Tg yra gretimos ir priešingos pusės santykis. Smagiojo kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas

Instrukcijos

1 metodas. Pitagoro teoremos naudojimas. Teorema teigia: hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Iš to išplaukia, kad bet kurią stačiojo trikampio kraštinę galima apskaičiuoti žinant kitas dvi jo kraštines (2 pav.)

2 metodas. Iš to išplaukia, kad mediana, nubrėžta nuo į hipotenuzę, sudaro 3 panašius trikampius tarpusavyje (3 pav.). Šiame paveikslėlyje trikampiai ABC, BCD ir ACD yra panašūs.

6 pavyzdys: vienetų apskritimų naudojimas koordinatėms rasti

Pirmiausia randame atskaitos kampą, atitinkantį nurodytą kampą. Tada paimame atskaitos kampo sinuso ir kosinuso reikšmes ir suteikiame joms ženklus, atitinkančius kvadranto y ir x reikšmes. Toliau rasime duoto kampo kosinusą ir sinusą.

Sieto kampas, kampinis trikampis ir kubo šaknis

Pastaba: sieto kampo negalima sukurti naudojant kompasą ir liniuotę. Padauginus kubo kraštinės ilgį iš kubo šaknies iš 2, gaunamas dvigubai didesnio tūrio kubo kraštinės ilgis. Naudojant novatorišką prancūzų matematiko Évaristo Galois teoriją, galima įrodyti, kad atliekant visas tris klasikines problemas, konstravimas su apskritimu ir liniuote yra neįmanomas.

Hipotenuzė yra stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais 90 laipsnių kampą. Norint apskaičiuoti jo ilgį, pakanka žinoti vienos iš kojelių ilgį ir vieno iš trikampio smailiųjų kampų dydį.

Atkreipkite dėmesį: naudojant kompasą ir liniuotę neįmanoma sukurti trijų dalių kampo ir kubo šaknies konstrukcijos.

Kita vertus, trečiojo laipsnio lygties sprendimas, naudojant Cardano formulę, gali būti pavaizduotas dalijant kampą ir kubo šaknį. Ateityje mes sukonstruosime tam tikrą kampą su apskritimu ir liniuote. Tačiau, kai kampas yra trikampis ir nustatyta kubo šaknis, sieto kvadrato dizainą galima užbaigti naudojant kompasą ir liniuotę.

Grotelių pakloto konstravimas pagal šį skaičiavimą

Konstravimo uždavinio algebrinė formuluotė veda į lygtį, kurios struktūrinė analizė suteiks papildomos informacijos apie trinarės konstrukcijos konstravimą. Čia naudojamas kampo ir jo kosinuso santykis vienas su vienu: jei žinomas kampo dydis, kampo kosinuso ilgį galima vienareikšmiškai pavaizduoti vienetiniame apskritime ir atvirkščiai.

Instrukcijos

Atsižvelgiant į žinomą koją ir stačiojo trikampio smailųjį kampą, hipotenuzės dydis gali būti lygus kojos ir šio kampo kosinuso / sinuso santykiui, jei šis kampas yra priešais / greta:

h = C1(arba C2)/sinα;

h = C1 (arba C2)/cosα.

Pavyzdys: Tegu stačiakampis ABC su hipotenuze AB ir stačiu kampu yra 60 laipsnių kampu. Kojos BC ilgis yra 8 cm. Norėdami tai padaryti, galite naudoti bet kurį iš aukščiau siūlomų metodų:

Ši užduotis „vienas su vienu“ leidžia pereiti nuo kampo nustatymo prie kampo kosinuso nustatymo. Toliau 3 φ reiškia kampą, kurį reikia padalyti. Taigi φ yra kampas, kurio reikšmė turi būti nustatyta esant tam tikram 3 φ. Pradedant nuo jungčių, žinomų iš trigonometrijos.

Tai seka tam tikru 3 φ kampu. Algebrinis trimatės lygties išsprendžiamumo svarstymas tiesiogiai veda prie klausimo apie galimybę sudaryti sprendinius ir, atitinkamai, prie klausimo apie tam tikro kampo konstrukcinio trigubo kampo galimybę ar neįmanomumą.

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Hipotenuzė yra stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais stačią kampą. Tai ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė. Jį galima apskaičiuoti naudojant Pitagoro teoremą arba naudojant trigonometrinių funkcijų formules.

Išėjimo kampo dydis turi didelę įtaką galimybei susieti trečiąjį kampą, nes tai, kaip absoliutus terminas, lemia sprendinių tipą trimatėje lygtyje. Jei trianguliacijos lygtis turi bent vieną realų sprendinį, kurį galima gauti racionaliomis operacijomis arba brėžiant kvadratines šaknis tam tikram pradiniam kampui, tas sprendimas yra konstruktyvus.

Breidenbachas kaip kriterijų suformulavo, kad trijų sekundžių kampas gali būti interpretuojamas tik racionaliame trijų dalių lygties sprendime. Jei tokio sprendimo nėra, trijų dalių dizaino problema yra nesuderinama su kompasu ir liniuote. Klasterinė analizė yra bendras metodas mažoms grupėms surinkti iš didelio duomenų rinkinio. Panašiai kaip diskriminacinė analizė, klasterinė analizė taip pat naudojama stebėjimams klasifikuoti į grupes. Kita vertus, diskriminacinė analizė reikalauja žinių apie priklausomybę grupei tais atvejais, kai nustatoma klasifikavimo taisyklė.

Instrukcijos

Stačiojo trikampio kraštinės, esančios greta stačiojo kampo, vadinamos kojomis. Paveiksle kojos pažymėtos AB ir BC. Pateikiame abiejų kojų ilgius. Pažymime juos kaip |AB| ir |BC|. Norėdami rasti hipotenuzės ilgį |AC|, naudojame Pitagoro teoremą. Pagal šią teoremą kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, t.y. mūsų paveikslo žymėjime |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Iš formulės matome, kad hipotenuzės AC ilgis yra |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Klasterinė analizė yra primityvesnis metodas, nes nedaro prielaidų apie grupių skaičių ar grupės narystę. Klasifikacija Klasterinė analizė suteikia galimybę atrasti galimus ryšius ir sukurti sistemingą daugelio kintamųjų ir stebėjimų struktūrą. Hierarchinė klasterių analizė yra pagrindinis statistinis metodas, leidžiantis rasti santykinai vienarūšes atvejų grupes pagal išmatuotas charakteristikas. Jis prasideda kiekvienu atveju kaip atskira grupė.

Tada klasteriai sujungiami paeiliui, klasterių skaičius mažėja su kiekvienu žingsniu, kol lieka tik vienas klasteris. Klasterizacijos metodas naudoja skirtumus tarp objektų, kad sudarytų grupes. Hierarchinė klasterių analizė geriausiai tinka mažiems mėginiams.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Tegu kojelių ilgiai |AB| = 13, |BC| = 21. Pagal Pitagoro teoremą nustatome, kad |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Norint gauti hipotenuzės ilgį, reikia ištraukti kvadratinę šaknį kojų kvadratų suma, t.y. iš numerio 610: |AC| = √610. Naudodamiesi sveikųjų skaičių kvadratų lentele, sužinome, kad skaičius 610 nėra tobulas bet kurio sveikojo skaičiaus kvadratas. Norėdami gauti galutinę hipotenuzės ilgio reikšmę, pabandykime pašalinti visą kvadratą iš po šaknies ženklo. Norėdami tai padaryti, išskaidykime skaičių 610. 610 = 2 * 5 * 61. Pasinaudoję pirminių skaičių lentele matome, kad 61 yra pirminis skaičius. Todėl toliau sumažinti skaičių √610 neįmanoma. Gauname galutinį atsakymą |AC| = √610.
Jei hipotenuzės kvadratas būtų, pavyzdžiui, 675, tai √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Jei toks sumažinimas įmanomas, atlikite atvirkštinį patikrinimą – rezultatą kvadratuokite ir palyginkite su pradine verte.

Hierarchinė klasterių analizė yra tik vienas iš būdų stebėti vienarūšių kintamųjų grupių susidarymą. Nėra konkretaus būdo nustatyti analizei skirtų grupių skaičių. Jums gali tekti pažvelgti į dendrogramą, taip pat į klasterių charakteristikas ir žingsnis po žingsnio pakoreguoti skaičių, kad gautumėte gerą klasterio sprendimą.

Kai kintamieji matuojami skirtingomis skalėmis, turite tris būdus, kaip standartizuoti kintamuosius. Dėl to visi kintamieji maždaug lygiomis dalimis prisideda prie atstumo matavimo, net jei galite prarasti informaciją apie kintamųjų dispersiją.

Leiskite mums žinoti vieną iš kojų ir kampą, esantį šalia jos. Tiksliau, tegul tai yra pusė |AB| ir kampas α. Tada galime naudoti trigonometrinės funkcijos kosinuso formulę – kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui. Tie. mūsų žymėjime cos α = |AB| / |AC|. Iš to gauname hipotenuzės ilgį |AC| = |AB| / cos α.
Jei žinome pusę |BC| ir kampą α, tada kampo sinusui apskaičiuoti naudosime formulę - kampo sinusas lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui: sin α = |BC| / |AC|. Pastebime, kad hipotenuzės ilgis yra |AC| = |BC| / cos α.

Euklido atstumas: Euklido atstumas yra labiausiai paplitęs matavimo metodas. Euklido atstumas kvadratu: Euklido atstumas kvadratu sutelkia dėmesį į objektus, esančius toliau vienas nuo kito. Miesto bloko atstumas: ir miesto kvartalas, ir Euklido atstumas yra ypatingi Minkovskio metrikos atvejai. Nors Euklido atstumas atitinka trumpiausio kelio tarp dviejų taškų ilgį, miesto kvartalo atstumas yra atstumų išilgai kiekvieno matmens suma. Pirsono koreliacijos atstumas Skirtumas tarp 1 ir dviejų stebėjimų kosinuso koeficientas Kosinuso koeficientas yra kampo tarp dviejų vektorių kosinusas. Jaccard atstumas Skirtumas tarp 1 ir Jaccard koeficiento dviem stebėjimams Dvejetainių duomenų atveju Jaccard koeficientas yra persidengimo dydžio ir dviejų stebėjimų sumos santykis. Artimiausias kaimynas Šis metodas daro prielaidą, kad atstumas tarp dviejų grupių atitinka atstumą tarp objektų artimiausiuose kaimynuose. Geriausias kaimynas Šiuo metodu atstumas tarp dviejų grupių atitinka didžiausią atstumą tarp dviejų objektų skirtingose ​​klasteriuose. Grupės vidurkis: naudojant šį metodą atstumas tarp dviejų grupių atitinka vidutinį atstumą tarp visų objektų porų skirtinguose klasteriuose. Šis metodas paprastai rekomenduojamas, nes jame yra daugiau informacijos. Mediana Šis metodas yra identiškas centroidiniam metodui, išskyrus tai, kad jis yra nesvertinis. Tada kiekvienu atveju apskaičiuojamas kvadratinis Euklido atstumas iki klasterio vidurkio. Klasteris, kuris turėtų būti sujungtas, yra tas, kuris bent padidina sumą. Tai reiškia, kad šis metodas sumažina bendros atstumų kvadratų sumos padidėjimą klasteriuose. Šis metodas linkęs sukurti mažesnes grupes.

• Tai geometrinis atstumas daugiamatėje erdvėje.
• Jis tinka tik nuolatiniams kintamiesiems.
• Kosinuso atstumas Kampo tarp dviejų vertės vektorių kosinusas.
• Šis metodas rekomenduojamas braižant rankomis braižytas grupes.
• Jei nubraižyti klasteriai suformuoja unikalius „klupus“, metodas tinka.
• Klasterio centroidas yra daugiamatės erdvės vidurio taškas.
• Jis neturėtų būti naudojamas, jei grupių dydžiai labai skiriasi.
• Visų kintamųjų apsaugos vidurkis apskaičiuojamas kiekvienam klasteriui.
• Šie atstumai visais atvejais sumuojami.

Kad būtų aiškumo, pažvelkime į pavyzdį. Tegu nurodytas kojos ilgis |AB|. = 15. Ir kampas α = 60°. Gauname |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pažiūrėkime, kaip galite patikrinti savo rezultatą naudodami Pitagoro teoremą. Norėdami tai padaryti, turime apskaičiuoti antrosios kojos ilgį |BC|. Naudojant kampo tan α = |BC| liestinės formulę / |AC|, gauname |BC| = |AB| * įdegis α = 15 * įdegis 60° = 15 * √3. Toliau taikome Pitagoro teoremą, gauname 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Patikra atlikta.

Sinuso funkcija apibrėžiama pagal sinuso sąvoką, atsižvelgiant į tai, kad kampas visada turi būti išreikštas radianais. Galime stebėti keletą sinusinės funkcijos charakteristikų.

• Jūsų domene yra visi tikrieji.
• Šiuo atveju sakoma, kad funkcija yra periodinė, su periodu 2π.

Galime pastebėti keletą kosinuso funkcijos savybių. Taigi tai yra periodinis 2π periodas. . Apribojimas nepanaikina formulės bendrumo, nes antrojo, trečiojo ir ketvirtojo kvadrantų kampus visada galime sumažinti į pirmąjį. Pratimai. - Apskaičiuokite 15º sinusą nenaudodami skaičiuotuvo.

Apskaičiavę hipotenuzą, patikrinkite, ar gauta reikšmė atitinka Pitagoro teoremą.

Šaltiniai:

• Pirminių skaičių nuo 1 iki 10000 lentelė

Kojos yra dvi trumposios stačiojo trikampio kraštinės, sudarančios viršūnę, kurios dydis yra 90°. Trečioji tokio trikampio kraštinė vadinama hipotenuze. Visos šios trikampio kraštinės ir kampai yra tarpusavyje susiję tam tikrais ryšiais, kurie leidžia apskaičiuoti kojos ilgį, jei žinomi keli kiti parametrai.

Dviejų kampų sumos kosinusas

Dviejų kampų skirtumo kosinusas

Pratimai. Šiandienos straipsnyje apžvelgsime labai specifinį poaibį: trigonometrines funkcijas. Norėdami mėgautis viskuo, ką gali pasiūlyti matematika, turime ją importuoti. Kitame straipsnyje apžvelgsime kitus importavimo stilius, kurių kiekvienas turi savo privalumų ir trūkumų. Tačiau naudodamiesi šia paprasta instrukcija jau turite prieigą prie visos matematikos modulio vardų erdvės, užpildytos daugybe funkcijų, įskaitant tas, su kuriomis šiandien dirbsime.

Instrukcijos

Naudokite Pitagoro teoremą kojos (A) ilgiui apskaičiuoti, jei žinomi kitų dviejų stačiojo trikampio kraštinių (B ir C) ilgiai. Ši teorema teigia, kad kojų ilgių kvadratu suma yra lygi hipotenuzės kvadratui. Iš to išplaukia, kad kiekvienos kojos ilgis lygus skirtumo tarp hipotenuzės ir antrosios kojos ilgių kvadratų kvadratinei šakniai: A=√(C²-B²).

Iš esmės turėsime apskaičiuoti kampo sinusą, kosinusą ir tangentą, taip pat jo atvirkštines funkcijas. Be to, norėtume turėti galimybę dirbti ir radianais, ir laipsniais, kad galėtume naudoti ir atitinkamas konvertavimo funkcijas.

Turėtumėte nepamiršti, kad šios funkcijos tikisi, kad argumentas bus pateiktas radianais, o ne laipsniais. Šiuo tikslu jums bus įdomu žinoti, kad turite šią konstantą. Taigi galime naudoti šią išraišką vietoj skaitinės reikšmės.

Nėra tiesioginės kosekanto, sekanto ir kotangento funkcijos, nes tai nėra būtina, nes tai yra tiesiog sinuso, kosinuso ir tangento atvirkštinės vertės. Kaip ir anksčiau, grįžtamas kampas taip pat yra radianais. Kita naudinga matematikos funkcija leidžia sužinoti stačiojo trikampio hipotenuzės reikšmę, atsižvelgiant į jo kojeles, o tai leidžia apskaičiuoti kvadratinę šaknį iš jų kvadratų sumos.

Smailiam kampui naudokite tiesioginės trigonometrinės funkcijos „sinuso“ apibrėžimą, jei žinomas kampo, esančio priešais skaičiuojamą koją, dydis (α) ir hipotenuzės ilgis (C). Šis apibrėžimas teigia, kad šio žinomo kampo sinusas yra lygus norimos kojos ilgio ir hipotenuzės ilgio santykiui. Tai reiškia, kad norimos kojos ilgis lygus hipotenuzės ilgio ir žinomo kampo sinuso sandaugai: A=C∗sin(α). Tiems patiems žinomiems dydžiams taip pat galite naudoti kosekantinės funkcijos apibrėžimą ir apskaičiuoti reikiamą ilgį, padalydami hipotenuzės ilgį iš žinomo kampo A=C/kosek(α) kosekanto.

Naudokite tiesioginės trigonometrinės kosinuso funkcijos apibrėžimą, jei, be hipotenuzės ilgio (C), žinomas ir smailiojo kampo (β), esančio greta norimos kojos, dydis. Šio kampo kosinusas apibrėžiamas kaip norimos kojos ir hipotenuzės ilgių santykis, ir iš to galime daryti išvadą, kad kojos ilgis yra lygus hipotenuzės ilgio ir žinomos kosinuso sandaugai. kampas: A=C∗cos(β). Galite naudoti sekantinės funkcijos apibrėžimą ir apskaičiuoti norimą reikšmę, padalydami hipotenuzės ilgį iš žinomo kampo A=C/sek(β) sekanto.

Iš panašaus trigonometrinės funkcijos liestinės išvestinės apibrėžimo išveskite reikiamą formulę, jei be smailiojo kampo (α), esančio priešais norimą atšaką (A), reikšmės, žinomas ir antrosios kojos (B) ilgis. . Kampo, priešingo norimai kojai, liestinė yra šios kojos ilgio ir antrosios kojos ilgio santykis. Tai reiškia, kad norima reikšmė bus lygi žinomos kojos ilgio ir žinomo kampo liestinės sandaugai: A=B∗tg(α). Iš tų pačių žinomų dydžių galima gauti kitą formulę, jei naudosime kotangentinės funkcijos apibrėžimą. Šiuo atveju, norint apskaičiuoti kojos ilgį, reikės rasti žinomos kojos ilgio ir žinomo kampo kotangento santykį: A=B/ctg(α).

Video tema

Žodis „kathet“ į rusų kalbą atėjo iš graikų kalbos. Tiksliame vertime tai reiškia svambalo liniją, ty statmeną žemės paviršiui. Matematikoje kojos yra tos kraštinės, kurios sudaro stačią stačiojo trikampio kampą. Priešinga šio kampo pusė vadinama hipotenuse. Terminas "katetas" taip pat vartojamas architektūroje ir suvirinimo technologijoje.

Nubrėžkite statųjį trikampį DIA. Pažymėkite jo kojeles a ir b, o hipotenuzę - c. Visos stačiojo trikampio kraštinės ir kampai yra tarpusavyje susiję tam tikrais ryšiais. Kojos, esančios priešais vieną iš smailiųjų kampų, santykis su hipotenuze vadinamas šio kampo sinusu. Šiame trikampyje sinCAB=a/c. Kosinusas yra santykis su gretimos kojos hipotenuze, tai yra cosCAB=b/c. Atvirkštiniai santykiai vadinami sekantu ir kosekantu.

Šio kampo sekantas gaunamas padalijus hipotenuzą iš gretimos kojos, tai yra secCAB = c/b. Rezultatas yra kosinuso atvirkštinis dydis, tai yra, jį galima išreikšti naudojant formulę secCAB=1/cosSAB.
Kosekantas yra lygus hipotenuzės daliniui, padalytam iš priešingos pusės, ir yra sinuso atvirkštinė vertė. Jį galima apskaičiuoti naudojant formulę cosecCAB=1/sinCAB

Abi kojos yra sujungtos tangentu ir kotangentu. Šiuo atveju liestinė bus pusės a ir b pusės santykis, tai yra, priešingos pusės gretimai pusei. Šį ryšį galima išreikšti formule tgCAB=a/b. Atitinkamai atvirkštinis santykis bus kotangentas: ctgCAB=b/a.

Santykį tarp hipotenuzės ir abiejų kojų dydžių nustatė senovės graikų matematikas Pitagoras. Žmonės iki šiol naudojasi jo vardu pavadinta teorema. Jame sakoma, kad hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai, tai yra, c2 = a2 + b2. Atitinkamai, kiekviena kojelė bus lygi skirtumo tarp hipotenuzės ir kitos kojos kvadratų kvadratinei šakniai. Šią formulę galima parašyti kaip b=√(c2-a2).

Kojos ilgį galima išreikšti ir jums žinomais santykiais. Pagal sinusų ir kosinusų teoremas koja yra lygi hipotenuzės ir vienos iš šių funkcijų sandaugai. Jis taip pat gali būti išreikštas tangentu arba kotangentu. Koją a galima rasti, pavyzdžiui, naudojant formulę a = b*tan CAB. Lygiai taip pat, priklausomai nuo duotosios liestinės arba kotangento, nustatoma antroji kojelė.

Terminas „katetas“ taip pat vartojamas architektūroje. Jis taikomas joninei sostinei ir žymi svambalo liniją per jos nugaros vidurį. Tai reiškia, kad šiuo atveju šis terminas reiškia statmeną nurodytai linijai.

Suvirinimo technologijoje yra „filialinio suvirinimo kojelės“ sąvoka. Kaip ir kitais atvejais, tai yra trumpiausias atstumas. Čia mes kalbame apie tarpą tarp vienos iš dalių, suvirintų iki siūlės krašto, esančio kitos dalies paviršiuje.

Video tema

Šaltiniai:

• kas yra koja ir hipotenuzė?

Video tema

Atkreipkite dėmesį

Skaičiuojant stačiojo trikampio kraštines, žinios apie jo charakteristikas gali atlikti svarbų vaidmenį:
1) Jei stačiojo kampo kojelė yra priešais 30 laipsnių kampą, tada ji yra lygi pusei hipotenuzės;
2) hipotenuzė visada yra ilgesnė už bet kurią koją;
3) Jei apskritimas yra apibrėžtas aplink statųjį trikampį, tai jo centras turi būti hipotenuzės viduryje.

Kai buvo svarstomos stačiojo trikampio sprendimo problemos, pažadėjau pristatyti sinuso ir kosinuso apibrėžimų įsiminimo techniką. Naudodamiesi juo, visada greitai prisiminsite, kuri pusė priklauso hipotenuzei (greta ar priešinga). Nusprendžiau ilgai neatidėlioti, reikiama medžiaga žemiau, prašome perskaityti 😉

Faktas yra tas, kad aš ne kartą pastebėjau, kaip 10–11 klasių mokiniai sunkiai prisimena šiuos apibrėžimus. Jie puikiai prisimena, kad koja reiškia hipotenuzą, bet pamiršta, kuri iš jų ir sutrikęs. Klaidos kaina, kaip žinote per egzaminą, yra prarastas taškas.

Informacija, kurią pateiksiu tiesiogiai, neturi nieko bendra su matematika. Tai siejama su vaizdiniu mąstymu ir žodinės-loginės komunikacijos metodais. Kaip tik taip ir prisimenu, kartą ir visiems laikams apibrėžimo duomenis. Jei pamiršite juos, visada galėsite lengvai juos prisiminti naudodami pateiktus metodus.

Leiskite man priminti sinuso ir kosinuso apibrėžimus stačiakampiame trikampyje:

Kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:

Taigi, kokios asociacijos jums kyla su žodžiu kosinusas?

Turbūt kiekvienas turi savo 😉 Prisiminkite nuorodą:

Taigi išraiška iškart atsiras jūsų atmintyje -

«… GRĮTINĖS kojos ir hipotenuzės santykis».

Kosinuso nustatymo problema išspręsta.

Jei reikia atsiminti sinuso apibrėžimą stačiakampyje, tada prisimindami kosinuso apibrėžimą galite lengvai nustatyti, kad stačiakampio trikampio smailaus kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis. Juk yra tik dvi kojos, jei gretima koja „užima“ kosinusu, tai su sinusu lieka tik priešinga kojelė.

O tangentas ir kotangentas? Sumišimas tas pats. Mokiniai žino, kad tai yra kojų santykis, tačiau problema yra atsiminti, kuri iš jų nurodo – ar priešinga gretimai, ar atvirkščiai.

Apibrėžimai:

Tangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:

Kotangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis:

Kaip atsiminti? Yra du būdai. Vienas taip pat naudoja žodinį-loginį ryšį, kitas – matematinį.

MATEMATINIS METODAS

Yra toks apibrėžimas - smailaus kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

*Išmokę formulę atmintinai, visada galite nustatyti, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis.

Taip pat. Smailiojo kampo kotangentas yra kampo kosinuso ir jo sinuso santykis:

Taigi! Prisimindami šias formules visada galite nustatyti, kad:

Stačiakampio trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis

Stačiakampio trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis.

ŽODŽIO-LOGINIS METODAS

Apie tangentą. Prisiminkite nuorodą:

Tai yra, jei jums reikia prisiminti liestinės apibrėžimą, naudodami šį loginį ryšį, galite lengvai prisiminti, kas tai yra

„... priešingos pusės ir gretimos pusės santykis“

Jei mes kalbame apie kotangentą, tada prisimindami liestinės apibrėžimą galite lengvai išsakyti kotangento apibrėžimą -

„... gretimos pusės ir priešingos pusės santykis“

Svetainėje yra įdomus triukas, kaip prisiminti tangentą ir kotangentą " Matematinis tandemas " , žiūrėk.

UNIVERSALUS METODAS

Galite tiesiog įsiminti. Tačiau, kaip rodo praktika, žodinių-loginių ryšių dėka žmogus ilgą laiką atsimena informaciją, o ne tik matematinę.

Tikiuosi, kad medžiaga jums buvo naudinga.

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Priešingos pusės ir hipotenuzės santykis vadinamas ūmaus kampo sinusas stačiakampis trikampis.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas

Gretimos kojos ir hipotenuzės santykis vadinamas smailiojo kampo kosinusas stačiakampis trikampis.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė

Priešingos pusės ir gretimos pusės santykis vadinamas smailiojo kampo liestinė stačiakampis trikampis.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentė

Gretimos pusės ir priešingos pusės santykis vadinamas smailiojo kampo kotangentas stačiakampis trikampis.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Savavališko kampo sinusas

Vadinamos vienetinio apskritimo taško, kurį atitinka kampas \alpha, ordinatės savavališko kampo sinusas sukimasis \alpha .

\sin \alpha=y

Savavališko kampo kosinusas

Vadinamas apskritimo vienetinio taško, kurį atitinka kampas \alpha, abscisė savavališko kampo kosinusas sukimasis \alpha .

\cos \alpha=x

Savavališko kampo liestinė

Savavališko sukimosi kampo \alpha sinuso ir jo kosinuso santykis vadinamas savavališko kampo liestinė sukimasis \alpha .

įdegis \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Savavališko kampo kotangentė

Savavališko sukimosi kampo \alpha kosinuso ir jo sinuso santykis vadinamas savavališko kampo kotangentas sukimasis \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Savavališko kampo radimo pavyzdys

Jei \alpha yra tam tikras kampas AOM, kur M yra vienetinio apskritimo taškas, tada

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Pavyzdžiui, jei \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tada: taško M ordinatė lygi -\frac(\sqrt(2))(2), abscisė yra lygi \frac(\sqrt(2))(2) ir todėl

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotangentų liestinių kosinusų sinusų verčių lentelė

Pagrindinių dažnai pasitaikančių kampų reikšmės pateiktos lentelėje:

Gyvenime dažnai teks spręsti matematines problemas: mokykloje, universitete, o vėliau padėti vaikui ruošti namų darbus. Tam tikrų profesijų žmonės su matematika susidurs kasdien. Todėl pravartu įsiminti arba prisiminti matematines taisykles. Šiame straipsnyje apžvelgsime vieną iš jų: stačiojo trikampio kraštinės radimą.

Kas yra stačiakampis trikampis

Pirmiausia prisiminkime, kas yra stačiakampis trikampis. Statusis trikampis yra geometrinė figūra iš trijų atkarpų, jungiančių taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, o vienas iš šios figūros kampų yra 90 laipsnių. Kraštinės, sudarančios stačią kampą, vadinamos kojomis, o pusė, kuri yra priešais stačią kampą, vadinama hipotenuse.

Stačiojo trikampio kojos radimas

Yra keletas būdų, kaip sužinoti kojos ilgį. Norėčiau juos išsamiau apsvarstyti.

Pitagoro teorema stačiojo trikampio kraštinei rasti

Jei žinome hipotenuzą ir koją, tada nežinomos kojos ilgį galime rasti naudodami Pitagoro teoremą. Tai skamba taip: „Kipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai“. Formulė: c²=a²+b², kur c – hipotenuzė, a ir b – kojos. Transformuojame formulę ir gauname: a²=c²-b².

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 5 cm, o kojelė yra 3 cm Transformuojame formulę: c²=a²+b² → a²=c²-b². Toliau sprendžiame: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonometriniai santykiai stačiojo trikampio kojai rasti

Taip pat galite rasti nežinomą koją, jei žinote bet kurią kitą stačiojo trikampio kraštinę ir smailųjį kampą. Yra keturi parinktys, kaip rasti koją naudojant trigonometrines funkcijas: sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas. Norėdami išspręsti problemas, mums padės toliau pateikta lentelė. Apsvarstykime šias galimybes.

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami sinusą

Kampo sinusas (sin) yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis. Formulė: sin=a/c, kur a yra koja, priešinga duotam kampui, o c yra hipotenuzė. Toliau transformuojame formulę ir gauname: a=sin*c.

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 10 cm, kampas A yra 30 laipsnių. Naudodamiesi lentele apskaičiuojame kampo A sinusą, jis lygus 1/2. Tada, naudodami transformuotą formulę, išsprendžiame: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kosinusą

Kampo kosinusas (cos) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Formulė: cos=b/c, kur b yra koja, esanti greta tam tikro kampo, o c yra hipotenuzė. Transformuokime formulę ir gaukime: b=cos*c.

Pavyzdys. Kampas A lygus 60 laipsnių, hipotenuzė lygi 10 cm Naudodami lentelę apskaičiuojame kampo A kosinusą, jis lygus 1/2. Toliau sprendžiame: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami liestinę

Kampo liestinė (tg) yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis. Formulė: tg=a/b, kur a – kampui priešinga pusė, o b – gretima. Transformuokime formulę ir gaukime: a=tg*b.

Pavyzdys. Kampas A lygus 45 laipsniams, hipotenuza lygi 10 cm Naudodamiesi lentele apskaiciuojame kampo A liestine, jis lygus Spręsti: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kotangentą

Kampo kotangentas (ctg) yra gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis. Formulė: ctg=b/a, kur b yra koja, esanti greta kampo, ir yra priešinga koja. Kitaip tariant, kotangentas yra „apversta liestinė“. Gauname: b=ctg*a.

Pavyzdys. Kampas A yra 30 laipsnių, priešinga kojelė yra 5 cm. Pagal lentelę kampo A liestinė yra √3. Skaičiuojame: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Taigi dabar jūs žinote, kaip rasti koją stačiakampiame trikampyje. Kaip matote, tai nėra taip sunku, svarbiausia atsiminti formules.

Kas yra kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, padės suprasti statųjį trikampį.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė \(AC\)); kojos yra dvi likusios kraštinės \(AB\) ir \(BC\) (greta stačiojo kampo), o jei atsižvelgsime į kojas kampo \(BC\) atžvilgiu, tada kojelė \(AB\) yra gretima kojelė, o kojelė \(BC\) yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas– tai priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kampo kosinusas– tai gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Kampo liestinė– tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kampo kotangentas– tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Šie apibrėžimai yra būtini prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikite manimi? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo \(\beta \) kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet kampo \(\beta \) kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą trikampį \(ABC \) randame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masyvas) \)

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampui \(\beta \) .

Atsakymai: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnių ir radianų sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus \(1\) . Toks ratas vadinamas vienišas. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, šis apskritimas sudarytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra koordinačių pradžioje, pradinė spindulio vektoriaus padėtis fiksuojama teigiama \(x\) ašies kryptimi (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys \(AB\)).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: koordinatę išilgai \(x\) ašies ir koordinatę išilgai \(y\) ašies. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį \(ACG\) . Jis yra stačiakampis, nes \(CG\) yra statmena \(x\) ašiai.

Kas yra \(\cos \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? tai tiesa \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Be to, žinome, kad \(AC\) yra vienetinio apskritimo spindulys, o tai reiškia \(AC=1\) . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Kam lygi \(\sin \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Na žinoma \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Pakeiskite spindulio reikšmę \(AC\) į šią formulę ir gaukite:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas \(C\)? Na, niekaip? Ką daryti, jei suprasite, kad \(\cos \ \alpha \) ir \(\sin \alpha \) yra tik skaičiai? Kokią koordinatę atitinka \(\cos \alpha \)? Na, žinoma, koordinatė \(x\)! O kokią koordinatę atitinka \(\sin \alpha \)? Teisingai, koordinuokite \(y\)! Taigi esmė \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Kam tada yra lygūs \(tg \alpha \) ir \(ctg \alpha \)? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime tai \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kampas (kaip greta kampo \(\beta \) ). Kokia yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmė \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kampas ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kampas ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masyvas) \)

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę \(y\) ; kampo kosinuso reikšmė – koordinatė \(x\) ; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos \(x\) ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę – neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra \(360()^\circ \) arba \(2\pi \) . Ar galima pasukti spindulio vektorių \(390()^\circ \) arba \(-1140()^\circ \)? Na, žinoma, galite! Pirmuoju atveju \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), taigi spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje \(30()^\circ \) arba \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Antruoju atveju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus posūkius ir sustos padėtyje \(-60()^\circ \) arba \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi \(360()^\circ \cdot m \) arba \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius ), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats vaizdas atitinka kampą \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) ir tt Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti užrašyti pagal bendrą formulę \(\beta +360()^\circ \cdot m\) arba \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius)

\(\begin(masyvas)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masyvas) \)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masyvas) \)

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masyvas)\)

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas į vidų \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atitinka tašką, kurio koordinatės \(\left(0;1 \right) \) , todėl:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neegzistuoja;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, mes sužinome, kad kampai yra viduje \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atitinka taškus su koordinatėmis \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dešinė) \), atitinkamai. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ \pi \)- neegzistuoja

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 270()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ 2\pi \)- neegzistuoja

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 450()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:

\(\left. \begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masyvas) \right\)\ \text(Turite atsiminti arba mokėti tai parodyti!! \) !}

Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) pateiktą toliau pateiktoje lentelėje, turite atsiminti:

Nebijokite, dabar parodysime vieną gana paprasto atitinkamų reikšmių įsiminimo pavyzdį:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinusines vertes ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), taip pat kampo liestinės reikšmę \(30()^\circ \) . Žinant šias \(4\) reikšmes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

\(\begin(masyvas)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\pabaiga(masyvas)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), tai žinodami, galite atkurti reikšmes \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitiklis „\(1 \)“ atitiks \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), o vardiklis „\(\sqrt(\text(3)) \)“ – \(\tekstas (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, tada iš lentelės pakaks atsiminti tik \(4\) reikšmes.

Apskritimo taško koordinatės

Ar galima rasti apskritimo tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, spindulį ir sukimosi kampą? Na, žinoma, galite! Išveskime bendrą formulę taško koordinatėms rasti. Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:

Mums suteiktas tas taškas \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra \(1,5\) . Reikia rasti taško \(P\) koordinates, gautas sukant tašką \(O\) \(\delta \) laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško \(P\) koordinatė \(x\) atitinka atkarpos \(TP=UQ=UK+KQ\) ilgį. Atkarpos \(UK\) ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę \(x\), tai yra, lygus \(3\) . Atkarpos \(KQ\) ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada turime taško \(P\) koordinatę \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Naudodami tą pačią logiką randame taško \(P\) y koordinatės reikšmę. Taigi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Taigi, apskritai taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masyvas) \), Kur

\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apskritimo centro koordinatės,

\(r\) – apskritimo spindulys,

\(\delta \) - vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masyvas) \)

Viena iš matematikos sričių, su kuria mokiniai kovoja labiausiai, yra trigonometrija. Nenuostabu: norint laisvai įsisavinti šią žinių sritį, reikia erdvinio mąstymo, gebėjimo pagal formules rasti sinusus, kosinusus, tangentus, kotangentus, supaprastinti išraiškas ir mokėti naudoti skaičių pi. skaičiavimai. Be to, įrodydami teoremas turite mokėti naudoti trigonometriją, o tam reikia arba išvystytos matematinės atminties, arba gebėjimo išvesti sudėtingas logines grandines.

Trigonometrijos ištakos

Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia turite suprasti, ką apskritai daro trigonometrija.

Istoriškai pagrindinis šios matematikos mokslo šakos tyrimo objektas buvo stačiakampiai trikampiai. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes naudojant dvi puses ir vieną kampą arba du kampus ir vieną pusę. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti pastatų statyboje, navigacijoje, astronomijoje ir net mene.

Pradinis etapas

Iš pradžių žmonės kalbėjo apie kampų ir kraštinių santykį tik naudodamiesi stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti šios matematikos šakos naudojimo kasdieniame gyvenime ribas.

Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien pradedamos nuo stačiųjų trikampių, po kurių mokiniai panaudoja įgytas fizikos žinias ir spręsdami abstrakčias trigonometrines lygtis, kurios prasideda vidurinėje mokykloje.

Sferinė trigonometrija

Vėliau, mokslui pasiekus kitą išsivystymo lygį, sferinėje geometrijoje pradėtos naudoti formulės su sinusu, kosinusu, tangentu, kotangentu, kur galioja skirtingos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Šis skyrius nėra mokomas mokykloje, tačiau būtina žinoti apie jo egzistavimą, bent jau todėl, kad žemės paviršius ir bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus „lanko formos“ trimatė erdvė.

Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Tokias formas nagrinėja sferinė geometrija, kuri naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.

Statusis trikampis

Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti su jų pagalba ir kokias formules naudoti.

Pirmas žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Jis yra ilgiausias. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jos skaitinė reikšmė yra lygi kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.

Pavyzdžiui, jei abi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.

Dvi likusios pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma stačiakampėje koordinačių sistemoje yra lygi 180 laipsnių.

Apibrėžimas

Galiausiai, tvirtai suvokus geometrinį pagrindą, galima pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimo.

Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. y. pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra gretimos kraštinės ir hipotenuzės santykis.

Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia, nesvarbu, kokia yra koja, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, o tai reiškia, kad jų santykis visada bus mažesnis nei vienas. Taigi, jei atsakydami į užduotį gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas yra aiškiai neteisingas.

Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. Padalijus sinusą iš kosinuso gausime tą patį rezultatą. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padaliname iš hipotenuzės, tada padalijame iš antrosios kraštinės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį ryšį kaip ir tangento apibrėžime.

Atitinkamai, kotangentas yra kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalydami iš liestinės.

Taigi, mes pažvelgėme į apibrėžimus, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, ir galime pereiti prie formulių.

Paprasčiausios formulės

Trigonometrijoje neapsieisite be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Bet kaip tik to ir reikia sprendžiant problemas.

Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau ji taupo laiką, jei reikia žinoti kampo dydį, o ne kraštinę.

Daugelis mokinių neprisimena antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklinius uždavinius: vieneto ir kampo liestinės kvadrato suma lygi vienai, padalytai iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: tai tas pats teiginys kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, dėl paprasto matematinio veiksmo trigonometrinė formulė tampa visiškai neatpažįstama. Atminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, transformacijos taisykles ir kelias pagrindines formules, bet kuriuo metu galite išvesti reikiamas sudėtingesnes formules ant popieriaus lapo.

Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas

Dar dvi formulės, kurias turite išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso reikšmėmis kampų sumai ir skirtumui. Jie pateikti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju pridedama sinuso ir kosinuso porinė sandauga.

Taip pat yra formulių, susijusių su dvigubo kampo argumentais. Jie yra visiškai išvesti iš ankstesnių – kaip praktika, pabandykite juos gauti patys, imdami alfa kampą, lygų beta kampui.

Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima pertvarkyti, kad būtų sumažinta sinuso, kosinuso, tangento alfa galia.

Teoremos

Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.

Sinuso teorema teigia, kad padalijus kiekvienos trikampio kraštinės ilgį iš priešingo kampo, gaunamas tas pats skaičius. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžto apskritimo spinduliams, tai yra apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.

Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš gretimo kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.

Neatsargios klaidos

Net ir žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas, nesunku suklysti dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, pažvelkime į populiariausias.

Pirma, neturėtumėte konvertuoti trupmenų į dešimtaines, kol negausite galutinio rezultato – galite palikti atsakymą kaip trupmeną, nebent sąlygose nurodyta kitaip. Tokios transformacijos negalima pavadinti klaida, tačiau reikia atsiminti, kad kiekviename problemos etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, autoriaus sumanymu, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite savo laiką nereikalingiems matematiniams veiksmams. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų arba dviejų šaknis, nes jos randamos kiekviename žingsnyje problemose. Tas pats pasakytina ir apie „bjaurių“ skaičių apvalinimą.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir pademonstruosite visišką dalyko nesupratimą. Tai yra blogiau nei neatsargumo klaida.

Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Atsiminkite šias reikšmes, nes 30 laipsnių sinusas yra lygus 60 kosinusui ir atvirkščiai. Juos nesunku supainioti, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.

Taikymas

Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos praktinės reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai yra sąvokos, pagal kurias galite apskaičiuoti atstumą iki tolimų žvaigždžių, numatyti meteorito kritimą ar siųsti tyrimo zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk trigonometrija vienokia ar kitokia forma naudojama visur – nuo ​​muzikos iki medicinos.

Apibendrinant

Taigi jūs esate sinusas, kosinusas, tangentas. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.

Visa trigonometrijos esmė yra ta, kad naudojant žinomus trikampio parametrus reikia apskaičiuoti nežinomus. Iš viso yra šeši parametrai: trijų kraštinių ilgis ir trijų kampų dydis. Vienintelis užduočių skirtumas yra tas, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.

Dabar žinote, kaip rasti sinusą, kosinusą, tangentą pagal žinomus kojų arba hipotenuzės ilgius. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kitą, kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis trigonometrijos uždavinio tikslas yra rasti įprastos lygties ar lygčių sistemos šaknis. Ir čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.