素数と合成数
定義1. いくつかの自然数の公約数は、これらの各数の約数である数です。
定義2. 最大公約数はと呼ばれます 最大公約数 (GCD).
例1. 30、45、60という数字の公約数は、3、5、15という数字です。 これらの数の最大公約数は次のとおりです。
GCD (30, 45, 10) = 15。
定義3. いくつかの数値の最大公約数が 1 である場合、これらの数値は次のように呼ばれます。 互いに素な.
例2。 数字 40 と 3 は互いに素な数字になりますが、数字 56 と 21 は互いに素ではありません。これは、数字 56 と 21 には 1 より大きい公約数 7 があるためです。
注記。 分数の分子と分母が互いに素数の場合、その分数は既約です。
最大公約数を求めるアルゴリズム
考えてみましょう 最大公約数を見つけるアルゴリズム次の例のいくつかの数値。
例 3. 100、750、800 の最大公約数を求めます。
解決 。 これらの数値を素因数に因数分解してみましょう。
素因数 2 は、最初の 2 乗の因数分解、2 番目の 1 乗の因数分解、および 3 番目の 5 乗の因数分解に含まれます。 と表しましょう 一番小さい これらの力を文字 a で表します。 それは明らかです ある = 1 .
素因数 3 は最初の 0 乗の因数分解に含まれ (つまり、因数 3 は最初の因数分解にまったく含まれません)、2 番目の因数分解では 1 の乗に含まれ、 3 番目の因数分解 - 0 乗。 と表しましょう 一番小さい これらの権限を文字 b で表します。 それは明らかです b = 0 .
素因数 5 は、最初の因数分解の 2 乗、2 番目の因数分解 - 3 乗、および 3 番目の因数分解 - 2 乗に含まれます。 と表しましょう 一番小さい これらの権限を文字 c で表します。 それは明らかです c = 2 .
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このトピックに関する6年生の数学の問題集Vilenkin、Zhokhov、Chesnokov、Shvartsburdの問題を解く：
§ 1. 数値の割り算:
6. 最大公約数。 共素数
146 数字 18 と 60 の公約数をすべて見つけます。 72、96、120。 35と88。
解決
147 a = 2・2・3・3、b = 2・3・3・5の場合、数値aとbの最大公約数の素因数分解を求めます。 a = 5・5・7・7・7、b = 3・5・7・7。
解決
148 数字 12 と 18 の最大公約数を求めます。 50と175。 675と825。 7920と594。 324、111、432。 320、640、960。
解決
149 35 と 40 という数字は互いに素ですか？ 77と20。 10、30、41; 231と280？
解決
150 35 と 40 という数字は互いに素ですか。 77と20。 10、30、41; 231と280？
解決
151 分子と分母が互いに素な、分母が 12 の適切な分数をすべて書き留めてください。
解決
152 男たちは新年のツリーで同じ贈り物を受け取りました。 すべての贈り物には、オレンジ 123 個とリンゴ 82 個が含まれていました。 クリスマスツリーには何人の子供がいましたか。 それぞれの贈り物にはオレンジが何個、リンゴが何個入っていましたか?
解決
153 町外への旅行の場合、工場労働者には同じ座席数のバスが数台割り当てられました。 424人が森へ、477人が湖へ行きました。 バスの座席はすべて埋まっており、座れない人は一人もいなかった。 バスは何台割り当てられ、各バスには何人の乗客が乗っていましたか?
解決
154 列を使って口頭で計算する
解決
155 図 7 を使用して、a、b、c が素数かどうかを判断します。
解決
156 辺が自然数で表され、すべての辺の長さの和が素数で表される立方体はありますか? 表面積は単純な数値で表されるのでしょうか？
解決
157 875 を素因数に因数分解する。 2376; 5625; 2025年; 3969; 13125。
解決
158 1 つの数が 2 つの素因数に分解でき、2 つ目の数が 3 つに分解できる場合、これらの数はなぜ等しくありませんか?
解決
159 そのうちの 2 つの積が他の 2 つの積と等しいような 4 つの異なる素数を見つけることは可能ですか?
解決
160 9人乗りのミニバスに9人の乗客を乗せる方法は何通りありますか? ルートをよく知っているドライバーの 1 人が運転手の隣に座った場合、どのように座ることができるでしょうか。
解決
161 式 (3 · 8 · 5-11):(8 · 11); の値を求めます。 (2 ·2 ·3 ·5 ·7):(2 ·3 ·7); (2 · 3 · 7 ·1 ·3):(3 ·7); (3 · 5 · 11 · 17 · 23):(3 · 11 · 17)。
解決
162 3/7 と 5/7 を比較します。 11/13 と 8/13、1 2/3 と 5/3。 2 2/7と3 1/5。
解決
163 分度器を使用して、AOB = 35°、DEF = 140°を作成します。
解決
164 1) レイ OM は展開角 AOB を AOM と MOB の 2 つに分割しました。 AOM 角度は MOB の 3 倍です。 AOM と PTO の角度は何ですか? それらを構築してください。 2) Beam OK は展開角 COD を SOK と KOD の 2 つに分割しました。 角度 SOK は KOD の 4 分の 1 です。 SOK と KOD の角度は何ですか? それらを構築してください。
解決
165 1) 労働者は長さ 820 メートルの道路を 3 日間で修復した。 火曜日に彼らはこの道路の 2/5 を修復し、水曜日には残りの部分の 2/3 を修復しました。 木曜日に労働者は何メートルの道路を補修しましたか? 2) 農場には牛、羊、ヤギ、合計 3400 頭の動物がいます。 ヒツジとヤギを合わせると全動物の9/17を占め、ヤギはヒツジとヤギの合計数の2/9を占めます。 農場には牛、羊、ヤギが何頭いますか。
解決
166 公分数として 0.3 という数値を提示します。 0.13; 0.2、小数として 3/8。 4 1/2; 3 7/25
解決
167 各数値を小数 1/2 + 2/5 として書き込むことによってアクションを実行します。 1 1/4 + 2 3/25
解決
168 項ができるだけ少なくなるように、素数項の合計として数値 10、36、54、15、27、および 49 を提示します。 素数項の和として数値を表すことについて、どのような提案ができますか?
解決
169 a = 3・3・5・5・5・7、b = 3・5・5・11の場合、数値aとbの最大公約数を求めます。 a = 2・2・2・3・5・7、b = 3・11・13。
この記事では、共素数とは何かについて説明します。 最初の段落では、2 つ、3 つ、またはそれ以上の互いに素な数の定義を定式化し、いくつかの例を示し、どのような場合に 2 つの数が互いに素であるとみなされるかを示します。 この後、主な特性の定式化とその証明に進みます。 最後の段落では、関連する概念であるペアごとの素数について説明します。
共素数とは何ですか
2 つ以上の整数は互いに素になる可能性があります。 まず、2 つの数値の定義を紹介します。これには、最大公約数の概念が必要です。 必要に応じて、その専用の資料を繰り返してください。
定義 1
このような 2 つの数 a と b は互いに素であり、その最大公約数は 1 に等しくなります。 GCD (a , b) = 1 。
この定義から、2 つの互いに素な数の唯一の正の公約数が 1 に等しいと結論付けることができます。 このような数のうち 2 つだけが 2 つの公約数 (1 とマイナス 1) を持ちます。
互いに素数の例にはどのようなものがありますか? たとえば、そのようなペアは 5 と 11 になります。 これらには 1 に等しい正の公約数が 1 つだけあり、これにより相互の単純さが裏付けられます。
2 つの素数をとった場合、それらは互いに素になりますが、このような相互関係は合成数の間でも形成されます。 相対素数のペアの一方の数が合成であり、もう一方の数が素数である場合、または両方が合成である場合があります。
このステートメントは次の例で説明されます。合成数 9 と 8 は互いに素なペアを形成します。 最大公約数を計算してこれを証明してみましょう。 これを行うには、すべての約数を書き留めます (数値の約数を求める記事をもう一度読むことをお勧めします)。 8 の場合、これらの数値は ± 1、± 2、± 4、± 8、9 の場合、± 1、± 3、± 9 になります。 私たちはすべての約数から共通で最大のものを選択します。これが統一です。 したがって、gcd (8, − 9) = 1 の場合、8 と - 9 は互いに素になります。
共素数は、別の公約数 5 があるため、500 と 45 ではありません (5 で割り切れる基準に関する記事を参照)。 5 は 1 より大きく、正の数です。 もう 1 つの同様のペアは、対応する割り算記号で示されているように、両方とも 3 で割ることができるため、-201 と 3 である可能性があります。
実際には、2 つの整数の相対的な素数を決定する必要があることがよくあります。 これを見つけることは、最大公約数を見つけてそれを 1 と比較することに要約できます。 不必要な計算を行わないように素数の表を使用すると便利です。指定された数値の 1 つがこの表にある場合、その数値は 1 だけで割り切れます。 このような問題の解決策を見てみましょう。
例1
状態：数値 275 と 84 が互いに素かどうかを調べます。
解決
どちらの数にも明らかに複数の約数があるため、すぐにそれらを素と呼ぶことはできません。
ユークリッド アルゴリズムを使用して最大公約数を計算します: 275 = 84 3 + 23、84 = 23 3 + 15、23 = 15 1 + 8、15 = 8 1 + 7、8 = 7 1 + 1、7 = 7 · 1.
答え： GCD (84, 275) = 1 であるため、これらの数値は互いに素になります。
前に述べたように、そのような数値の定義は、2 つの数値ではなく、それ以上の数値がある場合にも拡張できます。
定義 2
整数 a 1 、 a 2 、…、 a k 、 k > 2 は、最大公約数が 1 に等しい場合、互いに素になります。
言い換えれば、最大の正の約数が 1 より大きい一連の数値がある場合、これらすべての数値は相互に逆ではありません。
いくつかの例を見てみましょう。 したがって、整数 - 99、17、および - 27 は互いに素です。 数列 2、3、11、19、151、293、667 のように、任意の数の素数は母集団のすべてのメンバーと互いに素になります。 しかし、12、−9、900、そして − 72 1 に加えて 3 に等しい正の約数がもう 1 つあるため、相対素数にはなりません。 同じことが 17、85、187 という数字にも当てはまります。1 つを除いて、これらはすべて 17 で割ることができます。
通常、数値の相互素数は一見しただけでは明らかではありません。この事実は証明する必要があります。 いくつかの数値が互いに素であるかどうかを調べるには、それらの最大公約数を見つけ、その数値との比較に基づいて結論を導く必要があります。
例 2
状態： 数値 331、463、および 733 が互いに素であるかどうかを判断します。
解決
素数の表を確認して、これら 3 つの数字がすべて含まれていることを確認してみましょう。 その場合、それらの公約数は 1 つだけになります。
答え：これらの数値はすべて互いに素になります。
例 3
状態：数値 − 14、105、− 2 107、および − 91 が互いに素でないことを証明します。
解決
まずは最大公約数を特定し、それが 1 に等しくないことを確認しましょう。 負の数は対応する正の数と同じ約数を持つため、gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91) となります。 最大公約数を求める記事で示したルールによれば、この場合、gcd は 7 になります。
答え： 7 は 1 より大きく、これらの数値は互いに素ではないことを意味します。
共素数の基本的な性質
このような数値には、実際上重要な特性がいくつかあります。 順番に挙げて証明してみましょう。
定義 3
整数 a と b をそれらの最大公約数に対応する数で割ると、互いに素な数が得られます。 つまり、a: gcd (a, b) と b: gcd (a, b) は互いに素になります。
この性質はすでに証明されています。 証明は最大公約数の性質に関する記事にあります。 そのおかげで、互いに素な数のペアを決定することができます。必要なのは、任意の 2 つの整数を取り出し、GCD で割るだけです。 その結果、互いに素数が得られるはずです。
定義 4
数 a と b が互いに素であるための必要十分条件は、そのような整数が存在することです あなた0そして v0、等価性 a・u 0 + b・v 0 = 1本当だろう。
証拠1
この条件の必要性を証明することから始めましょう。 a と b で表される 2 つの互いに素な数があるとします。 そして、この概念の定義により、それらの最大公約数は 1 に等しくなります。 gcd の性質から、整数 a と b には Bezout 関係があることがわかります。 a · u 0 + b · v 0 = GCD (a , b)。 そこから次のことが分かります a・u 0 + b・v 0 = 1。 この後、条件が十分であることを証明する必要があります。 平等にしましょう a・u 0 + b・v 0 = 1この場合は true になります GCD (a、b)分割と , と b の場合、合計も除算されます a・u 0 + b・v 0、および単位をそれぞれ表します (これは、可算性の特性に基づいて議論できます)。 そして、これは次の場合にのみ可能です GCD (a, b) = 1これは、a と b が相互に単純であることを証明します。
実際、a と b が互いに素である場合、前の性質によれば、等価性は真になります。 a・u 0 + b・v 0 = 1。 両辺に c を掛けると、次のようになります。 a・c・u 0 + b・c・v 0 = c。 最初の学期を分割することができます a・c・u 0 + b・c・v 0これは a · c に対して可能であり、因数の 1 つが b に等しいため、第 2 項も b で割り切れます。 このことから、全体の合計は b で割ることができ、この合計は c に等しいため、c を b で割ることができると結論付けます。
定義5
2 つの整数 a と b が互いに素である場合、gcd (a c, b) = gcd (c, b) となります。
証拠2
GCD (a c, b) が GCD (c, b) を除算し、その後、GCD (c, b) が GCD (a c, b) を除算することを証明しましょう。これは、等価 GCD が正しいことの証明になります。 (a · c , b) = GCD (c , b) 。
GCD (a · c, b) は a · c と b の両方を除算し、GCD (a · c, b) は b を除算するため、b · c も除算します。 これは、GCD (a c, b) が a c と b c の両方を除算することを意味します。したがって、GCD の特性により、GCD (a c, b c) も除算され、c GCD (a, b ) = c と等しくなります。 したがって、GCD (a · c, b) は b と c の両方を除算するため、GCD (c, b) も除算します。
GCD (c, b) は c と b の両方を除算するため、c と a c の両方を除算することになるとも言えます。 これは、GCD (c, b) が a · c と b の両方を除算することを意味します。したがって、GCD (a · c, b) も除算します。
したがって、gcd (a c, b) と gcd (c, b) は相互に割り算されます。これは、それらが等しいことを意味します。
定義6
数値がシーケンスからのものである場合 a 1 、 a 2 、 … 、 a k数列の数に関して互いに素になります b 1、b 2、…、b m(k と m の自然値の場合)、その積 a 1 · a 2 · … · a kそして b 1 · b 2 · … · b m特に、比較的素数である a 1 = a 2 = … = a k = aそして b 1 = b 2 = … = b m = b、 それ ああそして bm- 相互に単純です。
証拠3
前のプロパティに従って、次の形式の等式を書くことができます: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (ak, b m) = 1。 最後の遷移の可能性は、a k と b m が条件によって互いに素であるという事実によって保証されます。 これは、GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 を意味します。
a 1 · a 2 · … · a k = A と表し、GCD (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … · b m , A) = GCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 。 これは、上で構築されたチェーンの最後の等価性により真となります。 したがって、等式 GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1 が得られ、これを使って積の相互素数を証明できます。 a 1 · a 2 · … · a kそして b 1 · b 2 · … · b m
これらはすべて、私たちが皆さんに話したい互いに素数の性質です。
ペアごとの素数の概念
互いに素数が何であるかを知ることで、ペアごとの素数の定義を定式化できます。
定義7
ペアごとの素数は整数 a 1 、 a 2 、...、 a k のシーケンスであり、各数値は他の数値に対して互いに素になります。
ペアごとの素数のシーケンスの例は、14、9、17、および - 25 です。 ここで、すべてのペア (14 と 9、14 と 17、14 と - 25、9 と 17、9 と - 25、17 と - 25) は互いに素です。 相互素数の条件は対素数には必須ですが、相互素数はすべての場合において対素数になるわけではないことに注意してください。 たとえば、8、16、5、15 というシーケンスでは、8 と 16 は互いに素ではないため、これらの数字はそのような数字ではありません。
特定の数の素数のコレクションという概念にも注目する必要があります。 それらは常に相互およびペアごとに単純になります。 例としては、シーケンス 71、443、857、991 があります。 素数の場合、相互素数と対素数の概念は一致します。
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覚えて！
自然数が 1 とそれ自体でのみ割り切れる場合、それは素数と呼ばれます。
自然数は常に 1 とそれ自体で割り切れます。
数字の 2 は最小の素数です。 これは唯一の偶数の素数であり、他のすべての素数は奇数です。
素数はたくさんありますが、その最初の数は 2 です。 ただし、最後の素数は存在しません。 「学習用」セクションでは、997 までの素数の表をダウンロードできます。
しかし、多くの自然数は他の自然数でも割り切れます。
例えば：
- 数字 12 は、1、2、3、4、6、12 で割り切れます。
- 36 という数字は、1、2、3、4、6、12、18、36 で割り切れます。
数値を整数で割り切れる数 (12 の場合、1、2、3、4、6、12) をその数値の約数と呼びます。
覚えて！
自然数aの約数は、与えられた数「a」を余りなしに割る自然数です。
約数が 3 つ以上ある自然数を合成といいます。
12 と 36 という数字には共通の因数があることに注意してください。 これらの数字は 1、2、3、4、6、12 です。 これらの数の最大の約数は 12 です。
与えられた 2 つの数「a」と「b」の公約数は、与えられた両方の数「a」と「b」を剰余なしで割った数です。
覚えて！
最大公約数与えられた 2 つの数値「a」と「b」の (GCD) は、両方の数値「a」と「b」を剰余なしで割った最大の数です。
簡単に言うと、数字「a」と「b」の最大公約数は次のように表されます。:
GCD (a; b) 。
例: gcd (12; 36) = 12。
解の表記における数の約数は、大文字の「D」で表されます。
D (7) = (1, 7)
D (9) = (1, 9)
GCD (7; 9) = 1
数字 7 と 9 の公約数は 1 つだけ、つまり数字 1 です。 このような数字はこう呼ばれます 素数.
覚えて！
共素数- これらは、公約数が 1 つだけ、つまり数値 1 だけを持つ自然数です。 彼らの gcd は 1 です。
最大公約数を見つける方法
2 つ以上の自然数の gcd を求めるには、次のものが必要です。
- 数値の約数を素因数に分解します。
縦棒を使って計算を書くと便利です。 行の左側にまず被除数を書き込み、右側に除数を書き込みます。 次に、左側の列に商の値を書き留めます。
早速例を挙げて説明しましょう。 数値 28 と 64 を素因数分解してみましょう。
- 両方の数値で同じ素因数を強調します。
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- 同一の素因数の積を見つけて、答えを書き留めます。
GCD (28; 64) = 2 2 = 4答え: GCD (28; 64) = 4
GCD の位置は、列内 (上記のように) または「行内」の 2 つの方法で形式化できます。
