Tyrinėdami geometrinių figūrų savybes, įrodėme nemažai teoremų. Tai darydami mes, kaip taisyklė, rėmėmės anksčiau įrodytomis teoremomis. Kokie yra pačių pirmųjų geometrijos teoremų įrodymai? Atsakymas į šį klausimą yra toks: išeities taškais priimami tam tikri teiginiai apie geometrinių figūrų savybes, kurių pagrindu įrodomos tolesnės teoremos ir apskritai konstruojama visa geometrija. Tokios pradinės pozicijos vadinamos aksiomos.
Kai kurios aksiomos buvo suformuluotos dar pirmame skyriuje (nors ten jos nebuvo vadinamos aksiomomis). Pavyzdžiui, tai aksioma, kad
Daugelis kitų aksiomų, nors ir nebuvo ypač akcentuojamos, iš tikrųjų buvo naudojamos mūsų samprotavimuose. Taigi mes palyginome du segmentus, uždėdami vieną segmentą ant kito. Tokio sutapimo galimybė išplaukia iš šios aksiomos:
Dviejų kampų palyginimas pagrįstas panašia aksioma:
Visos šios aksiomos yra aiškiai akivaizdžios ir nekelia abejonių. Pats žodis „aksioma“ kilęs iš graikų „axios“, kuris reiškia „vertingas, vertas“. Vadovėlio pabaigoje pateikiame visą planimetrijos aksiomų, priimtų mūsų geometrijos kurse, sąrašą.
Šis požiūris į geometrijos konstravimą, kai pirmiausia suformuluojamos pradinės pozicijos - aksiomos, o vėliau loginiu samprotavimu įrodomi kiti teiginiai, kilęs iš senovės ir aprašytas garsiajame senovės graikų veikale „Principai“. mokslininkas Euklidas. Kai kurias Euklido aksiomas (kai kurias jis pavadino postulatai) ir dabar naudojami geometrijos kursuose, o pati geometrija, pateikta „Elementuose“, vadinama Euklido geometrija. Kitoje pastraipoje susipažinsime su viena žinomiausių geometrijos aksiomų.
Lygiagrečių tiesių aksioma
Apsvarstykite savavališką tiesę a ir tašką M, kuris nėra joje (110 pav., a). Įrodykime, kad per tašką M galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią tiesei a. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite dvi tiesias linijas per tašką M: pirmiausia tiesę c, statmeną tiesei a, o po to tiesę b, statmeną tiesei c (110 pav., (b). Kadangi tiesės a ir b yra statmenos tiesi linija c, jos yra lygiagrečios.
Ryžiai. 110
Taigi per tašką M eina tiesė b, lygiagreti tiesei a. Kyla toks klausimas: ar per tašką M galima nubrėžti kitą tiesę, lygiagrečią tiesei a?
Mums atrodo, kad jei tiesė b bus „pasukusi“ net labai mažu kampu aplink tašką M, tai ji susikirs su tiese a (tiesė b“ 110.6 pav.) Kitaip tariant, mums atrodo, kad ji yra neįmanoma nubrėžti kitos tiesės per tašką M (skirtingą nuo b), lygiagrečios tiesei a. Ar įmanoma įrodyti šį teiginį?
Šis klausimas turi ilgą istoriją. Euklido „Elementuose“ yra postulatas (penktasis Euklido postulatas), iš kurio išplaukia, kad per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, lygiagrečiai duotajai gali būti nubrėžta tik viena tiesė. Daugelis matematikų nuo seniausių laikų bandė įrodyti penktąjį Euklido postulatą, tai yra, išvesti jį iš kitų aksiomų. Tačiau šie bandymai kiekvieną kartą buvo nesėkmingi. Ir tik praėjusiame amžiuje buvo galutinai išaiškinta, kad teiginys apie tiesės, einančios per tam tikrą tašką lygiagrečiai tam tikrai tiesei, unikalumą negali būti įrodytas remiantis likusiomis Euklido aksiomomis, o pats yra aksioma.
Didysis rusų matematikas Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis (1792–1856) atliko didžiulį vaidmenį sprendžiant šį sudėtingą klausimą.
Taigi, kaip kitą atspirties tašką mes priimame lygiagrečių tiesių aksioma.
Teiginiai, kurie yra išvesti tiesiogiai iš aksiomų arba teoremų, vadinami pasekmes. Pavyzdžiui, 1 ir 2 teiginiai (žr. p. 35) yra lygiašonio trikampio pusiausvyros teoremos pasekmės.
Panagrinėkime kai kurias išvadas iš lygiagrečių tiesių aksiomos.
Iš tiesų, tebūnie tiesės a ir b lygiagrečios, o tiesė c kerta tiesę a taške M (111 pav., a). Įrodykime, kad tiesė c taip pat kerta tiesę b. Jei tiesė c nesikirstų tiesės b, tai per tašką M eitų dvi tiesės (tiesės a ir c), lygiagrečios tiesei b (111 pav., b). Bet tai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai, todėl tiesė c kerta tiesę b.
Ryžiai. 111
Iš tiesų, tebūnie tiesės a ir b lygiagrečios tiesei c (112 pav., a). Įrodykime, kad a || b. Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios, tai yra susikerta tam tikrame taške M (112.6 pav.). Tada per tašką M eina dvi tiesės (tiesės a ir b), lygiagrečios tiesei c.
Ryžiai. 112
Bet tai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga, o tai reiškia, kad tiesės a ir b yra lygiagrečios.
Teoremos apie kampus, sudarytus iš dviejų lygiagrečių tiesių ir skersinės
Kiekviena teorema turi dvi dalis: sąlyga Ir išvada. Teoremos sąlyga yra tai, kas duota, o išvada yra tai, ką reikia įrodyti.
Panagrinėkime, pavyzdžiui, teoremą, išreiškiančią dviejų tiesių lygiagretumo kriterijų: jei dviem tiesėms susikertant su skersine, gulėjimo kampai yra lygūs, tai tiesės lygiagrečios.
Šioje teoremoje sąlyga yra pirmoji teiginio dalis: „kai dvi tiesės susikerta skersai, gulėjimo kampai yra lygūs“ (tai pateikta), o išvada yra antroji dalis: „tiesės lygiagrečios“ (to reikia turi būti įrodyta).
Šios teoremos atvirkštinė pusė, yra teorema, kurios sąlyga yra teoremos išvada, o išvada yra teoremos sąlyga. Įrodykime, kad teoremos yra priešingos trims 25 pastraipoje pateiktoms teoremoms.
Teorema
Įrodymas
Tegul lygiagrečias tieses a ir b kerta sekantas MN. Įrodykime, kad kryžminiai kampai, pavyzdžiui, 1 ir 2, yra lygūs (113 pav.).
Ryžiai. 113
Tarkime, kad kampai 1 ir 2 nėra lygūs. Iš spindulio MN atimkime kampą PMN, lygų kampui 2, kad ∠PMN ir ∠2 būtų skersiniai kampai tiesių MR ir b susikirtimo taške MN. Pagal konstrukciją šie sukryžiuoti kampai yra lygūs, todėl MR || b. Mes nustatėme, kad per tašką M yra dvi tiesės (tiesės a ir MR), lygiagrečios tiesei b. Bet tai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga ir ∠1 = ∠2. Teorema įrodyta.
komentuoti
Įrodydami šią teoremą panaudojome samprotavimo metodą, vadinamą įrodinėjant prieštaravimu.
Darėme prielaidą, kad kai lygiagrečios tiesės a ir b susikerta su skersiniu MN, gulėjimo kampai 1 ir 2 nėra lygūs, t. Remdamiesi šia prielaida, per samprotavimus priėjome prieštaravimą lygiagrečių tiesių aksiomai. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga, todėl ∠1 = ∠2.
Šis samprotavimo būdas dažnai naudojamas matematikoje. Jį naudojome anksčiau, pavyzdžiui, 12 pastraipoje įrodydami, kad dvi tiesės, statmenos trečiajai, nesikerta. Tą patį metodą panaudojome 28 pastraipoje norėdami įrodyti lygiagrečių tiesių aksiomos 1 0 ir 2 0 padarinius.
Pasekmė
Iš tiesų, tegul a || b, c ⊥ a, t.y. ∠1 = 90° (114 pav.). Tiesė c kerta tiesę a, taigi ji taip pat kerta tiesę b. Kai lygiagrečios tiesės a ir b susikerta su skersine c, susidaro vienodi skersiniai kampai: ∠1=∠2. Kadangi ∠1 = 90°, tai ∠2 = 90°, t.y., c ⊥ b, ką ir reikėjo įrodyti.
Ryžiai. 114
Teorema
Įrodymas
Lygiagrečias tieses a ir b kerta sekantas c. Įrodykime, kad atitinkami kampai, pavyzdžiui, 1 ir 2, yra lygūs (žr. 102 pav.). Kadangi a || b, tada skersiniai kampai 1 ir 3 yra lygūs.
2 ir 3 kampai yra lygūs vertikaliems. Iš lygybių ∠1 = ∠3 ir ∠2 = ∠3 išplaukia, kad ∠1 = ∠2. Teorema įrodyta.
Teorema
Įrodymas
Tegul lygiagrečias tieses a ir b kerta sekantas c (žr. 102 pav.). Pavyzdžiui, įrodykime, kad ∠1 + ∠4 = 180°. Kadangi a || b, tada atitinkami kampai 1 ir 2 yra lygūs. 2 ir 4 kampai yra gretimi, todėl ∠2 + ∠4 = 180°. Iš lygybių ∠1 = ∠2 ir ∠2 + ∠4 = 180° išeina, kad ∠1 + ∠4 = 180°. Teorema įrodyta.
komentuoti
Jei įrodyta tam tikra teorema, atvirkštinis teiginys neseka. Be to, ne visada tiesa. Pateikime paprastą pavyzdį. Mes žinome, kad jei kampai yra vertikalūs, jie yra lygūs. Priešingas teiginys: „jei kampai yra lygūs, jie yra vertikalūs“, žinoma, yra klaidingas.
Kampai su atitinkamai lygiagrečiomis arba statmenomis kraštinėmis
Įrodykime teoremą apie kampus su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis.
Teorema
Įrodymas
Tegul ∠AOB ir ∠A 1 O 1 B 1 yra nurodyti kampai ir OA || O 1 A 1 , OB || Maždaug 1 iš 1. Jei išvystytas kampas AOB, tai ir kampas A 1 O 1 B 1 (paaiškinkite kodėl), taigi šie kampai yra lygūs. Tegu ∠AOB yra neišplėtotas kampas. Galimi kampų AOB ir A 1 O 1 B 1 išsidėstymo atvejai parodyti 115 pav., a ir b. Tiesė O 1 B 1 kerta tiesę O 1 A 1 ir dėl to kerta jai lygiagrečią tiesę OA tam tikru tašku M. Lygiagrečias tieses OB ir O 1 B 1 kerta sekanti OM, todėl viena iš kampai, susidarę tiesių O 1 B 1 ir OA sankirtoje (115 pav. 1 kampas), yra lygus kampui AOB (kaip ir skersiniai kampai). Lygiagrečias tieses OA ir O 1 A 1 kerta sekantas O 1 M, todėl arba ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (115 pav., a), arba ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (115 pav., b). Iš lygybės ∠1 = ∠AOB ir paskutinių dviejų lygčių išplaukia, kad arba ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (žr. 115 pav., a), arba ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (žr. 115 pav., b). Teorema įrodyta.
Ryžiai. 115
Dabar įrodykime teoremą apie kampus su atitinkamai statmenomis kraštinėmis.
Teorema
Įrodymas
Tegu ∠AOB ir ∠A 1 O 1 B 1 pateikti kampai, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Jei kampas AOB yra atvirkštinis arba tiesus, tada kampas A 1 O 1 B 1 yra atvirkštinis arba tiesus (paaiškinkite kodėl), todėl šie kampai yra lygūs. Tegul ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Galimi du atvejai (116 pav.).
1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (žr. 116 pav., b). Nubrėžkime spindulį OS taip, kad kampas AOS būtų greta kampo AOB. Kampas AOC yra smailusis, o jo kraštinės yra atitinkamai statmenos kampo A 1 O 1 B 1 kraštinėms. Todėl arba ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, arba ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . Pirmuoju atveju ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, antruoju atveju ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Teorema įrodyta.
Užduotys
196. Duotas trikampis ABC. Kiek tiesių, lygiagrečių kraštinei AB, galima nubrėžti per viršūnę C?
197. Per tašką, esantį ne tiesėje p, nubrėžtos keturios tiesės. Kiek iš šių tiesių kerta tiesę p? Apsvarstykite visus galimus atvejus.
198. Tiesės a ir b yra statmenos tiesei p, tiesė c kerta tiesę a. Ar tiesė c kerta tiesę b?
199. Tiesė p lygiagreti trikampio ABC kraštinei AB. Įrodykite, kad tiesės BC ir AC kerta tiesę p.
200. 117 paveiksle AD || p ir PQ || Saulė. Įrodykite, kad tiesė p kerta tieses AB, AE, AC, BC ir PQ.
Ryžiai. 117
201. Skersinių kampų suma, kai dvi lygiagrečios tiesės susikerta su skersine, lygi 210°. Raskite šiuos kampus.
202. 118 paveiksle tieses a, b ir c kerta tiese d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Kurios iš tiesių a, b ir c yra lygiagrečios?
Ryžiai. 118
203. Raskite visus kampus, susidariusius, kai dvi lygiagrečios tiesės a ir b susikerta su skersine c, jei:
a) vienas iš kampų yra 150°;
b) vienas iš kampų yra 70° didesnis už kitą.
204. Atkarpos AB galai yra lygiagrečiose tiesėse a ir b. Tiesė, einanti per šios atkarpos vidurį O, kerta tieses a ir b taškuose C ir D. Įrodykite, kad CO = OD.
205. Naudodami duomenis 119 paveiksle raskite ∠1.
Ryžiai. 119
206. ∠ABC = 70°, o ABCD = 110°. Gali nukreipti AB ir CD:
a) lygiagrečiai;
b) susikerta?
207. Atsakykite į 206 uždavinio klausimus, jei ∠ABC = 65° ir ∠BCD = 105°.
208. Skirtumas tarp dviejų vienpusių kampų, kai dvi lygiagrečios tiesės susikerta su skersine, yra 50°. Raskite šiuos kampus.
209. 120 a paveiksle || b, c || d, ∠4 = 45°. Raskite 1, 2 ir 3 kampus.
Ryžiai. 120
210. Du kūnai P 1 ir P 2 pakabinti ant sriegio, permesto per blokus A ir B, galuose (121 pav.). Trečiasis korpusas P 3 pakabinamas ant to paties sriegio taške C ir subalansuoja kūnus P 1 ir P 2. (Šiuo atveju AP 1 || BP 2 || CP 3 .) Įrodykite, kad ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
Ryžiai. 121
211. Dvi lygiagrečias tieses kerta skersinė. Įrodykite, kad: a) priešingų kampų pusiausvyros lygiagrečios; b) vienpusių kampų pusiausvyros yra statmenos.
212. Tiesės, turinčios trikampio ABC aukščius AA 1 ir BB 1, susikerta taške H, kampas B bukas, ∠C = 20°. Raskite kampą ABB.
Atsakymai į problemas
196. Viena tiesė.
197. Trys ar keturi.
201. 105°, 105°.
203. b) Keturi kampai yra 55°, kiti keturi kampai yra 125°.
206. a) Taip; b) taip.
207. a) Ne; b) taip.
208. 115° ir 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3 = 135°.
210. Nurodymas. Apsvarstykite pluošto CP 3 tęsinį.
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Baigė 7 klasės mokinys "G" MBOU "OK "Lyceum No. 3" Gavrilov Dmitry
Aksioma
Kilęs iš graikų kalbos „axios“, kuris reiškia „vertingas, vertas“ Pozicija, priimta be loginio įrodymo dėl tiesioginio įtikinėjimo, yra tikroji teorijos pradinė pozicija. (Tarybinis enciklopedinis žodynas)
Parsisiųsti:
Peržiūra:
Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Lygiagrečių linijų aksioma Užpildė 7 „G“ klasės mokinys MBOU „OK „Lyceum No. 3“ Gavrilov Dmitry 2015-2016 mokslo metai (mokytoja Konareva T.N.)
Žinomi apibrėžimai ir faktai. Užbaikite sakinį. 1. Tiesė x vadinama skersine tiesių a ir b atžvilgiu, jei... 2. Susikertant dviem tiesioms, skersinė susidaro... neišvystytų kampų. 3. Jei tieses AB ir C D kerta tiesė B D, tai tiesė B D vadinama... 4. Jei taškai B ir D yra skirtingose pusės plokštumose, palyginti su skenuojančia AC, tai kampai BAC ir DCA vadinami... 5. Jei taškai B ir D yra vienoje pusiau plokštumoje AC atžvilgiu, tai kampai BAC ir DCA vadinami... 6. Jei vienos poros vidiniai kampai lygūs, tai kitos poros vidiniai kampai. yra lygūs... D C A C B D A B
Užduoties tikrinimas. 1. ...jei kerta juos dviejuose taškuose 2. 8 3. ... sekantas 4. ... skersai guli 5. ... vienpusis 6. ... lygus
Rungtynės a) a b m 1) a | | b, kadangi vidiniai skersiniai kampai lygūs b) 2) a | | b, kadangi atitinkami kampai lygūs c) a b 3) a | | b, kadangi vidinių vienpusių kampų suma lygi 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150 º
Apie geometrijos aksiomas
Aksioma kilusi iš graikų kalbos „axios“, o tai reiškia „vertingas, vertas“. Pozicija, priimta be loginio įrodymo dėl tiesioginio įtikinėjimo, yra tikroji pradinė teorijos pozicija. Sovietinis enciklopedinis žodynas
Tiesė eina per bet kuriuos du taškus ir tik vieną, kiek tiesių galima nubrėžti per bet kuriuos du taškus, esančius plokštumoje?
Ant bet kurio spindulio nuo jo pradžios galima atidėti atkarpą, lygią duotajam, o be to, kiek tam tikro ilgio atkarpų galima atleisti nuo spindulio pradžios?
Iš bet kurio spindulio tam tikra kryptimi galima nubraižyti kampą, lygų duotam neišsivysčiusiam kampui, ir tik vieną kampų, lygių duotam, galima nubrėžti nuo duoto spindulio iki duotosios pusės plokštumos?
aksiomos teoremos loginis samprotavimas garsusis esė "Principia" Euklido geometrija Loginė geometrijos konstrukcija
Lygiagrečių tiesių aksioma
M a Įrodykime, kad per tašką M galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią tiesei a c b a ┴ c b ┴ c a II c
Ar galima per tašką M nubrėžti kitą tiesę, lygiagrečią tiesei a? a M in 1 Ar įmanoma tai įrodyti?
Daugelis matematikų nuo seniausių laikų bandė įrodyti šį teiginį, o Euklido elementuose šis teiginys vadinamas penktuoju postulatu. Bandymai įrodyti penktąjį Euklido postulatą buvo nesėkmingi ir tik XIX amžiuje buvo galutinai išaiškinta, kad teiginys apie tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygiagrečią tam tikrai tiesei, unikalumą negali būti įrodytas remiantis likusiomis Euklido aksiomomis. , bet pati yra aksioma. Sprendžiant šį klausimą didžiulį vaidmenį atliko rusų matematikas Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis.
Penktasis Euklido postulatas 1792-1856 Nikolajus Ivanovičius
"Per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, eina tik viena linija, lygiagreti nurodytai linijai." „Per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, galima nubrėžti liniją, lygiagrečią nurodytai linijai“. Kuris iš šių teiginių yra aksioma? Kuo skiriasi aukščiau pateikti teiginiai?
Per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina tik viena tiesė, lygiagreti duotajai. Teiginiai, išvesti iš aksiomų arba teoremų, vadinami išvadomis 1. Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tada ji kerta ir kitą. a II b , c b ⇒ c a Lygiagretumo aksioma ir pasekmės iš jos. a A Išvada 2. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios. a II c, b II c a II b a b c c b
Žinių įtvirtinimas. Testas Teisingus teiginius pažymėkite „+“ ženklu, o klaidingus – „-“ ženklu. 1 variantas 1. Aksioma yra matematinis teiginys apie geometrinių figūrų savybes, kurį reikia įrodyti. 2. Tiesi linija eina per bet kuriuos du taškus. 3. Ant bet kurio spindulio nuo pat pradžių galite braižyti segmentus, lygius duotam, ir tiek, kiek norite. 4. Per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina tik viena tiesė, lygiagreti duotai tiesei. 5. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai, tai jos lygiagrečios viena kitai. 2 variantas 1. Aksioma – tai matematinis teiginys apie geometrinių figūrų savybes, priimtas be įrodymų. 2. Tiesi linija eina per bet kuriuos du taškus ir tik vieną. 3. Per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina tik dvi tiesės, lygiagrečios duotai tiesei. 4. Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji yra statmena kitai tiesei. 5. Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji kerta ir kitą.
Testo atsakymai 1 variantas 1. "-" 2. "-" 3. "-" 4. "+" 5. "+" 2 variantas "+" "+" "-" "-" "+"
„Geometrija kupina nuotykių, nes už kiekvienos problemos slypi minties nuotykis. Išspręsti problemą reiškia patirti nuotykį. (V. Proizvolovas)
1. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios:
Jeigu a||c Ir b||c, Tai a||b.
2. Jei dvi tiesės yra statmenos trečiajai tiesei, tai jos yra lygiagrečios:
Jeigu a⊥c Ir b⊥c, Tai a||b.
Likę tiesių lygiagretumo ženklai yra pagrįsti kampais, susidariusiais, kai dvi tiesės susikerta su trečiąja.
3. Jei vidinių vienpusių kampų suma lygi 180°, tai tiesės lygiagrečios:
Jei ∠1 + ∠2 = 180°, tada a||b.
4. Jei atitinkami kampai lygūs, tai tiesės lygiagrečios:
Jei ∠2 = ∠4, tada a||b.
5. Jei vidiniai skersiniai kampai lygūs, tai tiesės lygiagrečios:
Jei ∠1 = ∠3, tada a||b.
Lygiagrečių tiesių savybės
Teiginiai, atvirkštiniai lygiagrečių tiesių savybėms, yra jų savybės. Jie pagrįsti kampų, susidarančių susikertant dviem lygiagrečioms tiesėms su trečiąja linija, savybėmis.
1. Kai dvi lygiagrečios tiesės kerta trečią tiesę, jų suformuotų vidinių vienpusių kampų suma lygi 180°:
Jeigu a||b, tada ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Kai dvi lygiagrečios tiesės kerta trečią tiesę, jų suformuoti atitinkami kampai yra lygūs:
Jeigu a||b, tada ∠2 = ∠4.
3. Kai dvi lygiagrečios tiesės kerta trečią tiesę, jų suformuoti skersiniai kampai yra lygūs:
Jeigu a||b, tada ∠1 = ∠3.
Ši savybė yra ypatingas kiekvieno ankstesnio atvejis:
4. Jei tiesė plokštumoje yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai:
Jeigu a||b Ir c⊥a, Tai c⊥b.
Penktoji savybė yra lygiagrečių tiesių aksioma:
5. Per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, galima nubrėžti tik vieną tiesę, lygiagrečią duotai tiesei.
