Kas yra integracija dalimis? Norėdami įvaldyti tokio tipo integraciją, pirmiausia prisiminkime produkto išvestį:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Kyla klausimas: ką su tuo turi integralai? Dabar integruokime abi šios lygties puses. Taigi užsirašykime:

$\int(((\left(f\cdot g \right)))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Bet kas yra insulto antidarinys? Tai tik pati funkcija, kuri yra smūgio viduje. Taigi užsirašykime:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Šioje lygtyje siūlau išreikšti terminą. Turime:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Štai viskas integravimas pagal dalių formulę. Taigi, mes iš esmės keičiame išvestinę ir funkciją. Jei iš pradžių turėjome insulto integralą, padaugintą iš kažko, tada gauname naujo kažko integralą, padaugintą iš insulto. Tai visa taisyklė. Iš pirmo žvilgsnio ši formulė gali atrodyti sudėtinga ir beprasmė, tačiau iš tikrųjų ji gali labai supaprastinti skaičiavimus. Dabar pažiūrėkime.

Integralų skaičiavimų pavyzdžiai

1 uždavinys. Apskaičiuokite:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Perrašykime išraišką prieš logaritmą pridėdami 1:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Turime teisę tai padaryti, nes nei numeris, nei funkcija nesikeis. Dabar palyginkime šią išraišką su tuo, kas parašyta formulėje. $(f)"$ vaidmuo yra 1, todėl rašome:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(lygiuoti)$

Visos šios funkcijos pateiktos lentelėse. Dabar, kai aprašėme visus elementus, įtrauktus į mūsų išraišką, perrašysime šį integralą naudodami integravimo dalimis formulę:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d) )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ pabaiga (lygiuoti)\]

Štai ir viskas, integralas rastas.

2 uždavinys. Apskaičiuokite:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Jei imsime $x$ kaip išvestinę, iš kurios dabar turime rasti antidarinį, gausime $((x)^(2))$, o galutinėje išraiškoje bus $((x)^(2) )( (\tekstas(e))^(-x))$.

Akivaizdu, kad problema nėra supaprastinta, todėl veiksnius sukeičiame integralo ženklu:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Dabar pristatykime žymėjimą:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\tekstas(e))^(-x))$

Atskirkime $((\text(e))^(-x))$:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ left(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Kitaip tariant, pirmiausia pridedamas minusas, o tada integruojamos abi pusės:

\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\RightArrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(-) x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(lygiuoti)\]

Dabar pažiūrėkime į $g$ funkciją:

$g=x\rodyklė dešinėn (g)"=1$

Apskaičiuojame integralą:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\tekstas(e))^(-x))+\int(((\tekstas(e))^(-x))\,\tekstas(d)x)=-x( (\tekstas(e))^(-x))-((\tekstas(e))^(-x))+C=-((\tekstas(e))^(-x))\left(x) +1 \dešinėn)+C \\\end(lygiuoti)$

Taigi, atlikome antrąjį integravimą dalimis.

3 uždavinys. Apskaičiuokite:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Šiuo atveju ką turėtume imti $(f)"$ ir ką $g$? Jei $x$ veikia kaip išvestinė, tai integravimo metu gausime $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, o pirmasis veiksnys niekur nedings - bus $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Todėl sukeiskime faktorius dar kartą:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ end(lygiuoti)$

Perrašome pradinę išraišką ir išplečiame ją dalimis pagal integravimo formulę:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(lygiuoti)\]

Tai štai, trečia problema išspręsta.

Apibendrinant, pažvelkime dar kartą integravimas pagal dalių formulę. Kaip atrenkame, kuris veiksnys bus išvestinė, o kuris – tikroji funkcija? Čia yra tik vienas kriterijus: elementas, kurį išskirsime, turi arba suteikti „gražią“ išraišką, kuri vėliau bus sumažinta, arba diferenciacijos metu visai išnykti. Tuo pamoka baigiama.

Integravimas dalimis. Sprendimų pavyzdžiai

Sveiki dar kartą. Šiandien pamokoje išmoksime integruoti dalimis. Integravimo dalimis metodas yra vienas iš integralinio skaičiavimo kertinių akmenų. Per kontrolinius ar egzaminus studentų beveik visada prašoma išspręsti šių tipų integralus: paprasčiausias integralas (žr. straipsnį) arba integralas pakeičiant kintamąjį (žr. straipsnį) arba integralas tiesiog įjungtas integravimas dalių metodu.

Kaip visada, po ranka turėtumėte turėti: Integralų lentelė Ir Išvestinių priemonių lentelė. Jei vis dar jų neturite, apsilankykite mano svetainės saugykloje: Matematinės formulės ir lentelės. Nepavargsiu kartoti – geriau viską atsispausdinti. Stengsiuosi visą medžiagą pateikti nuosekliai, paprastai ir aiškiai, nėra jokių ypatingų sunkumų integruojant dalis.

Kokią problemą išsprendžia integravimo dalimis metodas? Integravimo dalimis metodas išsprendžia labai svarbią problemą, leidžia integruoti kai kurias funkcijas, kurių nėra lentelėje; dirbti funkcijos, o kai kuriais atvejais – net koeficientai. Kaip prisimename, nėra patogios formulės: . Bet yra toks: – dalių integravimo asmeniškai formulė. Žinau, žinau, tu vienintelis – dirbsime su ja per visą pamoką (dabar lengviau).

Ir iškart sąrašas siunčiamas į studiją. Šių tipų integralai paimami dalimis:

1) , , – logaritmas, logaritmas, padaugintas iš kokio nors daugianario.

2) ,yra eksponentinė funkcija, padauginta iš kokio nors daugianario. Tai taip pat apima integralus, tokius kaip - eksponentinė funkcija, padauginta iš daugianario, tačiau praktiškai tai yra 97 procentai, po integralu yra graži raidė „e“. ... straipsnis pasirodo kiek lyriškas, o taip ... atėjo pavasaris.

3) , , yra trigonometrinės funkcijos, padaugintos iš kurio nors daugianario.

4) , – atvirkštinės trigonometrinės funkcijos („arkos“), „arkos“, padaugintos iš kokio nors daugianario.

Kai kurios trupmenos taip pat paimtos dalimis, taip pat išsamiai apsvarstysime atitinkamus pavyzdžius.

Logaritmų integralai

1 pavyzdys

Klasika. Retkarčiais šį integralą galima rasti lentelėse, tačiau nepatartina naudoti paruošto atsakymo, nes mokytojas turi pavasarinį vitaminų trūkumą ir smarkiai keiks. Kadangi nagrinėjamas integralas jokiu būdu nėra lentelės formos – jis paimtas dalimis. Mes nusprendžiame:

Pertraukiame sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų.

Mes naudojame integravimo pagal dalis formulę:

Formulė taikoma iš kairės į dešinę

Mes žiūrime į kairę pusę: . Akivaizdu, kad mūsų pavyzdyje (ir visuose kituose, kuriuos svarstysime) kažkas turi būti nurodyta kaip , o kažkas - kaip .

Nagrinėjamo tipo integraluose logaritmas visada žymimas.

Techniškai sprendimo dizainas yra įgyvendintas taip stulpelyje:

Tai yra, mes pažymėjome logaritmą ir - likusieji integrando išraiška.

Kitas etapas: raskite skirtumą:

Diferencialas yra beveik tas pats, kas išvestinė, kaip jį rasti, jau aptarėme ankstesnėse pamokose.

Dabar randame funkciją. Norėdami rasti funkciją, turite ją integruoti dešinėje pusėje mažesnė lygybė:

Dabar atidarome savo sprendimą ir sukuriame dešinę formulės pusę: .
Beje, čia yra galutinio sprendimo pavyzdys su kai kuriomis pastabomis:

Vienintelis dalykas darbe yra tas, kad aš iš karto sukeičiau ir , nes įprasta koeficientą rašyti prieš logaritmą.

Kaip matote, integravimo pagal dalis formulės taikymas iš esmės sumažino mūsų sprendimą iki dviejų paprastų integralų.

Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriais atvejais iš karto po Taikant formulę, supaprastinimas būtinai atliekamas pagal likusį integralą - nagrinėjamame pavyzdyje integrandą sumažinome iki „x“.

Patikrinkim. Norėdami tai padaryti, turite paimti atsakymo išvestinę:

Gauta originali integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas išspręstas teisingai.

Bandymo metu naudojome produktų diferenciacijos taisyklę: . Ir tai nėra atsitiktinumas.

Integravimo pagal dalis formulė ir formulė – tai dvi tarpusavyje atvirkštinės taisyklės.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integrandas yra logaritmo ir daugianario sandauga.
Nuspręskime.

Ateityje dar kartą išsamiai aprašysiu taisyklės taikymo tvarką, pavyzdžiai bus pateikti trumpiau, o jei kyla sunkumų sprendžiant savarankiškai, reikia grįžti prie pirmų dviejų pamokos pavyzdžių; .

Kaip jau minėta, reikia pažymėti logaritmą (tai, kad tai laipsnis, nesvarbu). Mes žymime pagal likusieji integrando išraiška.

Stulpelyje rašome:

Pirmiausia randame skirtumą:

Čia mes naudojame sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę . Neatsitiktinai pačioje pirmoje temos pamokoje Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai Aš sutelkiau dėmesį į tai, kad norint įvaldyti integralus, reikia „paimti į rankas“ išvestines. Su išvestinėmis priemonėmis teks susidurti ne kartą.

Dabar randame funkciją, kurią integruojame dešinėje pusėje mažesnė lygybė:

Integravimui naudojome paprasčiausią lentelės formulę

Dabar viskas paruošta taikyti formulę . Atidarykite su žvaigždute ir „sukonstruokite“ sprendimą pagal dešinę pusę:

Pagal integralą vėl turime logaritmo daugianarį! Todėl sprendimas vėl nutraukiamas ir integravimo dalimis taisyklė taikoma antrą kartą. Nepamirškite, kad panašiose situacijose logaritmas visada žymimas.

Būtų gerai, jei iki šiol žinotumėte, kaip žodžiu rasti paprasčiausius integralus ir išvestinius.

(1) Nesusipainiokite dėl ženklų! Labai dažnai čia prarandamas minusas, taip pat atkreipkite dėmesį, kad minusas nurodo visiems laikiklis , ir šiuos skliaustus reikia teisingai išplėsti.

(2) Atidarykite laikiklius. Supaprastiname paskutinį integralą.

(3) Imame paskutinį integralą.

(4) „Sušukuoti“ atsakymą.

Poreikis taikyti integravimo dalimis taisyklę du kartus (ar net tris kartus) iškyla ne itin retai.

O dabar keli jūsų sprendimo pavyzdžiai:

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Šis pavyzdys išspręstas pakeitus kintamąjį (arba pakeičiant jį diferencialiniu ženklu)! Kodėl gi ne – galite pabandyti imti dalimis, pasirodys juokinga.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tačiau šis integralas yra integruotas dalimis (žadėtoji trupmena).

Tai pavyzdžiai, kuriuos galite spręsti patys, sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Atrodo, kad 3 ir 4 pavyzdžiuose integrandai yra panašūs, tačiau sprendimo būdai skiriasi! Tai yra pagrindinis integralų įsisavinimo sunkumas - jei pasirinksite netinkamą integralo sprendimo metodą, galite su juo valytis valandas, kaip su tikru galvosūkiu. Todėl kuo daugiau spręsite įvairių integralų, tuo geriau, tuo lengvesnis bus testas ir egzaminas. Be to, antrame kurse bus diferencialinės lygtys, o be integralų ir išvestinių sprendimo patirties ten nėra ką veikti.

Kalbant apie logaritmus, tai tikriausiai yra daugiau nei pakankamai. Be to, aš taip pat galiu prisiminti, kad inžinerijos studentai naudoja logaritmus vadindami moterų krūtis =). Beje, pravartu mintinai žinoti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus: sinuso, kosinuso, arctangento, eksponento, trečiojo, ketvirto laipsnio daugianario ir kt. Ne, žinoma, prezervatyvas pasaulyje
Neištempsiu, bet dabar daug ką prisiminsite iš skyriaus Grafikai ir funkcijos =).

Rodiklio integralai, padauginti iš daugianario

Bendra taisyklė:

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Naudodami pažįstamą algoritmą integruojame dalimis:

Jei kyla sunkumų dėl integralo, turėtumėte grįžti prie straipsnio Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Vienintelis kitas dalykas, kurį galite padaryti, tai pakoreguoti atsakymą:

Bet jei jūsų skaičiavimo technika nėra labai gera, pelningiausias pasirinkimas yra palikti jį kaip atsakymą ar net

Tai yra, pavyzdys laikomas išspręstu, kai imamas paskutinis integralas. Tai nebus klaida, kitas dalykas, kad mokytojas gali paprašyti supaprastinti atsakymą.

6 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Šis integralas integruojamas du kartus dalimis. Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas ženklams - juose lengva susipainioti, taip pat prisimename, kad tai sudėtinga funkcija.

Daugiau apie parodos dalyvį nėra ką pasakyti. Galiu tik pridurti, kad eksponentinis ir natūralusis logaritmas yra viena kitai atvirkštinės funkcijos, tai aš apie linksmus aukštosios matematikos grafikus =) Sustok, sustok, nesijaudink, dėstytojas blaivus.

Trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Bendra taisyklė: nes visada reiškia daugianarį

7 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integruokime dalimis:

Hmm...ir nėra ką komentuoti.

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra pavyzdys, kurį galite išspręsti patys

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Kitas pavyzdys su trupmena. Kaip ir dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose, for reiškia daugianarį.

Integruokime dalimis:

Jei kyla sunkumų ar nesusipratimų ieškant integralo, rekomenduoju apsilankyti pamokoje Trigonometrinių funkcijų integralai.

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Patarimas: prieš naudodami integravimo dalimis metodą, turėtumėte naudoti kokią nors trigonometrinę formulę, kuri dviejų trigonometrinių funkcijų sandaugą paverčia viena funkcija. Formulė gali būti naudojama ir taikant integravimo dalimis metodą, kuris jums patogesnis.

Tikriausiai viskas šioje pastraipoje. Kažkodėl prisiminiau eilutę iš fizikos ir matematikos himno „Ir sinuso grafikas eina banga po bangos išilgai abscisių ašies“...

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai.
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Bendra taisyklė: visada žymi atvirkštinę trigonometrinę funkciją.

Leiskite jums priminti, kad atvirkštinės trigonometrinės funkcijos apima arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Dėl įrašo trumpumo aš juos pavadinsiu „arkomis“

Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai

Sveiki dar kartą. Šioje pamokoje mes išsamiai išnagrinėsime tokį nuostabų dalyką kaip apibrėžtas integralas. Šį kartą įžanga bus trumpa. Visi. Nes už lango siaučia pūga.

Norėdami išmokti išspręsti apibrėžtuosius integralus, turite:

1) Sugebėti rasti neapibrėžtieji integralai.

2) Galėti apskaičiuoti apibrėžtasis integralas.

Kaip matote, norint įvaldyti apibrėžtąjį integralą, reikia gana gerai suprasti „įprastus“ neapibrėžtus integralus. Todėl, jei tik pradedate nerti į integralinį skaičiavimą, o virdulys dar visiškai neužvirė, geriau pradėti nuo pamokos Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Be to, yra pdf kursai itin greitas paruošimas- jei tiesiogine prasme turite dieną, liko pusė dienos.

Bendrąja forma apibrėžtasis integralas rašomas taip:

Kas pridedama lyginant su neapibrėžtu integralu? Daugiau integracijos ribos.

Apatinė integracijos riba
Viršutinė integracijos riba standartiškai žymimas raide .
Segmentas vadinamas integracijos segmentas.

Prieš pereinant prie praktinių pavyzdžių, trumpas DUK apie apibrėžtąjį integralą.

Ką reiškia išspręsti apibrėžtąjį integralą? Išspręsti apibrėžtąjį integralą reiškia rasti skaičių.

Kaip išspręsti apibrėžtąjį integralą? Naudodami iš mokyklos žinomą Niutono-Leibnizo formulę:

Geriau perrašyti formulę ant atskiro popieriaus lapo, kuris visos pamokos metu turi būti prieš akis.

Apibrėžto integralo sprendimo veiksmai yra tokie:

1) Pirmiausia randame antiderivatinę funkciją (neapibrėžtą integralą). Atkreipkite dėmesį, kad konstanta apibrėžtajame integrale nepridėta. Pavadinimas yra grynai techninis, o vertikali lazda neturi jokios matematinės reikšmės, tai tik žymėjimas. Kam reikalingas pats įrašas? Pasiruošimas taikyti Niutono-Leibnizo formulę.

2) Viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antiderivatine funkcija: .

3) Apatinės ribos reikšmę pakeiskite antiderivatine funkcija: .

4) Apskaičiuojame (be klaidų!) skirtumą, tai yra randame skaičių.

Ar visada egzistuoja apibrėžtas integralas? Ne, ne visada.

Pavyzdžiui, integralas neegzistuoja, nes integravimo segmentas nėra įtrauktas į integrando sritį (reikšmės po kvadratine šaknimi negali būti neigiamos). Štai ne toks ryškus pavyzdys: . Tokio integralo taip pat nėra, nes atkarpos taškuose nėra liestinės. Beje, kas dar neskaitė mokymo medžiagos? Grafikai ir pagrindinės elementariųjų funkcijų savybės– laikas tai padaryti dabar. Tai bus puiku padėti per aukštosios matematikos kursą.

Už tai tam, kad apibrėžtasis integralas apskritai egzistuotų, pakanka, kad integrandas būtų tolydis integravimo intervale.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia pirmoji svarbi rekomendacija: prieš pradėdami spręsti BET KOKĮ apibrėžtą integralą, turite įsitikinti, kad integrandas veikia yra nuolatinis integracijos intervale. Kai buvau studentas, ne kartą turėjau atvejį, kai ilgai vargau ieškodamas sunkaus antidarinio, o kai pagaliau jį radau, sukau galvą dėl kito klausimo: „Kokia tai nesąmonė pasirodė ?” Supaprastintoje versijoje situacija atrodo maždaug taip:

???! Negalite pakeisti neigiamų skaičių po šaknimi! kas tai per velnias?! Pradinis neatidumas.

Jei sprendiniui (teste, teste, egzamine) jums siūlomas neegzistuojantis integralas kaip , tuomet reikia atsakyti, kad integralas neegzistuoja ir pagrįsti kodėl.

Ar apibrėžtasis integralas gali būti lygus neigiamam skaičiui? Galbūt. Ir neigiamas skaičius. Ir nulis. Gali net pasirodyti, kad tai begalybė, bet taip jau bus netinkamas integralas, kurioms skaitoma atskira paskaita.

Ar apatinė integracijos riba gali būti didesnė už viršutinę integracijos ribą? Galbūt tokia situacija iš tikrųjų pasitaiko praktikoje.

– integralą galima nesunkiai apskaičiuoti naudojant Niutono-Leibnizo formulę.

Kuo būtina aukštoji matematika? Žinoma, be visokių savybių. Todėl panagrinėkime kai kurias apibrėžtojo integralo savybes.

Tam tikru integralu galite pertvarkyti viršutinę ir apatinę ribas, pakeisdami ženklą:

Pavyzdžiui, apibrėžtame integrale, prieš integruojant, patartina pakeisti integravimo ribas į „įprastą“ tvarką:

– tokia forma daug patogiau integruoti.

– tai galioja ne tik dviem, bet ir bet kokiam skaičiui funkcijų.

Tam tikru integralu galima atlikti integravimo kintamojo pakeitimas, tačiau, palyginti su neapibrėžtuoju integralu, tai turi savo specifiką, apie kurią pakalbėsime vėliau.

Apibrėžtam integralui galioja tai: integravimas pagal dalių formulę:

1 pavyzdys

Sprendimas:

(1) Konstantą išimame iš integralo ženklo.

(2) Integruokite per lentelę naudodami populiariausią formulę . Patartina atskirti atsirandančią konstantą nuo ir įdėti ją už skliausto. To daryti nebūtina, bet patartina – kam reikalingi papildomi skaičiavimai?

. Pirmiausia pakeičiame viršutinę ribą, tada apatinę. Atliekame tolesnius skaičiavimus ir gauname galutinį atsakymą.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Šiek tiek apsunkinkime užduotį:

3 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Sprendimas:

(1) Mes naudojame apibrėžtojo integralo tiesiškumo savybes.

(2) Integruojame pagal lentelę, išimdami visas konstantas – jos nedalyvaus keičiant viršutines ir apatines ribas.

(3) Kiekvienam iš trijų terminų taikome Niutono-Leibnizo formulę:

SILPNOJI RYŠYS apibrėžtajame integrale yra skaičiavimo klaidos ir įprastas ŽENKLŲ PAINIMAS. Būkite atsargūs! Ypatingą dėmesį skiriu trečiajam terminui: – pirmoji vieta klaidų parade dėl neatidumo, labai dažnai jos rašo automatiškai (ypač kai viršutinės ir apatinės ribos pakeičiamos žodžiu ir nėra taip detaliai surašyta). Dar kartą atidžiai išstudijuokite aukščiau pateiktą pavyzdį.

Pažymėtina, kad svarstomas apibrėžtojo integralo sprendimo būdas nėra vienintelis. Turint tam tikrą patirtį, sprendimas gali būti žymiai sumažintas. Pavyzdžiui, aš pats įpratęs spręsti tokius integralus:

Čia aš žodžiu naudojau tiesiškumo taisykles ir žodžiu integravau naudodamas lentelę. Gavau tik vieną skliaustą su pažymėtomis ribomis: (skirtingai nuo trijų skliaustų pagal pirmąjį metodą). O į „visą“ antiderivatinę funkciją iš pradžių pakeičiau 4, paskui –2, vėl atlikdamas visus veiksmus mintyse.

Kokie yra trumpojo sprendimo trūkumai? Viskas čia nėra labai gerai skaičiavimų racionalumo požiūriu, bet man asmeniškai tai nerūpi - aš skaičiuoju paprastas trupmenas skaičiuotuvu.
Be to, padidėja rizika suklysti skaičiavimuose, todėl arbatos mokiniui geriau naudoti „mano“ sprendimo būdą, ženklas tikrai kažkur pasimes.

Tačiau neabejotini antrojo metodo privalumai yra sprendimo greitis, žymėjimo kompaktiškumas ir tai, kad antidarinys yra viename skliaustelyje.

Patarimas: prieš naudojant Niutono-Leibnizo formulę, pravartu pasitikrinti: ar teisingai rastas pats antidarinys?

Taigi, kalbant apie nagrinėjamą pavyzdį: prieš pakeičiant viršutinę ir apatinę ribas į antiderivatinę funkciją, patartina juodraštyje patikrinti, ar teisingai rastas neapibrėžtas integralas? Išskirkime:

Gauta pirminė integrando funkcija, o tai reiškia, kad neapibrėžtasis integralas buvo rastas teisingai. Dabar galime pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę.

Toks patikrinimas nebus nereikalingas skaičiuojant bet kokį apibrėžtą integralą.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Tai yra pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pabandykite tai išspręsti trumpai ir išsamiai.

Kintamojo keitimas apibrėžtajame integrale

Apibrėžtajam integralui visų tipų pakaitalai galioja kaip ir neapibrėžtam integralui. Taigi, jei jums nelabai sekasi keistis, turėtumėte atidžiai perskaityti pamoką Pakeitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Šioje pastraipoje nėra nieko baisaus ar sunkaus. Naujovė slypi klausime kaip pakeisti integracijos ribas.

Pavyzdžiuose pabandysiu pateikti pakaitalų tipus, kurių dar niekur svetainėje nerasta.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Pagrindinis klausimas čia yra ne konkretus integralas, o kaip teisingai atlikti pakeitimą. Pažiūrėkime integralų lentelė ir išsiaiškinti, kaip mūsų integrando funkcija atrodo labiausiai? Akivaizdu, kad ilgam logaritmui: . Tačiau yra vienas neatitikimas, lentelės integralas po šaknimi, o mūsų - „x“ iki ketvirtosios laipsnio. Pakeitimo idėja taip pat išplaukia iš samprotavimo - būtų malonu kažkaip paversti mūsų ketvirtąją galią kvadratu. Tai tikra.

Pirmiausia paruošiame savo integralą pakeitimui:

Atsižvelgiant į tai, kas išdėstyta pirmiau, visiškai natūraliai atsiranda pakeitimas:
Taigi vardiklyje viskas bus gerai: .
Sužinome, į ką pavirs likusi integrando dalis, tam randame skirtumą:

Palyginti su pakeitimu neapibrėžtame integrale, pridedame papildomą žingsnį.

Naujų integracijos ribų radimas.

Tai gana paprasta. Pažvelkime į mūsų pakeitimą ir senas integracijos ribas, .

Pirma, apatinę integracijos ribą, ty nulį, pakeičiame pakeitimo išraiška:

Tada pakaitine išraiška pakeičiame viršutinę integravimo ribą, ty trijų šaknį:

Paruošta. Ir tiesiog...

Tęskime sprendimą.

(1) Pagal pakeitimą parašyti naują integralą su naujomis integravimo ribomis.

(2) Tai yra paprasčiausias lentelės integralas, integruojame per lentelę. Konstantą geriau palikti skliausteliuose (to daryti nereikia), kad tai netrukdytų tolesniems skaičiavimams. Dešinėje nubrėžiame liniją, nurodančią naujas integracijos ribas – tai pasiruošimas taikyti Niutono-Leibnizo formulę.

(3) Mes naudojame Niutono-Leibnizo formulę .

Atsakymą stengiamės parašyti kuo kompaktiškesniu pavidalu, čia panaudojau logaritmų savybes.

Kitas skirtumas nuo neapibrėžto integralo yra tas, kad atlikus pakeitimą, nereikia atlikti jokių atvirkštinių keitimų.

O dabar pora pavyzdžių, kad nuspręstumėte patys. Kokius pakaitalus daryti – pabandykite atspėti patys.

6 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

7 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Tai yra pavyzdžiai, kuriuos galite nuspręsti patys. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Ir pastraipos pabaigoje pora svarbių punktų, kurių analizė pasirodė svetainės lankytojų dėka. Pirmasis susijęs su pakeitimo teisėtumas. Kai kuriais atvejais tai neįmanoma! Taigi, atrodo, 6 pavyzdį galima išspręsti naudojant universalus trigonometrinis pakeitimas tačiau viršutinė integracijos riba („pi“) neįtraukti į apibrėžimo sritisši liestinė ir todėl šis pakeitimas yra neteisėtas! Taigi, „pakeitimo“ funkcija turi būti nuolatinė iš viso integracijos segmento taškai.

Kitame el. laiške buvo gautas toks klausimas: „Ar reikia pakeisti integravimo ribas, kai funkciją įtraukiame po diferencialo ženklu? Iš pradžių norėjau „atmesti nesąmonę“ ir automatiškai atsakyti „žinoma ne“, bet paskui pagalvojau apie tokio klausimo priežastį ir staiga supratau, kad informacijos nėra neužtenka. Tačiau tai, nors ir akivaizdu, labai svarbu:

Jei funkciją įtrauksime į diferencialinį ženklą, tada nereikia keisti integravimo ribų! Kodėl? Kadangi šiuo atveju nėra faktinio perėjimo prie naujo kintamojo. Pavyzdžiui:

Ir čia sumavimas yra daug patogesnis nei akademinis pakeitimas vėlesniu naujų integracijos ribų „piešimu“. Taigi, jei apibrėžtasis integralas nėra labai sudėtingas, visada stenkitės funkciją sudėti po diferencialiniu ženklu! Tai greitesnė, kompaktiškesnė ir įprasta – kaip matysite dešimtis kartų!

Labai ačiū už jūsų laiškus!

Integravimo dalimis į apibrėžtąjį integralą metodas

Čia dar mažiau naujovių. Visi straipsnio skaičiavimai Integravimas dalimis neapibrėžtajame integralu visiškai galioja apibrėžtajam integralui.
Integravimo pagal dalis formulėje yra tik viena detalė, pridedamos integravimo ribos:

Niutono-Leibnizo formulė čia turi būti taikoma du kartus: produktui ir po to, kai imame integralą.

Pavyzdžiui, aš vėl pasirinkau integralo tipą, kurio dar niekur svetainėje nerasta. Pavyzdys nėra pats paprasčiausias, bet labai labai informatyvus.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Nuspręskime.

Integruokime dalimis:

Kas turi sunkumų su integralu, pažiūrėkite į pamoką Trigonometrinių funkcijų integralai, ten išsamiai aptariama.

(1) Rašome sprendimą pagal integravimo dalimis formulę.

(2) Produktui taikome Niutono-Leibnizo formulę. Likusiam integralui naudojame tiesiškumo savybes, padalindami jį į du integralus. Nesusipainiokite dėl ženklų!

(4) Mes taikome Niutono-Leibnizo formulę dviem rastiems antidariniams.

Jei atvirai, man nepatinka formulė. ir, jei įmanoma, ... aš išvis be jo! Apsvarstykime antrąjį sprendimą, mano požiūriu, jis yra racionalesnis.

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Pirmajame etape randu neapibrėžtą integralą:

Integruokime dalimis:

Buvo nustatyta antiderivatinė funkcija. Šiuo atveju nėra prasmės pridėti konstantą.

Koks tokio žygio pranašumas? Nereikia „nešioti“ integracijos ribų, gali būti varginantis keliolika kartų užrašyti mažus integracijos ribų simbolius

Antrame etape aš patikrinu(dažniausiai juodraštyje).

Taip pat logiška. Jei neteisingai radau antideriatyvinę funkciją, tai apibrėžtąjį integralą išspręsiu neteisingai. Geriau iš karto sužinoti, skirkime atsakymą:

Gauta pirminė integrando funkcija, o tai reiškia, kad antiderivatinė funkcija buvo rasta teisingai.

Trečiasis etapas – Niutono-Leibnizo formulės taikymas:

Ir čia yra didelė nauda! Taikant „mano“ sprendimo metodą, yra daug mažesnė rizika susipainioti keičiant ir skaičiuojant – Niutono-Leibnizo formulė taikoma tik vieną kartą. Jei arbatinukas išsprendžia panašų integralą naudodamas formulę (pirmu būdu), tada jis tikrai kur nors suklys.

Nagrinėjamas sprendimo algoritmas gali būti taikomas bet kuriam apibrėžtajam integralui.

Gerbiamas studente, atsispausdinkite ir išsaugokite:

Ką daryti, jei jums duotas apibrėžtas integralas, kuris atrodo sudėtingas arba iš karto neaišku, kaip jį išspręsti?

1) Pirmiausia randame neapibrėžtą integralą (antiderivatinę funkciją). Jei pirmame etape kilo tėkmė, nėra prasmės toliau siūbuoti laivą su Newtonu ir Leibnizu. Yra tik vienas būdas – padidinti savo žinių ir įgūdžių lygį sprendžiant neapibrėžtieji integralai.

2) Patikriname rastą antiderivatinę funkciją diferencijuodami. Jei jis bus rastas neteisingai, trečias žingsnis bus laiko švaistymas.

3) Mes naudojame Niutono-Leibnizo formulę. Visus skaičiavimus atliekame YPAČ ATSARGIAI – tai silpniausia užduoties grandis.

Ir užkandžiui – neatsiejama savarankiško sprendimo dalis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Sprendimas ir atsakymas yra kažkur netoliese.

Kita rekomenduojama pamoka šia tema yra Kaip apskaičiuoti figūros plotą naudojant apibrėžtąjį integralą?
Integruokime dalimis:

Ar esate tikri, kad juos išsprendėte ir gavote tuos pačius atsakymus? ;-) Ir pornografija senai moteriai.

Anksčiau, atsižvelgdami į tam tikrą funkciją, vadovaudamiesi įvairiomis formulėmis ir taisyklėmis, mes radome jos išvestinę. Darinys turi daugybę panaudojimo būdų: tai judėjimo greitis (arba, apskritai, bet kokio proceso greitis); funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas; naudodami išvestinę funkciją galite ištirti monotoniškumą ir ekstremalumą; tai padeda išspręsti optimizavimo problemas.

Tačiau kartu su greičio nustatymo pagal žinomą judėjimo dėsnį problema yra ir atvirkštinė problema – judėjimo dėsnio atkūrimo pagal žinomą greitį problema. Panagrinėkime vieną iš šių problemų.

1 pavyzdys. Materialus taškas juda tiesia linija, jo greitis momentu t apibrėžiamas formule v=gt. Raskite judėjimo dėsnį.
Sprendimas. Tegu s = s(t) yra norimas judėjimo dėsnis. Yra žinoma, kad s"(t) = v(t). Tai reiškia, kad uždaviniui išspręsti reikia pasirinkti funkciją s = s(t), kurios išvestinė lygi gt. Atspėti nesunku kad \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Atsakymas: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad pavyzdys išspręstas teisingai, bet nepilnai. Gavome \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Tiesą sakant, problema turi be galo daug sprendimų: bet kuri formos \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ funkcija, kur C yra savavališka konstanta, gali būti naudojamas kaip judesys, nes \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Kad problema būtų konkretesnė, turėjome pataisyti pradinę situaciją: nurodyti judančio taško koordinatę tam tikru momentu, pavyzdžiui, t = 0. Jei, tarkime, s(0) = s 0, tada nuo lygybę s(t) = (gt 2)/2 + C gauname: s(0) = 0 + C, t.y. C = s 0. Dabar judėjimo dėsnis yra vienareikšmiškai apibrėžtas: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matematikoje tarpusavyje atvirkštiniai veiksmai suteikiami skirtingais pavadinimais, sugalvojami specialūs žymėjimai, pavyzdžiui: kvadratas (x 2) ir kvadratinė šaknis (\(\sqrt(x)\)), sinusas (sin x) ir arcsinusas (arcsin x) ir tt Duotos funkcijos išvestinės paieškos procesas vadinamas diferenciacija, o atvirkštinė operacija, t.y. funkcijos suradimo iš tam tikros išvestinės procesas, yra integracija.

Pats terminas „išvestinė“ gali būti pateisinamas „kasdieniškai“: funkcija y = f(x) „gimdo“ naują funkciją y“ = f“(x). Funkcija y = f(x) veikia taip, lyg ji būtų „tėvinė“, bet matematikai jos, žinoma, nevadina „tėvu“ ar „gamintoja“, atsižvelgiant į funkciją y“ = f"(x) , pagrindinis vaizdas arba primityvus.

Apibrėžimas. Funkcija y = F(x) vadinama funkcijos y = f(x) išvestine intervale X, jei lygybė F"(x) = f(x) galioja \(x \in X\)

Praktikoje intervalas X paprastai nenurodomas, o numanomas (kaip natūrali funkcijos apibrėžimo sritis).

Pateikime pavyzdžių.
1) Funkcija y = x 2 yra funkcijos y = 2x priešišvestinė, nes bet kuriai x lygybė (x 2)" = 2x yra teisinga
2) Funkcija y = x 3 yra funkcijos y = 3x 2 priešišvestinė, nes bet kuriai x lygybė (x 3)" = 3x 2 yra teisinga
3) Funkcija y = sin(x) yra funkcijos y = cos(x) išvestinė, nes bet kurios x lygybė (sin(x))" = cos(x) yra teisinga

Ieškant antidarinių, kaip ir darinių, naudojamos ne tik formulės, bet ir kai kurios taisyklės. Jos yra tiesiogiai susijusios su atitinkamomis išvestinių finansinių priemonių apskaičiavimo taisyklėmis.

Žinome, kad sumos išvestinė yra lygi jos išvestinių sumai. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

1 taisyklė. Sumos antidarinė lygi antidarinių sumai.

Žinome, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

2 taisyklė. Jei F(x) yra f(x) antidarinys, tai kF(x) yra kf(x) antidarinys.

1 teorema. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcijos y = f(kx + m) antidarinė yra funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

2 teorema. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė intervale X, tai funkcija y = f(x) turi be galo daug antidarinių, ir jie visi turi formą y = F(x) + C.

Integravimo metodai

Kintamasis pakeitimo metodas (pakeitimo metodas)

Integravimo pakeitimu metodas apima naujo integravimo kintamojo (ty pakeitimo) įvedimą. Šiuo atveju duotas integralas redukuojamas į naują integralą, kuris yra lentelės pavidalu arba redukuojamas į jį. Bendrųjų pakaitalų pasirinkimo metodų nėra. Gebėjimas teisingai nustatyti pakeitimą įgyjamas praktikuojant.
Tegu reikia apskaičiuoti integralą \(\textstyle \int F(x)dx \). Padarykime pakeitimą \(x= \varphi(t) \), kur \(\varphi(t) \) yra funkcija, turinti ištisinę išvestinę.
Tada \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ir remdamiesi neapibrėžto integralo integravimo formulės nekintamumu, pakeitimu gauname integravimo formulę:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Formos \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) išraiškų integravimas

Jei m nelyginis, m > 0, tai patogiau pakeisti sin x = t.
Jei n nelyginis, n > 0, tai patogiau atlikti pakeitimą cos x = t.
Jei n ir m yra lyginiai, tai patogiau pakeisti tg x = t.

Integravimas dalimis

Integravimas dalimis – taikant šią integravimo formulę:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
arba:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Kai kurių funkcijų neapibrėžtųjų integralų (antidarinių) lentelė

Integravimas dalimis– metodas, naudojamas apibrėžtiesiems ir neapibrėžtiesiems integralams spręsti, kai vienas iš integrandų yra lengvai integruojamas, o kitas – diferencijuotas. Gana paplitęs metodas ieškant integralų, tiek neapibrėžtų, tiek apibrėžtų. Pagrindinis ženklas, kai jį reikia naudoti, yra tam tikra funkcija, susidedanti iš dviejų funkcijų, kurių negalima integruoti taške, sandauga.

Formulė

Norint sėkmingai naudoti šį metodą, reikia suprasti ir išmokti formules.

Neapibrėžtinio integralo integravimo dalimis formulė:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Integravimo dalimis į apibrėžtąjį integralą formulė:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Sprendimų pavyzdžiai

Praktiškai panagrinėkime integravimo dalimis sprendimų, kuriuos dažnai siūlo mokytojai testų metu, pavyzdžius. Atkreipkite dėmesį, kad po integralo simboliu yra dviejų funkcijų sandauga. Tai ženklas, kad šis metodas tinka sprendimui.