Kaip paversti dešimtainius skaičius į trupmenas. Transformacijos „iš ausies“

Atrodytų, kad dešimtainės trupmenos pavertimas įprastąja trupmena yra elementari tema, tačiau daugelis studentų to nesupranta! Todėl šiandien išsamiai apžvelgsime kelis algoritmus vienu metu, kurių pagalba bet kokias trupmenas suprasite vos per sekundę.

Leiskite jums priminti, kad yra bent dvi tos pačios trupmenos rašymo formos: bendroji ir dešimtainė. Dešimtainės trupmenos yra visos 0,75 formos konstrukcijos; 1,33; ir net −7,41. Štai paprastųjų trupmenų, išreiškiančių tuos pačius skaičius, pavyzdžiai:

Dabar išsiaiškinkime: kaip pereiti nuo dešimtainio žymėjimo prie įprasto žymėjimo? Ir svarbiausia: kaip tai padaryti kuo greičiau?

Pagrindinis algoritmas

Tiesą sakant, yra mažiausiai du algoritmai. Ir mes dabar pažvelgsime į abu. Pradėkime nuo pirmojo – paprasčiausio ir suprantamiausio.

Norėdami konvertuoti dešimtainį į trupmeną, turite atlikti tris veiksmus:

Svarbi pastaba apie neigiamus skaičius. Jei pradiniame pavyzdyje prieš dešimtainę trupmeną yra minuso ženklas, tada išvestyje prieš paprastąją trupmeną taip pat turėtų būti minuso ženklas. Štai dar keli pavyzdžiai:

Ypatingą dėmesį norėčiau atkreipti į paskutinį pavyzdį. Kaip matote, trupmenoje 0,0025 yra daug nulių po kablelio. Dėl to jūs turite padauginti skaitiklį ir vardiklį iš 10 net keturis kartus. Ar tokiu atveju galima kaip nors supaprastinti algoritmą?

Žinoma, galite. O dabar pažiūrėsime į alternatyvų algoritmą – jį suprasti kiek sunkiau, bet šiek tiek pasipraktikavus jis veikia daug greičiau nei standartinis.

Greitesnis būdas

Šis algoritmas taip pat turi 3 veiksmus. Norėdami gauti trupmeną iš dešimtainio skaičiaus, atlikite šiuos veiksmus:

1. Suskaičiuokite, kiek skaitmenų yra po kablelio. Pavyzdžiui, trupmena 1,75 turi du tokius skaitmenis, o 0,0025 - keturis. Šį kiekį pažymėkime raide $n$.
2. Perrašykite pradinį skaičių kaip formos $\frac(a)(((10)^(n)))$ trupmeną, kur $a$ yra visi pradinės trupmenos skaitmenys (be "pradinių" nulių kairėje, jei yra), o $n$ yra toks pat skaitmenų skaičius po kablelio, kurį apskaičiavome pirmame žingsnyje. Kitaip tariant, pradinės trupmenos skaitmenis reikia padalyti iš vieneto, po kurio seka $n$ nuliai.
3. Jei įmanoma, sumažinkite gautą dalį.

tai viskas! Iš pirmo žvilgsnio ši schema yra sudėtingesnė nei ankstesnė. Bet iš tikrųjų tai ir paprasčiau, ir greičiau. Spręskite patys:

Kaip matote, trupmenoje 0,64 po kablelio yra du skaitmenys - 6 ir 4. Todėl $n=2$. Jei kairėje pašalinsime kablelį ir nulius (šiuo atveju tik vieną nulį), gausime skaičių 64. Pereikime prie antrojo žingsnio: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100 $, todėl vardiklis yra lygiai šimtas. Na, tada belieka sumažinti skaitiklį ir vardiklį :)

Kitas pavyzdys:

Čia viskas yra šiek tiek sudėtingiau. Pirma, po kablelio jau yra 3 skaičiai, t.y. $n=3$, taigi jūs turite padalyti iš $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Antra, jei iš dešimtainio žymėjimo pašalinsime kablelį, gausime štai ką: 0,004 → 0004. Atminkite, kad kairėje pusėje esantys nuliai turi būti pašalinti, taigi iš tikrųjų turime skaičių 4. Tada viskas paprasta: padalinkite, sumažinkite ir gaukite atsakymas.

Galiausiai paskutinis pavyzdys:

Šios frakcijos ypatumas yra visos dalies buvimas. Todėl gaunama išvestis yra netinkama 47/25 dalis. Žinoma, galite pabandyti padalyti 47 iš 25 su likusia dalimi ir taip vėl atskirti visą dalį. Bet kam komplikuoti savo gyvenimą, jei tai galima padaryti transformacijos etape? Na, išsiaiškinkime.

Ką daryti su visa dalimi

Tiesą sakant, viskas yra labai paprasta: jei norime gauti tinkamą trupmeną, tada transformacijos metu turime iš jos pašalinti visą dalį, o tada, kai gauname rezultatą, vėl pridėti dešinėje prieš trupmenos eilutę. .

Pavyzdžiui, apsvarstykite tą patį skaičių: 1,88. Suskaičiuokime balą vienu (visą dalį) ir pažiūrėkime į trupmeną 0,88. Jį galima lengvai konvertuoti:

Tada prisimename apie „prarastą“ vienetą ir pridedame jį priekyje:

\[\frac(22)(25)\į 1\frac(22)(25)\]

tai viskas! Atsakymas pasirodė toks pat, kaip ir praėjusį kartą pasirinkus visą dalį. Dar pora pavyzdžių:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\iki 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\iki 13\frac(4)(5). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai yra matematikos grožis: nesvarbu, į kurią pusę eitumėte, jei visi skaičiavimai bus atlikti teisingai, atsakymas visada bus toks pat :)

Baigdamas norėčiau apsvarstyti dar vieną techniką, kuri padeda daugeliui.

Transformacijos „iš ausies“

Pagalvokime, kas yra net dešimtainis skaičius. Tiksliau, kaip mes jį skaitome. Pavyzdžiui, skaičius 0,64 – mes jį skaitome kaip „nulis taško 64 šimtosios dalys“, tiesa? Na, arba tiesiog „64 šimtosios dalys“. Pagrindinis žodis čia yra „šimtosios“, t.y. numeris 100.

O kaip 0,004? Tai yra „nulis 4 tūkstantosios dalys“ arba tiesiog „keturios tūkstantosios dalys“. Vienaip ar kitaip raktinis žodis yra „tūkstančiai“, t.y. 1000.

Taigi, kas per didelis? Ir faktas yra tas, kad būtent šie skaičiai galiausiai „iššoka“ vardikliuose antrajame algoritmo etape. Tie. 0,004 yra „keturios tūkstantosios dalys“ arba „4 padalintas iš 1000“:

Pabandykite praktikuoti patys – tai labai paprasta. Svarbiausia teisingai perskaityti pradinę trupmeną. Pavyzdžiui, 2,5 yra „2 sveiki, 5 dešimtosios“, taigi

Ir kai kurie 1,125 yra „1 visa, 125 tūkstantosios dalys“, taigi

Žinoma, paskutiniame pavyzdyje kas nors prieštaraus, kad ne kiekvienam studentui akivaizdu, kad 1000 dalijasi iš 125. Tačiau čia reikia atsiminti, kad 1000 = 10 3 ir 10 = 2 ∙ 5, todėl

\/ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Taigi bet koks dešimties laipsnis skaidomas tik į 2 ir 5 veiksnius – būtent šių faktorių reikia ieškoti skaitiklyje, kad galiausiai viskas būtų sumažinta.

Tuo pamoka baigiama. Pereikime prie sudėtingesnės atvirkštinės operacijos – žr.

Trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Tarkime, kad norime paversti trupmeną 11/4 į dešimtainę. Lengviausias būdas tai padaryti yra toks:

Mums pavyko, nes šiuo atveju vardiklio išskaidymas į pirminius veiksnius susideda tik iš dviejų. Šį išplėtimą papildėme dar dviem penketukais, pasinaudojome tuo, kad 10 = 2∙5, ir gavome dešimtainę trupmeną. Akivaizdu, kad tokia procedūra yra įmanoma tada ir tik tada, kai vardiklio skaidymas į pirminius veiksnius apima tik du ir penketus. Jei vardiklio plėtinyje yra bet koks kitas pirminis skaičius, tada tokios trupmenos negalima paversti į dešimtainę. Nepaisant to, mes stengsimės tai padaryti, bet tik kitaip, su kuriuo susipažinsime naudodamiesi tos pačios trupmenos 11/4 pavyzdžiu. Padalinkime 11 iš 4 naudodami „kampą“:

Atsakymo eilutėje gavome visą dalį (2), taip pat turime likusią dalį (3). Anksčiau dalijimą baigėme čia, bet dabar žinome, kad dešinėje dividendo (11) pusėje galime pridėti kablelį ir kelis nulius, ką dabar mintyse padarysime. Po kablelio eina dešimtoji vieta. Prie gautos liekanos (3) pridedame šio skaitmens dividendo nulį:

Dabar padalijimas gali tęstis taip, lyg nieko nebūtų nutikę. Jums tereikia nepamiršti po visos atsakymo dalies dėti kablelį:

Dabar prie likusios dalies (2), esančios šimtojoje dividendo vietoje, pridedame nulį ir užbaigiame padalijimą:

Dėl to, kaip ir anksčiau,

Pabandykime lygiai taip pat apskaičiuoti, kam yra lygi trupmena 27/11:

Atsakymo eilutėje gavome skaičių 2,45, o likusioje eilutėje - 5. Bet su tokiu likučiu jau buvome susidūrę ir anksčiau. Todėl iš karto galime pasakyti, kad jei tęsime skirstymą „kampu“, tada kitas skaičius atsakymo eilutėje bus 4, tada ateis skaičius 5, tada vėl 4 ir vėl 5 ir taip toliau, be galo. :

27 / 11 = 2,454545454545...

Gavome vadinamąjį periodiškai dešimtainė trupmena su tašku 45. Tokioms trupmenoms naudojamas kompaktiškesnis žymėjimas, kuriame taškas rašomas tik vieną kartą, bet jis rašomas skliausteliuose:

2,454545454545... = 2,(45).

Paprastai tariant, jei vieną natūralųjį skaičių padalinsime iš kito su „kampu“, atsakymą rašydami dešimtainės trupmenos pavidalu, galimi tik du rezultatai: (1) anksčiau ar vėliau likusioje eilutėje gausime nulį. , (2) arba ten bus tokia liekana, su kuria jau susidūrėme anksčiau (galimų liekanų aibė ribota, nes visos jos akivaizdžiai mažesnės už daliklį). Pirmuoju atveju padalijimo rezultatas yra baigtinė dešimtainė trupmena, antruoju atveju - periodinė.

Periodinį dešimtainį skaičių konvertuoti į trupmeną

Duokite mums teigiamą periodinę dešimtainę trupmeną su nuline sveikojo skaičiaus dalimi, pavyzdžiui:

a = 0,2(45).

Kaip paversti šią trupmeną atgal į bendrą trupmeną?

Padauginkime iš 10 k, Kur k yra skaitmenų skaičius tarp kablelio ir pradžios skliaustas, nurodantis laikotarpio pradžią. Šiuo atveju k= 1 ir 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Padauginkite rezultatą iš 10 n, Kur n- laikotarpio „ilgis“, ty skaitmenų, esančių skliausteliuose, skaičius. Šiuo atveju n= 2 ir 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Dabar apskaičiuokime skirtumą

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Kadangi minuend ir poskyrio trupmeninės dalys yra vienodos, tada trupmeninė skirtumo dalis yra lygi nuliui ir gauname paprastą lygtį a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Ši lygtis išspręsta naudojant šias transformacijas:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

Sąmoningai dar nebaigiame skaičiavimų, kad būtų aiškiai matoma, kaip šį rezultatą galima iš karto užrašyti, praleidžiant tarpinius argumentus. Minuend skaitiklyje (245) yra trupmeninė skaičiaus dalis

a = 0,2(45)

jei ištrinsite jos įrašo skliaustus. Skaitiklio (2) dalis yra neperiodinė skaičiaus dalis A, esantis tarp kablelio ir įžanginio skliausto. Pirmasis vardiklio (10) veiksnys yra vienetas, kuriam priskiriama tiek nulių, kiek yra skaitmenų neperiodinėje dalyje ( k). Antrasis vardiklio (99) veiksnys yra tiek devynių, kiek yra skaitmenų periode ( n).

Dabar mūsų skaičiavimai gali būti baigti:

Čia skaitiklyje yra laikotarpis, o vardiklyje yra tiek devynių, kiek yra skaitmenų taške. Sumažinus 9, gauta trupmena lygi

Lygiai taip pat

Dešimtainiai skaičiai, pvz., 0,2; 1,05; 3.017 ir kt. kaip išgirsta, taip ir rašoma. Nulinis taškas du, gauname trupmeną. Vienas taškas penkias šimtąsias dalis, gauname trupmeną. Tritaškis septyniolika tūkstantųjų, gauname trupmeną. Skaičiai prieš dešimtainį tašką yra visa trupmenos dalis. Skaičius po kablelio yra būsimos trupmenos skaitiklis. Jei po kablelio yra vienaženklis skaičius, vardiklis bus 10, jei yra dviženklis skaičius - 100, triženklis skaičius - 1000 ir t.t. Kai kurias gautas frakcijas galima sumažinti. Mūsų pavyzdžiuose

Trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Tai yra priešinga ankstesnei transformacijai. Kokia yra dešimtainės trupmenos charakteristika? Jo vardiklis visada yra 10, arba 100, arba 1000, arba 10000 ir pan. Jei jūsų bendroji trupmena turi tokį vardiklį, nėra jokių problemų. Pavyzdžiui, arba

Jei trupmena yra, pavyzdžiui, . Tokiu atveju reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę ir vardiklį paversti į 10 arba 100, arba 1000... Mūsų pavyzdyje skaitiklį ir vardiklį padauginus iš 4, gauname trupmeną, kuri gali būti parašytas dešimtainiu skaičiumi 0,12.

Kai kurias trupmenas lengviau padalyti nei paversti vardiklį. Pavyzdžiui,

Kai kurių trupmenų negalima konvertuoti į dešimtaines!
Pavyzdžiui,

Mišrios trupmenos pavertimas netinkama trupmena

Pavyzdžiui, mišrią frakciją galima lengvai konvertuoti į netinkamą frakciją. Norėdami tai padaryti, turite padauginti visą dalį iš vardiklio (apačioje) ir pridėti ją su skaitikliu (viršuje), palikdami vardiklį (apačią). Tai yra

Konvertuodami mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną, galite atsiminti, kad galite naudoti frakcijų pridėjimą

Netinkamos trupmenos konvertavimas į mišrią trupmeną (visos dalies paryškinimas)

Netinkama trupmena gali būti konvertuojama į mišrią trupmeną, paryškinant visą dalį. Pažiūrėkime į pavyzdį. Mes nustatome, kiek sveikųjų skaičių kartų „3“ telpa į „23“. Arba skaičiuotuvu padalykite 23 iš 3, visas skaičius iki kablelio yra norimas. Tai yra "7". Toliau nustatome būsimos trupmenos skaitiklį: gautą „7“ padauginame iš vardiklio „3“ ir atimame rezultatą iš skaitiklio „23“. Tarsi rasime priedą, kuris lieka iš skaitiklio „23“, jei pašalinsime didžiausią skaičių „3“. Vardiklį paliekame nepakeistą. Viskas padaryta, užrašykite rezultatą

Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip trupmenas paverčiant po kablelio, taip pat apsvarstykite atvirkštinį procesą - dešimtainių trupmenų pavertimą įprastomis trupmenomis. Čia apibūdinsime trupmenų konvertavimo taisykles ir pateiksime išsamius tipinių pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Pažymėkime seką, kuria nagrinėsime trupmenas paverčiant po kablelio.

Pirmiausia pažiūrėsime, kaip pateikti trupmenas su vardikliais 10, 100, 1000, ... kaip po kablelio. Tai paaiškinama tuo, kad dešimtainės trupmenos iš esmės yra kompaktiška paprastųjų trupmenų rašymo forma su vardikliais 10, 100, ....

Po to eisime toliau ir parodysime, kaip parašyti bet kurią paprastąją trupmeną (ne tik tas, kurių vardikliai yra 10, 100, ...) kaip dešimtainę trupmeną. Taip traktuojant paprastąsias trupmenas, gaunamos ir baigtinės, ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Dabar pakalbėkime apie viską iš eilės.

Trupmenų su vardikliais 10, 100, ... konvertavimas į dešimtaines

Kai kurias tinkamas trupmenas reikia „iš anksto paruošti“, kad jos būtų konvertuojamos į dešimtaines. Tai taikoma paprastosioms trupmenoms, kurių skaitmenų skaičius yra mažesnis už nulių skaičių vardiklyje. Pavyzdžiui, paprastąją trupmeną 2/100 pirmiausia reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną, tačiau trupmenai 9/10 paruošti nereikia.

„Preliminarus paruošimas“ tinkamų paprastųjų trupmenų konvertavimui į dešimtaines trupmenas susideda iš skaitiklio kairėje pridėjus tiek nulių, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius taptų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Pavyzdžiui, trupmena pridėjus nulius atrodys kaip .

Paruošę tinkamą trupmeną, galite pradėti ją konvertuoti į dešimtainį skaičių.

Duokim taisyklė, kaip paversti tinkamą bendrąją trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100 arba 1 000 ... į dešimtainę trupmeną. Jį sudaro trys žingsniai:

• parašyti 0;
• po jo dedame dešimtainį tašką;
• Užrašome skaičių iš skaitiklio (kartu su pridėtais nuliais, jei juos sudėjome).

Apsvarstykime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Konvertuokite tinkamą trupmeną 37/100 į dešimtainę.

Sprendimas.

Vardiklyje yra skaičius 100, kuris turi du nulius. Skaitiklyje yra skaičius 37, jo žymėjimas yra dviejų skaitmenų, todėl šios trupmenos nereikia ruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną.

Dabar rašome 0, dedame kablelį ir iš skaitiklio užrašome skaičių 37 ir gauname dešimtainę trupmeną 0,37.

Atsakymas:

0,37 .

Norėdami sustiprinti taisyklingų paprastųjų trupmenų su skaitikliais 10, 100, ... pavertimo dešimtainėmis trupmenomis įgūdžius, išanalizuosime kito pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Parašykite tinkamą trupmeną 107/10 000 000 dešimtainiu tikslumu.

Sprendimas.

Skaitytuvo skaitmenų skaičius yra 3, o vardiklyje nulių skaičius yra 7, todėl šią bendrąją trupmeną reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę. Turime pridėti 7-3=4 nulius į kairę skaitiklyje, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius būtų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Mes gauname.

Belieka tik sukurti reikiamą dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, pirmiausia rašome 0, antra, dedame kablelį, trečia, rašome skaičių iš skaitiklio kartu su nuliais 0000107, todėl gauname dešimtainę trupmeną 0,0000107.

Atsakymas:

0,0000107 .

Netinkamos trupmenos nereikalauja jokio pasiruošimo konvertuojant į dešimtaines dalis. Reikėtų laikytis toliau pateiktų nurodymų taisyklės, kaip netinkamas trupmenas su vardikliais 10, 100, ... konvertuoti į dešimtaines:

• užsirašykite skaičių iš skaitiklio;
• Mes naudojame dešimtainį tašką, kad atskirtume tiek skaitmenų dešinėje, kiek pradinės trupmenos vardiklyje yra nulių.

Panagrinėkime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdį.

Pavyzdys.

Konvertuokite netinkamą trupmeną 56 888 038 009/100 000 į dešimtainę.

Sprendimas.

Pirma, užrašome skaičių iš skaitiklio 56888038009, antra, 5 skaitmenis dešinėje atskiriame kableliu, nes pradinės trupmenos vardiklyje yra 5 nuliai. Dėl to turime dešimtainę trupmeną 568880.38009.

Atsakymas:

568 880,38009 .

Norėdami konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną, kurios trupmeninės dalies vardiklis yra skaičius 10, 100, arba 1000, ..., galite konvertuoti mišrų skaičių į netinkamą paprastąją trupmeną, o tada konvertuoti gautą skaičių. trupmeną į dešimtainę trupmeną. Bet taip pat galite naudoti toliau nurodytus dalykus taisyklė, kaip mišrius skaičius, kurių trupmeninis vardiklis yra 10, 100 arba 1000 ..., konvertuoti į dešimtaines trupmenas:

• prireikus atliekame pradinio mišraus skaičiaus trupmeninės dalies „preliminarų paruošimą“, skaitiklyje į kairę pridėdami reikiamą nulių skaičių;
• užrašykite sveikąją pradinio mišraus skaičiaus dalį;
• įdėti dešimtainį tašką;
• Užrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kuriame atliekame visus būtinus veiksmus, kad mišrus skaičius būtų pateiktas kaip dešimtainė trupmena.

Pavyzdys.

Konvertuokite mišrų skaičių į dešimtainę.

Sprendimas.

Trupmeninės dalies vardiklyje yra 4 nuliai, tačiau skaitiklyje yra skaičius 17, susidedantis iš 2 skaitmenų, todėl skaitiklyje kairėje turime pridėti du nulius, kad skaitmenų skaičius būtų lygus nuliai vardiklyje. Tai padarius, skaitiklis bus 0017.

Dabar užrašome visą pradinio skaičiaus dalį, tai yra skaičių 23, dedame dešimtainį tašką, po kurio užrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais, tai yra, 0017, ir gauname norimą dešimtainį skaičių. trupmena 23,0017.

Trumpai užrašykite visą sprendimą: .

Žinoma, buvo galima iš pradžių pavaizduoti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną ir tada konvertuoti jį į dešimtainį skaičių. Taikant šį metodą, sprendimas atrodo taip: .

Atsakymas:

23,0017 .

Trupmenų konvertavimas į baigtinius ir begalinius periodinius dešimtainius

Į dešimtaines trupmenas gali būti paverčiamos ne tik paprastosios trupmenos, kurių vardikliai yra 10, 100, ..., bet ir paprastosios trupmenos su kitais vardikliais. Dabar išsiaiškinsime, kaip tai daroma.

Kai kuriais atvejais pradinė paprastoji trupmena lengvai sumažinama iki vieno iš vardklių 10, 100, arba 1000, ... (žr. paprastosios trupmenos perkėlimą į naują vardiklį), po to nesunku pateikti gautą trupmeną kaip dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad trupmeną 2/5 galima sumažinti iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10, tam reikia skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 2, o tai duos trupmeną 4/10, o tai pagal taisyklės, aptartos ankstesnėje pastraipoje, lengvai konvertuojamos į dešimtainę trupmeną 0, 4.

Kitais atvejais, norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, turite naudoti kitą metodą, kurį dabar nagrinėsime.

Norint paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, trupmenos skaitiklis dalijamas iš vardiklio, skaitiklis pirmiausia pakeičiamas lygia dešimtaine trupmena su bet kokiu nulių skaičiumi po kablelio (apie tai kalbėjome skyriuje, lygus ir nelygios dešimtainės trupmenos). Šiuo atveju dalijimas atliekamas taip pat, kaip ir dalijimas natūraliųjų skaičių stulpeliu, o dalinyje dedamas kablelis po kablelio, kai baigiasi visos dividendo dalies dalijimas. Visa tai paaiškės iš toliau pateiktų pavyzdžių sprendimų.

Pavyzdys.

Paverskite trupmeną 621/4 į dešimtainę.

Sprendimas.

Pavaizduokime skaičių skaitiklyje 621 kaip dešimtainę trupmeną, pridėdami po kablelio po kablelio ir kelis nulius. Pirmiausia pridėkime 2 skaitmenis 0, vėliau, jei reikia, visada galime pridėti daugiau nulių. Taigi, mes turime 621,00.

Dabar skaičių 621 000 padalinkime iš 4 stulpeliu. Pirmieji trys žingsniai nesiskiria nuo natūraliųjų skaičių padalijimo iš stulpelio, po kurio gauname tokį paveikslėlį:

Taip gauname dividendų dešimtainį kablelį, o likusi dalis skiriasi nuo nulio. Tokiu atveju į koeficientą dedame dešimtainį tašką ir toliau dalijame stulpelyje, nekreipdami dėmesio į kablelius:

Tai užbaigia padalijimą ir gauname dešimtainę trupmeną 155,25, kuri atitinka pradinę paprastąją trupmeną.

Atsakymas:

155,25 .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kito pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Konvertuokite trupmeną 21/800 į dešimtainę.

Sprendimas.

Norėdami paversti šią bendrąją trupmeną į dešimtainę, dešimtainės trupmenos stulpeliu padalijame 21 000... iš 800. Atlikę pirmąjį veiksmą, į koeficientą turėsime įdėti kablelį, o tada tęsti padalijimą:

Galiausiai gavome likusią 0 dalį, tai užbaigia bendrosios trupmenos 21/400 konvertavimą į dešimtainę trupmeną ir gavome dešimtainę trupmeną 0,02625.

Atsakymas:

0,02625 .

Gali atsitikti taip, kad dalijant skaitiklį iš paprastosios trupmenos vardiklio, liekanos 0 vis tiek negauname. Tokiais atvejais padalijimas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Tačiau, pradedant nuo tam tikro žingsnio, liekanos pradeda kartotis periodiškai, kartojasi ir koeficiento skaičiai. Tai reiškia, kad pradinė trupmena paverčiama be galo periodine dešimtaine trupmena. Parodykime tai pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Parašykite trupmeną 19/44 kaip dešimtainį skaičių.

Sprendimas.

Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, padalinkite iš stulpelio:

Jau aišku, kad dalijimosi metu likučiai 8 ir 36 pradėjo kartotis, o koeficiente kartojasi skaičiai 1 ir 8. Taigi pradinė bendroji trupmena 19/44 paverčiama periodine dešimtaine trupmena 0,43181818...=0,43(18).

Atsakymas:

0,43(18) .

Norėdami užbaigti šį klausimą, išsiaiškinsime, kurios paprastosios trupmenos gali būti paverstos baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis, o kurios gali būti konvertuojamos tik į periodines.

Turėkime prieš save neredukuojamą paprastąją trupmeną (jei trupmena redukuojama, tai pirmiausia trupmeną sumažiname), ir turime išsiaiškinti, į kurią dešimtainę trupmeną ją galima paversti – baigtinę ar periodinę.

Akivaizdu, kad jei paprastąją trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ..., tai gautą trupmeną galima nesunkiai paversti galutine dešimtaine trupmena pagal ankstesnėje pastraipoje aptartas taisykles. Bet į vardiklius 10, 100, 1000 ir t.t. Pateikiamos ne visos paprastosios trupmenos. Tik trupmenos, kurių vardikliai yra bent vienas iš skaičių 10, 100, ..., gali būti redukuojami į tokius vardiklius. O kokie skaičiai gali būti 10, 100, ... dalikliai? Skaičiai 10, 100, ... leis mums atsakyti į šį klausimą, ir jie yra tokie: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Iš to išplaukia, kad dalikliai yra 10, 100, 1000 ir kt. Gali būti tik skaičiai, kurių skaidymuose į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5.

Dabar galime padaryti bendrą išvadą apie paprastųjų trupmenų konvertavimą į dešimtaines:

• jei skaidant vardiklį į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5, tai šią trupmeną galima paversti galutine dešimtaine trupmena;
• jei vardiklio plėtinyje, be dvejetų ir penketų, yra ir kitų pirminių skaičių, tai ši trupmena paverčiama begaline periodine dešimtaine trupmena.

Pavyzdys.

Nekonvertuodami įprastų trupmenų į dešimtainius, pasakykite man, kurios iš trupmenų 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 gali būti paverstos galutine dešimtaine trupmena, o kurias galima paversti tik periodine trupmena.

Sprendimas.

Trupmenos 47/20 vardiklis suskaidomas į pirminius koeficientus kaip 20=2·2·5. Šiame išplėtime yra tik dvejetai ir penketukai, todėl ši trupmena gali būti sumažinta iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ... (šiame pavyzdyje iki vardiklio 100), todėl gali būti konvertuojama į galutinę dešimtainę trupmeną.

Trupmenos 7/12 vardiklio išskaidymas į pirminius veiksnius yra 12=2·2·3. Kadangi joje yra pirminis koeficientas 3, kuris skiriasi nuo 2 ir 5, ši trupmena negali būti pavaizduota kaip baigtinis dešimtainis skaičius, bet gali būti konvertuojamas į periodinį dešimtainį skaičių.

Frakcija 21/56 – susitraukiantis, po susitraukimo įgauna formą 3/8. Vardiklio faktorinavimas į pirminius koeficientus turi tris koeficientus, lygius 2, todėl bendrąją trupmeną 3/8, taigi ir lygią trupmeną 21/56, galima paversti galutine dešimtaine trupmena.

Galiausiai trupmenos 31/17 vardiklio išplėtimas yra pats 17, todėl ši trupmena negali būti paversta į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet gali būti konvertuojama į begalinę periodinę trupmeną.

Atsakymas:

47/20 ir 21/56 galima konvertuoti į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet 7/12 ir 31/17 galima konvertuoti tik į periodinę trupmeną.

Paprastosios trupmenos nekonvertuojamos į begalinius neperiodinius dešimtainius

Ankstesnėje pastraipoje pateikta informacija kelia klausimą: „Ar trupmenos skaitiklį padalijus iš vardiklio galima gauti begalinę neperiodinę trupmeną?

Atsakymas: ne. Konvertuojant bendrąją trupmeną, rezultatas gali būti baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Paaiškinkime, kodėl taip yra.

Iš teoremos apie dalijimąsi su liekana aišku, kad liekana visada yra mažesnė už daliklį, tai yra, jei kurį nors sveikąjį skaičių padalinsime iš sveikojo skaičiaus q, liekana gali būti tik vienas iš skaičių 0, 1, 2 , ..., q−1. Iš to išplaukia, kad stulpeliui padalijus įprastos trupmenos skaitiklio sveikąją dalį iš vardiklio q, ne daugiau kaip q žingsniuose atsiras viena iš šių dviejų situacijų:

• arba gausime 0 likutį, tai užbaigs padalijimą ir gausime galutinę dešimtainę trupmeną;
• arba gausime jau anksčiau pasirodžiusią liekaną, po kurios likučiai pradės kartotis kaip ir ankstesniame pavyzdyje (kadangi dalijant lygius skaičius iš q gaunamos lygios liekanos, kas išplaukia iš jau minėtos dalijimosi teoremos), tai bus begalinė periodinė dešimtainė trupmena.

Kitų variantų negali būti, todėl paprastąją trupmeną konvertuojant į dešimtainę trupmeną, negalima gauti begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.

Iš šioje dalyje pateiktų argumentų taip pat matyti, kad dešimtainės trupmenos periodo ilgis visada yra mažesnis už atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklio reikšmę.

Dešimtainių skaičių konvertavimas į trupmenas

Dabar išsiaiškinkime, kaip dešimtainę trupmeną paversti įprastąja trupmena. Pradėkime nuo paskutinių dešimtainių trupmenų konvertavimo į paprastąsias trupmenas. Po to mes apsvarstysime begalinių periodinių dešimtainių trupmenų invertavimo metodą. Apibendrinant, pasakykime apie tai, kad neįmanoma begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų paversti paprastosiomis trupmenomis.

Dešimtainės dalies konvertavimas į trupmenas

Gauti trupmeną, kuri rašoma kaip paskutinis dešimtainis skaičius, yra gana paprasta. Galutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją trupmeną taisyklė susideda iš trijų žingsnių:

• pirma, į skaitiklį įrašykite nurodytą dešimtainę trupmeną, prieš tai atmetę dešimtainį tašką ir visus nulius kairėje, jei tokių yra;
• antra, į vardiklį įrašykite vieną ir pridėkite tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
• trečia, jei reikia, sumažinkite gautą frakciją.

Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Paverskite dešimtainį skaičių 3,025 į trupmeną.

Sprendimas.

Jei iš pradinės dešimtainės trupmenos pašalinsime kablelį, gausime skaičių 3 025. Kairėje nėra nulių, kuriuos išmestume. Taigi, norimos trupmenos skaitiklyje įrašome 3 025.

Į vardiklį įrašome skaičių 1, o jo dešinėje pridedame 3 nulius, nes pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio yra 3 skaitmenys.

Taigi gavome bendrąją trupmeną 3 025/1 000. Šią trupmeną galima sumažinti 25, gauname .

Atsakymas:

.

Pavyzdys.

Paverskite dešimtainę trupmeną 0,0017 į trupmeną.

Sprendimas.

Be kablelio pradinė dešimtainė trupmena atrodo kaip 00017, atmetus nulius kairėje, gauname skaičių 17, kuris yra norimos paprastosios trupmenos skaitiklis.

Vardiklyje rašome vieną su keturiais nuliais, nes pradinė dešimtainė trupmena turi 4 skaitmenis po kablelio.

Dėl to mes turime paprastą dalį 17/10 000. Ši trupmena yra neredukuojama, o dešimtainė trupmena konvertuojama į paprastąją trupmeną.

Atsakymas:

.

Kai pradinės paskutinės dešimtainės trupmenos sveikoji dalis yra ne nulis, ją galima iš karto konvertuoti į mišrų skaičių, apeinant bendrąją trupmeną. Duokim paskutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių taisyklė:

• skaičius prieš dešimtainį tašką turi būti parašytas kaip sveikoji norimo mišraus skaičiaus dalis;
• trupmeninės dalies skaitiklyje reikia įrašyti skaičių, gautą iš pradinės dešimtainės trupmenos trupmeninės dalies, atmetus visus nulius kairėje;
• trupmeninės dalies vardiklyje reikia užrašyti skaičių 1, prie kurio dešinėje pridėkite tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
• jei reikia, sumažinkite gauto mišraus skaičiaus trupmeninę dalį.

Pažiūrėkime į dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių pavyzdį.

Pavyzdys.

Išreikškite dešimtainę trupmeną 152,06005 kaip mišrų skaičių

Dažnai mokykloje besimokantys vaikai domisi, kam jiems gali prireikti matematikos realiame gyvenime, ypač tose dalyse, kurios yra kur kas toliau nei paprastas skaičiavimas, daugyba, dalyba, sudėtis ir atimtis. Daugelis suaugusiųjų taip pat užduoda šį klausimą, jei jų profesinė veikla labai toli nuo matematikos ir įvairių skaičiavimų. Tačiau verta suprasti, kad būna visokių situacijų ir kartais neįmanoma apsieiti be tos labai garsios mokyklinės programos, kurią vaikystėje taip niekinamai atmetėme. Pavyzdžiui, ne visi žino, kaip paversti trupmeną į dešimtainę, tačiau tokios žinios gali būti labai naudingos, kad būtų lengviau skaičiuoti. Pirmiausia turite įsitikinti, kad reikiamą trupmeną galima konvertuoti į galutinį dešimtainį skaičių. Tas pats pasakytina apie procentus, kuriuos taip pat galima lengvai konvertuoti į dešimtaines.

Tikrinama trupmena, ar ją galima konvertuoti į dešimtainę

Prieš ką nors skaičiuodami, turite įsitikinti, kad gauta dešimtainė trupmena bus baigtinė, kitaip ji pasirodys begalinė ir bus tiesiog neįmanoma apskaičiuoti galutinės versijos. Be to, begalinės trupmenos taip pat gali būti periodinės ir paprastos, tačiau tai yra atskiro skyriaus tema.

Paprastąją trupmeną galima konvertuoti į galutinę dešimtainę versiją tik tuo atveju, jei jos unikalų vardiklį galima išplėsti tik į koeficientus 5 ir 2 (pirminius veiksnius). Ir net jei jie kartojasi neribotą skaičių kartų.

Paaiškinkime, kad abu šie skaičiai yra pirminiai, todėl galiausiai juos be liekanos galima padalyti tik patys arba iš vieno. Internete be problemų galima rasti pirminių skaičių lentelę, nors ji neturi tiesioginio ryšio su mūsų sąskaita.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

Trupmeną 7/40 galima konvertuoti iš trupmenos į dešimtainį ekvivalentą, nes jos vardiklį galima lengvai įtraukti į koeficientus 2 ir 5.

Tačiau jei pirmoji parinktis lemia galutinę dešimtainę trupmeną, tai, pavyzdžiui, 7/60 jokiu būdu neduos panašaus rezultato, nes jo vardiklis nebebus išskaidytas į mūsų ieškomus skaičius, o turės trys tarp vardiklio veiksnių.

Yra keletas būdų, kaip trupmeną konvertuoti į dešimtainę

Kai paaiškėja, kurias trupmenas galima konvertuoti iš įprastos į dešimtainę, galite pereiti prie paties konvertavimo. Tiesą sakant, nėra nieko labai sunkaus net tam, kurio mokyklos programa visiškai išblėso iš atminties.

Kaip paversti trupmenas į dešimtaines: lengviausias būdas

Šis trupmenos pavertimo dešimtainiu metodas iš tiesų yra paprasčiausias, tačiau daugelis žmonių net nežino apie jo mirtingąjį egzistavimą, nes mokykloje visos šios „tiesos“ atrodo nereikalingos ir nelabai svarbios. Tuo tarpu ne tik suaugęs žmogus galės tai suprasti, bet ir vaikas tokią informaciją nesunkiai suvoks.

Taigi, norėdami paversti trupmeną į dešimtainę, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš vieno skaičiaus. Tačiau viskas nėra taip paprasta, dėl to vardiklyje yra 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 ir taip toliau, be galo. Pirmiausia nepamirškite patikrinti, ar tam tikrą trupmeną galima konvertuoti į dešimtainę.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

Tarkime, kad reikia paversti trupmeną 6/20 į dešimtainę. Mes tikriname:

Įsitikinus, kad trupmeną vis dar galima paversti į dešimtainę trupmeną ir net baigtinę, nes jos vardiklį galima lengvai išskaidyti į du ir penkis, turėtume pereiti prie paties vertimo. Geriausias variantas, logiškai mąstant, padauginti vardiklį ir gauti rezultatą iš 100, yra 5, nes 20x5=100.

Aiškumo dėlei galite apsvarstyti papildomą pavyzdį:

Antrasis ir populiaresnis būdas paversti trupmenas į dešimtainius

Antrasis variantas yra šiek tiek sudėtingesnis, tačiau populiaresnis dėl to, kad jį daug lengviau suprasti. Čia viskas skaidru ir aišku, todėl tuoj pat pereikime prie skaičiavimų.

Verta prisiminti

Norint teisingai paversti paprastąją, tai yra, paprastąją trupmeną į dešimtainį ekvivalentą, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio. Tiesą sakant, trupmena yra padalijimas, jūs negalite su tuo ginčytis.

Pažvelkime į veiksmą naudodami pavyzdį:

Taigi, pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra paversti trupmeną 78/200 į dešimtainę, jos skaitiklį, tai yra skaičių 78, padalyti iš vardiklio 200. Tačiau pirmas dalykas, kuris turėtų tapti įpročiu, yra patikrinti , kuris jau buvo minėtas aukščiau.

Patikrinę turite atsiminti mokyklą ir padalyti skaitiklį iš vardiklio, naudodami „kampą“ arba „stulpelį“.

Kaip matote, viskas yra labai paprasta ir nereikia būti genijumi, kad lengvai išspręstumėte tokias problemas. Paprastumo ir patogumo sumetimais taip pat pateikiame populiariausių trupmenų lentelę, kurią lengva įsiminti ir net nesistengiama jų išversti.

Kaip konvertuoti procentus į dešimtainius: nieko nėra paprasčiau

Galiausiai pereita prie procentų, kuriuos, pasirodo, kaip sakoma toje pačioje mokyklos programoje, galima paversti dešimtaine trupmena. Be to, čia viskas bus daug paprasčiau ir nereikės bijoti. Net tie, kurie nebaigė universitetų, praleido penktą mokyklos klasę ir nieko neišmano apie matematiką, gali susidoroti su užduotimi.

Galbūt turime pradėti nuo apibrėžimo, ty suprasti, kas iš tikrųjų yra interesas. Procentas yra viena šimtoji skaičiaus dalis, tai yra visiškai savavališka. Pavyzdžiui, nuo šimto bus vienas ir pan.

Taigi, norėdami konvertuoti procentus į dešimtainį skaičių, tiesiog reikia pašalinti % ženklą, o tada patį skaičių padalyti iš šimto.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

Be to, norint atlikti atvirkštinį „konversiją“, tiesiog reikia padaryti viską atvirkščiai, tai yra, reikia padauginti skaičių iš šimto ir prie jo pritvirtinti procento ženklą. Lygiai taip pat, pritaikydami įgytas žinias, paprastąją trupmeną galite paversti procentais. Norėdami tai padaryti, pakaks paprasčiausiai iš pradžių konvertuoti įprastą trupmeną į dešimtainį skaičių, taigi konvertuoti ją į procentą, taip pat galite lengvai atlikti atvirkštinį veiksmą. Kaip matote, nėra nieko labai sudėtingo, visa tai yra pagrindinės žinios, kurias tiesiog reikia turėti omenyje, ypač jei susiduriate su skaičiais.

Mažiausio pasipriešinimo kelias: patogios internetinės paslaugos

Būna ir taip, kad visai nesinori skaičiuoti, o tiesiog neturi laiko. Būtent tokiems atvejams ar ypač tingiems vartotojams internete yra daug patogių ir lengvai naudojamų paslaugų, kurios leis paprastąsias trupmenas, taip pat ir procentus, konvertuoti į dešimtaines trupmenas. Tai tikrai mažiausio pasipriešinimo kelias, todėl naudoti tokius išteklius yra vienas malonumas.

Naudingas informacinis portalas "Skaičiuoklė"

Norėdami naudotis skaičiuotuvo paslauga, tiesiog spustelėkite nuorodą http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html ir į reikiamus laukus įveskite reikiamus skaičius. Be to, išteklius leidžia konvertuoti tiek paprastas, tiek mišrias trupmenas į dešimtaines.

Po trumpo laukimo, maždaug trijų sekundžių, paslauga parodys galutinį rezultatą.

Lygiai taip pat dešimtainę trupmeną galite konvertuoti į įprastą trupmeną.

Internetinis skaičiuotuvas „Matematinių išteklių“ Calcs.su

Kita labai naudinga paslauga yra matematinių išteklių trupmenų skaičiuotuvas. Čia taip pat nereikia nieko skaičiuoti pačiam, tiesiog iš pateikto sąrašo išsirinkite tai, ko jums reikia, ir gaukite užsakymus.

Toliau specialiai tam skirtame laukelyje reikia įvesti norimą procentų skaičių, kurį reikia konvertuoti į įprastą trupmeną. Be to, jei jums reikia dešimtainių trupmenų, galite lengvai susidoroti su vertimo užduotimi patys arba naudoti tam skirtą skaičiuotuvą.

Galiausiai verta pridurti, kad nesvarbu, kiek naujų paslaugų būtų išrasta, kad ir kiek išteklių jums pasiūlytų savo paslaugas, nepakenks karts nuo karto patreniruoti galvą. Todėl tikrai turėtumėte pritaikyti įgytas žinias, juolab kad tuomet galėsite išdidžiai padėti savo vaikams, o vėliau ir anūkams ruošti namų darbus. Tiems, kurie kenčia nuo amžino laiko stokos, tokie internetiniai skaičiuotuvai matematiniuose portaluose pravers ir netgi padės suprasti, kaip trupmeną paversti dešimtainiu.