Kursinio darbo aiškinamasis raštas surašytas 36 lapų apimties. Jame yra gama funkcijos reikšmių lentelė tam tikroms kintamųjų reikšmėms ir programų tekstai, skirti skaičiuoti gama funkcijos reikšmes ir braižyti grafiką, taip pat 2 paveikslai.

Kursiniam darbui parašyti panaudoti 7 šaltiniai.

Įvadas

Yra speciali funkcijų klasė, kurią galima pavaizduoti tinkamo arba netinkamo integralo forma, kuri priklauso ne tik nuo formalaus kintamojo, bet ir nuo parametro.

Tokios funkcijos vadinamos nuo parametrų priklausomais integralais. Tai apima Eulerio gama ir beta funkcijas.

Beta funkcijas galima pavaizduoti pirmojo tipo Eulerio integralu:

Gama funkcija pavaizduota antrojo tipo Eulerio integralu:

Gama funkcija yra viena iš paprasčiausių ir reikšmingiausių specialiųjų funkcijų, kurios savybes reikia žinoti tiriant daugelį kitų specialiųjų funkcijų, pavyzdžiui, cilindrinių, hipergeometrinių ir kt.

Dėl jo įvedimo mūsų galimybės skaičiuoti integralus yra žymiai išplėstos. Net ir tais atvejais, kai galutinėje formulėje nėra kitų funkcijų, išskyrus elementariąsias, jos gavimas vis tiek dažnai palengvina funkcijos Г naudojimą, bent jau tarpiniuose skaičiavimuose.

Eulerio integralai yra gerai ištirtos ne elementarios funkcijos. Užduotis laikoma išspręsta, jei ji leidžia apskaičiuoti Eulerio integralus.

1. Beta versijos funkcijos Aš esu Eileris

Beta funkcijas nustato pirmojo tipo Eulerio integralas:

Tai reiškia dviejų kintamųjų parametrų funkciją

Integralas (1.1) konverguoja ties

t.y. argumentas

pagal mūsų turimą pagyrimų integracijos formulę

Iš kur mes tai gauname?

Jei sveikas skaičius b = n, taikant iš eilės (1.2)

sveikiesiems skaičiams

bet B(1,1) = 1, todėl:

Įdėkime (1.1)

ir dėl pakeitimo

įdėjimas (1.1)

padalijus integralą iš dviejų intervale nuo 0 iki 1 ir nuo 1 iki

2. Gama funkcija

2.1 Apibrėžimas

Šauktukas matematiniuose darbuose paprastai reiškia kokio nors neneigiamo sveikojo skaičiaus faktorialo paėmimą:

n! = 1·2·3·...·n.

Faktorinę funkciją taip pat galima parašyti kaip rekursinį ryšį:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Šis ryšys gali būti laikomas ne tik sveikosiomis n reikšmėmis.

Apsvarstykite skirtumo lygtį

Nepaisant paprastos žymėjimo formos, šios lygties negalima išspręsti elementariose funkcijose. Jo sprendimas vadinamas gama funkcija. Gama funkcija gali būti parašyta kaip serija arba kaip integralas. Norint ištirti globalias gama funkcijos savybes, paprastai naudojamas integralinis vaizdas.

2.2 Integralus vaizdavimas

Pereikime prie šios lygties sprendimo. Ieškosime sprendimo Laplaso integralo pavidalu:

Šiuo atveju (2.1) lygties dešinė pusė gali būti parašyta taip:

Ši formulė galioja, jei yra neintegralaus termino ribos. Iš anksto nežinome vaizdo [(G)\tilde](p) elgsenos p®±¥. Tarkime, kad gama funkcijos vaizdas yra toks, kad neintegralus narys yra lygus nuliui. Suradus sprendimą, reikės patikrinti, ar teisinga prielaida apie neintegralinį narį, antraip G(z) teks ieškoti kitu būdu.

GAMMA FUNKCIJA, G funkcija, yra transcendentinė funkcija T(z), skleidžianti faktorialo z reikšmes! bet kurio komplekso atveju z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. įvedė L. Euleris [(L. Euleris), 1729, laiškas X. Goldbachui (Ch. Goldbachas)] naudodamas begalinį sandaugą

iš kurio L. Euleris gavo integralinį atvaizdavimą (antrosios rūšies Eulerio integralas)

tiesa, kai Re z > 0. Funkcija x z-1 išskaidoma formule x z-1 = e (z-1)ln x su realiuoju ln x. Pavadinimas Г(z) ir pavadinimas. G.-f. buvo pasiūlyti A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

Visoje z plokštumoje su nukritusiais taškais z = 0, -1, -2, ... G.-f. Hankelio integralas galioja:

kur s z-1 = e (z-1)ln s, o ln s yra logaritmo atšaka, kuriai 0

Pagrindiniai geometrinių funkcijų ryšiai ir savybės.

1) Eulerio funkcinė lygtis:

zГ(z) = Г(z + 1),

Г(1) = 1, Г(n + 1) = n!, jei n > 0 yra sveikas skaičius, tada suskaičiuokite 0! = Г(1) = 1.

2) Eilerio pridėjimo formulė:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

Visų pirma,

jei n > 0 yra sveikas skaičius, tada

y – tikras.

3) Gauso daugybos formulė:

Jei m = 2, tai yra Legendre'o padvigubinimo formulė.

4) Kai Re z ≥ δ > 0 arba |Im z| ≥ δ > 0 asimptotinis. ln Г(z) išplėtimas į Stirlingo seriją:

kur B 2n yra Bernulio skaičiai. Ką reiškia lygybė?

Visų pirma,

Sonino formulė tikslesnė:

5) Realiame regione Г(х) > 0, kai x > 0 ir ima ženklą (-1) k+1 atkarpose -k - 1

GG"" > Г" 2 ≥ 0,

y., visos |Г(x)| ir ln |Г(x)| šakos - išgaubtos funkcijos. Logaritminė savybė išgaubtumą lemia G.-f. tarp visų funkcinės lygties sprendinių

Г(1 + x) = xГ(x)

iki pastovaus faktoriaus.

Ryžiai. 2. Funkcijos y = Г(х) grafikas.

Teigiamam x G.-f. turi vieną minimumą, kai x = 1,4616321..., lygus 0,885603.... Funkcijos |Г(х)| vietiniai minimumai kaip x → -∞ sudaro seką, linkusią į nulį.

Ryžiai. 3. Funkcijos 1/Г(x) grafikas.

6) Kompleksinėje srityje, kai Re z > 0, G.-f. greitai mažėja kaip |Im z| → -∞

7) Funkcija 1/Г(z) (žr. 3 pav.) yra visa 1-osios eilės maksimalaus tipo funkcija ir asimptotiškai kaip Г → ∞

ln M(r) ~ r ln r,

Jį galima pavaizduoti begaliniu Weierstrass produktu:

absoliučiai ir tolygiai konverguoja bet kurioje kompaktiškoje kompleksinės plokštumos aibėje (čia C-Eulerio konstanta). Hankel integralas galioja:

kur kontūras C * parodytas fig. 4.

Integraliniai G.-f. įgaliojimai. buvo gautas G. F. Voronojus.

Paraiškose vadinamosios poligama funkcijos, kurios yra ln Г(z) išvestinės. Funkcija (Gauso ψ funkcija)

yra meromorfinis, turi paprastus polius taškuose z = 0,- 1,_-2, ... ir tenkina funkcinę lygtį

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Iš ψ(z) atvaizdavimo |z|

ši formulė naudinga apskaičiuojant Г(z) šalia taško z = 1.

Apie kitas poligama funkcijas žr. Nebaigta gama funkcija apibrėžiama lygybe

Funkcijos Г(z), ψ(z) yra transcendentinės funkcijos, kurios netenkina jokios tiesinės diferencialinės lygties su racionaliais koeficientais (Hölderio teorema).

Išskirtinis vaidmuo G.-f. matematikoje analizę lemia tai, kad padedant G.-f. išreiškiamas didelis skaičius apibrėžtųjų integralų, begalinių sandaugų ir eilučių sumų (žr., pavyzdžiui, Beta funkciją). Be to, G.-f. randa plačius pritaikymus specialiųjų funkcijų teorijoje (hipergeometrinės funkcijos, kurioms geometrinė funkcija yra ribinis atvejis, cilindrinės funkcijos ir kt.), analitikoje. skaičių teorija ir kt.

Lit.: Whittaker E. T., Watson J. N., Šiuolaikinės analizės kursas, vert. iš anglų k., 2 t., 2 leid., M., 1963 m. Bateman G., Erdelyi A., Aukštesnės transcendentinės funkcijos Hipergeometrinė funkcija. Legendros funkcijos, vert. iš anglų k., M., 1965; Bourbaki N., Realiojo kintamojo funkcijos. Elementarioji teorija, vert. iš prancūzų kalbos, M., 1965; Matematinė analizė. Funkcijos, ribos, serijos, tęstinės trupmenos, (Matematinė biblioteka), M., 1961; Nielsen N.. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Cilindrinių funkcijų ir specialiųjų daugianarių tyrimai, M., 1954; Voronojus G.F., kolekcija. soch., t. 2, K., 1952, p. 53-62; Janke E., Emde F., Lesch F., Specialios funkcijos. Formulės, grafikai, lentelės, trans. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1968 m.; Ango A., Matematika elektros ir radijo inžinieriams, vert. iš prancūzų k., 2 leidimas, M., 1967 m.

L. P. Kupcovas.

Šaltiniai:

1. Matematinė enciklopedija. T. 1 (A–D). Red. lenta: I. M. Vinogradovas (vyr. redaktorius) [ir kiti] - M., „Tarybų enciklopedija“, 1977, 1152 ir kt. iš iliuzijos.

Gama funkcijos apibrėžimo sritis Г(х) Integrale (1) yra dviejų tipų singuliarumai: 1) integracija išilgai pustiesės 2) taške, kuriame integrandas eina į begalybę. Norėdami atskirti šias savybes, mes vaizduojame funkciją Г(х) kaip integralą. Gama funkcijos sritis beta funkcijos sritis Eulerio integralų taikymas skaičiuojant apibrėžtuosius integralus ir Pažvelkime į kiekvieną iš jų atskirai. Nuo tada integralas konverguoja ties (palyginimui). Integralas konverguoja bet kuriam x. Tiesą sakant, paėmę savavališką, mes nustatome, kad bet kuriam x At integralas suartėja, todėl integralas konverguoja bet kuriam x. Taigi, jis konverguoja ir mes įrodėme, kad gama funkcijos Г(х) apibrėžimo sritis yra pustiesė. Parodykime, kad integralas (1) tolygiai konverguoja į x bet kuriame Let. Tada, kai turime, (2) ir (3) formulių dešinėje pusėje esantys integralai susilieja, o pagal Weierstrass kriterijų integralai, esantys kairėje nelygybių (2) ir (3) pusėse, vienodai suartėti. Vadinasi, remiantis lygybe, gauname vienodą Г(х) konvergenciją bet kuriame intervale [c, d], kur. Vienoda Г(х) konvergencija reiškia šios funkcijos tęstinumą Kai kurioms gama funkcijos savybėms 1. (gama funkcija, kai x > 0 neturi nulių). 2. Jei x > 0, gama funkcijos redukcijos formulė galioja 3. Jei x = n, galioja formulė Jei x = 1, gauname Naudojant formulę (4), gauname Taikant formulę n kartų, nes gauname 4. Kreivė y = Г( x) išgaubta žemyn. Tiesą sakant, iš to išplaukia, kad pusės tiesės išvestinė gali turėti tik vieną nulį. Ir kadangi pagal Rolle teoremą šis išvestinės Γ"(x) nulis x0 egzistuoja ir yra intervale (1.2). Kadangi tada taške x0 funkcija Γ(x) turi minimumą. Galima parodyti. kad (0, +oo) funkcija Г(х) yra diferencijuojama bet kokį skaičių kartų. Iš formulės ji yra ištisinė 6. Komplemento formulė turi tokią formą, kaip parodyta 4 pav. § 4. Beta funkcija ir. jo savybės vadinamos beta funkcija, priklausomai nuo parametrų. 4.1 Beta funkcijos apibrėžimo sritis du integralai, iš kurių pirmasis (at) turi vienaskaitos tašką, o antrasis (prie – vienaskaitos taškas t = 1. Integralas yra netinkamas 2-osios rūšies integralas. Jis susilieja, jei už, o integralas vadinamas integralas Kai kurios gama funkcijos savybės ir jos savybės Eulerio integralų naudojimas apibrėžiamiesiems integralams konverguoja. y) yra apibrėžtas visoms teigiamoms hnu reikšmėms. Galima įrodyti, kad integralas (7) tolygiai konverguoja kiekvienoje srityje x^a>0, Y>b>Oy taip, kad beta funkcija būtų ištisinė Kai kurios beta funkcijos savybės 1. Formulei Beta funkcija yra simetriška. xn atžvilgiu Tai išplaukia iš (9) formulės. §5. Eilerio integralų taikymas skaičiuojant apibrėžtuosius integralus Panagrinėkime kelis pavyzdžius. Pavyzdys 1. Apskaičiuokite integralą 4 Įveskime pakaitalą ir gausime Todėl 2 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą Tarkime, kad integralo ribos išlieka tos pačios, todėl duotasis integralas yra sumažintas iki beta funkcijos: 3 pavyzdys. ant lygybės, apskaičiuokite integralą Čia naudojome beta funkcijos apibrėžimą ir formules. Pratimai Apskaičiuokite ribas: Raskite šių funkcijų išvestines F "(y): o. Remdamiesi lygybe, apskaičiuokite integralą 7. Naudodami lygybę, diferencijuodami parametro atžvilgiu, gaukite tokią formulę: 8. Įrodykite, kad integralas tolygiai konverguoja y visoje realioje ašyje 7 dx 9. Įrodykite, kad integralas tolygiai konverguoja parametro s atžvilgiu bet kurioje atkarpoje. 10. Naudodamiesi lygybe, apskaičiuokite integralą diferencijuodami pagal parametrą Naudodami Eulerio integralus, apskaičiuokite šiuos integralus: Išreikškite Eulerio integralais: Gama funkcija yra gama funkcijų integralas Kai kurios gama funkcijos Beta savybės. funkcija ir jos savybės Beta funkcijos apibrėžimo sritis Eulerio integralų taikymas skaičiuojant apibrėžtuosius integralus yra teigiamas sveikasis skaičius) Įrodykime, kad integralas tolygiai konverguoja visoje realioje ašyje: 1) bet kurio kaip A(e) santykis. ) atitinka ), paminėtas netinkamo integralo, tolygiai konverguojančio parametro y atžvilgiu, apibrėžime, galime imti Jei B > A turėsime Įrodysime, kad integralas f(α) = / tolygiai konverguoja a Kadangi integralas konverguoja jei 0 1, tada pagal Weierstrass pakankamą kriterijų darome išvadą, kad šis integralas konverguoja tolygiai. 10. Turime Diferencijuojant n kartų

46. ​​Gama ir rentgeno spinduliuotės prigimtis, kilmė ir savybės. Gama ir rentgeno kvantų sąveikos su materijos atomais mechanizmai. Įvairių kvantų sąveikos su atomais būdų tikimybė priklausomai nuo kvantų energijos.

Svarbiausia bet kokios jonizuojančiosios spinduliuotės savybė yra reiškinys. Jo jonizuojantis gebėjimas. Kiekybinis šio gebėjimo matas yra linijinis jonizacijos tankis (LID). Jis lygus jonų porų skaičiui, kuriuos sukuria dalelė (kvantai) medžiagos kelio vienetui. ABI priklauso nuo dalelės prigimties ir energijos bei nuo medžiagos savybių. Literatūroje ABI dažniausiai nurodoma standartinei medžiagai – sausam orui, o vienas centimetras imamas kaip atstumo vienetas. Nesunku suprasti, kad kuo didesnis ABI, tuo didesnis žalingas poveikis organizmui. Kvantai pereidami per materiją palaipsniui praranda energiją, kuri išleidžiama jonizuojančioms molekulėms ir atomams. Energijos praradimo greitis lemia tam tikros jonizuojančiosios spinduliuotės gebėjimą prasiskverbti. Dalelių įsiskverbimo galios matas yra atstumas, kuriuo dalelė sulėtėja iki energijos, artimos vidutinei šiluminio judėjimo energijai. Rentgeno spindulių arba gama spindulių kvantams atstumas, iki kurio spinduliuotės galia sumažėja „e“ koeficientu, laikomas prasiskverbimo galios matu. Kuo didesnis ABI, tuo mažesnė spinduliuotės prasiskverbimo galia tam tikroje medžiagoje. Spinduliuotė su dideliu PV vadinama kietąja; jei PS mažas, tokia spinduliuotė vadinama minkšta. Tačiau šie terminai yra santykiniai. Alfa dalelės turi labai mažą PS; net ore jų diapazonas yra keli cm Tankesnės medžiagos yra nepralaidžios alfa dalelėms, kurių storis yra mm. Ant žmogaus krentantis alfa dalelių srautas visiškai susigeria viršutiniuose odos sluoksniuose. Dėl žemo PS alfa dalelės yra beveik visiškai saugios žmonėms išorinio švitinimo metu. Bet jei alfa aktyvusis izotopas pateks į kūno vidų, pavojus bus labai didelis, nes Izotopo skleidžiamos dalelės audinių viduje sukels labai stiprią jonizaciją, pažeis gyvas struktūras. Beta dalelių PS yra maždaug 100 kartų didesnis; ore nukeliauja kelis metrus, kietoje terpėje - kelis mm (priklausomai nuo energijos). Rentgeno ir gama spinduliai, turintys mažą ABI, giliai prasiskverbia net į tankią terpę. Didelės energijos gama spinduliai gali prasiskverbti per kelių metrų gylio žemės ar betono sluoksnį.

Sąveika su alfa ir beta dalelių medžiaga

Atskiros alfa ir beta dalelės gali prasiskverbti į atomų branduolius ir sukelti ten tam tikras branduolines reakcijas. Tačiau didžioji dalis dalelių sąveikauja tik su elektronų apvalkalais. Turėdamos didelę masę alfa dalelės, susidūrusios su atomo elektronais, praktiškai nenukrypsta nuo tiesios trajektorijos. Elektronai atitrūksta nuo atomų ir molekulių, t.y. vyksta jonizacija. Tam tikro izotopo visų alfa dalelių energija yra maždaug vienoda, todėl visos konkretaus izotopo alfa dalelės turi tą patį diapazoną medžiagoje. Beta dalelės yra lengvos, todėl susidūrusios su atomu labai pakeičia judėjimo kryptį. Šis procesas vadinamas sklaida. Išsklaidytos beta dalelės skraido visomis kryptimis ir gali būti sužalojimų priežastimi žmonėms, esantiems arti kūno, ant kurio krenta beta dalelių srautas, net jei šis srautas tiesiogiai nepaliečia žmogaus. Pavojaus šaltinis gali būti rentgeno spindulių smūgis, atsirandantis stabdant** kietose medžiagose. Dėl bremsstrahlung egzistavimo net gryniems beta spinduliuotiesiems reikalinga gana rimta apsauga sandėliuojant ar transportuojant. Galiausiai dalykuose su pozitronų aktyvumu įvyksta anihiliacija, t.y. Pozitronams susidūrus su medžiagos elektronais, dalelės virsta dviem gama kvantais, kurių kiekvieno energija yra 0,51 MeV, todėl visi pozitronai aktyvūs reiškinio izotopai. Tuo pačiu metu gama spinduliuotės šaltiniai.

Praktiškai svarbus poveikis dėl sklaidos

A. Išsklaidyta spinduliuotė. Į visas puses. Tam reikia priimti papildomus Atsargumo priemonės. Pavyzdžiui, rentgeno nuotraukoje tiesioginis spindulių spindulys nukreipiamas žemyn, tačiau paciento kūne išsklaidyta spinduliuotė eina į šonus ir į viršų, o tai verčia imtis priemonių apsaugoti kaimynines ir dar aukščiau esančias patalpas. Panašiai povandeninio laivo reaktoriaus generuojama gama spinduliuotė yra išsklaidyta jūros vandenyje, o dalis jos grįžta į povandeninio laivo skyrius, padidindama foninę spinduliuotę.

B. Jeigu, matuojant jonizuojančiąją spinduliuotę, matavimo prietaisas yra arti masyvių objektų ar sienų, juose išsibarsčiusi spinduliuotė gali gerokai iškreipti matavimo rezultatus.

B. Išsklaidyta spinduliuotė gadina rentgeno vaizdą. Kvantai, nukrypstantys nuo pradinės krypties, atsiduria atsitiktinėse ekrano ar filmo vietose, juos „eksponuoja“ ir vaizdas tampa ne toks aiškus ir kontrastingas.

Abstraktus

Šio kursinio darbo tikslas – ištirti specialiąsias Eulerio gama funkcijos savybes. Darbo metu buvo ištirta gama funkcija, jos pagrindinės savybės ir įvairaus tikslumo sudarytas skaičiavimo algoritmas. Algoritmas buvo parašytas aukšto lygio kalba - C. Programos rezultatas tikrinamas pagal lentelę. Vertybių neatitikimų nerasta.

Kursinio darbo aiškinamasis raštas surašytas 36 lapų apimties. Jame yra gama funkcijos reikšmių lentelė tam tikroms kintamųjų reikšmėms ir programų tekstai, skirti skaičiuoti gama funkcijos reikšmes ir braižyti grafiką, taip pat 2 paveikslai.

Kursiniam darbui parašyti panaudoti 7 šaltiniai.

Įvadas

Yra speciali funkcijų klasė, kurią galima pavaizduoti tinkamo arba netinkamo integralo forma, kuri priklauso ne tik nuo formalaus kintamojo, bet ir nuo parametro.

Tokios funkcijos vadinamos nuo parametrų priklausomais integralais. Tai apima Eulerio gama ir beta funkcijas.

Beta funkcijas galima pavaizduoti pirmojo tipo Eulerio integralu:

Gama funkcija pavaizduota antrojo tipo Eulerio integralu:

Gama funkcija yra viena iš paprasčiausių ir reikšmingiausių specialiųjų funkcijų, kurios savybes reikia žinoti tiriant daugelį kitų specialiųjų funkcijų, pavyzdžiui, cilindrinių, hipergeometrinių ir kt.

Dėl jo įvedimo mūsų galimybės skaičiuoti integralus yra žymiai išplėstos. Net ir tais atvejais, kai galutinėje formulėje nėra kitų funkcijų, išskyrus elementariąsias, jos gavimas vis tiek dažnai palengvina funkcijos Г naudojimą, bent jau tarpiniuose skaičiavimuose.

Eulerio integralai yra gerai ištirtos ne elementarios funkcijos. Užduotis laikoma išspręsta, jei ji leidžia apskaičiuoti Eulerio integralus.

1. Beta versijos funkcijos Aš esu Eileris

Beta funkcijas nustato pirmojo tipo Eulerio integralas:

Tai reiškia dviejų kintamųjų parametrų ir: funkcijos funkciją B. Jei šie parametrai tenkina sąlygas ir , tai integralas (1.1) bus netinkamas integralas, priklausomai nuo parametrų ir , o šio integralo vienaskaitos taškai bus taškai ir

Integralas (1.1) suartėja su prielaida, kad gauname:

= - =

t.y. argumentas ir įveskite simetriškai. Atsižvelgiant į tapatybę

pagal mūsų turimą pagyrimų integracijos formulę

Iš kur mes tai gauname?

Jei sveikas skaičius b = n, taikant iš eilės (1.2)

sveikieji skaičiai = m, = n, turime

bet B(1,1) = 1, todėl:

Įdėkime (1.1) Kadangi funkcijos grafikas yra simetriškas tiesei linijai, tada

o dėl pakeitimo gauname

įdėjus (1.1) , iš kur , gauname

padalijus integralą iš dviejų intervale nuo 0 iki 1 ir nuo 1 iki ir pritaikę antrojo integralo pakaitalą, gauname

2. Gama funkcija

2.1 Apibrėžimas

Šauktukas matematiniuose darbuose paprastai reiškia kokio nors neneigiamo sveikojo skaičiaus faktorialo paėmimą:

n! = 1·2·3·...·n.

Faktorinę funkciją taip pat galima parašyti kaip rekursinį ryšį:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Šis ryšys gali būti laikomas ne tik sveikosiomis n reikšmėmis.

Apsvarstykite skirtumo lygtį

Nepaisant paprastos žymėjimo formos, šios lygties negalima išspręsti elementariose funkcijose. Jo sprendimas vadinamas gama funkcija. Gama funkcija gali būti parašyta kaip serija arba kaip integralas. Norint ištirti globalias gama funkcijos savybes, paprastai naudojamas integralinis vaizdas.

2.2 Integralus vaizdavimas

Pereikime prie šios lygties sprendimo. Ieškosime sprendimo Laplaso integralo pavidalu:

Šiuo atveju (2.1) lygties dešinė pusė gali būti parašyta taip:

Ši formulė galioja, jei yra neintegralaus termino ribos. Iš anksto nežinome vaizdo [(G)\tilde](p) elgsenos p®±¥. Tarkime, kad gama funkcijos vaizdas yra toks, kad neintegralus narys yra lygus nuliui. Suradus sprendimą, reikės patikrinti, ar teisinga prielaida apie neintegralinį narį, antraip G(z) teks ieškoti kitu būdu.

Kairioji lygybės (2.1) pusė parašyta taip:

Tada gama funkcijos atvaizdo lygtis (2.1) yra tokia:

Šią lygtį lengva išspręsti:

Nesunku pastebėti, kad rasta funkcija [(Г)\tilde](p) iš tikrųjų yra tokia, kad (2.2) formulėje esantis neintegralinis narys yra lygus nuliui.

Žinant gama funkcijos vaizdą, nesunku gauti prototipo išraišką:

Tai nekanoninė formulė, norint ją paversti Eulerio gauta forma, reikia pakeisti integravimo kintamąjį: t = exp(-p), tada integralas įgaus formą:

Konstanta C parenkama taip, kad sveikosioms z reikšmėms gama funkcija sutaptų su faktorine funkcija: Г(n+1) = n!, tada:

todėl C = 1. Galiausiai gauname Eilerio formulę gama funkcijai:

Ši funkcija labai paplitusi matematiniuose tekstuose. Dirbant su specialiomis funkcijomis, gal net dažniau nei šauktukas.

Galite patikrinti, ar (2.3) formule apibrėžta funkcija iš tikrųjų atitinka (2.1) lygtį, integralą, esantį dešinėje šios formulės pusėje, dalimis:

2.3 Domenas ir poliai

Integralinės funkcijos (2.3) integrande su eksponentine exp( -tz) su R( z) > 0 mažėja daug greičiau, nei didėja algebrinė funkcija t(z-1) . Singuliarumas ties nuliu yra integruojamas, todėl netinkamasis integralas (2.3) absoliučiai ir tolygiai konverguoja, kai R (z) > 0. Be to, nuosekliai diferencijuojant parametro atžvilgiu z nesunku patikrinti, ar Г( z) yra holomorfinė funkcija R ( z) > 0. Tačiau integralaus vaizdavimo (2.3) netinkamumas R ( z) 0 nereiškia, kad ten neapibrėžta pati gama funkcija – (2.1) lygties sprendinys.

Panagrinėkime Г(z) elgseną nulio apylinkėse. Norėdami tai padaryti, įsivaizduokime:

kur yra holomorfinė funkcija kaimynystėje z = 0. Iš (2.1) formulės seka:

tai yra, Г(z) turi pirmos eilės polių, kai z = 0.

Taip pat lengva gauti:

tai yra taško kaimynystėje funkcija Г( z) taip pat turi pirmos eilės stulpą.

Tokiu pat būdu galite gauti formulę:

Iš šios formulės išplaukia, kad taškai z = 0,-1,-2,... yra paprasti gama funkcijos poliai ir ši funkcija neturi kitų polių tikrojoje ašyje. Lengva apskaičiuoti likutį taške z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Hankelio atvaizdavimas per kilpos integralą

Išsiaiškinkime, ar gama funkcija turi nulius. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite funkciją

Šios funkcijos poliai yra funkcijos Г(z) nuliai.

I skirtumo lygtis ( z) galima lengvai gauti naudojant išraišką Г( z):

Šios lygties sprendimo išraišką integralo forma galima gauti taip pat, kaip buvo gauta gama funkcijos integralo išraiška - per Laplaso transformaciją. Žemiau pateikiami skaičiavimai, kurie nėra tokie patys kaip 1 veiksme. Ir integralas bus taškai ____________________________________________________________________

Atskyrę kintamuosius gauname:

Integruodami gauname:

Perėjimas prie Laplaso pirminio vaizdo suteikia:

Gautame integrale pakeičiame integravimo kintamąjį:

Tada

Čia svarbu pažymėti, kad integrandas, skirtas ne sveikoms reikšmėms z turi šakos tašką t= 0. Kintamojo kompleksinėje plokštumoje t Padarykime pjūvį išilgai neigiamos tikrosios pusašies. Pavaizduokime integralą išilgai šios pusašies kaip integralo išilgai viršutinio pjūvio kranto nuo iki 0 ir integralo nuo 0 iki apatinio pjūvio kranto sumą. Kad integralas nepraeitų per šakos tašką, aplink jį sutvarkysime kilpą.

1 pav. Hankelio integralo atvaizdavimo kilpa.

Rezultate gauname:

Norėdami sužinoti konstantos reikšmę, atminkite, kad I(1) = 1, kita vertus:

Integralus vaizdavimas

vadinamas Hankelio atvaizdavimu išilgai kilpos.

Nesunku pastebėti, kad funkcija 1/Г( z) kompleksinėje plokštumoje polių neturi, todėl gama funkcija neturi nulių.

Naudodamiesi šiuo integraliu vaizdu, galime gauti gama funkcijų sandaugos formulę. Norėdami tai padaryti, pakeičiame integralo kintamąjį, tada:

2.5 Eilerio ribinė forma

Gama funkcija gali būti pavaizduota kaip begalinis produktas. Tai galima pamatyti, jei atstovaujame integralu (2.3)

Tada integralus gama funkcijos vaizdas:

Šioje formulėje galime pakeisti ribas – integralo ribą netinkamame integrale ir ribą integralo viduje. Štai rezultatas:

Paimkime šį integralą dalimis:

Jei šią procedūrą atliksime n kartų, gausime:

Pereinant prie ribos, gauname Eulerio ribos formą gama funkcijai:

2.6 Produkto formulė

Žemiau mums reikės formulės, kurioje dviejų gama funkcijų sandauga pavaizduota per vieną gama funkciją. Išveskime šią formulę naudodami integralinį gama funkcijų vaizdą.

Pavaizduokime kartotinį integralą kaip dvigubą netinkamą integralą. Tai galima padaryti naudojant Fubini teoremą. Rezultate gauname:

Netinkamas integralas suartėja tolygiai. Jis gali būti laikomas, pavyzdžiui, integralu virš trikampio, kurį riboja koordinačių ašys ir tiesė x+y = R, kai R. Dvigubame integrale keičiame kintamuosius:

Šio pakeitimo jakobietis

Integravimo ribos: u svyruoja nuo 0 iki ∞, všiuo atveju jis keičiasi nuo 0 iki 1. Rezultate gauname:

Dar kartą perrašykime šį integralą kaip iteracinį ir gausime:

kur R p> 0, R v > 0.

2. Išvestinė gama funkcija

Integralinis

susilieja kiekvienam , nes , o integralas ties konverguoja.

Regione, kur yra savavališkas teigiamas skaičius, šis integralas konverguoja tolygiai, nes ir mes galime taikyti Weirstras kriterijų. Visas integralas yra konvergentiškas visoms vertybėms nes antrasis žodis dešinėje yra integralas, kuris akivaizdžiai konverguoja bet kuriame regione kur savavališka. Galioja visoms nurodytoms reikšmėms ir visoms , ir nuo to laiko suartėja, tada Weierstrasso testo sąlygos yra tenkinamos. Taigi, rajone integralas tolygiai susilieja.

Tai reiškia gama funkcijos tęstinumą. Įrodykime šios funkcijos skirtumą yra tęstinis ir, ir parodysime, kad integralas:

tolygiai susilieja kiekviename segmente, . Parinkime skaičių taip, kad ; tada ties .Todėl yra toks skaičius kaip on.Bet tada ant nelygybės yra tiesa

o kadangi integralas konverguoja, tai integralas tolygiai konverguoja atžvilgiu. Panašiai, nes yra toks skaičius, kad nelygybė galioja visiems . Su tokiais ir viskuo, ką gauname , iš kurio dėl palyginimo kriterijaus išplaukia, kad integralas tolygiai konverguoja atžvilgiu. Galiausiai integralas

kurioje integrandas yra tęstinis regione

Akivaizdu, kad tolygiai susilieja su . Taigi, ant integralo

konverguoja tolygiai, todėl gama funkcija yra be galo diferencijuojama bet kuriai ir lygybei

.

Kalbant apie integralą, galime pakartoti tą patį samprotavimą ir padaryti tokią išvadą

Indukcija įrodoma, kad funkcija Γ yra be galo diferencijuojama ir jos i-oji išvestinė tenkina lygybę

Dabar panagrinėkime funkcijos elgseną ir sukurkime jos grafiko eskizą. (žr. 1 priedą)

Iš antrosios funkcijos išvestinės išraiškos aišku, kad visiems . Todėl jis didėja. Kadangi , Tada pagal vaidmens teoremą segmente išvestinė ties ir tuo , t.y., monotoniškai mažėja ir monotoniškai didėja . Toliau, nes , tada . Kai iš formulės išplaukia, kad kada .

Lygybė , galioja , gali būti naudojamas išplečiant funkciją iki neigiamos reikšmės.

Tarkime, kad . Dešinė šios lygybės pusė yra apibrėžta (-1,0) . Pastebime, kad tokiu būdu išplėsta funkcija įgauna neigiamas (-1,0) reikšmes tiek funkcijai, tiek funkcijai.

Taip apibrėžę , galime naudoti tą pačią formulę, kad išplėstume ją iki intervalo (-2,-1). Šiame intervale tęsinys bus funkcija, imanti teigiamas reikšmes ir tokia, kad ir . Tęsdami šį procesą, apibrėžiame funkciją, kuri turi nenutrūkstamumą sveikųjų skaičių taškuose (Žr. 1 priedą.)

Dar kartą atkreipkite dėmesį, kad integralas

apibrėžia G funkciją tik teigiamoms reikšmėms, formaliai pratęsėme neigiamas reikšmes, naudodami redukcijos formulę .

4. Kai kurių integralų skaičiavimas.

Stirlingo formulė

Integralui apskaičiuoti pritaikykime gama funkciją:

kur m > -1,n > -1 Darant prielaidą, kad , turime

ir remiantis (2.8) turime

Integralu

Kur k > -1,n > 0, pakanka įdėti

Integralinis

Kur s > 0, išskleiskite į seriją

=

kur yra Riemann zetta funkcija

Panagrinėkime nepilnas gama funkcijas (Prym funkcijas)

saistomas nelygybės

Plečiamės turimoje serijoje

Pereinant prie Stirlingo formulės išvedimo, kuri visų pirma suteikia apytikslę n reikšmę! esant didelėms n reikšmėms, pirmiausia apsvarstykime pagalbinę funkciją

(4.2)

Nuolatinis intervale (-1,) monotoniškai didėja nuo iki, kai keičiasi iš į ir virsta 0, kai u = 0.

Taigi išvestinė yra nuolatinė ir teigiama per visą intervalą, tenkinanti sąlygą

Iš ankstesnio išplaukia, kad yra atvirkštinė funkcija, apibrėžta nuolatiniame intervale ir monotoniškai didėjanti šiame intervale,

Pavirsta į 0, kai v=0 ir tenkina sąlygą

Stirlingo formulę išvedame iš lygybės

darant prielaidą, kad turime

,

Darant prielaidą, kad galų gale mes gauname

riboje ties t.y. (žr. 4.3)

iš kur atsirado Stirlingo formulė?

kurią galima paimti formoje

kur, adresu

pakankamai dideliems daroma prielaida

apskaičiavimas atliekamas naudojant logaritmus

jei sveikas skaičius yra teigiamas, tada (4.5) virsta apytiksle formule didelėms n reikšmėms apskaičiuoti faktorines

Pateikime tikslesnę formulę be išvedimo

kur skliausteliuose yra nekonvergentinė eilutė.

5. Integralų skaičiavimo pavyzdžiai

Skaičiavimui reikalingos formulės:

G()

Įvertinkite integralus

PRAKTINĖ DALIS

Gama funkcijai apskaičiuoti naudojamas jos logaritmo apytikslis skaičiavimas. Norėdami apytiksliai apskaičiuoti gama funkciją intervale x>0, naudokite šią formulę (sudėtiniam z):

Г(z+1)=(z+g+0,5) z+0,5 exp(-(z+g+0,5))

Ši formulė yra panaši į Stirlingo aproksimaciją, tačiau ji turi pataisų seriją. Kai reikšmės g=5 ir n=6, patikrinama, ar klaida yra ε neviršija 2*10 -10. Be to, paklaida neviršija šios vertės visoje dešinėje kompleksinės plokštumos pusėje: z > 0.

Norint gauti (tikrąją) gama funkciją intervale x>0, naudojama pasikartojimo formulė Г(z+1)=zГ(z) ir aukščiau pateikta aproksimacija Г(z+1). Be to, galite pastebėti, kad patogiau apytiksliai apskaičiuoti gama funkcijos logaritmą nei pačią gama funkciją. Pirma, tam reikės iškviesti tik vieną matematinę funkciją - logaritmą, o ne dvi - eksponentą ir laipsnį (pastarasis vis dar naudoja logaritmo iškvietimą), antra, gama funkcija sparčiai auga dideliam x ir aproksimuojant ją su logaritmas pašalina perpildymo problemas.

Apytiksliai Ln(Г(х) – gama funkcijos logaritmui – gaunama tokia formulė:

log(G(x))=(x+0,5)log(x+5,5)-(x+5,5)+

log(C 0 (C 1 + C 2 / (x+1) + C 3 / (x+2) +... + C 7 / (x+8))/x)

Koeficientų reikšmės C k- lentelės duomenys (žr. programoje).

Pati gama funkcija gaunama iš jos logaritmo, imant eksponentą.

Išvada

Gama funkcijos yra patogus įrankis apskaičiuojant tam tikrus integralus, ypač daugelį tų integralų, kurių negalima pavaizduoti elementariose funkcijose.

Dėl šios priežasties jie plačiai naudojami matematikoje ir jos taikymuose, mechanikoje, termodinamikoje ir kitose šiuolaikinio mokslo šakose.

Nuorodos

1. Specialios funkcijos ir jų pritaikymas:

Lebedevas I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953 m

2. Matematinės analizės 2 dalis:

Iljinas O.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl.Kh., M., „Maskvos universitetas“, 1987 m.

3. Matematinės analizės uždavinių rinkinys:

Demidovičius B.P., M., Nauka, 1966 m

4. Integralai ir specialiųjų funkcijų serijos:

Prudnikovas A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983 m.

5. Ypatingos savybės:

Kuznecovas, M., „Aukštoji mokykla“, 1965 m

6.Asimptotika ir specialiosios funkcijos

F. Olveris, M., Mokslas, 1990 m.

7. Monstrų zoologijos sodas arba supažindinimas su specialiomis funkcijomis

O.M. Kiselevas

PARAIŠKOS

1 priedas – tikrojo kintamojo gama funkcijos grafikas

2 priedas – Gama funkcijos grafikas

Lentelė – gama funkcijos reikšmių lentelė tam tikroms argumento reikšmėms.

3 priedas yra programų sąrašas, kuriame yra tam tikrų argumento reikšmių gama funkcijų reikšmių lentelė.

4 priedas – programos, kuri braižo gama funkcijos grafiką, sąrašas

Santrauka................................................................ ............................................3

Įvadas.................................................. ..............................................4

Teorinė dalis……………………………………………………….5

Eulerio beta funkcija………………………………………………………….5

Gama funkcija................................................ ...................................8

2.1. Apibrėžimas…………………………………………………………………8

2.2. Integralus vaizdavimas………………………………8

2.3. Domenas ir poliai……………………………..10

2.4. Hankelio atvaizdavimas per kilpos integralą………..10

2.5. Eulerio ribinė forma…………………………………12

2.6. Produkto formulė………………………………..13

Išvestinė gama funkcija........................................................ .......15

Integralų skaičiavimas. Stirlingo formulė........................18

Integralinių skaičiavimų pavyzdžiai.................................................. ...................... ......23

Praktinė dalis……………………………………………………….24

Išvada................................................ ......................................25

Literatūros sąrašas…………………………………………………………………26

Paraiškos…………………………………………………………..27

1 PRIEDAS

Realiojo kintamojo gama funkcijos grafikas

2 PRIEDAS

Gama funkcijų grafikas

LENTELĖ

3 PRIEDAS

#įtraukti

#įtraukti

#įtraukti

#įtraukti

#įtraukti

statinis dvigubas kof=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

double GammLn(double x) (

log1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

log=(x+0,5)*log(x+5,5)-(x+5,5)+lg1;

dviguba gama (dviguba x) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gama(x) |");

printf("\n\t\t\t_______________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0,5;

g[i]=gama(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_______________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

4 PRIEDAS

#įtraukti

#įtraukti

#įtraukti

#įtraukti

Dvigubas žaidimas (double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Double dze=(1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Dvigubas a=x, y, fc=1,0, s, s1, b;

Printf („įvedėte neteisingus duomenis, bandykite dar kartą\n“); grąža -1,0;

If(a==0) return fc;

Jei (i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2,0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

Jei (n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1,0);

S=s+si-log(1,0+a/n);

Dvigubas dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n = 100, I, gdriver = DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0, pr = 0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, " ");

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy()-10,30,30);

Line(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)o (Y>30);

) o (X<700);

) o (X<=620);

)o (y>=30);

X=30+150,0*0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

Jei (Y<30) continue;

X=30+150,0*308523;

Linija(30,30,30,10);

Linija(620,450,640,450);

Linija(30,10,25,15);

Linija(30,10,25,15);

Linija(640,450,635,445);

Linija(640,450,635,455);

Linija (170 445 170 455);

Linija(320,445,320,455);

Linija(470,445,470,455);

Linija(620,445,620,455);

Linija(25,366,35,366);

Linija(25,282,35,282);

Linija(25,114,35,114);

Linija(25,30,35,30);

Outtexty(20,465"0");

Outtexty(165,465, "1";

Outtexty(315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15,280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";