Kaip rasti nuolatinio atsitiktinio dydžio būdingąją funkciją. Būdinga atsitiktinio dydžio funkcija

Būdinga funkcija atsitiktinis kintamasis X vadinama Furjė atsitiktinio dydžio skirstinio transformacija:

Savybės

Įrodymas.

Įrodymas.

Natūralu, ši savybė apima didesnį skaičių terminų:

.

φ (t) yra tolygiai ištisinis.

Įrodymas.

Gauta galutinė išraiška priklauso tik nuo h. Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui galime rašyti

.

Įrodymas. Jei yra k didumo momentas X, tada, naudojant diferenciaciją po integralo ženklu (tai įmanoma, nes p(x) egzistuoja), gauname

Su kiekvienu paskesniu diferencijavimu jis „nunešamas“ i E[ X], taigi po k gauname skirtumus i k E[ X k]. Šis rezultatas gali būti pavaizduotas formoje

.

Charakteristinė funkcija vienareikšmiškai nustato atsitiktinio dydžio pasiskirstymą.

Ypatingų atvejų įrodymas

Leiskite X - sveikasis diskretinis atsitiktinis kintamasis ( k Z), tada (atvirkštinė Furjė transformacija)

(Furjė serija, kurios koeficientai yra p k), Tada

Visos sąlygos, kurioms k≠m, suteikite 0 (pagal ortogonalumą), ir lieka

.

Leiskite φ (t) yra absoliučiai integruojamas realioje linijoje ir yra pasiskirstymo tankis p(x) 11 .

Pabandykime išreikšti p(x) per būdingąją funkciją. Užsirašykime atvirkštinė konversija Furjė funkcijos φ :

.

Turint tai omenyje

Nes

Keisdami kintamuosius gauname

ir todėl

.

Jei (*) antrajame integrale abi integracijos ribos turi tuos pačius ženklus, gauname 0; jei skiriasi – baigtinis skaičius. Tai yra, yra ne nulinė riba a<y<b. Tokiu atveju atsiras integralas nuo −∞ iki ∞, lygus π . Iš čia

Gauta:

,

vadinasi, p yra visiškai nulemtas būdingos funkcijos.

.

Įrodymas..

Charakteristinės funkcijos kriterijus

Funkcija φ X (t) – atsitiktinio dydžio charakteristika X jei ir tik tada:

φ X (0) = 1,

φ X (t) teigiamas apibrėžtas.

Funkcija φ (t) vadinamas teigiamas apibrėžtas(teigiamas definitas), jei

o lygybė nuliui pasiekiama tik tada, kai z i = 0i. Jei susilpninsime lygybės pasiekimo sąlygą iki nulio, gausime neneigiamas apibrėžtas funkcija.

Patikrinkim kad charakteristinė funkcija yra teigiama apibrėžtoji:

Loginis pagrindas. Pagal 5 nuosavybę)

At k= 1, gauname,

At k= 2 -.

Jeigu E X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Pavyzdžiai

Sprendimas. Išraišką sumažinkime iki formos

Nesunku tai pamatyti
. Po transformacijos galite rašyti
.

Pažiūrėkime į vertybes p i :

Išvada:cos 2 t yra būdinga funkcija diskretiniam atsitiktiniam dydžiui, kurio reikšmė yra 0 su tikimybe 1/2, o reikšmės 2 ir −2 su tikimybe 1/4.

Apskaičiuokite būdingą funkciją išsigimęs atsitiktinis kintamasis: P(X= 0) = 1.

Sprendimas..

Jeigu P(X=C) = 1, gauname.

Sprendimas. Išraišką sumažinkime iki formos

.

Pažiūrėkime į vertybes p i :

Gauta: Tai būdinga diskretinio atsitiktinio dydžio funkcija.

Sprendimas. Leiskite Y=X–X′ , Tada

Išvada: bet kurios charakteringos funkcijos modulio kvadratas vėl yra būdingoji funkcija.

Leiskite X,Y - atsitiktiniai dydžiai su būdingomis funkcijomis φ X (t) Ir φ Y (t);a,b> 0 – tokios konstantos, kad a+b= 1. Apsvarstykite funkciją

Ar tai būdinga, ir jei taip, kokiam atsitiktiniam dydžiui?

Atsakymas: taip, yra. Tegu atitinkamos paskirstymo funkcijos X Ir Y - F X (x) Ir F Y (y). Panagrinėkime funkciją. Akivaizdu, kad tai yra paskirstymo funkcija, nes

Tada tikimybės tankis

Jeigu φ (t) – būdinga funkcija X, Tai φ (−t) – būdinga funkcija (– X).

Leiskite φ (tX(iš 4 pavyzdžio)).

, tada yra (t f φ (t)]

Sprendimas) =Re[

Leiskite φ (t. Akivaizdu, F X (x) atitinka paskirstymo funkciją φ (t)]:

Leiskite φ (t), tada Re[ X(iš 4 pavyzdžio)).

, tada yra (t) – būdinga kiekio funkcija φ (t)]

) =Im[

Sprendimas būdinga kokio nors atsitiktinio dydžio funkcija? , tada yra (0) = 0.

. Ne, taip nėra, nes

1. X ~ Raskite būdingąją normaliojo skirstinio funkciją.(0, 1):

N φ (t Suskaičiuokime

), atskiriant integraliu ženklu:
Išspręskime diferencialinę lygtį φ (0) = 1:

X~Raskite būdingąją normaliojo skirstinio funkciją.(a,σ su pradine būkle X 0 ~Raskite būdingąją normaliojo skirstinio funkciją. 2): palyginkime šią vertę su X=a+σ X(0, 1). Tai nesunku pastebėti

0 .

Tada pagal nuosavybę 2)

Pateikta visoje skaičių eilutėje pagal formulę

X. f. atsitiktinis kintamasis X pagal apibrėžimą yra X. f. jo tikimybių pasiskirstymas

Metodą, susijusį su X. f vartojimu, pirmiausia panaudojo A. M. Liapunovas, o vėliau tapo vienu iš pagrindinių analitinių. tikimybių teorijos metodai. Jis ypač efektyviai naudojamas, pavyzdžiui, įrodant ribines teoremas tikimybių teorijoje. centrinės ribos teorema nepriklausomiems identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių su 2 momentais redukuojasi į elementarų ryšį

Pagrindinės X savybės. f. 1) ir teigiamas apibrėžtasis, t.y.

4)Bet kokiai baigtinei kompleksinių skaičių ir argumentų rinkiniui

2) tolygiai ištisinis išilgai visos ašies

Bet kokiems intervalams (a, 6), kurių galuose yra nulis m matas. Jei ji yra integruojama (absoliučiai, jei suprantama Riemano prasme), tai atitinkama skirstinio funkcija turi ri

6) X. f. dviejų tikimybių matų konvoliucija (dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma) yra jų X. f.

Šios trys savybės išreiškia ryšį tarp atsitiktinio dydžio momentų egzistavimo ir jo X. funkcijos lygumo laipsnio.

7) Jei kai kuriems natūraliems p, tada visiems gamtiniams egzistuoja r eilės vediniai iš X. f. atsitiktinis dydis X ir galioja lygybė

8) Jei yra, tada

9) Jei visiems

tada tai tinka visiems

Naudojant X.f metodą daugiausia remiasi aukščiau nurodytomis X. funkcijų savybėmis, taip pat dviem toliau pateiktomis teoremomis.
Bochnerio teorema (X. funkcijų klasės aprašymas). Tegu funkcija f duota ir f(0)=1. Kad f būtų X. f. tam tikras tikimybės matas, būtina ir pakanka, kad jis būtų tęstinis ir teigiamas apibrėžtas.
Levy teorema (korespondencija). Leisti būti tikimybių priemonių seka ir tegul jų X.f seka. Tada silpnai konverguoja į tam tikrą tikimybės matą (t. y. savavališkai nuolatinei ribotai funkcijai tada ir tik tada, kai kiekviename taške ji konverguoja į tam tikrą ištisinę funkciją f; konvergencijos atveju funkcija Iš to išplaukia, kad santykinė (reikšme silpnoji konvergencija) tikimybių matų šeimos lygiavertiškumą atitinkančių X. funkcijų šeimos nuliui.
Bochnerio teorema leidžia pažvelgti į Furjė-Stieltjeso transformaciją tarp tikimybių matų pusgrupės (atsižvelgiant į konvoliucijos operaciją) ir teigiamų apibrėžtų tęstinių funkcijų pusgrupės, lygios vienetui ties nuliu teorema teigia, kad ši algebrinė. izomorfizmas taip pat yra topologinis. homeomorfizmas, jei tikimybių matų pusgrupėje turime omenyje silpnos konvergencijos topologiją, o teigiamų apibrėžtųjų funkcijų pusgrupėje - tolygios konvergencijos apribotose aibėse topologiją.
X. f išraiškos žinomos. pagrindinės tikimybinės ligos (žr.,), pavyzdžiui, X. f. Gauso matas su vidutine dispersija yra
Neneigiamiems sveikiesiems atsitiktiniams dydžiams X, Kartu su X. f. naudojamas jo analogas -

Susijęs su X. f. santykis
X. f. tikimybės matas baigtinių matmenų erdvėje apibrėžiamas panašiai:

Kur x> reiškia . Pirmiau suformuluoti faktai tinka ir X. f. tikimybės matai

Lit.: Lukach E., Charakteristinės funkcijos, vert. iš anglų k., M., 1979; Feller V., Įvadas į tikimybių teoriją ir jos taikymą, t. 2. vert. iš anglų k., M., 1967; Prokhorov Yu, Rozanovas A., Tikimybių teorija. Pagrindinės sąvokos. Ribinės teoremos. Atsitiktiniai procesai, 2 leidimas, M., 1973; 3olotarev V. M., Vienmatis stabilus pasiskirstymas, Maskva, 1983 m.
N.H. Vakhania.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.

I. M. Vinogradovas.

1977–1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra „CHARACTERISTIC FUNCTION“ kituose žodynuose: Charakteristinė funkcija: Termodinamikos charakteristika yra funkcija, pagal kurią nustatomos sistemos termodinaminės savybės. Būdingoji aibės funkcija yra funkcija, kuri nustato elemento priklausymą aibėje ... ... Vikipedija

Termodinamikoje nepriklausomų parametrų, lemiančių termodinamikos būseną, būsenos funkcija. sistemos. Į X. f. apima termodinaminius ir entropinius potencialus. Per X... Fizinė enciklopedija būdinga funkcija

- Atitinkamų nepriklausomų termodinaminių parametrų termodinaminės sistemos būsenos funkcija, kuriai būdinga tai, kad per šią funkciją ir jos išvestinius šių parametrų atžvilgiu visi termodinaminiai ... ... Techninis vertėjo vadovas Būdinga funkcija

Termodinamikoje nepriklausomų parametrų, lemiančių termodinamikos būseną, būsenos funkcija. sistemos. Į X. f. apima termodinaminius ir entropinius potencialus. Per X...- kooperacinių žaidimų teorijoje koeficientas, nulemiantis bet kurios koalicijos žaidimo minimalų laimėjimą. Kai susijungia dvi koalicijos, H.f. bus ne mažesnė nei tokių funkcijų suma nesujungtoms... ... Ekonomikos ir matematikos žodynas

Termodinamikoje nepriklausomų parametrų, lemiančių termodinamikos būseną, būsenos funkcija. sistemos. Į X. f. apima termodinaminius ir entropinius potencialus. Per X...- būdingos funkcijos statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: angl. būdinga funkcija rus. būdinga funkcija... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas - būdingos funkcijos statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. būdinga funkcija vok. Charakteristische Funktion, f rus. būdinga funkcija, f pranc. Fonction Charactéristique, f…

Beje, jūs ką tik pasisakėte už tai, kad studentas nieko nežinotų apie vienodą tęstinumą, o dabar jam siūlote delta funkcijas? Tinkamai, nieko nesakysiu.

Džiaugiuosi vėl galėdamas jus matyti šia tema su noru diskutuoti, nepaisant man asmeniškai rūpimų savybių. Aš domiuosi tavimi. Studentas turi žinoti viską, apie ką jo galima paklausti, bet pirmiausia jis turi įsisavinti sąvokų sistemą, jų apibūdinimą ir tarpusavio ryšius ir neapsiriboti siauru disciplinos skyriaus ratu. šiuo metu studijuoja ir taip pat neturėtų būti vaikščiojimo žinynas , kuris nuolat prisimena daugybę funkcijų, kurios neatitinka vienos ar kitos sąlygos.
Pradinėje užduotyje buvo reikalaujama nustatyti, ar nurodyta HF funkcija yra koks nors atsitiktinis kintamasis. Tokią užduotį studentas gauna, kai pristatoma HF sąvoka. O tokių problemų sprendimo tikslas – įtvirtinti supratimą apie CP ir PR santykį, taip pat įtvirtinti žinias apie CP savybes.
Yra du būdai parodyti, kad tam tikra funkcija yra HF: arba reikia rasti ją atitinkančią funkciją pagal Furjė ir patikrinti, ar ji tenkina normalizavimo sąlygą ir yra teigiama, arba reikia įrodyti neneigiamą duotosios apibrėžtumą. funkcija ir remtis Bochnerio-Chinchino teorema. Tuo pačiu metu teoremų naudojimas vaizduojant SV kaip tiesinį kitų Rademacher SV derinį jokiu būdu neprisideda prie pagrindinių HF savybių supratimo, be to, kaip minėjau aukščiau, jūsų sprendime yra Uždengta Furjė serija, tai yra, ji iš tikrųjų atitinka pirmąjį metodą.
Kai reikia parodyti, kad tam tikra funkcija negali būti bet kurio SV HF, pakanka nustatyti vienos iš HF savybių gedimą: vieneto reikšmę nuliui, ribojamą moduliu vienu, gaunant teisingas reikšmes. PDF momentams – vienodas tęstinumas. Momentų, apskaičiuotų naudojant tam tikrą funkciją, reikšmių teisingumo patikrinimas matematiškai prilygsta vienodo tęstinumo patikrinimui ta prasme, kad bet kurios iš šių savybių neįvykdymas gali būti tas pats pagrindas tam tikros funkcijos netinkamumui pripažinti. Tačiau momentinių verčių teisingumo tikrinimas yra formalizuotas: atskirkite ir patikrinkite. Vienodas tęstinumas, apskritai, turi būti įrodytas, todėl problemos sprendimo sėkmė priklauso nuo mokinio kūrybinio potencialo, nuo jo sugebėjimo „atspėti“.
Diskutuodamas apie SV „konstravimą“, siūlau apsvarstyti paprastą problemą: sukonstruokime SV su tokios formos HF: Kur

Matematinis lūkestis ir jo savybės.

Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos.

Būdinga funkcija.

Paskaita Nr.5

2 skyrius. Atsitiktiniai kintamieji.

1 tema. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija, tikimybių tankis ir skaitinės charakteristikos.

Paskaitos tikslas: suteikti žinių apie atsitiktinių kintamųjų apibūdinimo būdus.

Paskaitos klausimai:

Literatūra:

L1 - Bocharovas P. P., Pechinkin A. V. Tikimybių teorija. Matematinė statistika. - 2 leidimas. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 p.

L2 - Gmurman, V. E. Tikimybių teorija ir matematinė statistika: vadovėlis. vadovas universitetams/V. E. Gmurmanas. - 9 leidimas, ištrintas. - M.: Aukštesnis. mokykla, 2005. - 479 p.: iliustr.

L3 – Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Eilutės. Tikimybių teorija ir matematinė statistika. Metodologiniai pokyčiai. – Tambovas: TSTU leidykla, 2009 m.

L4 - Plotnikova S.V. Matematinė statistika. Metodologiniai pokyčiai. – Tambovas: TSTU leidykla, 2005. (pdf failas)

Sprendžiant daug problemų, vietoj paskirstymo funkcijos F(x) ir p.v. p(x) taikoma charakteristika. Pasirodo, šios charakteristikos pagalba patartina, pavyzdžiui, nustatyti kai kurias skaitines žodžio charakteristikas. ir z.r. funkcijos s.v.

Būdinga funkcija sl.v. vadinamas Furjė transformacija jos a.e. p(x):

, (2.6.1)

kur yra parametras, kuris yra būdingos funkcijos argumentas, - m.o. sl.v. (žr. § 2.8.).

Taikydami atvirkštinę Furjė transformaciją, gauname formulę, kuri nustato a.e. sl.v. pagal jam būdingą funkciją

. (2.6.2)

Nuo matmens p(x) atvirkštinis matmuo x, tada kiekis ir todėl yra be matmenų. Argumentas turi atvirkštinį matmenį x.

Naudojant reprezentaciją (2.5.7) a.e. p(x) delta funkcijų sumos pavidalu, formulę (1) galime išplėsti iki diskrečiųjų r.v.

. (2.6.3)

Kartais vietoj būdingos funkcijos patogu naudoti jos logaritmą:

Y. (2.6.4)

Funkcija Y gali būti vadinamas antruoju ( logaritminis)būdinga funkcija sl.v. .

Atkreipkime dėmesį į svarbiausias charakteringos funkcijos savybes.

. (2.6.5)

2. Simetriškam pasiskirstymui, kai p(x)= p(-x), įsivaizduojama dalis (1) yra lygi nuliui, todėl būdingoji funkcija yra tikroji lyginė funkcija . Priešingai, jei jis ima tik realias reikšmes, tada jis yra lygus ir atitinkamas skirstinys yra simetriškas.

3. Jeigu s.v. yra tiesinė r.v funkcija. , tada jam būdingą funkciją lemia išraiška

, (2.6.6)

Kur a Ir b- nuolatinis.

4. Būdingoji sumos funkcija nepriklausomas s.v. yra lygus terminų charakteristikų funkcijų sandaugai, t.y., jei

. (2.6.7)

Ši savybė ypač naudinga, nes kitaip randant a.e. suma sl.v. yra susijęs su daugybe konvoliucijos pasikartojimų, o tai kartais sukelia sunkumų.

Taigi, atsižvelgiant į nedviprasmišką ryšį tarp pasiskirstymo funkcijos, tikimybių tankio ir charakteristikų funkcijos, pastaroji lygiai taip pat gali būti naudojama apibūdinti r.v.

Diskretus s.v. gali gauti tris reikšmes (nė vienas impulsas nėra slopinamas), (vienas impulsas yra slopinamas), (abu impulsai yra slopinami). Šių verčių tikimybės yra atitinkamai lygios: