Шалгалтын параметрүүдийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Өмнөх жилүүдийн улсын нэгдсэн шалгалтын параметртэй холбоотой асуудлууд

Маягтын тэгшитгэл е(x; а) = 0 гэж нэрлэдэг хувьсагчтай тэгшитгэл Xба параметр А.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийд А– энэ нь утга бүрийн хувьд гэсэн үг Аутгыг олох X, энэ тэгшитгэлийг хангаж байна.

Жишээ 1. Өө= 0

Жишээ 2. Өө = А

Жишээ 3.

x + 2 = аа
x – ah = -2
x(1 – a) = -2

Хэрэв 1 - А= 0, өөрөөр хэлбэл. А= 1, тэгвэл X 0 = -2 үндэс байхгүй

Хэрэв 1 - А 0, өөрөөр хэлбэл. А 1, тэгвэл X =

Жишээ 4.

(А 2 – 1) X = 2А 2 + А – 3
(А – 1)(А + 1)X = 2(А – 1)(А – 1,5)
(А – 1)(А + 1)X = (1А – 3)(А – 1)

Хэрэв А= 1, дараа нь 0 X = 0
X- дурын бодит тоо

Хэрэв А= -1, дараа нь 0 X = -2
үндэс байхгүй

Хэрэв А 1, А-1 тэгвэл X= (цорын ганц шийдэл).

Энэ нь хүчинтэй утга бүрийн хувьд гэсэн үг юм Анэг утгатай таарч байна X.

Жишээ нь:

Хэрэв А= 5, тэгвэл X = = ;

Хэрэв А= 0, тэгвэл X= 3 гэх мэт.

1. Өө = X + 3

2. 4 + Өө = 3X – 1

3. А = +

цагт А= 1 үндэс байхгүй.

цагт А= 3 үндэс байхгүй.

цагт А = 1 X– бусад бодит тоо X = 1

цагт А = -1, А= 0 шийдэл байхгүй.

цагт А = 0, А= 2 шийдэл байхгүй.

цагт А = -3, А = 0, 5, А= -2 шийдэл байхгүй

цагт А = --тай, -тай= 0 шийдэл байхгүй.

Параметр бүхий квадрат тэгшитгэл

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд

(А – 1)X 2 = 2(2А + 1)X + 4А + 3 = 0

At А = 1 6X + 7 = 0

тохиолдолд А 1, бид эдгээр параметрийн утгыг онцлон тэмдэглэв Дтэг рүү очдог.

D = (2(2 А + 1)) 2 – 4(А – 1)(4А + 30 = 16А 2 + 16А + 4 – 4(4А 2 + 3А – 4А – 3) = 16А 2 + 16А + 4 – 16А 2 + 4А + 12 = 20А + 16

20А + 16 = 0

20А = -16

Хэрэв А < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Хэрэв А> -4/5 ба А 1, тэгвэл Д > 0,

X =

Хэрэв А= 4/5, тэгвэл Д = 0,

Жишээ 2. a параметрийн ямар утгуудад тэгшитгэлийг хийдэг

x 2 + 2( А + 1)X + 9А– 5 = 0 нь 2 өөр сөрөг язгууртай юу?

D = 4( А + 1) 2 – 4(9А – 5) = 4А 2 – 28А + 24 = 4(А – 1)(А – 6)

4(А – 1)(А – 6) > 0

Виетагаар дамжуулан: X 1 + X 2 = -2(А + 1)
X 1 X 2 = 9А – 5

Нөхцөлөөр X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(А + 1) < 0 и 9А – 5 > 0

Эцэст нь

4(А – 1)(А – 6) > 0 - 2(А + 1) < 0 9А – 5 > 0

А < 1: а > 6 А > - 1 А > 5/9

(Цагаан будаа. 1) < а < 1, либо а > 6

Жишээ 3.Утгыг ол А, энэ тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна.

x 2 – 2( А – 1)X + 2А + 1 = 0

D = 4( А – 1) 2 – 4(2А + 10 = 4А 2 – 8А + 4 – 8А – 4 = 4А 2 – 16А

4А 2 – 16 0

4А(А – 4) 0

А( А – 4)) 0

А( А – 4) = 0

a = 0 эсвэл А – 4 = 0
А = 4

(Цагаан будаа. 2)

Хариулт: А 0 ба А 4

Дидактик материал

1. Ямар үнээр Атэгшитгэл Өө 2 – (А + 1) X + 2А– 1 = 0 нь нэг үндэстэй юу?

2. Ямар үнээр Атэгшитгэл ( А + 2) X 2 + 2(А + 2)X+ 2 = 0 нь нэг үндэстэй юу?

3. Тэгшитгэл нь a-ийн аль утгуудын хувьд ( А 2 – 6А + 8) X 2 + (А 2 – 4) X + (10 – 3А – А 2) = 0 нь хоёроос олон үндэстэй юу?

4. 2-р тэгшитгэлийн ямар утгуудын хувьд X 2 + X – А= 0 нь 2-р тэгшитгэлтэй дор хаяж нэг нийтлэг язгууртай X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Тэгшитгэлийн ямар утгуудын хувьд X 2 +Өө+ 1 = 0 ба X 2 + X + А= 0 дор хаяж нэг нийтлэг үндэстэй юу?

1. Хэзээ А = - 1/7, А = 0, А = 1

2. Хэзээ А = 0

3. Хэзээ А = 2

4. Хэзээ А = 10

5. Хэзээ А = - 2

Параметр бүхий экспоненциал тэгшитгэл

Жишээ 1.Бүх утгыг ол А, үүний төлөө тэгшитгэл

9 х – ( А+ 2)*3 x-1/x +2 А*3 -2/x = 0 (1) нь яг хоёр үндэстэй.

Шийдэл. (1) тэгшитгэлийн хоёр талыг 3 2/x-ээр үржүүлснээр бид эквивалент тэгшитгэлийг олж авна.

3 2(x+1/x) – ( А+ 2)*3 x+1/x + 2 А = 0 (2)

3 x+1/x = гэж үзье цагт, тэгвэл (2) тэгшитгэл хэлбэрийг авна цагт 2 – (А + 2)цагт + 2А= 0, эсвэл

(цагт – 2)(цагт – А) = 0, хаанаас цагт 1 =2, цагт 2 = А.

Хэрэв цагт= 2, өөрөөр хэлбэл. 3 x+1/x = 2 X + 1/X= log 3 2, эсвэл X 2 – Xбүртгэл 3 2 + 1 = 0.

Энэ тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй тул үүнээс хойш Д= бүртгэл 2 3 2 – 4< 0.

Хэрэв цагт = А, өөрөөр хэлбэл 3 x+1/x = АТэр X + 1/X= бүртгэл 3 А, эсвэл X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)

Тэгшитгэл (3) нь зөвхөн хоёр үндэстэй байна

D = log 2 3 2 – 4 > 0, эсвэл |log 3 a| > 2.

Хэрэв log 3 a > 2 байвал А> 9, хэрэв log 3 бол a< -2, то 0 < А < 1/9.

Хариулт: 0< А < 1/9, А > 9.

Жишээ 2. a-ийн ямар утгуудад тэгшитгэл 2 2x - ( А - 3) 2 x - 3 А= 0 шийдэлтэй юу?

Өгөгдсөн тэгшитгэл шийдэлтэй байхын тулд тэгшитгэл байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай т 2 – (a - 3) т – 3а= 0 нь дор хаяж нэг эерэг үндэстэй байсан. Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг олъё. X 1 = -3, X 2 = А = >

a нь эерэг тоо.

Хариулт: хэзээ А > 0

Дидактик материал

1. Тэгшитгэл болох a-ийн бүх утгыг ол

25 х – (2 А+ 5)*5 x-1/x + 10 А* 5 -2/x = 0 нь яг 2 шийдэлтэй.

2. Тэгшитгэл нь a-ийн аль утгуудын хувьд байна

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 нь нэг үндэстэй юу?

3. a параметрийн ямар утгуудад тэгшитгэл үүсдэг

4 х - (5 А-3)2 x +4 А 2 – 3А= 0 өвөрмөц шийдэлтэй юу?

Жишээ 1.Бүх утгыг ол А, үүний төлөө тэгшитгэл

бүртгэл 4x (1 + Өө) = 1/2 (1)

өвөрмөц шийдэлтэй.

Шийдэл. (1) тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

1 + Өө = 2Xцагт X > 0, X 1/4 (3)

X = цагт

сар 2 - цагт + 1 = 0 (4)

(3)-ын (2) нөхцөл хангагдаагүй байна.

Болъё А 0, тэгвэл AU 2 – 2цагт+ 1 = 0 нь жинхэнэ язгууртай, зөвхөн хэрэв байгаа бол Д = 4 – 4А 0, өөрөөр хэлбэл. цагт А 1.Тэгш бус байдлыг (3) шийдвэрлэхийн тулд функцүүдийн графикийг зурцгаая Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И.Алгебр, математик анализын хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах. - М.: Боловсрол, 1990 он

болон бусад. Сургалтын гарын авлага. – М.: Шалгалт, 2001–2008.

_________________________________________________________________________________________________________________________________

MKOU "Лодейнопольская 68-р дунд сургууль"

Москва мужийн хурал дээр хэлсэн үг

Асуудлыг шийдвэрлэх аргууд

параметрүүдтэй

Прокушева Наталья Геннадьевна

2013-2014

Лодейное туйл

Параметрүүдтэй холбоотой асуудал

Параметртэй холбоотой асуудлууд нь Улсын нэгдсэн шалгалт болон их, дээд сургуулиудын нэмэлт шалгалтын үеэр санал болгодог хамгийн хэцүү асуудлуудын нэг юм.

Хэрэв тэгшитгэлд (тэгш бус байдал) зарим коэффициентийг тодорхой тоон утгуудаар өгөөгүй, харин үсгээр тэмдэглэсэн бол тэдгээрийг параметр гэж нэрлэдэг бөгөөд тэгшитгэл (тэгш бус) нь параметр юм.

Дүрмээр бол үл мэдэгдэхийг латин цагаан толгойн сүүлчийн үсгээр тэмдэглэдэг: x, y, z, ..., параметрүүдийг эхнийх нь: a, b, c, ...

Параметр бүхий тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал) шийдвэрлэх гэдэг нь параметрийн ямар утгуудад шийдэл байгаа, тэдгээр нь юу болохыг харуулах гэсэн үг юм. Дараах тохиолдолд ижил параметрүүдийг агуулсан хоёр тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал) эквивалент гэж нэрлэдэг.

a) тэдгээр нь ижил параметрийн утгын хувьд утга учиртай;

б) эхний тэгшитгэлийн (тэгш бус байдлын) шийдэл бүр нь хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл ба эсрэгээр.

Мэдээжийн хэрэг, ийм жижиг ангиллын асуудал нь олон хүмүүст гол зүйлийг ойлгох боломжийг олгодоггүй: параметр нь тогтмол боловч үл мэдэгдэх тоо учраас хоёрдмол шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт, таамаглаж буй алдар нэр нь параметртэй тоогоор "харилцах" боломжийг олгодог, хоёрдугаарт, харилцааны эрх чөлөөний түвшин нь түүний тодорхой бус байдлаас хязгаарлагддаг. Иймд параметр агуулсан илэрхийлэлд хувааж, ийм илэрхийллээс тэгш зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авах нь урьдчилсан судалгаа шаарддаг. Дүрмээр бол эдгээр судалгааны үр дүн нь шийдвэр, хариултын аль алинд нь нөлөөлдөг.

Ийм асуудлыг хэрхэн шийдэж эхлэх вэ? Параметртэй холбоотой асуудлаас бүү ай. Юуны өмнө аливаа тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ юу хийх хэрэгтэй вэ - өгөгдсөн тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал) боломжтой бол илүү энгийн хэлбэрт оруулаарай: рационал илэрхийлэл, тригонометрийн олон гишүүнт хүчин зүйл, модулиуд, логарифм, гэх мэт.. дараа нь та даалгаврыг дахин дахин анхааралтай унших хэрэгтэй.

Параметр агуулсан асуудлыг шийдвэрлэхдээ хоёр том ангилалд хувааж болох асуудлууд гарч ирдэг. Эхний ангилалд параметрийн бүх боломжит утгуудын тэгш бус байдал эсвэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай асуудлууд орно. Хоёрдахь ангилалд бүх боломжит шийдлүүдийг бус, зөвхөн зарим нэмэлт нөхцлийг хангасан ажлуудыг багтаасан болно.

Сургуулийн хүүхдүүдэд ийм асуудлыг шийдэх хамгийн ойлгомжтой арга бол эхлээд бүх шийдлийг олж, дараа нь нэмэлт нөхцөлийг хангасан зүйлийг сонгох явдал юм. Гэхдээ энэ нь үргэлж боломжтой байдаггүй. Бүх шийдлийг олох боломжгүй олон тооны асуудал байдаг бөгөөд биднээс үүнийг хийхийг шаарддаггүй. Тиймээс бид өгөгдсөн тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлын шийдлүүдийн бүхэл бүтэн багцыг ашиглахгүйгээр асуудлыг шийдэх арга замыг эрэлхийлэх ёстой, жишээлбэл, тэгшитгэлд багтсан функцүүдийн шинж чанарыг хайх хэрэгтэй. тодорхой шийдэл байгаа эсэхийг шүүнэ.

Параметр бүхий даалгаврын үндсэн төрлүүд

Төрөл 1.Параметр (параметр) -ийн аль ч утгын хувьд эсвэл урьдчилан тодорхойлсон багцад хамаарах параметрийн утгын хувьд шийдэх ёстой тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн систем, олонлогууд.

Хөрөнгө оруулсан ажил нь бусад бүх төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх амжилтыг урьдчилан тодорхойлдог тул энэ төрлийн асуудал нь "Үзүүлэлттэй холбоотой асуудлууд" сэдвийг эзэмшихэд суурь юм.

Төрөл 2.Параметр (параметр) -ийн утгаас хамааран шийдлийн тоог тодорхойлох шаардлагатай тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн систем, олонлогууд.

Энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн систем, хослол гэх мэтийг шийдэх шаардлагагүй, эсвэл эдгээр шийдлүүдийг өгөх шаардлагагүй гэдгийг бид анхаарч байна; Ихэнх тохиолдолд ийм шаардлагагүй ажил нь цаг хугацаа алдахад хүргэдэг тактикийн алдаа юм. Гэсэн хэдий ч үүнийг үнэмлэхүй болгож болохгүй, учир нь заримдаа 1-р хэлбэрийн шууд шийдэл нь 2-р төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хариулт авах цорын ганц боломжийн арга юм.

Төрөл 3.Тодорхойлсон тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн систем, цуглуулгад өгөгдсөн тооны шийдэлтэй (ялангуяа тэдгээрт байхгүй эсвэл байхгүй) бүх параметрийн утгыг олох шаардлагатай тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн систем, цуглуулгууд. хязгааргүй тооны шийдлүүд).

3-р төрлийн асуудлууд ямар нэгэн байдлаар 2-р төрлийн асуудлуудын урвуу шинж чанартай болохыг харахад хялбар байдаг.

Төрөл 4.Параметрийн шаардлагатай утгуудын хувьд шийдлийн багц нь тодорхойлолтын талбарт заасан нөхцлийг хангаж байгаа тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн систем, олонлогууд.

Жишээлбэл, параметрийн утгыг олоорой:

1) өгөгдсөн интервалаас хувьсагчийн дурын утгын хувьд тэгшитгэл хангагдана;
2) эхний тэгшитгэлийн шийдүүдийн багц нь хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдүүдийн олонлогийн дэд олонлог гэх мэт.

Сэтгэгдэл. Параметр бүхий олон төрлийн асуудлууд нь сургуулийн математикийн бүх хичээлийг (алгебр ба геометрийн аль алиныг нь) хамардаг боловч төгсөлтийн болон элсэлтийн шалгалтын дийлэнх олонх нь жагсаасан дөрвөн төрлийн аль нэгэнд багтдаг бөгөөд энэ шалтгааны улмаас үндсэн гэж нэрлэгддэг.

Параметртэй асуудлын хамгийн өргөн тархсан анги бол нэг үл мэдэгдэх, нэг параметртэй асуудлууд юм. Дараагийн догол мөрөнд энэ ангийн асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг зааж өгсөн болно.

Параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн аргууд

Арга I(аналитик). Энэ бол параметргүй асуудлын хариултыг олох стандарт процедурыг давтдаг шууд шийдэл гэж нэрлэгддэг арга юм. Заримдаа тэд үүнийг хүчээр, сайн утгаараа "бардам" шийдлийн арга гэж хэлдэг.

II арга(график). Даалгавраас хамааран (хувьсагчтай xба параметр а) графикийг авч үзэх буюу координатын хавтгайд ( x; y), эсвэл координатын хавтгайд ( x; а).

Сэтгэгдэл. Параметр бүхий асуудлыг шийдвэрлэх график аргын онцгой тод байдал, гоо үзэсгэлэн нь "Параметртэй асуудлууд" сэдвийн оюутнуудын анхаарлыг татдаг тул тэд шийдвэрлэх бусад аргуудыг үл тоомсорлож, сайн мэддэг баримтыг мартаж эхэлдэг: аливаа ангиллын асуудлын хувьд. , Тэдний зохиогчид ийм байдлаар гайхалтай шийдэгдсэн нэгийг томъёолж, бусад аргаар асар их бэрхшээлтэй байж болно. Тиймээс судалгааны эхний үе шатанд параметр бүхий асуудлыг шийдвэрлэх график техникээс эхлэх нь аюултай.

III арга(параметрийн талаархи шийдвэр). Ингэж шийдвэрлэх үед хувьсагч xТэгээд атэнцүү гэж хүлээн зөвшөөрч, аналитик шийдлийг илүү хялбар гэж үзсэн хувьсагчийг сонгоно. Байгалийн хялбаршуулсаны дараа бид хувьсагчдын анхны утга руу буцна xТэгээд амөн шийдлийг дуусга.

Одоо параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх эдгээр аргуудыг харуулах руу шилжье.

1. Параметртэй шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Шугаман функц: – налуугийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл . Өнцгийн коэффициент нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй шулуун шугамын налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна. .

Маягтын параметр бүхий шугаман тэгшитгэл

Хэрэв , тэгшитгэл байна цорын ганц зүйл шийдэл.

Хэрэв , тэр тэгшитгэл шийдэл байхгүй, Хэзээ , ба тэгшитгэл нь байна хязгааргүй олон шийдэл, Хэзээ.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд | x | = а .

Шийдэл:

а > 0, => x 1.2 = ± а

а = 0, => x = 0

а < 0, =>шийдэл байхгүй.

Хариулт: x 1.2 = ± ацагт а > 0; x= 0 цагт а= 0; шийдэл байхгүй а < 0.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх |3 – x | = а .

Шийдэл:

а > 0, => 3 – x = ± а , => x= 3 ± а

а = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

а < 0, =>шийдэл байхгүй.

Хариулт: x 1.2 = 3 ± ацагт а > 0; x= 3 цагт а= 0; шийдэл байхгүй а < 0.

Жишээ 3.Тэгшитгэлийг шийд м ² x – м = x + 1.

Шийдэл:

м ² x – м = x + 1

м ² x – x = м + 1

(м² – 1)x = m + 1

Хариулт:
цагт м ≠ ± 1; x Є Рцагт м= –1; шийдэл байхгүй м = 1.

Жишээ 4. Атэгшитгэлийг шийд: ( а 2 – 4) x = а + 2 .

Шийдэл:Коэффицентийг хүчин зүйлээр тооцъё. .

Хэрэв , тэгшитгэл байна цорын ганц зүйл шийдэл: .

Хэрэв , тэгшитгэл шийдэл байхгүй.

Хэрэв , тэгвэл тэгшитгэл байна хязгааргүй олон шийдэл .

Жишээ 6.Бүх параметрийн утгуудын хувьд а тэгшитгэлийг шийд:
.

Шийдэл:ОДЗ: . Энэ нөхцөлд тэгшитгэл нь дараахтай тэнцүү байна. . Таныг ODZ-д харьяалагддаг эсэхийг шалгая: , Хэрэв . Хэрэв , дараа нь тэгшитгэл шийдэл байхгүй.

Жишээ 7.Бүх параметрийн утгуудын хувьд Атэгшитгэлийг шийд: | X + 3| – а | x – 1| = 4.

Шийдэл:Модулийн тэмдгийн доорх илэрхийлэл алга болох цэгүүдээр тооны шулууныг 3 хэсэгт хувааж, 3 системийг шийдье.

1) , Хэрэв . Олдсон бол шийдэл байх болно .

2) , Хэрэв . Олсон нэг нь шаардлагатай тэгш бус байдлыг хангаж байгаа тул шийдэл болно . Хэрэв , тэгвэл шийдэл нь ямар ч байсан .

3) , Хэрэв . Олдсон Үгүйшаардлагатай тэгш бус байдлыг хангадаг тул Үгүйүед шийдэл юм . Хэрэв , тэгвэл шийдэл нь дурын x > 1 байна.

Хариулт: үед; цагт ;

n ri ; мөн бүх нийтийн шийдэл юм .

Жишээ 8.Бүгдийг нь ол А, тус бүрийн хувьд 15-р тэгшитгэлийн шийдлүүдийн дор хаяж нэг нь байна x – 7а = 2 – 3сүх + 6а бага 2 .

Шийдэл:Тус бүрийн тэгшитгэлийн шийдлийг олцгооё . , Хэрэв . Тэгш бус байдлыг шийдье: .

Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй үед.

Хариулах : АÎ (–5 , 4) .

Параметртэй шугаман тэгш бус байдал

Жишээ нь: Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх: kx < б .

Хэрэв к> 0, тэгвэл
. Хэрэв к < 0, то
. Хэрэв к= 0, тэгээд хэзээ б> 0 шийдэл нь дурын байна x Є Р, хэзээ
шийдэл байхгүй.

Хайрцагт үлдсэн тэгш бус байдлыг ижил аргаар шийд.

Жишээ 1. a параметрийн бүх утгын хувьд тэгш бус байдлыг шийд
.

Шийдэл:

. Хэрэв хаалт өмнө нь байвал xэерэг, өөрөөр хэлбэл. цагт
, Тэр
. Хэрэв хаалт өмнө нь байвал xсөрөг, өөрөөр хэлбэл. цагт
, Тэр
. Хэрэв а= 0 эсвэл a = бол шийдэл байхгүй болно.

Хариулт:
цагт
;
цагт
;

шийдэл байхгүй а= 0 эсвэл a =.

Жишээ 2. Бүх параметрийн утгуудын хувьд Атэгш бус байдлыг шийдвэрлэх | X– a| – | x + а| < 2а .

Шийдэл:

At а=0 бидэнд 0 буруу тэгш бус байдал байна< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, дараа нь x дээр< –аХоёр модулийг хасахаар томруулж, бид буруу тэгш бус байдал 2-ыг авна а < 2а, өөрөөр хэлбэл шийдэл байхгүй. Хэрэв x Є [– а ; а] , дараа нь эхний модуль нь хасах, хоёр дахь нь нэмэх нь нээгдэж, бид -2 тэгш бус байдлыг авна. x < 2а, өөрөөр хэлбэл x > –а, өөрөөр хэлбэл шийдэл нь ямар ч юм x Є (– а ; а]. Хэрэв x > амодулиуд хоёулаа нэмэх тэмдэгтэйгээр нээгдэх ба бид зөв тэгш бус байдлыг -2 авна а < 2а, өөрөөр хэлбэл , шийдэл нь ямар ч байна x Є ( а; +∞). Хоёр хариултыг нэгтгэснээр бид үүнийг хэзээ авах болно а > 0 x Є (– а ; +∞).

Болъё а < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2а. Тиймээс, хамт а < 0 решений нет.

Хариулт: x Є (– а; +∞) цагт а> 0, шийдэл байхгүй
.

Сэтгэгдэл.Хэрэв та хоёр тооны зөрүүний модулийн геометрийн тайлбарыг цэг хоорондын зай болгон ашиглавал энэ асуудлыг шийдэх нь илүү хурдан бөгөөд хялбар болно. Дараа нь зүүн талын илэрхийлэл нь цэгээс зайны зөрүү гэж ойлгож болно Xоноо руу АТэгээд - А .

Жишээ 3.Бүгдийг нь ол А, тус бүрийн хувьд тэгш бус байдлын бүх шийдлүүд
тэгш бус байдлыг хангах 2 x – а² + 5< 0.

Шийдэл:

|x | тэгш бус байдлын шийдэл ≤ 2 нь олонлог юм А=[–2; 2], тэгш бус байдлын шийдэл 2 x – а² + 5< 0 является множество Б = (–∞;
). Асуудлын нөхцлийг хангахын тулд A багцыг B багцад оруулах шаардлагатай (). Энэ нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л хангагдана.

Хариулт: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Жишээ 4.Тэгш бус байдал үүссэн a-ийн бүх утгыг ол
хүн бүрийн төлөө гүйдэг xсегментээс.

Шийдэл:

Үндэс хоорондын бутархай нь тэгээс бага байх тул аль үндэс нь том болохыг олж мэдэх хэрэгтэй.

–3а + 2 < 2а + 4
ба –3 а + 2 > 2а + 4
. Тиймээс, хамт
xЄ (–3 а + 2; 2а+ 4) мөн сегментийн бүх x-д тэгш бус байдал биелэхийн тулд зайлшгүй шаардлагатай

At
xЄ (2 а + 4; –3а+ 2) тэгснээр тэгш бус байдал бүгдэд хамаарна xсегментээс , энэ нь зайлшгүй шаардлагатай

a = – (үндэс нь давхцах үед) ямар ч шийдэл байхгүй, учир нь Энэ тохиолдолд тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй байна.

Хариулт:
.

Жишээ 5. Атэгш бус байдал нь бүх сөрөг утгуудад хүчинтэй байна X?

Шийдэл:

Хэрэв коэффициент нь байвал функц нь монотоноор нэмэгддэг x сөрөг биш бөгөөд хэрэв коэффициент нь байвал монотон буурна xсөрөг.

коэффициентийн тэмдгийг олж мэдье

а ≤ –3,

а ≥ 1; (а² + 2 а – 3) < 0 <=> –3 < а < 1.

а ≤ –3,

Болъё а≥ 1. Дараа нь функц е (x ) монотон буурахгүй, хэрэв байгаа бол асуудлын нөхцөл байдал хангагдана е (x ) ≤ 0 <=> 3а ² – а – 14 ≤ 0 <=>
.

а ≤ –3,

Нөхцөлтэй хамт а≥ 1; бид авах:

-3 байг< а < 1. Тогда функция е (x ) монотоноор буурч, асуудлын нөхцөлийг хэзээ ч хангаж чадахгүй.

Хариулах:
.

2. Параметртэй квадрат тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Квадрат функц:
.

Бодит тооны олонлогт энэ тэгшитгэлийг дараах схемийг ашиглан судална.

Жишээ 1. Ямар үнэ цэнээр а тэгшитгэлx ² – сүх + 1 = 0 жинхэнэ үндэс байхгүй юу?

Шийдэл:

x ² – сүх + 1 = 0

Д = а ² – 4 1 =а ² - 4

а ² - 4< 0 + – +

( а – 2)( а + 2) < 0 –2 2

Хариулах: цагтa Є (–2; 2)

Жишээ 2.Тэгшитгэл нь a-ийн ямар утгуудад зориулагдсан А (X ² – X + 1) = 3 X + 5 хоёр өөр жинхэнэ үндэстэй юу?

Шийдэл:

А (X ² – X + 1) = 3 X + 5, А ≠ 0

Өө ² – аа+ а – 3 X – 5 = 0

Өө ² – ( А + 3) X + А – 5 = 0

Д = ( а +3)² – 4а ( а – 5) = а ² +6а + 9 – 4 а ² + 20а = –3 а ² + 26а + 9

–3 а ² + 26 а + 9 > 0

3 а ² - 26а – 9 < 0

Д = 26² – 4 3 (–9) = 784

а 1 =
; а 2 =
+ – +

0 9

Хариулт:цагтаЄ (–1/3; 0)У (0; 9)

Жишээ 3: Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл:

ОДЗ: x ≠1, x ≠ а

x – 1 + x – а = 2, 2 x = 3 + а ,

1)
; 3 + а ≠ 2; а ≠ –1

2)
; 3 + а ≠ 2 а ; а ≠ 3

Хариулт:
цагта Є (–∞; –1)У (–1; 3) У (3; +∞);

шийдэл байхгүйa = –1; 3.

Жишээ4 . Тэгшитгэлийг шийд | x ²–2 x –3 | = а .

Шийдэл:

Функцуудыг авч үзье y = | x ²–2 x –3 | Тэгээдy = а .

At а < 0 шийдэл байхгүй;
цагт а = 0 ба а> 4 хоёр шийдэл;
0-д< а < 4 – четыре решения;
цагт а= 4 – гурван шийдэл.

Хариулт:

цагт а < 0 нет решений;
цагт а= 0 ба а> 4 хоёр шийдэл;
0-д< а < 4 – четыре решения;
цагт а= 4 – гурван шийдэл.

Жишээ 5.Бүх утгыг ол а , тус бүрийн хувьд тэгшитгэл | x ²–( а +2) x +2 а | = | 3 x –6 |
яг хоёр үндэстэй. Хэрэв ийм үнэт зүйлс байвал а нэгээс олон бол тэдний бүтээгдэхүүнийг хариултдаа зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Квадрат гурвалжийг өргөжүүлье x ²–( а +2) x +2 а үржүүлэгчээр.
;
;
;

Бид авдаг | ( x –2)( x – а ) | = 3 | x –2 |.
Энэ тэгшитгэл нь олонлогтой тэнцүү байна

Тиймээс энэ тэгшитгэл нь яг хоёр үндэстэй бол а+ 3 = 2 ба а – 3 = 2.
Эндээс бид хүссэн утгыг олж авдаг абайна а 1 = –1; а 2 = 5; а 1 · а 2 = –5.

Хариулт: –5.

Жишээ 6.Бүх утгыг ол а , үүний төлөө тэгшитгэлийн үндэс сүх ² – 2( а + 1) x – а + 5 = 0 эерэг байна.

Шийдэл:

Шалгах цэг а= 0, учир нь тэгшитгэлийн мөн чанарыг өөрчилдөг.

1. а = 0 –2x + = 0;

Хариулт: a Є U .

Жишээ 7.Atямар параметрийн утгууд а тэгшитгэл | x ² - 4 x + 3 | = сүх 3 үндэстэй.

Шийдэл:

Функцийн графикуудыг байгуулъя y = | x ² - 4 x + 3 | Тэгээд y = сүх .

Функцийг сегмент дээр графикаар дүрсэлсэн болно
.
Хэрэв функцийн график бол энэ тэгшитгэл нь гурван үндэстэй болно y = сүхграфиктай шүргэгч байх болно y = x ²+ 4 x – 3 дээр
сегмент

Шүргэх тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна y = е (x 0 ) + е ’(x 0 )(x – x 0 ),



Учир нь шүргэгч тэгшитгэл y = а, бид тэгшитгэлийн системийг олж авна

Учир нь x 0 Є ,

Хариулт:цагт а = 4 – 2
.

Параметртэй квадрат тэгш бус байдал

Жишээ.Бүх параметрийн утгыг ол а , тус бүрийн хувьд тэгш бус байдлын шийдлүүдийн дунд
шугамын сегмент дээр цэг байхгүй.

Шийдэл:

Эхлээд параметрийн бүх утгуудын тэгш бус байдлыг шийдэж, дараа нь шийдлүүдийн дунд сегментийн нэг ч цэг байхгүй байгааг олъё. .
Болъё
, сүх = т ²

т ≥ 0

Хувьсагчийн ийм орлуулалтаар тэгш бус байдлын ODZ автоматаар хийгддэг. xдамжуулан илэрхийлж болно т, Хэрэв а≠ 0. Иймд тохиолдолд хэзээ а = 0, бид тусад нь авч үзэх болно.
1.Let а = 0, тэгвэл X> 0 байх ба өгөгдсөн сегмент нь шийдэл юм.
2.Let а≠ 0, тэгвэл
ба тэгш бус байдал
хэлбэрийг авна
,

Тэгш бус байдлын шийдэл нь утгуудаас хамаарна а, тиймээс бид хоёр тохиолдлыг авч үзэх ёстой.
1) Хэрэв а>0, тэгвэл
цагт
, эсвэл хуучин хувьсагчид,

Шийдэл нь нөхцөл хангагдсан тохиолдолд өгөгдсөн сегментийн нэг цэгийг агуулаагүй болно а ≤ 7,

16а≥ 96. Тиймээс, а Є .
2). Хэрэв А< 0, то
;
; тЄ (4 а ; а). Учир нь т≥ 0 бол шийдэл байхгүй болно.

Хариулт: .

Параметр бүхий иррационал тэгшитгэл

Параметр бүхий иррационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ эхлээд хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг харгалзан үзэх шаардлагатай. Хоёрдугаарт, хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал нь сөрөг бус илэрхийлэл бол тэгш бус байдлын тэмдгийг хадгалахын зэрэгцээ ийм тэгш бус байдлыг квадрат болгож болно.
Ихэнх тохиолдолд хувьсагчийг өөрчилсний дараа иррациональ тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг квадрат болгон бууруулна.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл:

ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, а ≥ 0.

x + 1 = а ².

Хэрэв x = а² – 1 бол нөхцөл хангагдсан байна.

Хариулт: x = а² – 1 цагт А≥ 0; шийдэл байхгүй а < 0.

Жишээ 2: Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл:

ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a–x ≥ 0; x ≤ а;

x + 3 = a–x,

2x = а – 3,

<=>
<=>
<=> а ≥ –3.

Хариулт:
цагт а≥ -3; шийдэл байхгүй а < –3.

Жишээ 3.Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?
параметрийн утгаас хамаарна А?

Шийдэл:

Тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ: x Є [–2; 2]

Функцийн графикуудыг байгуулъя. Эхний функцийн график нь тойргийн дээд тал юм x² + y² = 4. Хоёр дахь функцийн график нь координатын нэг ба хоёр дахь өнцгийн биссектриса юм. Эхний функцийн графикаас хоёр дахь функцийн графикийг хасаад функцийн графикийг гарга
. Хэрэв та солих юм бол цагтдээр А, тэгвэл функцийн сүүлчийн график нь анхны тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн олонлог (x; a) байна.

Графикийн дагуу бид хариултыг харж байна.

Хариулт:цагт АЄ (–∞; –2) U (1; +∞), үндэс байхгүй;

цагт АЄ [–2; 2) хоёр үндэс;

цагт А= 1, нэг үндэс.

Жишээ 4.Ямар параметрийн утгууд дээр Атэгшитгэл
ганц шийдэл байна уу?

Шийдэл:

Арга 1 (аналитик):

Хариулт:

Арга 2 (график):

Хариулт:≥ –2 бол тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна

Жишээ 5. a параметрийн ямар утгуудын хувьд = 2 + x тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.

Шийдэл:

Энэ тэгшитгэлийн шийдлийн график хувилбарыг авч үзье, өөрөөр хэлбэл бид хоёр функцийг байгуулна.
цагт 1 = 2 + XТэгээд цагт 2 =

Эхний функц нь шугаман бөгөөд (0; 2) ба (–2; 0) цэгүүдээр дамждаг.
Хоёрдахь функцийн график нь параметрийг агуулна. Эхлээд энэ функцийн графикийг авч үзье А= 0 (Зураг 1). Параметрийн утгыг өөрчлөх үед график тэнхлэгийн дагуу хөдөлнө Өөзүүн талд харгалзах утгаар (эерэг А) эсвэл баруун тийш (сөрөг А) (Зураг 2)

Зурагнаас харахад хэзээ гэдэг нь тодорхой байна А < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Хариулт:цагт а≥ -2 тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.

Параметр бүхий тригонометрийн тэгшитгэлүүд.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд нүгэл (– x + 2 x – 1) = б + 1.

Шийдэл:

Функцийн сондгой байдлыг харгалзан үзвэл
, бид энэ тэгшитгэлийг тэнцүү болгож бууруулна
.

1. б = –1

3. б =–2

4. | б + 1| > 1

Ямар ч шийдэл байхгүй.

5. бЄ(–1; 0)

6. бЄ(–2; –1)

Жишээ 2.Тэгшитгэл болох p параметрийн бүх утгыг ол
шийдэл байхгүй.

Шийдэл:

cos 2-ыг илэрхийлье xдамжуулан синкс.

Болъё
дараа нь бүх утгыг олох даалгавар багассан х, тэгшитгэл нь [–1 дээр шийдэлгүй; 1]. Тэгшитгэлийг алгоритмаар шийдвэрлэх боломжгүй тул бид график ашиглан асуудлыг шийдэх болно. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье, одоо зүүн талын графикийн тойм зураг.
барихад хялбар.
Хэрэв шулуун шугам байвал тэгшитгэлд шийдэл байхгүй y = х+ 9 нь графиктай огтлолцохгүй [–1; 1], i.e.

Хариулт:х Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Параметр бүхий тэгшитгэлийн системүүд

Параметр бүхий хоёр шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Тэгшитгэлийн систем

Хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэгүүд юм: ба .

3 боломжит тохиолдол байдаг:

1. Шугамууд зэрэгцээ биш . Дараа нь тэдний хэвийн векторууд параллель биш, i.e. . Энэ тохиолдолд системд байна цорын ганц шийдэл.

2. Шугамууд нь зэрэгцээ, давхцдаггүй.Дараа нь тэдний хэвийн векторууд зэрэгцээ байна, гэхдээ шилжилт нь өөр, өөрөөр хэлбэл. .

Энэ тохиолдолд системд шийдэл байхгүй .

3. Шулуун шугамууд давхцаж байна.Дараа нь тэдний хэвийн векторууд параллель бөгөөд шилжилтүүд нь давхцдаг, өөрөөр хэлбэл. . Энэ тохиолдолд системд байна хязгааргүй олон шийдэл -шугамын бүх цэгүүд .

Энэхүү ажлын зорилго нь параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн арга замыг судлах явдал юм. Параметр бүхий асуудлыг шийдвэрлэх чадвар, чадвар нь тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг эзэмшсэн, онолын мэдээллийг утга учиртай ойлгож, логик сэтгэлгээний түвшинг харуулж, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг идэвхжүүлдэг. Эдгээр ур чадварыг хөгжүүлэхийн тулд илүү их хүчин чармайлт гаргах шаардлагатай байдаг тул нарийн шинжлэх ухааныг гүнзгийрүүлсэн тусгай 10-11-р ангиудад "Математикийн практикум" хичээлийг нэвтрүүлсэн бөгөөд үүний нэг хэсэг нь тэгшитгэл, тэгш бус байдлын шийдэл юм. параметрүүд. Тус хичээл нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн бүрэлдэхүүн хэсэгт багтсан хичээлүүдийн нэг юм.

Параметртэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг амжилттай судлахын тулд сонгох эсвэл сонгон судлах хичээлүүд эсвэл "Үзүүлэлттэй холбоотой асуудлууд" сэдвээр сүлжээний ард байрлах бүрэлдэхүүн хэсэг тусалж болно.

Параметртэй дөрвөн том ангиллын асуудлыг авч үзье.

1. Аливаа параметрийн утга эсвэл тодорхой багцад хамаарах параметрийн утгын хувьд шийдэх ёстой тэгшитгэл, тэгш бус байдал ба тэдгээрийн системүүд.
2. Параметрийн утгаас хамааран шийдлийн тоог тодорхойлох шаардлагатай тэгшитгэл, тэгш бус байдал ба тэдгээрийн системүүд.
3. Тодорхойлсон тэгшитгэлүүд (систем, тэгш бус байдал) нь өгөгдсөн тооны шийдэлтэй бүх параметрийн утгыг олох шаардлагатай тэгшитгэл, тэгш бус байдал ба тэдгээрийн системүүд.
4. Шаардлагатай параметрийн утгуудын хувьд шийдлийн багц нь тодорхойлолтын талбарт заасан нөхцлийг хангадаг тэгшитгэл, тэгш бус байдал ба тэдгээрийн системүүд.

Параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх арга.

1. Аналитик арга.

Энэ бол параметргүй асуудлын хариултыг олох стандарт процедурыг давтдаг шууд шийдлийн арга юм.

Жишээ 1: Параметрийн бүх утгыг ол а, үүний тэгшитгэл нь:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 нь хамгийн ихдээ нэг үндэстэй.

2-т а– 1 = 0 энэ тэгшитгэл нь квадрат биш тул тохиолдол а=1/2-г тусад нь эрэмбэлсэн.

Хэрэв а= 1/2, тэгвэл тэгшитгэл нь 1/2 хэлбэрийг авна x– 2 = 0, энэ нь нэг үндэстэй.

Хэрэв а≠ 1/2, тэгвэл тэгшитгэл нь квадрат; Энэ нь хамгийн ихдээ нэг үндэстэй байхын тулд ялгаварлагч эерэг биш байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

Д= а 2 – 4(2а – 1)(2а – 3) = -15а 2 + 32а – 12;

Эцсийн хариултыг бичихийн тулд та ойлгох хэрэгтэй

2. График арга.

Даалгавраас хамааран (хувьсагчтай xба параметр а) координатын хавтгай дахь графикууд ( x;y) эсвэл онгоцонд ( х;а).

Жишээ 2. Параметрийн утга тус бүрийн хувьд атэгшитгэлийн шийдүүдийн тоог тодорхойлно .

Тэгшитгэлийн шийдлүүдийн тоог анхаарна уу функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийн тоотой тэнцүү байна Тэгээд y = a.

Функцийн график 1-р зурагт үзүүлэв.

y = aхэвтээ шугам юм. График ашиглан огтлолцлын цэгүүдийн тоог тодорхойлоход хялбар байдаг а(жишээ нь, хэзээ а= 11 - уулзварын хоёр цэг; цагт а= 2 – уулзварын найман цэг).

Хариулт: хэзээ а < 0 – решений нет; при а= 0 ба а= 25/4 - дөрвөн шийдэл; 0-д< а < 6 – восемь решений; при а= 6 - долоон шийдэл; цагт

6 < а < 25/4 – шесть решений; при а> 25/4 - хоёр шийдэл.

3. Параметрийн хувьд шийдвэрлэх арга.

Ингэж шийдвэрлэх үед хувьсагч XТэгээд Атэнцүү гэж хүлээн зөвшөөрч, аналитик шийдэл хялбар болох хувьсагчийг сонгоно. Хялбаршуулсаны дараа та хувьсагчийн анхны утга руу буцах хэрэгтэй XТэгээд Амөн шийдлийг дуусга.

Жишээ 3: Параметрийн бүх утгыг ол А, тэгшитгэл тус бүрийн хувьд = - сүх +3а+2 өвөрмөц шийдэлтэй.

Бид хувьсагчдыг өөрчлөх замаар энэ тэгшитгэлийг шийдэх болно. = байг т , т≥ 0, тэгвэл x = т 2 + 8 ба тэгшитгэл болно цагт 2 +т + 5а– 2 = 0. Одоо бүх зүйлийг олох нь сорилт юм А, үүний төлөө тэгшитгэл цагт 2 +т + 5а– 2 = 0 нь сөрөг бус өвөрмөц шийдэлтэй. Энэ нь дараах тохиолдолд тохиолддог.

1) Хэрэв А= 0 бол тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна т = 2.

Зарим төрлийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг параметртэй шийдвэрлэх.

Параметртэй холбоотой асуудлууд нь логик сэтгэлгээг бий болгох, судалгааны ур чадварыг эзэмшихэд тусалдаг.

Асуудал бүрийн шийдэл нь өвөрмөц бөгөөд хувь хүн, стандарт бус хандлагыг шаарддаг, учир нь ийм асуудлыг шийдэх цорын ганц арга зам байдаггүй.

Асуудал №1. Параметрийн ямар утгуудад бтэгшитгэл нь үндэсгүй юу?

Даалгавар №2. Бүх параметрийн утгыг ол а, тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц нь:

6-ын тоог агуулсан, мөн нийтлэг цэггүй 6 урттай хоёр сегментийг агуулна.

Тэгш бус байдлын хоёр талыг өөрчилье.

Тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багцад 6 дугаар байхын тулд дараах нөхцөлийг хангасан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Зураг 4

At а> 6 тэгш бус байдлын шийдлийн багц: .

(0;5) интервал нь 6 урттай ямар ч сегментийг агуулж болохгүй. Энэ нь 6 урттай хоёр салангид сегмент интервалд (5; а).

Асуудал №3. Функцийг тодорхойлох талбарт бүх эерэг бүхэл тоог аваад нэм. Энэ нийлбэр 5-аас их боловч 10-аас бага бүх утгыг ол.

1) Шугаман бутархай функцийн график хэтрүүлсэн үг юм. Нөхцөлөөр x> 0. Хязгааргүй өсөлттэй Xбутархай нэг хэвийн буурч, тэг рүү ойртох ба функцийн утга zнэмэгдүүлэх ба ойртох 5. Мөн z(0) = 1.

2) Зэрэг, тодорхойлолтын хүрээний тодорхойлолтоор D(y)тэгш бус байдлын шийдлүүдээс бүрдэнэ. At а= 1 бид шийдэлгүй тэгш бус байдлыг олж авна. Тиймээс функц цагтхаана ч тодорхойлогдоогүй.

3) 0-д< а< 1 показательная функция с основанием Абуурч, тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцэнэ. Учир нь x> 0, тэгвэл z(x) > z(0) = 1 . Энэ нь эерэг утга бүр гэсэн үг юм Xтэгш бус байдлын шийдэл юм. Тиймээс, ийм төрлийн хувьд АНөхцөлд заасан хэмжээг олох боломжгүй байна.

4) Хэзээ а> 1 суурьтай экспоненциал функц Анэмэгдэж, тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцэнэ. Хэрэв а≥ 5 байвал ямар ч эерэг тоо нь түүний шийдэл байх ба нөхцөлт заасан нийлбэр олдохгүй. Хэрэв 1< а < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), хаана а = z(x 0) .

5) Бүхэл тоонууд энэ интервалд 1-ээс эхлэн дараалан байрлана. 1: 1-ээс эхлэн дараалсан натурал тоонуудын нийлбэрийг тооцоолъё; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;... Иймд заасан хэмжээ нь 3-ын тоо (0; x 0), 4 тоо нь энэ интервалд оршдоггүй. Тэгэхээр 3< x 0 ≤ 4. -ээр нэмэгддэг тул z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

Иррационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, түүнчлэн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, модулиудыг агуулсан системийг энд авч үзнэ. Хавсралт 1.

Параметртэй холбоотой асуудлууд нь тэдгээрийг шийдвэрлэх нэг алгоритм байдаггүй тул нарийн төвөгтэй байдаг. Ийм асуудлын онцлог нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүдийн зэрэгцээ тоон утгыг тусгайлан заагаагүй параметрүүдийг агуулдаг боловч тодорхой тоон багц дээр мэдэгдэж, тодорхойлогдсон гэж үздэг. Энэ тохиолдолд параметрийн утга нь асуудлыг шийдвэрлэх логик, техникийн явц, хариултын хэлбэрт ихээхэн нөлөөлдөг.

Статистикийн мэдээгээр олон төгсөгчид Улсын нэгдсэн шалгалтын параметрийн асуудлыг шийдэж эхлээгүй байна. FIPI-ийн мэдээлснээр төгсөгчдийн дөнгөж 10% нь ийм асуудлыг шийдэж эхэлдэг бөгөөд тэдний зөв шийдлийн хувь бага байдаг: 2-3% нь хэцүү, стандарт бус даалгавруудыг, тэр дундаа параметртэй холбоотой асуудлуудыг шийдвэрлэх ур чадвар эзэмшдэг. оюутнууд хамааралтай хэвээр байна.

1. Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийг ердийн тэгшитгэлийн системтэй адил үндсэн аргуудаар шийддэг: орлуулах арга, тэгшитгэл нэмэх арга, график арга. Шугаман системийн график тайлбарын талаархи мэдлэг нь язгуурын тоо, тэдгээрийн оршин тогтнох тухай асуултанд хариулахад хялбар болгодог.

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй a параметрийн бүх утгыг ол.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Шийдэл.

Энэ ажлыг шийдэх хэд хэдэн аргыг авч үзье.

1 арга зам.Бид шинж чанарыг ашигладаг: x-ийн өмнөх коэффициентүүдийн харьцаа нь y-ийн урд талын коэффициентүүдийн харьцаатай тэнцүү боловч чөлөөт гишүүний харьцаатай тэнцүү биш бол системд шийдэл байхгүй болно (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Дараа нь бидэнд байна:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 эсвэл систем

(ба 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Эхний тэгшитгэлээс a 2 = 4, тиймээс a ≠ 2 гэсэн нөхцөлийг харгалзан бид хариултыг авна.

Хариулт: a = -2.

Арга 2.Бид орлуулах аргаар шийддэг.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Эхний тэгшитгэлийн нийтлэг хүчин зүйл y-г хаалтнаас гаргасны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Хэрэв эхний тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бол системд шийдэл байхгүй, өөрөөр хэлбэл

(ба 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Мэдээжийн хэрэг, a = ±2, гэхдээ хоёр дахь нөхцөлийг харгалзан үзэхэд хариулт нь зөвхөн хасах хариулттай ирдэг.

Хариулт: a = -2.

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй a параметрийн бүх утгыг ол.

(8х + ай = 2,
(сүх + 2 у = 1.

Шийдэл.

Шинж чанараас харахад x ба y-ийн коэффициентүүдийн харьцаа ижил бөгөөд системийн чөлөөт гишүүдийн харьцаатай тэнцүү бол энэ нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй (өөрөөр хэлбэл a/a 1 = b/) байна. b 1 = c/c 1). Тиймээс 8/a = a/2 = 2/1. Үүссэн тэгшитгэл бүрийг шийдэж, энэ жишээн дээрх хариулт нь a = 4 болохыг олж мэднэ.

Хариулт: a = 4.

2. Параметр бүхий рационал тэгшитгэлийн системүүд

Жишээ 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Шийдэл.

Системийн эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлье.

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Эхнийхээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хасвал 5|x| болно = 4 – a. Энэ тэгшитгэл нь a = 4-ийн хувьд өвөрмөц шийдэлтэй байх болно. Бусад тохиолдолд энэ тэгшитгэл нь хоёр шийдтэй байна (< 4) или ни одного (при а > 4).

Хариулт: a = 4.

Жишээ 4.

Тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй a параметрийн бүх утгыг ол.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Шийдэл.

Бид энэ системийг график аргаар шийдэх болно. Ийнхүү системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн график нь Ой тэнхлэгийн дагуу нэг нэгж сегментээр дээш өргөгдсөн парабол юм. Эхний тэгшитгэл нь y = -x шугамтай параллель шугамуудын багцыг зааж өгдөг (Зураг 1). y = -x + a шулуун координаттай (-0.5, 1.25) цэг дээр параболд шүргэгч байвал систем шийдэлтэй болох нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. Эдгээр координатуудыг x ба y-ийн оронд шулуун шугамын тэгшитгэлд орлуулснаар бид a параметрийн утгыг олно.

1.25 = 0.5 + a;

Хариулт: a = 0.75.

Жишээ 5.

Орлуулах аргыг ашиглан a параметрийн ямар утгаар систем өвөрмөц шийдэлтэй болохыг олж мэд.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Шийдэл.

Эхний тэгшитгэлээс бид y-г илэрхийлж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг k ≠ 0-ийн өвөрмөц шийдэлтэй kx = b хэлбэрт оруулъя. Бидэнд:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Бид a 2 + 3a + 2 гурвалсан квадратыг хаалтны үржвэр болгон төлөөлдөг

(a + 2)(a + 1), зүүн талд нь хаалтнаас х-г гаргаж авдаг.

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Мэдээжийн хэрэг, 2 + 3a нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй, тиймээс,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0 бөгөөд энэ нь a ≠ 0 ба ≠ -3 гэсэн утгатай.

Хариулт: a ≠ 0; ≠ -3.

Жишээ 6.

График шийдлийн аргыг ашиглан a параметрийн ямар утгаар систем өвөрмөц шийдэлтэй болохыг тодорхойлно.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Шийдэл.

Нөхцөлд үндэслэн бид эх цэг дээр төвтэй, 3 нэгж сегментийн радиустай тойрог байгуулдаг бөгөөд энэ нь системийн эхний тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

x 2 + y 2 = 9. Системийн хоёр дахь тэгшитгэл (y = |x| + a) нь тасархай шугам юм. Ашиглах замаар зураг 2Бид тойрогтой харьцуулахад түүний байршлын бүх боломжит тохиолдлыг авч үздэг. a = 3 гэдгийг харахад амархан.

Хариулт: a = 3.

Асуулт хэвээр байна уу? Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

1. Даалгавар.
Ямар параметрийн утгууд дээр атэгшитгэл ( а - 1)x 2 + 2x + а- 1 = 0 нь яг нэг язгууртай юу?

1. Шийдэл.
At а= 1 бол тэгшитгэл нь 2 x= 0 ба нэг үндэстэй нь тодорхой x= 0. Хэрэв а№1, тэгвэл энэ тэгшитгэл нь квадрат бөгөөд квадрат гурвалжны ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү байх параметрийн утгуудын нэг үндэстэй байна. Дискриминантыг тэгтэй тэнцүүлэхдээ бид параметрийн тэгшитгэлийг олж авна а 4а 2 - 8а= 0, хаанаас а= 0 эсвэл а = 2.

1. Хариулт:тэгшитгэл нь нэг язгууртай а O (0; 1; 2).

2. Даалгавар.
Бүх параметрийн утгыг ол а, тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй x 2 +4сүх+8а+3 = 0.
2. Шийдэл.
Тэгшитгэл x 2 +4сүх+8а+3 = 0 нь хоёр ялгаатай язгууртай, хэрэв зөвхөн, хэрэв байгаа бол Д = 16а 2 -4(8а+3) > 0. Бид (4-ийн нийтлэг хүчин зүйлээр бууруулсны дараа) 4-ийг авна а 2 -8а-3 > 0, хаанаас

2. Хариулт:

3. Даалгавар.
Энэ нь мэдэгдэж байна
е 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Функцийн графикийг зур е 1 (x) цагт а = 1.
б) Ямар үнээр афункцын графикууд е 1 (x) Мөн е 2 (x) нэг нийтлэг зүйл байна уу?

3. Шийдэл.
3.а.Өөрчилье е 1 (x) дараах байдлаар
Энэ функцийн график нь а= 1-ийг баруун талын зурагт үзүүлэв.
3.б.Функцийн графикууд гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе y = kx+бТэгээд y = сүх 2 +bx+в (аҮгүй 0) нэг цэгт огтлолцоно, хэрэв зөвхөн квадрат тэгшитгэл байвал kx+б = сүх 2 +bx+внэг үндэстэй. View ашиглах е 1-ийн 3.а, тэгшитгэлийн дискриминантыг тэгшитгэе а = 6x-x 2-6-аас тэг хүртэл. 36-24-4 тэгшитгэлээс а= 0 бид авна а= 3. 2-р тэгшитгэлтэй ижил зүйлийг хий x-а = 6x-x 2-6 бид олох болно а= 2. Эдгээр параметрийн утгууд нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Хариулт: а= 2 эсвэл а = 3.

4. Даалгавар.
Бүх утгыг ол а, үүний төлөө тэгш бус байдлын шийдлийн багц x 2 -2сүх-3а i 0 нь сегментийг агуулна.

4. Шийдэл.
Параболын оройн эхний координат е(x) = x 2 -2сүх-3атэнцүү байна x 0 = а. Квадрат функцийн шинж чанараас нөхцөл е(x) Сегмент дээрх і 0 нь гурван системийн олонлогтой тэнцүү байна
яг хоёр шийдэл байна уу?

5. Шийдэл.
Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье x 2 + (2а-2)x - 3а+7 = 0. Энэ нь квадрат тэгшитгэл бөгөөд хэрэв дискриминант нь тэгээс их байвал яг хоёр шийдэлтэй болно. Дискриминантыг тооцоолохдоо яг хоёр үндэс байх нөхцөл нь тэгш бус байдлын биелэлт гэдгийг бид олж мэднэ. а 2 +а-6 > 0. Тэгш бус байдлыг шийдэж, бид олно а < -3 или а> 2. Тэгш бус байдлын эхнийх нь натурал тоонуудын шийдэлгүй нь ойлгомжтой бөгөөд хоёр дахь нь хамгийн бага натурал шийд нь 3-ын тоо юм.

5. Хариулт: 3.

6. Асуудал (10 товчлуур)
Бүх утгыг ол а, үүнд функцийн график эсвэл тодорхой хувиргасны дараа, а-2 = | 2-а| . Сүүлийн тэгшитгэл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна аби 2.

6. Хариулт: аТУХАЙ)