の短縮された長さは、次の条件から求められます。 私 np = ,

指定は物理的な振り子の場合と同じです。

同じ周波数で一方向の 2 つの高調波振動を加算すると、同じ周波数と振幅の高調波振動が得られます。

あ = あ 1 2 + あ 2 2 + 2あ 1 あ 2cos(φ2 – φ1)

および初期位相: φ = arctan
.

どこ あ 1 , あ 2 – 振幅、φ 1、φ 2 – 折り返し振動の初期位相。

同じ周波数の相互に垂直な振動を加えたときに生じる動きの軌跡:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1)。

減衰振動は次の法則に従って発生します。

バツ = あ 0 e - β t cos(ω t + φ 0),

ここで、β は減衰係数、残りのパラメーターの意味は調和振動の場合と同じです。 あ 0 – 初期振幅。 ある瞬間に t振動振幅:

あ = あ 0 e - β t .

対数減衰減分は次のように呼ばれます。

λ = 対数
= β T,

どこ T– 発振周期: T = .

振動システムの品質係数は次のように呼ばれます。

平面進行波の方程式は次の形式になります。

y = y 0cos ω( t ± ),

どこ で– 平衡位置からの振動量の変位、 で 0 – 振幅、ω – 角周波数、 t- 時間、 バツ– 波が伝播する座標、 υ – 波の伝播速度。

「+」記号は、軸に逆らって伝播する波に対応します。 バツ、「–」記号は軸に沿って伝播する波に対応します。 バツ.

波長はその空間周期と呼ばれます。

λ = υ T,

どこ υ – 波の伝播速度、 T– 伝播振動の周期。

波動方程式は次のように書くことができます。

y = y 0 cos 2π (+)。

定在波は次の方程式で表されます。

y = (2y 0コス )cosω t.

定在波の振幅は括弧で囲まれています。 最大振幅を持つ点は腹と呼ばれます。

バツ n = n ,

振幅がゼロの点 - ノード、

バツ y = ( n + ) .

問題解決の例

問題20

調和振動の振幅は 50 mm、周期は 4 s、初期位相は 。 a) この振動の方程式を書き留めてください。 b) での平衡位置からの振動点の変位を求めます。 t=0 および t= 1.5 秒; c) この動きのグラフを描きます。

解決

振動方程式は次のように書かれます。 バツ = ある cos( t+  0).

条件により振動周期が分かります。 それを通じて、円周波数  = を表現できます。 . 残りのパラメータは既知です。

A) バツ= 0.05cos( t + ).

b) オフセット バツで t= 0.

バツ 1 = 0.05 cos = 0.05 = 0.0355 メートル。

で t= 1.5秒

バツ 2 = 0.05 cos( 1,5 + )= 0.05 cos  = – 0.05 m。

V ) 関数のグラフ バツ=0.05cos ( t + ） 次のように：

いくつかの点の位置を決めてみましょう。 既知の バツ 1(0)と バツ 2 (1.5)、発振周期も同様です。 したがって、を通じて t= 4 秒の値 バツを繰り返し、 の後に t = 2 秒で符号が変わります。 中央の最大値と最小値の間は 0 です。

問題21

ポイントは調和振動を起こします。 振動周期は 2 秒、振幅は 50 mm、初期位相は 0 です。 平衡位置からの変位が 25 mm になった瞬間の点の速度を求めます。

解決

1方向。 点振動の方程式を書き留めます。

バツ= 0.05 cos t, なぜなら  = =.

瞬間の速度を知る t:

υ = = – 0,05 cos t.

変位が 0.025 m になる瞬間を求めます。

0.025 = 0.05 cos t 1 ,

したがって、cos t 1 = ,  t 1 = . この値を速度の式に代入します。

υ = – 0.05  罪 = – 0.05 = 0.136 m/秒。

方法2。 振動運動の総エネルギー:

E =
,

どこ あ– 振幅、  – 円周周波数、 メートル – 粒子の質量。

それぞれの瞬間において、それは点の位置エネルギーと運動エネルギーで構成されます。

E k = , E n = 、 しかし k = メートル 2、つまり E n =
.

エネルギー保存の法則を書き留めてみましょう。

= +
,

ここから次のようになります。 ある 2  2 = υ 2 +  2 バツ 2 ,

υ = 
= 
= 0.136 m/秒。

問題22

質点の調和振動の振幅 あ= 2 cm、総エネルギー E= 3∙10 -7 J. 平衡位置からどれだけ変位すると、振動点に力が作用しますか F = 2.25・10 -5 N?

解決

調和振動を実行する点の総エネルギーは次のようになります。 E =
. (13)

弾性力の係数は、平衡位置からの点の変位によって表されます。 バツ次の方法で:

F = k× (14)

式(13)には質量が含まれます メートルと円周波数 、(14) では剛性係数 k。 しかし、循環周波数は次のことに関係しています。 メートルそして k:

 2 = ,

ここから k = メートル 2 と F = メートル 2 バツ。 表現した上で メートル 2 関係 (13) から次のことが得られます。 メートル 2 = , F = バツ.

変位の式をどこから取得するか バツ: バツ = .

数値を代入すると次のようになります。

バツ =
= 1.5∙10 -2 m = 1.5 cm。

問題23

この点は、同じ周期と初期位相を持つ 2 つの振動に関与します。 振動振幅 あ 1 = 3 cm および A 2 = 4 cm の場合、次の場合に生じる振動の振幅を求めます。1) 振動が一方向に発生する。 ２）振動は相互に直交する。

解決

振動が一方向に発生する場合、結果として生じる振動の振幅は次のように決定されます。

どこ あ 1と あ 2 – 追加された振動の振幅、 1 および  2 – 初期位相。 条件によれば、初期位相は同じです。これは、 2 –  1 = 0、および cos 0 = 1 を意味します。

したがって、次のようになります。

あ =
=
= あ 1 +あ 2 = 7cm。

振動が相互に直交する場合、結果として生じる運動の方程式は次のようになります。

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1)。

条件  2 –  1 = 0、cos 0 = 1、sin 0 = 0 により、方程式は次のように書かれます。
=0,

または
=0,

または
.

その結果生じる関係は、 バツそして でグラフで表すことができます。 グラフは、結果が直線上の点の振動であることを示しています。 ミネソタ州。 この振動の振幅は次のように決定されます。 =
あ

= 5cm。

問題24 T減衰振動の周期 t =4 秒、対数減衰減分  = 1.6、初期位相はゼロです。 点の変位

解決

初期位相がゼロの減衰振動の方程式は次の形式になります。

バツ = あ 0 e -  t cos2 .

数値を置き換えるのに十分な初期振幅値がありません あ 0 と減衰係数 。

減衰係数は、対数減衰減少の関係から決定できます。

 = T.

したがって、 = = = 0.4 秒 -1 。

初期振幅は、2 番目の条件を代入することで決定できます。

4.5cm = あ 0
cos2 =A 0
cos = あ 0
.

ここから次のことがわかります。

あ 0 = 4,5∙

(cm) = 7.75cm。

最終的な運動方程式は次のようになります。

バツ = 0,0775
料金。

問題25

数学的な振り子の対数減衰減衰は何ですか。 t = 1 分間の振動の振幅は半分に減少しますか? 振り子の長さ 私 = 1 メートル。

解決

対数減衰減分は、次の関係から求めることができます。 =  T,

ここで、  は減衰係数、 T– 振動の周期。 数学的な振り子の固有円振動数:

 0 =
= 3.13 秒 -1 。

振動減衰係数は次の条件から決定できます。 あ 0 = あ 0 e -  t ,

t= ln2 = 0.693、

 =
= 0.0116c -1 。

 以来<<  0 , то в формуле  =
 0 に比べて無視できるため、発振周期は次の式で決定できます。 T = = 2c。

 と T対数減衰減衰の式に代入すると、次のようになります。

 = T= 0.0116 秒 -1 ∙ 2 秒 = 0.0232。

問題26

減衰しない振動の方程式は次の形式で与えられます。 バツ= 4 sin600  t cm。

離れた点の平衡位置からの変位を求めます 私= 振動源から 75 cm、 t= 発振開始から 0.01 秒後。 振動伝播速度 υ = 300 m/秒。

解決

与えられた発生源から伝播する波の方程式を書き留めてみましょう。 バツ= 0.04 sin 600 ( t– ).

指定された時間、指定された場所での波の位相を求めます。

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0.0075 = 4.5、

sin 4.5 = sin = 1。

したがって、点の変位は バツ= 0.04 m、つまり 距離的には 私 = 時刻源から 75 cm t= 0.01 秒の最大点変位。

参考文献

フォルケンシュタイン V.S.。 物理一般課程の問題集。 – サンクトペテルブルク: SpetsLit、2001 年。

サヴェリエフ I.V.。 物理学全般の疑問や問題を集めた問題集。 – M.: ナウカ、1998 年。

(緯度。 振幅- 大きさ) は、振動体の平衡位置からの最大の偏差です。

振り子の場合、これはボールが平衡位置から離れる最大距離です (下図)。 振幅が小さい振動の場合、そのような距離は、円弧 01 または 02 の長さ、およびこれらのセグメントの長さとみなすことができます。

振動の振幅は、メートル、センチメートルなどの長さの単位で測定されます。振動グラフでは、振幅は正弦曲線の最大 (法) 縦座標として定義されます (下図を参照)。

発振周期。

発振周期- これは、振動しているシステムが最初の瞬間と同じ状態に再び戻るまでの最短時間であり、任意に選択されます。

つまり、発振周期 ( T) は、1 回の完全な振動が発生する時間です。 たとえば、下の図では、振り子のボブが右端の点から平衡点まで移動するのにかかる時間です。 について左端のポイントに移動し、そのポイントを通過して戻ります について再び右端へ。

したがって、振動の全周期にわたって、物体は 4 つの振幅に等しい経路を移動します。 振動の周期は、秒、分などの時間単位で測定されます。振動の周期は、よく知られた振動のグラフから決定できます (下図を参照)。

厳密に言えば、「振動周期」の概念は、振動量の値が一定期間後に正確に繰り返される場合、つまり調和振動の場合にのみ有効です。 ただし、この概念は、次のような、ほぼ反復する量の場合にも当てはまります。 減衰振動.

発振周波数。

発振周波数- これは、単位時間あたり (たとえば、1 秒あたり) に実行される振動の数です。

周波数の SI 単位は次のように呼ばれます。 ヘルツ(Hz) ドイツの物理学者 G. ヘルツ (1857-1894) に敬意を表して。 発振周波数( v) は次と等しい 1 Hz、これは毎秒 1 回の振動があることを意味します。 振動の周波数と周期は次の関係によって関係付けられます。

振動理論では、次の概念も使用されます。 周期的な、 または 円周波 ω 。 それは通常の周波数に関係します vと発振周期 T比率:

.

サイクリック周波数は 1 回あたりに実行される振動の数です。 2π秒

調和方程式

どこ バツ -平衡位置からの振動点の変位。
t- 時間; あ、ω、φ - それぞれ振幅、角周波数、
振動の初期段階。 - 現時点の振動の位相 t.

角周波数

ここで、ν と T は振動の周波数と周期です。

調和振動を行う点の速度は次のようになります。

調和振動時の加速度

振幅 あ 1 つの直線に沿って発生する、同じ周波数の 2 つの振動を加算することによって得られる振動は、次の式で求められます。

どこ ある 1と あ 2 - 振動成分の振幅。 φ 1 とφ 2 は初期位相です。

結果として生じる振動の初期位相 φ は、次の式から求めることができます。

異なるが類似した周波数 ν 1 と ν 2 を持つ 1 つの直線に沿って発生する 2 つの振動を加算したときに生じるうなりの周波数、

振幅 A 1 および A 2、初期位相 φ 1 および φ 2 の 2 つの相互に直交する振動に関与する点の軌道の方程式、

振動成分の初期位相 φ 1 と φ 2 が同じである場合、軌道方程式は次の形式になります。

つまり、点は直線的に移動します。

位相差が の場合、式は次のようになります。
形をとる

つまり、点は楕円に沿って移動します。

質点の調和振動の微分方程式

または 、
ここで、m は点の質量です。 k-準弾性力係数 ( k=Tω2）。

調和振動を行う物質点の総エネルギーは次のようになります。

ばねに吊り下げられた物体の振動周期（ばね振り子）

どこ メートル- 体重; k-スプリングの硬さ。 この式は、フックの法則が満たされる範囲内の弾性振動に対して有効です (本体の質量に比べてばねの質量が小さい場合)。

数学的な振り子の振動の周期

どこ 私- 振り子の長さ; ぐ、重力の加速度。 物理的な振り子の振動周期

どこ J- 軸に対する振動体の慣性モーメント

ためらい。 あ- 振動軸から振り子の質量中心までの距離。

物理的な振り子の長さを短縮しました。

与えられた式は、振幅が微小な場合でも正確です。 有限の振幅の場合、これらの式は近似的な結果のみを与えます。 以下の振幅では、周期値の誤差は 1% を超えません。

弾性糸で吊り下げられた物体のねじり振動の周期は

どこ J-弾性糸と一致する軸に対する本体の慣性モーメント。 k-弾性糸の剛性。糸をねじったときに生じる弾性モーメントと糸をねじった角度の比に等しい。

減衰振動の微分方程式
、 または 、

どこ r- 抵抗係数; δ - 減衰係数: ; ω 0 - 振動の固有角周波数 *

減衰振動方程式

どこ で）-現時点の減衰振動の振幅 と;ω は角周波数です。

減衰振動の角周波数

О 減衰振動の振幅の時間依存性

どこ あ 0 - 瞬間の振動の振幅 t=0.

対数発振減衰量

どこ で）そして A(t+T) -時間的に周期で区切られた 2 つの連続する振動の振幅。

強制振動の微分方程式

に作用する外部周期力はどこにありますか
物質点を振動させ強制力を発生させる
変動。 F0 -その振幅値。

強制振動の振幅

共振周波数と共振振幅 そして

問題解決の例

例1.法則に従ってポイントが振動する x(t)= 、どこ A=2初期位相 φ の決定を参照してください。

バツ(0)= cm および バツ , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
警官 t=0.

解決。 運動方程式を使ってその瞬間の変位を表してみましょう t=0 から初期フェーズまで:

ここから初期フェーズがわかります。

* 前に示した調和振動の公式では、同じ量を単に ω (添字 0 なし) で表しました。

この式に与えられた値を代入してみましょう バツ(0) と 答え:φ=
= 。 引数の値は次の条件を満たす
2 つの角度の値:

これらの角度値φがどれを満たすかを決定するには
も条件を満たします。まず見つけてみましょう:

この式に値を代入すると、 t=0 および代替値
初期段階と 、私たちは見つけます

いつものように あ>0 かつ ω>0 の場合のみ
初期フェーズの最初の値に設定します。
したがって、必要な初期値は、
段階

見つかった φ の値に基づいて、次のように構築します。
それらはベクトル図です (図 6.1)。
例2。質点
質量 T=5 g は高調波を実行します
周波数による振動 ν =0.5Hz。
発振振幅 あ=3cm
除算: 1) 速度 υpoints in mo-
オフセットが発生した瞬間 x=
= 1.5cm; 2) 最大強度
点に作用する F max; 3)
米。 6.1 総エネルギー E振動点
き。

そして、変位の 1 回微分値を取得することで速度の公式を取得します。

速度を変位で表現するには、式(1)、(2)から時間を除く必要があります。 これを行うには、両方の方程式を二乗し、最初の方程式を次の値で割ります。 A2、 2 番目のものを A 2 ω 2 に追加し、次のようにします。

または

υ の最後の方程式を解いたところ , 私たちは見つけます

この式を使用して計算を実行すると、次のようになります。

プラス記号は、速度の方向が軸の正の方向と一致する場合に対応します。 バツ、マイナス記号 - 速度の方向が軸の負の方向と一致する場合 バツ。

調和振動時の変位は、式(1)に加えて、次の式でも求めることができます。

この方程式で同じ解法を繰り返すと、同じ答えが得られます。

2. ニュートンの第 2 法則を使用して、点に作用する力を求めます。

どこ A -点の加速度。これは速度の時間導関数を取得することで得られます。

加速度の式を式(3)に代入すると、

したがって、力の最大値は

この式に π 、 ν の値を代入すると、 Tそして あ、私たちは見つけます

3. 振動点の総エネルギーは、ある時点で計算された運動エネルギーと位置エネルギーの合計です。

総エネルギーを計算する最も簡単な方法は、運動エネルギーが最大値に達する瞬間です。 このとき位置エネルギーはゼロです。 したがって、総エネルギーは E振動点は最大運動エネルギーに等しい

式(2)から最高速度を求めます。
: 。 次の形式の速度の式を置き換えます。
ムル (4)、探しましょう

この式に数量の値を代入して計算すると、次のようになります。

またはμJ。

例 3. 私= 1 mと質量 メートル 3 = 400 g のマス付き強化小ボール メートル 1 =200gi メートル 2 = 300g。 ロッドは水平軸を中心に垂直に振動します。

ロッドの中央を通り、ロッドに直角です（図 6.2 の点 O）。 期間を定義する Tロッドによって引き起こされる振動。

解決。 ボールを備えた棒などの物理的な振り子の振動周期は、次の関係によって決まります。

どこ J- た -その質量。 l C -振り子の質量中心から軸までの距離。

この振り子の慣性モーメントはボールの慣性モーメントの合計に等しい J 1と J2とロッド J 3:

ボールを物点として、その慣性モーメントを次のように表現します。

軸は棒の真ん中を通っているので、
この軸の周りの慣性モーメント J 3 =
= . 結果の式を置き換える J 1 , J2そして
J 3 を式 (2) に代入すると、ファイバの総慣性モーメントが求められます。
静的振り子:

この公式を使用して計算を実行すると、次のことがわかります。

米。 6.2 振り子の質量はボールの質量と質量からなる
ロッド：

距離 l C以下の考察に基づいて、振動軸から振り子の質量中心を求めます。 軸なら バツロッドに沿って直進し、座標の原点を点に合わせます について、次に必要な距離 私振り子の質量中心の座標に等しい、つまり

数量の値を代入する メートル 1 , メートル 2 , メートル, 私計算を実行すると、次のことがわかります。

式 (1) を使用して計算すると、物理的な振り子の振動周期が得られます。

例4.物理的な振り子は棒です
長さ 私= 1 m、質量 3 T 1 とその端の1つに取り付けられている
フープの直径と重量 T 1 . 横軸 オズ

振り子はロッドの中央を垂直に通過します (図 6.3)。 期間を定義する Tこのような振り子の振動。

解決。 物理的な振り子の振動周期は次の式で決まります。

(1)

どこ J-振動軸に対する振り子の慣性モーメント。 た -その質量。 私 C - 振り子の質量中心から振動軸までの距離。

振り子の慣性モーメントはロッドの慣性モーメントの合計に等しい J 1とフープ J 2:

軸に対するロッドの慣性モーメント、
ロッドに対して垂直に通過
重心を通る距離は、次の形式によって決まります。
ル。 この場合 t= 3T 1と

を使用してフープの慣性モーメントを求めます。
シュタイナーの定理と呼ばれる、
どこ J-プロに対する慣性モーメント
任意の軸。 J0 -に対する慣性モーメント
重心を通る軸に対して
指定された軸に平行。 A -距離
指定された軸の間。 このフォームを使用する
フープにラバ、私たちは得ます

式の置換 J 1と J 2 を式 (2) に代入すると、回転軸に対する振り子の慣性モーメントが求められます。

距離 l C振り子の軸から重心までは以下に等しい

式(1)に式を代入すると J, 私 s と振り子の質量から、その振動の周期がわかります。

この式を使用して計算すると、次のようになります。 T=2.17秒。

例5。同じ方向の2つの振動を加算
式で表されるもの。 × 2 =
= 、ここで あ 1 = 1cm、 あ 2 =2 cm、s、s、ω =
= 。 1. 振動成分の初期位相 φ 1 および φ 2 を決定します。

バニヤ。 2. 振幅を求める あおよび結果として生じる振動の初期位相 φ。 結果として生じる振動の方程式を書きます。

解決。 1. 調和振動の方程式は次の形式になります。

問題ステートメントで指定された方程式を同じ形式に変換してみましょう。

式 (2) と等式 (1) の比較から、最初と 2 番目の振動の初期位相がわかります。

嬉しい、嬉しい。

2. 振幅を決定するには あ結果として生じる振動については、次のベクトル図を使用すると便利です。 米。 6.4. コサイン定理によれば、次のようになります。

ここで、 は振動の成分間の位相差です。
以来、見つかったものを代入します
φ 2 とφ 1 の値はradです。

値を代入してみましょう あ 1 、A 2 を式 (3) に代入し、
計算してみましょう:

A= 2.65cm。

結果として生じる振動の初期位相 φ の正接が決定されます。
図から直接lim。 6.4: 、 から
はい、初期段階

値を代入してみましょう あ 1 、A 2 , φ 1、φ 2 を入力し、次の計算を実行します。

加えられる振動の角周波数は同じなので、
その場合、結果として生じる振動は同じ周波数 ω を持ちます。 これ
結果として生じる振動の方程式を次の形式で書くことができます。
、 どこ あ=2.65 cm、 、rad。

例6。物質点は、互いに直交する 2 つの調和振動に同時に関与します。その方程式は次のようになります。

どこ ある 1 = 1cm、 あ 2 =2cm、. 点の軌道の方程式を求めます
き。 スケールを考慮して軌道を構築し、指示します。
ポイントの移動方向。

解決。 点の軌道の方程式を見つけるには、時間を消去します。 t与えられた式 (1) と (2) から。 これを行うには、次を使用します

公式を使ってみましょう。 この場合
、 それが理由です

式(1)によると 、次に軌道方程式
リース

結果として得られる式は、軸が軸と一致する放物線の方程式です。 おお。式 (1) と (2) から、座標軸に沿った点の変位は制限されており、軸に沿って -1 ～ +1 cm の範囲であることがわかります。 おお軸に沿って -2 ～ +2 cm おう。

軌道を構築するには、式 (3) を使用して値を見つけます。 そう、値の範囲に対応する バツ、条件 cm を満たし、テーブルを作成します。

点の移動方向を示すために、その位置が時間の経過とともにどのように変化するかを監視します。 最初の瞬間に t=0 点の座標は等しい バツ(0)=1cm、 y(0) = 2 cm。たとえば、次の時点です。 t 1 =l s、点の座標は変化し、等しくなります。 バツ(1)= -1 cm、 y( t )=0. 最初とその後の (近い) 瞬間の点の位置がわかれば、軌道に沿った点の移動方向を示すことができます。 図では、 6.5 この移動方向は矢印で示されます（点から あ原点へ）。 その瞬間の後 t 2 = 2 秒で発振点はその点に到達します D、反対方向に動くことになります。

調和振動の運動学

6.1. 点振動の方程式は次の形式になります。
ここで、ω=π s -1、τ=0.2 s。 期間を定義する Tと初期位相φ
ためらい。

6.2. 期間を定義する Tさん振動の周波数 v と初期位相 φ は次式で与えられます。ここで、ω=2.5π s -1、
τ=0.4秒。

6.3.
どこ あ x(0)=2マスメディア
; 2) x(0) = cm および ; 3) x(0)=2cm および ; 4)
x(0)= および 。 のベクトル図を構築する
一瞬 t=0.

6.4. 法則に従ってポイントが振動し、
どこ あ=4 cm の場合、初期位相 φ を決定します。 1) x(0)=2マスメディア
; 2) バツ(0)= cm および; 3) バツ(0)= cm および;
4) バツ(0)= cm および 。 のベクトル図を構築する
一瞬 t=0.

6.5. ポイントは法則に従って振動し、
どこ あ=2cm; ; φ= π/4 ラジアン。 依存関係グラフの構築
時間から: 1) 変位 x(t); 2）速度。 3) 加速度

6.6. 点は振幅を持って振動します あ=4cmと周期 T=2秒。次のように仮定して、これらの振動の方程式を書きます。
一瞬 t=0 オフセット x(0)=0そして 。 フェーズの決定
2 つの瞬間: 1) 変位のとき x= 1cmと;
2) 速度 = -6 cm/s の場合、および バツ<0.

6.7. 点は円の周囲を反時計回りに T=6 秒の周期で均一に移動します。 直径 d円は20cmです。軸上への点の投影の運動方程式を書きます。 バツ、円の中心を通過し、その瞬間を初期とする場合、軸への投影 バツゼロに等しい。 オフセットを検索 バツ、瞬間における点の投影の速度と加速度 t= 1秒。

6.8. 振幅のある調和振動を実行する点の速度と加速度の最大値を決定します A= 3cmと角周波数

6.9. 点は法則に従って振動します。 A =
=5cm; 。 ある時点の点の加速度を決定します。
速度 = 8 cm/s の場合。

6.10. ポイントは調和振動を行います。 最高の
バイアス バツメートルポイントは 10 cm、最大速度 =
=20cm/秒。 振動の角周波数 ω と点の最大加速度を求めます。

6.11. 調和振動を行う点の最大速度は 10 cm/s、最大加速度 =
= 100 cm/秒 2 。 振動の角周波数 ω とその周期を求めます T
と振幅 A.初期位相をゼロとして、振動の方程式を書きます。

6.12. ポイントは法則に従って振動します。 ある時点での変位 バツ 1 点は 5 cm に等しいことがわかり、振動位相が 2 倍になると、変位 x は 8 cm に等しくなります。 あためらい。

6.13. ポイントは法則に従って振動します。
ある時点での変位 バツポイントは5cm、そのスピードは
= 20 cm/s および加速度 = -80 cm/s 2. 振幅を求める あ、角周波数 ω、周期 T考慮された瞬間の振動と位相。

振動の追加

6.14. 振幅が同じ、同じ方向の 2 つの調和振動 あ 1 =10cm、 あ 2 = 6 cm の振幅を含む 1 つの振動を合計します。 A= 14 cm 追加された振動の位相差を求めます。

6.15. 同じ直線に沿って方向付けられ、同じ振幅と周期を持つ 2 つの調和振動が合計され、同じ振幅の 1 つの振動になります。 追加された振動の位相差を求めます。

6.16. 振幅の決定 あそして初期フェーズ f の結果
振動 2つの振動が加わって起こる振動
同じ方向と同じ期間: そして
、 どこ あ 1 =あ 2 = 1cm; ω=π s -1 ; τ=0.5秒。 結果として生じる振動の方程式を求めます。

6.17. 点は 2 つの等しい方向の振動に参加します: と 、ここで あ 1 = 1cm; あ 2 = 2cm; ω=
= 1 秒 -1 。 振幅の決定 あ結果として生じる振動、
その周波数 v と初期位相 φ。 この運動方程式を求めてください。

6.18. 1つの高調波振動を2つ加算
均等な期間で統治する T 1 =T 2 =1.5 秒と振幅
あ 1 =A 2 = 2cm。 振動の初期段階と。 振幅の決定 あおよび結果として生じる振動の初期位相 φ。 その方程式を見つけてスケールに合わせて構築します
振幅加算のベクトル図。

6.19. 同じ方向、同じ周期の 3 つの高調波振動が加算されます。 T 1 =T 2 =T 3 =2と振幅 あ 1 =あ 2 =あ振動の初期位相φ １ ＝０、φ ２ ＝π／３、φ ３ ＝２π／３。 振幅加算のベクトル図を作成します。 図面から振幅を決定する あおよび結果として生じる振動の初期位相 φ。 その方程式を見つけてください。

6.20. 同じものの 2 つの調和振動
周波数と同じ方向: そして バツ 2 =
= 。 とりあえずベクトル図を描いてみる
時間 t=0。 振幅を分析的に決定する あそしてイニシャル
結果として生じる振動の位相 φ。 延期 あとベクトル上の φ
図。 結果として生じる振動の方程式 (コサインを経由した三角関数形式) を求めます。 二人で問題を解く
ケース: 1) あ 1 = 1cm、φ 1 =π/3; あ２＝２ｃｍ、φ２＝５π／６； 2) A1 = 1cm、
φ １ ＝２π／３； あ２＝１ｃｍ、φ２＝７π／６。

6.21. 2本の音叉が同時に鳴ります。 それらの振動の周波数ν 1 およびν 2 は、それぞれ440および440.5 Hzです。 期間を定義する Tビート。

6.22. 2つの相互に直交する振動が加算され、
式と で表されます。
あ 1 =2 cm、 あ 2 =1 cm、τ=0.5 秒。 軌道方程式を見つける
そしてそれを構築し、ポイントの移動方向を示します。

6.23. 点は、相互に直交する方向に発生する 2 つの調和振動を同時に実行します。
式と で表されます。
どこ あ 1 = 4cm、 あ 1 = 8 cm、 、τ = 1 秒。 点の軌跡の方程式を見つけて、その動きのグラフを作成します。

6.24. ある点は、同じ周波数の 2 つの調和振動を同時に実行し、次の式で表される相互に直交する方向に発生します。

点の軌跡の方程式を (8 つのケースについて) 見つけ、スケールに従ってそれを構築し、移動の方向を示します。 受け入れる： A=2 cm、 あ 1 = 3cm、 あ 2 = 1cm; φ １ ＝π／２、φ ２ ＝π。

6.25 。 点は、方程式と式で表される 2 つの相互に直交する振動に同時に関与します。
、 どこ あ 1 = 2cm、 あ 2 =1 cm の軌道方程式を求めます。
ポイントを指定して構築し、移動の方向を示します。

6.26. 点は、相互に直交する方向に発生する 2 つの調和振動を同時に実行します。
と式で表されます。 あ 1 =
=0.5cm; あ 2 = 2 cm 点の軌道の方程式を求めて作成します。
彼女は動きの方向を示します。

6.27. 点の運動は方程式によって与えられ、 y=
= 、ここで あ 1 =10cm、 あ 2 =5 cm、ω=2 s -1、τ=π/4 s。 探す
ある瞬間における点の軌道と速度の方程式 t=0.5秒。

6.28. 質点は、次の方程式で表される 2 つの相互に直交する振動に同時に関与します。
そして、どこ あ 1 =2 cm、 あ 2 = 1 cm を求めます。
軌道方程式を作成して構築します。

6.29. この点は、次の方程式で記述される、相互に直交する方向に発生する 2 つの調和振動に同時に関与します。

点の軌道の方程式を見つけ、スケールに従ってそれを構築し、移動の方向を示します。 受け入れる： あ=2cm; あ 1 =z cm。

6.30. 点は、互いに直交する 2 つの点に同時に関与します
方程式で表される眼の振動と

y=A2罪0.5Ω t、 どこ あ 1 = 2cm、 あ 2 =3 cm 点の軌道の方程式を見つけてそれを構築し、移動の方向を示します。

6.31. オシロスコープ画面上の発光点の変位は、2 つの相互に直交する振動の加算の結果であり、次の方程式で表されます。 x=A罪 3 ω tそして で=あ罪2ω t; 2) x=A罪3ω tそして y=あ cos2ω t; 3) x=A罪3ω tそしてy= あ cos ω t.

追加とスケールの観察というグラフィカルな方法を使用して、画面上に発光点の軌跡を構築します。 受け入れる あ=4cm。

調和振動のダイナミクス。 振り子

6.32. 質量のある物質点 T=50 g が振動し、その方程式は次の形式になります。 x=A cos ω て、どこ あ= 10 cm、ω=5 s -1。 強さを見つける F、点に作用する場合、次の 2 つの場合があります: 1) 位相 ω が立った瞬間。 t=π/3; 2) 点の最大変位の位置。

6.33. 質量を伴う質点の振動 T=0.1 g は式に従って発生します バツ=あ cos ω て、どこ あ=5cm; ω=20s -1 。 復元力F max と運動エネルギーの最大値を求める Tああ。

6.34. 復元力を求める F一瞬のうち t=1 秒およびフルエネルギー E法則に従って振動する質点 x=A cos ω t、 どこ A = 20センチメートル。 ω=2π/3s-1。 重さ T素材ポイントは10gです。

6.35. 質点の振動は次の方程式に従って発生します。 x=A cos ω て、どこ あ=8 cm、ω=π/6 s -1。 復元力が働く瞬間 F初めて -5 mN の値に達し、その点の位置エネルギー P は 100 μJ に等しくなりました。 この瞬間を見つけてください tとそれに対応する位相 ω t.

6.36. 重りの重さを量る メートル=250 g、バネで吊り下げられ、周期的に垂直に振動します T= 1と。硬さの決定 kスプリング。

6.37. 渦巻バネから重りが吊り下げられ、バネが 1 倍に伸びます。 x=9期間はどうなるかを参照してください Tウェイトを少し引き下げてから放すと、ウェイトは振動しますか?

6.38. ばねで吊り下げられたおもりは、ある振幅で垂直に振動します。 あ=4cmを求めます。 E剛性があればウェイトの振動 kスプリングは1kN/mです。

6.39. 2 つの数学的な振り子の振動周期の比が 1.5 の場合、その長さの比を求めます。

6.40. l=エレベーター内に1m設置。 エレベーターは加速して上昇します あ=2.5m/s 2. 期間を定義する T振り子の振動。

6.41. 細い棒の長さの端に 私= 30 cm の同一の重りが両端に 1 つずつ固定されています。 重りを付けたロッドは、ロッドの一方の端から d=10 cm の位置にある点を通過する水平軸の周りで振動します。 短縮された長さを決定する Lそして期間 Tこのような物理的な振り子の振動。 ロッドの質量は無視します。

6.42. ロッドの長さについて 私=30 cm、2 つの同一の重りが固定されています。1 つはロッドの中央に、もう 1 つはロッドの端の 1 つにあります。 重りを備えたロッドは、ロッドの自由端を通過する水平軸の周りで振動します。 短縮された長さを決定する Lそして期間 Tこのようなシステムの振動。 ロッドの質量は無視します。

6.43. 一定の長さのロッドで接続された 3 つの重りのシステム 私=30 cm (図 6.6)、図面の平面に垂直な点 O を通過する水平軸の周りで振動します。 期間を検索 Tシステムの振動。 ロッドの質量を無視し、荷重を物質点として考慮します。

6.44. 壁に水平に打ち込まれた釘に掛けられた薄いフープが、壁に平行な面内で振動します。 半径 Rフープは30cmです。周期を計算してください。 Tフープの振動。

6.45. 半径のある均質なディスク R=30 cm は、円盤の円筒面の母線の 1 つを通過する水平軸の周りで振動します。 期間は何ですか T彼の躊躇は？

6.46. ディスク半径 R= 24 cm は、円盤の平面に垂直な半径の 1 つの中央を通過する水平軸の周りで振動します。 短縮された長さを決定する Lそして期間 Tこのような振り子の振動。

6.47. 半径のある薄い均質なディスクから R= 20cm、半径のある円のような部分を切り出す r=図のように10cmです。 6.7. ディスクの残りの部分は、ディスクの円筒面の母線の 1 つと一致する水平軸 O に対して振動します。 期間を検索 Tこのような振り子の振動。

6.48. 数学的な振り子の長さ 私 1 = 40 cm と、長さの細い真っ直ぐな棒の形をした物理的な振り子 私 2 =60 cm は同じ水平軸の周りで同期して振動します。 距離を決定する あ振動軸からロッドの重心までの距離。

6.49. 一定の長さの細い真っ直ぐな棒の形をした物理的な振り子 私=120 cm は、少し離れた点を通り、ロッドに垂直を通る水平軸の周りを振動します。 あロッドの重心から。 どのような値で あ期間 T振動は最も重要性が低いでしょうか？

6.50. T小さな質量の球が取り付けられている T.振り子は、ロッド上の点 O を通過する水平軸の周りを振動します。 期間を定義する Tケースaの振り子の調和振動、 b、c、図に示すd。 6.8. 長さ 私棒の長さは1mです。ボールを材料点と考えてください。

6.51. 物理的な振り子は、質量を持つ細い均質な棒です。 T 2つの小さな質量球が取り付けられています Tそして2 T。 振り子は点を通る水平軸を中心に振動します。 についてロッドの上で。 場合の振り子の調和振動の周波数 ν を決定します。 あいうえお、図に示されています。 6.9. 長さ 私棒の長さは1mです。ボールを材料点と考えてください。

6.52. 体重 T=4 kg、水平軸に固定、周期的に振動 T 1 =0.8秒。 この軸に円盤を取り付け、その軸が本体の振動軸と一致すると、周期は T 2回の振動が1.2秒に等しくなりました。 半径 R円盤は20cmで、その質量は体の質量に等しい。 慣性モーメントを求める J振動軸に対する本体の相対的な関係。

6.53. 質量比重計 T=50 g、チューブ直径 d= 1 cm、水に浮きます。 比重計を水に少し浸した後、そのまま放置したところ、調和振動が発生し始めました。 期間を検索 Tこうした変動。

6.54. 両端が開いた、断面積のある U 字型のチューブになります。 S=0.4 cm 2 水銀の塊を素早く注ぎます T=200gを決定します。 T管の中の水銀の振動。

6.55. 断面が全長に沿って一定である膨らんだ丸太を垂直に水に浸し、(長さに比べて) ほんの一部だけが水の上に出ます。 期間 T丸太の振動は5秒です。 長さを決定する 私ログ

減衰振動

6.56. 時間の経過に伴う振り子の減衰振動の振幅 t1=5分が半分に短縮されました。 何時に t2、最初の瞬間から数えると、振幅は8倍に減少しますか？

6.57. その間 t=8 分、振り子の減衰振動の振幅は 3 分の 1 に減少しました。 減衰係数δを決定する .

6.58. 長さのある振り子の振動の振幅 l= 1回あたり1m t=10分が半分に短縮されました。 振動 Θ の対数減少を決定します。

6.59. 振り子の振動 Θ の対数減少は 0.003 です。 番号を決定する N振幅が半分になるために振り子が行わなければならない総振動数。

6.60. 重量質量 T=500gを剛性のあるコイルスプリングで吊り下げる k=20 N/m で、特定の媒質中で弾性振動を行います。 振動の対数減少 Θ=0.004。 番号を決める N振動の振幅を減少させるために分銅が行わなければならない完全な振動。 n=2回。 どれだけの時間 tこの減少は起こるでしょうか？

6.61. 体重 T=5 g は減衰振動を実行します。 しばらくの間 t= 50代になると、身体のエネルギーは60％失われます。 抗力係数の決定 b.

6.62. 期間を定義する T減衰振動、周期が T0システムの固有振動は 1 秒に等しく、振動の対数減少は Θ = 0.628 です。

6.64. 体重 T=1 kg は抗力係数のある粘性媒体中にあります b=0.05kg/秒。 2 つの同一の剛性のスプリングを使用する k=50 N/m 各ボディは平衡位置に保持され、バネは変形しません (図 6.10)。 体が平衡位置からずれてしまい、

解放されました。 決定: 1) 減衰係数 δ ; ２）振動の周波数ν。 ３）振動Θの対数減少。 4) 数字 Nその後、振幅は e 倍に減少します。

強制振動。 共振

6.65. 電気モーターの重力の影響で、電気モーターが取り付けられている片持ち梁が曲がります。 h=1mm。 どのくらいの速度で Pモーターの電機子が共振する危険性はありますか？

6.66. 車重 T=80tにはスプリングが4本あります。 剛性 k各スプリングのバネ力は500kN/mです。 長さがある場合、どのくらいの速度でレール接続部の衝撃により車両が大きく揺れ始めますか? 私レールは12.8mですか？

6.67. 振動システムは、周波数 ν=1000 Hz の減衰振動を実行します。 共振周波数 ν pe з =998 Hz の場合の固有振動の周波数 ν 0 を決定します。

6.68. 共振周波数が、減衰係数 δ=400 s -1 によって特徴付けられるシステムの固有振動の周波数 ν 0 =1 kHz とどの程度異なるかを決定します。

6.69. 固有振動数 ν 0 =10 kHz より Δν=2 Hz だけ低い周波数で共振が観察される振動系の振動の対数減少 Θ を求めます。

6.70. 期間 Tばね振り子の 0 の自然振動は 0.55 秒に相当します。 粘性媒体中では、周期 T同じ振り子の時間は 0.56 秒に等しくなりました。 振動の共振周波数 ν pe を決定します。

6.71. バネ振り子（剛性） kスプリングは10N/m、質量 T 100 g に等しい荷重) 抗力係数を持つ粘性媒体中で強制振動を実行します r=2・10 -2 kg/秒。 減衰係数δと共振振幅を決定します。 あ駆動力の振幅値がカットされている場合 F 0 =10 mN。

6.72. 物体は、抗力係数を持つ媒体中で強制振動を実行します。 r= 1g/秒。 減衰が小さいとして、共振振幅が​​小さい場合の駆動力の振幅値を決定します。 あ res =0.5 cm、固有振動の周波数 ν 0 は 10 Hz です。

6.73. 周波数ν １ ＝４００Ｈｚおよびν ２ ＝６００Ｈｚにおける強制調和振動の振幅は等しい。 共振周波数 ν pe h を決定します。 減衰を無視します。

6.74. コイルスプリングの剛性に k= 10N/mの質量を吊り下げる T=10 g とし、システム全体を粘性媒体に浸漬します。 抗力係数の取得 b 0.1 kg/s に等しい場合、以下を決定します。 1) 固有振動の周波数 ν 0。 2) 共振周波数 ν pe з; 3) 共振振幅 あ駆動力が調和則とその振幅値に従って変化する場合はカットします。 F 0 ==0.02N; 4) 力の影響下での静的変位に対する共振振幅の比 F0.

6.75. 駆動力の変化周波数が共振周波数より大きい場合、強制振動の振幅は共振振幅より何倍小さくなりますか: 1) 10%? 2) 2回? どちらの場合も、減衰係数 δ は 0.1 ω 0 に等しくみなされます (ω 0 は固有振動の角周波数です)。

§ 6. 機械的振動基本的な公式

調和方程式

どこ バツ -平衡位置からの振動点の変位。 t- 時間; あ、ω、φ - それぞれ振幅、角周波数、振動の初期位相。 t.

- 現時点の振動の位相

角周波数

ここで、ν と T は振動の周波数と周期です。

調和振動を行う点の速度は次のようになります。

調和振動時の加速度 あ振幅

どこ ある 1 1 つの直線に沿って発生する、同じ周波数の 2 つの振動を加算することによって得られる振動は、次の式で求められます。 あ 2 - そして

振動成分の振幅。 φ 1 とφ 2 は初期位相です。

結果として生じる振動の初期位相 φ は、次の式から求めることができます。

異なるが類似した周波数 ν 1 と ν 2 を持つ 1 つの直線に沿って発生する 2 つの振動を加算したときに生じるうなりの周波数、

振幅 A 1 および A 2、初期位相 φ 1 および φ 2 の 2 つの相互に直交する振動に関与する点の軌道の方程式、

振動成分の初期位相 φ 1 と φ 2 が同じである場合、軌道方程式は次の形式になります。

つまり、点は直線的に移動します。

位相差が の場合、方程式は次の形式になります。

つまり、点は楕円に沿って移動します。

質点の調和振動の微分方程式 k- または、m は点の質量です。 k=Tω2）。

準弾性力係数 (

調和振動を行う物質点の総エネルギーは次のようになります。

どこ メートルばねに吊り下げられた物体の振動周期（ばね振り子） k- - 体重;

スプリングの硬さ。

どこ 私この式は、フックの法則が満たされる範囲内の弾性振動に対して有効です (本体の質量に比べてばねの質量が小さい場合)。 g- 数学的な振り子の振動の周期

どこ J- 振り子の長さ;

重力の加速度。 物理的な振り子の振動周期 あ- 軸に対する振動体の慣性モーメント

ためらい。

- 振動軸から振り子の質量中心までの距離。

物理的な振り子の長さを短縮しました。

どこ J- 与えられた式は、振幅が微小な場合でも正確です。 有限の振幅の場合、これらの式は近似的な結果のみを与えます。 以下の振幅では、周期値の誤差は 1% を超えません。 k- 弾性糸で吊り下げられた物体のねじり振動の周期は

弾性糸と一致する軸に対する本体の慣性モーメント。

どこ r弾性糸の剛性。糸をねじったときに生じる弾性モーメントと糸をねじった角度の比に等しい。 - 減衰振動の微分方程式、または、

- 抵抗係数; δ

どこ 減衰係数: ; ω 0 - 振動の固有角周波数 *- 現時点の減衰振動の振幅 と;ω は角周波数です。

減衰振動の角周波数

О 減衰振動の振幅の時間依存性

どこ あ 0 - 瞬間の振動の振幅 t=0.

対数発振減衰量

どこ 減衰係数: ; ω 0 - 振動の固有角周波数 * 1 つの直線に沿って発生する、同じ周波数の 2 つの振動を加算することによって得られる振動は、次の式で求められます。 A(t+T)- 時間的に周期で区切られた 2 つの連続する振動の振幅。

強制振動の微分方程式

ここで、 は振動する物質点に作用して強制振動を引き起こす外部周期力です。 F 0 - その振幅値。

強制振動の振幅

共振周波数と共振振幅、

問題解決の例

例1.法則に従ってポイントが振動する x(t)= , どこ A=2初期位相 φ の決定を参照してください。

バツ(0)= cm および バツ , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

解決。 運動方程式を使ってその瞬間の変位を表してみましょう t=0 から初期フェーズまで:

ここから初期フェーズがわかります。

* 前に示した調和振動の公式では、同じ量を単に ω (添字 0 なし) で表しました。

この式に与えられた値を代入してみましょう バツ(0) と 答え:φ= = 。

引数の値は、次の 2 つの角度値によって満たされます。

角度 φ のこれらの値のどれが条件も満たすかを判断するために、まず次のことを見つけます。 tこの式に値を代入すると、

T =0 と、初期位相の値と を交互に求めると、次のようになります。 あいつものように

>0 かつ ω>0 の場合、初期位相の最初の値のみが条件を満たします。 したがって、望ましい初期段階は、 求められた φ の値を使用して、ベクトル図を作成します (図 6.1)。例2。 T質量のある物質点 ν =5 g は周波数に応じて調和振動を行います あ=0.5Hz。 発振振幅 =3 cm を決定します: 1) 速度 υ x=変位時のポイント E= 1.5cm; ２）点に作用する最大力Ｆ ｍａｘ 。 3) 図 6.1 総エネルギー

振動点。

そして、変位の 1 回微分値を取得することで速度の公式を取得します。 あ 2 , 速度を変位で表現するには、式(1)、(2)から時間を除く必要があります。 これを行うには、両方の方程式を二乗し、最初の方程式を次の値で割ります。

2 番目のものを A 2 ω 2 に追加し、次のようにします。 , 私たちは見つけます

υ の最後の方程式を解いたところ

この式を使用して計算を実行すると、次のようになります。 バツ、プラス記号は、速度の方向が軸の正の方向と一致する場合に対応します。 バツ。

マイナス記号 - 速度の方向が軸の負の方向と一致する場合

調和振動時の変位は、式(1)に加えて、次の式でも求めることができます。

2. ニュートンの第 2 法則を使用して、点に作用する力を求めます。

どこ A -点の加速度。これは速度の時間導関数を取得することで得られます。

加速度の式を式(3)に代入すると、

したがって、力の最大値は

この式に π 、 ν の値を代入すると、 T 1 つの直線に沿って発生する、同じ周波数の 2 つの振動を加算することによって得られる振動は、次の式で求められます。 あ、私たちは見つけます

3. 振動点の総エネルギーは、ある時点で計算された運動エネルギーと位置エネルギーの合計です。

総エネルギーを計算する最も簡単な方法は、運動エネルギーが最大値に達する瞬間です。 このとき位置エネルギーはゼロです。 したがって、総エネルギーは E振動点は最大運動エネルギーに等しい

式 (2)、設定: から最大速度を決定します。 速度の式を式 (4) に代入すると、次のようになります。

この式に数量の値を代入して計算すると、次のようになります。

またはμJ。

例 3.細い棒の長さの端に 私= 1 mと質量 メートル 3 = 400 g のマス付き強化小ボール メートル 1 =200g 1 つの直線に沿って発生する、同じ周波数の 2 つの振動を加算することによって得られる振動は、次の式で求められます。 メートル 2 = 300g。 ロッドは水平軸を中心に垂直に振動します。

ロッドの中央を通り、ロッドに直角です（図 6.2 の点 O）。 期間を定義する Tロッドによって引き起こされる振動。

解決。 ボールを備えた棒などの物理的な振り子の振動周期は、次の関係によって決まります。

どこ J- た -その質量。 私 と - 振り子の質量中心から軸までの距離。

この振り子の慣性モーメントはボールの慣性モーメントの合計に等しい J 1と J 2 とロッド J 3:

ボールを物点として、その慣性モーメントを次のように表現します。

軸はロッドの中央を通っているので、この軸に対する慣性モーメント J 3 = = . 結果の式を置き換える J 1 , J 2 そして J 3 を式 (2) に代入すると、物理振り子の総慣性モーメントが求められます。

この公式を使用して計算を実行すると、次のことがわかります。

米。 6.2 振り子の質量は、ボールの質量とロッドの質量で構成されます。

距離 私 と 以下の考察に基づいて、振動軸から振り子の質量中心を求めます。 軸なら バツロッドに沿って直進し、座標の原点を点に合わせます について、次に必要な距離 私振り子の質量中心の座標に等しい、つまり

数量の値を代入する メートル 1 , メートル 2 , メートル, 私計算を実行すると、次のことがわかります。

式 (1) を使用して計算すると、物理的な振り子の振動周期が得られます。

例4.物理的な振り子は一定の長さの棒です 私= 1 m、質量 3 T 1 と直径と質量の輪がその端の一方に取り付けられています T 1 . 横軸 オズ

振り子はロッドの中央を垂直に通過します (図 6.3)。 期間を定義する Tこのような振り子の振動。

解決。 物理的な振り子の振動周期は次の式で決まります。

どこ J- 振動軸に対する振り子の慣性モーメント。 た -その質量。 私 C - 振り子の質量中心から振動軸までの距離。

振り子の慣性モーメントはロッドの慣性モーメントの合計に等しい J 1 そしてフープ J 2:

ロッドに垂直で重心を通る軸に対するロッドの慣性モーメントは、次の式で求められます。 この場合 t= 3T 1と

シュタイナーの定理を使用してフープの慣性モーメントを求めます。 J- 任意の軸の周りの慣性モーメント。 J 0 - 所定の軸に平行な質量中心を通過する軸の周りの慣性モーメント。 A -指定された軸間の距離。 この式をフープに適用すると、次のようになります。

式の置換 J 1と J 2 を式 (2) に代入すると、回転軸に対する振り子の慣性モーメントが求められます。

距離 私 と 振り子の軸から重心までは以下に等しい

式(1)に式を代入すると J, 私 s と振り子の質量から、その振動の周期がわかります。

この式を使用して計算すると、次のようになります。 T=2.17秒。

例5。同じ方向の 2 つの振動が加算され、次の式で表されます。 バツ 2 = =、ここで あ 1 = 1 cm、 あ 2 =2 cm、s、s、ω = =。 1. 振動成分の初期位相 φ 1 および φ 2 を決定します。

バニヤ。 2. 振幅を求める あおよび結果として生じる振動の初期位相 φ。 結果として生じる振動の方程式を書きます。

解決。 1. 調和振動の方程式は次の形式になります。

問題ステートメントで指定された方程式を同じ形式に変換してみましょう。

式 (2) と等式 (1) の比較から、最初と 2 番目の振動の初期位相がわかります。

嬉しい、嬉しい。

2. 振幅を決定するには あ結果として生じる振動については、次のベクトル図を使用すると便利です。 米。 6.4. コサイン定理によれば、次のようになります。

ここで、 は振動の成分間の位相差です。 したがって、求められたφ 2 とφ 1 の値を代入すると、rad が得られます。

値を代入してみましょう あ 1 、A 2 そして式(3)に代入して計算を実行します。

あ= 2.65cm。

結果として生じる振動の初期位相 φ の正接を図から直接求めてみましょう。 6.4: 、初期段階はどこから来るのか

値を代入してみましょう あ 1 , あ 2 , φ 1、φ 2 を入力し、次の計算を実行します。

追加された振動の角周波数は同じであるため、結果として生じる振動は同じ周波数 ω になります。 これにより、結果として生じる振動の方程式を の形式で書くことができます。 あ=2.65 cm、 、rad。

例6。物質点は、互いに直交する 2 つの調和振動に同時に関与します。その方程式は次のようになります。

どこ ある 1 = 1cm、 あ 2 =2cm、. 点の軌道の方程式を求めます。 スケールに従って軌道を構築し、ポイントの移動方向を示します。

解決。 点の軌道の方程式を見つけるには、時間を消去します。 t与えられた式 (1) と (2) から。 これを行うには、次を使用します

公式を使ってみましょう。 したがって、この場合、

式(1)によると 、次に軌道方程式

結果として得られる式は、軸が軸と一致する放物線の方程式です。 おお。式 (1) と (2) から、座標軸に沿った点の変位は制限されており、軸に沿って -1 ～ +1 cm の範囲であることがわかります。 おお軸に沿って -2 ～ +2 cm おう。

軌道を構築するには、式 (3) を使用して値を見つけます。 そう、値の範囲に対応する バツ、条件 cm を満たし、テーブルを作成します。

座標軸を描画し、スケールを選択したら、それを平面上にプロットします。 xOyポイントを見つけました。 これらを滑らかな曲線で結ぶと、運動方程式(1)、(2)に従って振動する点の軌跡が得られます(図6.5)。

点の移動方向を示すために、その位置が時間の経過とともにどのように変化するかを監視します。 最初の瞬間に t=0 点の座標は等しい バツ(0)=1cm、 y(0) = 2 cm。たとえば、次の時点です。 t 1 =l s、点の座標は変化し、等しくなります。 バツ(1)= -1 cm、 y( t )=0. 最初とその後の (近い) 瞬間の点の位置がわかれば、軌道に沿った点の移動方向を示すことができます。 あ図では、 6.5 この移動方向は矢印で示されます（点から t原点へ）。 その瞬間の後 D、 2 = 2 秒で発振点はその点に到達します

反対方向に動くことになります。

タスク

6.1. 調和振動の運動学 T点振動の方程式は次の形式になります。ここで、ω=π s -1、τ=0.2 sです。 期間を定義する

6.2. および振動の初期位相 φ。 Tさん期間を定義する

6.3. 振動の周波数 v と初期位相 φ は次式で与えられます。ここで、ω=2.5π s -1、τ=0.4 s。 あ x(0)=2点は法則に従って振動します。 t=0.

6.4. マスメディア ; 2) x(0) = cm および ; あ 3) x(0)=2cm および ; 4) x(0)= および 。 とりあえずベクトル図を作成してみる= 2 点は法則に従って振動します。 バツ=4 cm の場合、初期位相 φ を決定します。 1) バツ x(0) バツマスメディア ; 2) t=0.