Statmenų tiesių ir plokštumų nustatymas erdvėje. Statmena tiesė ir plokštuma, tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas ir sąlygos

Geometrijos pamokos metmenys 10 klasėje tema „Tiesės ir plokštumos statmena“

Pamokos tikslai:

edukacinis

tiesės ir plokštumos statmenumo ženklo įvedimas;

formuoti mokinių idėjas apie tiesės ir plokštumos statmenumą, jų savybes;

ugdyti mokinių gebėjimus spręsti tipines temos problemas, gebėjimą įrodyti teiginius;

besivystantis

ugdyti savarankiškumą ir pažintinę veiklą;

ugdyti gebėjimą analizuoti, daryti išvadas, sisteminti gautą informaciją,

ugdyti loginį mąstymą;

lavinti erdvinę vaizduotę.

edukacinis

mokinių kalbos kultūros ir atkaklumo ugdymas;

diegti mokiniams susidomėjimą dalyku.

Pamokos tipas: Studijų ir pirminio žinių įtvirtinimo pamoka.

Studentų darbo formos: priekinis tyrimas.

Įranga: kompiuteris, projektorius, ekranas.

Literatūra:„Geometrija 10-11“, Vadovėlis. Atanasyanas L.S. ir tt

(2009 m., 255 p.)

Pamokos planas:

Organizacinis momentas (1 min.);

Žinių atnaujinimas (5 min.);

Naujos medžiagos mokymasis (15 min.);

Pirminis studijuojamos medžiagos konsolidavimas (20 min.);

Apibendrinimas (2 min.);

Namų darbai (2 min.).

Pamokos eiga.

Organizacinis momentas (1 min.)

Sveikinimai studentams. Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas: sąsiuvinių ir vadovėlių prieinamumo tikrinimas. Nedalyvavimo pamokose tikrinimas.

Žinių atnaujinimas (5 min.)

Mokytojas. Kuri linija vadinama statmena plokštumai?

Studentas. Tiesė, statmena bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei, vadinama tiese, statmena šiai plokštumai.

Mokytojas. Kokia yra dviejų lygiagrečių tiesių, statmenų trečiajai, lema?

Studentas. Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena trečiajai tiesei, tai kita tiesė yra statmena šiai tiesei.

Mokytojas. Dviejų lygiagrečių tiesių statmenumo plokštumai teorema.

Studentas. Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai antroji tiesė yra statmena šiai plokštumai.

Mokytojas. Kaip skamba šios teoremos atvirkščiai?

Studentas. Jei dvi tiesės yra statmenos tai pačiai plokštumai, tada jos yra lygiagrečios.

Namų darbų tikrinimas

Namų darbai tikrinami, jei mokiniams sunku juos spręsti.

Naujos medžiagos mokymasis (15 min.)

Mokytojas. Jūs ir aš žinome, kad jei tiesė yra statmena plokštumai, tai ji bus statmena bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei, tačiau apibrėžime tiesės statmenumas plokštumai pateikiamas kaip faktas. Praktikoje dažnai reikia nustatyti, ar tiesė bus statmena plokštumai, ar ne. Tokių pavyzdžių galima pateikti iš gyvenimo: statant pastatus statmenai žemės paviršiui kalami poliai, kitaip konstrukcija gali sugriūti. Šiuo atveju neįmanoma naudoti tiesios statmenos plokštumos apibrėžimo. Kodėl? Kiek tiesių galima nubrėžti plokštumoje?

Studentas. Plokštumoje galima nubrėžti begalinį skaičių tiesių.

Mokytojas. Teisingai. Ir neįmanoma patikrinti tiesės statmenumo kiekvienai atskirai plokštumai, nes tai užtruks be galo ilgai. Norėdami suprasti, ar tiesė yra statmena plokštumai, įvedame tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą. Užsirašykite jį į užrašų knygelę. Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena šiai plokštumai.

Rašymas sąsiuvinyje. Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena šiai plokštumai.

Mokytojas. Taigi, mums nereikia tikrinti tiesės statmenumo kiekvienai tiesiajai plokštumai, pakanka patikrinti tik dviejų šios plokštumos tiesių statmenumą.

Mokytojas. Įrodykime šį ženklą.

Duota: p Ir q- tiesus, p ∩ q = O, a⊥ p, a⊥ q, p ϵ α, q ϵ α.

Įrodykite: a⊥ α.

Mokytojas. Ir vis dėlto, norėdami tai įrodyti, naudosime tiesės, statmenos plokštumai, apibrėžimą, kaip tai skamba?

Studentas. Jei tiesė yra statmena plokštumai, tai ji yra statmena bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei.

Mokytojas. Teisingai. Nubrėžkime bet kurią tiesę m α plokštumoje. Per tašką O nubrėžkime tiesę l ║ m. Tiesėje a pažymėkite taškus A ir B taip, kad taškas O būtų atkarpos AB vidurio taškas. Nubrėžkime tiesę z taip, kad ji kirstų tieses p, q, l, šių tiesių susikirtimo taškai bus pažymėti atitinkamai P, Q, L. Atkarpos AB galus sujungkime su taškais P,Q ir L.

Mokytojas. Ką galime pasakyti apie trikampius ∆APQ ir ∆BPQ?

Studentas. Šie trikampiai bus lygūs (pagal 3-iąjį trikampių lygybės ženklą).

Mokytojas. Kodėl?

Studentas. Nes tiesės p ir q yra statmenos pusiausvyros, tada AP = BP, AQ = BQ, o šoninė PQ yra bendra.

Mokytojas. Teisingai. Ką galime pasakyti apie trikampius ∆APL ir ∆BPL?

Studentas. Šie trikampiai taip pat bus lygūs (pagal 1 trikampių lygybės ženklą).

Mokytojas. Kodėl?

Studentas. AP = B.P., P.L.- bendroji pusė, APL =  BPL(iš lygybės ∆ APQ ir ∆ B.P.Q.)

Mokytojas. Teisingai. Tai reiškia, kad AL = BL. Taigi, kas bus ∆ALB?

Studentas. Tai reiškia, kad ∆ALB bus lygiašonis.

Mokytojas. LO yra ∆ALB mediana, tai kas ji bus šiame trikampyje?

Studentas. Tai reiškia, kad LO taip pat bus aukštis.

Mokytojas. Todėl tiesiailbus statmena linijaia. Ir kadangi tai tiesiailyra bet kuri tiesė, priklausanti plokštumai α, tada pagal apibrėžimą yra tiesėa⊥ α. Q.E.D.

Įrodyta pristatymu

Mokytojas. Ką daryti, jei tiesė a nekerta taško O, bet lieka statmena tiesėms p ir q? Ką daryti, jei tiesė a kerta bet kurį kitą nurodytos plokštumos tašką?

Studentas. Galite nubrėžti tiesią liniją 1 , kuri bus lygiagreti tiesei a, kirs tašką O ir naudojant lemą apie dvi lygiagrečias tieses, statmenas trečiajai, galima įrodyti, kada 1 ⊥ p, a 1 ⊥ q.

Mokytojas. Teisingai.

Pirminis tiriamos medžiagos konsolidavimas (20 min.)

Mokytojas. Norėdami konsoliduoti išstuduotą medžiagą, išspręsime skaičių 126. Perskaitykite užduotį.

Studentas. Tiesė MB yra statmena trikampio ABC kraštinėms AB ir BC. Nustatykite trikampio МВD tipą, kur D yra savavališkas tiesės AC taškas.

Piešimas.

Duota: ∆ ABC, M.B.⊥ B.A., M.B.⊥ B.C., D ϵ A.C..

Rasti: ∆ MBD.

Sprendimas.

Mokytojas. Ar galima nubrėžti plokštumą per trikampio viršūnes?

Studentas. Taip, galite. Plokštuma gali būti nubrėžta išilgai trijų taškų.

Mokytojas. Kaip tiesės BA ir NE bus išdėstytos šios plokštumos atžvilgiu?

Studentas. Šios linijos bus šioje plokštumoje.

Mokytojas. Pasirodo, turime plokštumą, o joje yra dvi susikertančios linijos. Kaip tiesioginis MV yra susijęs su šiomis tiesioginėmis linijomis?

Studentas. Tiesioginis MV⊥ VA, MV ⊥ VS.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. Nes MV⊥ VA, MV ⊥ VS

Mokytojas. Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, ar tiesė bus susijusi su šia plokštuma?

Studentas. Tiesi linija MV bus statmena ABC plokštumai.

⊥ ABC.

Mokytojas. Taškas D yra savavališkas atkarpos AC taškas, taigi kaip tiesė BD bus susijusi su plokštuma ABC?

Studentas. Tai reiškia, kad BD priklauso ABC plokštumai.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. Nes BD ϵ ABC

Mokytojas. Kokie bus tiesioginiai MV ir BD vienas kito atžvilgiu?

Studentas. Šios linijos bus statmenos pagal tiesės, statmenos plokštumai, apibrėžimą.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. ↔ MV⊥ BD

Mokytojas. Jei MB yra statmenas BD, tai koks bus trikampis MBD?

Studentas. Trikampis MBD bus stačiakampis.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. ↔ ∆MBD – stačiakampis.

Mokytojas. Teisingai. Išspręskime skaičių 127. Perskaitykite užduotį.

Studentas. TrikampyjeABC kampų suma A Ir Blygus 90°. TiesiaiBDstatmenai plokštumaiABC. Įrodyk tai CD⊥ AC.

Mokinys eina prie lentos. Piešia piešinį.

Užrašykite lentoje ir sąsiuvinyje.

Duota: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

Įrodykite: CD⊥ A.C..

Įrodymas:

Mokytojas. Kokia yra trikampio kampų suma?

Studentas. Trikampio kampų suma yra 180°.

Mokytojas. Koks bus kampas C trikampyje ABC?

Studentas. Kampas C trikampyje ABC bus lygus 90°.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. C = 180° - A- B= 90°

Mokytojas. Jei kampas C yra 90°, tai kaip tiesės AC ir BC bus išdėstytos viena kitos atžvilgiu?

Studentas. Taigi AC⊥ Saulė.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. ↔ kintamoji srovė⊥ Saulė

Mokytojas. Tiesė BD yra statmena plokštumai ABC. Kas iš to seka?

Studentas. Taigi BD yra statmena bet kuriai linijai iš ABC.

BD⊥ ABC ↔ BDstatmena bet kuriai tieseiABC(pagal apibrėžimą)

Mokytojas. Pagal tai, kaip bus susiję tiesioginiai BD ir AC?

Studentas. Tai reiškia, kad šios linijos bus statmenos.

BD⊥ A.C.

Mokytojas. AC yra statmena dviem susikertančioms linijoms, esančioms DBC plokštumoje, bet AC nepereina per susikirtimo tašką. Kaip tai ištaisyti?

Studentas. Per tašką B brėžiame tiesę, lygiagrečią su AC. Kadangi AC yra statmena BC ir BD, tai a bus statmena BC ir BD pagal lemą.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. Per tašką B nubrėžiame tiesę a ║AC ↔ a⊥ B.C., ir ⊥ BD

Mokytojas. Jei tiesė a yra statmena BC ir BD, tai ką galima pasakyti apie tiesės a ir plokštumos BDC santykinę padėtį?

Studentas. Tai reiškia, kad tiesė a bus statmena plokštumai BDC, taigi tiesė AC bus statmena BDC.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. ↔ a⊥ BDC↔ kintamoji srovė ⊥ BDC.

Mokytojas. Jei AC yra statmena BDC, tai kaip tiesės AC ir DC bus išdėstytos viena kitos atžvilgiu?

Studentas. AC ir DC bus statmenos pagal tiesę, statmeną plokštumai.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. Nes AC⊥ BDC↔ kintamoji srovė ⊥ DC

Mokytojas. Gerai padaryta. Išspręskime skaičių 129. Perskaitykite užduotį.

Studentas. TiesiaiA.M.statmenai kvadrato plokštumaiABCD, kurio įstrižainės susikerta taške O. Įrodykite, kad: a) tiesėBDstatmenai plokštumaiAMO; b)M.O.⊥ BD.

Mokinys ateina prie lentos. Piešia piešinį.

Užrašykite lentoje ir sąsiuvinyje.

Duota:ABCD- kvadratas,A.M.⊥ ABCD, A.C. ∩ BD = O

Įrodykite:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Įrodymas:

Mokytojas. Turime įrodyti, kad tiesi linijaBD⊥ AMO. Kokios sąlygos turi būti įvykdytos, kad tai įvyktų?

Studentas. Jis turi būti tiesus BD buvo statmena bent dviem susikertančioms tiesioms iš plokštumos AMO.

Mokytojas. Sąlyga sako, kad BD statmena dviem susikertančioms linijoms AMO?

Studentas. Nr.

Mokytojas. Bet mes tai žinome A.M. statmenai ABCD . Kokią išvadą iš to galima padaryti?

Studentas. Tai reiškia, kad A.M. statmena bet kuriai tiesei iš šios plokštumos, tai yra A.M. statmenai B.D.

A.M.⊥ ABCD ↔ A.M.⊥ BD(pagal apibrėžimą).

Mokytojas. Viena linija yra statmena BD Yra. Atkreipkite dėmesį į kvadratą, kaip tiesios linijos bus išdėstytos viena kitos atžvilgiu AC ir BD?

Studentas. A.C. bus statmena BD pagal kvadrato įstrižainių savybę.

Užrašykite lentoje ir sąsiuvinyje. NesABCD- Tada kvadratasA.C.⊥ BD(pagal kvadrato įstrižainių savybę)

Mokytojas. Mes radome dvi susikertančias linijas, gulinčias plokštumoje AMO statmena tiesei linijai BD . Kas iš to seka?

Studentas. Tai reiškia, kad BD statmenai plokštumai AMO.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. NesA.C.⊥ BDIrA.M.⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(pagal požymį)

Mokytojas. Kuri tiesė vadinama tiese, statmena plokštumai?

Studentas. Tiesė vadinama statmena plokštumai, jei ji statmena bet kuriai tiesei iš šios plokštumos.

Mokytojas. Tai reiškia, kaip linijos yra tarpusavyje sujungtos BD ir OM?

Studentas. Taigi BD statmenai OM . Q.E.D.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose. ↔BD⊥ M.O.(pagal apibrėžimą). Q.E.D.

Apibendrinimas (2 minutės)

Mokytojas. Šiandien tyrinėjome tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą. Kaip tai skamba?

Studentas. Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ši linija yra statmena šiai plokštumai.

Mokytojas. Teisingai. Išmokome naudotis šia funkcija spręsdami problemas. Sėkmės tiems, kurie atsakė lentoje ir padėjo iš vietos.

Namų darbai (2 minutės)

Mokytojas. 1 dalies 15–17 pastraipose mokoma: lemos, apibrėžimo ir visų teoremų. Nr. 130, 131.

Šiame straipsnyje kalbėsime apie tiesės ir plokštumos statmenumą. Pirmiausia pateikiamas statmenos plokštumai linijos apibrėžimas, pateikiama grafinė iliustracija ir pavyzdys bei pavaizduotas plokštumai statmenos linijos žymėjimas. Po to suformuluojamas tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas. Toliau gaunamos sąlygos, leidžiančios įrodyti tiesės ir plokštumos statmenumą, kai tiesė ir plokštuma yra nurodytos tam tikromis lygtimis stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje. Pabaigoje pateikiami išsamūs tipinių pavyzdžių ir problemų sprendimai.

Puslapio naršymas.

Statmena tiesė ir plokštuma – pagrindinė informacija.

Rekomenduojame pirmiausia pakartoti statmenų tiesių apibrėžimą, nes plokštumai statmenos linijos apibrėžimas pateikiamas per tiesių statmenumą.

Apibrėžimas.

Jie taip sako linija yra statmena plokštumai, jei jis statmenas bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei.

Taip pat galime sakyti, kad plokštuma yra statmena tiesei arba tiesė ir plokštuma yra statmenos.

Norėdami nurodyti statmenumą, naudokite piktogramą, pvz., "". Tai yra, jei tiesi linija c yra statmena plokštumai, galime trumpai parašyti .

Plokštumai statmenos linijos pavyzdys yra linija, išilgai kurios susikerta dvi gretimos kambario sienos. Ši linija yra statmena plokštumai ir lubų plokštumai. Lynas sporto salėje taip pat gali būti laikomas tiesios linijos atkarpa, statmena grindų plokštumai.

Baigdami šią straipsnio pastraipą pažymime, kad jei tiesė yra statmena plokštumai, tada kampas tarp tiesės ir plokštumos laikomas lygiu devyniasdešimt laipsnių.

Tiesės ir plokštumos statmenumas – statmenumo ženklas ir sąlygos.

Praktikoje dažnai kyla klausimas: „Ar duota tiesė ir plokštuma yra statmenos? Norėdami atsakyti į tai, yra pakankama tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga, tai yra sąlyga, kurios įvykdymas garantuoja tiesės ir plokštumos statmenumą. Ši pakankama sąlyga vadinama tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu. Suformuluokime jį teoremos forma.

Teorema.

Kad tam tikra tiesė ir plokštuma būtų statmenos, pakanka, kad linija būtų statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms šioje plokštumoje.

Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklo įrodymą galite pasižiūrėti 10-11 klasių geometrijos vadovėlyje.

Sprendžiant tiesės ir plokštumos statmenumo nustatymo uždavinius, taip pat dažnai naudojama tokia teorema.

Teorema.

Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai antroji tiesė taip pat yra statmena plokštumai.

Mokykloje svarstoma daug uždavinių, kurių sprendimui naudojamas tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas bei paskutinė teorema. Prie jų čia nesigilinsime. Šioje straipsnio dalyje daugiausia dėmesio skirsime šios būtinos ir pakankamos tiesės ir plokštumos statmenumo sąlygos taikymui.

Šią sąlygą galima perrašyti tokia forma.

Leiskite yra tiesės a krypties vektorius ir yra normalusis plokštumos vektorius. Kad tiesė a ir plokštuma būtų statmenos, būtina ir pakanka to Ir : , kur t yra tikrasis skaičius.

Šios būtinos ir pakankamos tiesės ir plokštumos statmenumo sąlygos įrodymas grindžiamas tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliojo vektoriaus apibrėžimais.

Akivaizdu, kad šią sąlygą patogu naudoti tiesės ir plokštumos statmenumui įrodyti, kai galima nesunkiai rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates ir plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates fiksuotoje trimatėje erdvėje. . Tai pasakytina apie tuos atvejus, kai pateikiamos taškų, per kuriuos eina plokštuma ir tiesė, koordinatės, taip pat tais atvejais, kai tiesė nustatoma pagal kai kurias erdvės tiesės lygtis, o plokštuma suteikiama lygtimi tam tikro tipo lėktuvas.

Pažvelkime į kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Įrodykite tiesės statmenumą ir lėktuvai.

Sprendimas.

Žinome, kad erdvėje esančios tiesės kanoninių lygčių vardikliuose esantys skaičiai yra atitinkamos šios tiesės krypties vektoriaus koordinatės. Taigi, - tiesioginis vektorius .

Kintamųjų x, y ir z koeficientai bendrojoje plokštumos lygtyje yra šios plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės, t. yra normalusis plokštumos vektorius.

Patikrinkime būtinosios ir pakankamos tiesės ir plokštumos statmenumo sąlygos įvykdymą.

Nes , tada vektoriai ir yra susiję ryšiu , tai yra, jie yra kolineariniai. Todėl tiesiai statmenai plokštumai.

Pavyzdys.

Ar linijos statmenos? ir lėktuvas.

Sprendimas.

Raskime duotosios tiesės krypties vektorių ir plokštumos normalųjį vektorių, kad patikrintume, ar tenkinama būtina ir pakankama tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga.

Nukreipimo vektorius yra tiesus yra

Kad tiesi erdvė erdvėje būtų plokštuma, būtina ir pakanka, kad diagramoje linijos horizontalioji projekcija būtų horizontali horizontalės projekcija, o priekinė projekcija būtų šios priekinės dalies priekinė projekcija. lėktuvas.

Atstumo nuo taško iki plokštumos nustatymas(19 pav.)

1. Iš taško nuleiskite statmeną plokštumai (kad tai padarytumėte plokštumoje

laikykite h, f);

2. Raskite tiesės susikirtimo su plokštuma tašką (žr. 18 pav.);

3. Raskite n.v. statmenas segmentas (žr. 7 pav.).

Antra dalis Projekcinių plokštumų keitimo būdas

(5, 6, 7 užduotims)

Ši geometrinė figūra projekcinių plokštumų sistemoje paliekama nejudanti. Įrengiamos naujos projekcinės plokštumos, kad ant jų gautos projekcijos pateiktų racionalų nagrinėjamos problemos sprendimą. Šiuo atveju kiekviena nauja projekcinių plokštumų sistema turi būti stačiakampė. Suprojektavus objektus ant plokštumų, jie sujungiami į vieną, sukant juos aplink kiekvienos tarpusavyje statmenų plokštumų poros bendras tiesias linijas (projekcijos ašis).

Pavyzdžiui, tašką A nurodykime dviejų plokštumų P 1 ir P 2 sistemoje. Papildykime sistemą kita plokštuma P 4 (20 pav.), P 1 P 4. Ji turi bendrą liniją X 14 su plokštuma P 1. Mes statome A 4 projekciją į P 4.

AA 1 = A 2 A 12 = A 4 ​​A 14.

Fig. 21, kur plokštumos P 1, P 2 ir P 4 sulygiuotos, šis faktas nustatomas pagal rezultatus A 1 A 4 X 14 ir A 14 A 4 A 2 A 12.

Naujos taško projekcijos atstumas iki naujos projekcijos ašies (A 4 A 14) lygus atstumui nuo pakeistos taško projekcijos iki pakeistos ašies (A 2 A 12).

Daugybė aprašomosios geometrijos metrinių uždavinių yra išspręstos remiantis šiomis keturiomis problemomis:

1. Bendrosios padėties tiesės pavertimas lygia tiese (22 pav.):

a) P 4 || AB (ašis X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14 ;

c) A 4 A 14 = A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - n.v.

2. Bendrosios linijos pavertimas projektavimo linija (23 pav.):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14 ;

A 14 A 4 = A 12 A 2;

V 14 V 4 = V 12 V 2;

A 4 B 4 – esama;

b) P 5 AB (X 45 A 4 B 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45 ;

A 45 A 5 = B 45 V 5 = A 14 A 1 = B 14 V 1;

3. Bendrosios padėties plokštumos konvertavimas į projektavimo padėtį (24 pav.):

Plokštuma gali būti nukreipta į išsikišimo padėtį, jei viena plokštumos tiesė yra iškyša. ABC plokštumoje nubrėžiame horizontalią liniją (h 2 ,h 1), kurią galima padaryti projektuojančią vienoje transformacijoje. Nubraižykime plokštumą P 4 statmeną horizontalei; į šią plokštumą jis bus suprojektuotas kaip taškas, o trikampio plokštuma - kaip tiesi linija.

4. Bendrosios padėties plokštumos pavertimas lygiu plokštuma (25 pav.).

Padarykite plokštumą lygia plokštuma, naudodami dvi transformacijas. Pirmiausia plokštumą reikia padaryti išsikišančią (žr. 25 pav.), o tada nubrėžti P 5 || A 4 B 4 C 4, gauname A 5 B 5 C 5 - n.v.

5 problema

Nustatykite atstumą nuo taško C iki tiesės bendroje padėtyje (26 pav.).

Sprendimas yra antroji pagrindinė problema. Tada atstumas diagramoje apibrėžiamas kaip atstumas tarp dviejų taškų

A 5  B 5  D 5 ir C 5.

Projekcija C 4 D 4 || X 45.

6 problema

Nustatykite atstumą nuo ()D iki plokštumos, nurodytos taškais A, B, C (27 pav.).

Problema išspręsta naudojant 2 pagrindinę problemą. Atstumas (E 4 D 4), nuo ()D 4 iki tiesės A 4 C 4 B 4, į kurią projektuojama ABC plokštuma, yra atkarpos ED natūralioji vertė.

Projekcija D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Sukurkite patys D 1 E 1.

Sukurkite patys D 2 E 2.

Problema Nr.7

Nustatykite tikrąjį trikampio ABC dydį (žr. 4 pagrindinės problemos sprendimą) (25 pav.)

. Iš apibrėžimo matyti, kad tiesi linija statmenai plokštumai
Statyba a tiesė, statmena nurodytai plokštumai iš taško, paimto už šios plokštumos. A Leiskite A- plokštuma, A – taškas, nuo kurio reikia nuleisti statmeną. Plokštumoje nubrėžkime tiesią liniją b. Per tašką A ir tiesią liniją b nupieškime plokštumą A(tiesi linija ir taškas apibrėžia plokštumą ir tik vieną). Lėktuve a Atkurkime statmeną ir nurodykime tiesę, ant kurios yra šis statmuo Su. Per atkarpą AB ir tiesę Su- plokštuma, A – taškas, nuo kurio reikia nuleisti statmeną. Plokštumoje nubrėžkime tiesią liniją g(dvi susikertančios linijos apibrėžia plokštumą ir tik viena). Lėktuve g iš taško A nuleidžiame į tiesią Su statmenai AC. Įrodykime, kad atkarpa AC yra statmena plokštumai b. Įrodymas. Tiesiai A statmenos tiesioms linijoms Su ir AB (pagal konstrukciją), o tai reiškia, kad jis yra statmenas pačiai plokštumai g, kurioje yra šios dvi susikertančios tiesės (remiantis tiesės ir plokštumos statmenu). Ir kadangi jis yra statmenas šiai plokštumai, tai jis yra statmenas bet kuriai tiesei šioje plokštumoje, vadinasi, tai yra tiesi A statmenai AC. Tiesė AC yra statmena dviem tiesėms, esančioms plokštumoje α: Su(pagal konstrukciją) ir A(pagal tai, kas buvo įrodyta), reiškia, kad jis yra statmenas plokštumai α (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu)

1 teorema . Jei dvi susikertančios tiesės yra lygiagrečios dviem statmenoms tiesėms, tada jos taip pat yra statmenos.
Įrodymas. Leiskite A Ir b- statmenos linijos, A 1 ir b 1 - joms lygiagrečios susikertančios linijos. Įrodykime, kad tiesios linijos A 1 ir b 1 yra statmenos.
Jei tiesiai A, b, A 1 ir b 1 yra toje pačioje plokštumoje, tada jie turi teoremoje nurodytą savybę, kaip žinoma iš planimetrijos.
Tarkime, kad mūsų linijos nėra toje pačioje plokštumoje. Tada tiesiai A Ir b yra tam tikroje plokštumoje α, o tiesės A 1 ir b 1 - kokioje nors plokštumoje β. Remiantis plokštumų lygiagretumu, plokštumos α ir β yra lygiagrečios. Tegul C yra tiesių susikirtimo taškas A Ir b, o C 1 - tiesių sankirtos A 1 ir b 1. Nubrėžkime lygiagrečių tiesių plokštumą A Ir A A Ir A 1 taškuose A ir A 1. Lygiagrečių tiesių plokštumoje b Ir b 1 linija, lygiagreti tiesei CC 1. Ji peržengs linijas b Ir b 1 taškuose B ir B 1.
Keturkampiai CAA 1 C 1 ir SVV 1 C 1 yra lygiagretainiai, nes jų priešingos kraštinės lygiagrečios. Keturkampis ABC 1 A 1 taip pat yra lygiagretainis. Jo kraštinės AA 1 ir BB 1 lygiagrečios, nes kiekviena iš jų lygiagreti tiesei CC 1. Taigi keturkampis yra plokštumoje, einančioje per lygiagrečias tieses AA 1 ir BB 1. Ir jis kerta lygiagrečias plokštumas α ir β išilgai lygiagrečių tiesių AB ir A 1 B 1.
Kadangi lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, tai AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Pagal trečiąjį lygybės ženklą trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 yra lygūs. Taigi kampas A 1 C 1 B 1, lygus kampui ACB, yra tiesus, t.y. tiesiai A 1 ir b 1 yra statmenos. ir kt.

Savybės statmena tiesei ir plokštumai.
2 teorema . Jei plokštuma yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.
Įrodymas. Leiskite A 1 ir A 2 – dvi lygiagrečios tiesės ir α – tiesei statmena plokštuma A 1. Įrodykime, kad ši plokštuma yra statmena tiesei A 2 .
Nubrėžkime 2 linijos per tašką A sankirtas A 2 su plokštuma α savavališka tiesė Su 2 α plokštumoje. Plokštumoje α per tašką A 1 nubrėžkime tiesės sankirtą A 1 su plokštuma α tiesia Su 1 lygiagrečiai linijai Su 2. Kadangi jis yra tiesus A 1 yra statmena plokštumai α, tada tiesios linijos A 1 ir Su 1 yra statmenos. O pagal 1 teoremą joms lygiagrečios susikertančios tiesės A 2 ir Su 2 taip pat yra statmenos. Taigi, tiesiai A 2 yra statmena bet kuriai linijai Su 2 α plokštumoje. Ir tai reiškia, kad tiesiai A 2 yra statmena plokštumai α. Teorema įrodyta.

3 teorema . Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios viena kitai.
Turime plokštumą α ir dvi jai statmenas tieses A Ir b. Įrodykime tai A || b.
Per plokštumos tiesių susikirtimo taškus nubrėžkite tiesią liniją Su. Remdamiesi charakteristika, kurią gauname A ^ c Ir b ^ c. Per tiesias linijas A Ir b Nubraižykime plokštumą (dvi lygiagrečios tiesės apibrėžia plokštumą ir tik viena). Šioje plokštumoje turime dvi lygiagrečias tieses A Ir b ir sekantas Su. Jei vidinių vienpusių kampų suma yra 180°, tai linijos yra lygiagrečios. Turime kaip tik tokį atvejį – du stačius kampus. Štai kodėl A || b.

Viena kitai statmenų tiesių ir plokštumų konstravimas yra svarbi grafinė operacija sprendžiant metrinius uždavinius.

Statmens tiesei ar plokštumai konstrukcija grindžiama stačiojo kampo savybe, kuri formuluojama taip: jeigu viena iš stačiojo kampo kraštinių lygiagreti projekcijos plokštumai, o kita jai nestatmena, tada kampas visu dydžiu projektuojamas į šią plokštumą.

28 pav

Stačiojo kampo ABC kraštinė BC, parodyta 28 paveiksle, yra lygiagreti plokštumai P 1. Vadinasi, kampo ABC projekcija į šią plokštumą bus stačiu kampu A 1 B 1 C 1 =90.

Tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms šioje plokštumoje. Statant statmeną iš plokštumai priklausančių tiesių rinkinio, rinkitės lygias tiesias – horizontalias ir frontalias. Šiuo atveju horizontali statmens projekcija atliekama statmenai horizontaliai, o priekinė projekcija yra statmena priekiui. 29 paveiksle pavaizduotame pavyzdyje parodyta statmenos konstrukcija plokštumai, kurią apibrėžia trikampis ABC nuo taško K. Norėdami tai padaryti, pirmiausia nubrėžkite horizontalias ir priekines linijas plokštumoje. Tada iš taško K priekinės projekcijos brėžiame statmeną frontalinei priekinei projekcijai, o iš taško horizontalios projekcijos - statmeną horizontaliajai horizontalės projekcijai. Tada sukonstruojame šio statmens susikirtimo tašką su plokštuma, naudodami pagalbinę pjovimo plokštumą Σ. Reikalingas taškas yra F. Taigi gauta atkarpa KF yra statmena plokštumai ABC.

29 pav

29 paveiksle parodyta statmenos KF ABC plokštumai konstrukcija.

Dvi plokštumos yra statmenos, jei vienoje plokštumoje esanti tiesė yra statmena dviem susikertančioms kitos plokštumos tiesėms. Šiai plokštumai ABC statmenos plokštumos konstrukcija parodyta 30 paveiksle. Per tašką M nubrėžta tiesė MN, statmena plokštumai ABC. Šios linijos horizontalioji projekcija yra statmena AC, nes AC yra horizontali, o frontalioji projekcija yra statmena AB, nes AB yra priekinė. Tada per tašką M nubrėžiama savavališka tiesė EF. Taigi plokštuma yra statmena ABC ir yra apibrėžta dviem susikertančiomis tiesėmis EF ir MN.

30 pav

Šis metodas naudojamas norint nustatyti natūralias segmentų vertes bendroje padėtyje, taip pat jų pasvirimo kampus projekcinių plokštumų atžvilgiu. Norint šiuo metodu nustatyti natūralų atkarpos dydį, reikia sudaryti stačiakampį trikampį į vieną iš atkarpos projekcijų. Kita kojelė bus atkarpos galinių taškų aukščių arba gylių skirtumas, o hipotenuzė bus gamtinė vertė.

Panagrinėkime pavyzdį: 31 paveiksle pavaizduota atkarpa AB bendroje padėtyje. Būtina nustatyti natūralų jo dydį ir pasvirimo kampus priekinėms ir horizontalioms iškyšų plokštumoms.

Horizontalioje plokštumoje nubrėžiame statmeną vienam iš segmento galų. Ant jo nubraižome atkarpos galų aukščių skirtumą (ZA-ZB) ir baigiame statyti stačiakampį trikampį. Jo hipotenuzė yra natūrali atkarpos vertė, o kampas tarp gamtinės vertės ir atkarpos projekcijos yra atkarpos pasvirimo kampo į plokštumą P 1 natūrali vertė. Konstravimo tvarka priekinėje plokštumoje yra tokia pati. Išilgai statmenos nubrėžiame atkarpos galų gylių skirtumą (YA-YB). Gautas kampas tarp natūralaus segmento dydžio ir jo priekinės projekcijos yra atkarpos polinkio į P 2 plokštumą kampas.

31 pav

1. Pateikite teoremą apie stačiųjų kampų savybę.

2. Kokiu atveju tiesė yra statmena plokštumai?

3. Kiek tiesių ir kiek duotai plokštumai statmenų plokštumų galima nubrėžti per erdvės tašką?

4. Kam naudojamas stačiojo trikampio metodas?

5. Kaip šiuo metodu nustatyti atkarpos pasvirimo kampą bendroje padėtyje į horizontalią projekcijų plokštumą?