Šiame straipsnyje tęsiama tiesės lygties plokštumoje tema: tokio tipo lygtį laikysime bendrąja tiesės lygtimi. Apibrėžkime teoremą ir pateiksime jos įrodymą; Išsiaiškinkime, kas yra neišsami bendroji linijos lygtis ir kaip atlikti perėjimus iš bendrosios lygties į kitų tipų linijos lygtis. Visą teoriją sustiprinsime iliustracijomis ir praktinių problemų sprendimais.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Plokštumoje nurodykime stačiakampę koordinačių sistemą O x y.

1 teorema

Bet kuri pirmojo laipsnio lygtis, turinti formą A x + B y + C = 0, kur A, B, C yra kai kurie realieji skaičiai (A ir B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui), apibrėžia tiesę stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje. Savo ruožtu bet kuri tiesė stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje yra nustatoma pagal lygtį, kurios forma yra A x + B y + C = 0 tam tikram reikšmių rinkiniui A, B, C.

Įrodymas

Ši teorema susideda iš dviejų punktų, įrodysime kiekvieną iš jų.

1. Įrodykime, kad lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia tiesę plokštumoje.

Tebūnie koks nors taškas M 0 (x 0 , y 0), kurio koordinatės atitinka lygtį A x + B y + C = 0. Taigi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Iš kairės ir dešinės lygčių A x + B y + C = 0 pusių atimkite lygties A x 0 + B y 0 + C = 0 kairę ir dešinę puses, gausime naują lygtį, kuri atrodo kaip A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Jis yra lygus A x + B y + C = 0.

Gauta lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 yra būtina ir pakankama vektorių n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x) statmenumo sąlyga. 0, y - y 0) . Taigi taškų aibė M (x, y) apibrėžia tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje, statmenoje vektoriaus n → = (A, B) krypčiai. Galime manyti, kad taip nėra, bet tada vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nebūtų statmeni, o lygybė A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nebūtų teisinga.

Vadinasi, lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 apibrėžia tam tikrą tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje, todėl lygiavertė lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia ta pati linija. Taip įrodėme pirmąją teoremos dalį.

1. Įrodykime, kad bet kurią tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje galima nurodyti pirmojo laipsnio lygtimi A x + B y + C = 0.

Apibrėžkime tiesę a stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje; taškas M 0 (x 0 , y 0), per kurį eina ši tiesė, taip pat šios tiesės normalusis vektorius n → = (A, B) .

Tegul taip pat yra tam tikras taškas M (x, y) – tiesės slankusis taškas. Šiuo atveju vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) yra statmeni vienas kitam, o jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Perrašykime lygtį A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, apibrėžkime C: C = - A x 0 - B y 0 ir kaip galutinį rezultatą gausime lygtį A x + B y + C = 0.

Taigi, mes įrodėme antrąją teoremos dalį ir įrodėme visą teoremą kaip visumą.

1 apibrėžimas

Formos lygtis A x + B y + C = 0 - Tai bendroji tiesės lygtis plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemojeOxy.

Remdamiesi įrodyta teorema, galime daryti išvadą, kad tiesė ir jos bendroji lygtis, apibrėžta plokštumoje fiksuotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra neatsiejamai susijusios. Kitaip tariant, pradinė eilutė atitinka jos bendrąją lygtį; bendroji tiesės lygtis atitinka duotąją tiesę.

Iš teoremos įrodymo taip pat išplaukia, kad kintamųjų x ir y koeficientai A ir B yra tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės, kurią pateikia bendroji tiesės lygtis A x + B y + C = 0.

Panagrinėkime konkretų bendrosios tiesės lygties pavyzdį.

Tegu yra lygtis 2 x + 3 y - 2 = 0, kuri atitinka tiesę duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje. Normalus šios linijos vektorius yra vektorius n → = (2, 3) . Nubrėžkime brėžinyje nurodytą tiesią liniją.

Taip pat galime teigti: tiesė, kurią matome brėžinyje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį 2 x + 3 y - 2 = 0, nes visų duotoje tiesėje esančių taškų koordinatės atitinka šią lygtį.

Lygtį λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 galime gauti padauginę abi bendrosios tiesės lygties puses iš skaičiaus λ, nelygaus nuliui. Gauta lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai lygčiai, todėl ji apibūdins tą pačią tiesę plokštumoje.

Užbaikite bendrąją linijos lygtį– tokia bendroji tiesės A x + B y + C = 0 lygtis, kurioje skaičiai A, B, C skiriasi nuo nulio. Priešingu atveju lygtis yra nepilnas.

Išanalizuokime visus nepilnos bendrosios tiesės lygties variantus.

1. Kai A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, bendroji lygtis įgauna formą B y + C = 0. Tokia nepilna bendroji lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y apibrėžia tiesę, lygiagrečią O x ašiai, nes bet kuriai realiajai x reikšmei kintamasis y įgaus reikšmę - C B. Kitaip tariant, bendroji tiesės A x + B y + C = 0 lygtis, kai A = 0, B ≠ 0, nurodo taškų (x, y), kurių koordinatės lygios tam pačiam skaičiui, vietą. - C B.
2. Jei A = 0, B ≠ 0, C = 0, bendroji lygtis yra y = 0. Ši nepilna lygtis apibrėžia x ašies O x .
3. Kai A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, gauname nepilną bendrąją lygtį A x + C = 0, apibrėžiančią tiesę, lygiagrečią ordinatėms.
4. Tegu A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada nepilna bendroji lygtis bus x = 0, ir tai yra koordinačių tiesės O y lygtis.
5. Galiausiai, kai A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, nepilna bendroji lygtis įgauna formą A x + B y = 0. Ir ši lygtis apibūdina tiesią liniją, kuri eina per pradžią. Tiesą sakant, skaičių pora (0, 0) atitinka lygybę A x + B y = 0, nes A · 0 + B · 0 = 0.

Grafiškai pavaizduokime visus aukščiau išvardintus nepilnos bendrosios tiesės lygties tipus.

1 pavyzdys

Yra žinoma, kad duota tiesė yra lygiagreti ordinačių ašiai ir eina per tašką 2 7, - 11. Būtina užrašyti bendrąją duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Ordinačių ašiai lygiagreti tiesė pateikiama A x + C = 0 formos lygtimi, kurioje A ≠ 0. Sąlyga taip pat nurodo taško, per kurį eina tiesė, koordinates, o šio taško koordinatės atitinka nepilnos bendrosios lygties A x + C = 0 sąlygas, t.y. lygybė yra tiesa:

A 2 7 + C = 0

Iš jo galima nustatyti C, jei A suteikiame kokią nors ne nulį reikšmę, pavyzdžiui, A = 7. Šiuo atveju gauname: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Žinome abu koeficientus A ir C, juos pakeisime lygtimi A x + C = 0 ir gauname reikiamą tiesės lygtį: 7 x - 2 = 0

Atsakymas: 7 x - 2 = 0

2 pavyzdys

Brėžinyje pavaizduota tiesė, reikia užrašyti jos lygtį.

Sprendimas

Pateiktas brėžinys leidžia lengvai paimti pradinius duomenis, kad išspręstume problemą. Brėžinyje matome, kad duotoji tiesė yra lygiagreti O x ašiai ir eina per tašką (0, 3).

Tiesi linija, lygiagreti abscisei, nustatoma nepilna bendroji lygtis B y + C = 0. Raskime B ir C reikšmes. Taško (0, 3) koordinatės, kadangi per jį eina duotoji tiesė, tenkins tiesės B y + C = 0 lygtį, tuomet galioja lygybė: B · 3 + C = 0. Nustatykime B vertę, kuri skiriasi nuo nulio. Tarkime B = 1, tokiu atveju iš lygybės B · 3 + C = 0 galime rasti C: C = - 3. Naudodami žinomas B ir C reikšmes, gauname reikiamą tiesės lygtį: y - 3 = 0.

Atsakymas: y-3 = 0.

Bendroji tiesės, einančios per tam tikrą plokštumos tašką, lygtis

Tegul duotoji tiesė eina per tašką M 0 (x 0 , y 0), tada jos koordinatės atitinka bendrąją tiesės lygtį, t.y. lygybė yra teisinga: A x 0 + B y 0 + C = 0. Atimkime kairę ir dešinę šios lygties puses iš kairės ir dešinės bendrosios pilnosios lygties pusės. Gauname: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ši lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai, eina per tašką M 0 (x 0, y 0) ir turi normalią vektorius n → = (A, B) .

Gautas rezultatas leidžia užrašyti bendrąją tiesės lygtį su žinomomis normalaus linijos vektoriaus koordinatėmis ir tam tikro šios linijos taško koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duotas taškas M 0 (- 3, 4), per kurį eina tiesė, ir šios tiesės normalusis vektorius n → = (1 , - 2) . Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos leidžia gauti reikiamus duomenis lygčiai sudaryti: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Tada:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema galėjo būti išspręsta kitaip. Bendroji tiesės lygtis yra A x + B y + C = 0. Pateiktas normalus vektorius leidžia gauti koeficientų A ir B reikšmes, tada:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Dabar suraskime C reikšmę naudodami uždavinio sąlygą nurodytą tašką M 0 (- 3, 4), per kurį eina tiesė. Šio taško koordinatės atitinka lygtį x - 2 · y + C = 0, t.y. - 3 - 2 4 + C = 0. Taigi C = 11. Reikiama tiesės lygtis yra tokia: x - 2 · y + 11 = 0.

Atsakymas: x - 2 y + 11 = 0 .

4 pavyzdys

Duota tiesė 2 3 x - y - 1 2 = 0 ir taškas M 0, esantis šioje tiesėje. Žinoma tik šio taško abscisė ir ji lygi – 3. Būtina nustatyti duoto taško ordinates.

Sprendimas

Taško M 0 koordinates pažymėkime x 0 ir y 0 . Šaltiniai duomenys rodo, kad x 0 = - 3. Kadangi taškas priklauso duotai tiesei, tai jo koordinatės atitinka bendrąją šios tiesės lygtį. Tada lygybė bus tiesa:

2 3 x 0 – y 0 – 1 2 = 0

Apibrėžkite y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Atsakymas: - 5 2

Perėjimas nuo bendrosios tiesės lygties prie kito tipo tiesės lygčių ir atvirkščiai

Kaip žinome, yra keletas lygčių tipų, skirtų tai pačiai tiesei plokštumoje. Lygties tipo pasirinkimas priklauso nuo uždavinio sąlygų; galima pasirinkti patogiau sprendžiant. Čia labai praverčia įgūdžiai konvertuoti vieno tipo lygtį į kito tipo lygtį.

Pirmiausia panagrinėkime perėjimą nuo bendrosios A x + B y + C = 0 lygties į kanoninę lygtį x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jei A ≠ 0, tai terminą B y perkeliame į dešinę bendrosios lygties pusę. Kairėje pusėje mes išimame A iš skliaustų. Dėl to gauname: A x + C A = - B y.

Šią lygybę galima parašyti kaip proporciją: x + C A - B = y A.

Jei B ≠ 0, kairėje bendrosios lygties pusėje paliekame tik terminą A x, kitus perkeliame į dešinę, gauname: A x = - B y - C. Iš skliaustų paimame – B, tada: A x = - B y + C B .

Perrašykime lygybę kaip proporciją: x - B = y + C B A.

Žinoma, nereikia įsiminti gautų formulių. Pereinant nuo bendrosios lygties prie kanoninės, pakanka žinoti veiksmų algoritmą.

5 pavyzdys

Pateikta bendroji tiesės 3 lygtis y - 4 = 0. Būtina jį paversti kanonine lygtimi.

Sprendimas

Parašykime pradinę lygtį 3 y – 4 = 0. Toliau einame pagal algoritmą: terminas 0 x lieka kairėje pusėje; o dešinėje pusėje dedame - 3 iš skliaustų; gauname: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Gautą lygybę parašykime proporcija: x - 3 = y - 4 3 0 . Taigi, mes gavome kanoninės formos lygtį.

Atsakymas: x - 3 = y - 4 3 0.

Norint paversti bendrąją tiesės lygtį į parametrines, pirmiausia pereinama prie kanoninės formos, o po to pereinama nuo kanoninės tiesės lygties prie parametrinių lygčių.

6 pavyzdys

Tiesi linija pateikiama lygtimi 2 x - 5 y - 1 = 0. Užrašykite šios eilutės parametrines lygtis.

Sprendimas

Pereikime nuo bendrosios lygties prie kanoninės:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Dabar paimame abi gautos kanoninės lygties puses, lygias λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Atsakymas:x = 5 λ y = -1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Bendrąją lygtį galima konvertuoti į tiesės, kurios nuolydis y = k · x + b, lygtį, bet tik tada, kai B ≠ 0. Perėjimui terminą B y paliekame kairėje pusėje, likusieji perkeliami į dešinę. Gauname: B y = - A x - C . Padalinkime abi gautos lygybės puses iš B, kurios skiriasi nuo nulio: y = - A B x - C B.

7 pavyzdys

Pateikiama bendroji tiesės lygtis: 2 x + 7 y = 0. Turite konvertuoti šią lygtį į nuolydžio lygtį.

Sprendimas

Atlikime reikiamus veiksmus pagal algoritmą:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Atsakymas: y = - 2 7 x .

Iš bendrosios tiesės lygties pakanka tiesiog gauti lygtį x a + y b = 1 formos atkarpose. Norėdami atlikti tokį perėjimą, skaičių C perkeliame į dešinę lygybės pusę, gautos lygybės abi puses padaliname iš – C ir galiausiai perkeliame kintamųjų x ir y koeficientus į vardiklius:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8 pavyzdys

Reikia paversti bendrąją tiesės x - 7 y + 1 2 = 0 lygtį į tiesės lygtį atkarpomis.

Sprendimas

Perkelkime 1 2 į dešinę pusę: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Abi lygybės puses padalinkime iš -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Atsakymas: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Apskritai atvirkštinis perėjimas taip pat yra lengvas: nuo kitų tipų lygčių prie bendrosios.

Linijos lygtis atkarpose ir lygtis su kampiniu koeficientu gali būti lengvai konvertuojama į bendrą, tiesiog surinkus visus terminus kairėje lygybės pusėje:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninė lygtis konvertuojama į bendrąją pagal šią schemą:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Norėdami pereiti nuo parametrinių, pirmiausia pereikite prie kanoninio, o tada prie bendro:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9 pavyzdys

Pateikiamos tiesės x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametrinės lygtys. Būtina užrašyti bendrąją šios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pereikime nuo parametrinių lygčių prie kanoninių:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pereikime nuo kanoninio prie bendro:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Atsakymas: y – 4 = 0

10 pavyzdys

Pateikta tiesės lygtis atkarpose x 3 + y 1 2 = 1. Būtina pereiti prie bendrosios lygties formos.

Sprendimas:

Tiesiog perrašome lygtį reikiama forma:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Atsakymas: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bendrosios tiesės lygties sudarymas

Aukščiau sakėme, kad bendrąją lygtį galima parašyti žinomomis normaliojo vektoriaus koordinatėmis ir taško, per kurį eina linija, koordinatėmis. Tokia tiesė apibrėžiama lygtimi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Ten taip pat išanalizavome atitinkamą pavyzdį.

Dabar pažvelkime į sudėtingesnius pavyzdžius, kuriuose pirmiausia turime nustatyti normalaus vektoriaus koordinates.

11 pavyzdys

Duota tiesė, lygiagreti tiesei 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Taip pat žinomas taškas M 0 (4, 1), per kurį eina duotoji tiesė. Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos mums sako, kad tiesės yra lygiagrečios, tada kaip normalųjį tiesės vektorių, kurios lygtį reikia parašyti, imame tiesės n → = (2, - 3) krypties vektorių: 2 x – 3 m. + 3 3 = 0. Dabar mes žinome visus reikalingus duomenis, kad sukurtume bendrą linijos lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Atsakymas: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

12 pavyzdys

Duota tiesė eina per pradžią statmenai tiesei x - 2 3 = y + 4 5. Būtina sukurti bendrąją lygtį duotai linijai.

Sprendimas

Normalusis tam tikros linijos vektorius bus tiesės x - 2 3 = y + 4 5 krypties vektorius.

Tada n → = (3, 5) . Tiesi linija eina per pradžią, t.y. per tašką O (0, 0). Sukurkime bendrąją duotosios linijos lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Atsakymas: 3 x + 5 y = 0 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Per bet kurį tašką galima nubrėžti begalinį skaičių tiesių.

Per bet kuriuos du nesutampančius taškus galima nubrėžti vieną tiesią liniją.

Dvi besiskiriančios plokštumos tiesės arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:

• linijos susikerta;

• linijos lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija— pirmosios eilės algebrinė kreivė: tiesė Dekarto koordinačių sistemoje

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

ir pastovus A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B Ir SU Galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- per pradžią eina tiesi linija

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = C = 0, A ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

. A = C = 0, B ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją

pradines sąlygas.

Tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C

Į gautą išraišką pakeisime duoto taško A koordinates Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) Ir M2 (x 2, y 2, z 2), Tada tiesės lygtis,

eina per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Įjungta

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

Jeigu x 1 ≠ x 2 Ir x = x 1, Jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydis tiesioginis.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:

Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.

Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 veda prie:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį

tiesė per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą

Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos eilutės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti šias sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 gauname C/A = -3, t.y. reikalinga lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tada dalijant iš -С gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi O A b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė Oi.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalioji tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ*C< 0.

r- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,

A φ - kampas, kurį sudaro šis statmenas su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys. Pateikiama bendroji linijos lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalinga parašyti įvairių tipų lygtis

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp tiesių plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos

Jeigu k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 Ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lygiagrečiai, kai koeficientai yra proporcingi

A 1 = λA, B 1 = λB. Jei taip pat С 1 = λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei skiriamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžiamas kaip:

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- iš taško nukritusio statmens pagrindas M už duotą

tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M Ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 Ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis

duota tiesi linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Tiesės lygtis plokštumoje.
Krypties vektorius yra tiesus. Normalus vektorius

Tiesi linija plokštumoje yra viena iš paprasčiausių geometrinių figūrų, jums pažįstama iš pradinės mokyklos, ir šiandien mes išmoksime su ja elgtis naudodamiesi analitinės geometrijos metodais. Norėdami įvaldyti medžiagą, turite mokėti nutiesti tiesią liniją; žinoti, kokia lygtis apibrėžia tiesią liniją, ypač tiesią, einančią per koordinačių pradžią ir lygiagrečias koordinačių ašims. Šią informaciją galite rasti vadove Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės, sukūriau jį Matanui, bet skyrelis apie tiesinę funkciją pasirodė labai sėkmingas ir detalus. Todėl, mieli arbatinukai, pirmiausia pasišildykite ten. Be to, jūs turite turėti pagrindinių žinių apie vektoriai, kitaip medžiagos supratimas bus nepilnas.

Šioje pamokoje apžvelgsime būdus, kaip galite sukurti tiesios linijos lygtį plokštumoje. Rekomenduoju neapleisti praktinių pavyzdžių (net jei tai atrodo labai paprasta), nes pateiksiu jiems elementarių ir svarbių faktų bei technikų, kurių prireiks ateityje, taip pat ir kitose aukštosios matematikos dalyse.

• Kaip parašyti tiesės lygtį su kampo koeficientu?
• kaip?
• Kaip rasti krypties vektorių naudojant bendrąją tiesės lygtį?
• Kaip parašyti tiesės lygtį su tašku ir normaliuoju vektoriumi?

ir pradedame:

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis

Yra vadinama gerai žinoma „mokyklinė“ tiesės lygties forma tiesės su nuolydžiu lygtis. Pavyzdžiui, jei tiesė nurodyta lygtimi, tai jos nuolydis yra: . Panagrinėkime geometrinę šio koeficiento reikšmę ir kaip jo vertė veikia linijos vietą:

Geometrijos kurse tai įrodyta tiesės nuolydis lygus kampo liestinė tarp teigiamos ašies kryptiesir ši linija: , o kampas „atsuka“ prieš laikrodžio rodyklę.

Kad brėžinys nebūtų netvarkingas, kampus nubrėžiau tik dviem tiesioms linijoms. Panagrinėkime „raudoną“ liniją ir jos nuolydį. Pagal tai, kas išdėstyta pirmiau: („alfa“ kampas pažymėtas žaliu lanku). „Mėlynos“ tiesios linijos su kampo koeficientu lygybė yra teisinga („beta“ kampas rodomas rudu lanku). Ir jei kampo liestinė žinoma, tada, jei reikia, ją lengva rasti ir pats kampas naudojant atvirkštinę funkciją – arctangentas. Kaip sakoma, trigonometrinė lentelė arba mikroskaičiuotuvas rankoje. Taigi, kampinis koeficientas apibūdina tiesės polinkio į abscisių ašį laipsnį.

Galimi šie atvejai:

1) Jei nuolydis neigiamas: tada linija, grubiai tariant, eina iš viršaus į apačią. Pavyzdžiai yra "mėlynos" ir "avietės" tiesios linijos brėžinyje.

2) Jei nuolydis teigiamas: , tada linija eina iš apačios į viršų. Pavyzdžiai - „juodos“ ir „raudonos“ tiesios linijos brėžinyje.

3) Jei nuolydis lygus nuliui: , tada lygtis įgauna formą , o atitinkama tiesė yra lygiagreti ašiai. Pavyzdys yra "geltona" tiesi linija.

4) tiesių šeimai, lygiagrečiai ašiai (brėžinyje nėra pavyzdžio, išskyrus pačią ašį), kampo koeficientas neegzistuoja (90 laipsnių liestinė neapibrėžta).

Kuo didesnis nuolydžio koeficientas absoliučia verte, tuo statesnis tiesiosios linijos grafikas..

Pavyzdžiui, apsvarstykite dvi tiesias linijas. Todėl čia tiesi linija turi didesnį nuolydį. Priminsiu, kad modulis leidžia ignoruoti ženklą, mus tik domina absoliučios vertės kampiniai koeficientai.

Savo ruožtu tiesi linija yra statesnė nei tiesi .

Ir atvirkščiai: kuo mažesnis nuolydžio koeficientas absoliučia verte, tuo plokštesnė tiesi.

Tiesioms linijoms nelygybė yra teisinga, todėl tiesi linija yra plokštesnė. Vaikiška čiuožykla, kad nesusidarytumėte sumušimų ir nelygumų.

Kodėl tai būtina?

Pratęskite kankinimą Žinodami aukščiau išvardintus faktus, galite iš karto pamatyti savo klaidas, ypač klaidas kuriant grafikus - jei brėžinyje pasirodo „akivaizdžiai kažkas negerai“. Patartina, kad jūs iš karto buvo aišku, kad, pavyzdžiui, tiesė yra labai stati ir eina iš apačios į viršų, o tiesė labai plokščia, prispausta prie ašies ir eina iš viršaus į apačią.

Geometriniuose uždaviniuose dažnai atsiranda kelios tiesios linijos, todėl patogu jas kažkaip pažymėti.

Pavadinimai: tiesios linijos žymimos mažomis lotyniškomis raidėmis: . Populiarus pasirinkimas yra pažymėti juos ta pačia raide su natūraliais indeksais. Pavyzdžiui, penkios eilutės, kurias ką tik žiūrėjome, gali būti pažymėtos .

Kadangi bet kurią tiesią liniją vienareikšmiškai lemia du taškai, ją galima žymėti šiais taškais: ir tt Pavadinimas aiškiai reiškia, kad taškai priklauso linijai.

Atėjo laikas šiek tiek sušilti:

Kaip parašyti tiesės lygtį su kampo koeficientu?

Jei žinomas tam tikrai tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės kampinis koeficientas, tai šios tiesės lygtis išreiškiama formule:

1 pavyzdys

Parašykite tiesės su kampo koeficientu lygtį, jei žinoma, kad taškas priklauso šiai tiesei.

Sprendimas: Sudarykime tiesės lygtį naudodami formulę . Šiuo atveju:

Atsakymas:

Apžiūra daroma paprastai. Pirmiausia žiūrime į gautą lygtį ir įsitikiname, kad mūsų nuolydis yra vietoje. Antra, taško koordinatės turi tenkinti šią lygtį. Įtraukime juos į lygtį:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad taškas tenkina gautą lygtį.

Išvada: lygtis rasta teisingai.

Sudėtingesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

2 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį, jei žinoma, kad jos polinkio kampas teigiamai ašies kryptimi yra , o taškas priklauso šiai tiesei.

Jei turite kokių nors sunkumų, dar kartą perskaitykite teorinę medžiagą. Tiksliau, praktiškiau, praleidžiu daugybę įrodymų.

Nuskambėjo paskutinis skambutis, baigėsi diplomų įteikimo šventė, o už gimtosios mokyklos vartų mūsų laukia pati analitinė geometrija. Anekdotai baigėsi... O gal jie tik prasideda =)

Nostalgiškai mojuojame rašikliu pažįstamam ir susipažįstame su bendra tiesės lygtimi. Kadangi analitinėje geometrijoje naudojama būtent tai:

Bendroji tiesės lygtis turi formą: , kur keli skaičiai. Tuo pačiu ir koeficientai vienu metu nėra lygūs nuliui, nes lygtis praranda prasmę.

Apsirengkime kostiumu ir susiekime lygtį su nuolydžio koeficientu. Pirmiausia perkelkime visus terminus į kairę pusę:

Pirmoje vietoje turi būti terminas su „X“:

Iš esmės lygtis jau turi formą , tačiau pagal matematinio etiketo taisykles pirmojo nario koeficientas (šiuo atveju) turi būti teigiamas. Keičiasi ženklai:

Prisiminkite šią techninę savybę! Pirmąjį koeficientą (dažniausiai) darome teigiamą!

Analitinėje geometrijoje tiesės lygtis beveik visada bus pateikta bendra forma. Na, o prireikus jį galima lengvai redukuoti iki „mokyklos“ formos su kampiniu koeficientu (išskyrus tieses, lygiagrečias ordinačių ašiai).

Paklauskime savęs, ką pakankamai mokate statyti tiesią liniją? Du taškai. Bet daugiau apie šį vaikystės įvykį, dabar laikosi strėlių taisyklės. Kiekviena tiesi linija turi labai specifinį nuolydį, prie kurio lengva „prisitaikyti“. vektorius.

Vektorius, kuris yra lygiagretus tiesei, vadinamas tos tiesės krypties vektoriumi. Akivaizdu, kad bet kuri tiesi linija turi begalinį krypties vektorių skaičių ir visi jie bus kolinearūs (bendrakrypčiai ar ne - nesvarbu).

Krypties vektorių pažymėsiu taip: .

Tačiau vieno vektoriaus neužtenka tiesei sukurti, vektorius yra laisvas ir nesusietas su jokiu plokštumos tašku. Todėl papildomai būtina žinoti tam tikrą tašką, kuris priklauso linijai.

Kaip parašyti tiesės lygtį naudojant tašką ir krypties vektorių?

Jei žinomas tam tikras tiesei priklausantis taškas ir šios linijos krypties vektorius, tada šios tiesės lygtį galima sudaryti naudojant formulę:

Kartais tai vadinama kanoninė tiesės lygtis .

Ką daryti kada viena iš koordinačių yra lygus nuliui, suprasime praktiniuose pavyzdžiuose žemiau. Beje, atkreipkite dėmesį - abu iš karto koordinatės negali būti lygios nuliui, nes nulinis vektorius nenurodo konkrečios krypties.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Sprendimas: Sudarykime tiesės lygtį naudodami formulę. Šiuo atveju:

Naudodamiesi proporcijų savybėmis, atsikratome trupmenų:

Ir mes pateikiame lygtį į bendrą formą:

Atsakymas:

Paprastai tokiuose pavyzdžiuose piešti nereikia, tačiau siekiant suprasti:

Brėžinyje matome pradinį tašką, pradinį krypties vektorių (jis gali būti braižytas iš bet kurio plokštumos taško) ir sukonstruotą tiesę. Beje, daugeliu atvejų patogiausia tiesiąją liniją konstruoti naudojant lygtį su kampiniu koeficientu. Nesunku paversti mūsų lygtį į formą ir lengvai pasirinkti kitą tašką tiesei sukurti.

Kaip pažymėta pastraipos pradžioje, tiesi linija turi begalinį krypties vektorių skaičių ir visi jie yra kolineariniai. Pavyzdžiui, aš nupiešiau tris tokius vektorius: . Kad ir kokią krypties vektorių pasirinktume, rezultatas visada bus ta pati tiesios linijos lygtis.

Sukurkime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Proporcijos sprendimas:

Padalinkite abi puses iš –2 ir gaukite pažįstamą lygtį:

Besidomintys vektorius gali išbandyti lygiai taip pat arba bet kuris kitas kolinearinis vektorius.

Dabar išspręskime atvirkštinę problemą:

Kaip rasti krypties vektorių naudojant bendrąją tiesės lygtį?

Labai paprasta:

Jei tiesė stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikta bendrąja lygtimi, tai vektorius yra šios tiesės krypties vektorius.

Tiesių linijų krypties vektorių radimo pavyzdžiai:

Teiginys leidžia mums rasti tik vieną krypties vektorių iš begalinio skaičiaus, bet mums nereikia daugiau. Nors kai kuriais atvejais patartina sumažinti krypties vektorių koordinates:

Taigi lygtis nurodo tiesę, kuri yra lygiagreti ašiai, o gauto krypties vektoriaus koordinatės patogiai padalinamos iš –2, kaip krypties vektorius gaunamas tiksliai bazinis vektorius. Logiška.

Lygiai taip pat lygtis nurodo tiesę, lygiagrečią ašiai, o vektoriaus koordinates padalijus iš 5, kaip krypties vektorių gauname vienetinį vektorių.

Dabar padarykime tai patikrinimas 3 pavyzdys. Pavyzdys pakilo, todėl primenu, kad jame mes sudarėme tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Pirmiausia, naudodamiesi tiesės lygtimi rekonstruojame jos krypties vektorių: – viskas gerai, gavome pradinį vektorių (kai kuriais atvejais rezultatas gali būti kolinearinis vektorius pirminiam, ir tai paprastai nesunku pastebėti pagal atitinkamų koordinačių proporcingumą).

Antra, taško koordinatės turi tenkinti lygtį. Mes juos pakeičiame į lygtį:

Gauta teisinga lygybė, kuo labai džiaugiamės.

Išvada: Užduotis atlikta teisingai.

4 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje. Labai patartina patikrinti naudojant ką tik aptartą algoritmą. Stenkitės visada (jei įmanoma) patikrinti juodraštį. Kvaila daryti klaidas ten, kur jų galima 100% išvengti.

Jei viena iš krypties vektoriaus koordinačių yra lygi nuliui, atlikite labai paprastai:

5 pavyzdys

Sprendimas: Formulė netinka, nes vardiklis dešinėje yra nulis. Yra išeitis! Naudodamiesi proporcijų savybėmis, formulę perrašome į formą, o likusią dalį riedame gilia provėža:

Atsakymas:

Apžiūra:

1) Atkurkite linijos nukreipimo vektorių:
– gautas vektorius yra kolinearinis pradiniam krypties vektoriui.

2) Pakeiskite taško koordinates į lygtį:

Gaunama teisinga lygybė

Išvada: teisingai atlikta užduotis

Kyla klausimas, kam sukti galvą dėl formulės, jei yra universali versija, kuri tiks bet kokiu atveju? Yra dvi priežastys. Pirma, formulė yra trupmenos forma daug geriau atsimena. Ir antra, universalios formulės trūkumas yra tas žymiai padidėja rizika susipainioti pakeičiant koordinates.

6 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Grįžkime prie dviejų visur paplitusių dalykų:

Kaip parašyti tiesės lygtį naudojant du taškus?

Jei žinomi du taškai, tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis gali būti sudaryta naudojant formulę:

Tiesą sakant, tai yra formulės tipas ir štai kodėl: jei žinomi du taškai, vektorius bus nurodytos linijos krypties vektorius. Klasėje Manekenų vektoriai svarstėme paprasčiausią uždavinį – kaip rasti vektoriaus koordinates iš dviejų taškų. Pagal šią problemą krypties vektoriaus koordinatės yra šios:

Pastaba : taškus galima „sukeisti“ ir naudoti formulę . Toks sprendimas bus lygiavertis.

7 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami du taškus .

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Sujungus vardiklius:

Ir sumaišyk kaladę:

Dabar pats laikas atsikratyti trupmeninių skaičių. Tokiu atveju turite padauginti abi puses iš 6:

Atidarykite skliaustus ir prisiminkite lygtį:

Atsakymas:

Apžiūra akivaizdu – pradinių taškų koordinatės turi tenkinti gautą lygtį:

1) Pakeiskite taško koordinates:

Tikra lygybė.

2) Pakeiskite taško koordinates:

Tikra lygybė.

Išvada: tiesės lygtis parašyta teisingai.

Jeigu bent vienas taškų netenkina lygtis, ieškokite klaidos.

Verta paminėti, kad grafinis patikrinimas šiuo atveju yra sudėtingas, nes sukonstruokite tiesią liniją ir pažiūrėkite, ar taškai priklauso jai , ne taip paprasta.

Pažymėsiu dar keletą techninių sprendimo aspektų. Galbūt šioje problemoje pelningiau naudoti veidrodinę formulę ir tuose pačiuose taškuose sudaryti lygtį:

Mažiau frakcijų. Jei norite, sprendimą galite atlikti iki galo, rezultatas turėtų būti ta pati lygtis.

Antras dalykas – pažvelgti į galutinį atsakymą ir išsiaiškinti, ar jį galima dar labiau supaprastinti? Pavyzdžiui, jei gaunate lygtį , patartina ją sumažinti dviem: – lygtis apibrėžs tą pačią tiesę. Tačiau tai jau yra pokalbio tema santykinė linijų padėtis.

Gavęs atsakymą 7 pavyzdyje tik tuo atveju patikrinau, ar VISI lygties koeficientai dalijasi iš 2, 3 ar 7. Nors dažniausiai tokie sumažinimai daromi sprendimo metu.

8 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per taškus, lygtį .

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, kuris leis geriau suprasti ir praktikuoti skaičiavimo būdus.

Panašiai kaip ir ankstesnėje pastraipoje: jei formulėje vienas iš vardiklių (krypties vektoriaus koordinatė) tampa nuliu, tada perrašome į formą . Vėlgi, atkreipkite dėmesį, kaip ji atrodo nejaukiai ir sutrikusi. Nematau prasmės pateikti praktinių pavyzdžių, nes mes jau iš tikrųjų išsprendėme šią problemą (žr. Nr. 5, 6).

Tiesioginis normalus vektorius (normalus vektorius)

Kas yra normalu? Paprastais žodžiais tariant, normalus yra statmenas. Tai yra, normalusis linijos vektorius yra statmenas nurodytai tiesei. Akivaizdu, kad bet kuri tiesė turi begalinį jų skaičių (taip pat ir krypties vektorių), o visi normalūs tiesės vektoriai bus kolineariniai (bendrakrypčiai ar ne, nesvarbu).

Susitvarkyti su jais bus dar lengviau nei su orientaciniais vektoriais:

Jei tiesė yra pateikta bendra lygtimi stačiakampėje koordinačių sistemoje, tai vektorius yra normalusis šios tiesės vektorius.

Jei krypties vektoriaus koordinates reikia atsargiai „ištraukti“ iš lygties, tai normalaus vektoriaus koordinates galima tiesiog „pašalinti“.

Normalusis vektorius visada yra statmenas tiesės krypties vektoriui. Patikrinkite šių vektorių ortogonalumą naudodami taškinis produktas:

Pateiksiu pavyzdžius su tomis pačiomis lygtimis kaip ir krypties vektoriui:

Ar galima sudaryti tiesės, duotos vieno taško ir normalaus vektoriaus, lygtį? Jaučiu tai savo žarnyne, tai įmanoma. Jei žinomas normalus vektorius, tada pačios tiesės kryptis yra aiškiai apibrėžta - tai yra „standžia konstrukcija“, kurios kampas yra 90 laipsnių.

Kaip parašyti tiesės lygtį su tašku ir normaliuoju vektoriumi?

Jei žinomas tam tikras tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės normalusis vektorius, tai šios tiesės lygtis išreiškiama formule:

Čia viskas pavyko be trupmenų ir kitų netikėtumų. Tai yra mūsų normalus vektorius. Mylėk jį. Ir pagarba =)

9 pavyzdys

Parašykite tiesės su tašku ir normaliuoju vektoriumi lygtį. Raskite linijos krypties vektorių.

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Gauta bendroji linijos lygtis, patikrinkime:

1) „Pašalinkite“ normalaus vektoriaus koordinates iš lygties: – taip, iš tiesų, pirminis vektorius buvo gautas iš sąlygos (arba turėtų būti gautas kolinearinis vektorius).

2) Patikrinkime, ar taškas tenkina lygtį:

Tikra lygybė.

Įsitikinus, kad lygtis sudaryta teisingai, atliksime antrąją, lengvesnę užduoties dalį. Išimame tiesės nukreipimo vektorių:

Atsakymas:

Brėžinyje situacija atrodo taip:

Mokymo tikslais panaši užduotis sprendžiant savarankiškai:

10 pavyzdys

Parašykite tiesės su tašku ir normaliuoju vektoriumi lygtį. Raskite linijos krypties vektorių.

Paskutinė pamokos dalis bus skirta retesniems, bet ir svarbiems plokštumos tiesės lygčių tipams.

Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Parametrinės formos tiesės lygtis

Tiesių linijų lygtis segmentuose turi formą , kur yra nulinės konstantos. Kai kurių tipų lygtys negali būti pavaizduotos šia forma, pavyzdžiui, tiesioginis proporcingumas (nes laisvasis narys yra lygus nuliui ir nėra galimybės gauti vieneto dešinėje).

Tai, vaizdžiai tariant, yra „techninio“ lygties tipas. Dažna užduotis yra pavaizduoti bendrąją linijos lygtį kaip linijos lygtį atkarpomis. Kaip tai patogu? Tiesės lygtis atkarpomis leidžia greitai rasti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, o tai gali būti labai svarbu kai kuriuose aukštosios matematikos uždaviniuose.

Raskime tiesės susikirtimo su ašimi tašką. Iš naujo nustatome „y“ ir lygtis įgauna formą . Norimas taškas gaunamas automatiškai: .

Tas pats su ašimi – taškas, kuriame tiesė kerta ordinačių ašį.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

Be to, konstantos A ir B tuo pačiu metu nėra lygios nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis. Atsižvelgiant į konstantų A, B ir C vertes, galimi šie specialūs atvejai:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – tiesė eina per pradžios tašką

A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Ox ašiai

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Oy ašiai

B = C = 0, A ≠0 – tiesė sutampa su Oy ašimi

A = C = 0, B ≠0 – tiesė sutampa su Ox ašimi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.

Tiesės iš taško ir normaliojo vektoriaus lygtis

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B) yra statmenas tiesei, kurią suteikia lygtis Ax + By + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką A(1, 2), statmeną (3, -1), lygtį.

Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x – y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C, gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. 3 – 2 + C = 0, todėl C = -1 . Iš viso: reikalinga lygtis: 3x – y – 1 = 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis:

Jei kuris nors vardiklis yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui.

jei x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2.

Vadinama trupmena = k nuolydis tiesioginis.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:

Tiesios linijos iš taško ir nuolydžio lygtis

Jei bendras Ax + Bu + C = 0, eikite į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu lygtisk.

Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis

Analogiškai su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti tiesės apibrėžimą per tašką ir tiesės nukreipimo vektorių.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1, α 2), kurio komponentai tenkina sąlygą A α 1 + B α 2 = 0, vadinamas tiesės nukreipiamuoju vektoriumi.

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0. Jei x = 1, y = 2, gauname C/ A = -3, t.y. reikalinga lygtis:

Atkarpų tiesės lygtis

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tai dalijant iš –С gauname: arba

Koeficientų geometrinė reikšmė yra ta, kad koeficientas A yra tiesės susikirtimo su Ox ašimi taško koordinatė ir b– tiesės susikirtimo su Oy ašimi taško koordinatė.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės x – y + 1 = 0 lygtis. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalioji tiesės lygtis

Jei abi lygties pusės Ax + By + C = 0 padauginamos iš skaičiaus kuris vadinamas normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ – p = 0 –

normalioji tiesės lygtis. Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip, kad μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Pavyzdys. Pateikiama bendroji eilutės 12x – 5y – 65 = 0 lygtis. Šiai eilutei reikia parašyti įvairių tipų lygtis.

šios linijos lygtis segmentais:

šios tiesės ir nuolydžio lygtis: (padalinkite iš 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės, lygiagrečios ašims arba einančios per koordinačių pradžią.

Pavyzdys. Tiesi linija nupjauna lygias teigiamas atkarpas koordinačių ašyse. Parašykite tiesės lygtį, jei iš šių atkarpų sudaryto trikampio plotas yra 8 cm 2.

Sprendimas. Tiesės lygtis yra tokia: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką A(-2, -3), ir pradžios lygtį.

Sprendimas. Tiesios linijos lygtis yra tokia: , kur x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Kampas tarp tiesių plokštumoje

Apibrėžimas. Jei dvi tiesės pateiktos y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų bus apibrėžtas kaip

.

Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Tiesės Ax + Bу + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 = λA, B 1 = λB yra proporcingi. Jei taip pat C 1 = λC, tai tiesės sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis

Apibrėžimas. Tiesi linija, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y = kx + b, pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Teorema. Jei duotas taškas M(x 0, y 0), tai atstumas iki tiesės Ax + Bу + C = 0 nustatomas kaip

.

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į nurodytą tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti išsprendus lygčių sistemą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną duotai tiesei, lygtis. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Iš 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x – 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y – 3 = 0 yra statmenos.

Sprendimas. Randame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, vadinasi, tiesės yra statmenos.

Pavyzdys. Duotos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.

Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Reikalinga aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: iš kur b = 17. Iš viso: .

Atsakymas: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Šiame straipsnyje mes apsvarstysime bendrąją tiesės plokštumoje lygtį. Pateiksime bendrosios tiesės lygties sudarymo pavyzdžius, jei žinomi du šios tiesės taškai arba vienas taškas ir šios tiesės normalusis vektorius. Pateiksime bendrosios formos lygties transformavimo į kanonines ir parametrines formas metodus.

Tegu pateikta savavališka Dekarto stačiakampių koordinačių sistema Oxy. Apsvarstykite pirmojo laipsnio arba tiesinę lygtį:

Kur A, B, C− kai kurios konstantos ir bent vienas iš elementų A Ir B skiriasi nuo nulio.

Parodysime, kad tiesinė lygtis plokštumoje apibrėžia tiesę. Įrodykime tokią teoremą.

1 teorema. Savavališkoje Dekarto stačiakampėje plokštumos koordinačių sistemoje kiekviena tiesė gali būti nurodyta tiesine lygtimi. Ir atvirkščiai, kiekviena tiesinė lygtis (1) savavališkoje Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje apibrėžia tiesę.

Įrodymas. Pakanka įrodyti, kad tiesė L yra nustatytas bet kurios Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos tiesine lygtimi, nes tada ji bus nustatyta tiesine lygtimi bet kokiai Dekarto stačiakampių koordinačių sistemai.

Tegul plokštumoje pateikiama tiesi linija L. Parinkime tokią koordinačių sistemą, kad ašis Jautis sutapo su tiesia linija L, ir ašis Oy buvo jai statmenas. Tada linijos lygtis L bus tokia forma:

Visi taškai tiesėje L tenkins tiesinę (2) lygtį, o visi už šios linijos esantys taškai netenkins (2) lygties. Pirmoji teoremos dalis įrodyta.

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema ir tiesinė lygtis (1), kurioje bent vienas iš elementų A Ir B skiriasi nuo nulio. Raskime geometrinį lokusą taškų, kurių koordinatės tenkina (1) lygtį. Kadangi bent vienas iš koeficientų A Ir B skiriasi nuo nulio, tada (1) lygtis turi bent vieną sprendimą M(x 0 ,y 0). (Pavyzdžiui, kada A≠0, taškas M 0 (−C/A, 0) priklauso nurodytam geometriniam taškų lokusui). Pakeitę šias koordinates į (1), gauname tapatybę

Iš (1) atimkime tapatybę (3):

Akivaizdu, kad (4) lygtis yra lygiavertė (1) lygčiai. Todėl pakanka įrodyti, kad (4) apibrėžia tam tikrą tiesę.

Kadangi nagrinėjame Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą, iš lygybės (4) išplaukia, kad vektorius su komponentais ( x−x 0 , y-y 0 ) stačiakampis vektoriui n su koordinatėmis ( A, B}.

Panagrinėkime tiesią liniją L, einantis per tašką M 0 (x 0 , y 0) ir statmenai vektoriui n(1 pav.). Tegul taškas M(x,y) priklauso eilutei L. Tada vektorius su koordinatėmis x−x 0 , y-y 0 statmenai n ir (4) lygtis tenkinama (vektorių skaliarinė sandauga). n ir lygus nuliui). Ir atvirkščiai, jei taškas M(x,y) nėra ant linijos L, tada vektorius su koordinatėmis x−x 0 , y-y 0 nėra stačiakampis vektoriui n ir (4) lygtis netenkinama. Teorema įrodyta.

Įrodymas. Kadangi linijos (5) ir (6) apibrėžia tą pačią tiesę, tada normalieji vektoriai n 1 ={A 1 ,B 1) ir n 2 ={A 2 ,B 2) kolinearinis. Kadangi vektoriai n 1 ≠0, n 2 ≠0, tada yra toks skaičius λ , Ką n 2 =n 1 λ . Iš čia turime: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Įrodykime tai C 2 =C 1 λ . Akivaizdu, kad sutampančios linijos turi bendrą tašką M 0 (x 0 , y 0). Padauginus lygtį (5) iš λ ir iš jos atėmę (6) lygtį, gauname:

Kadangi pirmosios dvi lygybės iš reiškinių (7) yra tenkinamos, tada C 1 λ −C 2 = 0. Tie. C 2 =C 1 λ . Pastaba pasitvirtino.

Atkreipkite dėmesį, kad (4) lygtis apibrėžia tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 (x 0 , y 0) ir turintis normalųjį vektorių n={A, B). Todėl, jei yra žinomas tiesės normalusis vektorius ir jai priklausantis taškas, tai bendrąją tiesės lygtį galima sudaryti naudojant (4) lygtį.

1 pavyzdys. Tiesė eina per tašką M=(4,−1) ir turi normalųjį vektorių n=(3, 5). Sukurkite bendrąją tiesės lygtį.

Sprendimas. Turime: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Norėdami sudaryti bendrąją tiesės lygtį, šias reikšmes pakeičiame (4) lygtimi:

Atsakymas:

Vektorius yra lygiagretus tiesei L ir todėl statmenai normaliajam tiesės vektoriui L. Sukurkime normaliosios linijos vektorių L, atsižvelgiant į tai, kad vektorių skaliarinė sandauga n ir lygus nuliui. Galime rašyti pvz. n={1,−3}.

Norėdami sudaryti bendrąją tiesės lygtį, naudojame formulę (4). Pakeiskime taško koordinates į (4) M 1 (taip pat galime paimti taško koordinates M 2) ir normalusis vektorius n:

Taškų koordinates pakeitimas M 1 ir M 2 (9) galime įsitikinti, kad tiesė, nurodyta (9) lygtyje, eina per šiuos taškus.

Atsakymas:

Iš (1) atimkite (10):

Gavome kanoninę tiesės lygtį. Vektorius q={−B, A) yra linijos (12) krypties vektorius.

Žiūrėkite atvirkštinį konvertavimą.

3 pavyzdys. Tiesė plokštumoje pavaizduota tokia bendra lygtimi:

Perkelkime antrąjį narį į dešinę ir padalykime abi lygties puses iš 2·5.