Kodėl sekos konvergencijos kriterijus vadinamas vidiniu? Pagrindinės sekos

CAUCHY KRITERIJAS

1) K.K. skaičių sekos konvergencija: skaičių (tikrųjų arba kompleksinių) tvarka. xn, n=1, 2, . . ., turėjo ribą, būtina ir pakanka, kad bet kuriam egzistuotų skaičius N toks, kad visiems atlikti

Skaičių sekos konvergencijos kriterijus apibendrintas į pilnos metrikos taškų konvergencijos kriterijų. erdvė.

Taškų seka (x p) pilna metrika erdvė susilieja tada ir tik tada, kai tokia egzistuoja N, kad nelygybė galioja visiems

2) K.K. n kintamųjų funkcijų egzistavimo riba Tegul f yra apibrėžta Xre matmenų erdvėje Rn ir paima skaitines (tikras arba kompleksines) vertes, A - aibės X ribinis taškas (arba simbolis, šiuo atveju X yra neribotas). Riba egzistuoja tada ir tik tada, kai ji yra visiems U = U a) . taškų A, kad bet kuriai ir nelygybė galioja

Šis kriterijus apibendrina bendresnius žemėlapius: tegul X- topologinis A -, jo ribinis taškas, kuriame galioja skaičiuojamumas, Y- pilna metrika tarpas ir f - Xв Y.

Kad būtų riba U = U būtina ir pakanka, kad kaimynystė būtų visiems

(a) atkreipia dėmesį į tai, kad nelygybė galioja visiems X- 3) Q. tolygiai funkcijų šeimos konvergencijai. Leiskite jo ribinis taškas, kuriame galioja skaičiuojamumas, kažkoks rinkinys, topologinis erdvė, kuri tenkina pirmąją skaičiuojamumo aksiomą ribiniame taške, R yra visa metrika. tarpas, f(). x, y topologinis erdvė, kuri tenkina pirmąją skaičiuojamumo aksiomą ribiniame taške, R yra visa metrika. tarpas, f(), - aibės atvaizdavimas atvaizdų šeima f( U = U(fiksuotos aibės X atvaizdavimas į H, yra tolygiai konverguojantis su X, jei kuriai nors yra tokia kaimynystė y 0 fiksuotos aibės X atvaizdavimas į H, yra tolygiai konverguojantis su X, jei kuriai nors yra tokia kaimynystė).taškai tai visiems

ir visa nelygybė patenkinta jo ribinis taškas, kuriame galioja skaičiuojamumas, Visų pirma, jei natūraliųjų skaičių aibė ir N, tada seka tolygiai konverguoja aibėje X tada ir tik tada, kai kuriai nors yra toks skaičius

kad visiems ir visiems skaičiams galioja nelygybė N, 4) K. į eilutės konvergenciją: skaitiniai konverguoja tada ir tik tada, kai kuriai nors yra toks skaičius

Kelių eilučių atveju vadinamas panašus konvergencijos kriterijus. Cauchy-Stolz kriterijus. Pavyzdžiui, norint

susiliejo į stačiakampes dalines sumas

būtina ir pakanka, kad kas nors rastų kažką panašaus N, kad su visais ir visais visuma nelygybė buvo patenkinta

Šie kriterijai apibendrinami į serijas Banacho erdvėse (vietoj absoliučios reikšmės imamos atitinkamų elementų normos).

5) Q. tolygiai eilučių konvergencijai: tebūnie funkcijos, apibrėžtos tam tikroje aibėje X ir imant skaitines reikšmes. Kad serialas

tolygiai susiliejo filmavimo aikštelėje X, būtina ir pakanka, kad toks skaičius egzistuotų visiems N, kad visiems visumai nelygybė buvo patenkinta

Šis kriterijus taip pat taikomas kelioms eilutėms, ne tik skaitinėms eilutėms, bet ir eilutėms, kurių terminai priklauso Banach tarpams, t. y. kai ir p(x).yra aibės X atvaizdavimas į tam tikrą būrį.

6) Q. netinkamų integralų konvergencijai: tegul funkcija f yra apibrėžta per pusę intervalo, paimkite jos skaitines reikšmes ir integruojama bet kuriai intervalo vertei (Riemano arba Lebesgue). a, c]. Tam, kad

suartėjus, būtina ir pakanka, kad bet kuriam žmogui egzistuotų toks, kad visiems, kurie tenkina sąlygą, galioja nelygybė

Kriterijus suformuluotas panašiai ir netinkamiems kitų tipų integralams, taip pat apibendrintas tuo atveju, kai funkcija f priklauso nuo kelių kintamųjų ir jos reikšmės yra Banacho erdvėje.

7) K.K tolygiam netinkamų integralų konvergencijai: tegul funkcija f(. topologinis erdvė, kuri tenkina pirmąją skaičiuojamumo aksiomą ribiniame taške, R yra visa metrika. tarpas, f().už kiekvieną fiksuotą kur jo ribinis taškas, kuriame galioja skaičiuojamumas, kai kurie rinkiniai, apibrėžti per pusę intervalo, įgauna skaitines reikšmes ir yra integruojami per bet kurį intervalą [ a, c]. Tam, kad

tolygiai konverguoja į aibę Y, būtina ir pakanka, kad bet kuriai būtų tokia, kad bet kuriai, kuri tenkina sąlygas ir visa nelygybė galiotų

Šis kriterijus taip pat taikomas netinkamiems kitų tipų integralams, kelių kintamųjų funkcijoms ir funkcijoms, kurių reikšmės yra Banacho erdvėse.

Lit.: C a u c h u A. L., Analyse algebrique, P., 1821; Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Dieudonne J., Šiuolaikinės analizės pagrindai, vert. iš anglų k., M., 1964; Il'in V.A., Poznya to E.G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. t., M., 1971, t. 2, M., 1973; Kudrjavcevas L. D., Matematinės analizės kursas, t. . 1 - 2, M., 1981; 16] Nikolsky S.M., Matematinės analizės kursas, 2 leidimas, t. 1-2, M., 1975; Whittaker E. - T., V a tson J. - N., Šiuolaikinės analizės kursas, vert. iš anglų k., 2 leidimas, 1 dalis, M., 1963. L. D. Kudrjavcevas.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.

I. M. Vinogradovas.

1977–1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra „LAIDINIMO KRITERIJAS“ kituose žodynuose:

Teigiamų eilučių konvergencijos kriterijus (Cauchy kriterijus) yra pagrindinis skaičių eilučių konvergencijos kriterijus, nustatytas Augustino Cauchy. Teigiama eilutė konverguoja tada ir tik tada, kai jos dalinių sumų seka yra apribota aukščiau... Vikipedija

Michailovo Nyquist stabilumo kriterijus yra vienas iš būdų įvertinti uždaro ciklo valdymo sistemos stabilumą pagal jos atvirojo ciklo fazės atsaką. Tai vienas iš dažnio stabilumo kriterijų. Naudojant šį kriterijų stabilumui įvertinti... ... Vikipedija

Michailovo Nyquist stabilumo kriterijus yra vienas iš būdų spręsti apie uždaro ciklo valdymo sistemos stabilumą pagal jos atviros būsenos amplitudės fazės dažnio atsaką. Ar vienas iš dažnumo kriterijų... ... Vikipedija

Koši kriterijus yra matematinės analizės teiginių serija: sekos konvergencijos kriterijus (žr. Fundamentali seka), kuriuo grindžiamas pilnos erdvės apibrėžimas. Teigiamų ženklų konvergencijos kriterijus... ... Vikipedija

Panašumo kriterijus yra bematis dydis, sudarytas iš matmenų fizinių parametrų, kurie lemia nagrinėjamą fizikinį reiškinį. Visų dviejų fizinių reiškinių ir sistemų to paties tipo panašumo kriterijų lygybė yra būtina ir... ... Vikipedija

- (Ca) panašumo kriterijus kontinuuminėje mechanikoje, išreiškiantis kinetinės energijos ir terpės suspaudimo energijos santykį. Jis naudojamas tiriant elastingų kūnų virpesius ir elastingų skysčių srautą. Koši skaičius išreiškiamas taip: , kur... ... Vikipedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Koši ženklą. Koši Maklaurino integralinis testas yra mažėjančių teigiamų skaičių eilučių konvergencijos testas. Maclaurino Cauchy testas leidžia sumažinti serijų konvergencijos patikrinimą iki... ... Vikipedijos

Konstrukcinių elementų stabilumas valkšnumo sąlygomis. Studijų vadovas. 1 dalis. Strypai, M. N. Kirsanovas. Nustatytas ir ištirtas konstrukcinių strypų elementų deformacijų stabilumo reiškinys, susijęs su įlinkio darinių perturbacijomis esant neribotam valkšnumui. Postuluojama...

Koši kriterijus sekos konvergencijai reiškia bendriausią skaičių eilučių konvergencijos kriterijų. 4 teorema (Košio kriterijus). Kad skaičių serija Y1 an suartėtų, būtina ir pakanka, kad bet kuriam skaičiui e > O būtų toks skaičius N = N(e), kad bet kokiam n > N nelygybė galiotų visiems. Naudojant dalines sumas 5P +P ir Sn-\ laikomos eilutės J2 in> nelygybė (1) gali būti parašyta forma Iš Koši kriterijaus seka būtinas skaičių eilučių konvergencijos kriterijus. 5 teorema. Jei serijos palyginimo testas serijoms su teigiamais terminais D'Alemberto testas Koši testas Eilučių konvergencijos kriterijus konverguoja, tai darant prielaidą, kad 4 teorema, gauname nelygybę, kuri galioja visiems Dėl savavališkumo skaičius e > 0, tai reiškia, kad Išvada. Jei lim an skiriasi nuo nulio arba neegzistuoja, tai serija 1 pavyzdys. Skaiciu serija skiriasi, nes 2 pavyzdys. Serija skiriasi, nes jos nera. komentuoti. 5 teorema pateikia būtiną eilučių konvergencijos sąlygą, bet jos nepakanka, ty sąlyga lim o„ = 0 gali būti įvykdyta ir divergentinei eilutei 3 pavyzdys. Apsvarstykite skaitinę eilutę, vadinamą harmonine seka. Harmonikų serijoms būtina konvergencijos sąlyga yra įvykdyta, nes naudodamiesi Koši kriterijumi parodome, kad ši eilutė skiriasi. Įdėkime p-p. Tada gauta nelygybė tenkinama bet kokiam savavališkai dideliam n. Iš to išplaukia, kad e ^ 5 ir p = n nelygybė (1) negalioja. Taigi, dėl Koši kriterijaus harmonikų serija skiriasi. Svarbi pastaba. Tam tikra prasme serija yra baigtinės sumos apibendrinimas. Tačiau, skirtingai nuo pastarųjų, terminai gali būti sugrupuoti ir pertvarkyti visiškai savavališkai, todėl suma, kaip žinome, nesikeičia, veiksmai su savavališkos serijos nariais turi būti atliekami atsargiai - pasekmės ne visada gali būti būti nuspėjamas. Jei divergentinėje eilutėje (neįvykdomas būtinas konvergencijos kriterijus) sugrupuojame gretimas grupes poromis, tada gauname konvergencinę eilutę (žr. pavyzdį iš § 8) galima pertvarkyti taip, kad ji suartėtų į. bet koks skaičius ir net skiriasi. Visų pirma, serija, gauta pertvarkant jos terminus, susilieja į pusę pradinės sumos (pavyzdys iš § 9). Svarbu tai, kad šiuose pavyzdžiuose serijos terminai turi skirtingus ženklus. 6 teorema (lyginimo testas). Pateikiamos dvi eilutės, kurių an ir 6“ yra teigiami. Jei nelygybė galioja visiems skaičiams n, tai iš eilučių Y1 6n konvergencijos seka eilučių an konvergencija, o iš eilutės Y1 On divergencijos seka Y1 6„ eilučių divergencija. M Sudarykime dalines (1) ir (2) eilučių sumas Iš teoremos sąlygos (3) seka, kad 5П ^ Sn visoms 1) Tarkime, kad serija (2) konverguoja, t. y. yra jos n-ųjų dalinių sumų riba. Taigi, kadangi visi šių eilučių nariai yra teigiami, tai dėl nelygybės (3) išplaukia, kad Taigi visos (1) serijos dalinės sumos 5P yra ribotos ir didėja didėjant n, nes. Vadinasi, dalinių sumų seka yra konvergencinė, o tai reiškia eilučių an konvergenciją. Šiuo atveju, pereidami prie nelygybės ribos, gauname, kad dėl nelygybės gauname palyginimo testą eilėms su teigiamais terminais D. 'Alemberto testas Koši testas Košio kriterijus eilučių konvergencijai, ty bn serija skiriasi. komentuoti. 6 teorema lieka galioti tuo atveju, kai nelygybė an ^ bn tenkinama ne visiems n, o tik pradedant nuo tam tikro skaičiaus A:, tai yra visiems n ^ Jfc, nes pakeitus baigtinį serijos narių skaičių nepažeis jo konvergencijos. Pavyzdžiai. Išnagrinėkite šias konvergencijos eilutes: Turime Kadangi skaičių eilutės konverguoja, tada lyginant pradinė eilutė (4) taip pat konverguoja. Nelygybė reiškia nelygybę. ) taip pat skiriasi I 6 teorema galioja bendresnės nelygybės atveju 3 pavyzdys. Išnagrinėkite 4 konvergenciją Naudodami nelygybę sin x ^ x, kuri galioja visoms, nustatome, kad serija konverguoja Palyginus (čia A = y), ši serija (5) taip pat suartėja bet kuriam skaičiui e > O yra toks skaičius N., kad visiems n > N nelygybė arba Taigi, jei serija (2) susilieja, tada serija konverguoja. Tačiau nuo tada, remiantis 6 teorema, serija (. 1) taip pat suartės. Kadangi n yra visiems, pagal 6 teoremą (1) serija skiriasi. komentuoti. Lemos sąlyga yra lygiavertė tam, kad sekos сс ir Lbn at yra lygiavertės arba, jei I = 0, eilučių (2) konvergencija reiškia eilučių (1) konvergenciją. Atvirkščiai netiesa. Jei L = +oo, serijos (1) skirtumai reiškia serijų (2) skirtumą. Atvirkščiai netiesa. Pavyzdžiai. Išnagrinėkite šias skaičių eilutes konvergencijai: 4 Palyginkime šią eilutę su harmonikų eilėmis. Tada originali serija susilieja. §5. D'Alemberto testas oo 7 teorema (D'Alemberto testas). Tegu yra duota serija an, kur visi an > 0. Jei yra n =\ riba, tai serija suartėja, o serija skiriasi.4 Tegul egzistuoja riba, kur Paimkite q tokią, kad. Tada bet kuriam skaičiui, pavyzdžiui, e = , yra toks skaičius N, kad visiems n ^ N galios nelygybė Visų pirma, mes turėsime iš kur visiems Iš šios nelygybės, paeiliui pateikdami reikšmes N, gauname. Eilučių sąlygos neviršija atitinkamų eilučių, kurios suartėja kaip serija, sudaryta iš geometrinės progresijos su vardikliu, narių Tuo atveju, kai prasideda tam tikras skaičius N, nelygybė bus įvykdyta, arba Vadinasi, a skiriasi, nes būtinas - konvergencijos ženklas. komentuoti. Jei neegzistuoja, tai D'Alemberto testas neduoda atsakymo apie eilučių konvergenciją ar divergenciją. Pavyzdžiai. Išnagrinėkite šias konvergencijos eilutes: Tam tikroms eilėms turime palyginimo testą eilėms su teigiamais terminais D'Alemberto testas Koši testas Košio kriterijus serijos konvergencijai Pagal D'Alemberto testą eilutės konverguoja.

Čia siūlome apsvarstyti bendrą baigtinės sekos ribos egzistavimo ženklą,
.

Apibrėžimas 3.5. Pasekmė ,
, vadinamas pagrindiniu, jei yra savavališkas skaičius
yra toks skaičius tai visiems
nelygybė galioja
.

Pagrindinės sekos apibrėžimas dažnai yra patogiai naudojamas tokia forma.

Apibrėžimas 3.6. Pasekmė yra esminis, jei savavališkam skaičiui
yra toks skaičius tai visiems
ir bet koks natūralusis skaičius nelygybė galioja
.

3.13 teorema (Koši kriterijus). Tam, kad seka susilietų, būtina ir pakanka, kad ji būtų esminė.

Įrodymas. Būtinybė. Tegul seka ,
, susilieja, tai yra, egzistuoja
. Rinksim
. Tada yra toks skaičius tai visiems
nelygybė galioja:
.

Leiskite
Ir
, Tada

=

,

o tai reiškia, kad seka yra pagrindinė.

Tinkamumas. Tegul seka yra esminis. Įrodykime, kad jis susilieja. Tokį skaičių sunku rasti A, kuri yra jo riba.

Išskaidykime argumentą į kelis etapus.

a) Įrodykime, kad pagrindinė sekos prigimtis reiškia jos ribotumą. Pasvarstykime ε =1, tada yra toks skaičius n 1 kad visų akivaizdoje

n, m ≥ n 1 nelygybė galioja
. Visų akivaizdoje n≥ n 1 sąžininga:

Leiskite , a, tada kiekvienam natūraliam nelygybės tenkinamos
, tai yra ribotas.

b) Rinkimės natūralų n. Apsvarstykite rinkinį
- sekos narių verčių rinkinys, kurių skaičiai yra ne mažesni už pasirinktą n. Tuo, kas buvo įrodyta a) aibėje X 1 ribotas. Ir iš akivaizdžių investicijų
iš to seka, kad kiekviena iš šių aibių yra ribojama.

c) Apsvarstykite dvi naujas sekas. Šiuo tikslu kiekvienam rinkiniui
pažymėkime:
,
. Iš b punkte pateiktų įterpimų išplaukia, kad seka didėja (
) ir seką sumažėja (
). Štai kodėl
, tai yra, sekos yra monotoniškos ir ribotos, todėl susilieja. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad visiems natūraliems n nelygybės yra akivaizdžios
.

d) Įrodykime, kad šių dviejų sekų skirtumas yra lygus nuliui:
. Pasinaudokime fundamentalumo sąlyga. Dėl savavališko skaičiaus
yra toks skaičius tai visiems k ≥ n ε nelygybės tenkinamos
. Šios nelygybės leidžia daryti tokią išvadą

adresu n≥ n ε . Vadinasi,
.

e) Tuo, kas buvo įrodyta c) dalyje, seka susilieja, tegul
. Nes
o tada nuo nelygybių
o iš lemos apie du policininkus išplaukia, kad
. Pakankamas įrodytas. Teorema įrodyta.

3.9. Pasekmės. Dalinės ribos

Apibrėžimas 3.7. Leiskite ,
, yra tam tikra skaitinė seka ir tegul ,
yra griežtai didėjanti natūraliųjų skaičių seka. Tada formos seka
,
, vadinamas sekos poseka .

Jei seka neturi ribos, tai neatmeta galimybės, kad kuri nors poseka egzistuoja riba.

Apibrėžimas 3.8. Dalinė sekos riba yra kokios nors konvergencinės posekos riba.

3.18 pavyzdys. Leiskite
. Ši seka skiriasi (žr. 3.2 skyrių), bet jos posekos
Ir
konverguoja atitinkamai į 1 ir -1. Taigi šie skaičiai yra dalinės sekos ribos
.

3.14 teorema. Tegul seka ,
, susilieja su skaičiumi a. Tada bet kokia jo seka taip pat susilieja su a.

Įrodymas. Leiskite
,
, - sekos poseka ,
. Nes
tada yra griežtai didėjanti natūraliųjų skaičių seka
visų akivaizdoje
(tai nesunku įrodyti indukcija). Rinksim . Pagal konvergencijos apibrėžimą aĮ
visiems
.Teorema įrodyta.

nelygybė bus patenkinta 3.14 uždavinys

Įrodykite, kad tam, kad seka susilietų, būtina ir pakanka, kad kiekviena jos poseka suartėtų. 3.15 uždavinys.
a Ir
a Įrodykite tai iš sąlygų
a.

iš to išplaukia 3.16 uždavinys.

Pateikite sekos, kuri turi lygiai dešimt dalinių ribų, pavyzdį. 3.17 uždavinys.

Pateikite sekos, kurios kiekvienas realusis skaičius yra dalinė riba, pavyzdį.

Panagrinėkime dalinių ribų egzistavimo klausimą ribotos sekos atveju. 3.15 teorema (Bolzano-Weierstrass).

Įrodymas. Kiekvienoje ribotoje sekoje yra konvergentinė poseka.
Dėl riboto sekos pobūdžio galime nurodyti šiuos skaičius kad bet kam
nelygybės tenkinamos
. Padalinkite segmentą
per pusę. Tada bent vienoje pusėje bus begalinis skaičius sekos narių. Tai išplaukia iš to, kad seka susideda iš begalinio skaičiaus terminų ir yra tik dvi pusės. Išsirinkime šią pusę ir pažymėkime

, jei abu tokie, tai bet kuris iš jų.
Toliau segmentas
Dar kartą padalinkime pusiau ir išsirinkime pusę, kurioje yra begalinis sekos narių skaičius. Pažymėkime tai . Tęsiant šį procesą,
, kuriame yra be galo daug šios sekos terminų. Kiekvienas iš sukonstruotų segmentų yra ankstesniame. Skyriaus ilgis
lygus , ty linkęs į nulį didėjant . Taikant Kantoro lemą įdėtiems segmentams, gauname, kad sekos
Ir
linkę į bendrąją ribą, ją žymime A.

Dabar sukurkime konvergentą į A seka. Kaip pasirinkti bet kurį sekos narį
esantis
. Kaip
pasirinkti tokį sekos narį
, kuris yra
ir numeris kuris yra daugiau (čia naudojamas segmentas
yra be galo daug sekos terminų). Ginčijantis panašiai, toliau - žingsnis kaip
pasirinkti tokį sekos narį
, kuris yra
ir numeris kuris yra daugiau
.
Prisiminkime, kad kiekviename iš sukonstruotų segmentų yra be galo daug sekos terminų, o tai lemia tokio pasirinkimo galimybę. Nes
, A
.Teorema įrodyta.

, tada pagal lemą apie du policininkus
Visų sekos dalinių ribų aibę žymime

. Įrodyta Bolzano-Weierstrass teorema gali būti suformuluota taip:
kiekviena apribota seka turi aibę

dalinės ribos nėra tuščios.
Be to, atkreipiame dėmesį, kad iš sekos ribos, pagal teoremą pereinant prie nelygybių ribos, išplaukia, kad aibė yra ribojama
. Taigi yra daug

turi tikslius viršutinius ir apatinius kraštus. Apibrėžimas 3.9. ,
Leiskite
, yra ribota seka ir tegul

,

yra visų jo dalinių ribų rinkinys. Vertybės .

vadinamos atitinkamai apatine ir viršutine sekos ribomis ,Iš šio apibrėžimo tiesiogiai neišplaukia, kad skaičiai
priklauso daugeliui

, bet vis dėlto sąžininga 3.16 teorema.

Įrodymas. Viršutinė ir apatinė ribotos sekos ribos yra jos dalinės ribos.
Parodykime, kad yra tokia poseka
, Ką
<. Nes , tada pagal tikslios viršutinės ribos apibrėžimą yra
iš
, kuriam

. Kitas, yra
, kuriam , ir apskritai, bet kam

bus

, tenkinant nelygybes: Kadangi kiekviena yra dalinė riba, tada bet kuri kaimynystė yra be galo daug sekos terminų . Kitas, yra
. Todėl yra skaičius . Kitas, yra

;
.

yra numeris Ir Tęsiant samprotavimus, visiems

;
.

apsvarstyti
, atitinkantis sąlygas

Taip sukonstruota seka .

tenkina nelygybes .Teorema įrodyta.

Visų pirma iš įrodytos teoremos išplaukia, kad nėra tokios sekos, kurios visų dalinių ribų aibė būtų ribotas intervalas.

Viršutinę ir apatinę sekos ribas pažymėsime
Ir
atitinkamai. Kaip vieną iš būdingų šių dydžių savybių įrodome tokią teoremą.

3.17 teorema . Leiskite - ribota seka,
;
. Tada bet kokiam teigiamam skaičiui kiekviena iš nelygybių
Ir
tenkina tik baigtinę sekos terminų aibę.

Įrodymas. Tarkime, priešingai. Tegul skaičių rinkinys nelygybę tenkinančios sekos nariai
, be galo. Išdėstykime šiuos skaičius griežtai didėjančia tvarka:
Tada seka
, atitinkantis sąlygas
. Pagal Bolzano-Weierstrasso teoremą, iš jos galima išskirti konvergencinę poseką, ribą kuri yra daugiau nei . Tai aišku

, ir tai prieštarauja faktui, kad - viršutinis kraštas. Gautas prieštaravimas įrodo teoremą.

Apibrėžimas. Seka (x n) vadinama esminis (Kauši seka), jei bet kuriam e > 0 yra skaičius N kad visiems skaičiams n, tenkinantis sąlygą n>=N, ir bet kuriam natūraliajam skaičiui p(p=1,2,3...) nelygybė teisinga:

|x n + p – x n |< e.

Teorema. (Kauši kriterijus) . Kad seka (x n) būtų konvergentiška, būtina ir pakanka, kad ji būtų fundamentali.

Įrodymas.

1) Būtinybė. Tegu x n à a. Fiksuojame savavališką e > 0. Kadangi seka (x n ) konverguoja į ribą A, tada skaičiui, lygiam e/2, yra skaičius N toks, kad visų akivaizdoje n >= N:

|x n – a|< e/2. (1)

Jeigu p bet koks natūralusis skaičius, tada visiems n>=N jis bus:

|x n + p – a| < e/2. (2)

Kadangi dviejų skaičių sumos modulis neviršija jų modulių sumos, tai iš (1) ir (2) nelygybių gauname visiems n >= N ir bet kuriam natūraliajam skaičiui p mes gausime:

|x n + p – x n | = |<= |x n + p – a+ | a|< | + |x n – < e, Þ |x n + p – x n |

2) e - tai reiškia, kad tai yra pagrindinė seka. Tinkamumas< 1.

o |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xFiksuodami m o > n 1 turime |x n - xÞ |x n |

o |) visoms nÎN, t.y. (x n) – ribotas. Tai reiškia, kad pagal Bolzano-Weierstrass teoremą egzistuoja konvergentinė seka ( x n Tai reiškia, kad pagal Bolzano-Weierstrass teoremą egzistuoja konvergentinė seka ( k ), a k –> a.

. Parodykime, kad (x n ) konverguoja į

Esant nurodytam e > 0: "e > 0 $K(e)О N:

|Tai reiškia, kad pagal Bolzano-Weierstrass teoremą egzistuoja konvergentinė seka ("k>K(e) Þ a| < e;

k –

Be to, dėl pagrindinės (x n) prigimties $n e = n(e): n k ,n > n e Þ |x n – x n< e/2

k | n Padėkime n e. tada n > n e mes turime:

|x n – a|<= |x n – xÞ |x n – x ko | + |x Þ |x n – x ko – a|< e. А это и означает, что lim x n = a #

15. Du funkcijos ribos taške apibrėžimai ir jų ekvivalentiškumas.

Def.1. (pagal Cauchy). Tegu duota funkcija y=f(x): X à Y ir taškas a yra aibės X riba. Skaičius A paskambino funkcijos riba y=f(x) taškea , jei bet kuriam e > 0 galima nurodyti d > 0 taip, kad visoms xÎX, tenkinančioms nelygybes, būtų 0< |x-a| < d, выполняется |f(x) – A| < e.

Def.2 (pagal Heine). Skaičius A vadinama funkcijos y=f(x) riba taške a, jei bet kuriai sekai (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, konverguojanti į a, funkcijos reikšmių seka (f(x n)) susilieja su skaičiumi A.

Teorema. Funkcijos ribos nustatymas pagal Koši ir pagal Heine yra lygiaverčiai.

Įrodymas. Tegu A=lim f(x) yra funkcijos y=f(x) riba pagal Koši

ir (x n )Ì X, x n ¹a "nОN – seka konverguojanti į a, x n à a.

Jei e > 0, randame d > 0, kad esant 0< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x) – A| < e,

ir iš šio d randame skaičių n d =n(d), kad n>n d gautume 0< |x n -a| < d.

Bet tada |f(x n) – A| < e, т.е. доказано, что f(x n)à A.

Leisk dabar skaičių A dabar yra funkcijos riba pagal Heine, bet A nėra Koši riba. Tada yra e o > 0, kad visiems nОN egzistuoja x n ОX,

0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= e o . Tai reiškia, kad buvo rasta seka (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à a toks kad

seka (f(x n)) nekonverguoja į A. #

Funkcijos ribos taške unikalumas. Funkcijos, kuri turi baigtinę ribą, lokali riba. Funkcijos, kuri turi nulinę ribą, ženklo vietos išsaugojimas.

1 teorema. Jei $ lim f(x) = b О R x à a, tada ši riba vienintelė.

Įrodymas: Tegul taip nėra.

lim f(x) = b 1 ir lim f(x) = b 2, kai x à a. b 1 ¹ b 2

"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (apibrėžimas pagal Heine)

"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (apibrėžimas pagal Heine)

Konkrečiai sekai (x n )М D(f). x n ’ à a, x n ¹ a Þ

Þ f(x n ’) à b 1 ir f(x n ’)à b 2. Tada pagal sekos ribos unikalumo teoremą b 1 =b 2. #

Def. Laikoma, kad funkcija f(x) yra lokaliai apribota x à a, jei yra skaičių d > 0 ir M > 0, kad 0< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.

1 teorema (apie lokalinę ribą). Jei funkcija f(x) turi ribą taške a, tai ji yra lokaliai apribota x à a.

Įrodymas: Jei yra lim f(x) = A x à a, tai, pavyzdžiui, e=1 egzistuoja d>0, kad 0< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,

|f(x)|<|A|+1=M. #

2 teorema (dėl vietinio ženklo išsaugojimo). Jeigu lim f(x) = A, jei x à a ir A¹0, tada egzistuoja d>0, kad

0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 turime f(x)>A/2, o ties 0< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем

f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.

Įrodymas: Paimkime e=|A|/2. Yra d>0 toks, kad už

0 < |x-a| < d, xÎX имеем

A-|A|/2

Jei A>0, iš kairės nelygybės gauname f(x) > A/2, o iš A<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. #

Pasekmė (xn) tenkina Kauchinė būklė, jei bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui ε > 0 yra natūralusis skaičius N ε toks, kad
(1) |x n - x m |< ε при n >N ε , m > N ε .

Taip pat vadinamos Koši sąlygą tenkinančios sekos pagrindinės sekos.

Koši sąlyga gali būti pateikta kita forma. Tegul m > n.< n , то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Jeigu m

Čia p yra natūralusis skaičius.

Tada Koši sąlyga gali būti suformuluota taip: Kauchinė būklė Nuoseklumas tenkina
(2) , jei kuriam nors yra natūralusis skaičius, kad

už ir bet koks natūralus p .

Koši sąlygoje rodomas skaičius priklauso nuo ε.

Tai yra, tai yra tikrojo kintamojo ε funkcija, kurios diapazonas yra natūraliųjų skaičių aibė. Skaičius taip pat gali būti parašytas forma , kaip įprasta funkcijoms žymėti.

Košio kriterijus sekos konvergencijai

Tam, kad seka turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakanka, kad ji tenkintų Koši sąlygą.

Sekos konvergencijos Koši kriterijaus įrodymas
.
Būtinumo įrodymas
(1.1) Tegul seka susilieja į baigtinę ribą a:
Tai reiškia, kad yra tam tikra funkcija, kuriai galioja šios nelygybės:

adresu .
Tegul seka susilieja į baigtinę ribą a:
Žr. Sekos ribos apibrėžimas.
.
Parodykime, kad seka tenkina . Norėdami tai padaryti, turime rasti tokią funkciją, kad bet kuriai , būtų tenkinamos šios nelygybės:

Pasinaudokime nelygybių savybėmis ir taikykime (1.1):
Paskutinė nelygybė galioja .
Pakeiskime jį į.

Tada bet kam, ką turime:

,

Kur.

Poreikis įrodytas.
(2.1.1) Tegul seka susilieja į baigtinę ribą a:

Pakankamumo įrodymas

Tegul seka tenkina. Įrodykime, kad jis konverguoja į baigtinį skaičių. Įrodymą padalijame į tris dalis. Pirmiausia įrodome, kad seka yra ribota. Tada taikome , pagal kurią apribota seka turi poseką, kuri konverguoja į baigtinį skaičių. Ir galiausiai parodysime, kad visa seka susilieja į šį skaičių.
;
;
;
;
.
Tai rodo, kad , sekos sąlygos yra ribotos. Kadangi , yra tik baigtinis terminų skaičius, visa seka yra ribota.

Taikykime Bolzano–Weierstrasso teoremą. Pagal šią teoremą, apribota seka turi poseką, kuri susilieja su kokiu nors baigtiniu skaičiumi a.
.

Pažymėkime tokią poseką kaip .
Tada
Tegul seka susilieja į baigtinę ribą a:
Parodykime, kad visa seka konverguoja į skaičių a. 1 Kadangi seka tenkina , yra tam tikra funkcija, kuriai bet kuriai galioja šios nelygybės: /2 :
(2.3.1) Tegul seka susilieja į baigtinę ribą a:

Paimkime konvergencinės posekos narį kaip terminą ir pakeiskime ε pagal ε Pataisykime n. Tada (2.3.1) yra nelygybė, turinti seką, kurioje neįtraukiamas baigtinis skaičius pirmųjų narių su. Baigtinis pirmųjų narių skaičius konvergencijai įtakos neturi (žr. Baigtinio terminų skaičiaus įtaka sekos konvergencijai). Todėl sutrumpintos sekos riba vis dar yra a.
Tegul seka susilieja į baigtinę ribą a:
Taikymas
Tegul seka susilieja į baigtinę ribą a:

su nelygybėmis susijusių ribų savybės
Tegul seka susilieja į baigtinę ribą a:
Ir

ribų aritmetinės savybės

, už , iš (2.3.1) turime:
Pasinaudokime akivaizdžia nelygybe: .