Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Šioje pamokoje apžvelgsime tiesinių lygčių sistemos sprendimo būdus. Aukštosios matematikos kursuose tiesinių lygčių sistemas reikia spręsti tiek atskirų užduočių forma, pavyzdžiui, „Išspręskite sistemą Kramerio formulėmis“, tiek sprendžiant kitas problemas. Su tiesinių lygčių sistemomis tenka susidurti beveik visose aukštosios matematikos šakose.
Pirma, šiek tiek teorijos. Ką šiuo atveju reiškia matematinis žodis „linijinis“? Tai reiškia, kad sistemos lygtys Visiįtraukti kintamieji pirmame laipsnyje: be jokių įmantrių dalykų, pvz 
ir kt., kuriais džiaugiasi tik matematikos olimpiadų dalyviai.
Aukštojoje matematikoje kintamiesiems žymėti naudojamos ne tik iš vaikystės pažįstamos raidės.
Gana populiarus variantas yra kintamieji su indeksais: .
Arba pradinės lotyniškos abėcėlės raidės, mažos ir didelės:
Ne taip jau retai galima rasti graikiškų raidžių: – daugeliui žinomų kaip „alfa, beta, gama“. Taip pat rinkinys su indeksais, tarkime, su raide „mu“:
Vienų ar kitų raidžių rinkinio naudojimas priklauso nuo aukštosios matematikos skyriaus, kuriame susiduriame su tiesinių lygčių sistema. Taigi, pavyzdžiui, tiesinių lygčių sistemose, su kuriomis susiduriama sprendžiant integralus ir diferencialines lygtis, įprasta naudoti žymėjimą
Bet nesvarbu, kaip kintamieji būtų pažymėti, tiesinių lygčių sistemos sprendimo principai, metodai ir metodai nesikeičia. Taigi, jei susidūrėte su kažkuo baisu, pavyzdžiui, neskubėkite užversti problemos knygos iš baimės, juk vietoj jos galite nupiešti saulę, vietoje paukštį, o vietoj jo – veidą (mokytoją). Ir, kad ir kaip būtų juokinga, galima išspręsti ir tiesinių lygčių sistemą su šiais žymėjimais.
Jaučiu, kad straipsnis pasirodys gana ilgas, todėl mažas turinys. Taigi, nuoseklus „aprašymas“ bus toks:
– Tiesinių lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu („mokyklos metodas“);
– Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis;
– Sistemos sprendimas naudojant Cramerio formules;
– Sistemos sprendimas naudojant atvirkštinę matricą;
– Sistemos sprendimas Gauso metodu.
Su tiesinių lygčių sistemomis visi yra susipažinę iš mokyklinių matematikos kursų. Iš esmės mes pradedame nuo pasikartojimo.
Tiesinių lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu
Šis metodas taip pat gali būti vadinamas „mokykliniu metodu“ arba nežinomųjų pašalinimo metodu. Vaizdžiai tariant, jis taip pat gali būti vadinamas „nebaigtu Gauso metodu“.
1 pavyzdys
Čia mums pateikiama dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Atkreipkite dėmesį, kad laisvieji terminai (skaičiai 5 ir 7) yra kairėje lygties pusėje. Apskritai, nesvarbu, kur jie yra, kairėje ar dešinėje, tiesiog aukštosios matematikos uždaviniuose jie dažnai yra taip. Ir toks įrašas neturėtų sukelti painiavos, jei reikia, sistema visada gali būti parašyta „kaip įprasta“: . Nepamirškite, kad perkeliant terminą iš dalies į kitą, reikia pakeisti jo ženklą.
Ką reiškia išspręsti tiesinių lygčių sistemą? Išspręsti lygčių sistemą reiškia rasti daugybę jos sprendinių. Sistemos sprendimas yra visų į ją įtrauktų kintamųjų reikšmių rinkinys, kuri KIEKVIENĄ sistemos lygtį paverčia teisinga lygybe. Be to, sistema gali būti ne sąnarių (neturiu sprendimų).Nesidrovėkite, tai yra bendras apibrėžimas =) Turėsime tik vieną „x“ reikšmę ir vieną „y“ reikšmę, kurios tenkina kiekvieną c-we lygtį.
Yra grafinis sistemos sprendimo metodas, su kuriuo galite susipažinti klasėje. Paprasčiausios problemos su linija. Ten aš kalbėjau apie geometrine prasme dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos. Bet dabar tai algebros era ir skaičiai-skaičiai, veiksmai-veiksmai.
Nuspręskime: iš pirmosios lygties išreiškiame:
Gautą išraišką pakeičiame antrąja lygtimi:
Atidarome skliaustus, pridedame panašius terminus ir randame reikšmę: 
Toliau prisimename, dėl ko šokome:
Mes jau žinome vertę, belieka rasti:
Atsakymas:
Kai BET KOKIA lygčių sistema buvo išspręsta bet kokiu būdu, primygtinai rekomenduoju patikrinti (žodžiu, juodraščiu arba skaičiuokle). Laimei, tai daroma lengvai ir greitai.
1) Rastą atsakymą pakeiskite pirmąja lygtimi:
– gaunama teisinga lygybė.
2) Rastą atsakymą pakeiskite antrąja lygtimi: 
– gaunama teisinga lygybė.
Arba, paprasčiau tariant, „viskas susidėjo“
Nagrinėjamas sprendimo būdas nėra vienintelis, iš pirmos lygties buvo galima išreikšti , o ne .
Galite padaryti priešingai – išreikškite ką nors iš antrosios lygties ir pakeiskite ją pirmąja lygtimi. Beje, atkreipkite dėmesį, kad nepalankiausias iš keturių metodų yra išreikšti iš antrosios lygties:
Rezultatas yra trupmenos, bet kodėl? Yra racionalesnis sprendimas.
Tačiau kai kuriais atvejais jūs vis tiek negalite išsiversti be trupmenų. Šiuo atžvilgiu norėčiau atkreipti jūsų dėmesį, KAIP užsirašiau posakį. Ne taip: ir jokiu būdu ne taip: 
.
Jei aukštojoje matematikoje turite reikalų su trupmeniniais skaičiais, pabandykite atlikti visus skaičiavimus paprastomis netinkamomis trupmenomis.
Tiksliai, o ne arba!
Kablelis gali būti naudojamas tik kartais, ypač jei tai yra galutinis atsakymas į kokią nors problemą, ir su šiuo numeriu nereikia atlikti jokių papildomų veiksmų.
Daugelis skaitytojų tikriausiai pagalvojo: „Kodėl toks išsamus paaiškinimas kaip korekcijos klasė, viskas aišku“. Nieko panašaus, atrodo toks paprastas mokyklinis pavyzdys, bet yra tiek daug LABAI svarbių išvadų! Štai dar vienas:
Turėtumėte stengtis bet kurią užduotį atlikti racionaliausiu būdu. Jau vien todėl, kad sutaupo laiko ir nervų, o taip pat sumažina tikimybę suklysti.
Jei aukštosios matematikos uždavinyje susidursite su dviejų tiesinių lygčių sistema su dviem nežinomaisiais, tada visada galite naudoti pakeitimo metodą (nebent būtų nurodyta, kad sistemą reikia išspręsti kitu metodu). kad esate niekšas ir sumažinsite savo pažymį už „mokyklos metodo“ naudojimą.
Be to, kai kuriais atvejais patartina naudoti pakeitimo metodą su didesniu kintamųjų skaičiumi.
2 pavyzdys
Išspręskite tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą
Panaši lygčių sistema dažnai susidaro naudojant vadinamąjį neapibrėžtųjų koeficientų metodą, kai randame trupmeninės racionalios funkcijos integralą. Aptariamą sistemą iš ten paėmiau aš.
Ieškant integralo, tikslas yra greitai rasti koeficientų reikšmes, o ne naudoti Cramerio formules, atvirkštinės matricos metodą ir kt. Todėl šiuo atveju pakeitimo metodas yra tinkamas.
Pateikus kokią nors lygčių sistemą, visų pirma norima išsiaiškinti, ar įmanoma ją kažkaip supaprastinti IŠ karto? Analizuodami sistemos lygtis, pastebime, kad antrąją sistemos lygtį galima padalyti iš 2, ką mes darome:
Nuoroda: matematinis ženklas reiškia „iš to seka“ ir dažnai naudojamas sprendžiant problemas.
Dabar išanalizuokime lygtis, kai kuriuos kintamuosius reikia išreikšti kitais. Kurią lygtį turėčiau pasirinkti? Tikriausiai jau atspėjote, kad lengviausias būdas šiam tikslui yra paimti pirmąją sistemos lygtį:
Čia, nesvarbu, kokį kintamąjį išreikšti, galima taip pat lengvai išreikšti arba .
Tada mes pakeičiame išraišką į antrąją ir trečiąją sistemos lygtis: 
Atidarome skliaustus ir pateikiame panašius terminus: 
Trečiąją lygtį padalinkite iš 2: 
Iš antrosios lygties išreiškiame ir pakeičiame trečiąja lygtimi:
Beveik viskas yra paruošta, iš trečiosios lygties randame:
Iš antrosios lygties: 
Iš pirmosios lygties:
Patikrinkite: Rastas kintamųjų reikšmes pakeiskite kiekvienos sistemos lygties kairėje pusėje:
1)
2)
3)
Gaunamos atitinkamos lygčių dešinės pusės, todėl sprendimas randamas teisingai.
3 pavyzdys
Išspręskite tiesinių lygčių su 4 nežinomaisiais sistemą
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).
Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis
Sprendžiant tiesinių lygčių sistemas, reikia stengtis naudoti ne „mokyklinį metodą“, o sistemos lygčių terminų sudėjimo (atėmimo) metodą. Kodėl? Tai taupo laiką ir supaprastina skaičiavimus, tačiau dabar viskas taps aiškiau.
4 pavyzdys
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą: 
Naudojau tą pačią sistemą kaip ir pirmame pavyzdyje.
Analizuodami lygčių sistemą, pastebime, kad kintamojo koeficientai yra identiški dydžiu ir priešingi pagal ženklą (–1 ir 1). Esant tokiai situacijai, lygtis galima sudėti po terminą: 
Raudonu apskritimu pažymėti veiksmai atliekami PROTINIAI.
Kaip matote, sudėjus terminą po termino, praradome kintamąjį. Tai, tiesą sakant, yra kas metodo esmė – atsikratyti vieno iš kintamųjų.
Patikimesnis nei grafinis metodas, aptartas ankstesnėje pastraipoje.
Pakeitimo metodas
Šį metodą naudojome 7 klasėje tiesinių lygčių sistemoms spręsti. 7 klasėje sukurtas algoritmas yra gana tinkamas bet kurių dviejų lygčių (nebūtinai tiesinių) sistemoms spręsti su dviem kintamaisiais x ir y (žinoma, kintamieji gali būti žymimi ir kitomis raidėmis, kas nesvarbu). Tiesą sakant, šį algoritmą naudojome ankstesnėje pastraipoje, kai dviženklio skaičiaus problema atvedė į matematinį modelį, kuris yra lygčių sistema. Šią lygčių sistemą išsprendėme aukščiau naudodami pakeitimo metodą (žr. 1 pavyzdį iš § 4).
Algoritmas, kaip panaudoti pakeitimo metodą sprendžiant dviejų lygčių sistemą su dviem kintamaisiais x, y.
1. Iš vienos sistemos lygties išreikškite y reikšme x.
2. Vietoj y gautą išraišką pakeiskite kita sistemos lygtimi.
3. Išspręskite gautą x lygtį.
4. Pirmajame žingsnyje gautoje išraiškoje nuo y iki x pakeiskite kiekvieną trečiajame žingsnyje rastos lygties šaknį vietoj x.
5. Atsakymą parašykite reikšmių poromis (x; y), kurios buvo rastos atitinkamai trečiame ir ketvirtame žingsnyje.
4) Pakeiskite po vieną rastą y reikšmę į formulę x = 5 - 3. Jeigu tada 
5) Duotos lygčių sistemos poros (2; 1) ir sprendiniai.
Atsakymas: (2; 1);
Algebrinis sudėjimo metodas
Šis metodas, kaip ir pakeitimo metodas, jums pažįstamas iš 7 klasės algebros kurso, kur jis buvo naudojamas tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Prisiminkime metodo esmę naudodami šį pavyzdį.
2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą
Visus pirmosios sistemos lygties narius padauginkime iš 3, o antrąją lygtį palikime nepakeistą: 
Iš pirmosios lygties atimkite antrąją sistemos lygtį:
Algebriškai sudėjus dvi pirminės sistemos lygtis, buvo gauta lygtis, kuri buvo paprastesnė už pateiktos sistemos pirmąją ir antrąją lygtis. Šia paprastesne lygtimi turime teisę pakeisti bet kurią tam tikros sistemos lygtį, pavyzdžiui, antrąją. Tada pateikta lygčių sistema bus pakeista paprastesne sistema:
Šią sistemą galima išspręsti naudojant pakeitimo metodą. Iš antrosios lygties randame šią išraišką vietoj y į pirmąją sistemos lygtį
Belieka pakeisti rastas x reikšmes į formulę
Jei x = 2, tada
Taigi, mes radome du sistemos sprendimus: 
Naujų kintamųjų įvedimo metodas
Su naujo kintamojo įvedimo metodu sprendžiant racionaliąsias lygtis su vienu kintamuoju susipažinote 8 klasės algebros kurse. Šio lygčių sistemų sprendimo metodo esmė yra ta pati, tačiau techniniu požiūriu yra keletas ypatybių, kurias aptarsime tolesniuose pavyzdžiuose.
3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą
Įveskime naują kintamąjį Tada pirmąją sistemos lygtį galima perrašyti paprastesne forma: Išspręskime šią lygtį kintamojo t atžvilgiu:
Abi šios reikšmės atitinka sąlygą ir todėl yra racionalios lygties su kintamuoju t šaknys. Bet tai reiškia, kur mes nustatome, kad x = 2y, arba
Taigi, naudojant naujo kintamojo įvedimo metodą, pavyko „susluoksniuoti“ pirmąją gana sudėtingos išvaizdos sistemos lygtį į dvi paprastesnes lygtis:
x = 2 y; y - 2x.
Kas toliau? Ir tada kiekviena iš dviejų gautų paprastų lygčių turi būti nagrinėjama paeiliui sistemoje su lygtimi x 2 - y 2 = 3, kurios mes dar neprisimename. Kitaip tariant, problema kyla sprendžiant dvi lygčių sistemas:
Turime rasti pirmosios, antrosios sistemos sprendimus ir į atsakymą įtraukti visas gautas verčių poras. Išspręskime pirmąją lygčių sistemą:
Pasinaudokime pakeitimo metodu, juolab kad čia jau viskas paruošta: vietoj x į antrąją sistemos lygtį pakeiskime išraišką 2y. Mes gauname
Kadangi x = 2y, atitinkamai randame x 1 = 2, x 2 = 2. Taigi gaunami du duotosios sistemos sprendiniai: (2; 1) ir (-2; -1). Išspręskime antrąją lygčių sistemą:
Vėl panaudokime pakeitimo metodą: raišką 2x vietoj y pakeiskime į antrąją sistemos lygtį. Mes gauname
Ši lygtis neturi šaknų, o tai reiškia, kad lygčių sistema neturi sprendinių. Taigi į atsakymą reikia įtraukti tik pirmosios sistemos sprendinius.
Atsakymas: (2; 1); (-2;-1).
Naujų kintamųjų įvedimo metodas sprendžiant dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas naudojamas dviem variantais. Pirmas variantas: vienas naujas kintamasis įvedamas ir naudojamas tik vienoje sistemos lygtyje. Būtent taip atsitiko 3 pavyzdyje. Antrasis variantas: abiejose sistemos lygtyse įvedami ir vienu metu naudojami du nauji kintamieji. Taip bus 4 pavyzdyje.
4 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą
Pristatykime du naujus kintamuosius:
Tada atsižvelgkime į tai
Tai leis jums perrašyti pateiktą sistemą daug paprastesne forma, tačiau atsižvelgiant į naujus kintamuosius a ir b:
Kadangi a = 1, tai iš lygties a + 6 = 2 randame: 1 + 6 = 2; 6=1. Taigi, kalbant apie kintamuosius a ir b, gavome vieną sprendimą:
Grįžę prie kintamųjų x ir y, gauname lygčių sistemą
Šiai sistemai išspręsti pritaikykime algebrinio sudėjimo metodą:
Nuo tada iš lygties 2x + y = 3 randame:
Taigi, kalbant apie kintamuosius x ir y, gavome vieną sprendimą:
Užbaikime šią pastraipą trumpa, bet gana rimta teorine diskusija. Jūs jau įgijote tam tikros patirties sprendžiant įvairias lygtis: tiesinę, kvadratinę, racionaliąją, iracionaliąją. Jūs žinote, kad pagrindinė lygties sprendimo idėja yra palaipsniui pereiti nuo vienos lygties prie kitos, paprastesnės, bet lygiavertės pateiktai. Ankstesnėje pastraipoje pristatėme lygčių su dviem kintamaisiais lygiavertiškumo sąvoką. Ši sąvoka taip pat naudojama lygčių sistemoms.
Apibrėžimas.
Dvi lygčių sistemos su kintamaisiais x ir y vadinamos lygiavertėmis, jei jos turi tuos pačius sprendinius arba jei abi sistemos neturi sprendinių.
Visi trys metodai (pakeitimas, algebrinis pridėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas), kuriuos aptarėme šiame skyriuje, yra visiškai teisingi lygiavertiškumo požiūriu. Kitaip tariant, taikydami šiuos metodus vieną lygčių sistemą pakeičiame kita, paprastesne, bet lygiaverte pradinei sistemai.
Grafinis lygčių sistemų sprendimo metodas
Mes jau išmokome spręsti lygčių sistemas tokiais įprastais ir patikimais būdais kaip keitimo metodas, algebrinis sudėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas. Dabar prisiminkime metodą, kurį jau studijavote ankstesnėje pamokoje. Tai yra, pakartokime tai, ką žinote apie grafinio sprendimo metodą.
Lygčių sistemų grafinio sprendimo metodas apima kiekvienos konkrečios lygties, kuri yra įtraukta į tam tikrą sistemą ir yra toje pačioje koordinačių plokštumoje, grafiko sudarymą, taip pat kur reikia rasti šių taškų susikirtimo vietas. grafikus. Šiai lygčių sistemai išspręsti reikia šio taško koordinatės (x; y).
Reikėtų atsiminti, kad grafinėje lygčių sistemoje įprasta turėti arba vieną teisingą sprendinį, arba begalinį sprendinių skaičių, arba sprendinių apskritai neturi.
Dabar pažvelkime į kiekvieną iš šių sprendimų išsamiau. Taigi, lygčių sistema gali turėti unikalų sprendimą, jei linijos, kurios yra sistemos lygčių grafikai, susikerta. Jeigu šios tiesės lygiagrečios, tai tokia lygčių sistema visiškai neturi sprendinių. Jei sistemos lygčių tiesioginiai grafikai sutampa, tai tokia sistema leidžia rasti daug sprendinių.
Na, o dabar pažvelkime į dviejų lygčių su 2 nežinomaisiais sistemos sprendimo algoritmą naudojant grafinį metodą:
Pirma, pirmiausia sudarome 1-osios lygties grafiką;
Antrasis žingsnis bus grafiko, susieto su antrąja lygtimi, sudarymas;
Trečia, turime rasti grafikų susikirtimo taškus.
Ir kaip rezultatas, mes gauname kiekvieno susikirtimo taško koordinates, kurios bus lygčių sistemos sprendimas.
Pažvelkime į šį metodą išsamiau naudodami pavyzdį. Mums duota lygčių sistema, kurią reikia išspręsti:
Lygčių sprendimas
1. Pirmiausia sudarysime šios lygties grafiką: x2+y2=9.
Tačiau reikia pažymėti, kad šis lygčių grafikas bus apskritimas, kurio centras yra pradžioje, o jo spindulys bus lygus trims.
2. Kitas mūsų žingsnis bus sudaryti tokią lygtį kaip: y = x – 3.
Šiuo atveju turime nutiesti tiesę ir rasti taškus (0;−3) ir (3;0).
3. Pažiūrėkime, ką gavome. Matome, kad tiesė kerta apskritimą dviejuose jos taškuose A ir B.
Dabar mes ieškome šių taškų koordinačių. Matome, kad koordinatės (3;0) atitinka tašką A, o koordinatės (0;−3) – tašką B.
Ir ką mes gauname dėl to?
Skaičiai (3;0) ir (0;−3), gauti, kai tiesė kerta apskritimą, yra būtent abiejų sistemos lygčių sprendiniai. Ir iš to išplaukia, kad šie skaičiai taip pat yra šios lygčių sistemos sprendiniai.
Tai yra, atsakymas į šį sprendimą yra skaičiai: (3;0) ir (0;−3).
Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos sektoriuje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant gamybos valdymo ir planavimo, logistikos maršrutų (transporto problemos) ar įrangos išdėstymo problemas.
Sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius, lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikoje, bet ir fizikoje, chemijoje, biologijoje.
Tiesinių lygčių sistema – tai dvi ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais, kurioms būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.
Tiesinė lygtis
Formos ax+by=c lygtys vadinamos tiesinėmis. Pavadinimai x, y yra nežinomieji, kurių reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Išsprendus lygtį ją nubraižant, ji atrodys kaip tiesė, kurios visi taškai yra daugianario sprendiniai.
Tiesinių lygčių sistemų tipai
Paprasčiausiais pavyzdžiais laikomos tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais X ir Y.
F1(x, y) = 0 ir F2(x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.
Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia, kad reikia rasti vertes (x, y), kurioms esant sistema virsta tikra lygybe, arba nustatyti, kad tinkamų x ir y reikšmių nėra.
Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.
Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.
Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinioji pusė lygi nuliui. Jei dešinioji dalis po lygybės ženklo turi reikšmę arba yra išreikšta funkcija, tokia sistema yra nevienalytė.
Kintamųjų skaičius gali būti daug didesnis nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamųjų pavyzdį.
Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti tiek, kiek norima.
Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai
Nėra bendro analitinio metodo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. Mokykliniame matematikos kurse išsamiai aprašomi tokie metodai kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, pakaitalai, taip pat grafiniai ir matriciniai metodai, sprendimas Gauso metodu.
Pagrindinė užduotis mokant sprendimo metodų yra išmokyti teisingai analizuoti sistemą ir kiekvienam pavyzdžiui rasti optimalų sprendimo algoritmą. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo naudojimo principus.
Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas 7 klasės bendrojo ugdymo programoje yra gana paprastas ir labai išsamiai paaiškintas. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmaisiais aukštojo mokslo metais.
Sistemų sprendimas pakeitimo metodu
Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę antruoju. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į formą su vienu kintamuoju. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje
Pateikiame 7 klasės tiesinių lygčių sistemos pavyzdį, naudojant pakeitimo metodą:
Kaip matyti iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F(X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Išspręsti šį pavyzdį paprasta ir galima gauti Y reikšmę. Paskutinis veiksmas – patikrinti gautas reikšmes.
Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos ir kintamąjį išreikšti antrojo nežinomojo terminu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, sprendimas pakeitimu taip pat nepraktiškas.
Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:
Sprendimas naudojant algebrinį sudėjimą
Ieškant sprendimų sistemoms sudavimo metodu, lygtys sudedamos po termino ir dauginamos iš įvairių skaičių. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra lygtis viename kintamajame.
Šio metodo taikymas reikalauja praktikos ir stebėjimo. Išspręsti tiesinių lygčių sistemą sudavimo metodu, kai yra 3 ar daugiau kintamųjų, nėra lengva. Algebrinį sudėjimą patogu naudoti, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių dalių.
Sprendimo algoritmas:
- Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Dėl aritmetinės operacijos vienas iš kintamojo koeficientų turėtų tapti lygus 1.
- Pridėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
- Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.
Sprendimo būdas įvedant naują kintamąjį
Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemoje reikia rasti ne daugiau kaip dviejų lygčių sprendimą, nežinomųjų skaičius taip pat turėtų būti ne didesnis kaip dvi.
Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių, įvedant naują kintamąjį. Nauja lygtis išsprendžiama įvestam nežinomam, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.
Pavyzdys rodo, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima 1-ąją sistemos lygtį sumažinti iki standartinio kvadratinio trinalio. Galite išspręsti daugianarį suradę diskriminantą.
Reikia rasti diskriminanto reikšmę naudojant gerai žinomą formulę: D = b2 - 4*a*c, kur D yra norimas diskriminantas, b, a, c yra daugianario veiksniai. Pateiktame pavyzdyje a=1, b=16, c=39, todėl D=100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b±√D / 2*a, jei diskriminantas mažesnis už nulį, tai yra vienas sprendinys: x = -b / 2*a.
Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.
Vizualus sistemų sprendimo metodas
Tinka 3 lygčių sistemoms. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų sudarymo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.
Grafinis metodas turi keletą niuansų. Pažvelkime į kelis tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžius.
Kaip matyti iš pavyzdžio, kiekvienai eilutei buvo sudaryti du taškai, savavališkai parinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės: 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.
Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.
Šiame pavyzdyje reikia rasti grafinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą: 0,5x-y+2=0 ir 0,5x-y-1=0.
Kaip matyti iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą savo ilgį.
2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau sukūrus tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sudaryti grafiką.
Matrica ir jos atmainos
Matricos naudojamos glaustai parašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica yra specialus lentelės tipas, užpildytas skaičiais. n*m turi n eilučių ir m stulpelių.
Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus. Matrica-vektorius yra vieno stulpelio matrica su be galo galimu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatybe.
Atvirkštinė matrica yra matrica, padauginta iš kurios pradinė virsta vienetine matrica, tokia yra tik pradinei kvadratinei.
Lygčių sistemos pavertimo matrica taisyklės
Kalbant apie lygčių sistemas, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai užrašomi kaip matricos skaičiai.
Teigiama, kad matricos eilutė yra nulis, jei bent vienas eilutės elementas nėra lygus nuliui. Todėl jeigu kurioje nors lygtyje kintamųjų skaičius skiriasi, tai vietoje trūkstamo nežinomojo reikia įvesti nulį.
Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.
Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.
Atvirkštinės matricos paieškos parinktys
Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir |K| yra matricos determinantas. |K| neturi būti lygus nuliui, tada sistema turi sprendimą.
Determinantas lengvai apskaičiuojamas matricai du kartus, tereikia padauginti įstrižainės elementus vieną iš kito. Pasirinkimui „trys iš trijų“ yra formulė |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad darbe nesikartotų stulpelių ir elementų eilučių numeriai.
Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu
Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas su daugybe kintamųjų ir lygčių.
Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.
Sistemų sprendimas Gauso metodu
Aukštojoje matematikoje Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimų paieškos procesas vadinamas Gauss-Cramer sprendimo metodu. Šie metodai naudojami ieškant sistemų su daugybe tiesinių lygčių kintamiesiems.
Gauso metodas yra labai panašus į sprendimus su pakeitimu ir algebriniu sudėjimu, tačiau yra sistemingesnis. Mokykliniame kurse 3 ir 4 lygčių sistemoms naudojamas sprendimas Gauso metodu. Metodo tikslas – sumažinti sistemą iki apverstos trapecijos formos. Algebrinių transformacijų ir keitimų pagalba vienoje iš sistemos lygčių randama vieno kintamojo reikšmė. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, o 3 ir 4 yra atitinkamai su 3 ir 4 kintamaisiais.
Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo sistemos lygtyse.
7 klasės mokykliniuose vadovėliuose Gauso metodo sprendimo pavyzdys aprašytas taip:
Kaip matyti iš pavyzdžio, (3) žingsnyje buvo gautos dvi lygtys: 3x 3 -2x 4 =11 ir 3x 3 +2x 4 =7. Išsprendę bet kurią lygtį, galėsite sužinoti vieną iš kintamųjų x n.
Tekste minima 5 teorema teigia, kad vieną iš sistemos lygčių pakeitus lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.
Gauso metodą vidurinės mokyklos mokiniams sunku suprasti, tačiau tai vienas įdomiausių būdų ugdyti vaikų, įtrauktų į išplėstinio mokymosi programas matematikos ir fizikos pamokose, išradingumą.
Kad būtų lengviau įrašyti, skaičiavimai paprastai atliekami taip:
Lygčių ir laisvųjų dėmenų koeficientai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė atitinka vieną iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys nurodo lygčių skaičius sistemoje.
Pirmiausia užsirašykite matricą, su kuria dirbsite, tada visus veiksmus, atliktus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po „rodyklės“ ženklu ir tęsiamos būtinos algebrinės operacijos, kol pasiekiamas rezultatas.
Rezultatas turėtų būti matrica, kurioje viena iš įstrižainių yra lygi 1, o visi kiti koeficientai yra lygūs nuliui, tai yra, matrica sumažinama iki vieneto formos. Turime nepamiršti atlikti skaičiavimų su skaičiais abiejose lygties pusėse.
Šis įrašymo būdas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti išvardijant daugybę nežinomųjų.
Norint nemokamai naudoti bet kokį sprendimo būdą, reikės kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai yra taikomojo pobūdžio. Kai kurie sprendimų paieškos metodai yra labiau tinkami tam tikroje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra švietimo tikslais.
Šiuo vaizdo įrašu pradedu pamokų seriją, skirtą lygčių sistemoms. Šiandien kalbėsime apie tiesinių lygčių sistemų sprendimą papildymo būdas– Tai vienas iš paprasčiausių metodų, bet kartu ir vienas efektyviausių.
Papildymo metodas susideda iš trijų paprastų žingsnių:
- Pažvelkite į sistemą ir pasirinkite kintamąjį, kurio kiekvienoje lygtyje yra identiški (arba priešingi) koeficientai;
- Atlikite lygčių algebrinę atimtį (priešingiems skaičiams - pridėjimą) ir tada sudėkite panašius terminus;
- Išspręskite naują lygtį, gautą po antrojo žingsnio.
Jei viskas bus padaryta teisingai, tada išvestyje gausime vieną lygtį su vienu kintamuoju- tai nebus sunku išspręsti. Tada belieka rastą šaknį pakeisti pradine sistema ir gauti galutinį atsakymą.
Tačiau praktiškai viskas nėra taip paprasta. Tam yra keletas priežasčių:
- Sprendžiant lygtis naudojant sudėjimo metodą, visose eilutėse turi būti kintamieji, kurių koeficientai yra vienodi / priešingi. Ką daryti, jei šis reikalavimas neįvykdytas?
- Ne visada, nurodytu būdu sudėjus/atėmus lygtis, gauname gražią, nesunkiai išsprendžiamą konstrukciją. Ar įmanoma kažkaip supaprastinti skaičiavimus ir pagreitinti skaičiavimus?
Norėdami gauti atsakymus į šiuos klausimus ir tuo pačiu suprasti keletą papildomų subtilybių, kurių daugelis mokinių nesugeba, žiūrėkite mano vaizdo pamoką:
Šia pamoka pradedame paskaitų ciklą, skirtą lygčių sistemoms. Ir mes pradėsime nuo paprasčiausių iš jų, būtent tų, kuriuose yra dvi lygtys ir du kintamieji. Kiekvienas iš jų bus linijinis.
Sistemos yra 7 klasės medžiaga, tačiau ši pamoka bus naudinga ir vyresniųjų klasių mokiniams, kurie nori pagyvinti savo žinias šia tema.
Apskritai yra du tokių sistemų sprendimo būdai:
- Papildymo būdas;
- Metodas išreikšti vieną kintamąjį kitu.
Šiandien nagrinėsime pirmąjį metodą – naudosime atimties ir sudėjimo metodą. Tačiau norėdami tai padaryti, turite suprasti šį faktą: kai turite dvi ar daugiau lygčių, galite paimti bet kurias dvi iš jų ir pridėti jas viena prie kitos. Jie pridedami po nariu, t.y. Prie "X" pridedami "X" ir pateikiami panašūs, "Y" su "Y" vėl panašūs, o kas yra dešinėje nuo lygybės ženklo, taip pat pridedama vienas prie kito, taip pat pateikiami panašūs. .
Tokių machinacijų rezultatai bus nauja lygtis, kuri, jei ji turi šaknis, tikrai bus tarp pradinės lygties šaknų. Todėl mūsų užduotis yra atimti arba sudėti taip, kad išnyktų $x$ arba $y$.
Kaip tai pasiekti ir kokį įrankį tam naudoti - apie tai kalbėsime dabar.
Lengvų problemų sprendimas naudojant papildymą
Taigi, mes mokomės naudoti pridėjimo metodą naudodami dviejų paprastų posakių pavyzdį.
Užduotis Nr.1
\[\left\( \begin(lygiuoti)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]
Atkreipkite dėmesį, kad $y$ pirmoje lygtyje yra $-4$, o antrojoje - $+4$. Jie yra tarpusavyje priešingi, todėl logiška manyti, kad jei juos sudėsime, tada gautoje sumoje „žaidimai“ bus sunaikinti. Pridėkite ir gaukite:
Išspręskime paprasčiausią konstrukciją:
Puiku, radome „x“. Ką turėtume su juo daryti dabar? Mes turime teisę jį pakeisti bet kuria lygtimi. Pakeiskime pirmąją:
\[-4y=12\left| :\kairė(-4 \dešinė) \dešinė.\]
Atsakymas: $\left(2;-3 \right)$.
2 problema
\[\left\( \begin (lygiuoti)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end (lygiuoti) \right.\]
Čia situacija visiškai panaši, tik su „X“. Sudėkime juos:
Turime paprasčiausią tiesinę lygtį, išspręskime ją:
Dabar suraskime $x$:
Atsakymas: $\left(-3;3 \right)$.
Svarbūs punktai
Taigi, mes ką tik išsprendėme dvi paprastas tiesinių lygčių sistemas, naudodami sudėjimo metodą. Vėlgi pagrindiniai punktai:
- Jei vienam iš kintamųjų yra priešingi koeficientai, tuomet reikia pridėti visus lygties kintamuosius. Tokiu atveju vienas iš jų bus sunaikintas.
- Rastą kintamąjį pakeičiame į bet kurią sistemos lygtį, kad rastume antrąją.
- Galutinis atsakymo įrašas gali būti pateiktas įvairiais būdais. Pavyzdžiui, kaip šis - $x=...,y=...$, arba taškų koordinačių pavidalu - $\left(...;... \right)$. Pageidautina antrasis variantas. Svarbiausia atsiminti, kad pirmoji koordinatė yra $x$, o antroji yra $y$.
- Atsakymo rašymo taško koordinačių forma taisyklė ne visada galioja. Pavyzdžiui, jo negalima naudoti, kai kintamieji yra ne $x$ ir $y$, o, pavyzdžiui, $a$ ir $b$.
Tolesniuose uždaviniuose nagrinėsime atimties techniką, kai koeficientai nėra priešingi.
Lengvų uždavinių sprendimas naudojant atimties metodą
Užduotis Nr.1
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]
Atkreipkite dėmesį, kad čia nėra priešingų koeficientų, tačiau yra identiškų. Todėl iš pirmosios lygties atimame antrąją:
Dabar mes pakeisime reikšmę $x$ į bet kurią sistemos lygtį. Eikime pirma:
Atsakymas: $\left(2;5\right)$.
2 problema
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end (lygiuoti) \right.\]
Pirmoje ir antroje lygtyse vėl matome tą patį $5$ koeficientą $x$. Todėl logiška manyti, kad iš pirmosios lygties reikia atimti antrąją:
Mes apskaičiavome vieną kintamąjį. Dabar suraskime antrąjį, pavyzdžiui, pakeisdami reikšmę $y$ į antrąją konstrukciją:
Atsakymas: $\left(-3;-2 \right)$.
Sprendimo niuansai
Taigi ką mes matome? Iš esmės schema niekuo nesiskiria nuo ankstesnių sistemų sprendimo. Skirtumas tik tas, kad lygtis nesudedame, o atimame. Mes atliekame algebrinę atimtį.
Kitaip tariant, kai tik pamatysite sistemą, susidedančią iš dviejų lygčių dviejuose nežinomuose, pirmiausia turite pažvelgti į koeficientus. Jei jos bet kur vienodos, lygtys atimamos, o jei priešingos, naudojamas sudėjimo metodas. Visada daroma taip, kad vienas iš jų išnyktų, o galutinėje lygtyje, kuri lieka atėmus, lieka tik vienas kintamasis.
Žinoma, tai dar ne viskas. Dabar apsvarstysime sistemas, kuriose lygtys paprastai yra nenuoseklios. Tie. Juose nėra kintamųjų, kurie būtų nei vienodi, nei priešingi. Šiuo atveju tokioms sistemoms išspręsti naudojama papildoma technika, ty kiekvienos lygties padauginimas iš specialaus koeficiento. Kaip tai rasti ir kaip apskritai išspręsti tokias sistemas, apie tai kalbėsime dabar.
Užduočių sprendimas dauginant iš koeficiento
1 pavyzdys
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]
Matome, kad nei $x$, nei $y$ koeficientai ne tik yra priešingi, bet ir niekaip nesusiję su kita lygtimi. Šie koeficientai niekaip neišnyks, net jei lygtis vieną iš kitos pridėsime ar atimsime. Todėl būtina taikyti dauginimą. Pabandykime atsikratyti $y$ kintamojo. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį padauginame iš $y$ koeficiento iš antrosios lygties, o antrąją – iš $y$ koeficiento iš pirmosios lygties, neliesdami ženklo. Padauginame ir gauname naują sistemą:
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(lygiuoti) \right.\]
Pažiūrėkime: ties $y$ koeficientai yra priešingi. Esant tokiai situacijai, būtina naudoti papildymo metodą. Pridurkime:
Dabar turime rasti $y$. Norėdami tai padaryti, pirmoje išraiškoje pakeiskite $x$:
\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]
Atsakymas: $\left(4;-2 \right)$.
2 pavyzdys
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(lygiuoti) \right.\]
Vėlgi, nė vieno kintamojo koeficientai nėra nuoseklūs. Padauginkime iš $y$ koeficientų:
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(lygiuoti) \dešinė .\]
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(lygiuoti) \right.\]
Mūsų nauja sistema yra lygiavertė ankstesnei, tačiau $y$ koeficientai yra priešingi, todėl čia lengva pritaikyti pridėjimo metodą:
Dabar suraskime $y$ pirmoje lygtyje pakeisdami $x$:
Atsakymas: $\left(-2;1 \right)$.
Sprendimo niuansai
Pagrindinė taisyklė čia yra tokia: mes visada dauginame tik iš teigiamų skaičių - tai išgelbės jus nuo kvailų ir įžeidžiančių klaidų, susijusių su ženklų pasikeitimu. Apskritai sprendimo schema yra gana paprasta:
- Mes žiūrime į sistemą ir analizuojame kiekvieną lygtį.
- Jeigu matysime, kad nei $y$, nei $x$ koeficientai nėra nuoseklūs, t.y. jie nėra nei lygūs, nei priešingi, tada darome taip: pasirenkame kintamąjį, kurio turime atsikratyti, ir tada žiūrime į šių lygčių koeficientus. Jei pirmąją lygtį padauginsime iš koeficiento iš antrosios, o antrąją atitinkamai padauginsime iš koeficiento iš pirmosios, tada galų gale gausime sistemą, kuri yra visiškai lygiavertė ankstesnei, ir koeficientus $ y$ bus nuoseklus. Visi mūsų veiksmai ar transformacijos yra nukreiptos tik į vieną kintamąjį vienoje lygtyje.
- Randame vieną kintamąjį.
- Rastą kintamąjį pakeičiame viena iš dviejų sistemos lygčių ir randame antrąją.
- Atsakymą rašome taškų koordinačių forma, jei turime kintamuosius $x$ ir $y$.
Tačiau net toks paprastas algoritmas turi savų subtilybių, pavyzdžiui, $x$ arba $y$ koeficientai gali būti trupmenos ir kiti „bjaurūs“ skaičiai. Šiuos atvejus dabar nagrinėsime atskirai, nes juose galite elgtis kiek kitaip nei pagal standartinį algoritmą.
Užduočių su trupmenomis sprendimas
1 pavyzdys
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]
Pirma, atkreipkite dėmesį, kad antroje lygtyje yra trupmenos. Tačiau atminkite, kad 4 USD galite padalyti iš 0,8 USD. Gausime 5 USD. Padauginkime antrąją lygtį iš $5$:
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]
Vieną iš kitos atimame lygtis:
Radome $n$, dabar suskaičiuokime $m$:
Atsakymas: $n=-4;m=5$
2 pavyzdys
' teisingai.\]
Čia, kaip ir ankstesnėje sistemoje, yra trupmeniniai koeficientai, tačiau nė vieno kintamojo koeficientai netelpa vienas į kitą sveikąjį skaičių kartų. Todėl mes naudojame standartinį algoritmą. Atsikratykite $p$:
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]
Mes naudojame atimties metodą:
Raskime $p$ pakeisdami $k$ į antrąją konstrukciją:
Atsakymas: $p=-4;k=-2$.
Sprendimo niuansai
Tai viskas optimizavimas. Pirmoje lygtyje iš viso nedauginome iš nieko, o antrąją lygtį padauginome iš $5$. Dėl to mes gavome nuoseklią ir net identišką pirmojo kintamojo lygtį. Antroje sistemoje laikėmės standartinio algoritmo.
Bet kaip rasti skaičius, iš kurių padauginti lygtis? Juk padauginus iš trupmenų gauname naujų trupmenų. Todėl trupmenas reikia padauginti iš skaičiaus, kuris duotų naują sveikąjį skaičių, o po to kintamuosius reikia padauginti iš koeficientų, vadovaujantis standartiniu algoritmu.
Baigdamas norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į atsakymo įrašymo formatą. Kaip jau sakiau, kadangi čia turime ne $x$ ir $y$, o kitas reikšmes, naudojame nestandartinį formos žymėjimą:
Sudėtingų lygčių sistemų sprendimas
Kaip paskutinė pastaba apie šiandienos vaizdo įrašą, pažvelkime į keletą tikrai sudėtingų sistemų. Jų sudėtingumas bus tas, kad jie turės kintamuosius ir kairėje, ir dešinėje. Todėl norėdami juos išspręsti, turėsime taikyti išankstinį apdorojimą.
Sistema Nr.1
\[\left\(\begin(lygiuoti)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end (lygiuoti) \right.\]
Kiekviena lygtis turi tam tikrą sudėtingumą. Todėl kiekvieną išraišką traktuokime kaip su įprasta tiesine konstrukcija.
Iš viso gauname galutinę sistemą, kuri yra lygiavertė pradinei:
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]
Pažiūrėkime į $y$ koeficientus: $3$ du kartus telpa į $6$, todėl pirmąją lygtį padauginkime iš $2$:
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]
$y$ koeficientai dabar yra lygūs, todėl iš pirmosios lygties atimame antrąją: $$
Dabar suraskime $y$:
Atsakymas: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
Sistema Nr.2
\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(lygiuoti) \right.\]
Paverskime pirmąją išraišką:
Panagrinėkime antrąjį:
\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Iš viso mūsų pradinė sistema bus tokia:
\[\left\( \begin(lygiuoti)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]
Žvelgdami į $a$ koeficientus matome, kad pirmąją lygtį reikia padauginti iš $2$:
\[\left\( \begin(lygiuoti)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]
Iš pirmosios konstrukcijos atimkite antrąją:
Dabar suraskime $a$:
Atsakymas: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Tai viskas. Tikiuosi, kad šis vaizdo įrašas padės suprasti šią sudėtingą temą, būtent paprastų tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Ateityje bus daug daugiau pamokų šia tema: pažvelgsime į sudėtingesnius pavyzdžius, kur bus daugiau kintamųjų, o pačios lygtys bus netiesinės. Iki pasimatymo!
