Cilindro pagrindo apibrėžimas. Cilindras kaip geometrinė figūra

Cilindrinis paviršius susidaro judant tiesia linija, lygiagrečia sau. Pasirinktos linijos taškas juda išilgai nurodytos plokštumos kreivės - vadovas. Ši linija vadinama cilindrinio paviršiaus generatrix.

Tiesioginis cilindras- tai cilindras, kuriame generatoriai yra statmenai pagrindui. Jei cilindro generatoriai nėra statmenai pagrindui, tai taip ir bus pasviręs cilindras.

Apvalus cilindras- cilindras, kurio pagrindas yra apskritimas.

Apvalus cilindras- cilindras, kuris yra tiesus ir apskritas.

Tiesus apskritas cilindras nustatomas pagal pagrindo spindulį R ir formavimas L, kuris yra lygus cilindro aukščiui H.

Prizmė yra ypatingas cilindro atvejis.

Cilindro elementų radimo formulės.

Dešiniojo apskrito cilindro šoninis paviršiaus plotas:

S pusė = 2πRH

Bendras dešiniojo apskrito cilindro paviršiaus plotas:

S = Spusėje+2Spagrindinis = 2 π R(H+R)

Tiesaus apskrito cilindro tūris:

V = S pagrindinis H = πR 2 H

Tiesus apskritas cilindras su nuožulniu pagrindu arba trumpai nuožulnus cilindras nustatomas pagal pagrindo spindulį R, minimalus aukštis h 1 ir maksimalus aukštis h 2.

Nusklembto cilindro šoninio paviršiaus plotas:

S pusė = πR(h 1 + h 2)

Nuožulniojo cilindro pagrindo plotas.

Cilindras(senovės graikų κύλινδρος - volelis, volelis) - geometrinis kūnas, apribotas cilindriniu paviršiumi ir dviem lygiagrečiomis jį kertančiomis plokštumomis. Cilindrinis paviršius – tai paviršius, gaunamas tokiu transliaciniu tiesės (generatoriaus) judėjimu erdvėje, kad pasirinktas generatrix taškas juda išilgai plokščios kreivės (krypties). Cilindro paviršiaus dalis, kurią riboja cilindrinis paviršius, vadinama šoniniu cilindro paviršiumi. Kita dalis, apribota lygiagrečių plokštumų, yra cilindro pagrindas. Taigi pagrindo kraštas savo forma sutaps su kreipikliu.

Daugeliu atvejų cilindras reiškia tiesų apskritą cilindrą, kurio kreiptuvas yra apskritimas, o pagrindai statmeni generatrix. Toks cilindras turi simetrijos ašį.

Kitų tipų cilindrai – (pagal generatoriaus polinkį) įstrižai arba pasvirę (jei generatorius neliečia pagrindo stačiu kampu); (pagal pagrindo formą) elipsinė, hiperbolinė, parabolinė.

Prizmė taip pat yra cilindro tipas - su daugiakampio formos pagrindu.

Cilindro paviršiaus plotas

Šoninio paviršiaus plotas

Apskaičiuoti cilindro šoninio paviršiaus plotą

Cilindro šoninio paviršiaus plotas lygus generatoriaus ilgiui, padaugintam iš cilindro sekcijos perimetro iš generatrix statmenos plokštumos.

Tiesaus cilindro šoninio paviršiaus plotas skaičiuojamas pagal jo išsivystymą. Cilindro raida yra stačiakampis, kurio aukštis ir ilgis lygus pagrindo perimetrui. Todėl cilindro šoninio paviršiaus plotas yra lygus jo išsivystymo plotui ir apskaičiuojamas pagal formulę:

Visų pirma, dešiniajam apskritam cilindrui:

Nuožulnaus cilindro šoninio paviršiaus plotas lygus generatoriaus ilgiui, padaugintam iš statmenos generatrix pjūvio perimetro:

Deja, paprastos formulės, išreiškiančios įstrižo cilindro šoninio paviršiaus plotą pagal pagrindo ir aukščio parametrus, skirtingai nei tūris, neegzistuoja.

Bendras paviršiaus plotas

Bendras cilindro paviršiaus plotas yra lygus jo šoninio paviršiaus ir pagrindo plotų sumai.

Tiesus apskritas cilindras:

Cilindro tūris

Pasvirusiam cilindrui yra dvi formulės:

Tiesiam cilindrui , ir , o tūris yra lygus:

Apvaliam cilindrui:

Kur d- pagrindo skersmuo.

Pastabos

Wikimedia fondas.

Sinonimai

Pažiūrėkite, kas yra „Cilindras“ kituose žodynuose: - (lot. cylindrus) 1) geometrinis kūnas, iš galų apribotas dviem apskritimais, o iš šonų - šiuos apskritimus apgaubiančios plokštumos. 2) laikrodžių gamyboje: speciali dvigubo rato svirtis. 3) cilindro formos skrybėlė. Užsienio žodžių žodynas,......

cilindras Rusų kalbos svetimžodžių žodynas - a, m cilindras m., vok. Zilindras, lat. cilindras gr. 1. Geometrinis kūnas, suformuotas sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštinių. Cilindro tūris. BAS 1. Cilindro storis lygus jo pagrindo plotui, padaugintam iš jo aukščio. Dal...

Istorinis rusų kalbos galicizmų žodynas Dahlio aiškinamasis žodynas

Cilindrinis paviršius, būgnas, velenas; dangtelis, kepurė, volelis, ritinys, įtvaras, cilindras, taškas, virvelė, korpusas, volelis Rusų sinonimų žodynas. cilindro daiktavardis, sinonimų skaičius: 22 ataktosteles (2) ... Sinonimų žodynas

- (iš graikų kalbos kylindros) elementariojoje geometrijoje – geometrinis kūnas, suformuotas sukant stačiakampį aplink vieną kraštą: cilindro tūris V=?r2h, o šoninio paviršiaus plotas S = 2?rh. Šoninis cilindro paviršius yra cilindrinio... ...

Tuščiavidurė dalis su cilindriniu vidiniu paviršiumi, kurioje juda stūmoklis. Viena iš pagrindinių stūmoklinių mašinų ir mechanizmų dalių... Didysis enciklopedinis žodynas

Aukšta vyriška kepurė iš šilko pliušinio mažu kietu krašteliu... Didysis enciklopedinis žodynas

CILINDRAS – kieta medžiaga arba paviršius, suformuotas sukant stačiakampį apie vieną iš jo kraštinių kaip ašį. Cilindro tūris, jei jo aukštį žymime h, o pagrindo spindulį r, lygus pr2h, o išlenkto paviršiaus plotas yra 2prh... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

CILINDRAS, cilindras, vyriškas (iš graikų kilindros). 1. Geometrinis kūnas, suformuotas sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštinių, vadinamas ašimi, ir kurio pagrindas yra apskritimas (mat.). 2. Dalis mašinų (varikliai, siurbliai, kompresoriai ir kt.), esančios... ... Ušakovo aiškinamasis žodynas

CILINDRAS, vyras. 1. Geometrinis kūnas, suformuotas sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštinių. 2. Stulpelio formos objektas, pvz. stūmoklinės mašinos dalis. 3. Aukšta, tokios formos kieta kepurė su nedideliu krašteliu. Juoda c. | adj...... Ožegovo aiškinamasis žodynas

- (Garų cilindras) viena iš pagrindinių stūmoklinių mašinų dalių. Jis pagamintas iš tuščiavidurio apvalaus centro, kuriame juda stūmoklis. Garo mašinų centre paprastai įrengiamas garo apvalkalas, skirtas jo sienoms šildyti, siekiant sumažinti garų kondensaciją.... ... Jūrų žodynas

Mokslo pavadinimas „geometrija“ išverstas kaip „žemės matavimas“. Ji atsirado pirmųjų senovės žemėtvarkininkų pastangomis. O atsitiko taip: per šventojo Nilo potvynius vandens srovės kartais išplaudavo ūkininkų sklypų ribas, o naujos ribos gal ir nesutapdavo su senosiomis. Mokesčius valstiečiai mokėjo į faraono iždą proporcingai žemės paskirstymo dydžiui. Specialūs žmonės dalyvavo matuojant ariamos žemės plotus naujose ribose po išsiliejimo. Dėl jų veiklos atsirado naujas mokslas, kuris buvo sukurtas Senovės Graikijoje. Ten jis gavo savo pavadinimą ir įgavo beveik modernią išvaizdą. Vėliau šis terminas tapo tarptautiniu plokščių ir trimačių figūrų mokslo pavadinimu.

Planimetrija yra geometrijos šaka, tirianti plokštumos figūras. Kita mokslo šaka – stereometrija, nagrinėjanti erdvinių (tūrinių) figūrų savybes. Tokie skaičiai apima šiame straipsnyje aprašytą - cilindrą.

Yra daugybė cilindrinių objektų buvimo kasdieniame gyvenime pavyzdžių. Beveik visos besisukančios dalys – velenai, įvorės, kakliukai, ašys ir kt. – turi cilindrinę (daug rečiau – kūginę) formą. Cilindras taip pat plačiai naudojamas statybose: bokštuose, atraminėse kolonose, dekoratyvinėse kolonose. Taip pat indai, kai kurių tipų pakuotės, įvairaus skersmens vamzdžiai. Ir galiausiai – garsiosios skrybėlės, jau seniai tapusios vyriškos elegancijos simboliu. Sąrašas tęsiasi ir tęsiasi.

Cilindro kaip geometrinės figūros apibrėžimas

Cilindru (apvaliu cilindru) paprastai vadinama figūra, susidedanti iš dviejų apskritimų, kurie, jei pageidaujama, sujungiami naudojant lygiagretųjį vertimą. Šie apskritimai yra cilindro pagrindas. Bet linijos (tiesios atkarpos), jungiančios atitinkamus taškus, vadinamos „generatoriais“.

Svarbu, kad cilindro pagrindai visada būtų vienodi (jei ši sąlyga neįvykdyta, tai turime nupjautą kūgį, dar kažką, bet ne cilindrą) ir būtų lygiagrečiose plokštumose. Atkarpos, jungiančios atitinkamus apskritimo taškus, yra lygiagrečios ir lygios.

Begalinio skaičiaus formuojančių elementų rinkinys yra ne kas kita, kaip šoninis cilindro paviršius – vienas iš tam tikros geometrinės figūros elementų. Kitas svarbus jo komponentas yra aukščiau aptarti apskritimai. Jie vadinami bazėmis.

Cilindrų tipai

Paprasčiausias ir labiausiai paplitęs cilindrų tipas yra apskritas. Jį sudaro du taisyklingi apskritimai, veikiantys kaip pagrindai. Tačiau vietoj jų gali būti kitos figūros.

Cilindrų pagrindai gali sudaryti (be apskritimų) elipses ir kitas uždaras figūras. Tačiau cilindras nebūtinai turi būti uždaros formos. Pavyzdžiui, cilindro pagrindas gali būti parabolė, hiperbolė ar kita atviroji funkcija. Toks cilindras bus atviras arba išskleistas.

Pagal pagrindus formuojančių cilindrų pasvirimo kampą jie gali būti tiesūs arba pasvirę. Tiesiame cilindre generatricos yra griežtai statmenos pagrindo plokštumai. Jei šis kampas skiriasi nuo 90°, cilindras yra pasviręs.

Kas yra revoliucijos paviršius

Tiesus apskritas cilindras, be jokios abejonės, yra labiausiai paplitęs sukimosi paviršius, naudojamas inžinerijoje. Kartais dėl techninių priežasčių naudojami kūginiai, sferiniai ir kai kurių kitų tipų paviršiai, tačiau 99% visų besisukančių velenų, ašių ir kt. yra pagaminti cilindrų pavidalu. Norėdami geriau suprasti, kas yra sukimosi paviršius, galime apsvarstyti, kaip susidaro pats cilindras.

Tarkime, kad yra tam tikra tiesė a, esantis vertikaliai. ABCD yra stačiakampis, kurio viena iš kraštinių (atkarpa AB) yra tiesėje a. Jei pasuksime stačiakampį aplink tiesią liniją, kaip parodyta paveikslėlyje, tūris, kurį jis užims sukdamasis, bus mūsų sukimosi kūnas - dešinysis apskritas cilindras, kurio aukštis H = AB = DC ir spindulys R = AD = BC.

Tokiu atveju sukant figūrą - stačiakampį - gaunamas cilindras. Sukant trikampį galima gauti kūgį, sukant puslankį – rutulį ir t.t.

Cilindro paviršiaus plotas

Norint apskaičiuoti įprasto dešiniojo apskrito cilindro paviršiaus plotą, reikia apskaičiuoti pagrindų ir šoninių paviršių plotus.

Pirmiausia pažiūrėkime, kaip apskaičiuojamas šoninio paviršiaus plotas. Tai yra cilindro perimetro ir cilindro aukščio sandauga. Savo ruožtu apskritimo perimetras yra lygus universaliojo skaičiaus sandaugai P apskritimo spinduliu.

Žinoma, kad apskritimo plotas yra lygus sandaugai P vienam kvadratiniam spinduliui. Taigi, pridėję šoninio paviršiaus nustatymo ploto formules su dviguba pagrindo ploto išraiška (jų yra dvi) ir atlikę paprastas algebrines transformacijas, gauname galutinę paviršiaus nustatymo išraišką. cilindro plotas.

Figūros tūrio nustatymas

Cilindro tūris nustatomas pagal standartinę schemą: pagrindo paviršiaus plotas padauginamas iš aukščio.

Taigi galutinė formulė atrodo taip: norima reikšmė apibrėžiama kaip kūno ūgio sandauga pagal universalųjį skaičių P ir pagal pagrindo spindulio kvadratą.

Reikia pasakyti, kad gauta formulė yra tinkama sprendžiant netikėčiausias problemas. Taip pat, kaip, pavyzdžiui, cilindro tūris, nustatomas elektros laidų tūris. To gali prireikti norint apskaičiuoti laidų masę.

Vienintelis skirtumas formulėje yra tas, kad vietoj vieno cilindro spindulio yra laidų gijos skersmuo, padalintas per pusę, o vijų skaičius vieloje pasirodo išraiškoje N. Be to, vietoj aukščio naudojamas laido ilgis. Tokiu būdu „cilindro“ tūris apskaičiuojamas ne tik pagal vieną, o pagal laidų skaičių pynėje.

Tokie skaičiavimai dažnai reikalingi praktikoje. Juk nemaža dalis vandens talpyklų yra pagaminta vamzdžio pavidalu. O skaičiuoti cilindro tūrį dažnai tenka net ir buityje.

Tačiau, kaip jau minėta, cilindro forma gali būti skirtinga. Ir kai kuriais atvejais reikia apskaičiuoti, koks yra pasvirusio cilindro tūris.

Skirtumas tas, kad pagrindo paviršiaus plotas padauginamas ne iš generatrix ilgio, kaip tiesaus cilindro atveju, o iš atstumo tarp plokštumų - tarp jų pastatyto statmeno segmento.

Kaip matyti iš paveikslo, toks segmentas yra lygus generatrix ilgio ir generatrix pasvirimo kampo sinuso sandaugai į plokštumą.

Kaip sukurti cilindro vystymąsi

Kai kuriais atvejais būtina iškirpti cilindro siją. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytos taisyklės, pagal kurias sukonstruotas ruošinys tam tikro aukščio ir skersmens cilindro gamybai.

Atkreipkite dėmesį, kad brėžinys parodytas be siūlių.

Skirtumai tarp nuožulnaus cilindro

Įsivaizduokime tam tikrą tiesų cilindrą, kurį iš vienos pusės riboja generatoriams statmena plokštuma. Bet plokštuma, ribojanti cilindrą kitoje pusėje, nėra statmena generatoriams ir nėra lygiagreti pirmajai plokštumai.

Paveikslėlyje pavaizduotas nuožulnus cilindras. Lėktuvas A tam tikru kampu, skirtingu nuo 90° į generatorius, kerta figūrą.

Ši geometrinė forma praktikoje dažniau sutinkama vamzdynų jungčių (alkūnių) pavidalu. Tačiau yra net pastatų, pastatytų nuožulnaus cilindro pavidalu.

Nuožulniojo cilindro geometrinės charakteristikos

Vienos iš nuožulnaus cilindro plokštumų posvyris šiek tiek pakeičia ir tokios figūros paviršiaus ploto, tiek tūrio apskaičiavimo tvarką.

Pradėsime naują temą internete, o kai atvyksiu, atliksime testą ir testą tema „Judesys ir vektoriai“.

• Pradedame susipažinti su nauja geometrinių kūnų klase – sukimosi kūnais. Pirmasis šios klasės atstovas, kurį sutinkame, yra cilindras.
• Kodėl cilindras vadinamas revoliucijos kūnu?

C cilindras, gaunamas sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštų.

• Cilindras susideda iš dviejų apskritimų ir daugelio segmentų.
• Cilindrasyra geometrinis kūnas, susidedantis iš dviejų lygiagrečių lygiagrečių plokštumų esančių apskritimų ir atkarpų, jungiančių atitinkamus šių apskritimų taškus, rinkinio.
• Cilindro elementų apibrėžimai:

Cilindrų pagrindai– lygiagrečiose plokštumose išsidėstę vienodi apskritimai

Cilindro aukštis- Tai atstumas tarp jo pagrindų plokštumų.

Cilindro ašis- tai tiesi linija, einanti per cilindro pagrindo centrus (cilindro ašis yra cilindro sukimosi ašis).

Ašinė cilindro dalis– cilindro pjūvis plokštuma, einančia per cilindro ašį (cilindro ašinė pjūvis yra cilindro simetrijos plokštuma). Visos ašinės cilindro dalys yra vienodi stačiakampiai

Cilindro generatorius- tai atkarpa, jungianti tašką viršutinio pagrindo apskritime su atitinkamu tašku apatinio pagrindo apskritime. Visos generatricos yra lygiagrečios sukimosi ašiai ir yra vienodo ilgio, lygios cilindro aukščiui.

Kai sukasi aplink ašį, susidaro cilindro generatoriusšoninis (cilindrinis) cilindro paviršius.

Cilindro spindulysyra jo pagrindo spindulys.

Tiesus cilindras- Tai yra cilindras, kurio generatoriai yra statmeni pagrindui.

Vienodo cilindro– cilindras, kurio aukštis lygus jo skersmeniui (nurodykite vienodą cilindrą: mygtuku su rankos piktograma perjunkite modelį atgal į interaktyvųjį režimą ir pakeiskite siūlomo modelio aukščio ir spindulio reikšmes taip, kad ).

• Šoninio paviršiaus ploto formulės išvedimas.

  Šoninio cilindro paviršiaus raida yra stačiakampis su šonaisH Ir C, Kur Hyra cilindro aukštis irC– pagrindo perimetro ilgis. Gaukime šoninių plotų skaičiavimo formulesS b ir pilnas S n paviršiai: S b = H · C= 2π RH, S n = S b + 2 S= 2π R(R + H).

Konsolidavimas

Užduotis Nr. 1. Apskaičiuokite cilindro, kurio spindulys yra 3 cm, o aukštis 5 cm, šoninį ir bendrą paviršiaus plotą (pi ir suapvalinkite atsakymą iki sveikų skaičių).

2. Cilindro aukštis yrah, pagrindo spindulysR. Raskite plokštumos, nubrėžtos lygiagrečiai cilindro ašiai atstumu, skerspjūvio plotąa nuo jos.

Namų darbai: 522, 524, 526.

• R.S/ Jei kas nors domisi, pabandykite sekti nuorodą ir pažvelgti į elektroninį šaltinį apie cilindrą Pirmiausia puslapyje įdiekite OMS modulį į savo kompiuterį ir atsisiųskite modulį. Iššokančioje lentelėje spustelėkite žaisti. Ir tada peržiūrėkite visus puslapius iš eilės.
• AČIŪ VISIEMS.

Cilindras (apvalus cilindras)- kūnas, susidedantis iš dviejų apskritimų, kurie nėra toje pačioje plokštumoje ir yra sujungti lygiagrečiai, ir visi segmentai, jungiantys atitinkamus šių apskritimų taškus.

Apskritimai vadinami cilindrų pagrindai , o atkarpos, jungiančios atitinkamus apskritimų perimetrų taškus, yra formuojantis cilindrą. Šie segmentai sudaro cilindrinį paviršių, kuris yra šoninis cilindro paviršius .

Jei cilindro pagrindai nėra apskritimai, tada cilindras gali būti elipsės formos. Paprastai tokie cilindrų tipai elementarioje geometrijoje nėra laikomi.

Alternatyvus apibrėžimas.

Cilindras yra geometrinis kūnas, kurį riboja cilindrinis paviršius ir dvi lygiagrečios jį kertančios plokštumos.

Visas paviršius Cilindras susideda iš pagrindo ir šoninio paviršiaus.

Cilindras vadinamas tiesioginis, jei jo generatoriai statmeni pagrindų plokštumai.

Spindulys Cilindro spindulys vadinamas jo pagrindo spinduliu.

Aukštis Cilindro yra atstumas tarp jo pagrindų plokštumų.

Ašis Cilindro vadinama tiesia linija, einančia per pagrindo centrus. Jis yra lygiagretus generatoriams.

Cilindro, kurio ašiai lygiagreti plokštuma, skerspjūvis yra stačiakampis. Dvi jo pusės yra cilindro generatoriai, o kitos dvi yra lygiagrečios pagrindų stygos. Ašinė cilindro pjūvis yra plokštumos, einančios per jo ašį, pjūvis.

Cilindro tūris

Cilindro tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai N :

Jei cilindrui žinomas tik pagrindo ir generatoriaus plotas, tada tokio cilindro tūris bus lygus pagrindo ir generatoriaus ploto sandaugai bei kampo tarp cilindro sinuso sandaugai. bazė ir generatrix.

Cilindrui, kurio pagrindas yra apskritimas, cilindro tūris bus lygus apskritimo plotui, padaugintam iš aukščio.

Cilindro šoninio paviršiaus plotas