Тооны дараалал нь арифметик ба геометрийн шинж чанартай байдаг. Арифметик ба геометрийн прогрессууд

Хэрэв натурал тоо бүрийн хувьд n бодит тоотой таарна a n , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг тооны дараалал :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

Тиймээс тооны дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм.

Тоо а 1 дуудсан дарааллын эхний гишүүн , тоо а 2 — дарааллын хоёр дахь гишүүн , тоо а 3 — гурав дахь гэх мэт. Тоо a n дуудсан дарааллын n-р гишүүн , мөн натурал тоо n — түүний дугаар .

Хоёр зэргэлдээ гишүүнээс a n Тэгээд a n +1 дарааллын гишүүн a n +1 дуудсан дараагийн ( зүг a n ), А a n — өмнөх ( зүг a n +1 ).

Дараалалыг тодорхойлохын тулд та дарааллын гишүүнийг дурын тоогоор олох боломжийг олгох аргыг зааж өгөх хэрэгтэй.

Ихэнхдээ дарааллыг ашиглан зааж өгдөг n-р хугацааны томьёо , өөрөөр хэлбэл, дарааллын гишүүнийг тоогоор нь тодорхойлох боломжийг олгодог томьёо.

Жишээлбэл,

эерэг сондгой тооны дарааллыг томъёогоор өгч болно

a n= 2n- 1,

болон ээлжлэн солих дараалал 1 Тэгээд -1 - томьёо

б n = (-1)n +1 . ◄

Дарааллыг тодорхойлж болно давтагдах томъёо, өөрөөр хэлбэл, өмнөх (нэг ба түүнээс дээш) гишүүдээр дамжуулан заримаас эхлэн дарааллын аль нэг гишүүнийг илэрхийлэх томъёо юм.

Жишээлбэл,

Хэрэв а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Хэрэв a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно.

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Дараалал байж болно эцсийн Тэгээд эцэс төгсгөлгүй .

Дараалал гэж нэрлэдэг эцсийн , хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал тооны гишүүдтэй бол. Дараалал гэж нэрлэдэг эцэс төгсгөлгүй , хэрэв энэ нь хязгааргүй олон гишүүнтэй бол.

Жишээлбэл,

Хоёр оронтой натурал тооны дараалал:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

эцсийн.

Анхны тоонуудын дараалал:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

эцэс төгсгөлгүй. ◄

Дараалал гэж нэрлэдэг нэмэгдэх , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө их байвал.

Дараалал гэж нэрлэдэг буурч байна , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө бага байвал.

Жишээлбэл,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - нэмэгдүүлэх дараалал;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - дараалал буурах. ◄

Элементүүд нь тоо нэмэгдэх тусам буурдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дарааллыг гэнэ. нэг хэвийн дараалал .

Ялангуяа монотоник дараалал нь дараалал нэмэгдэж, дараалал буурч байна.

Арифметик прогресс

Арифметик прогресс гэдэг нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр өмнөхтэй нь тэнцүү байх дараалал бөгөөд түүнд ижил тоо нэмэгдэнэ.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

аль нэг натурал тооны хувьд арифметик прогресс юм n нөхцөл хангагдсан:

a n +1 = a n + г,

Хаана г - тодорхой тоо.

Тиймээс өгөгдсөн арифметик прогрессийн дараагийн болон өмнөх нөхцлүүдийн хоорондын ялгаа үргэлж тогтмол байна:

a 2 - а 1 = a 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.

Тоо г дуудсан арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийг тодорхойлохын тулд түүний эхний гишүүн ба ялгааг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээлбэл,

Хэрэв а 1 = 3, г = 4 , дараа нь бид дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

a 1 =3,

a 2 = a 1 + г = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + г= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + г= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄

Эхний гишүүнтэй арифметик прогрессийн хувьд а 1 болон ялгаа г түүнийг n

a n = a 1 + (n- 1)г.

Жишээлбэл,

арифметик прогрессийн гучин гишүүнийг ол

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, г = 3,

нь 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)г,

a n= a 1 + (n- 1)г,

a n +1 = а 1 + nd,

тэгвэл ойлгомжтой

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

a, b, c тоонууд нь тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө хоёрын арифметик дундажтай тэнцүү байх тохиолдолд зарим арифметик прогрессийн дараалсан гишүүн болно.

Жишээлбэл,

a n = 2n- 7 , нь арифметик прогресс юм.

Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Тиймээс,

◄

Тэрийг тэмдэглэ n Арифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно а 1 , гэхдээ өмнөх ямар ч байсан a k

a n = a k + (n- к)г.

Жишээлбэл,

Учир нь а 5 бичиж болно

а 5 = a 1 + 4г,

а 5 = a 2 + 3г,

а 5 = a 3 + 2г,

а 5 = a 4 + г. ◄

a n = а н-к + кд,

a n = a n+k - кд,

тэгвэл ойлгомжтой

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн аль ч гишүүн нь энэ арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа арифметик прогрессийн хувьд дараахь тэгшитгэлийг хангана.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Жишээлбэл,

арифметик прогрессоор

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = a 3 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, учир нь

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

эхлээд n Арифметик прогрессийн гишүүд нь туйлын гишүүн ба гишүүний тооны нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.

Эндээс, тухайлбал, хэрэв та нөхцлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол энэ нь дараах байдалтай байна

a k, a k +1 , . . . , a n,

Дараа нь өмнөх томьёо нь бүтэцээ хадгална:

Жишээлбэл,

арифметик прогрессоор 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Хэрэв арифметик прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд а 1 , a n, г, nТэгээдС n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын утгыг өгсөн бол бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг эдгээр томъёоноос тодорхойлж, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэнэ.

Арифметик прогресс нь монотон дараалал юм. Үүнд:

• Хэрэв г > 0 , дараа нь энэ нь нэмэгдэж байна;
• Хэрэв г < 0 , дараа нь буурч байна;
• Хэрэв г = 0 , дараа нь хөдөлгөөнгүй байх болно.

Геометрийн прогресс

Геометрийн прогресс гэдэг нь хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр өмнөхтэй нь ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байх дараалал юм.

б 1 , б 2 , б 3 , . . . , б н, . . .

ямар нэгэн натурал тооны хувьд геометр прогресс байна n нөхцөл хангагдсан:

б н +1 = б н · q,

Хаана q ≠ 0 - тодорхой тоо.

Тиймээс өгөгдсөн геометрийн прогрессийн дараагийн гишүүний өмнөхтэй харьцуулсан харьцаа нь тогтмол тоо юм.

б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = б н +1 / б н = q.

Тоо q дуудсан геометр прогрессийн хуваагч.

Геометр прогрессийг тодорхойлохын тулд түүний эхний гишүүн болон хуваагчийг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээлбэл,

Хэрэв б 1 = 1, q = -3 , дараа нь бид дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

б 1 = 1,

б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,

б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,

б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

б 1 ба хуваагч q түүнийг n 2-р нэр томъёог дараах томъёогоор олж болно.

б н = б 1 · qn -1 .

Жишээлбэл,

геометр прогрессийн долоо дахь гишүүнийг ол 1, 2, 4, . . .

б 1 = 1, q = 2,

б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = б 1 · qn -2 ,

б н = б 1 · qn -1 ,

б н +1 = б 1 · qn,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н -1 · б н +1 ,

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометрийн прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн геометрийн дундажтай (пропорциональ) тэнцүү байна.

Эсрэг заалт нь бас үнэн тул дараахь мэдэгдэлд нийцнэ.

a, b, c тоонууд нь тэдгээрийн аль нэгнийх нь квадрат нь нөгөө хоёрын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл аль нэг нь нөгөө хоёрын геометрийн дундаж нь байвал геометрийн зарим прогрессийн дараалсан гишүүн болно.

Жишээлбэл,

Томъёогоор өгөгдсөн дараалал гэдгийг баталцгаая б н= -3 2 n , нь геометрийн прогресс юм. Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

б н= -3 2 n,

б н -1 = -3 2 n -1 ,

б н +1 = -3 2 n +1 .

Тиймээс,

б н 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = б н -1 · б н +1 ,

Энэ нь хүссэн мэдэгдлийг баталж байна. ◄

Тэрийг тэмдэглэ n Геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно б 1 , гэхдээ өмнөх гишүүн ч байсан б к , үүний тулд томъёог ашиглахад хангалттай

б н = б к · qn - к.

Жишээлбэл,

Учир нь б 5 бичиж болно

б 5 = б 1 · q 4 ,

б 5 = б 2 · q 3,

б 5 = б 3 · q 2,

б 5 = б 4 · q. ◄

б н = б к · qn - к,

б н = б н - к · q k,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н - к· б н + к

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометр прогрессийн аль ч гишүүний квадрат нь энэ прогрессийн тэнцүү зайтай гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа геометр прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.

б м· б н= б к· б л,

м+ n= к+ л.

Жишээлбэл,

геометрийн прогрессоор

1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;

2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;

4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , учир нь

б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,

б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + б н

эхлээд n хуваагчтай геометр прогрессийн гишүүд q ≠ 0 томъёогоор тооцоолно:

Тэгээд хэзээ q = 1 - томьёоны дагуу

S n= Nb 1

Хэрэв та нөхцлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол гэдгийг анхаарна уу

б к, б к +1 , . . . , б н,

Дараа нь томъёог ашиглана:

Жишээлбэл,

геометрийн прогрессоор 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Хэрэв геометрийн прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд б 1 , б н, q, nТэгээд S n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын аль нэгийн утгыг өгсөн бол бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг эдгээр томъёоноос тодорхойлж, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэнэ.

Эхний гишүүнтэй геометр прогрессийн хувьд б 1 ба хуваагч q дараах үйл явдал болно монотон байдлын шинж чанарууд :

• Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил нэмэгдэнэ.

б 1 > 0 Тэгээд q> 1;

б 1 < 0 Тэгээд 0 < q< 1;

• Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд явц буурна.

б 1 > 0 Тэгээд 0 < q< 1;

б 1 < 0 Тэгээд q> 1.

Хэрэв q< 0 , дараа нь геометрийн прогресс нь ээлжлэн солигдоно: сондгой тоотой гишүүний эхний гишүүнтэй ижил тэмдэгтэй, тэгш тоотой гишүүний эсрэг тэмдэгтэй байна. Хувьсах геометрийн прогресс нь монотон биш гэдэг нь ойлгомжтой.

Анхны бүтээгдэхүүн n Геометр прогрессийн нөхцөлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

Pn= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · б н = (б 1 · б н) n / 2 .

Жишээлбэл,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Хязгааргүй буурах геометр прогресс

Хязгааргүй буурах геометр прогресс хуваарийн модуль нь бага байдаг хязгааргүй геометр прогресс гэж нэрлэдэг 1 , тэр бол

|q| < 1 .

Хязгааргүй буурч буй геометрийн прогресс нь буурах дараалал биш байж болохыг анхаарна уу. Энэ нь тухайн нөхцөл байдалд тохирсон

1 < q< 0 .

Ийм хуваагчтай бол дараалал нь ээлжлэн солигддог. Жишээлбэл,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр эхнийхүүдийн нийлбэр хязгааргүй ойртох тоог нэрлэнэ үү n тооны хязгааргүй өсөлт бүхий прогрессийн гишүүд n . Энэ тоо үргэлж хязгаарлагдмал бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ

Жишээлбэл,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Арифметик ба геометр прогрессийн хамаарал

Арифметик ба геометрийн прогрессууд хоорондоо нягт холбоотой. Хоёрхон жишээг авч үзье.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . г , Тэр

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .

Жишээлбэл,

1, 3, 5, . . . - ялгавартай арифметик прогресс 2 Тэгээд

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - хуваагчтай геометр прогресс 7 2 . ◄

б 1 , б 2 , б 3 , . . . - хуваагчтай геометр прогресс q , Тэр

log a b 1, бүртгэл a b 2, бүртгэл a b 3, . . . - ялгавартай арифметик прогресс бүртгэл аq .

Жишээлбэл,

2, 12, 72, . . . - хуваагчтай геометр прогресс 6 Тэгээд

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ялгавартай арифметик прогресс lg 6 . ◄

Вида y= е(x), xТУХАЙ Н, Хаана Н– натурал тоонуудын багц (эсвэл натурал аргументийн функц) -ээр тэмдэглэгдсэн y=е(n) эсвэл y 1 ,y 2 ,…, у н,…. Үнэ цэнэ y 1 ,y 2 ,y 3 ,… дарааллын нэг, хоёр, гурав, ... гишүүд гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, функцийн хувьд y= n 2 гэж бичиж болно:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Дараалалыг тодорхойлох аргууд.Дарааллыг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болох бөгөөд эдгээрийн дотроос гурван зүйл онцгой ач холбогдолтой: аналитик, дүрслэх, давтагдах.

1. Дарааллыг томьёо нь өгсөн бол аналитик байдлаар өгнө nр гишүүн:

у н=е(n).

Жишээ. у н= 2n - 1 – сондгой тооны дараалал: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Дүрслэх Тоон дарааллыг тодорхойлох арга нь дараалал нь ямар элементүүдээс бүтсэнийг тайлбарлах явдал юм.

Жишээ 1. “Даралалын бүх гишүүн 1-тэй тэнцүү байна.” Энэ нь бид 1, 1, 1, …, 1, … гэсэн хөдөлгөөнгүй дарааллын тухай ярьж байна гэсэн үг юм.

Жишээ 2: "Дараалал нь өсөх дарааллаар бүх анхны тооноос бүрдэнэ." Тиймээс өгөгдсөн дараалал нь 2, 3, 5, 7, 11, ... байна. Энэ жишээн дээрх дарааллыг тодорхойлох энэ аргын тусламжтайгаар дарааллын 1000 дахь элемент нь юутай тэнцүү вэ гэж хариулахад хэцүү байдаг.

3. Дараалалыг тодорхойлох давтагдах арга нь тооцоолох боломжийг олгодог дүрмийг зааж өгөх явдал юм. n-хэрэв өмнөх гишүүд нь мэдэгдэж байгаа бол дарааллын гишүүн. Давтагдах аргын нэр нь Латин үгнээс гаралтай давтагдах- буцаж ирэх. Ихэнхдээ ийм тохиолдолд илэрхийлэх боломжийг олгодог томъёог зааж өгдөг nдарааллын 1-р гишүүнийг өмнөх гишүүнээр дамжуулан, дарааллын эхний 1-2 гишүүнийг зааж өгнө.

Жишээ 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 бол n = 2, 3, 4,….

Энд y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Энэ жишээн дээр олж авсан дарааллыг аналитик байдлаар зааж өгч болно гэдгийг та харж болно. у н= 4n - 1.

Жишээ 2. y 1 = 1; y 2 = 1; у н = у н –2 + у н-1 бол n = 3, 4,….

Энд: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Энэ жишээн дэх дараалал нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанар, хэрэглээтэй тул математикт ялангуяа судлагдсан болно. Үүнийг 13-р зууны Италийн математикчийн нэрээр нэрлэгдсэн Фибоначчийн дараалал гэж нэрлэдэг. Фибоначчийн дарааллыг байнга тодорхойлох нь маш хялбар боловч аналитикийн хувьд маш хэцүү байдаг. nФибоначчийн дугаарыг серийн дугаараар нь дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Эхлээд харахад томъёо nНатурал тоонуудын дарааллыг тодорхойлсон томьёо нь зөвхөн квадрат язгуур агуулсан тул Фибоначчийн тоо нь боломжгүй юм шиг санагдаж байна, гэхдээ та эхний хэдэн томъёоны хувьд энэ томьёоны хүчинтэй эсэхийг "гараар" шалгаж болно. n.

Тооны дарааллын шинж чанарууд.

Тоон дараалал нь тоон функцийн онцгой тохиолдол тул функцүүдийн хэд хэдэн шинж чанарыг дарааллаар нь авч үздэг.

Тодорхойлолт . Дараалал ( у н} Хэрэв түүний нөхцөл бүр (эхнийхээс бусад) өмнөхөөсөө их байвал түүнийг нэмэгдүүлэх гэж нэрлэдэг.

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Тодорхойлолт.Дараал ( у н} Хэрэв түүний нөхцөл бүр (эхнийхээс бусад) өмнөхөөсөө бага байвал бууралт гэж нэрлэдэг.

y 1 > y 2 > y 3 > … > у н> у н +1 > … .

Өсөх, буурах дарааллыг нийтлэг нэр томъёоны дор нэгтгэдэг - монотон дараалал.

Жишээ 1. y 1 = 1; у н= n 2 - нэмэгдүүлэх дараалал.

Тиймээс дараах теорем үнэн (арифметик прогрессийн шинж чанар). Эхний (мөн төгсгөлийн дарааллын хувьд сүүлчийнх)-ээс бусад гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байвал тооны дараалал нь арифметик болно.

Жишээ. Ямар үнээр xтоо 3 x + 2, 5x- 4 ба 11 x+ 12 нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс үүсгэх үү?

Онцлог шинж чанарын дагуу өгөгдсөн илэрхийллүүд нь харилцааг хангах ёстой

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь гарна x= –5,5. Энэ үнэ цэнээр xөгөгдсөн илэрхийллүүд 3 x + 2, 5x- 4 ба 11 x+ 12 нь -14.5 утгыг тус тус авна. –31,5, –48,5. Энэ бол арифметик прогресс, ялгаа нь -17.

Геометрийн прогресс.

Бүх гишүүн нь тэг биш бөгөөд хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүрийг өмнөх гишүүнээс ижил тоогоор үржүүлж гаргаж авсан тоон дараалал. q, геометр прогресс гэж нэрлэдэг ба тоо q- геометр прогрессийн хуваагч.

Тиймээс геометр прогресс нь тооны дараалал ( б н), харилцаагаар рекурсив байдлаар тодорхойлогддог

б 1 = б, б н = б н –1 q (n = 2, 3, 4…).

(бТэгээд q -өгсөн тоо, б ≠ 0, q ≠ 0).

Жишээ 1. 2, 6, 18, 54, ... – геометр прогрессийн өсөлт б = 2, q = 3.

Жишээ 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрийн прогресс б= 2,q= –1.

Жишээ 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрийн прогресс б= 8, q= 1.

Геометр прогресс нь өсөх дараалал юм б 1 > 0, q> 1, хэрэв багасна б 1 > 0, 0 q

Геометр прогрессийн тодорхой шинж чанаруудын нэг бол хэрэв дараалал нь геометрийн прогресс бол квадратуудын дараалал, өөрөөр хэлбэл.

б 1 2 , б 2 2 , б 3 2 , …, б н 2,... нь эхний гишүүн нь тэнцүү геометр прогресс юм б 1 2 ба хуваагч нь байна q 2 .

Томъёо n-геометр прогрессийн 3-р гишүүн хэлбэртэй байна

б н= б 1 qn- 1 .

Та хязгаарлагдмал геометрийн прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог авч болно.

Хязгаарлагдмал геометрийн прогресс өгөгдсөн байг

б 1 ,б 2 ,б 3 , …, б н

зөвшөөрөх S n -түүний гишүүдийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл.

S n= б 1 + б 2 + б 3 + … +б н.

Үүнийг хүлээн зөвшөөрч байна q No 1. тодорхойлох S nхиймэл техникийг ашигладаг: илэрхийллийн зарим геометрийн хувиргалтыг гүйцэтгэдэг S n q.

S n q = (б 1 + б 2 + б 3 + … + б н –1 + б н)q = б 2 + б 3 + б 4 + …+ б н+ b n q = S n+ b n q– б 1 .

Тиймээс, S n q= S n +b n q – b 1, тиймээс

Энэ бол томъёо юм umma n геометр прогрессийн нөхцлүүдтохиолдолд q≠ 1.

At q= 1 томьёог тусад нь гаргах шаардлагагүй; S n= а 1 n.

Прогрессийг геометр гэж нэрлэдэг, учир нь эхнийхээс бусад гишүүн бүр өмнөх ба дараагийн гишүүний геометрийн дундажтай тэнцүү байна. Үнэхээр тэр цагаас хойш

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

иймээс, б н 2=bn- 1 bn+ 1 ба дараах теорем үнэн (геометр прогрессийн шинж чанар):

Эхний (мөн төгсгөлтэй дарааллын хувьд сүүлчийнх)-ээс бусад гишүүн бүрийн квадрат нь өмнөх ба дараагийн гишүүний үржвэртэй тэнцүү байвал тооны дараалал нь геометрийн прогресс болно.

Тогтвортой байдлын хязгаар.

Дараалалтай байг ( c n} = {1/n}. Энэ дарааллыг гармоник гэж нэрлэдэг, учир нь түүний хоёр дахь нэр томъёо нь өмнөх болон дараагийн нөхцлүүдийн хоорондох гармоник дундаж юм. Тоонуудын геометрийн дундаж аТэгээд бтоо байна

Үгүй бол дарааллыг дивергент гэж нэрлэдэг.

Энэ тодорхойлолт дээр үндэслэн, жишээлбэл, хязгаар байгаа эсэхийг нотлох боломжтой A=0гармоник дарааллын хувьд ( c n} = {1/n). ε нь дурын жижиг эерэг тоо байг. Ялгааг харгалзан үздэг

Ийм зүйл байдаг уу? Нэнэ нь хүн бүрт зориулагдсан n ≥ Нтэгш бус байдал 1 байна /Н ? Хэрэв бид үүнийг гэж авбал Н-аас их натурал тоо 1/ε , дараа нь хүн бүрт n ≥ Nтэгш бус байдал 1 байна /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.

Тодорхой дарааллын хязгаар байгаа эсэхийг батлах нь заримдаа маш хэцүү байдаг. Хамгийн их тохиолддог дарааллыг сайтар судалж, лавлах номонд жагсаасан болно. Өгөгдсөн дараалал нь аль хэдийн судлагдсан дараалалд тулгуурлан хязгаартай (тэр ч байтугай тооцоолж болно) гэж дүгнэх боломжийг олгодог чухал теоремууд байдаг.

Теорем 1. Хэрэв дараалал хязгаартай бол тэр нь хязгаарлагдмал байна.

Теорем 2. Хэрэв дараалал нь монотон ба хязгаарлагдмал бол хязгаартай.

Теорем 3. Хэрэв дараалал ( a n} хязгаартай А, дараа нь дараалал ( ca n}, {a n+ в) ба (| a n|} хязгаартай cA, А +в, |А| дагуу (энд в- дурын тоо).

Теорем 4. Хэрэв дараалал ( a n} Тэгээд ( б н) тэнцүү хязгаартай байна АТэгээд Б па n + qbn) хязгаартай pA+ qB.

Теорем 5. Хэрэв дараалал ( a n) ба ( б н)тэй тэнцүү хязгаартай байна АТэгээд Бүүний дагуу дараалал ( a n b n) хязгаартай AB.

Теорем 6. Хэрэв дараалалууд ( a n} Тэгээд ( б н) тэнцүү хязгаартай байна АТэгээд Бүүний дагуу, мөн үүнээс гадна, b n ≠ 0 ба B≠ 0, дараа нь дараалал ( a n / b n) хязгаартай А/Б.

Анна Чугайнова

Зарим хүмүүс "хөгжил" гэдэг үгийг дээд математикийн салбаруудаас авсан маш нарийн төвөгтэй нэр томъёо гэж болгоомжтой ханддаг. Үүний зэрэгцээ хамгийн энгийн арифметик прогресс бол такси тоолуурын ажил юм (тэдгээр нь одоо ч байгаа). Мөн арифметик дарааллын мөн чанарыг ойлгох (мөн математикт "мөн чанарыг ойлгохоос өөр чухал зүйл байхгүй) хэд хэдэн энгийн ойлголтыг шинжлэхэд тийм ч хэцүү биш юм.

Математик тооны дараалал

Тоон дарааллыг ихэвчлэн тоонуудын цуваа гэж нэрлэдэг бөгөөд тус бүр нь өөрийн гэсэн дугаартай байдаг.

a 1 нь дарааллын эхний гишүүн юм;

ба 2 нь дарааллын хоёр дахь гишүүн юм;

ба 7 нь дарааллын долоо дахь гишүүн юм;

ба n нь дарааллын n дэх гишүүн;

Гэсэн хэдий ч дур зоргоороо тогтсон тоо, тоо биднийг сонирхдоггүй. Бид n-р гишүүний утга нь түүний дарааллын тоотой математикийн хувьд тодорхой томьёолж болох хамаарлаар холбогдох тоон дараалалд анхаарлаа хандуулах болно. Өөрөөр хэлбэл: n-р тооны тоон утга нь n-ийн зарим функц юм.

a нь тоон дарааллын гишүүний утга;

n нь түүний серийн дугаар;

f(n) нь функц бөгөөд n тоон дарааллын дарааллын тоо нь аргумент юм.

Тодорхойлолт

Арифметик прогрессийг ихэвчлэн дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор их (бага) байх тоон дараалал гэж нэрлэдэг. Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёо дараах байдалтай байна.

a n - арифметик прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

a n+1 - дараагийн тооны томъёо;

d - ялгаа (тодорхой тоо).

Хэрэв зөрүү эерэг (d>0) байвал авч үзэж буй цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх ба ийм арифметик прогресс нэмэгдэхийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Доорх графикаас тооны дарааллыг яагаад "өсгөх" гэж нэрлэснийг ойлгоход хялбар байдаг.

Зөрүү сөрөг гарсан тохиолдолд (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Заасан гишүүний үнэ цэнэ

Заримдаа арифметик прогрессийн дурын a n гишүүний утгыг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Үүнийг арифметик прогрессийн бүх гишүүдийн утгыг эхнийхээс хүссэн хүртэл нь дараалан тооцоолох замаар хийж болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, таван мянга, найман сая дахь нэр томъёоны утгыг олох шаардлагатай бол энэ замыг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөггүй. Уламжлалт тооцоо хийхэд маш их цаг хугацаа шаардагдана. Гэхдээ тодорхой арифметик прогрессийг тодорхой томъёогоор судалж болно. Мөн n-р гишүүний томьёо байдаг: арифметик прогрессийн аль ч гишүүний утгыг прогрессийн эхний гишүүний нийлбэр, хүссэн гишүүний тоогоор үржүүлж, бууруулсан прогрессийн зөрүүгээр тодорхойлж болно. нэг.

Томъёо нь ахиц дэвшлийг нэмэгдүүлэх, бууруулахад түгээмэл байдаг.

Өгөгдсөн нэр томъёоны утгыг тооцоолох жишээ

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний утгыг олох дараах бодлогыг бодъё.

Нөхцөл: параметртэй арифметик прогресс байна:

Дарааллын эхний гишүүн нь 3;

Тооны цувааны зөрүү 1.2 байна.

Даалгавар: та 214 нэр томъёоны утгыг олох хэрэгтэй

Шийдэл: Өгөгдсөн нэр томъёоны утгыг тодорхойлохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

a(n) = a1 + d(n-1)

Асуудлын мэдэгдлийн өгөгдлийг илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах байдалтай байна.

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Хариулт: Дарааллын 214 дэх гишүүн нь 258.6-тай тэнцүү.

Тооцооллын энэ аргын давуу тал нь тодорхой юм - бүх шийдэл нь 2-оос илүүгүй мөр авдаг.

Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэр

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн арифметик цувралд түүний зарим сегментийн утгын нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Үүнийг хийхийн тулд нэр томъёо бүрийн утгыг тооцоолж, дараа нь нэмэх шаардлагагүй. Хэрэв нийлбэрийг олох шаардлагатай нэр томъёоны тоо бага байвал энэ аргыг хэрэглэнэ. Бусад тохиолдолд дараах томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой.

1-ээс n хүртэлх арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр нь эхний болон n-р гишүүний нийлбэрийг n гишүүний тоогоор үржүүлж, хоёрт хуваасантай тэнцүү байна. Хэрэв томьёоны n-р гишүүний утгыг өгүүллийн өмнөх догол мөрийн илэрхийллээр сольсон бол бид дараахь зүйлийг авна.

Тооцооллын жишээ

Жишээлбэл, дараах нөхцлөөр асуудлыг шийдье.

Дарааллын эхний гишүүн нь тэг;

Энэ ялгаа нь 0.5 байна.

Асуудал нь 56-аас 101 хүртэлх цувралын нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлохыг шаарддаг.

Шийдэл. Прогрессийн хэмжээг тодорхойлох томъёог ашиглана уу.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Нэгдүгээрт, бид асуудлынхаа өгөгдсөн нөхцөлийг томъёонд орлуулах замаар прогрессийн 101 гишүүний утгын нийлбэрийг тодорхойлно.

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Мэдээжийн хэрэг, 56-аас 101 хүртэлх прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийг олохын тулд S 101-ээс S 55-ыг хасах шаардлагатай.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Энэ жишээний арифметик прогрессийн нийлбэр нь:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Арифметик прогрессийн практик хэрэглээний жишээ

Өгүүллийн төгсгөлд эхний догол мөрөнд өгөгдсөн арифметик дарааллын жишээ рүү буцъя - таксиметр (таксины машины тоолуур). Энэ жишээг авч үзье.

Таксинд суух (3 км замыг багтаасан) 50 рубль болно. Дараагийн км тутамд 22 рубль / км-ийн төлбөр төлдөг. Аяллын зай нь 30 км. Аяллын зардлыг тооцоол.

1. Буух зардалд үнэ нь багтсан эхний 3 км-ыг хасъя.

30 - 3 = 27 км.

2. Цаашид тооцоо хийх нь арифметик тооны цувааг задлан шинжлэхээс өөр зүйл биш юм.

Гишүүний дугаар - аялсан километрийн тоо (эхний гурвыг хассан).

Гишүүний үнэ цэнэ нь нийлбэр юм.

Энэ асуудлын эхний нэр томъёо нь 1 = 50 рубльтэй тэнцүү байх болно.

Прогрессийн зөрүү d = 22 r.

бидний сонирхож буй тоо бол арифметик прогрессийн (27+1)-р гишүүний утга - 27-р километрийн төгсгөлд тоолуурын заалт 27.999... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Дурын урт хугацааны хуанлийн өгөгдлийн тооцоолол нь тодорхой тоон дарааллыг тодорхойлсон томьёонд суурилдаг. Одон орон судлалд тойрог замын урт нь геометрийн хувьд огторгуйн биетээс од хүртэлх зайнаас хамаардаг. Үүнээс гадна янз бүрийн тооны цувралуудыг статистик болон математикийн бусад хэрэглээний салбарт амжилттай ашиглаж байна.

Тоон дарааллын өөр нэг төрөл нь геометр юм

Геометрийн прогресс нь арифметик прогресстой харьцуулахад илүү их өөрчлөлтийн хурдаар тодорхойлогддог. Улс төр, социологи, анагаах ухаанд тодорхой үзэгдлийн тархалтын өндөр хурдыг харуулахын тулд жишээлбэл, тахал өвчний үед энэ үйл явц геометрийн прогрессоор хөгждөг гэж хэлдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Геометрийн тооны цувралын N-р гишүүн нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд үүнийг зарим тогтмол тоогоор үржүүлдэг - хуваагч, жишээлбэл, эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2-той тэнцүү, дараа нь:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - геометр прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

b n+1 - геометр прогрессийн дараагийн гишүүний томъёо;

q нь геометр прогрессийн хуваагч (тогтмол тоо).

Хэрэв арифметик прогрессийн график шулуун шугам байвал геометр прогресс нь арай өөр зургийг зурна.

Арифметикийн нэгэн адил геометр прогресс нь дурын гишүүний утгын томъёотой байдаг. Геометр прогрессийн дурын n-р гишүүн нь эхний гишүүний үржвэр ба n-ийн зэрэглэлийн прогрессийн хуваагчийг нэгээр багасгасантай тэнцүү байна.

Жишээ. Бидэнд эхний гишүүн нь 3-тай тэнцүү, прогрессийн хуваагч нь 1.5-тай тэнцүү геометр прогресс байна. Прогрессийн 5-р гишүүнийг олъё

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэрийг мөн тусгай томъёогоор тооцоолно. Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь прогрессийн n-р гишүүн ба хуваагч ба прогрессийн эхний гишүүний үржвэрийн зөрүүг нэгээр бууруулсан хуваалттай тэнцүү байна.

Хэрэв b n-ийг дээр дурдсан томъёогоор сольсон бол авч үзэж буй тооны цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн утга дараах хэлбэртэй болно.

Жишээ. Геометр прогресс нь 1-тэй тэнцэх эхний гишүүнээс эхэлнэ. Хусагч нь 3-тай тэнцүү байна. Эхний найман гишүүний нийлбэрийг олъё.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ТООН ДАРААЛУУД

АРИФМЕТИК, ГЕОМЕТРИЙН ПРОГРЕСС

Хэрэв натурал тоо бүрийн хувьд nтоо таарч байна Xn, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг тооны дараалал X 1, X 2, …, Xn, ….

Тооны дарааллын тэмдэглэгээ {X n } .

Үүний зэрэгцээ тоонууд X 1, X 2, …, Xn, ... гэж нэрлэдэг дарааллын гишүүд .

Тооны дарааллыг тодорхойлох үндсэн аргууд

1. Хамгийн тохиромжтой аргуудын нэг бол дараалал тогтоох явдал юм түүний нийтлэг нэр томъёоны томъёо : Xn = е(n), n Î Н.

Жишээлбэл, Xn = n 2 + 2n+ 3 Þ X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. Шууд шилжүүлэг анхны гишүүдийн хязгаарлагдмал тоо.

Жишээлбэл, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Дахин давтагдах хамаарал , өөрөөр хэлбэл, өмнөх нэг буюу хэд хэдэн гишүүнээр дамжуулан n-н гишүүнийг илэрхийлсэн томьёо.

Жишээлбэл, Фибоначчийн ойролцоотоонуудын дараалал гэж нэрлэдэг

Дахин тодорхойлогддог 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …:

X 1 = 1, X 2 = 1, Xn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

Дараалал дээрх арифметик үйлдлүүд

1. нийлбэр (ялгаа) дараалал ( Аn) ба ( тэрбум cn } = { а ± тэрбум}.

2. Ажилдараалал ( Аn) ба ( тэрбум) дараалал гэж нэрлэдэг ( cn } = { а× тэрбум}.

3. Хувийндараалал ( Аn) ба ( тэрбум }, тэрбум¹ 0, дараалал гэж нэрлэдэг ( cn } = { а×/ тэрбум}.

Тооны дарааллын шинж чанарууд

1. Дараалал ( Xn) гэж нэрлэдэг дээр хязгаарлагдсан М nтэгш бус байдал нь үнэн юм Xn £ М.

2. Дараалал ( Xn) гэж нэрлэдэг доор хязгаарлагдсан, хэрэв ийм бодит тоо байгаа бол м, энэ нь бүх байгалийн үнэт зүйлсийн хувьд nтэгш бус байдал нь үнэн юм Xn ³ м.

3. Дараалал ( Xn) гэж нэрлэдэг нэмэгдэх nтэгш бус байдал нь үнэн юм Xn < Xn+1.

4. Дараалал ( Xn) гэж нэрлэдэг буурч байна, хэрэв бүх байгалийн үнэт зүйлсийн хувьд nтэгш бус байдал нь үнэн юм Xn > Xn+1.

5. Дараалал ( Xn) гэж нэрлэдэг өсөхгүй, хэрэв бүх байгалийн үнэт зүйлсийн хувьд nтэгш бус байдал нь үнэн юм Xn ³ Xn+1.

6. Дараалал ( Xn) гэж нэрлэдэг буурдаггүй, хэрэв бүх байгалийн үнэт зүйлсийн хувьд nтэгш бус байдал нь үнэн юм Xn £ Xn+1.

Өсөх, буурах, өсөхгүй, буурахгүй байх дарааллыг нэрлэдэг нэг хэвийндараалал, өсөлт, бууралт - хатуу монотон.

Нэг төрлийн дарааллыг шалгахад ашигладаг үндсэн аргууд

1. Тодорхойлолтыг ашиглах.

a) Судалж буй дарааллын хувьд ( Xn) ялгаа бий

Xn – Xn+1, дараа нь бид энэ ялгаа нь тогтмол тэмдэг хэвээр байгаа эсэхийг олж мэдэх болно n Î Н, хэрэв тийм бол яг аль нь вэ. Үүнээс хамааран дарааллын монотон (монотоник бус) байдлын талаар дүгнэлт хийдэг.

б) Тогтмол тэмдгийн дарааллын хувьд ( Xn) харилцаа үүсгэж болно Xn+1/Xnмөн нэгтэй харьцуул.

Хэрэв энэ хандлага хүн бүрийн өмнө байгаа бол nнэгээс их байвал хатуу эерэг дарааллын хувьд өсөж байна, харин хатуу сөрөг дарааллын хувьд буурч байна гэсэн дүгнэлт гарна.

Хэрэв энэ хандлага хүн бүрийн өмнө байгаа бол nнэгээс багагүй байвал хатуу эерэг дарааллын хувьд энэ нь буурахгүй, харин хатуу сөрөг дарааллын хувьд өсөхгүй гэсэн дүгнэлт гарна.

Хэрэв энэ нь зарим тоон дээрх хамаарал юм nнэгээс их, бусад тоонуудын хувьд nнэгээс бага бол энэ нь дарааллын монотон бус шинж чанарыг илтгэнэ.

2. Бодит аргумент функц руу оч.

Тоон дарааллыг нэг хэвийн байдлын үүднээс шалгах шаардлагатай

Аn = е(n), n Î Н.

Бодит аргумент функцийг танилцуулъя X:

е(X) = А(X), X³ 1,

мөн монотон байгаа эсэхийг шалгаарай.

Хэрэв функц нь авч үзэж буй интервал дээр дифференциал болох юм бол бид түүний деривативыг олж, тэмдгийг шалгана.

Хэрэв дериватив эерэг байвал функц нэмэгдэнэ.

Хэрэв дериватив сөрөг байвал функц буурна.

Аргументийн байгалийн утгууд руу буцахдаа бид эдгээр үр дүнг анхны дараалалд хүргэж байна.

Тоо Адуудсан дарааллын хязгаар Xn, хэрэв дурын жижиг эерэг тоо e-д ийм натурал тоо байгаа бол Н, энэ нь бүх тоонд зориулагдсан n > Нтэгш бус байдлыг хангасан | xn – а | < e.

Хэмжээг тооцоолж байна n дарааллын эхний нөхцлүүд

1. Орлуулах үед ихэнх завсрын гишүүнийг багасгаж, нийлбэрийг мэдэгдэхүйц хялбарчлах байдлаар дарааллын ерөнхий гишүүнийг хоёр ба түүнээс дээш илэрхийллийн зөрүү хэлбэрээр танилцуулах.

2. Дарааллын эхний гишүүний нийлбэрийг олох одоо байгаа томъёог шалгаж, батлахын тулд математик индукцийн аргыг ашиглаж болно.

3. Дараалалтай холбоотой зарим бодлогуудыг арифметик эсвэл геометрийн прогресстой холбоотой бодлого болгон бууруулж болно.

Арифметик ба геометрийн прогрессууд

Прогрессийн асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн аргууд

1. Шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргуудын нэг арифметик прогрессийн бодлого Асуудлын илэрхийлэлд орсон прогрессийн бүх нөхцөл нь явцын зөрүүгээр илэрхийлэгдэнэ г а гТэгээд А 1.

2. Өргөн тархсан бөгөөд стандарт шийдлийн арга гэж үздэг геометрийн прогрессийн бодлого , бодлогын өгүүлбэрт гарч буй геометр прогрессийн бүх гишүүд прогрессийн хуваагчаар илэрхийлэгдэх үед qмөн түүний гишүүдийн аль нэг нь, ихэнхдээ эхнийх нь байдаг б 1. Бодлогын нөхцөл дээр үндэслэн үл мэдэгдэх систем эмхэтгэж шийддэг qТэгээд б 1.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Асуудал 1 .

Өгөгдсөн дараалал Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1). Хэмжээг нь ол Снэхлээд nэнэ дарааллын гишүүд.

Шийдэл. Дарааллын ерөнхий гишүүний илэрхийлэлийг өөрчилье:

Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

Сн = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Асуудал 2 .

Өгөгдсөн дараалал Аn = 3n+ 2..gif" өргөн "429" өндөр "45">.

Эндээс, А(3n + 5) +Б(3n + 2) = 1,

(3А + 3Б)n + (5А + 2Б) = 1.

n.

n 1 | 3А + 3Б = 0,

n0 | 5 А + 2Б = 1.

А = 1/3, IN = –1/3.

Тиймээс, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " өргөн = "39" өндөр = "41 src = "> Аn. 1980 тоо энэ дарааллын гишүүн мөн үү? Хэрэв тийм бол түүний дугаарыг тодорхойлно уу.

Шийдэл. Эхнийхийг нь бичье nЭнэ дарааллын гишүүд:

А 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" өргөн="63" өндөр="41">.gif" өргөн="108" өндөр="41"> .gif" өргөн "93" өндөр "41">.

Эдгээр тэгшитгэлийг үржүүлье:

А 1А 2А 3А 4А 5…а-2а-1а = А 1А 2А 3А 4А 5…а-2а-1.

Эндээс, а = n(n + 1).

Дараа нь 1980 = n(n+ 1) Û n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 О Н.

Хариулт:Тийм ээ, n = 44.

Асуудал 4 .

Хэмжээг нь ол С = А 1 + А 2 + А 3 + … + Аnтоо А 1, А 2, А 3, …,Аn, ямар ч байгалийн хувьд nтэгш байдлыг хангах Сн = А 1 + 2А 2 + 3А 3 + … + nАn = .

Шийдэл. С 1 = а 1 = 2/3.

Учир нь n > 1, Нан = Сн – Сн–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Эндээс, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" өргөн "244" өндөр "44">,

А(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1) = 1

(А + Б + C)n 2 + (3А + 2Б + C)n + 2А = 1,

Коэффициентийг харгалзах чадлын хувьд тэнцүүлье n.

n 2 | А + Б + C= 0,

n 1 | 3А + 2Б+ C = 0,

n0 | 2 А = 1.

Үүссэн системийг шийдэж, бид олж авна А = 1/2, IN= –1, C = 1/2.

Тиймээс, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Хаана, , n > 1,

С¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

С¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

С = А 1 + А 2 + А 3 + … + Аn = А 1 +=

=А 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" өргөн "72" өндөр "41 src=">= =

Асуудал 5 .

Дарааллын хамгийн том гишүүнийг ол .

Шийдэл. тавья тэрбум = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Бид шийдэж эхлэхээс өмнө арифметик прогрессийн бодлого, арифметик прогресс нь тооны дарааллын тусгай тохиолдол учраас тооны дараалал гэж юу болохыг авч үзье.

Тооны дараалал гэдэг нь элемент бүр өөрийн серийн дугаартай тооны багц юм. Энэ олонлогийн элементүүдийг дарааллын гишүүд гэж нэрлэдэг. Дарааллын элементийн серийн дугаарыг индексээр тэмдэглэнэ:

Дарааллын эхний элемент;

Дарааллын тав дахь элемент;

- дарааллын "n" элемент, өөрөөр хэлбэл. n дугаарт "дараалалд зогсох" элемент.

Дарааллын элементийн утга ба түүний дарааллын дугаарын хооронд хамаарал байдаг. Тиймээс бид дарааллыг аргумент нь дарааллын элементийн дарааллын дугаар болох функц гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг хэлж чадна дараалал нь байгалийн аргументын функц юм:

Дарааллыг гурван аргаар тохируулж болно:

1 . Дарааллыг хүснэгт ашиглан тодорхойлж болно.Энэ тохиолдолд бид зүгээр л дарааллын гишүүн бүрийн утгыг тохируулна.

Жишээлбэл, Хэн нэгэн хувийн цагийн менежмент хийхээр шийдсэн бөгөөд эхлээд долоо хоногт ВКонтакте дээр хэр их цаг зарцуулж байгаагаа тоол. Хүснэгтэнд цагийг тэмдэглэснээр тэрээр долоон элементээс бүрдэх дарааллыг хүлээн авна.

Хүснэгтийн эхний мөрөнд долоо хоногийн өдрийн тоог, хоёр дахь нь минутаар цагийг заана. Даваа гаригт хэн нэгэн ВКонтакте дээр 125 минут, Пүрэв гарагт 248 минут, баасан гарагт ердөө 15 минут зарцуулсан гэдгийг бид харж байна.

2 . Дарааллыг n-р гишүүний томъёог ашиглан тодорхойлж болно.

Энэ тохиолдолд дарааллын элементийн утгын тооноос хамаарах хамаарлыг томьёоны хэлбэрээр шууд илэрхийлнэ.

Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь

Өгөгдсөн тоо бүхий дарааллын элементийн утгыг олохын тулд n-р гишүүний томъёонд элементийн дугаарыг орлуулна.

Хэрэв аргументийн утга мэдэгдэж байгаа бол функцийн утгыг олох шаардлагатай бол бид ижил зүйлийг хийнэ. Бид аргументын утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулна.

Хэрэв, жишээ нь, , Тэр

Дараалалд дурын тоон функцээс ялгаатай нь аргумент нь зөвхөн натурал тоо байж болно гэдгийг дахин нэг удаа тэмдэглэе.

3 . Дарааллыг n дугаар дарааллын гишүүний утгын өмнөх гишүүдийн утгаас хамаарлыг илэрхийлсэн томьёо ашиглан тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд утгыг олохын тулд зөвхөн дарааллын гишүүний тоог мэдэх нь хангалтгүй юм. Бид дарааллын эхний гишүүн эсвэл эхний хэдэн гишүүнийг зааж өгөх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, дарааллыг авч үзье ,

Бид дарааллын гишүүдийн утгыг олох боломжтой дарааллаар, гурав дахь хэсгээс эхлэн:

Өөрөөр хэлбэл, дарааллын n-р гишүүний утгыг олох бүрт өмнөх хоёр руу буцна. Энэ дарааллыг тодорхойлох аргыг нэрлэдэг давтагдах, латин үгнээс гаралтай давтагдах- буцаж ирэх.

Одоо бид арифметик прогрессийг тодорхойлж болно. Арифметик прогресс нь тооны дарааллын энгийн тусгай тохиолдол юм.

Арифметик прогресс нь тоон дараалал бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн ижил тоонд нэмэгдсэн өмнөхтэй тэнцүү байна.

дугаарыг дуудаж байна арифметик прогрессийн ялгаа. Арифметик прогрессийн зөрүү нь эерэг, сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болно.

Хэрэв title="d>0).">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} нэмэгдэх.

Жишээлбэл, 2; 5; 8; арван нэгэн;...

Хэрэв бол арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага, прогресс нь байна буурч байна.

Жишээлбэл, 2; -1; -4; -7;...

Хэрэв , тэгвэл прогрессийн бүх гишүүн ижил тоотой тэнцүү бөгөөд прогресс нь байна суурин.

Жишээлбэл, 2;2;2;2;...

Арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар:

Зургийг харцгаая.

Бид үүнийг харж байна

, мөн нэгэн зэрэг

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.

.

Тэгш байдлын хоёр талыг 2-т хуваа.

Тиймээс арифметик прогрессийн гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн хоёр хөршийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

Түүнээс гадна, түүнээс хойш

, мөн нэгэн зэрэг

, Тэр

, Тиймээс

Гарчиг="k>l) -ээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

-р гишүүний томъёо.

Арифметик прогрессийн нөхцөлүүд дараах харилцааг хангаж байгааг бид харж байна.

мөн эцэст нь

Бид авсан n-р гишүүний томъёо.

ЧУХАЛ!Арифметик прогрессийн аль ч гишүүнийг багаар илэрхийлж болно. Арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгааг мэдсэнээр та түүний аль ч гишүүнийг олох боломжтой.

Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэр.

Дурын арифметик прогрессийн хувьд туйлын нэгээс ижил зайд байгаа гишүүний нийлбэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийг авч үзье. Энэ прогрессийн n гишүүний нийлбэр нь -тэй тэнцүү байг.

Прогрессийн нөхцлүүдийг эхлээд тоонуудын өсөх дарааллаар, дараа нь буурах дарааллаар эрэмбэлье.

Хосоор нэмье:

Хаалт бүрийн нийлбэр нь , хосын тоо n байна.

Бид авах:

Тэгэхээр, Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор олж болно.

Ингээд авч үзье арифметик прогрессийн бодлого бодох.

1 . Дарааллыг n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно. . Энэ дараалал нь арифметик прогресс гэдгийг батал.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүний зөрүү нь ижил тоотой тэнцүү болохыг баталцгаая.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүдийн ялгаа нь тэдний тооноос хамаардаггүй бөгөөд тогтмол гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс тодорхойлолтоор энэ дараалал нь арифметик прогресс юм.

2 . Арифметик прогресс өгөгдсөн -31; -27;...

a) Прогрессийн 31 гишүүнийг ол.

б) 41 тоо энэ прогрессод орсон эсэхийг тодорхойл.

A)Бид үүнийг харж байна;

Прогрессийнхээ n-р гишүүний томъёог бичье.

Ерөнхийдөө

Манай тохиолдолд , Тийм учраас