Kaip išspręsti logaritmines lygtis ir nelygybes. Logaritminių nelygybių sprendimas

NAUDOJIMO LOGARITMINIAI NELYGYDŽIAI

Sečinas Michailas Aleksandrovičius

Mažoji mokslų akademija Kazachstano Respublikos studentams „Iskatel“

MBOU "Sovetskaya vidurinė mokykla Nr. 1", 11 klasė, miestas. Sovetsky Sovetsky rajonas

Gunko Liudmila Dmitrievna, savivaldybės biudžetinės švietimo įstaigos „Sovetskajos 1-oji vidurinė mokykla“ mokytoja

Sovetskio rajonas

Darbo tikslas: logaritminių nelygybių C3 sprendimo mechanizmo tyrimas nestandartiniais metodais, identifikuojant įdomius logaritmo faktus.

Tyrimo objektas:

3) Išmokti spręsti specifines logaritmines nelygybes C3 nestandartiniais metodais.

Rezultatai:

Turinys

Įvadas…………………………………………………………………………………….4

1 skyrius. Problemos istorija…………………………………………………………5

2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys …………………………… 7

2.1. Ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas…………… 7

2.2. Racionalizavimo metodas………………………………………………………………… 15

2.3. Nestandartinis pakeitimas………………................................................ .............. 22

2.4. Užduotys su spąstais……………………………………………………27

Išvada………………………………………………………………………………… 30

Literatūra……………………………………………………………………. 31

Įvadas

Esu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kuriame pagrindinis dalykas yra matematika. Štai kodėl daug dirbu su užduotimis C dalyje. C3 užduotyje man reikia išspręsti nestandartinę nelygybę arba nelygybių sistemą, dažniausiai susijusią su logaritmais. Ruošdamasis egzaminui susidūriau su C3 siūlomų egzamino logaritminių nelygybių sprendimo metodų ir technikų trūkumo problema. Metodai, kurie nagrinėjami mokyklos programoje šia tema, nesuteikia pagrindo spręsti C3 uždavinius. Matematikos mokytoja man pasiūlė savarankiškai atlikti C3 užduotis, jai vadovaujant. Be to, mane domino klausimas: ar gyvenime susiduriame su logaritmais?

Atsižvelgiant į tai, buvo pasirinkta tema:

„Logaritminės nelygybės vieningame valstybiniame egzamine“

Darbo tikslas: C3 uždavinių sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant įdomius faktus apie logaritmą.

Tyrimo objektas:

1) Raskite reikiamą informaciją apie nestandartinius logaritminių nelygybių sprendimo būdus.

2) Raskite papildomos informacijos apie logaritmus.

3) Išmokti spręsti konkrečias C3 problemas nestandartiniais metodais.

Rezultatai:

Praktinė reikšmė yra C3 uždavinių sprendimo aparato išplėtimas. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kuriose pamokose, būreliuose ir pasirenkamuose matematikos užsiėmimuose.

Projekto produktas bus kolekcija „C3 logaritminės nelygybės su sprendimais“.

1 skyrius. Fonas

Visą XVI amžių apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai didėjo, visų pirma astronomijoje. Prietaisų tobulinimas, planetų judėjimo tyrinėjimas ir kiti darbai pareikalavo kolosalinių, kartais daugelio metų, skaičiavimų. Astronomijai iškilo realus pavojus paskęsti neįgyvendintuose skaičiavimuose. Sunkumų kilo ir kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle prireikė sudėtinių palūkanų lentelių įvairioms palūkanoms. Pagrindinis sunkumas buvo daugiaženklių skaičių, ypač trigonometrinių dydžių, daugyba ir dalyba.

Logaritmų atradimas buvo pagrįstas progresijų savybėmis, kurios buvo gerai žinomos iki XVI amžiaus pabaigos. Archimedas psalmėje kalbėjo apie ryšį tarp geometrinės progresijos q, q2, q3, ... narių ir jų eksponentų 1, 2, 3,... aritmetinės progresijos. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamus ir trupmeninius rodiklius. Daugelis autorių pažymėjo, kad daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknų ištraukimas geometrine progresija atitinka aritmetiką – ta pačia tvarka – sudėti, atimti, dauginti ir dalyti.

Čia kilo logaritmo kaip eksponento idėja.

Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.

1 etapas

Logaritmus ne vėliau kaip 1594 m. savarankiškai išrado škotų baronas Napier (1550–1617), o po dešimties metų – šveicarų mechanikas Bürgi (1552–1632). Abu norėjo pateikti naują, patogią aritmetinio skaičiavimo priemonę, nors šią problemą sprendė skirtingai. Napier kinematiškai išreiškė logaritminę funkciją ir taip pateko į naują funkcijų teorijos sritį. Bürgi toliau rėmėsi atskirų progresų svarstymu. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas nėra panašus į šiuolaikinį. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napier. Jis atsirado sujungus graikiškus žodžius: logos - „ryšys“ ir ariqmo - „skaičius“, o tai reiškė „santykių skaičių“. Iš pradžių Napier vartojo kitą terminą: numeri mākslīgi – „dirbtiniai skaičiai“, o ne numeri naturalts – „natūralūs skaičiai“.

1615 m., kalbėdamasis su Henry Briggsu (1561–1631), matematikos profesoriumi Gresh koledže Londone, Napier pasiūlė nulį laikyti vieneto logaritmu, o 100 – dešimties logaritmu, arba, kas yra tas pats. dalykas, tik 1. Taip buvo atspausdinti dešimtainiai logaritmai ir Pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Briggso lenteles papildė olandų knygnešys ir matematikos entuziastas Adrianas Flaccusas (1600–1667). Napier ir Briggs, nors prie logaritmų priėjo anksčiau nei visi kiti, savo lenteles paskelbė vėliau nei kitos – 1620 m. Ženklus log ir Log 1624 metais pristatė I. Kepleris. Sąvoką „natūralus logaritmas“ 1659 m. įvedė Mengoli, o 1668 m. pasekė N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Speidelis paskelbė skaičių natūraliųjų logaritmų lenteles nuo 1 iki 1000 pavadinimu „Naujieji logaritmai“.

Pirmosios logaritminės lentelės rusų kalba buvo išleistos 1703 m. Tačiau visose logaritminėse lentelėse buvo skaičiavimo klaidų. Pirmosios be klaidų lentelės buvo paskelbtos 1857 metais Berlyne, jas apdorojo vokiečių matematikas K. Bremikeris (1804-1877).

2 etapas

Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu analitinės geometrijos ir begalinio mažumo skaičiavimo taikymu. Iki to laiko buvo nustatytas ryšys tarp lygiakraštės hiperbolės kvadratūros ir natūralaus logaritmo. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugelio matematikų vardais.

Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolaus Mercator savo esė

„Logaritmotechnika“ (1668) pateikia seriją, kurioje ln(x+1) išplėtimas

x laipsniai:

Šis posakis tiksliai atitinka jo minčių eigą, nors, žinoma, jis vartojo ne d, ... ženklus, o gremėzdiškesnę simboliką. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: jie pradėti nustatyti naudojant begalines eilutes. F. Kleinas savo paskaitose „Elementarioji matematika iš aukštesnio požiūrio“, skaitytose 1907–1908 m., pasiūlė formulę naudoti kaip logaritmų teorijos konstravimo atskaitos tašką.

3 etapas

Logaritminės funkcijos kaip atvirkštinės funkcijos apibrėžimas

eksponentinis, logaritmas kaip duotosios bazės eksponentas

buvo suformuluotas ne iš karto. Leonhardo Eulerio (1707–1783) esė

„Įvadas į begalinių mažų skaičių analizę“ (1748 m.) pasitarnavo toliau

logaritminių funkcijų teorijos kūrimas. Taigi,

Praėjo 134 metai nuo tada, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai

(skaičiuojama nuo 1614 m.), kol matematikai priėjo prie apibrėžimo

logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.

2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys

2.1. Ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas.

Lygiaverčiai perėjimai

, jei a > 1

, jei 0 < а < 1

Apibendrintas intervalo metodas

Šis metodas yra universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybes. Sprendimo schema atrodo taip:

1. Įveskite nelygybę į formą, kurioje yra funkcija kairėje pusėje
, o dešinėje 0.

2. Raskite funkcijos sritį
.

3. Raskite funkcijos nulius
, tai yra, išspręskite lygtį
(ir išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).

4. Skaičių tiesėje nubrėžkite funkcijos apibrėžimo sritį ir nulius.

5. Nustatykite funkcijos požymius
gautais intervalais.

6. Pasirinkite intervalus, kuriuose funkcija paima reikiamas reikšmes ir užrašykite atsakymą.

1 pavyzdys.

Sprendimas:

Taikykime intervalų metodą

kur

Šioms reikšmėms visos išraiškos po logaritminiais ženklais yra teigiamos.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Sprendimas:

1-oji būdu . ADL lemia nelygybė x> 3. Logaritmų ėmimas tokiems x 10 bazėje gauname

Paskutinę nelygybę būtų galima išspręsti taikant išplėtimo taisykles, t.y. lyginant veiksnius su nuliu. Tačiau į šiuo atveju lengva nustatyti funkcijos pastovaus ženklo intervalus

todėl galima taikyti intervalų metodą.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra ištisinis ties x> 3 ir išnyksta taškuose x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Taigi nustatome funkcijos pastovaus ženklo intervalus f(x):

Atsakymas:

2-as metodas . Pradinei nelygybei tiesiogiai pritaikykime intervalo metodo idėjas.

Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad išraiškos a b- a c ir ( a - 1)(b- 1) turėti vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė ties x> 3 yra tolygus nelygybei

arba

Paskutinė nelygybė išspręsta naudojant intervalų metodą

Atsakymas:

3 pavyzdys.

Sprendimas:

Taikykime intervalų metodą

Atsakymas:

4 pavyzdys.

Sprendimas:

Nuo 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 tikrai x, Tai

Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą

Pirmoje nelygybėje atliekame pakeitimą

tada pasiekiame nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, kurios tenkina nelygybę -0,5< y < 1.

Iš kur, nes

gauname nelygybę

kuris atliekamas, kai x, už kurį 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Dabar, atsižvelgdami į antrosios sistemos nelygybės sprendimą, pagaliau gauname

Atsakymas:

5 pavyzdys.

Sprendimas:

Nelygybė prilygsta sistemų rinkiniui

arba

Naudokime intervalų metodą arba

Atsakymas:

6 pavyzdys.

Sprendimas:

Nelygybė lygi sistemai

Leiskite

Tada y > 0,

ir pirmoji nelygybė

sistema įgauna formą

arba, atsiskleidžiant

kvadratinis trinaris koeficientas,

Pritaikius intervalo metodą paskutinei nelygybei,

matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y> 0 bus viskas y > 4.

Taigi pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai:

Taigi, nelygybės sprendimai yra visi

2.2. Racionalizavimo metodas.

Anksčiau nelygybė nebuvo sprendžiama racionalizacijos metodu. Tai „naujas modernus efektyvus eksponentinių ir logaritminių nelygybių sprendimo metodas“ (citata iš S. I. Kolesnikovos knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, buvo baimė - ar vieningo valstybinio egzamino ekspertas jį pažįsta, o kodėl jo neduoda mokykloje? Būdavo situacijų, kai mokytojas mokiniui sakydavo: „Kur gavai – 2?
Dabar metodas propaguojamas visur. O ekspertams yra su šiuo metodu susijusios gairės, o C3 sprendimo „Patys pilniausi standartinių parinkčių leidimai...“ šis metodas naudojamas.
NUOSTABUS METODAS!

"Stebuklingas stalas"

Kituose šaltiniuose

Jeigu a >1 ir b >1, tada log a b >0 ir (a -1)(b -1)>0;

Jeigu a >1 ir 0

jei 0<a<1 и b >1, tada įrašykite a b<0 и (a -1)(b -1)<0;